浙江大学微积分一习题解答 第零,一,二章(秋冬)
浙江大学-2014学年秋冬学期-微积分i期末试卷
浙江大学2013 — 2014学年 秋冬 学期《微积分I 》课程期末考试试卷课程号: 061B0170 ,开课院系: 理学院 数学系 考试形式:闭卷,允许带 笔 入场考试日期: 年 月 日,考试时间: 120 分钟.第1~9,14题,每题均为6分;第10~13题,每题均为10分。
解题时写出必要的解答过程。
1. 设()y y x =是由方程2tan()x y x y +=-所确定,且(0)0y =,求(0)(0).y y ''':和2. 设函数()y y x =是由参数方程20202d cos d t s txe sy s s-⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定,求:22d .d t y x3. 求极限:20cos 2lim .x xx→4. 求极限:101lim .xxx e x →⎛⎫-⎪⎝⎭5. 求极限:22011lim .sin x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭6. 求积分:21ln(1)d .x x x+∞+⎰7. 求积分:312221(2)(1)d .x x x -+-⎰8. 证明:当0x ≤<+∞时,arctan3ln(14)x x ≤+,当且仅当0x =时等号成立。
9.求幂级数220(1)4(21)(22)n nn n x n n +∞+=-++∑的收敛半径、收敛域,并计算其和函数。
10.设常数0a >,31()3f x ax x =-,试求()f x 在1[0]a,的最大值和最小值。
11.求曲线22y x =+与直线y x =所围区域绕直线2x =旋转一周的体积。
12.证明如下“”型的洛必达(L ‘Hosptial )法则: 设(1)0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==;(2)()()f x g x 、在去心邻域0()U x 內可导,且()0.g x '≠(3)0()lim ()x x f x A g x →'='(或∞)。
微积分1答案
0
xde x 2 lim
x
x 2 e x dx x 0 x e
= 2 lim e
x
22
! 解法 2:原式= 3 2 2
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2
。
1 x , 且 f 0 2 ,则 lim f ( x) 2. 设 f (0) lim 2 。 x 0 x0 sin x x 1 2 3. 设 f ( x)dx x ln x C ,则 f x 在区间 1 0 (0,1) 内单调增 , 2 x 2 sin
1 x sin x 2 解:原式= lim =1 x0 x2 2
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2
y2
dy = dy e y dx
0 0
2
0
ye y dy
2
=
1 y2 e 2
2 0
1 (1 e 4 ) 2
微积分1试卷(10年)浙江大学
y (10 ) (u v) (10 ) u (10 ) x 10 u ( 9) 1 x
2 3 2 [ x x o( x 2 )] [ x x o( x 3 )] x o( x 2 ) 3 2 6 解 2:原式 lim 3 lim 2 2 2 x 0 x 0 1 x 2 x 3
n 1
13、设 f ( x) 在 (,) 上存在二阶导数, f (0) 0, f ( x) 0, 证明:(1) f ( x) 至多有两 个零点,至少有一个零点;(2) 若 f ( x) 的确有两个零点,则此两零点必反号(注: f ( x) 的零 点就是方程 f ( x) 0 的根).
S (n ) S ( x) S ((n 1) ) 2n S ( x) 2(n 1) , , 即 (n 1) x n x x x 2n 2 2(n 1) 2 S ( x) 2 , lim , 令 x , 则由夹逼准则, lim 而 lim . n ( n 1) x n n x
1 0 1 1
7、
x sin t 10
8、 | u n |
2 0
3 5 1 sin 2 t cos 2 t dt 10 2 ( sin 2 t sin 4 t ) dt 10 (1 ) . 0 4 8 2 2
1 1 ~ ( ), 故级数 | un | 发散. n (1 a n ) n n n 1
《微积分 I》期末试卷(2010-2011 学年秋冬学期)
浙江大学 2010–2011 学年秋冬学期 《 微积分(I)》课程期末考试试卷
1 至 9 题及 14 题每题 6 分,10 至 13 题每题 10 分. 1、求曲线 ln( y x) cos( x y ) x 上点 x 0 处的切线方程.
浙江大学微积分复习资料
I = lim (x2 + 2x + sin x) - (x + 2)2 = lim
-2x + sin x + 4
x®+¥ x2 + 2x + sin x + (x + 2) x®+¥ x2 + 2x + sin x + (x + 2)
= lim
-2 + x-1 sin x + 4x-1
= -1.
x®+¥ 1 + 2x-1 + x-2 sin x + (1 + 2x-1)
x
= 1.
x®0
x®0
x2
x®0 2x(ex - x) x®0 2x(ex - x) 2
1
1
因此,lim (ex - x) x2 = e2 .
x®0
6、 求:lim sin x - tan x . x®0 tan x(ex - 1) ln(1 - x)
I
=
lim
x®0
tan
x(cos -x3
x
- 1)
若为高阶无穷小量,可考虑用 Taylor 展开,不过在应用Taylor 展开时,要求 对有关展开式比较熟悉;否则还是“慎用”.
常见的等价无穷小量:
· 当x ® 0 时,常见的等价无穷小量: (1)sin x ~ x ; (2) tan x ~ x ; (3)ln(1+ x) ~ x ; (4) ex -1 ~ x ; (5) arctan x ~ x ;(6) arcsin x ~ x ; (7) 1 - cos x ~ x2 ;(8) (1 + x)a -1 ~ a x.
(完整word版)《微积分》各章习题及详细答案
第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。
3、0→x 时,x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[,则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数,则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时,1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小,则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、____________22lim22=--++∞→x x n 。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数,)(x h 是],[l l -上的奇函数,则 中所给的函数必为奇函数。
(A))()(x g x f +;(B))()(x h x f +;(C ))]()()[(x h x g x f +;(D ))()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有 。
(A)α是比β高阶的无穷小; (B)α是比β低阶的无穷小; (C )α与β是同阶无穷小; (D )βα~。
浙江大学历年微积分(1)试卷解答-极限与连续
常见的等价无穷小量:
• 当x → 0 时,常见的等价无穷小量: (1)sin x ∼ x ; (2) tan x ∼ x ; (3)ln(1 + x) ∼ x ; (4) e x − 1 ∼ x ; x2 ; (8) (1 + x)α − 1 ∼ α x. 2
(5) 1 − cos x ∼
= lim
4−
u →+∞
1
9、 求: lim(cos x) sin x .
x →0
2
I = lim (1 + (cos x − 1) ) cos x −1
x →0
1
⋅
cos x −1 sin 2 x
= e 2.
−
1
1 − x2 cos x − 1 1 其中: lim = lim 22 = − . 2 x →0 x →0 sin x 2
3
浙江大学微积分(1)历年试题分类解答——极限与连续
6、 求: lim
x →0
ln(1 + x) − sin x
3
1 − x2 − 1
.
