11数环和数域(答案)
近世代数第四章 环与域题解讲解
第四章环与域§1 环的定义一、主要内容1．环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环．2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要内容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难１．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(00Q y x y x ∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛对方阵普通加法与乘法作成的环．则易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。
高考试题中与数域数环有关问题的归类
高考试题中与数环、域有关的问题的归类（一）问题提出的背景：数是抽象思维的产物。
在漫长的史前时代，人类已经认识了抽象的自然数。
随着人类文明的进步，数的概念先后经历了多次重大的变化。
首先，数的概念从实体的测量发展为抽象的存在，如从正方形对角线的测量得到脱离经验的“无理数”。
其次是代数运算的需要，因减法，开方运算的需要产生了负数、无理数和负数。
到了近代，“数”不再只是单个的量的表示，数系发展为一个完备化的运算系统。
人们为了追求运算的无矛盾性，接受了理想的“数”，包括复数、四元数、八元数等。
在20世纪，从希尔伯特到布尔巴基，结构主义的数系观占据了统治地位。
（二）数域数环的定义及性质 数环定义：设S 是复数集的非空子集．如果S 中的数对任意两个数的和、差、积仍属于S ，则称S 是一个数环．性质1 任何数环都包含数零（即零环是最小的数环）． 性质2 设S 是一个数环．若S a ∈，则)(Z n S na ∈∈． 性质3 若M,N 都是数环，则N M ⋂也是数环．常见的数环有：整数集Z ，有理数集Q 、实数集R 、复数集C 。
数域定义：设F 是一个数环，如果对任意的F b a ∈,而且0≠a , 则F ab ∈；则称F 是一个数域．数域性质：任何数域都包含有理数域Q 。
即Q 是最小的数域。
常见的数域有：理数集Q 、实数集R 、复数集C. 著名的域还有：Klein 四元域。
（三）高考题型归类 高中与数环、域有关问题的学习，主要是体会数学思想，提高理性思维能力。
我将高考试题中与数环、域有关的问题归为两类： 第一类：与复数有关的问题对于复数的概念，高中课本中有专门的章节进行阐述，通过解方程的具体问题，感受引入复数概念的必要性，了解从实数系到复数系的的扩充过程，学习复数的一些基本知识，感受人类理性思维在数系扩充中的作用。
1、复数的概念 （1）（2007•重庆）复数322ii +的虚部为 。
分析：把复数整理变形，先变分母，再分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子上要进行复数的乘法运算，最后写出代数形式，指出虚部。
高等代数第一章
定理1.3.2（第二数学归纳法） 设有一个与正整数n 有关的命题. 如果 ① 当n=1时命题成立； ② 假设命题对于一切小于k的自然数来说成立，则 命题对于k也成立； 那么命题对于一切自然数n来说都成立.
作业：P17
1，2，3.
1.4 整数的一些整除性质
一、内容分布 整除与带余除法 最大公因数 互素 素数的简单性质 二、教学目的 1.理解和掌握整除及其性质。 2.掌握最大公因数性质、求法。 3.理解互素、素数的简单性质。 三、重点、难点 整除、最大公因数性质、互素有关的证明 。
三、 映射的合成 g : B C 是B 到 设 f : A B 是A到B 的一个映射，
( f ( x )) 是C中 C 的一个映射. 那么对于每一个 x A g， 的一个元素. 因此，对于每一 x A ，就有C 中唯一的 确定的元素 g ( f ( x )) 与它对应，这样就得到A到C 的一个
| r r || a ( q q ) || a | 由此或者 r | a | r | a |，或者 r | a | r | a | 。不论是哪 一种情形，都将导致矛盾。这样必须 q q 0 ，从而 r -r 0 ，也就是说 q q , r r .
一、整除与带余除法
设a，b是两个整数，如果存在一个整数d，使得 b=ad，那么就说a整除b（或者说b被a整除）。用符号 a|b表示a整除b。这时a 叫作b 的一个因数，而b叫做a的 一个倍数。如果a不整除b，那么就记作 .
