非线性回归预测法——高斯牛顿法(詹学朋)
梯度下降 高斯牛顿
梯度下降和高斯牛顿是机器学习和优化领域常用的两种优化方法。
梯度下降是一种常用的一阶优化算法，可以用于求解目标函数的最小值。
它通过计算目标函数在当前参数下的梯度（即指向最大增长方向的向量）并沿着梯度的反方向迭代更新参数，直到收敛达到最小值。
高斯牛顿法是一种基于牛顿法的优化算法，利用目标函数的一阶和二阶导数信息来更快地寻找最小值。
它通过计算目标函数在当前参数下的梯度和海森矩阵（即二阶导数）来更新参数，直到收敛达到最小值。
相比于梯度下降，高斯牛顿法通常更快地收敛，但要求目标函数的二阶导数可计算和海森矩阵可逆。
在实际应用中，梯度下降通常适用于目标函数的梯度容易计算的场合，而高斯牛顿法则适用于目标函数参数较少、目标函数相对平滑、并且具有较快的收敛速度的场合。
高斯牛顿法
高斯牛顿法编程及实践报告班级：地物11101成员：王云鹤吴迪杨寒张林涛一.小组简介本组成员：王云鹤，吴迪，杨寒，张林涛杨寒，张林涛负责讨论方法原理及编程思路王云鹤负责编程吴迪负责整理并编写报告二.方法原理曲线拟合的目标函数自动反演的主要方法是曲线拟合，即寻找一个模型的理论曲线，使其与实测曲线现在均方差极小意义下重合得最好。
在大地电磁测深资料一维解释中，研究的对象时水平层状地电模型。
设有k 层，就有n=2k-1个参数，即各层的电阻率和厚度，记为列向量形式： λ⃑ =[λ1,λ2,…λn ]T 实际观测数为m 个，是对应不同周期的视电阻率值，也记为列向量形式：ρa ⃑⃑⃑⃑ =[ρa1,ρa2,…ρam ]T一般情况下m>n 。
各周期的理论视电阻率值是模型参数的 λ⃑ 函数，记为：ρc ⃑⃑⃑ =[ρc1(λ⃑ ),ρc2(λ⃑ ),…ρcm (λ⃑ )]T 层状模型理论值与观测值之间拟合的判断依据一般是取目标函数：F( λ⃑ )= ∑(ρai −ρci )2m i=1=∑f i z ( λ⃑ )=‖ f ( λ⃑ )‖2=极小m i=1 (3-1)设 λ0⃑⃑⃑ 为初始参数列向量，f i ( λ⃑ )= f i (λ0⃑⃑⃑ )+[∇f i (λ0⃑⃑⃑ )]ς·Δλ⃑⃑⃑⃑ ，其中：Δλ⃑⃑⃑⃑ = λ⃑ −λ0⃑⃑⃑ ； ∇f i (λ0⃑⃑⃑ )=[∂f 1( λ⃑ )∂λ1,…,∂f i ( λ⃑ )∂λi ]λ⃑ =λ0⃑⃑⃑⃑ T , i=1,2,…,m将上式写成矩阵形式为f ( λ⃑ )=f 0⃑⃑ −A 0△λ⃑ (3-2) 式中 f 0⃑⃑ =f (λ0⃑⃑⃑ )=ρ0⃑⃑⃑⃑ −ρ⃑ (λ0⃑⃑⃑ )=∆ρ0⃑⃑⃑⃑A0=[a ij]=[−∂f i( λ⃑)∂λi]λ⃑=λ0⃑⃑⃑⃑=[−∂ρi( λ⃑)∂λi]λ⃑=λ0⃑⃑⃑⃑i = 1,2,…,m; j=1,2,…,n这样，利用式(3-2)将式(3-1)化为：‖∆ρ0⃑⃑⃑⃑ −A0Δλ⃑⃑⃑⃑ ‖2=极小 (3-3)根据函数的极值条件，可得如下方程组：A0T A0Δλ⃑⃑⃑⃑ −A0T∆ρ0⃑⃑⃑⃑ =0 (3-4)如果矩阵A0T A0满秩，则方程组(3-4)有唯一解Δλ⃑⃑⃑⃑ =(A0T A0)−1A0T∆ρ0⃑⃑⃑⃑ 令λ1⃑⃑⃑ =λ0⃑⃑⃑ +Δλ⃑⃑⃑⃑ ，λ1⃑⃑⃑ 便是解的首次近似，然后重复迭代，知道符合要求为止。
非线性最小二乘数据拟合高斯-牛顿法ppt课件.ppt
程序及做法:
function y=xzz(x)； y(1)=x(1)+2 * x(2)+x(3); y(2)=2 * x(1)+2 * x(2)+3 * x(3)-3; y(3)=-x(1)-3 * x(2)-2; y=[y(1) y(2) y(3)]; x0=[1 1 1]; [x,fva1,exitflag,output]=fsolve(′xzz′,x0)
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统Fra bibliotek2 解线性方程组
• MATLAB用函数linsolve求解线性方程组 Ax=b，要求A的列数等于b的行数；也可用 矩阵除等方法求解。linsolve的语法格式为
• x=linsolve(A,b)
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
[1/2/a * (-g+(g ^ 2-4 * 2 * c) ^ (1/2))]
[1/2/a * (-g+(g ^ 2+4 * 2 * c) ^ (1/2))] 类似地，solve (′2 * x ^ 2+6 * x+4′)
得 ans=[-2][-1]
g=a * x
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
补充知识 :解方程或方程组
用solve 符号解代数方程 solve (′eq1′，′eq2′, ′eqn′, ′var1,var2,…,varn′) eqn为符与方程，varn为符号变量。
非线性回归 方法
非线性回归方法非线性回归是机器学习中的一种重要方法，用于建立输入和输出之间的非线性关系模型。
线性回归假设输入和输出之间存在线性关系，而非线性回归则允许更复杂的模型形式，可以更好地适应现实世界中的复杂数据。
下面将介绍几种常见的非线性回归方法，并说明它们的原理、应用场景和优缺点。
1. 多项式回归多项式回归通过引入高次多项式来拟合数据。
例如，在一元情况下，一阶多项式即为线性回归，二阶多项式即为二次曲线拟合，三阶多项式即为三次曲线拟合，依此类推。
多项式回归在数据不规则变化的情况下能够提供相对灵活的拟合能力，但随着多项式次数的增加，模型的复杂度也会增加，容易出现过拟合问题。
2. 非参数回归非参数回归方法直接从数据中学习模型的形式，并不对模型的形式做出先验假设。
常见的非参数回归方法包括局部加权回归（LWLR）、核回归（Kernel Regression）等。
局部加权回归通过给予离目标点较近的样本更大的权重来进行回归，从而更注重对于特定区域的拟合能力。
核回归使用核函数对每个样本进行加权，相当于在每个样本周围放置一个核函数，并将它们叠加起来作为最终的拟合函数。
非参数回归方法的优点是具有较强的灵活性，可以适应各种不同形状的数据分布，但计算复杂度较高。
3. 支持向量回归（SVR）支持向量回归是一种基于支持向量机的非线性回归方法。