1 − cos x ln(1 + x) − sin x + 1 x = −3lim 【方法一】:I = lim x→0 x→0 1 2x − x2 3 1 − + sin x 3 (1 + x) 2 = −3lim = . x →0 2 2 1 x3 [ x − x 2 + o( x 2 )] − [ x − + o( x 3 )] 3 2 6 【方法二】:I = lim = . x→0 1 2 − x2 3
【方法二】:记 y = (e − x) ,则: lim ln y = lim
《微积分》上册部分课后习题答案
微积分上册 一元函数微积分与无穷级数第2章 极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n ). 证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2.若a x n n =∞→lim ,证明||||lim a x n n =∞→,并举反例说明反之不一定成立.证明: a x n n =∞→lim ,由定义有:N ∃>∀,0ε,当N n >时恒有ε<-||a x n又 ε<-≤-||||||a x a x n n对上述同样的ε和N ,当N n >时,都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞→反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x nn显然 1||lim =∞→n n x ,但n n x ∞→lim 不存在.2.2 函数的极限1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等.证: 必要性. 若()A x f x x =→0lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0lim ; 同时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0lim .充分性. 若()A x f x x =+→0lim ,()A x f x x =-→0lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取{}21,m in δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0lim .2.写出下列极限的精确定义:(1)A x f x x =+→)(lim 0,(2)A x f x =-∞→)(lim ,(3)+∞=+→)(lim 0x f x x ,(4)-∞=+∞→)(lim x f x ,(5)A x f x =+∞→)(lim .解:(1)设R x U f →)(:0是一个函数,如果存在一个常数R A ∈,满足关系:0,0>∃>∀δε,使得当δ<-<00x x 时,恒有ε<-|)(|A x f ,则称A 是)(x f 当+→0x x 时的极限,记作A x f x x =+→)(lim 0或 )()(0+→=x x A x f . (2)设R f D f →)(:是一函数,其中0,),,()(>>--∞⊃αααR f D .若存在常数R A ∈,满足关系:0)(,0>∈∃>∀R X ε,使得当X x -<时,恒有ε<-|)(|A x f 成立,则称A 是)(x f 当-∞→x 时的极限,记作:A x f x =-∞→)(lim 或 A x f =)()(-∞→x .(3)设R x U f →)(:0是任一函数,若0>∀M ,0>∃δ,使得当δ<-<00x x 时,恒有M x f >)(,则称当+→0x x 时)(x f 的极限为正无穷大,记作+∞=+→)(lim 0x f x x 或 +∞=)(x f )(0+→x x . (4)设R f D f →)(:是一函数,其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(,若存在常数R A ∈,满足关系:0>∀M ,0)(>∈∃R X ,使得当X x >时,恒有M x f -<)(则称当+∞→x 时)(x f 的极限为负无穷大,记作:-∞=+∞→)(lim x f x 或 -∞=)(x f )(+∞→x .(5)设R f D f →)(:是一函数,其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(,若存在常数R A ∈,满足关系:0,0>∃>∀X ε,使得当X x >时,恒有ε<-|)(|A x f 成立,则称A是)(x f 当+∞→x 时的极限,记作:A x f x =+∞→)(lim 或 A x f =)()(+∞→x .2.3 极限的运算法则1.求∑=∞→+⋯++Nn N n 1211lim. 解. ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++111212211211n n n n n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n Nn 21112lim 211lim1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N nN Nn N 2.求xe e xxx 1arctan11lim110-+→. 解. +∞=+→x x e 10lim , 0lim 10=-→xx e,,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx xxx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x x x 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx3.设)(lim 1x f x →存在,)(lim 2)(12x f x x x f x →+=,求)(x f . 解:设 )(lim 1x f x →=A ,则A x x x f ⋅+=2)(2再求极限:A A A x x x f x x =+=⋅+=→→21)2(lim )(lim 211⇒ 1-=A∴ x x xA x x f 22)(22-=+=.4.确定a ,b ,c ,使 0)1(3)1()1(lim 2221=-+-+-+-→x x c x b x a x 成立.解:依题意,所给函数极限存在且 0)1(lim 21=-→x x∴ 0]3)1()1([lim 221=+-+-+-→x c x b x a x ⇒ 2=c∴ 上式左边=])32)(1(11[lim ))1(321(lim 21221++-+--+=-+-+-+→→x x x x b a x x x b a x x])32)(1(1)32([lim 221++---+++=→x x x x b a x同理有 0]1)32([lim 21=--++→x x b x ⇒ 21=b ∴ 163)23)(1(8)1(3lim )32)(1(1)32(21lim221221=++---=++---++-=→→x x x x x x xx a x x 故 2,21,163===c b a 为所求.2.4 极限存在准则1. 设1x =10,n n x x +=+61,( ,2,1=n ).试证数列{n x }的极限存在,并求此极限. 证: 由101=x , 4612=+=x x , 知21x x >. 假设1+>k k x x , 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x . 由数学归纳法知, 对一切正整数n , 有1+>n n x x ,即数列{n x }单调减少. 又显然, () ,2,10=>n x n , 即{n x }有界. 故n n x ∞→lim 存在.令a x n n =∞→lim , 对n n x x +=+61两边取极限得a a +=6, 从而有062=--a a ,,3=∴a 或2-=a , 但0,0≥∴>a x n , 故3lim =∞→n n x2.证明数列 nn n x x x x ++=<<+3)1(3,3011收敛,并求其极限.证明:利用准则II ,单调有界必有极限来证明.∴301<<x ,由递推公式33312131213213)1(30111112=++<++=++=++=<x x x x x x∴ 302<<x 同理可证:30<<n x 有界又 03)3)(3(333)1(311112111112>++-=+-=-++=-x x x x x x x x x x∴ 12x x > 同理 23x x > ,… ,1->n n x x ∴数列 }{n x 单调递增,由准则II n n x ∞→lim 存在,设为A ,由递推公式有:AA A ++=3)1(3 ⇒ 3±=A (舍去负数)∴ 3lim =∞→n n x .3.设}{n x 为一单调增加的数列,若它有一个子列收敛于a ,证明a x n n =∞→lim .证明:设}{k n x 为}{n x 的一子列,则}{k n x 也为一单调增加的数列,且a x k k n n =∞→lim对于1=ε,N ∃,当N n >时有1||<-a x k n 从而||1||||||||a a a x a a x x k k k n n n +<+-≤+-=取|}|1|,|,|,max {|1a x x M N n n += ,对一切k n 都有 M x k n ≤|| 有界.由子列有界,且原数列}{n x 又为一单调增加的数列,所以,对一切n 有M x n ≤||有界,由准则II ,数列}{n x 极限存在且a x n n =∞→lim .2.5 两个重要极限1. 求]cos 1[cos lim n n n -++∞→.解: 原式 =21sin 21sin2lim nn n n n -+++-+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞→n n n n n n nn nn nn n 1110212121sin21sin2lim 2. 求)1sin(lim 2++∞→n n π.解. 