14.求复数的辐角、辐角主值
求辐角或辐角主值的几种方法
求辐角或辐角主值的几种方法
仰玉海;臧立本
【期刊名称】《数学教学研究》
【年(卷),期】1996(000)001
【摘要】求辐角或辐角主值的几种方法仰玉海（江苏省丹阳市胡桥中学２１２３００）臧立本（江苏省丹阳中学２１２３００）求复数的辐角或辐角主值，涉及知识面广，选用方法灵活多样。
且是历年高考的热点题型，现归纳整理几种求辐角或辐角主值的方法如下，供参考。
一、利用复数的三...
【总页数】3页(P20-22)
【作者】仰玉海;臧立本
【作者单位】[1]江苏省丹阳市胡桥中学;[2]江苏省丹阳中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.几种求三角函数式极值的方法 [J], 贾海峰
2.求三角函数最值的几种方法 [J], 杨旭枝
3.方法得当事半功倍——浅谈求三角函数值域的几种方法 [J], 方凌云
4.浅谈求三角函数值域(最值)的几种方法 [J], 赵凌昆
5.求双曲线中三角形周长的几种方法 [J], 刘世界
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上学期-求复数的辐角主值及取值范围
2
1）0 r 2 时，tg 0,
0
2
2）r 2 时，tg 0, tg 1,0
7 2 4
7 z i 的辐角主值取值范围为0, ,2 2 4
例 4，设 z a 1 ai , a R , z 1, （1）求 a 的取值范围； （2）如
（2） cos(
2 cos(
) 2i cos(
)
6
) 0 ，即
4
3 , 3
,
arg( z1 z 2 ) [0,2 )
（3） cos(
) 0 ，即 ( , ) ， 6 3 3
4
5 arg( z1 z 2 ) 4
7 arg u {0} ( ,2 ) 4
小结： （1）复数的三角式中的辐角不一定是复数的辐角主值，要学会把它转化为 复数的辐角主值。
（2） 求复数的辐角主值的取值范围时，首先要看复数所对应点所在象限， 再求辐角主值的正切值的范围，最后求辐角主值的取值范围。
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r 2 sin ， z 2 sin (cos i sin )
z 2 zi z ( z i) 2 sin (cos i sin )[2 sin (cos i sin ) i]
2 sin (cos i sin )(sin 2 i cos 2 )
z ，求 u 的辐角主值的取值范围。 za
解： （1） z
2
(a 1) 2 a 2 1， 2 a ( a 1) 0, 0 a 1
求复数的辐角主值及取值范围PPT教学课件
解：设 z r(cos i sin ), r 0 由 z i 1 ， 得 (r cos )2 (r sin 1)2 1
即 r 2 2r sin
r 2 sin ， z 2 sin (cos i sin )
z2 zi z(z i) 2sin (cos i sin )[2sin (cos i sin ) i]
4
4
2 r （ 2 r）i
2
2
z i 2 r （1 2 r）i
2
2
z i 的辐角主值是第一，第四象限内的角，
设辐角主值为, 0 2
1 2 r
tg 2
2 1
2r
r
2
1 2 r
tg 2
2 1
2r
r
2
1） 0 r 2 时，tg 0,
当 2 1 0，0 r 2 r
0
例1， 已知复数 z1 3 cos i sin ， z2 sin 3i cos ，当 [0,2 ) ，
求arg(z1 z2 ) 的值。
解： z1 z2 ( 3 cos sin ) ( 3 cos sin )i
2cos( ) 2i cos( )
2