它通过寻找一个超平面，使得样本点离该超平面的距离最小，并且在一定的松弛度下允许一些样本点离超平面的距离在一定范围内。
SVR通过引入核函数，能够有效地处理高维特征空间和非线性关系。
SVR的优点是对异常点的鲁棒性较好，并且可以很好地处理小样本问题，但在处理大规模数据集时计算开销较大。
4. 决策树回归决策树回归使用决策树来进行回归问题的建模。
决策树将输入空间划分为多个子空间，并在每个子空间上拟合一个线性模型。
决策树能够处理离散特征和连续特征，并且对异常点相对较鲁棒。
决策树回归的缺点是容易过拟合，因此需要采取剪枝等策略进行降低模型复杂度。
非线性方程的数值求法牛顿迭代法和弦截法PPT课件
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Newton下山法
原理：若由 xk 得到的 xk+1 不能使 | f | 减小，则在 xk 和 xk+1 之 间找一个更好的点 xk1，使得 f ( xk1) f ( xk ) 。
xk
xk+1
xk1 (1 )xk , [0, 1]
xk 1
[xk
)g( xn
)
n1
n
mng(xn ) mg( xn ) n g(
xn
)
n2 g( xn )
mg( xn ) n g( xn )
n1
2 n
g( xn )
mg( xn ) n g( xn )
若 xn 收敛，即
n 0 (n ),
没有具体的描述，而且若x0 的值没有取好，有可 能得不到收敛的结果。
以下定理，给出了 f x 满足一定的条件时，要使得牛顿
迭代法收敛，x0 应满足什么条件。
又 f ( ) 0
( ) 0 1,
牛顿迭代法局部收敛于
又 ( ) 0
即有：牛顿迭代法具有二阶（平方）收敛速度。
注. 定理要求 x0 充分接近 (局部收敛)，充分的程度
没有具体的描述，而且若x0 的值没有取好，有可 能得不到收敛的结果。
以下定理，给出了 f x 满足一定的条件时，要使得牛顿
迭代法收敛，x0 应满足什么条件。
定理 设 f x 在区间 a,b 上的二阶导数存在，且满足： ① f (a) f (b) 0; （保证 a, b中至少存在一个根）
若 xn 收敛，即 n 0 (n )
lim n1 lim[1
非线性回归预测法——高斯牛顿法(詹学朋)
非线性回归预测法前面所研究的回归模型，我们假定自变量与因变量之间的关系是线性的，但社会经济现象是极其复杂的，有时各因素之间的关系不一定是线性的，而可能存在某种非线性关系，这时，就必须建立非线性回归模型。
一、非线性回归模型的概念及其分类非线性回归模型，是指用于经济预测的模型是曲线型的。
常见的非线性回归模型有下列几种： (1)双曲线模型：i ii x y εββ++=121 (3-59) (2)二次曲线模型：i i i i x x y εβββ+++=2321 (3-60)(3)对数模型：i i i x y εββ++=ln 21 (3-61)(4)三角函数模型：i i i x y εββ++=sin 21 (3-62)(5)指数模型：i x i i ab y ε+= (3-63)i i i x x i e y εβββ+++=221110 (3-64)(6)幂函数模型：i b i i ax y ε+= (3-65)(7)罗吉斯曲线：i x x i iie e y εββββ++=++1101101 (3-66)(8)修正指数增长曲线：i x i i br a y ε++= (3-67)根据非线性回归模型线性化的不同性质，上述模型一般可细分成三种类型。
第一类：直接换元型。
这类非线性回归模型通过简单的变量换元可直接化为线性回归模型，如：(3-59)、(3-60)、(3-61)、(3-62)式。
由于这类模型的因变量没有变形，所以可以直接采用最小平方法估计回归系数并进行检验和预测。
第二类：间接代换型。
这类非线性回归模型经常通过对数变形的代换间接地化为线性回归模型，如：(3-63)、(3-64)、(3-65)式。
由于这类模型在对数变形代换过程中改变了因变量的形态，使得变形后模型的最小平方估计失去了原模型的残差平方和为最小的意义，从而估计不到原模型的最佳回归系数，造成回归模型与原数列之间的较大偏差。
第三类：非线性型。
高斯—牛顿迭代法
高斯牛顿法高斯—牛顿迭代法的基本思想是使用泰勒级数展开式去近似地代替非线性回归模型，然后通过多次迭代，多次修正回归系数，使回归系数不断逼近非线性回归模型的最佳回归系数，最后使原模型的残差平方和达到最小。
高斯—牛顿法的一般步骤为：(1)初始值的选择。
其方法有三种，一是根据以往的经验选定初始值；二是用分段法求出初始值；三是对于可线性化的非线性回归模型，通过线性变换，然后施行最小平方法求出初始值。
(2)泰勒级数展开式。
设非线性回归模型为：i=1,2,…,n (3-68)其中r为待估回归系数，误差项～N(0, )，设：，为待估回归系数的初始值，将(3-68)式在g点附近作泰勒展开，并略去非线性回归模型的二阶及二阶以上的偏导数项，得(3-69)将(3-69)式代入(3-68)式，则移项：令：则：i=1,2，…，n用矩阵形式表示，上式则为：(3-70)其中：(3)估计修正因子。
用最小平方法对(3-70)式估计修正因子B，则：(3-71)设g为第一次迭代值，则：(4)精确度的检验。
设残差平方和为：，S为重复迭代次数，对于给定的允许误差率K，当时，则停止迭代；否则，对(3-71)式作下一次迭代。
(5)重复迭代。
重复(3-71)式，当重复迭代S次时，则有：修正因子：第(S+1)次迭代值：四、应用举例设12个同类企业的月产量与单位成本的资料如下表：表3-9 间接代换法计算表企业编号单位产品成本（元）月产量1 2 3 4 5 6 7 8 91011121601511141288591757666606160101620253136404551566065(注：资料来源《社会经济统计学原理教科书》第435页)试配合适当的回归模型分析月产量与单位产品成本之间的关系。
解：(1)回归模型与初始值的选择。
根据资料散点图的识别，本数据应配合指数模型：对指数模型两边取对数，化指数模型为线性回归模型，然后施行最小平方法求出初始值。
即：则上述指数模型变为：对分别求反对数，得，带入原模型，得回归模型：高斯—牛顿迭代法初始回归模型：残差平方和：（2）泰勒级数展开式。
非线性回归模型的优化算法