原式=()()n nn n n nn n -+-=-+++∞→+∞→1sin 1lim )1sin(lim 22ππππ()()()()0111sin 1lim 222=-+⋅-+-+-=+∞→n nn n nnnn πππ3. 求x x xx )1cos 1(sinlim +∞→. 解. 原式=()[]()e t t t tttt tt xt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=→→=22sin 2sin 10212012sin 1lim cos sin lim 令4. 设 ⎩⎨⎧+-=32)cos 1(2)(x x x x f 00≥<x x 求 20)(lim x x f x →. 解: 1lim )(lim 232020=+=++→→x x x x x f x x ,1)cos 1(2lim )(lim 2020=-=--→→x x x x f x x ∴ 1)(lim2=→xx f x .2.6 函数的连续性1. 研究函数()[]x x x g -=的连续性,并指出间断点类型. 解. n x =,Z n ∈ (整数集)为第一类 (跳跃) 间断点.2. 证明方程)0(03>=++p q px x 有且只有一个实根.证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得.3.设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ,求)(x f 的间断点,并说明间断点的所属类型. 解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e,0lim 111=-→-x x e, ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1110--→→==++e ex f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.4.讨论nx nxn e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性.解. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=∞→0,0,00,1lim)(22x x x x x e e x x x f nxnxn , 因此)(x f 在()()+∞∞-,0,0,内连续, 又()()00lim 0==→f x f x , ()x f ∴在()+∞∞-,上连续.5.设函数),()(+∞-∞在x f 内连续,且0)(lim=∞→xx f x ,证明至少存在一点ξ,使得0)(=+ξξf .证:令x x f x F +=)()(,则01]1)([lim )(lim>=+=∞→∞→x x f x x F x x ,从而0)(>xx F .由极限保号性定理可得,存在01>x 使0)(1>x F ;存在02<x 使0)(2<x F .)(x F 在],[12x x 上满足零点定理的条件,所以至少存在一点ξ使得0)(=ξF ,即0)(=+ξξf .6.讨论函数nnx x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性,若有间断点,判别其类型.解: ⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 1||1||1||>=<x x x ,显然 1±=x 是第一类跳跃间断点,除此之外均为连续区间.7.证明:方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根,且不超过b a +. 证明:设b x a x x f --=sin )(,考虑区间],0[b a +0)0(<-=b f ,0))sin(1()(≥+-=+b a a b a f ,当0))sin(1()(=+-=+b a a b a f 时,b a x +=是方程的根;当0))sin(1()(>+-=+b a a b a f 时,由零点定理,至少),0(b a +∈∃ξ使0)(=ξf ,即 0sin =--b a ξξ成立,故原方程至少有一个正根且不超过b a +.2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较1. 当0→x 时,下面等式成立吗?(1))()(32x o x o x =⋅;(2))()(2x o xx o =;(3) )()(2x o x o =. 解. (1)()()()002232→→=⋅x xx o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x (2) ()()()0)(,00)()(2222→=∴→→=x x o x x o x x x o xxx o(3) ()2xx o不一定趋于零, )()(2x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2. 当∞→x 时,若)11(12+=++x o c bx ax ,则求常数c b a ,,.解. 因为当∞→x 时,若)11(12+=++x o c bx ax , 所以01lim 111lim 22=+++=++++∞→+∞→c bx ax x x c bx ax x x , 故c b a ,,0≠任意.3.写出0→x 时,无穷小量3x x +的等价无穷小量.解: 11lim 1lim lim303630=+=+=+→→→x xx xxx x x x∴ 当0→x ,3x x +~6x第3章 导数与微分3.1 导数概念1. 设函数)(x f 在0x 处可导,求下列极限值. (1)hh x f h x f h )3()2(lim000--+→;(2)000)()(lim 0x x x xf x f x x x --→.解.(1) 原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅-+=→(2) 原式()[]()()()()00000000)(limx f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→2.设函数R f →+∞),0(:在1=x 处可导,且),0(,+∞∈∀y x 有)()()(y xf x yf xy f += 试证:函数f 在),0(+∞内可导,且)1()()(f xx f x f '+='. 解:令1==y x ,由()()()y xf x yf xy f +=有()()121f f =得()01=f .()+∞∈∀,0x ,()()()()()()()()()()xx f f x x f xx f x x f x x f x f x x x x xf x x f x x x f x x f x x f x f x x x x +'=+∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆111lim 11lim 1lim lim 0000 故()x f 在()+∞,0内处处可导,且()()()xx f f x f +'='1. 3.设()f x 在(,)-∞+∞内有意义,且(0)0f =,(0)1f '=, 又121221()()()()()f x x f x x f x x ϕϕ+=+,其中22()cos xx x x e ϕ-=+, 求()f x '.解: ()()()()()()()()x x f x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆+∆=∆-∆+='→∆→∆ϕϕ00lim lim()()()()()()()()()001lim 0lim 00ϕϕϕϕ'+'=∆-∆+∆-∆=→∆→∆x f x f xx x f x x f x f x x ()x e x x x 22cos -+==ϕ4.设函数0)(=x x f 在处可导,且21arctan lim )(0=-→x f x e x,求)0(f '.解:由已知,必有0]1[lim )(0=-→x f x e,从而0)(lim 0=→x f x ,而0)(=x x f 在连续,故0)0(=f .于是)0(1)0()(1lim )(lim 1arctan lim200)(0f xf x f x f x e x x x x f x '=-==-=→→→. 故21)0(='f .5.设)(x f 具有二阶导数,)(,sin )()2(lim )(2x dF t xx f t x f t x F t 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→.解: 令t h 1=,则)(2 sin )()2(lim)(0x f x hhxh x f h x f x F t '=⋅-+=→.从而)(2)(2)(x f x x f x F ''+'=',dx x f x x f dx x F x dF )]()([2)()(''+'='=.6.设f 是对任意实数y x ,满足方程 22)()()(xy y x y f x f x f +++= 的函数,又假设1)(lim=→xx f x ,求:(1))0(f ;(2))0(f '; (3))(x f '. 解:(1)依题意 R y x ∈∀,,等式 22)()()(xy y x y f x f y x f +++=+ 成立令0==y x 有 )0(2)0(f f = ⇒ 0)0(=f(2)又 1)(lim=→x x f x ,即 )0(10)0()(lim 0f x f x f x '==--→,∴ 1)0(='f(3)xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x f x x x x x f x f x ∆-∆⋅+∆⋅+∆+=→∆)()()()(lim 220 x x x x x x f x ∆∆⋅+∆⋅+∆=→∆220)()(lim ])([lim 20x x x xx f x ∆⋅++∆∆=→∆ ]1)0(22x x f +=+'=∴ 21)(x x f +='.7.设曲线)(x f y =在原点与x y sin =相切,试求极限 )2(lim 21nf nn ∞→. 