② a | b , a | c a | (b c ) ① a | b, b | c a | c ③ a | b, 而 c Z a | bc ④ a | bi , 而 c i Z , i 1,2, , t a | (b1 c1 bi c i ) ⑤ 每一个整数都可以被1和 - 1整除。 ⑥ 每一个整数a都可以被它自己和它的相反数 - a整除
第一节 数域
§1 数域（number field ）教学目的：掌握数域的概念及其性质，了解数环的概念.教学重点：数域概念及其证明.教学难点：数域概念.数的发展过程复数实数有理数整数自然数负数开方正数开方除法减法−−−→−−−−→−−−→−−−→−1.数域的概念关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的.定义1 设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P 中的数，那么P 就称为一个数域.如果数的集合P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P 中，就说数集P 对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么P 就称为一个数域.显然全体有理数(rational number)组成的集合、全体实数(real number)组成的集合、全体复数(complex number)组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q 、R 、C 来表示.全体整数(integral number)组成的集合就不是数域，整数集关于加减乘运算是封闭的，但除法运算不封闭.类似的自然数集也不是数域.例1 所有具有形式2b a +的数(其中b a ,是任意的有理数)，构成一个数域.通常用)2(Q 来表示这个数域.即},2{)2(Q b a b a Q ∈+=.证明:显然)2(2011),2(2000Q Q ∈+=∈+=.)2(,Q y x ∈∀,设Q d c b a d c y b a x ∈+=+=,,,,2,2,则Q c a ∈±， d b ±Q ∈，Q bc ad Q bd ac ∈+∈+,2.因此有)2(2)()(Q d b c a y x ∈±+±=±,)2(2)()2(Q bc ad bd ac y x ∈+++=⋅. 因此)2(Q 对加减乘运算是封闭的.设Q b a ∈,,02≠+=b a x ,则02≠-b a ,若02=-b a ,则0==b a ,因此02=+b a ,与02≠+=b a x 矛盾.而,2222)2)(2()2)(2(222222b a bc ad ba bd acb a b a b a dc b ad c --+--=-+-+=++ 因为Q d c b a ∈,,,,所以Q ba bc ad Qb a bd ac ∈--∈--22222,22.因此)2(Q 关于除法运算也是封闭的.因此)2(Q 是一个数域.把本例中2换成其他的质数p ，)(p Q 也是一个数域.由于质数有无穷多个,因此数域有无穷多个.例2 所有可以表成形式m m n n b b b a a a ππππ++++++ 1010 的数组成一数域，其中m n ,为任意非负整数，),,1,0;,,1,0(,m j n i b a j i ==是整数.例3 所有奇数(odd number)组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的,因此不是数域.例4 设P 是至少含两个数的数集，证明：若P 中任意两个数的差与商（除数≠0）仍属于P ，则P 为一数域.证明 ,,P b a ∈∀有P ba Pb a P b b b P a a ∈∈-∈≠=∈-=,,)0(1,0.因此 P ab b P ba ab b P b a b a ∈==∈=≠∈--=+00/10,)0(时，当，时，当.所以P 为一数域.2.数域的性质性质1：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.若P 是数域,则有P Q ⊆.证明: 设P 是任意一个数域，则有P ∈1,0。
近世代数第四章-环与域题解讲解
第四章环与域§1 环的定义一、主要容1．环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以与集M的幂集环．2．环中元素的运算规那么和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环〞)．但不能记为R，·，十)．因为这涉与对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·〞作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．假设环R 无零因子且阶大于1，那么R 中所有非零元素对加法有一样的阶．而且这个一样的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难 １．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，那么R 也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，那么它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(00Q y x y x ∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛对方阵普通加法与乘法作成的环．那么易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。