非线性回归模型的优化算法随着机器学习算法的广泛应用，非线性回归模型的优化算法也越来越受到研究者们的关注。
非线性回归模型是机器学习中常用的一种模型，例如神经网络、支持向量回归、决策树等模型都属于非线性回归模型。
而优化算法则是对这些模型进行求解的关键。
这篇文章将从非线性回归模型的定义、应用及优化算法的进展和现状等方面进行探讨。
一、非线性回归模型的定义及应用非线性回归模型是指因变量和自变量之间的关系不是线性的回归模型。
与线性回归模型不同的是，非线性回归模型不能使用最小二乘法进行拟合，需要使用其他的优化算法，例如牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法、遗传算法等。
非线性回归模型在很多领域都有广泛的应用，例如金融行业中的股价预测、医学领域中的疾病诊断、自然语言处理领域中的语音识别等。
二、非线性回归模型优化算法的进展和现状1. 牛顿法牛顿法是求解非线性方程组的一种方法。
在非线性回归模型中，利用牛顿法求解参数的方法称为牛顿法拟合。
牛顿法的优点在于收敛速度快，但它需要计算海森矩阵，计算量较大。
此外，当海森矩阵不可逆或者为负定矩阵时，牛顿法可能出现无法收敛的问题。
因此，在实际应用中，牛顿法需要根据具体情况进行选择。
2. 拟牛顿法拟牛顿法是指用数值求导或解析求导的方式来代替海森矩阵，从而减少计算量的方法。
拟牛顿法常用的算法包括DFP算法和BFGS算法。
拟牛顿法方法具有快速收敛，适用于大规模数据集，但是它的计算量也较大，需要进行多次迭代。
3. 共轭梯度法共轭梯度法是求解线性方程组的一种方法，也可以用来求解非线性回归模型中的参数。
共轭梯度法对计算机内存的需求较小，算法针对对称矩阵，迭代次数比牛顿法少。
但是，共轭梯度法的缺点在于对非对称矩阵的处理较差。
4. 遗传算法遗传算法是借鉴生物遗传进化的原理，使用基因编码和遗传操作进行搜索和优化的一种算法。
在非线性回归模型中，遗传算法可以用来搜索参数空间，从而得到最优解。
遗传算法的优点在于搜素范围广，具有较好的全局优化能力，但是计算量较大，需要进行多次迭代。
非线性方程的求解和分析
非线性方程的求解和分析近年来，随着科技的飞速发展，各个领域中越来越多的问题需要用到求解非线性方程的方法。
这些非线性方程指的是方程中包含有一个或多个未知数的嵌套函数的方程。
解非线性方程是现代数学、物理和工程等领域中获得解析解的一个重要问题。
本文将讨论非线性方程的求解和分析方法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种求解非线性方程的基本方法。
它的原理是利用函数的导数逼近函数的根。
其算法如下:(1) 选一个初始值 $x_0$(2) 迭代公式: $x_{n+1} = x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$其中，$f(x)$ 为非线性方程， $f'(x)$ 表示 $f(x)$ 在 $x$ 处的导数。
(3) 若 $|f(x_{n+1})|<\epsilon$（$\epsilon$ 为给定的精度），则停止计算，$x_{n+1}$ 为 $f(x)=0$ 的一个近似解。
否则，令$n=n+1$，返回第（2）步进行迭代。
值得注意的是，在实际计算中，可能存在导数 $f'(x_n)$ 为零，或者非线性函数的导数求解过于复杂的情况。
对于这些问题，可以使用牛顿迭代法的改进方法来解决。
二、牛顿-拉夫逊法牛顿-拉夫逊法是一种解决在牛顿迭代法中遇到的问题的改良方法之一。
它通过在公式中引入一个阻尼系数 $\lambda$ 来避免除以零和产生振荡。
公式如下：$x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)+\lambda f''(x_n)}$其中，$f''(x)$ 表示 $f(x)$ 的二阶导数。
通过引入阻尼系数，可以避免迭代过程中 $f'(x)$ 零点附近的振荡，并且当 $f'(x)$ 接近零时，阻尼系数会变得更大，以减小振荡的影响。
三、拟牛顿法拟牛顿法（Quasi-Newton Method）是一种利用 Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）公式来近似牛顿法中的 Hessian 矩阵的方法。
GaussNewton
李智迅
1
1.1 牛顿迭代法
预备知识
牛顿法是一种求解方程f (x) = 0的方法。 多数方程不存在求根公式，从而求精确根非常困难，甚 至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。 迭代法是用某个固定公式反复地计算，用以校正 方程所得根的近似值，使之逐步精确化，最后得到的精度要求的结果。 牛顿迭代法是用切线来逼近零点的，收敛的速度很快，但要求的条件也高。 首先要有一个区间， 在这个区间的端点函数值反向，其次第一次迭代点不能随意取，否则第一次迭代后的点可能跑出原先 的区间，收敛性就不一定能保证了（即有的情况也能有收敛性，有的情况就没有收敛性了，全看函数 的性能） 。 比如：设r是f (x) = 0的根，选取x0 作为r初始近似值，过点(x0 , f (x0 ))做曲线y = f (x)的切线L， L的方程为y = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ),求出L与x轴交点的横坐标x1 = x0 − f (x0 )/f ′ (x0 ), 称x1 为r的一次 近似值，过点(x1 , f (x1 ))做曲线y = f (x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标x2 = x1 − f (x1 )/f ′ (x1 )称x2 为r的二次近似值，重复以上过程，得r 的近似值序列Xn ,其中Xn+1 =Xn −f (Xn )/f ′ (Xn ),称为r的n+1次 近似值。上式称为牛顿迭代公式。以f (x) = 2x3 − 4x2 + 3x − 6为例： #include<stdio.h> #include <math.h> //包含这个头文件，后面使用fabs void main() { double x=1.5,y,y1; do { y=2*x*x*x-4*x*x+3*x-6; y1=6*x*x-8*x+3; x=x-y/y1; } while(fabs(y/y1)>1e-6);// 是y/y1,不是y printf("%f",x); }