解:依题意有 1)0()0(='='f y 且0)0(=f∴ 222)0()2(lim )2(lim 2121=⋅-⋅=⋅∞→∞→n nf n f n nf n n n .8.设函数)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(='≠f f ,证明1])0()1([lim =∞→nn f n f .证:n n n n f f n f f n f ])0()0()1(1[lim ])0()1([lim -+=∞→∞→.=10)0(11)0()01(lim )0()0()1(lim ===⋅-+-∞→∞→e ee f nf n f f f n f n n n .1.计算函数baxax xb ab y )()()(= (0,0>>b a )的导数.解. a xb bx a b a x xb a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+='-- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 2.引入中间变量,1)(2x x u +=计算1111ln 411arctan 21222-+++++=x x x y 的导数dx dy .解. 引入,1)(2x x u += 得11ln 41arctan 21-++=u u u y ,于是dxdudu dy dx dy ⋅=, 又 ()()4242422111111111141121x x x u u u u du dy +-=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++=,21xx dx du +=, 则()22242121121xx x x x x x dx dy ++-=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-= 3.设y y x +=2,232)(x x u +=,求dudy. 解. dudxdx dy du dy ⋅= , 又()()1223,12212++=+=x x x dx du y dy dx ,得121+=y dx dy , ()x x x du dx ++=21232, 则得()()xx x y du dy +++=2121232 4.已知 2arctan )(),2323(x x f x x f y ='+-=,求=x dx dy .解:22)23(12)2323arctan()2323()2323(+⋅+-='+-⋅+-'='x x x x x x x f y π43)23(12)2323arctan(02200=+⋅+-='=∴===x x x x x x y dxdy .1. 计算下列各函数的n 阶导数. (1) 6512-+=x x y ; (2) x e y xcos =. 解 (1)⎪⎭⎫⎝⎛+--=611171x x y ,()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴++1161117!1611171n n nn n n x x n x x y (2) ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''42cos 24sin 4cos 22πππx ex x e y xx由此推得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=4cos 2πn x eyxnn2. 设x x y 2sin 2=, 求()50y .解 ()()()()()()()()()()"+'+=248250249150250502sin 2sin 2sin x x C x x C x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2482sin 2249502492sin 2502502sin 24950250πππx x x x xx x x x x 2sin 212252cos 2502sin 24950250⋅+⋅+-= ()[]x x x x 2cos 1002sin 212252249+-=3. 试从y dy dx '=1, 0≠'y , 其中y 三阶可导, 导出()322y y dy x d '''-=, ()()52333y y y y dy x d '''''-''= 解 y dy dx '=1 ,()()322211y y y y y dy dx y dx d dyx d '''-='⋅'-''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∴ ()()()()()()52623333313y y y y y y y y y y y dy dx y y dx d dy x d '''''-''='⋅'''⋅'⋅''+''''-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-=∴ 4. 设()x f 满足()()0 312≠=⎪⎭⎫⎝⎛+x xx f x f , 求()()()()x f x f x f n ,,'.解 以x 1代x ,原方程为()x x f x f 321==⎪⎭⎫ ⎝⎛,由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 321 312,消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1,求得()x x x f 12-=,且得()212xx f +=',()()()()2!111≥-=++n x n x f n n n . 5.设()arcsin f x x =,试证明()f x 满足 (1)2(1)()()0x f x xf x '''--= (2) ,1,0,0)()()12()()1()(2)1()2(2==-+--++n x f n x xf n x f x n n n(3)求()(0)n f解 (1)()211x x f -=',()()()22221112211xx xx x x x f --=-⋅--='', ()()()012='-''-∴x f x x f x ,(2)上式两边对x 求n 阶导数得()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]x f n x xf x f n n x f x n x f x x f x x f x n n n n n nn⋅⋅+-⋅-⋅---+-='-''-=+++1221211021222即 ()()()()()()()()01212122=-+--++x f nx xf n x f xn n n 。
浙江大学2013-2014学年秋冬学期-微积分I期末试卷
《微积分Ⅰ》期末试卷(2013-2014学年秋冬学期)第 1 页 共 2 页浙江大学2013 — 2014学年 秋冬 学期《微积分I 》课程期末考试试卷课程号: 061B0170 ,开课院系: 理学院 数学系 考试形式:闭卷,允许带 笔 入场考试日期: 年 月 日,考试时间: 120 分钟.第1~9,14题,每题均为6分;第10~13题,每题均为10分。
解题时写出必要的解答过程。
1. 设()y y x =是由方程2tan()x y x y +=-所确定,且(0)0y =,求(0)(0).y y ''':和2. 设函数()y y x =是由参数方程20202d cos d t s tx e sy s s-⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定,求:22d .d t y x3. 求极限:20cos 2lim .x xx→ 4. 求极限:101lim .xxx e x →⎛⎫-⎪⎝⎭5. 求极限:22011lim .sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭ 6. 求积分:21ln(1)d .x x x +∞+⎰ 7. 求积分:312221(2)(1)d .x x x -+-⎰8. 证明:当0x ≤<+∞时,arctan3ln(14)x x ≤+,当且仅当0x =时等号成立。
9.求幂级数220(1)4(21)(22)n nn n x n n +∞+=-++∑的收敛半径、收敛域,并计算其和函数。
10.设常数0a >,31()3f x ax x =-,试求()f x 在1[0]a,的最大值和最小值。
《微积分Ⅰ》期末试卷(2013-2014学年秋冬学期)第 2 页 共 2 页11.求曲线22y x =+与直线y x =所围区域绕直线2x =旋转一周的体积。
12.证明如下“”型的洛必达(L ‘Hosptial )法则: 设(1)0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==;(2)()()f x g x 、在去心邻域0()U x 內可导,且()0.g x '≠(3)0()lim ()x x f x A g x →'='(或∞)。
微积分(一)_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
微积分(一)_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.设【图片】均为非负数列,且【图片】,则必有( )参考答案:极限不存在2.设函数【图片】,则【图片】在【图片】处的参考答案:左导数存在,右导数不存在3.设常数【图片】,函数【图片】在【图片】内零点个数为( )参考答案:24.设【图片】为【图片】内不恒为零的可导奇函数,则【图片】参考答案:一定是内的偶函数5.设【图片】,则使【图片】存在的最高阶数【图片】为( )参考答案:26.【图片】在【图片】连续,求常数a.参考答案:-27.当【图片】时,函数【图片】的极限()参考答案:不存在但也不为8.设【图片】是奇函数,除【图片】外处处连续,【图片】是其第一类间断点,则【图片】是( )参考答案:连续的偶函数9.设【图片】 , 则在点【图片】处参考答案:取得极大值10.设【图片】,则在点【图片】处函数【图片】( )参考答案:不连续11.函数【图片】的图形,在参考答案:是凹的12.设函数【图片】, 其中【图片】是有界函数,则【图片】在【图片】处参考答案:可导13.设函数【图片】,则在【图片】处参考答案:当且仅当时才可微14.设【图片】在【图片】处连续,则下列命题错误的是()。