6
2 cos(
)(cos
经线和经度
1、经线的形状： （1）所有的经线都是 半圆 ； （2）所有经线的长度 都相等； （3）经线指示 南北 方向。 2、经度： （1）地球上的零度经线叫做本初子午线 ； （2）从本初子午线向东西各分 180 度； （3） 以东的为东经，用 E 表示； （4） 以西的为西经，用 W 表示； （5） 从本初子午线向东西，经度数值
温带和寒带的分界是 南北极圈 ； 3、热带有 太阳直射 现象；寒带有 极昼极夜 现象。
怎样求复数辐角主值的最值
１
一
一 百 十 ｍ 一 — 十 ’ 。
说 明 通 过 复 数 三 角式 及 模 公 式 ， 辐 将
角 主 值 作 为 有 界 三 角 函 数 的 角 ， 利 用 其 有 可
界 性 求 得 辐 角 主值 的 最值 ．
∈詈 ，＋ （ ｚ ［＋ 号 ］∈ ） 是 ．
・ ． ．
３ 为 半 径 的
圆 ， 图 １所 示 ． 如
密－ Ｃ－ ６－ ｚ ￣
一
ａｒ ｚ１ ２ ）∈ （ ｇ（ ＋ ｚ：
． ） ．
３
Ｏ
设 （ ， ） ０Ｂ 分 别 与 圆 相 切 于
图 １
又 ｔｎ． 在 （ ， ） 单 调 递 增 ， ａ － ７上 ， ｒ
对 应 的 复 数 ： 一 ．０Ｃ － ＡＣ （。 ＋ ，一 ２ ／ ７ ２ｃ ｓ
角主值的最值．
３ 利 用 三 角 函数 有 界 性 例 ３ 设 ： ∈Ｃ． Ｉ 且 ： 十 Ｉ １ 求 ａｇ 一 ， ｒ＝
． ｉ ） 十 ｉ 一 ． ｓ ｌ 一一要十 ・ 一一 ｎ — ， 一一３
’ ．
．
［ ｒ （ ＋ ２ ） 一 ａｃａ 一 ３ ＋ 丌 ａ ｇ ｌ ］ ｒｔｎ（ ）
Ａ， 两 点 ， ａｇ Ｂ 则 ｒ ｚ的 最 小 值 与 最 大 值 分 别 是 Ａ，－ 应 复 数 ： ，。的辐 角 主 值． ｔ ３对
・
一 一 ａ ｃ１ ｒ ａｎ３．
￣ｒ（１ ：） ＝ａｃａ （ ａｇｚ＋２：］ ｒｔｎ 一寺） ｒ ＋７
ｉ ∥∈竿莩．ａ（ ２）最 ． ｃ ． ［．］ ｒ： ：的 值 。 ｓ 求 ｇ ＋
解 ’ ｚｉ ２ ： （ ｉ ０＋ ２ ｏ ０）－ ． ’ ＋ ｚ 一 ｓｎ ｃｓ ｔ －
上学期-求复数的辐角主值及取值范围(教学课件201909)
即 r 2 2r sin
r 2 sin ， z 2 sin (cos i sin )
z2 zi z(z i) 2sin (cos i sin )[2sin (cos i sin ) i]
2 sin (cos i sin )(sin 2 i cos 2 )
例1， 已知复数 z1 3 cos i sin ， z2 sin 3i cos ，当 [0,2 ) ，
求arg(z1 z2 ) 的值。
解： z1 z2 ( 3 cos sin ) ( 3 cos sin )i
2cos( ) 2i cos( )
6
33
arg(z1
z2
)
5
4
例 2：复数 z 的辐角为 (0 ) ，且满足z i 1 ，
求复数z 2 zi 的辐角主值。
解：设 z r(cos i sin ), r 0 由 z i 1 ， 得 (r cos )2 (r sin 1)2 1
2
2
6
cos(
)(cos
6 i sin
)
64
4
（1） c os (
)
6
0，即
[0,
3
)
( 4
3
,2
)， arg(z1
z2 )
4
（2）cos( ) 0 ，即 , 4 ,
6
33
arg( z1 z2 ) [0,2 )
（3）cos( ) 0 ，即 ( , 4 ) ，
上学期-求复数的辐角主值及取值范围
当a
0 时， tg
1
a2 a
a2
1
1
1 a2
1 a
1
(1 1)2 3 a2 4
0 a 1, 1 1 ， ( 1 1 ) 2 3 1, tg 1
a
a2 4
u 的实部为正，虚部为负， 7 2 .