基于高斯过程模型的非线性回归分析
基于高斯过程模型的非线性回归分析近年来，非线性回归分析在数据分析领域中得到了广泛的应用。
而基于高斯过程模型的非线性回归分析方法则成为了一种重要的分析手段。
本文将探讨基于高斯过程模型的非线性回归分析的原理、方法以及应用。
一、高斯过程模型高斯过程是一种用于建模随机过程的方法，它可以用来描述一组随机变量的联合分布。
在非线性回归分析中，我们可以将高斯过程用于建模因变量与自变量之间的关系。
这种建模方式可以很好地处理非线性关系，并能够提供对未知数据的预测。
二、高斯过程回归高斯过程回归是一种常用的非线性回归方法。
其基本思想是将输入空间映射到一个无穷维的特征空间中，然后根据高斯过程的性质进行回归分析。
具体而言，高斯过程回归基于训练数据集构建一个高斯过程模型，并利用该模型对未知数据进行回归预测。
三、非线性回归分析的步骤1. 数据准备和预处理非线性回归分析的第一步是准备和预处理数据。
这包括数据的清洗、缺失值的处理、异常值的剔除等。
同时，还需要对自变量和因变量进行标准化处理，以确保它们具有相同的尺度。
2. 模型选择和参数估计在非线性回归分析中，模型的选择非常重要。
一般来说，我们可以根据实际问题的特点选择适当的非线性函数。
然后，通过最大似然估计或贝叶斯推断等方法对模型的参数进行估计。
3. 模型拟合和预测模型拟合是指利用训练数据集对模型进行参数估计的过程。
而模型预测则是利用估计的模型对未知数据进行回归预测的过程。
在高斯过程回归中，模型的拟合和预测是通过计算条件高斯分布来完成的。
4. 模型评估和优化在完成模型拟合和预测后，需要对模型进行评估和优化。
常用的评估指标包括均方误差、平均绝对误差等。
如果模型表现不佳，我们可以尝试调整模型的参数或者更换其他非线性函数进行优化。
四、应用案例基于高斯过程模型的非线性回归分析方法在多个领域都有广泛应用。
例如，在金融领域，我们可以利用该方法对股票价格进行预测；在医学领域，我们可以利用该方法对疾病的发展趋势进行预测。
常见非线性回归模型
常见非线性回归模型1.简非线性模型简介非线性回归模型在经济学研究中有着广泛的应用。
有一些非线性回归模型可以通过直接代换或间接代换转化为线性回归模型, 但也有一些非线性回归模型却无法通过代换转化为线性回归模型。
柯布—道格拉斯生产函数模型εβα+=L AK y其中 L 和 K 分别是劳力投入和资金投入, y 是产出。
由于误差项是可加的, 从而也不能通过代换转化为线性回归模型。
对于联立方程模型, 只要其中有一个方程是不能通过代换转化为线性, 那么这个联立方程模型就是非线性的。
单方程非线性回归模型的一般形式为εβββ+=),,,;,,,(2121p k x x x f y2.可化为线性回归的曲线回归在实际问题当中，有许多回归模型的被解释变量y 与解释变量x 之间的关系都不是线性的，其中一些回归模型通过对自变量或因变量的函数变换可以转化为线性关系，利用线性回归求解未知参数，并作回归诊断。
如下列模型。
（1）εββ++=x e y 10（2）εββββ+++++=p p x x x y 2210（3）ε+=bx ae y(4)y=alnx+b对于（1）式，只需令x e x ='即可化为y 对x '是线性的形式εββ+'+=x y 10，需要指出的是，新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。
对于（2）式，可以令1x =x ,2x =2x ,…, p x =p x ,于是得到y 关于1x ,2x ,…, p x 的线性表达式εββββ+++++=p p x x x y 22110对与（3）式，对等式两边同时去自然数对数，得ε++=bx a y ln ln ,令 y y ln =',a ln 0=β,b =1β，于是得到y '关于x 的一元线性回归模型： εββ++='x y 10。
乘性误差项模型和加性误差项模型所得的结果有一定差异，其中乘性误差项模型认为t y 本身是异方差的，而t y ln 是等方差的。
非线性回归模型
非线性回归模型概述非线性回归模型是一种用于建模非线性关系的统计方法。
与线性回归模型不同，非线性回归模型可以更好地适应各种复杂的数据关系。
常见的非线性回归模型1. 多项式回归：多项式回归是一种常见的非线性回归模型，它通过添加多项式项来拟合非线性数据。
多项式回归可以适应曲线、弯曲或波浪形状的数据。
2. 对数回归：对数回归是一种用于建模变量之间对数关系的非线性回归方法。
对数回归常用于分析指数增长或衰减的情况。
3. Sigmoid回归：Sigmoid回归是一种常用的非线性回归模型，适用于二分类问题。
它使用Sigmoid函数将输入数据映射到0和1之间的概率值。
4. 高斯核回归：高斯核回归是一种使用高斯核函数的非线性回归方法。
它可以用于拟合非线性关系，并在一定程度上克服了多项式回归模型的过拟合问题。
模型选择和评估选择合适的非线性回归模型是关键，可以根据数据的特点和问题的要求进行选择。
一般来说，模型应具有良好的拟合能力和泛化能力。
评估非线性回归模型的常见指标包括均方误差（MSE）、平均绝对误差（MAE）和决定系数（R-squared）。
这些指标可以帮助我们评估模型的预测性能和拟合程度。
模型建立步骤1. 导入数据：将需要建模的数据导入到合适的工具或编程环境中。
2. 数据预处理：对数据进行清洗、缺失值处理、特征选择等预处理步骤。
3. 模型选择：根据数据的特点选择合适的非线性回归模型。
4. 模型训练：使用训练集对选定的模型进行训练。
5. 模型评估：使用测试集对模型进行评估，并计算评估指标。
6. 模型优化：根据评估结果进行模型参数调整和优化。
7. 模型应用：使用优化后的模型对新数据进行预测。
总结非线性回归模型是一种强大的建模工具，可以用于解决各种复杂的数据分析问题。
在选择和应用非线性回归模型时，需要根据具体情况进行合理选择，并对模型进行评估和优化，以提高建模的准确性和预测能力。
计算方法的牛顿法
思考题2 当x* 是 f (x)=0的m重根, 是否平方收敛？
f
'(x)
?