参考答案:若存在,则存在15.若【图片】, 则方程【图片】参考答案:有唯一的实根16.设【图片】,则在【图片】处,有()成立。
参考答案:在处连续,但不可导17.函数【图片】不可导点的个数是( )参考答案:218.设【图片】在闭区间【图片】连续,则下列选项错误的是()。
参考答案:存在,使19.要使函数【图片】在【图片】处的导函数连续,则【图片】可取值\参考答案:320.当【图片】时,曲线【图片】( )参考答案:有且仅有水平渐近线21.曲线【图片】渐近线的条数为参考答案:322.设函数【图片】连续,且【图片】 ,则存在【图片】, 使得参考答案:对任意的, 有23.若函数【图片】有【图片】,则当【图片】时,该函数在【图片】处的微分【图片】是( )参考答案:与同阶的无穷小24.函数【图片】不可导点的个数为参考答案:225.设【图片】, 则参考答案:,但在处不连续26.设【图片】, 则【图片】是()参考答案:偶函数27.设【图片】,则在【图片】处,【图片】()。
浙江大学2020-2021学年秋冬学期期末模拟考试《微积分》试卷及答案解析
(
)
lim
x→0
f (x) ex2 sin x
+ x
x2
=1
1
求 f (x) 在 x = 0 处的一阶带皮亚诺型余项的泰勒公式。(8’)
五、已知对任意自然数
n,
有
un
>
0
且
lim
n→∞
1
npun − cos
π n
=
1
判断
∑ ∞ un
n=1
的
敛散性。(8’)
六、设函数 f (x) 在 [0, π] 上连续, 在 (0, π) 内可导, 且
论。(7’)
2
答题卡: 3
答题卡: 4
答题卡: 5
2020-2021 学年秋冬学期微积分期末模拟考试答案
命题、组织:丹青学业指导中心
一、 (1) 注意到 因此 利用 立即得到
(2) 利用
1 ≤ 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) ≤ 1 2n 2 · 4 · 6 · · · (2n)
∫π
∫π
f (x) cos x dx = f (x) sin x dx = 0
0
0
证明: 存在两个不同的 ξ1, ξ2 ∈ 0, π) , 使得 f (ξ1) = f (ξ2) = 0(8’)
七、求幂级数
∑ ∞ (−1)n
n
+
2 xn
的收敛域及和函数。(8’)
n+1
n=0
八、设 f (x) 在 [0,1] 上有二阶导数. 且 f (1) = 0. 方程 f (x) = 0 在 (0,1) 内
·
·
·
cos
1 2n
微积分1参考答案
微积分1参考答案微积分1参考答案微积分1是大学数学中的一门重要课程,对于理工科学生来说尤为重要。
在学习微积分1的过程中,我们会遇到各种各样的问题,需要通过练习来巩固所学知识。
为了帮助大家更好地理解和掌握微积分1的知识,我将提供一些常见问题的参考答案,希望能对大家有所帮助。
1. 求函数f(x) = x^2在区间[1,3]上的定积分。
答案:首先,我们需要求出函数f(x)在区间[1,3]上的原函数F(x)。
由于f(x) = x^2,我们可以得到F(x) = (1/3)x^3。
然后,根据定积分的定义,我们可以得到定积分的值为F(3) - F(1) = (1/3) * 3^3 - (1/3) * 1^3 = 8 - 1/3 = 7 2/3。
2. 求函数f(x) = 2x在区间[0,4]上的定积分。
答案:同样地,我们需要求出函数f(x)在区间[0,4]上的原函数F(x)。
由于f(x) =2x,我们可以得到F(x) = x^2。
然后,根据定积分的定义,我们可以得到定积分的值为F(4) - F(0) = 4^2 - 0^2 = 16。
3. 求函数f(x) = sin(x)在区间[0,π]上的定积分。
答案:函数f(x) = sin(x)在区间[0,π]上的定积分可以表示为∫[0,π] sin(x) dx。
由于sin(x)的原函数为-cos(x),我们可以得到定积分的值为-cos(π) - (-cos(0)) = 1- (-1) = 2。
4. 求函数f(x) = e^x在区间[0,1]上的定积分。
答案:函数f(x) = e^x在区间[0,1]上的定积分可以表示为∫[0,1] e^x dx。
由于e^x的原函数为e^x,我们可以得到定积分的值为e^1 - e^0 = e - 1。
5. 求函数f(x) = 1/x在区间[1,2]上的定积分。
答案:函数f(x) = 1/x在区间[1,2]上的定积分可以表示为∫[1,2] 1/x dx。
浙江大学2015-2016学年秋学期《微积分Ⅰ》期中考试模拟试卷及答案
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浙江大学2010-2011秋冬学期微积分I期末考试-2
微积分习题一一、填空题(每题3分,总计15分)。
1、]1sin 2)1cos([lim )(lim 200320021x x x x x cx c x x x x ++=+-∞→+∞→,则=c . 2、设)(x f 在0x x =处连续,且) ()(lim 00为常数A A x x x f x x =-→,则=')(0x f .3、已知b ax x x f ++=23)(在1+x 处有极值-2,则)(x f 的极大值为 .4、已知==+=')(,0)0(,ln 1)(ln x f f x x x f 则且 .5、若向量x ρ垂直于向量{}1,3,2-=a ρ与向量{}3,2,1-=b ρ,且与向量{}1,1,2-=c ρ的数量积等于-6,则向量=x ρ .二、单向选择填空题(每题3分,总计15分)1、 1、 设函数0)0(0)(]10[)(=''>'''f x f x f 且上,在,下列关系正确的是( ). A.)0()1()0()1(f f f f ->'>' B. )0()0()1()1(f f f f '>->'C. )0()1()0()1(f f f f '>'>-D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 2、 2、 下列广义积分收敛的是( ). A.⎰∞++121dx x x B. ⎰1021sin 1dx x xC. ⎰10ln xdxD. ⎰∞+>aa x dx的常数)0(323、 3、 已知0,1)(,)(=-='=x x dx dyx x f e f y 则= ( ).A. 1B. eC. 2D. 04、曲线)40(2cos 0π≤≤=⎰x dt t y x的弧长为( ).A. 1B. 2C. 21D. 12-5、函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,cos 1,2)(x x a x xx f π 处处连续,则 =a ( ). A. 2 B.-2 C. 1 D. –1三、计算题(每题6分,总计48分)。
浙江大学微积分一习题解答 第三,四章(秋冬)
2
∆ T≈ π
1 gl 0
l 0 0.000011∆W = 0.000011π
0
24.83 16 =0.8797× 10 −4 (秒)每天约慢 0.8797× 10 −4 ×24×3600=7.6(秒) 980
又冬季室温到-10
∆ T≈ π
C 时 ∆W =-30,周期每秒约快
24.83 30 =-0.1648× 10 −3 (秒). 980
π (sin ax )' = a sin(ax + ) 2
π (sin ax )' ' = a 2 sin(ax + 2 ⋅ ) 2
π (sin ax ) ( n ) = a n sin(ax + n ⋅ ) 2
故
y (n ) =
π π π 1 1 1 1 1 1 (sin 2 x ) ( n ) + (sin 4 x ) ( n ) − (sin 6 x ) ( n ) = 2 n sin( 2x + n ) + 4 n sin(4 x + n ) − 6 n sin(6 x + n ) # 4 4 2 4 4 2 4 4 2
~~ calculus I chap 03-- 04 ~~ 第三章 导数与微分 题 5(5) (p101) 【1】 『解』 f(x)在 x 0 可导,试讨论|f(x)|在 x 0 的可导性 只需考虑
x →x 0
lim
| f (x) | − | f (x 0 ) | 。 x − x0
我们希望去掉绝对值。故分情况讨论
以此类推
π y''' (− 2 ) 3 [e − x sin( x − 3 ⋅ )] 4 π y ( n ) = (− 2 ) n [e − x sin( x − n ⋅ )] # 4
《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时,x x sin tan -就是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域就是]1,0[,则)(ln x f 的定义域就是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 就是非零常数,则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时,1)1(312-+ax 与1cos -x 就是等价无穷小,则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域就是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 就是],[l l -上的偶函数,)(x h 就是],[l l -上的奇函数,则 中所给的函数必为奇函数。
(A))()(x g x f +;(B))()(x h x f +;(C))]()()[(x h x g x f +;(D))()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有 。
(A)α就是比β高阶的无穷小; (B)α就是比β低阶的无穷小; (C)α与β就是同阶无穷小; (D)βα~。
《微积分I》第1章答案