第六章-环与域
整环、除环、域
整环：有单位元无零因子的交换环是整环
例：对于剩余环<Z n
,
n
,
n
，若n为素数，则Zn必为整环
除环：设R是一个含1的环，R=R-{0} ,如果R是一个群，则
为除环，可交换的除环为域
例 设S为下列集合,+和.为普通加法和乘法. (1)S＝{x｜x＝2n∧n∈Z}. (2)S＝{x｜x＝2n+1∧n∈Z}. (3)S＝{x｜x∈Z∧x≥0}＝N, (4)S＝{x｜x＝a+b 2 ,a,b∈Q}. 问S和+,·能否构成整环？能否构成域？为
＝a·(－b)。同理可证－(a·b)＝(－a)·b。
(3) (－a)·(－b)＝－(a·(－b))＝－(－(a·b))＝a·b
（4)a·(b－c)＝a·(b＋(－c))＝a·b＋a·(－c)＝a·b－a·c。
(b－c)·a＝(b＋(－c))·a＝b·a ＋(－c)·a ＝b·a－c·a。
定义: 给定环<S，＋，·>，则 (1)若<S，·>是可交换半群，称<S，＋，·>是可交换环。 (2)若<S，·>是独异点，称<S，＋，·>是含幺环。 (3)若<S，·>满足幂等律，称<S，＋，·>是布尔环。
练习
1.证明在特征为p的有限域F中，映射：a a p , a F,是F的自同构
定理: 设<S，＋，·>是环，则对于任意的a、b、c∈S，有
1.a0 0a 1
2.(a)b a(b) (ab)
3.(a)(b) ab
4.a(b c) ab ac, (b c)a ba ca
《高等代数》复习思考题答案
（0158）《高等代数》复习思考题答案一、略 二、判断题1. 错。
含有n 个未知量的m 个方程的线性方程组有无穷解的充要条件是系数矩阵的秩<n 。
2. 错。
如：向量组s ααα,,,21Λ中的每个向量都不是齐次线性方程组的解向量，但0向量是齐次线性方程组的解向量，0向量也是s ααα,,,21Λ线性组合。
3. 错。
如：方程组25320253202532025320253243214321432143214321=-++=-++=-++=-++=-++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x虽然方程的个数多余未知量的个数，但是它毕竟等价于第一个单独的方程因此有无穷多解。
4. 错。
如矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛0010的秩为1，但是它的1阶主子式为0。
5. 错。
所给出的条件是正交相似，不是一般意义的相似条件。
6. 错。
如：2224)1(12+=++x x x 在有理数域上可约，但是无根。
7. 对。
因为线性变换σ为数乘变换的充要条件是该变换在任意基下的矩阵A 为数量矩阵I λ，所以A 适合多项式λ-x ，即为极小多项式，从而是一次多项式。
反之，如果极小多项式次数为1，设为λ-x ，则0=-I A λ。
根据线性变换与矩阵的对应关系知λεσ=，其中ε为恒等变换，即得σ为数乘变换 8. 错。
如：5)4()(-=x x f ，)(|)4(2x f x -，但不是f(x)的2重根，它是4重根。
9. 错。
如：12++x x 无有理根，但是不可能存在任何素数整除除首项以外的项的系数。
10. 对。
11. 对。
12. 对。
13. 对。
14. 对。
15. 对。
三、计算题第1、2、3、4、5题略。
6、因为]5)10([)5)(3(58223b a x b x b x x a x x x -++-++++=+++，所以a x x xb x x +++++58|3232的充要条件是05)10(=-++-b a x b 。
11数环和数域(答案)
1．5 数环和数域1． 证明，如果一个数环{}0≠S ,那么S 有无限多个元素。
证明：法一（正面证明）：{}0≠S0,≠∈∃∴a S aS 为数环∴加法具有封闭性∴S na a a ∈,,,,2, 且为两两不同的数（否则，可以推出0=a ）∴S 有无限多个元素法二（反证法）：假设S 有有限多个元素不妨设为k 个{}0≠S0,≠∈∃∴a S aS 为数环∴加法具有封闭性∴,,,,2, ka a a 为两两不同的数且为S 中元，矛盾∴假设不正确，即：S 有无限多个元素2． 证明：{}Q b a bi a F ∈+=,是数域。