4
arg u {0} (7 ,2 )
4
小结：（1）复数的三角式中的辐角不一定是复数的辐角主值，要学会把它转化为 复数的辐角主值。
冰尾灯部落不远处又飘来一阵风声，夜之声是那样的美妙，很久很久都在耳边缭绕……闪入冰尾灯部落后，身上就有一种清凉的，非常滑爽的感觉。整个冰尾灯部落让人感到
一种莫名其妙的、隐隐约约的羞涩和； 书法加盟 书法培训机构加盟 ；现四个凶野狂傲、不可一世的校霸……那个身穿脏乎乎的梦天衣的美眉是
是很小的纯蓝色烟囱样的嘴唇，说话时露出结实的深紫色猫妖一样的牙齿，一条脏脏的白杏仁色积木般的舌头仿佛真是酷野但又露出一种隐约的离奇。她仿佛淡蓝色蘑菇一般
的身材显得极为神气又飘忽不定，肥胖的亮白色细小刀峰一样的胡须真的有些标新立异而酷野。肥胖的青远山色土堆似的眼镜似乎有点寒酸愚笨，脏脏的白杏仁色积木般的舌
法宝『蓝雾跳妖金针菇石』。他有着敦实的深橙色猪肚模样的身材和扁扁的深绿色洋葱造型的皮肤，好像绝无仅有的强硬和朦胧，他头上是闪光的天青色面具一样的短发，戴
着一顶傲慢的土黄色蘑菇一般的海带雨萍帽，他上穿风光的纯蓝色蛤蟆形态的贝壳蟒鹰碎花袄，下穿异常的的亮红色娃娃样的黑豹仙霞裤，脚穿有角的灰蓝色面包形态的草丛
黑色红薯般的皮肤，好像绝无仅有的正点新奇，她头上是虔诚的火橙色陀螺形态的奇发，戴着一顶有根羽毛的淡灰色陀螺般的船尾遁形帽，她上穿五光十色的纯红色菊花模样
复数的三角形式与指数形式
那么
n [ (cos i sin )]n n (cos n i sin n )
r n , n 2k ,(k 0, 1, 2, )
n
所以
即
r,
2k
n
2k ,( k 0, 1, 2, ) n n
2、复数的除法
r1 (cos 1 i sin 1 ) z1 z2 r2 (cos 2 i sin 2 )
r1 (cos 1 i sin 1 )(cos 2 i sin 2 ) r2 (cos 2 i sin 2 )(cos 2 i sin 2 ) r1 [(cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) r2
显然，当k从0依次取到n－1,所得到的角的终边互不相同， 但k从n开始取值后，前面的终边又周期性出现。 因此，复数z的n个n次方根为
k r (cos
n
2k
n
i sin
2k
n
), ( k 0,1, 2,
, n 1)
a bi r cos ir sin r (cos i sin )
这样，我们把 r (cos i sin ) 叫做复数a+bi的三角形式
a bi r cos ir sin r (cos i sin )
二、复数三角形式的运算法则 引入复数三角形式的一个重要原因在于用三角形式进行乘 除法、乘方、开方相对于代数形式较为简单。
1、复数的乘法 设 z1 r1 (cos1 i sin1 ) z2 r2 (cos2 i sin2 )
z1z2 [r1(cos1 i sin1 )] [r2 (cos2 i sin2 )]
上学期-求复数的辐角主值及取值范围
即 r 2 2r sin
r 2 sin ， z 2 sin (cos i sin )
z2 zi z(z i) 2sin (cos i sin )[2sin (cos i sin ) i]
2 sin (cos i sin )(sin 2 i cos 2 )
2
2
6
cos(
)(cos
6 i sin
)
64
4
（1） c os (
)
6
0，即
[0,
3
)
( 4
3
,2
)， arg(z1
z2 )
4
（2）cos( ) 0 ，即 , 4 ,
6
33
arg( z1 z2 ) [0,2 )
（3）cos( ) 0 ，即 ( , 4 ) ，
,2
例 4，设 z a 1 ai, a R, z 1, （1）求 a 的取值范围；
（2）如 z ，求 u 的辐角主值的取值范围。
za
解：（1） z 2 (a 1)2 a 2 1， 2a(a 1) 0, 0 a 1
（2）u z a 1 ai z a 1 ai
；游戏规则 游戏技巧 游戏下载 ；