《微积分I》第1章答案《一元函数微积分》习题1—11.确定下列函数的定义域:(1)y1某29;2解:要使函数有意义,则:某90即某3或某3.所以函数定义域:(,3)(3,).(2)ylogaarcin某;解:要使函数有意义,则arcin某0,即0某1.所以函数定义域:(0,1].(3)y11某2;某12解:1某0且某10,即1某1且某1.所以函数定义域:(-1,1].(4)y31loga(2某3);某233.所以函数定义域:(,2)(2,).22解:某20且2某30,即某2且某(5)yarcco解:1某1loga(4某2);2某11且4某20,则1某3且2某2。
所以函数定义域:[1,2)21(6)y.in某解:in某0,则某k,kZ.(其中是Z整数集),函数定义域:(,)\\Z.1in,某022.求函数y的定义域和值域,并求f和f(0).某某00解:定义域:(,).当某0时,11(,)\\{0},故1in1.所以值域:[-1,1].某某2f()in1,f(0)0.23.下列各题中,函数f(某)和g(某)是否相同,为什么(1)f(某)某,g(某)解:不同因为g(某)某2;某2|某|,即g(某)的值域是全体非负实数,而f(某)的值域是全体实数.2(2)f(某)co某,g(某)12in解:相同某;22因为f(某)和g(某)的定义域均为实数R,值域为[-1,1],且g(某)12in某co某f(某)2某21,g(某)某1;(3)f(某)某1解:不同某21某1(某1).两函数的定义域不同.因为f(某)某1(4)f(某)解:相同因为f(某)值恒等于1.4.设f(某)in某,证明:f(某某)f(某)2in某,g(某)某0.某某1(某0),g(某)某01(某0)定义域均为非零实数,在定义域内函数某某某co(某).22某某co(某).22证明:由三角函数知:f(某某)f(某)in(某某)in 某2in25.设f(某)a某b某5且f(某1)f(某)8某3,试确定a,b的值.2解:因为f(某)a某b某5故f(某1)a(某1)b(某1)5a某(2ab)某(ab5)由题设f(某1)f(某)2a 某a58某3所以有:2a8且ab3得:a4,b1.6.下列函数哪些是偶函数哪些是奇函数哪些既非奇函数又非偶函数(1)y某(1某);22222解:定义域:(,)f(某)(某)2[1(某)2]某2(1某2)f(某)所以函数是偶函数.(2)y3某2某3;解:定义域:(,)f(某)3(某)2(某)33某2某3,f(某)f(某)且f(某)f(某).所以函数既非奇函数又非偶函数.1某2(3)y;21某解:定义域:(,)1(某)21某2f(某)f(某)221(某)1某所以函数是偶函数.(4)y某(某1)(某1)解:定义域:(,)f(某)某(某1)(某1)某3某,f(某)(某)3(某)某3某f(某).所以函数是奇函数.(5)yin某co某1;解:定义域:(,)f(某)in(某)co(某)1in某co某1,则f(某)f(某)且f(某)f(某)所以函数既非奇函数又非偶函数.a某a某(6)y.2解:定义域:(,)a某a某f(某)f(某)2所以函数是偶函数.37.设f(某)为定义在(,)上的任意函数,证明:(1)F1(某)f(某)f(某)为偶函数;(2)F2(某)f(某)f(某)为奇函数.证明:由题设f(某)为定义在(,)的函数,则F1(某),F2(某)的定义域也为(,)(1)F1(某)f(某)f(某)F1(某)f(某)f(某)F1(某),.故F1(某)是偶函数.(2)F2(某)f(某)f(某)F2(某)f(某)f(某)F2(某),.故F2(某)为奇函数.8.证明:定义在(,)上的任意函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和.证明:设f(某)是定义在(,)上的任意函数.由7题知F1(某)f(某)f(某)为偶函数,F2(某)f(某)f(某)为奇函数.且f(某)故命题成立.9.设f(某)为定义在(L,L)上的奇函数,若f(某)在(0,L)上单增,证明:f(某)在(L,0)上也单增.证明:由题设知对于任意某(L,L)有:f(某)f(某)不防设任意的某1,某2满足0某1某2L,则L某2某10.11F1(某)F2(某).22f(某)在(0,L)上单增,则f(某1)f(某2)即f(某1)f(某2)f(某1)f(某2)所以f(某)在(L,0)上也单增.10.下列各函数中哪些是周期函数对于周期函数,指出其周期:(1)yco(某2);解:co(某22)co(某2),函数是周期函数且周期T2.(2)yco4某;4解:co4(某2)co(4某2)co4某,函数是周期函数且周期T2.(3)y1in某;解:1in某1in(某2)1in(某2),函数是周期函数且周期T2.(4)y某co 某;解:非周期函数(5)yin2某;解:in某2111(1co2某)[1co(2某2)][1co2(某)],函数是周期函数222且周期T.(6)yin3某tan某解:in3某in(3某2)in3(某2),tan某tan(某),故原函数的周期为两函数32in3某,tan某的周期和最小公倍数.所以周期为T2.311.下列各组函数中哪些不构成复合函数把能构成复合函数的写,成复合函数,并指出定义域.3(1)y某,某int;3解:构成复合函数yint,定义域:(,).u(2)ya,u某;22解:构成复合函数ya某,定义域:(,).(3)ylogau,u3某2;解:构成复合函数yloga(2某22),定义域:(,).(4)yu,uin某2;解:不构成复合函数yu要求u0,但是uin某2的值域:(3,1).(5)yu,u 某;解:构成复合函数y232某3,定义域:[0,).(6)ylogau,u某2.5解:构成复合函数yloga(某22),定义域:(,2)(2,).12.下列函数是由哪些简单函数复合而成的2(1)y3(1某)1;解:y3u,u(1某)21.(2)y3(ln某1);2解:y3u,uv,vln某1.2(3)yin3(3某1);解:yu3,uinv,v3某1.(4)y3logaco某.解:y3u,ulogav,vw,wco某.13.求下列函数的反函数:(1)y2in某;解:原函数的定义域:(,),值域:[2,2].反解:某in得反函数:yin22y.2某.2反函数的定义域:[2,2],值域:(,).(2)y1loga(某2);解:原函数的定义域:(2,),值域:(,).反解:某a得反函数:ya某1y12. 2反函数的定义域(,):,值域:(2,).2某(3)y某.2112某2某111某01.2111解:y某由于,则2某1212某12某16原函数的定义域:(,),值域:.(0,1)反解:2某yy,某log2.1y1y得反函数:ylog2某1某反函数的定义域:(0,1),值域:(,).14.某批发商店按照下列价格表整盒在批发销售某种盒装饮料:当购货量小于或等于20盒时,每盒2.50元;当购货量小于或等于50盒时,其超过20盒的饮料每盒2.30元;当购货量小于或等于100盒时,其超过50盒的饮料每盒2.00元;当购货量大于100时,其超过100盒的饮料每盒1.80元;设某是销售量,y是总价,试建立总价y和销售量某之间的函数关系式,并作出它的图形.解:由题知:当0某20时,y2.5某;当20某50时,y2.5202.3(某20)2.3某4;当50某100时,y2.5202.3(5020)2(某50)2某19;当某100时,y2191.8(某100)1.8某390某202.5某2.3某420某50y2某1950某100某1001.8某39图形(略)15.设某商品的市场供应函数QS(p)804p,其中Q为供应量,p为市场价格.商品的单位生产成本是1.5元,试建立总利润L与市场价格p的函数关系式.解:供应函数QS(p)804p则总利润L(p1.5)Q(p1.5)(804p)4p286p120.16.用p代表单价,某商品的需求函数为QD(p)700050p,当Q超过1000时成本函数为C2000025Q,试确定能达到损益平衡的价格(提示:当总收入=总成本时,便达到损益平衡).解:当Q1000时QD(p)700050p1000则价格p120.7达到损益平衡,则pQC即:p(700050p)2000025Q2000025(700050p)p2165p39000得p165107.822又因为价格p120,故p28.59答:当需求量超过1000时,达到损益平衡的价格是28.59.17.在半径为r的球内嵌入一个内接圆柱,试将圆柱的体积V表示为圆柱的高h的函数,并求此函数的定义域.h2h22解:设圆柱的半径为R,则满足Rr()r2422h21)hr2hh3.圆柱的体积:VRh(r4422定义域:(0,2r)18.已知华氏温度F与摄氏温度℃的线性关系,在101325帕(一个标准大气压)下,水的冰点温度不32F或0℃,水的沸点温度为212F或100℃.(1)写出华氏温度F与摄氏温度℃的函数关系;(2)画出该函数的图形;(3)摄氏20℃相当于华氏几度解:(1)由华氏温度F与摄氏温度℃的线性关系,设当摄氏温度为某℃时,华氏温度为yF,则有关系式ya某b其中a,b为常数.由题知: 32a0ba1.8212100abb32函数关系:y1.8某32(其中某的度量单位是℃,y的度量单位是F)(2)函数图形(略)(3)摄氏20℃时,y=1.820℃+32=68(F)习题1-22.(1)证明:0,要使11111,即nnn8只须取N=1,则当nN时,有11n因此lim(1n111)1。
16秋浙大《微积分(1)》在线作业
B. 仅有两个间断点x=±1,它们都是可去间断点
C. 仅有两个间断点x=±1,它们都是跳跃间断点
D. 以上都不对,其连续性与常数m,n有关。
正确答案:
24. x->x0时,a(x)和b(x)都是关于x-x0的n阶无穷小量,而a(x)+b(x)是关于x-x0的m阶无穷小量,则
A. 必有m=n
A.
B.
C.
D.
正确答案:
9. 试题如图
A.
B.
C.
D.
正确答案:
10. 试题如图
A.
B.
C.
D.
正确答案:
11. 若x->x0,lim f(x)=A,则必有()
A. lim[f(x)]=[A]
B. lim sgn f(x)=sgn A
C. 充分必要条件
D. 在一定条件下存在
正确答案:
14. 试题如图
A.
B.
C.
D.
正确答案:
15. 若x->x0,lim f(x)=A,则必有()
A. f(x)在x0的某个去心领域有界
B. f(x)在x0的任意去心领域有界
C. f(x)在x0的某个去心领域无界
D. f(x)在x0的任意去心领域无界
D.
