刚体和流体

θ ( rad) 角位移: ∆θ , dθ dθ −1 ( rad ⋅ s ) 方向右旋 ω= dt v
第三章 刚体力学基础
线速度与角速度之间的关系
r v v v dv d ω v v dr a= = ×r +ω× dt dt dt v 2 v = β reτ + ω ren
定轴转动中的基本关系式:
1. 刚体的总质量 (同分布M > m , JM > Jm). 2. 刚体质量分布 (同m, J中空>J实). 3. 转轴的位置.
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第三章 刚体力学基础
例题1: 求一质量为m, 长为 l 的均匀细棒的转动惯量. (1) 转轴通过棒的中心并与棒垂直. (2) 轴通过棒的一端并与棒垂直. 解: 在棒上取质量元,长为dx, 离轴 O 为 x .
v ri
v v v v ∑ ri × Fi = ∑ Δmi ri × ai
合外力矩:
v v ∑ Fi = ∑ Δmi ai
∆mi
v fi v Fi
v v v M z = ∑ ri × Fi
加速度:
v v v ai = aiτ + ain
v v v v v M z = ∑ ∆mi ri × aiτ + ∑ ∆mi ri × ain
v v v L=r× p
• 质点的角动量 v 设: t 时刻质点的位矢 r v v 质点的动量 p = mv 动量定义为:
z
第三章 刚体力学基础
v p
α
v 运动质点相对 于 参考 原 点 O的 角 L
v r
O
m
v v v v v 单位: Kg ·m2·s-1 L = r × p = r ×mv 角动量大小: L = rp sin α x
第三章 刚体力学基础
m0
v T m
v W
2mgt 由初始条件 v0 = 0 ,得 v = at = 2m + m0
1 a = Rβ J = m0 R 2 (3) 2 2mg 恒 矢 量 ,与 联立(1),(2),(3)解得: a = (2m + m0 ) 时间无关.
对m0:
TR = Jβ
(2)
第三章 刚体力学基础 例题4: 一半径为R, 质量为m的均匀圆盘平放在粗糙 的水平 面上. 若它的初始角速度为ω0, 绕中心O旋转, 问经过多长时 间圆盘才停止.(设摩擦系数为µ)
第三章 刚体力学基础
三．角动量定理及角动量守恒定律
• 角动量的引入 问 题 : 将一绕通过质心的固定轴转动的 圆盘视为一个质点系, 系统总动量为多少?
v v p总 = ∑mi vi = 0
v v v v
ω
系统有机械运动, 总动量却为零？ 结论: 对转动物体, 不宜使用动量来量度机械的运动量. 引入与动量对应的角量——角动量(动量矩). 即, 动量对参考点(或轴)求矩.
解:
dr r o
R
例题5: 一质量为m, 长为l的均质细杆, 转轴在O点, 距A端l/3. 今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动,求: (1)水平位置 的角速度和角加速度. (2)垂直位置时的角速度和角加速度. 解: 平行轴定理
第三章 刚体力学基础
J o = J c + md 2
转动惯量:
A O
2
(原点O在棒的左端点)
第三章 刚体力学基础
例题2: 一质量为m, 半径为R的均匀圆盘, 求通过盘中心并与 盘面垂直的轴的转动惯量. 解: dm = σdS = σ 2 π rdr
J = ∫ r dm = 2 πσ ∫ r dr
2
3
J = 2πσ ∫ r dr
3
R
R
r O
dr
πσ R 1 2 = = mR 2 2
C 质心
B
1 2 l 1 2 J o = ml + m = ml 12 6 9
(1) ωo = 0
M = Joβ
M mgl 6 3g β= = 2 = J o ml 9 2l
例题5: 一质量为m, 长为l的均质细杆, 转轴在O点, 距A端l/3. 今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动,求: (1)水平位置 的角速度和角加速度. (2)垂直位置时的角速度和角加速度.
dM = rdF = rµgdm m 2mrdr dm = ⋅ 2πr ⋅ dr = dF 2 2 d ω πR R −M = J 2 dt 2mµgr dr 2 1 dM = 2 dω − µ mgR = mR R2 3 2 dt 2 r 2 µ mgr dr t 0 3R 3R M = ∫0 dω dt = dω ∫0 dt = − ∫ω R2 0 4µ g 4µ g 2 3 Rω 0 = µ mgR ⇒ t= 3 4µ g
第三章 刚体力学基础
• 描述刚体转动的物理量 转动平面: 定轴转动刚体上各质点的运动面. 刚体定轴转动的特点: 1. 转动平面垂直于转轴. 2. 转动平面上各点均做圆周运动, 角量相同, 线量不同.