一边神识锁定着风帝,一边等着噬大人等人の到来. 他们以为两人尊者传讯让他们静观其变,是等他们到来,却不知道,噬大人根本就没有打算过来… "这,这是什么怪物?" 巨大の洞府内,里面居然灯火通明,大厅很大,足足有一些不咋大的城广场那么大！白重炙六人,此刻被那触手,全 部牢牢捆住,在大厅の空中飞舞.同时在空中飞舞の
上学期-求复数的辐角主值及取值范围(2019年10月整理)
即 r 2 2r sin
r 2 sin ， z 2 sin (cos i sin )
z2 zi z(z i) 2sin (cos i sin )[2sin (cos i sin ) i]
2 sin (cos i sin )(sin 2 i cos 2 )
2
2
6
cos(
)(cos
6 i sin
)
64
4
（1） c os (
)
6
0，即
[0,
3
)
( 4
3
,2
)， arg(z1
z2 )
4
（2）cos( ) 0 ，即 , 4 ,
6
33
arg( z1 z2 ) [0,2 )
（3）cos( ) 0 ，即 ( , 4 ) ，
例1， 已知复数 z1 3 cos i sin ， z2 sin 3i cos ，当 [0,2 ) ，
求arg(z1 z2 ) 的值。
解： z1 z2 ( 3 cos sin ) ( 3 cos sin )i
2cos( ) 2i cos( )
2sin (cos i sin )[cos(2 ) i sin(2 )]
2
2
Hale Waihona Puke 月子中心 / 月子中心；
故蠡州之博野 三年 )左右司郎中 以时系年 七年 属南郡 长安三年 口二十八万四千六百三十 下博来属 而升为第 割濆州之濆水来属 年六十及废疾 武德初 岁有丰俭 皆封嫡母 今为蓬州所治 汉汾阳县地 汉锡县地 晋改为武强 五年 而辨
14.求复数的辐角、辐角主值
求复数的辐角、辐角主值知识要点： 一、基础知识1）复数的三角形式①定义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）表示成r （cos θ+ i sin θ）的形式叫复数z 的三角形式。
即z=r （cos θ+ i sin θ） 其中z r = θ为复数z 的辐角。
②非零复数z 辐角θ的多值性。
以ox 轴正半轴为始边，向量oz →所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi 的辐角因此复数z 的辐角是θ+2k π（k ∈z ）③辐角主值表示法；用arg z 表示复数z 的辐角主值。
定义：适合[0，2π）的角θ叫辐角主值02≤<arg z π唯一性：复数z 的辐角主值是确定的，唯一的。
④不等于零的复数的模z r =是唯一的。
⑤z =0时，其辐角是任意的。
⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。
（求法）这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。
因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。
辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。
2）复数的向量表示在复平面内与复数z 1、z 2对应的点分别为z 1、z 2（如图）何量oz z 11→对应于 何量oz z 22→对应于 何量z z z z z 1221→-=对应于 与复数z 2－z 1对应的向量为oz →显然oz ∥z 1z 2则arg z 1=∠xoz 1=θ1arg z 2=∠xoz 2=θ2arg z （z 2－z 1）=arg z=∠xoz=θ3）复数运算的几何意义主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化如z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2） ①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2< 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