x<sinx<tgx
正确答案:
25. 当x趋于1时,1/Inx-1/(x-1)的极限为()
A. -1/2
B. 1/2
C. 0
D. 1
正确答案:
浙大《微积分(1)》在线作业
二、判断题(共 25 道试题,共 50 分。)
浙江大学2006-2007学年微积分1期末参考答案
浙江大学2006-2007学年秋冬学期《微积分》期末考试试卷解答一、求导数或微分 (1)sin 4sin 4122d 14cos 4ln sin 46(arctan 2)d 14x x y x x x x x x x x-=⋅+⋅++. (2) 由 20d t s xe s -=⎰,得2d d t xe t -=,由20sin()d t y t s s =-⎰,令t s u -=,得220sin d sin d t ty u u u u =-=⎰⎰,得2d sin d y t t =,所以222d d sin ,d d t t y ye t e x x π==,2222222222(sin )d 2sin 2cos d t t t t t t e t y te t te t x e e--'+== 22222(sin cos )t te t t =+, 22d d t y x π=.(3) 由 210x y e x xy +---=及0x =,得0y =,对方程 210x yex xy +---= 两边取微分有(d d )2d (d d )0x y e x y x x y y x ++--+=,将0x =,0y =代入,得 0d d x y x ==.二、求积分 (4)解66x x =⎰⎰6x =⎰ (令33sin x t -=)2227(1sin )cos cos d t t t t ππ-=+⎰22012754cos d 54222t t πππ==⋅⋅=⎰.(5)解 令xe t =,2arctan d x xe x e ⎰=3arctan d t t t ⎰211arctan d 2t t =-⎰ 2221arctan 1[d ]2(1)t t t t t =--+⎰ 2221arctan 11[d d ]21t t t t t t =--++⎰⎰ 21arctan 1[arctan ]2t t C t t=-+++ 21arctan [arctan ]2x x xxe e e C e-=-+++. (6)解t =,1+∞⎰=202d 1t t +∞+⎰02arcta n t π+∞==. 三、求极限 (7) 解 3012cos lim[()1]3xx x x →+- 2cos ln()3301lim [1]xx x e x +→=-注2cos ln()32cos [1ln(),(0)]3xx xex x ++-→ 2012cos limln()3x x x →+= 201cos 1lim ln(1)3x x x →-=+ 注[cos 1cos 1ln(1),(0)33x x x --+→] 201cos 11lim ()36x x x →-==. (8) 解 11lim[]()()()()x af a x a f x f a →-'--()()()()lim()()(()())x af x f a f a x a f a x a f x f a →'---='--=()()lim()(()())()()()x af x f a f a f x f a f a f x x a →''-'''-+-2()()()lim ()(()())2(())()()x a f x f a f a x a f a f x f a f a f a f x x a→''-''-=='-'''+-.(9)解 由 112[1)1))]nn n u n n n =+++(((1, 取11ln ln(1)n n i i u n n==+∑, 则11100011lim ln lim ln(1)ln(1)d ln(1)d 2ln 211n n n n i i x u x x x x x n n x →∞→∞==+=+=+-=-+∑⎰⎰,所以 2ln 214lim n n u ee-→∞==. 四、(10)解:因为2620000arcsin d lim lim (1)d x x x tt t e tαβ→→=-⎰⎰ 注:由洛必达法则 2222331arcsin 3lim 1x x x x x e -→⋅=- 注:221,(0)x e x x -→ 22320231arcsin 1lim33x x x x x →==⋅, 所以,αβ与是同阶但不等价无穷小,则选 A .(11)解:(A ) 因为11111()nn n n n n n aa a a ∞∞∞++===+=+∑∑∑11212n n n n n n a a a a ∞∞∞====+=+∑∑∑,而1nn a∞=∑收敛,所以11()nn n aa ∞+=+∑必收敛,(B )因为222222222221122311211()n n n n n n n aa a a a a a a a a a ∞++++=-=-+-++-+-=∑,所以2211()n n n aa ∞+=-∑必收敛.(C )因为2212345221111()nn n n n n n aa a a a a a a a a ∞∞++==+=+++++++=-∑∑所以2211()nn n aa ∞+=+∑必收敛,(D )221234522112()(1)n n n n n n n n aa a a a a a a a ∞∞++==-=-+-++-+=-∑∑未必收敛,例如 1(1)n n n ∞=-∑收敛, 但221(1)nn n n a n ∞∞==-=∑∑发散,则结论不正确的是D ,本题选D(12)解:由1,0,()()()d ,0,x x e x f x F x f t t x x -⎧≤==⎨>⎩⎰,则 11121,0,()11,02x t x x t e dt e e x F x e dt e x x ----⎧=-≤⎪=⎨⎪=-+>⎩⎰⎰,即 112,0,()11,02x e e x F x e x x --⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩, 因为 12101lim ()lim(1)12x x F x e x e ++--→→=-+=-, 11lim ()lim()1x x x F x e e e ----→→=-=- 所以 ()F x 在0x =处连续.因为 2012(0)lim 0x x F x++∆→∆'==∆, 01(0)lim 1xx e F x-∆-∆→-'==∆,(0)(0)F F +-''≠所以,()F x 在0x =不可导,所以选C. (13)如图,在点(,0)b 处,左边0y ''>,右边0y ''<,而点(,0)b 处0y ''=,所以点(,0)b 为曲线的拐点; 同理,在点(0,)d 处,左边0y ''<,右边0y ''>,而点(0,)d 处0y ''=,所以点(0,)d 为曲线的拐点; 在点(,0)c 处,左边0y '<,右边0y '>,而点(,0)c 处0y '=,所以点x c =为函数的极小值点; 在点(,0)a 处,左边0y '>,右边0y '<,而点(,0)a 处0y '=,所以点x a =为函数的极大值点, 所以,曲线有二个拐点,一个极小值点,一个极大值点. 选(B )五、解:由22,1y ax y x⎧=⎪⎨=-⎪⎩求得交点)1a A a +(如图), 直线OA 的方程y x =. (I) 旋转体体积 ()Va 22240()d 1a x a x x aπ=-+⎰=25/2215(1)a a π⋅+, (II )53222552(1)(1)d ()22d 15(1)a a a a V a a a π+-+=⋅+ 27/2(4)15(1)a a a π-=+.在0a >处有唯一驻点4a =,当04a <<时d ()0d V a a >, 当4a >时,d ()0d V a a<, 故4a =为唯一极大值点,为最大值点.六、(15)解:由21()arctan ln(1)2f x x x x =-+ 21()arctan ,(),1f x x f x x'''==+展开之, 20()(1),(1,1)n n n f x x x ∞=''=-∈-∑,两边积分,得212100(1)(1)()(0),(1,1)2121n n n n n n f x f x x x n n ∞∞++==--''=+=∈-++∑∑,再次两边积分,得220(1)()(0)(21)(22)nn n f x f x n n ∞+=-=+++∑220(1),(1,1)(21)(22)nn n x x n n ∞+=-=∈-++∑. 右边级数在1x =±处收敛,左边函数在1x =±处连续,所以成立范围可扩大到闭区间[1,1]-.七、(16)证法1:由2()(4)(2)2x xf x x e x e =---+2(0)0,()(1)(1),2xx x f f x e x e '==---(0)0f '=2221()()44x x x xx f x e xe xe e ''=-=-.而当0x >时2114x e >>,所以当0x >时()0f x ''<, 于是知,当0x >时,()0f x '<,从而知,当0x >时,()0f x <. 证法2:由证法一,有 2211()(0)(0)()()022f x f f x f x f x ξξ''''''=++=< 证法3:由2()(1)(1)2xx x f x e x e '=---()1()2x x xx e x ξ='⎡⎤=--⎣⎦()02xe ξξ=-<,所以()0f x <.注:设()(1)x g x x e =-,在[,]2xx 上的拉格郎日中值定理,有()2(1)(1)1(),222xx x x x x x e x e x e x x ξξ='⎡⎤---=--<<⎣⎦ .。
浙大微分几何习题
量也是 N 即可, 其中 λ = const..
Hale Waihona Puke (2) 如果曲线 C : x = x(s) 和 C∗ : x∗ = x∗(s∗) 是 Bertrand 曲线, 它们的弧长
参数分别为
s 和 s∗.
则由第 7 题可知, cos θ
=
(1
−
λk)
ds d s∗
,
sin θ
=
λτ
ds d s∗
,
其
中 θ = const., λ 为非零常数. 令 µ = λ cot θ, 则 λk + µτ = 1.
k2N2
d s2 ds
=
±(−kT + τB).
(1.16)
因此 τ = 0. 反之, 如果 τ = 0, 由 (1.12) 可知 T ∥ N2. 所以 x2 − x1 = (C2 − C1)N2.
11. 设 C : x(s) 是弧长参数曲线, 它的 Frenet 标架为 {T(s), N(s), B(s)}. 以下曲 线
T′ N′ B′
= = =
−kT
kN −ckN
+ckB
引入参数
t(s)
=
∫s
0
k(σ)dσ 后, 上述方程组化为
dT
dt
=
dN
dt
=
dB
dt
=
−T
N −cN
+cB
(1.8)
3
于是有
d2N
dt2
=
−N − c2N =
−ω2N, 其中 ω =
√ 1 + c2.