证明： Q b a bi a ∈+,,令0==b a∴Q b i a ∈=+0∴F 为复数集C 的非空子集又对F di c bi a ∈++∀,有：F i d b c a di c bi a ∈±+±=+±+)()()()(F i ad bc bd ac di c bi a ∈++-=++)()())((∴F 为数环又对0,,≠+∈++∀di c F di c bi a 有：022≠+d c 及F i d c ad bc d c bd ac di c bi a ∈+-+++=++2222所以F 的除法封闭所以F 为数域。
3． 证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z n m m S n ,2是一个数环。
S 不是一个数域。
证明：（1）S 为数环的证明： S ∈=0211 ∴S 为复数集的非空子集 又对任意的2,1,,,2,22121=∈∈i Z n m S m m i i n n 有： S m m m m n n n n n n ∈±=±+211221222222121S m m m m n n n n ∈=⋅+21212222121 ∴S 为数环（2）S 不是数域的证明：S ∈==220015,11但S ∉51 ∴S 对除法不具封闭性 ∴S 不是数域4． 证明：两个数环的交还是一个数环；两个数域的交还是一个数域。
《高等代数》第一次作业简述题
五、简答题1、 举出一个映射，它不是满射，但是它有逆映射；举出一个映射，它不是单射，但是它有逆映射。
答：实数集上的指数函数y = 2x 是单射而非满射，但是它有逆映射；多项式函数y = x 3-x 是满射而非单射，2、 数环与数域有什么区别？答：定义1 设∅≠R ⊆C ．若对于任意的a ，b ∈R ，都有a + b ，a - b ，a b ∈R ，则称R 是一个数环．显然，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R 和复数集C 都是数环．定义2 设F 是一个数环．如果1)F ≠{0}；2)若a ，b ∈F ，且b ≠0，则∈ba F ，那么称F 是一个数域．显然，Q ，R 和C 都是数域，依次叫做有理数域，实数域和复数域．但是，整数环Z 不是数域．由此可见：数域必是数环，数环不一定是数域。
3、 试举出两个不是有理数域、实数域、复数域以外的数域。
答：{},Q a a b Q =+∈，{},Q a a b Q =+∈。
4、 两个数环的交是不是数环，为什么？证：设S 1、S 2是两个数环。
∵0∈S 1，0∈S 2 ∴S 1∩S 2=｛0｝≠ （先证非空），如果a 、b ∈S 1∩S 2则a 、b ∈S 1 a 、b ∈S 2又∵S 1,S 2是数环 ∴a ±b 、 ab ∈S 1 ∈S 2 ∴a ±b 、a ×b ∈S 1∩S 2 ∴两个数环的交是数环。
5、 哪种行列式的初等变换会改变行列式的值？答：交换两行（或两列）的位置，行列式值改变符号； 用一个非零的常数k 乘上某行（或列），行列式值也将变成原来的k 倍； 6、 什么样的方程组叫做齐次线性方程组？答：齐次线性方程组111122121122221122000n n n nm m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L L7、 线性方程组的解法有几种？答：消元法和公式法（高斯消元法，克莱姆法则） 8、克莱母规则的使用范围？答：用克莱姆法则须满足两个条件：（1）方程组的个数与未知量的个数相等。
第三章 环与域
注 1) R 中左零因子和右零因子这两个概念是彼 此依赖,彼此依托 —“共存亡”:有左零因子 有右零因子.
由上可知,欲说明 a 0 是左零因子,则只需 证明存在 b 0 使 ab = 0. 欲说明 a 0 不是左 零因子,则只需证明任一个 b 0 都有 ab 0(或 一旦 ab = 0 b = 0).
证毕. 定义3 如果环 R 中有元素 e, 它对R 中每个 元素 a 都有e a = a,则称 e 为环 R 的一个左单位 元;如果环 R 中有元素 e,它对 R 中每个元素 a 都有 ae = a,则称 e 为环 R 的一个右单位元.
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环 R 中既是左单位元又是右单位元的元素, 叫做 R 的单位元. 实际上,由于环 R 对其乘法显然作成一个半群， 故 R 的左,右单位元或单位元也是该半群的左,右 单位元或单位元. 例3 证明:集合 M 的幂集 P(M) 对运算 A + B = A∪B A ∩ B AB = A ∩ B A, B M 作成一个有单位元的交换环.这个环称为 M 的幂集环. 证明：显然,上述加法是P(M)的代数运算且满足 交换律;又显然空集是 P(M) 的零元，而 A 的负元为 A 自身. 因此,欲证 P(M ) 作成加群只剩下证该代数 运算满足结合律.
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对没有零因子的环 R 中任意元素 a 0 , b, c 有 ab = ac b = c
ba = ca b = c
,左消去律成立; ,右消去律成立.