m(x?
x*)
m?
1
q(
x)
? (x?
x*)
m
q
'(x)
x x x x x k?1 ?
*?
k?
*?
f(
)
k
f '( )
xk
?
(xk
?
x*)
(m ? 1)q(xk) ? (xk ? x*)q '(xk) mq( xk) ? (xk ? x*)q '(xk)
将非线性方程fx0线性化tangentline牛顿法也称为切线法局部收敛性定理0则存在x的邻域使得任取初始值newton法产生的序列在x的附近收敛由taylor展开
数值分析
非线性方程的牛顿法
(Newton Method of Nonlinear Equations )
内容提纲（Outline)
? 牛顿法及其几何意义 ? 收敛性及其收敛速度 ? 计算实例及其程序演示
)(x*
?
x k
)
?
f ( ?k
2 f '(x
) )
(x*
?
x )2 k
f
( ?k
2!
)
(x*
?
x k
)2
k
k
?
xk ?1
?
f ( ?k ) (x*
2 f '(x )
?
x k
)2
?
xk ?1
k
*
说明数列 {xk}有下界 x
又 x1 ?
x 0
?
高斯法和牛顿法
研究生课程
5/15/2011
潮流计算的发展历史
Gauss法 Gauss法 Newton法 Newton法 FDLF法 FDLF法 计及非线性法 最优乘子法 最优潮流法 含直流或FACTS元件的 含直流或FACTS元件的 FACTS 潮流 Gauss法 Gauss法
1、1956年，基于导纳矩阵的简单迭代法 、 年 1967年 Newton法 1967年，Ward J B，Hale H W．Digital Computer Applications Solution 参考文献： Newton法
雅可比矩阵的特点： 雅可比矩阵的特点：
（1）雅可比矩阵各元素均是节点电压相量的函数， 雅可比矩阵各元素均是节点电压相量的函数， 在迭代过程中，各元素的值将随着节点电压相量的变化 在迭代过程中， 而变化。因此， 而变化。因此，在迭代过程中要不断重新计算雅可比矩 阵各元素的值； 阵各元素的值； （2）雅可比矩阵各非对角元素均与Yij＝Gij＋jBij有 雅可比矩阵各非对角元素均与Y Yij＝ 这些非对角元素也为0 关，当Yij＝0，这些非对角元素也为0，将雅可比矩阵进 行分块，每块矩阵元素均为2×2阶子阵，分块矩阵与节 行分块，每块矩阵元素均为2 阶子阵， 点导纳矩阵有相同的稀疏性结构； 点导纳矩阵有相同的稀疏性结构；
牛顿一拉夫逊法
牛顿一拉夫逊法(简称牛顿法) 牛顿一拉夫逊法(简称牛顿法)在数学上是求解非线性代 数方程式的有效方法。 数方程式的有效方法。其要点是把非线性方程式的求解过程 变成反复地对相应的线性方程式进行求解的过程， 变成反复地对相应的线性方程式进行求解的过程，即通常所 称的逐次线性化过程。 称的逐次线性化过程。
“平直电压”法假定： 平直电压”法假定： 平直电压 或
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法求解非线性方程是数值分析中的一个重要问题，对于复杂的方程往往无法通过解析方法求得精确解。
迭代法成为了求解非线性方程的常用方法之一。
传统的迭代法如牛顿法、割线法等在实际应用中存在着一些问题，近年来研究者提出了一些新的迭代法，以解决传统迭代法的一些缺点。
下面将介绍三种新的迭代法：拟牛顿法、混合法和基因迭代法。
拟牛顿法是一种通过构建迭代更新的矩阵逼近方向导数的方法。
传统的牛顿法每次需要求解并存储Hessian矩阵的逆矩阵，计算复杂度较高。
而拟牛顿法通过不直接计算Hessian矩阵的逆矩阵，而是通过一些迭代更新矩阵来逼近Hessian矩阵的逆矩阵，从而减少了计算复杂度。
其基本思想是通过更新矩阵不断逼近Hessian矩阵的逆矩阵，使得迭代得到的解更加接近最优解。
拟牛顿法在求解非线性方程时具有收敛速度快、计算精度高等优点，在实际应用中得到了广泛的应用。
另一种新的迭代法是混合法，混合法是将不同的迭代方法进行组合，通过不同的方式交替使用各种迭代方法，以期望达到更好的收敛效果。
将牛顿法和割线法进行混合，每次迭代交替使用两种方法，通过对两种迭代方法的优势互相弥补，从而提高收敛速度和稳定性。
混合法在实际应用中表现出了良好的性能，特别是在求解高阶非线性方程或者函数具有复杂结构的情况下，混合法能够更快速地收敛到最优解。
最后一种新的迭代法是基因迭代法，基因迭代法是受到生物进化理论的启发而提出的一种迭代方法。
其基本思想是通过模拟生物进化中的遗传、变异、选择等过程，不断优化迭代的解。
在每一代迭代中，通过交叉、变异等操作产生新的解，并通过适应度函数进行选择，使得优秀的解得以保留并得到进化，从而逐步优化迭代的解。
基因迭代法在求解非线性方程时可以克服局部最优解的问题，找到更接近全局最优解的解。
在求解复杂的非线性方程时，基因迭代法具有明显的优势。
以上介绍了三种新的迭代法：拟牛顿法、混合法和基因迭代法。
这些新的迭代法在求解非线性方程时有着良好的性能，能够更快速地收敛到最优解，具有更好的稳定性和精度。
解非线性方程组的牛顿迭代法
设 xk , xk 1是 f (x) 0的近似根，利用 f (xk ), f (xk1) 构造一次插值多项式 p1(x)，并用 p1(x) 0的根作为新的 近似根 xk 1 . 由于
p1(x)
f (xk )
f
( xk ) xk
f xk 1
xk 1
10
在（4.7）中取C 1 ，则称为简化牛顿法，这
f ( x0 )
类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行 弦与 x轴交点作为 x *的近似. 如图7-4所示.