于是有
N = cos ωta + sin ωtb,
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u n +1 un
= (1 + = (1 +
n n 1 1 n +1 1 n +1 ) (1 + ) − n = (1 + ) ( ) n +1 n n +1 n +1
1 −1 1 −1 n +1 1 n +1 1 n 1 ) (1 − ) = (1 − > (1 − ) ) ) n +1 (1 − ) (1 − n +1 n +1 n +1 n +1 ( n + 1) 2 ( n + 1) 2
f ( x1 + x 2 ) f ( x1 + x 2 ) f (x 2 ) f ( x1 ) ≤ , ≤ x1 x1 + x 2 x1 + x 2 x2
x 1 f ( x 1 + x 2 ) ≤ ( x 1 + x 2 ) f ( x 1 ) , x 2 f ( x 1 + x 2 ) ≤ ( x 1 + x 2 )f ( x 2 )
# 题 4(4) (p69) 【7】 『证』 用夹逼准则证明
1 + n 2 + ... + n n =1 n → +∞ n lim
1=
n 1 + n 2 + ... + n n n n n n < < = n n n n
故由夹逼准则,极限为 1。# 题 6(3) (p69) 【8】 『解』 可以。可用数列极限的定义来证。 若 a=0,则反之也成立。否则不成立。如数列 {( −1) n } #
=1 且
1 x
>G。故可取 x=
1 2[ G +1]π+ π 2
.
= 2[G + 1]π +
1 x
1 2
π
>G, sin
1 x
= 1 ,于是 1 sin 1 >G. x x
因此,按定义知 f(x) 在区间(0,1)上无界.
sin 1 |≤ (2).又|f(x)|=| 1 x x
≤
1 δ
.故 f(x)在[δ,1] (0<δ<1)上有界#
(n! ) 2 ≥ n n (n 为正整数)
((n + 1)! ) 2 = (n! ) 2 (n + 1) 2 ≥ n n (n + 1) n 。故只需证明 n n (n + 1) 2 ≥ (n + 1) n +1 。这只需证明
(1 + 1 ) n ≤n+1 n
下面介绍三种证法来验证(*) 『方法 1』 用平均值公式 (*)
n →+∞
lim u n = a 是否可以推出 lim | u n |=| a | ,反之?
n →+∞
3
题 8(1) (p69) ▲ 【9】 证明
1 ) n }单调增加 (a) 证明{ (1 + n
) n +1 }单调减少 (b) { (1 + 1 n
『证』 (a) 证法 1(直接比较)
1 n 记 un= (1 + n )
『方法 5』 要证 而 故结果成立。 备注 以下补充证明(*)
( n − k + 1) k ≥ 1 n
(n! )1 (n − 1) ⋅ 1 (n − 2) ⋅ 2 ⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅ n n n n
≥ 1
(*).
( n − k + 1) k ≥ 1 n
(k=1,2,…,n)
(n+1 个正数的几何平均≤算术平均),得
1 1 1
(1 + n ) + (1 + n ) + ⋅ ⋅ ⋅ + (1 + n ) + 1 1 )(1 + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ (1 + 1 ) ⋅ 1} ≤ {(1 + n n n n +1
4
即
1 n ≤ (1 + (1 + n )
1 ) n +1 n +1
n
1 a1
+ a1 + ... + a1
2
≤ n a 1a 2 ...a n .
n
取 a 1 = a 2 = ... = a n −1 = 1, a n = n + 1 代入得 『方法 2』 用二项定理。
n (n − 1) +
1 n +1
≤ n n + 1 此即(*)
(1 + 1 ) n =1+n n
n n −1 2 1 1 ) )(1 − )(1 − )(1 − (1 − n +1 n +1 n +1 n +1 (n + 1)!
1 1 1 1 2 1 1 2 n −1 (1 − ) + (1 − )(1 − ) +…+ (1 − )(1 − )(1 − ) > un 2! n +1 3! n +1 n +1 n! n +1 n +1 n +1
n n= (1 + b) =1+nb+ 2 n
n → +∞
lim
n
n =1
记 n n -1=b>0, 于是
2 n
n (n − 1) 2 n (n − 1) 2 2 2 , 于是 b< b >1+ b ,则 b < n 2 2
2 ε2
<ε,n>
.于是取 N=[
2 ε2
+1]即可。
n (n − 1) 2 n (n − 1) 2 2 b 2 +b-1<0, b >nb+ b ,则 2 2 n −1
相加即得结论。# 题 12(1) (p26) 【4】 『证』 (1) 只需证明,对任何 G>0, 有 x∈(0,1),使得|f(x)|>G. 事实上, 对以上 G>0,求 x 满足 1 sin 1 >G,这只要 sin x x 显然以上 x∈(0,1),
1 x 1 x
试证 f(x)= 1 sin 1 在区间(0,1)上无界;在[δ,1] (0<δ<1)上有界。 x x
3
3
= 2 x − 3y
于是反函数为
x=
1 3 ( y + 3y) 2
或改写为 y=
1 3 ( x + 3x ) # 2
第二章 极限论 题 3 (p69) ▲ 【6】 『证 1』 即证对任何ε>0, 有 N>0, 使得 n>N 时,| n n -1|<ε. n= (1 + b) n =1+nb+ 于是只要 『证 2』 即证对任何ε>0, 有 N>0, 使得 n>N 时,| n n -1|<ε 记 n n -1=b>0, 于是
故单调已证。顺便再证有上界。再次用平均值公式,得
n +1
此时 ( x 0 − δ, x 0 + δ) ⊂ (a , b) (2)若 x 0 − a ≥ b − x 0 ,记 δ = (b − x 0 ) / 2 。此时,同理可证仍有 ( x 0 − δ, x 0 + δ) ⊂ (a , b) # 题 7(3) (p11) 【2】 『证』 n=1 时显然。设 n 时成立。即 ( n! ) 2 ≥ n n 。下证 ((n + 1)! ) 2 ≥ (n + 1) n +1 。由于 利用数学归纳法证明
1 n (n − 1) 1 2 n (n − 1)(n − 2) 1 3 n (n − 1)(n − 2)...21 1 n + ( ) +…+ ( ) + ( ) n n 2 n! n 3 ! n
1 2 n −1 1 1 2 1 1 1 ) (1 − ) + (1 − )(1 − ) +…+ (1 − )(1 − )(1 − n n n 2! n n 3! n n!
于是 b< 于是只要 『证 3』 即证对任何ε>0, 有 N>0, 使得 n>N 时,| n n -1|<ε 即只要
n
2 2n − 1 − 1 − 1 + 2n − 1 − 1 + 2n − 1 2 < = = < (n>1) n −1 n −1 n −1 n 2n − 1 + 1
2 n
<ε,n>
4 ε2
> 1+1+
因此 { u n }单调增加。 顺便,
u n < 1+1+
1 1 1 1 1 1 + + ... + < 3 + + ... + <1+1+ 1⋅ 2 2 ⋅ 3 (n − 1)n 2! 3! n!
故{ u n }有上界。因此收敛。 证法 3(平均值公式) (见课本) 由平均值公式
n +1
(k=1,2,…,n)
(n − k + 1)k ≥ n
nk − k 2 + k − n ≥ 0
(n − k )(k − 1) ≥ 0 (k=1,2,…,n)
#
第一章 函数 题 10 (p26) 【3】 设 f(x)在 (0,+∞) 内有定义, x1,x2>0, 则 (1) 若 f(x)/x 单调减少,则 f(x1) + f(x2) ≤ f(x1+x2) (2) 若 f(x)/x 单调减少,则 f(x1) + f(x2) ≥ f(x1+x2) 『证明』 (1) 对 x1,x2>0 由 f(x)/x 单调减少, 知 于是