•
v 3. 定轴转动刚体上各点的角速度矢量 ω 的
方向均沿轴线. 角坐标: 角速度:
v ω
P
θ
v dω 角加速度: β = (rad ⋅ s −2 ) dt
第三章 刚体力学基础
dω 解: (2) M =J A C 质心 B dt θ O l 1 2 dω 1 2 dω mg cos θ = ml = ml ω 6 9 dt 9 dθ 3g ω dω = cosθ dθ 2l π ω 3 g 1 2 3g 3g π 2 2 ∫0 ω dω = ∫0 2l cos θ dθ 2 ω = 2l sin θ 0 = 2l 3g dω ω= β= =0 l dt
作用于质点的合力对参考点O的力矩, 等于质点对该点O 的角动量随时间的变化率.
v v v v dL M = ⇒ dL = M dt dt v v t2 v v v ∫ Mdt = L2 − L1 = Jω2 − Jω2
t1
第三章 刚体力学基础
∫
t2
t1
v Mdt , 称冲量矩.
质点的角动量定理: 对同一参考点O, 质点所受的冲量矩 等于质点角动量的增量. v v 若 M = 0，L = 恒矢量 质点的角动量守恒定律 质点所受对参考点O的合力矩为零时, 质点对该参考点O 的角动量为一恒矢量.
v v v 加速度: 合外力矩: M z = ∑ ri × Fi v v v v v M z = ∑ ∆mi ri × aiτ + ∑ ∆mi ri × ain
v第三章v刚体力学基础 v ai = aiτ + ain
v 2 v v v v v 其中: ri × ain = 0 ri × aiτ = ri aiτ sin 90°k = ri β k v v 2 M z = ∑ ∆mi ri β 转动惯量 J v v 转动定律: M z = Jβ
J = J 杆 + J 摆 锤 = J 杆 + ( J c + md 2 ) 1 2 1 2 2 = m1l + m2 R + m2 (l + R ) 3 2
第三章 刚体力学基础
挂 在 光滑钉子 上的 匀 质圆 环摆 动的转动 惯 量 ( 圆 环 质量为 m, 半 径为R):
J = J c + md 2 = mR + mR = 2mR
第三章 刚体力学基础
• 刚体定轴转动的角动量定理 刚体定轴转动的角动量
L=
2 = m r v ( m r ∑ i i i ∑ i i )ω i i
z ω
L = Jω
刚体定轴转动的角动量定理
O
v ri
mi
v vi
dL d ( Jω ) M = = dt dt
∫
t2
t1
v v v v v Mdt = L2 − L1 = Jω 2 − Jω 2
m 棒的线密度为: λ = l m dm = dx l
l
O
2 2
x dx
x
m dx dm对转轴的转动惯量为: J = ∫ x dm = ∫ x m x l l m 2 1 2 (1) 解为: J = ∫ dJ = ∫ l x dx = ml 2 − l 12 2
(2) 解为: J =
∫
l
0
m 2 1 2 x dx = ml l 3
v v v v = ω×r
v ω
r v
P
θ
dθ θ = θ (t ), ω = dt
dω d2 θ β= = 2 dt dt
v = rω aτ = rβ
ω和β是矢量, 在定轴转动中由于轴的方位不变, 故用正负 表示其方向.