图7-4
11
（2） 牛顿下山法.
牛顿法收敛性依赖初值 x0的选取. 如果x0 偏离所求根 x *较远，则牛顿法可能发散.
它是二阶收敛的.
例9 方程x4 4x2 4 0 的根x* 2 是二重根， 用上述三种方法求根.
解 先求出三种方法的迭代公式：
（1） 牛顿法
xk 1
xk
xk2 2 . 4 xk
18
（2） 用（4.13）式
xk 1
xk
xk2 2 . 2 xk
（3） 用（4.14）式
3 x3 1.425497619 1.414213562 1.414213562
19
计算三步，方法（2）及（3）均达到10位有效数字， 而用牛顿法只有线性收敛，要达到同样精度需迭代30次.
20
7.5 弦截法与抛物线法
用牛顿法求方程（1.1）的根，每步除计算 f (xk ) 外 还要算 f (xk )，当函数 f (x)比较复杂时，计算 f (x) 往 往较困难，为此可以利用已求函数值 f (xk ), f (xk1), 来回避导数值 f (xk ) 的计算.
非线性方程的Newton法求解-天津大学研究生e-Learning平台
非线性方程的Newton法求解姓名：赖俊云学号：2011208070 学院：材料科学与工程一、引言非线性方程是指方程中未知数的次数不是一次的方程，在求解一些高次或者带对数、带三角函数的非线性方程中，很难通过解析法获得方程的精确解，因此实际应用当中大多采用数值法来近似求解非线性方程[1]。
求解非线性方程的数值法主要有二分法，牛顿法，弦截法等[1-3]。
其中牛顿（Newton）法, 又称牛顿-拉弗森(Newton-Raphson) 法或切线法[2], 是求解非线性方程零点的一种重要的迭代法. 牛顿法程序简单, 其在单根附近具有二阶敛速，收敛速度快，是一种平方收敛的单步法，这是其它算法都难以比拟的。
牛顿法应用范围也很广，它即可用于解代数方程和超越方程，也可用于解非线性方程组，既可求方程实根，也可求复根；既可求单根，也能求重根，因此它是近似根精确化的一种相当有效的方法[6]。
但是牛顿法需要求函数导数，对于复杂的函数求导较为困难，而且牛顿法对初值的选取依赖性很大，初值选取不当有可能导致牛顿法不收敛甚至发散，从而导致迭代失败，从而使牛顿法应用受到一定限制[7]。
二、Newton法求解非线性方程的基本原理基本概念牛顿法是一种特殊的不动点迭代法，它的基本思想是将非线性方程逐步转化为线性方程来求解[6]。
设给定函数方程将在作泰勒展开取其线性部分，令，则有设，则其解为再将在处展开，也取其线性部分，得到以此类推，得到牛顿法的迭代序列为适当选取初值，就可以由上式很快的收敛得到精确的近似解。
几何意义给定的线性方程的根在几何上的意义是曲线与轴的交点的横坐标。
如右图所示，设是的某个近似值,曲线上点P(, ) 处的切线方程为此切线与x轴的交点的横坐标就是由牛顿迭代公式所确定的，此时得到的比初值进一步向逼近，然后依次得，无限逼近，最终得到满足精度要求的近似解。
所以牛顿法就是以曲线各点的切线与x轴的交点近似代替曲线与x轴的交点,因此,牛顿法又称切线法。
非线性回归模型
非线性回归模型非线性回归模型是研究量与量之间非线性关系的一种统计方法。
它利用可以描述非线性现象的数学模型，来拟合所需的结果，并反映所产生的参数的变化。
它的基本原理是通过观察变量之间的关系，以确定未知参数的数值可以拟合哪一种特定的函数。
以下是关于非线性回归模型的主要知识：一、主要原理非线性回归模型用来处理非线性关系的依赖变量和自变量之间的因果关系或效果。
它使用可以描述非线性现象的数学模型来拟合结果，并反映所产生的参数的变化。
二、类型1. 指数函数回归：利用指数函数进行拟合，以确定自变量和因变量之间关系，指数函数回归可能是最简单的非线性回归模型。
2. 对数函数回归：利用对数函数拟合，以确定自变量和因变量之间关系，它属于可泛化的非线性回归模型。
3. 偏差项回归：利用偏差项（离散变量或混合变量）构建的非线性回归模型，其中偏差项会有自身的参数，需要以正态分布估计参数。
4. 广义线性模型：利用广义线性模型拟合数据，以确定自变量和因变量之间关系，它是一类通用的非线性模型。
三、应用1. 时间序列分析：非线性回归模型可以利用时间序列数据进行拟合，得到完整的时间序列分析。
2. 数据建模：可以利用多因子回归模型全面分析多变量与因变量之间的变化趋势，以建立完整的模型，从而更好地理解数据背后的规律。
3. 预测：可以利用非线性回归模型对未知数据进行分析，从而有效预测出未来的趋势，为有效决策提供更好的依据。
四、优点1. 运用灵活：因为非线性回归模型的原理简单，实际应用却极其灵活，可以用于各种不同的数据分析。
2. 准确率高：它的准确性和稳定性都比线性回归模型高，因此可以在更多的情况下使用。
3. 结构简单：这种模型具有一种简洁实用的建模结构，并可以快速构建出模型所需的参数。
五、缺点1. 容易过拟合：由于非线性回归模型的参数容易受环境的影响，容易出现过拟合的情况。
2. 收敛慢：由于非线性回归模型很容易受参数限制，估计收敛速度往往比较慢。
高斯近似法
高斯近似法高斯近似法，又称为Gaussian-Lagrange方法，是快速解决线性最优化问题的一种算法。
它是由拉格朗日在1827年发明的。
它采用近似方法，将复杂的线性最优化问题转换为求解非线性方程的问题。
高斯近似法的主要思想是把每一个未知变量都以它的均值作为根据，然后把其它未知变量看作其大小与其均值的偏差，再以此来求解问题的解。
高斯近似法的应用也很广泛，它通常被用来求解线性回归问题，线性判别分析问题等。
另外，它也可以用来求解一些非线性最优化问题，比如梯度下降法、最小二乘法等。
高斯近似法的核心步骤主要有四个：（1）构建函数f，表征变量的偏差；（2）确定约束条件；（3）将变量代入到函数f，并求得函数差值；（4）解出最优解。
第一步，构建函数f，表征变量的偏差，即常见的误差函数。
在函数f中，通常用到变量的均值方差表征变量的偏差，其中，μ以理解成是某一分布的期望，而σ代表其方差。