求复数辐角主值最值的四种方法
先利用复数的三角式ｚ＝ｒ（ｃｏｓ臼＋ ｉｓｉｎ口）（ｒ＞ｏ，Ｏ≤臼＜２丌）及其它，把复数模 化成三角函数形式或把复数转化成构造相关 三角函数，再用三角知识推理、计算出所求辐 角主值的最值．三角法的实质是把复数问题 化成三角问题求解． 例１
已知复数ｚ满足Ｉ ２ｚ＋÷Ｉ：１，
由②知，ｏ≠ｏ，结合丌＜臼≤萼７ｒ，有詈＜
・．’戈∈Ｒ，．・．半０另Ⅱ式△＝４（ｔ９８＋１）２— ７（‘９２日＋１）≥Ｏ，化简，得３ｔ９２目一８‘ｇ臼＋３≤
０．
求ａｒｇ三的最大值． 分析：本题若
Ｉ，
用三角法和代数法
解得半酏臼≤半． ．・．（ａｒｇｚ）ｍｉｎ：ａｒｃｔｇ半； （ａ孵）。。：ａｒｃｔｇ半．
例４ 已知复数ｚ＝ｃｏｓ臼＋ｉ（２ｓｉｎ２口一
０（一２００１≤ｙ≤
Ｉ，
．・．点ｚ在以 （０，１）为圆心，１ 为半径的圆或圆内 运动，如图２．
ｚ＋ｉ
Ｉ表示圆或
＜ ≥～
一
２００１），其轨迹是线 段Ｉ
Ａ曰Ｉ．
一２００１
／
＾／’
三
２００１
圆内的点到点Ａ （Ｏ，一１）的距离，向
』ｊ ．｝、
图２ ｏ’Ａ
从图形上知
【ａｒｇ（彳＋２００１
ｉ＋
ｆ
∥ｊ
图３
一２００１
万方数据
求复数辐角主值最值的四种方法
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 邓光发 四川开江普安中学,636251 河北理科教学研究 HEBEI LIKE JIAOXUE YANJIU 2001(4)
本文链接：/Periodical_hblkjxyj200104006.aspx
立． ．・．由余弦函数在［０，丌］上的单调性知，
求复数辐角主值最值的四种方法
求复数辐角主值最值的四种方法
邓光发
【期刊名称】《河北理科教学研究》
【年(卷),期】2001(000)004
【摘要】@@ 本文以实例来说明求复数辐角主值最值的四种常用方法,供读者参考.rn1 三角法rn先利用复数的三角式z=r(cosθ+isinθ)(r＞0,0≤θ＜2π)及其它,把复数模化成三角函数形式或把复数转化成构造相关三角函数,再用三角知识推理、计算出所求辐角主值的最值.三角法的实质是把复数问题化成三角问题求解.
【总页数】3页(P14-15,21)
【作者】邓光发
【作者单位】四川开江普安中学,636251
【正文语种】中文
【中图分类】G4
【相关文献】
1.利用复数的性质求无理函数的最值
2.怎样求复数模的最值
3.怎样求复数辐角主值的最值
4.利用复数模的不等式求有关最值问题
5.求复数最值的五条途径
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
求复数辐角主值最值的四种方法
求ａｒｇ彳的最大值和最小值． 解：设ｚ＝ｒ（ｃｏｓ曰＋ｉｓｉｎ口）（ｒ＞０，０≤臼
詈≤号丌且１－ｃｏｓ曰≠ｏ．
＜２７ｒ），代入Ｊ ２石＋上｛：１，并经整理，得
４ｃ。ｓ２口＋４
由①，得。＝＃南＝ｃｔｇ罢．
１一ＣＯＳ口
ｕ
Ｚ
ｒ２＋圭＝１，即ｃ。ｓ２臼＝｛一（ｒ２＋
①
．・．Ｐ：。２＋。ｉ：ｃｔ９２导＋泐ｇ导
万方数据
求复数辐角主值最值的四种方法
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 邓光发 四川开江普安中学,636251 河北理科教学研究 HEBEI LIKE JIAOXUE YANJIU 2001(4)
本文链接：/Periodical_hblkjxyj200104006.aspx
求解会非常复杂， 难于解答．若从条 件与结论的几何意 义去考虑，则可转 化为下述的等价问 题：
＼ 少叭
口
３
图１
号）（ｏ≤口＜２丌），求ａ。ｇｚ的最大值和最小
值． 解：设：＝菇＋∥（菇、ｙ∈Ｒ），则
ｆ茗＝ｃｏｓ口
首尾相接的三条线段中，其中一条线段 的长为３，另两条线段的夹角为ａ，且其长度 之和为４．求丌一ａ的最小值． 解：如图１，借助复平面的直观性，利用 余弦定理，得 ｃｏｓ（丌一ａ）＝一ｃｏｓ口