v2 an = = rω 2 r
第三章 刚体力学基础
二．定轴转动定律
• 力对轴的力矩 力的大小？ 力的作用点？
• 质点角动量定理 v v dp = F, dt
惯轴质 量的点 转对 动定
z O
r
v v v dL d v v v dp dr v = 0 v v = (r × p) = r × + × p = r × F dt d t dt dt
v dL =? dt
v v v L=r× p
v v dL M= dt
0 4
第三章 刚体力学基础
匀质直杆对垂直于杆的转轴的转动惯量 垂直于杆的轴通过杆的中心
1 J = ml 2 12
垂直于杆的轴通过杆的端点
1 2 J = ml 3
垂直于杆的轴通过杆的1/4处
7 J= ml 2 48
第三章 刚体力学基础
常见形状转动惯量
第三章 刚体力学基础
平行轴定理: 若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc, 则刚 体对与该轴相距为d的平行轴 z 的转动惯量Jz是:
刚体在作定轴转动时, 刚体的角加速度与它所受到的合外 力矩成正比, 与刚体的转动惯量成反比. 转动惯量:
J = ∑ r 2 Δm
第三章 刚体力学基础
转动惯量:
J = ∑ r Δm
2
单位: kg⋅m2
转动 惯 量的 物 理意 义 : 反映 刚体 转动惯性的量度.
影响 J 的因素:
r 2 ρ dV ∫V 2 2 J = ∫ r dm = ∫ r σ dS m S 2 ∫ r λ dl l
表征力对物 体转动作用, 称 为力矩.
第三章 刚体力学基础
v 力 F 对参考点O的力矩: v v v ( N ⋅ m) M0 = r × F
大小: M 0 = rF sin α
v M
z
v F
O
v r
α
y
x
力矩方向: v由右手螺旋关系确定, v 垂直于 r 和 F 确定的平面.
第三章 刚体力学基础
y
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角动量的方向: 位矢和动量的矢积方向. 特例: 如果质点绕参考点O作圆周运动
v p
O
L = r p = mv r
注意: 1.角动量与所取的惯性系有关. 2.角动量与参考点O的位置有关.
v r
第三章 刚体力学基础
质点对定轴的角动量
v v v v v L = r × p = r × mv
L = mvr = mr 2ω = Jω
2 2 2
例题3: 如图,一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相 联, 绳子质量可以忽略, 它与定滑轮之间无滑动. 假设定滑轮 的质量为 m0, 半径 为 R, 其转动 惯 量为 m0R2/2, 滑轮 轴 光滑 . 求 该物体由静止开始下落的过程中,下落速度与时间的关系. 解: 由牛顿第二定律和刚体定轴转动定律: (1) 对m: mg − T = ma R
v 力 F对轴的力矩: v v v v v M = r × FC + r × F⊥ v 力 F对轴OA的力矩: v v v M = r × F⊥
A v M
O
v r
v FC
v Fv
α
F⊥
v 只有 F⊥能改变刚体的转动状态.
第三章 刚体力学基础
• 刚体绕定轴的转动定律 把刚体看作一个质点系
z
v v v Fi + f i = ∆mi ai v 合内力: ∑ f i = 0
Jz Jc
J z = J c + md 2
R 1 J c = mR 2 2 3 1 2 2 2 = mR J z = mR + mR 2 2
m
第三章 刚体力学基础
正交轴定理: 对平面刚体:
z
Jz = Jx + Jy
x
o
y
几何形状不规则的刚体的转动惯量, 由实验测定.
第三章 刚体力学基础
挂钟摆锤的转动惯量(杆长为l, 质量 为m1, 摆锤半径为R, 质量为m2) :
第 第3 3章 章 刚体和流体 刚体和流体
一、刚体及其运动规律
第三章 刚体力学基础
由无数个连续分布的质点组成的质点系,每个质点称为刚 体的一个质量元. 每个质点都服从质点力学规律. 刚体 —— 一种理想模型. 刚体内任意两质元间距离, 在运动过程中保持不变.
第三章 刚体力学基础
刚体的运动: 平动和转动. 任何复杂的运动为两者的叠加. 刚体的平动: 刚体上任一给定直线(或任意二质点间的连 线)在运动中空间方向始终不变而保持平行. 刚体的转动: 刚体内各质元绕同一直线(转轴)做圆周运动. 定轴转动: 整个转轴相对参考系静止. 定点转动: 转轴上只有一点相对参考系静 止, 转动方向不断变动.