函数f常可以设置为函数f = 1/(σ√2π)*exp(-1/2((x-μ)/σ)^2)，这里，x 代表观测值，而σ代表变量的方差，μ代表变量的期望值。
第二步，确定约束条件，即根据正规方程的求解步骤来确定约束条件。
其中，有两个约束条件：第一，要求所有变量满足一定的约束条件，如线性不可分约束等；第二，要求所有变量满足一定的约束条件，如目标函数的极大值最小等。
第三步，将变量代入函数f，然后求得函数差值。
由于函数f已知的，所以只需要将各个变量代入函数f求得函数差值。
此过程有助于求解函数f根据约束条件形成的空间内单调递增或递减。
第四步，求解出最优解。
在确定函数差值之后，就可以直接求解出最优解了。
一般来说，最优解可以用解析法得到，也可以用数值法得到，由于精度的要求，一般来说，数值法会比解析法更准确。
总的来说，高斯近似法是一种非常有用的算法，它可以将复杂的线性最优化问题简化为求解非线性方程的问题，可以应用于线性回归问题、线性判别分析问题和一些非线性最优化问题，比如梯度下降法、最小二乘法等。
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非线性回归预测法前面所研究的回归模型，我们假定自变量与因变量之间的关系是线性的，但社会经济现象是极其复杂的，有时各因素之间的关系不一定是线性的，而可能存在某种非线性关系，这时，就必须建立非线性回归模型。
一、非线性回归模型的概念及其分类非线性回归模型，是指用于经济预测的模型是曲线型的。
常见的非线性回归模型有下列几种： (1)双曲线模型：i ii x y εββ++=121 (3-59) (2)二次曲线模型：i i i i x x y εβββ+++=2321 (3-60)(3)对数模型：i i i x y εββ++=ln 21 (3-61)(4)三角函数模型：i i i x y εββ++=sin 21 (3-62)(5)指数模型：i x i i ab y ε+= (3-63)i i i x x i e y εβββ+++=221110 (3-64)(6)幂函数模型：i b i i ax y ε+= (3-65)(7)罗吉斯曲线：i x x i iie e y εββββ++=++1101101 (3-66)(8)修正指数增长曲线：i x i i br a y ε++= (3-67)根据非线性回归模型线性化的不同性质，上述模型一般可细分成三种类型。
第一类：直接换元型。
这类非线性回归模型通过简单的变量换元可直接化为线性回归模型，如：(3-59)、(3-60)、(3-61)、(3-62)式。
由于这类模型的因变量没有变形，所以可以直接采用最小平方法估计回归系数并进行检验和预测。
第二类：间接代换型。
这类非线性回归模型经常通过对数变形的代换间接地化为线性回归模型，如：(3-63)、(3-64)、(3-65)式。
由于这类模型在对数变形代换过程中改变了因变量的形态，使得变形后模型的最小平方估计失去了原模型的残差平方和为最小的意义，从而估计不到原模型的最佳回归系数，造成回归模型与原数列之间的较大偏差。
第三类：非线性型。
这类非线性回归模型属于不可线性化的非线性回归模型，如：(3-66)和(3-67)式。
第一类和第二类非线性回归模型相对于第三类，又称为可线性化的非线性回归模型。
本节重点研究第一类和第二类即可线性化的非线性回归模型。
二、可线性化的非线性回归模型的模型变换及参数估计 1.直接换元法换元过程和参数估计方法，如表3-6所示。
例设某商店1991～2000年的商品流通费用率和商品零售额资料如下表：表3-7 直接换元法计算表根据上述资料，配合适当的回归模型分析商品零售额与流通费用率的关系，若2001年该商店商品零售额将为36.33万元，对2001年的商品流通费用额作出预测。
解：(1)绘制散点图(图略)。
从图中可清楚看到：随着商品零售额的增加，流通费用率有不断下降的趋势，呈双曲线形状。
(2)建立双曲线模型。
i ii x y εββ++=121 令 i i x x 1'=得 i i i x y εββ++='21(3)估计参数。
Eviews4.0 软件，hzz －暴P92表3－7得回归模型为：ii x y 17610.425680.2+=∧2.间接代换法代换过程和参数估计方法如（暴经济预测P96）表3-8所示。
三、高斯—牛顿迭代法高斯—牛顿迭代法的基本思想是使用泰勒级数展开式去近似地代替非线性回归模型，然后通过多次迭代，多次修正回归系数，使回归系数不断逼近非线性回归模型的最佳回归系数，最后使原模型的残差平方和达到最小。
高斯—牛顿法的一般步骤为： (1)初始值的选择。
其方法有三种，一是根据以往的经验选定初始值；二是用分段法求出初始值；三是对于可线性化的非线性回归模型，通过线性变换，然后施行最小平方法求出初始值。
(2)泰勒级数展开式。
设非线性回归模型为：i i i r x f y ε+=),( i=1,2,…,n (3-68)其中r 为待估回归系数，误差项 i ε～N(0, 2σ)，设：')0(1)0(1)0(00),,(-=p g g g g Λ，为待估回归系数'110),,(-=p r r r r Λ的初始值，将(3-68)式),(r x f i 在g 0点附近作泰勒展开，并略去非线性回归模型的二阶及二阶以上的偏导数项，得())0(10)0()0(),(),(),(kkgr p k k i i i g rr r x f g x f r x f -⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+≈=-=∑ (3-69) 将(3-69)式代入(3-68)式，则()i k kgr p k k i i i g r r r x f g x f y ε+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+≈=-=∑)0(10)0()0(),(),(移项：()i k kgr