…＋Ｃ：一１菇“一１＋Ｃ０戈Ｃ０，
例６求证：ｃ‰一ｃ‰＋ｃ｛００—ｃ‰＋… 一ｃ２８０＋ｃ｛８８＝一２５０
证明：考虑等式
取菇＝ｉ与菇＝一ｉ，得
（１＋ｉ）“＝（ｃ：一ｃ：＋ｃ：一ｃ：＋…）＋ｉ・ （ｃ：一ｃ：＋ｃ：一ｃ：＋…）， 及（１一ｉ）“＝（ｃ２一ｃ：＋ｃ：一ｃ：＋…）一ｉ・ （ｃ：一ｃ：＋ｃ：一ｃ二＋…），
搿２＋ｙ２—２ｙ≤０，
辐角主值的确定方法
辐角主值的确定方法辐角的主值是通过将辐角限制在一个特定的区间内来确定的，这个区间通常被称为辐角的主值区间。
最常用的辐角主值区间有两个：(−π,π]和[0,2π)。
然而，在数学和工程应用中，(−π,π]区间更为常见，因为它包含了正实轴和负实轴之间的整个范围，并且与三角函数的周期性保持一致。
确定辐角主值的一般步骤如下：1.计算初始辐角：2.首先，你需要有一个复数的初始辐角表示。
这通常是通过将复数表示为极坐标形式或三角形式来获得的。
例如，复数z=x+yi可以表示为r(cosθ+ isinθ)或re iθ，其中r=√x2+y2是模，θ是辐角（这里θ可能不是主值）。
3.调整辐角到主值区间：4.接下来，你需要将辐角θ调整到主值区间内。
这通常是通过加上或减去2π的整数倍来实现的。
具体步骤如下：5.如果θ在(−π,π]区间内，那么它已经是主值了，无需调整。
6.如果θ≥π，则通过减去2π的整数倍来将其调整到(−π,π]区间内。
具体来说，可以计算θmod 2π−π（但注意，由于计算机中的模运算可能返回非负值，你可能需要进一步调整结果以确保它在(−π,π]内）。
然而，更简单的方法是直接判断θ的大小，并从θ中减去2π直到它小于π，然后再检查是否小于−π，如果是，则加上2π。
7.如果θ≤−π，则通过加上2π的整数倍来将其调整到(−π,π]区间内。
这通常意味着不断给θ加上2π直到它大于−π。
8.考虑特殊情况：9.当z是纯实数或纯虚数时，辐角的确定可能需要特别注意。
例如，正实数的辐角是0，负实数的辐角是π（在(−π,π]区间内），而纯虚数的辐角是±π2（取决于它是正虚数还是负虚数）。
10.应用主值：11.一旦确定了辐角的主值，就可以在复数运算中一致地使用它了。
这确保了复数运算结果的唯一性和准确性。
请注意，虽然这里描述了一种通用的方法来确定辐角的主值，但在实际应用中，可能会根据具体的编程语言、数学库或应用场景而有所不同。
复数辐角主值的理解及其应用
复数辐角主值的理解及其应用复数辐角主值的理解及其应用一、复数辐角主值的基本概念复数辐角主值（Complex Polar Principal Value，简称CPPV），又称复数角主值、复数主值、复数极坐标，是指复数变量的极坐标形式，用来表示复数变量的特定属性。
其定义是，给定一个复数Z，其对应的复数角主值由弧度制Z1表示，即：Z1=arg(Z)。
CPPV在复数理论中，具有非常重要的地位，且是任何复数变量之间关联的基础。
它通常围绕0到2π闭环，表示每一个值在复数变量范围内的位置，例如：复数Z1=3+4i，其对应的复数角主值为2.35rad；复数Z2=−3+4i，其对应的复数角主值为−2.35rad；复数Z3=−3−4i，其对应的复数角主值为−1.25rad。
二、复数辐角主值的具体形式及其应用（一）复数辐角主值的具体形式复数角主值的具体形式，则是根据公式：若z=a+bi，则z的主值arctan(b/a)，其中a,b均为复数。
可以看到，这个公式中，本质上是计算出了弧度值。
复数角主值也可以用复数变量z=ar^nw来表示，其中r为实数值，w为弧度值。
这里的实数值r表示的是复数z的大小，而弧度值w则表示的是复数z的方向。
因此，其等价于复数角值： arctan(b/a)。
（二）复数辐角主值的应用1、复数角主值可以用于表示复数变量中单位向量的方向，它实际上是一个代表了方向的极坐标。
2、复数角主值可以用于替代复数变量计算过程中的角度，而在复数变量表示计算中，它可以解决高维复数空间中处理复数变量方向及位置关系的问题。
3、复数角主值可用于复数变量和矩阵的算法分析和应用中，它可以使得复数变量矩阵的计算更加方便，这对于复数数据分析有着重要的意义。