p k k i i i g rr r x f g x f y ε+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂≈-=-=∑)0(10)0()0(),(),(令：)0()0()0()0()0()0(),(),(kk k g r k i ik i i i g r r r x f D g x f y y -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=-==β 则：i k p k ik iD yεβ+≈∑-=)0(1)0()0( i=1,2，…，n 用矩阵形式表示，上式则为：ε+≈)0()0()0(B D Y (3-70)其中：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-⨯--⨯⨯)0(1)0(0)0(1)0(1)0(0)0(11)0(10)0()0()0(11)0(1),(),(p p npn p p n n n n B D D D D D g x f y g x f y Y ββM ΛMΛM(3)估计修正因子。
用最小平方法对(3-70)式估计修正因子B （0），则：())0()0(1)0()0()0(''Y D D D b-= (3-71)设g (1)为第一次迭代值，则：)0()0()1(b g g+=(4)精确度的检验。
设残差平方和为：[]21)()0(),(∑=-=ni s i i g x f y SSR ，S 为重复迭代次数，对于给定的允许误差率K ，当k SSR SSR SSR s s s ≤--)()1()(时，则停止迭代；否则，对(3-71)式作下一次迭代。
(5)重复迭代。
重复(3-71)式，当重复迭代S 次时，则有： 修正因子：())()(1)()()(''s s s s s Y D D D b -=第(S+1)次迭代值：)()()1(s s s b g g +=+四、应用举例设12个同类企业的月产量与单位成本的资料如下表：表3-9 间接代换法计算表(注：资料来源《社会经济统计学原理教科书》第435页)试配合适当的回归模型分析月产量与单位产品成本之间的关系。
解：(1)回归模型与初始值的选择。
根据资料散点图的识别，本数据应配合指数模型：i x i ab y =∧对指数模型两边取对数，化指数模型为线性回归模型，然后施行最小平方法求出初始值。
即：b b a a y y bx a y i ii i lg ,lg ,lg lg lg lg '''===+=∧∧∧令：则上述指数模型变为：i ix b a y '''+=∧ i i x y 00831.026109.2'-=∧ 对'',b a 分别求反对数，得182.43,0.981a b ==，带入原模型， 得回归模型：i xi y 981.043.182⨯=∧高斯—牛顿迭代法初始回归模型：(0)(,)182.430.981i xi f x g =⨯残差平方和：(0)(0)2((,))1124.1526i i SSRy f x g =-=∑（2）泰勒级数展开式。
先对指数模型 i xi ab y =∧中的a 和b 分别求偏导数。
0000.981ii a a b b x x i a a b b y b a ==∧==∂==∂11000182.43**0.981i i a a b b x x i a a i i b b y ax b x b--==∧==∂==∂然后用泰勒级数展开指数模型，移项整理得(注：参见(3-69)、(3-70)式)：(0)Y(0)D(0)B160-150.5866 0.82545 1535.0316 151-134.2148 0.73571 2189.0282 114-124.3015 0.68137 2534.1796 128-112.9332 0.61905 2878.011085-100.6550 0.55175 3180.7400 a (0)91- 91.4493 = 0.50128 3355.9387 75- 84.6948 0.46246 3453.405276- 76.9488 0.42180 3529.7593 b (0) 66- 68.5829 0.37594 3565.4701 60- 62.3104 0.34156 3556.9658 61- 57.7081 0.31633 3529.5468 60- 52.4302 0.28740 3473.9702(3-72)(3)估计修正因子。
解(3-72)式矩阵，得：a (0)12.09660288=b (0)－0.00180342第一次迭代值：a 1 a 0 a (0)194.5266= ＋ ＝b 1 b 0 b (0)0.9792第一次迭代回归模型：(1)(,)194.52660.9792i xi f x g =⨯(4)精确度的检验。
残差平方和：(1)(1)2((,))999.4077i i SSR y f x g =-=∑给定误差率K=10-3,则：(1)(0)(1)1124.152610.12482999.4077SSR SSR k SSR -=-=>作下一次迭代。
(5)重复迭代。
将 a 1 代入(3-71)式作第二次迭代。
得估计修正因子：b 1a (1)0.647654043=b (1)－0.000066948第二次迭代值：a 2 a 1 a (1)195.1743= ＋ ＝b 2 b 1 b (1)0.9791第二次迭代回归模型：(2)(,)195.17430.9791i xi f x g =⨯残差平方和：(2)(2)2((,))999.1241i iSSR yf xg =-=∑ 误差率：(2)(1)(2)999.407710.00028999.1241SSR SSR k SSR -=-=<误差率达到要求，停止迭代。
表3-10计算结果比较从上表可看出：高斯—牛顿迭代法具有收敛快，精确度高的优点，二次迭代就使精确度高达99.97%，相关指数也明显提高。