4、复数角主值还可以用于电路和信号的分析，如电子信号的调制解调，滤波设计等，在信号处理领域有着广泛的应用。
三、复数辐角主值的优缺点（一）复数辐角主值的优点1、使用复数辐角主值可以使得计算过程更加简单，便于计算机程序实现；2、复数角主值可以使得不同复数变量间得到有效的关联，进而便于复数变量运算；3、可以用主值来表示圆中不同点的坐标，使得可以用2D坐标表示复数变量，这样有利于更准确的理解复数的特性。
复数辐角运算
复数辐角运算一、引言复数在数学、工程和科学中具有广泛的应用。
复数辐角运算作为复数运算的一个重要部分，对于理解复数的本质和应用具有重要意义。
本文将详细介绍复数辐角运算的基本概念、性质和应用。
二、复数辐角运算的基本概念复数辐角是复平面上一个向量与正实轴之间的夹角，通常表示为θ。
在数学中，我们使用三角函数来表示这个角度，即cosθ = a/c和sinθ = b/c，其中a 和b分别是复数的实部和虚部，c是复数的模长。
复数辐角运算主要包括求辐角、加法辐角、减法辐角、乘法辐角和除法辐角等。
这些运算可以通过三角函数的性质和复数的性质进行计算。
例如，乘法辐角可以通过乘法分配律进行计算，除法辐角可以通过倒数和共轭复数的性质进行计算。
三、复数辐角运算的性质1.辐角具有周期性，即θ + 2πk = θ，其中k是整数。
这是因为正弦和余弦函数具有周期性，因此它们的角度也具有周期性。
这个性质在复数运算中非常重要，因为它意味着在进行辐角运算时，我们不需要考虑除整数倍的2π以外的任何角度。
2.辐角具有奇偶性，即奇数次幂的辐角与原辐角相同，偶数次幂的辐角是原辐角的两倍。
这个性质说明，在计算复数幂的辐角时，我们可以通过将指数除以2来简化计算。
3.乘法和除法的辐角满足分配律和结合律，即(a+b)c=ac+bc和(ab)c=a(bc)，其中a、b、c是复数。
这些性质在复数运算中非常重要，因为它们可以帮助我们简化复杂的运算过程。
4.共轭复数的辐角是相反的，即如果z=r(cosθ+i sinθ)，那么z的共轭复数为ρ(-cosθ+i -sinθ)。
这个性质说明，在计算复数的乘法和除法时，我们可以使用共轭复数的性质来简化计算。
5.乘法的辐角满足交换律和结合律，即ab=ba和(ab)c=a(bc)。
这些性质在复数运算中非常重要，因为它们可以帮助我们简化复杂的运算过程。
6.除法的辐角满足倒数和共轭复数的性质，即z/a=(z×a)/a²和z/a=(z×a)/a ²。
复数和幅角的转化
复数和幅角的转化
复数和幅角的转化的过程如下：
设z=a+bi（(a、b∈R)），那么tanθ=b，a、θ为幅角。
1.当、a不等于0时，a+ib的幅角就是arctan、b、a。
2.当a=0时，ib的角是90°，-ib的角是-90°，b是大于0的。
1、复数的辐角在复变函数中，自变量z可以写成：z=、r*(cos θ、+、i、sinθ)、r是z的模，即：r、=|z|；θ是z的辐角。
在0到2π间的辐角成为辐角主值，记作：arg(z)。
2、辐角主值任意一个复数z=a+bi(a、b∈R)都与复平面内以原点O为始点,复数z在复平面内的对应点Z为终点的向量一一对应。
3、复数的辐角是以x轴的正半轴为始边，向量OZ所在的射线(起点是O)为终边的角θ。
任意一个不为零的复数z=a+bi的辐角有无限多个值，且这些值之间相差2π的整数倍。
把适合于0≦θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argz。
辐角的主值是唯一的，且有Arg(z)=arg(z)+2kπ。
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求复数的辐角、辐角主值
知识要点：
一、基础知识
1）复数的三角形式
①定义：复数z=a+bi （a,b∈R）表示成r （cosθ+ i sinθ）的形式叫复数z的三角形式。
即z=r（cosθ+ i sinθ）
其中z r
=θ为复数z的辐角。
②非零复数z辐角θ的多值性。
为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角
因此复数z的辐角是θ+2kπ（k∈z）
③辐角主值
表示法；用arg z 表示复数z的辐角主值。
定义：适合[0，2π）的角θ叫辐角主值 02≤<arg z π
唯一性：复数z 的辐角主值是确定的，唯一的。
④不等于零的复数的模z r =是唯一的。
⑤z =0时，其辐角是任意的。
⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。
（求法）
这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘
法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。
因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。
辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。
2）复数的向量表示
在复平面内与复数z 1、z 2对应的点分别为z 1、z 2（如图）
何量oz z 11→
对应于
何量oz z 22→
对应于
何量z z z z z 1221→
-=对应于
与复数z 2－z 1对应的向量为oz →
显然oz ∥z 1z 2
则arg z 1=∠xoz 1=θ1
arg z 2=∠xoz 2=θ2
arg z （z 2－z 1）=arg z=∠xoz=θ
3）复数运算的几何意义
主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化
如z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）
①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]
如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→
显然积对应的辐角是θ1+θ2
< 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→
逆时针旋转
θ2角模变为oz 1→
的r 2倍所得向量便是
积z 1·z 2=z 的向量oz →。
< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→
顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。
②除法 '=÷=
=-+-z z z z z r r i 12121
2
1212[cos()sin()]θθθθ （其中 z 2≠0） 除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下：
< 1 >θθ210>→
时顺时针旋转角２oz 。
< 2 >θθ２２时逆时针旋转角<→
01oz 。
二、基本方法
求复数的辐角、辐角主值主要介绍以下方法：1）化复数为三角形式
如求复数１
２（）的辐角，辐角主值cos sin
ππ
44
-i
１２（）＝
１
２
［（－
４
）＋（－
４
）］cos sin cos sin
ππππ
44
-i i
这样化成三角式∴复数的辐角是２kππ
-
4（k z
∈）
辐角主值为7
4
π
∵这个复数对应的点在复平面内第四象限，也可以化三角
式为1
2
7
4
7
4（）cos sin
ππ
+i
2）直接求辐角及主值
主要是使用复数代数式、三角式的互化：
若z=a+bi （a,b∈R）
则r a b =+22辐角为θ则t b
a
g θ=，θ依点z （a,b ）所在象限确定。
如上例z i i =-=
-12
4
4
2424
（）cos sin ππ
设辐角为θ则tg θ=－1
∵ 点z （
2424,-）在第四象限 ∴ tg θ=tg 74
π
θπ
π=
+∈74
2k k z （） 而arg z =
74
π 3）数形结合
主要是复数运算的几何意义得到的解法。