推论 当环 R 无左(或右)零因子时,则消去律 成立;反之,若 R 中有一个消去律成立,则 R 中无 左及右零因子,且另一个消去律也成立. 定义2 无零因子、有单位元的交换环称为整环.
n m n m
a )( b ) a b
高等代数：数环与数域
又由Q是数域可知, Q( )是一个数域.
数域的充要条件
设K是一个含有不等于0的数的数集, 则K作为一个数
域的充要条件是：K中任两个数的差与商(除数不为0)
仍属于K.
证：由定义可得其必要性. 再证充分性：
任取a, b∈K, 若K中任两个数的差与商仍属于K, 则
a-a=0∈K, 0-b= -b∈K,
从而a+b=a-(-b)∈K,
又当b≠0时, b/b=1∈K, 1/b∈K,
从而ab=a/(1/b)∈K, ∴K是一个数域.
用充要条件证明
一个数集是数域
证明：数集Q(i)={a+bi, a,b∈Q}是一个数域.
证：当ab≠0时, a+bi≠0.
任取α,β∈Q(i), 令α=a+bi, β=c+di, (a,b,c,d∈Q)
(2)数域的含义中包含除法, 数环则不包含;
是数环, 但数环不一定是数域.
如{0}与Z都是数环, 但都不是数域.
用定义证明
一个数集是数域
证明：数集Q( )={a+b , a,b∈Q}是一个数域.
证：当ab≠0时, a+b ≠0.
任取α,β∈Q( ), 令α=a+b , β=c+d , (a,b,c,d∈Q)
数环与数域
数环的概念
设S是一个非空数集, 如果S中任意二数的和,差,积仍属于
S, 则称S是一个数环.
例如：整数集是一个数环，称为整数环；
全体偶数(包括负数)也是一个数环，称为偶数环；
数集{0}本身就是一个数环.
想一想：全体奇数是一个数环吗？
{a|a∈R且a≠0}呢？
数域的概念
设K是一个含有不等于０的数的数集. 如果K中任意
高等代数最重要的基本概念汇总审批稿
高等代数最重要的基本概念汇总YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】第一章 基本概念数环和数域定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集,如果对于S 中任意两个数a 、b 来说，a+b,a-b,ab 都在S 内，那么称S 是一个数环。
定义2设F 是一个数环。
如果（i ）F 是一个不等于零的数；（ii ）如果a 、b ∈F,，并且b 0≠，aF b ∈，那么就称F 是一个数域。
定理 任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。
第二章 多项式一元多项式的定义和运算定义1 数环R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式 ()1 2012n n a a x a x a x ++++，是非负整数而012,,,n a a a a 都是R 中的数。
项式()1中，0a 叫作零次项或常数项，i i a x 叫作一次项，一般，i a 叫作i 次项的系数。
定义2 若是数环R 上两个一元多项式()f x 和()g x 有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么就说()f x 和()g x 就说是相等()()f x g x =定义3 n n a x 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++，0n a ≠的最高次项，非负整数n 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++，0n a ≠的次数。
定理2.1.1 设()f x 和()g x 是数环R 上两个多项式，并且()0f x ≠，()0g x ≠，那么()i 当()()0f x g x +≠时，()()()()()()()()000max ,;f x g x f x g x ∂+≤∂∂ ()ii ()()()()()()()000f x g x f x g x ∂=∂+∂。
多项式的加法和乘法满足以下运算规则： 1） 加法交换律：()()()()f x g x g x f x +=+； 2） 加法结合律：()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x ++=++； 3）乘法交换律：()()()()f x g x g x f x =； 4） 乘法结合律：()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x =； 5） 乘法对加法的分配律：()()()()()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+。
近世代数 环与域
环与域§1.2环、除环、域的定义1 判断题：1.1 偶数环是有单位元的环。
（ ）1.2 偶数环2Z 是整环。
( )1.3 设R 是一个环，则下列三条是相互等价的。
（ ）A ）R 中无零因子；B ） R 的乘法适合左消去律；C ） R 的乘法适合右消去律；1.4在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。
（ ） 1.5对于环R,若a 是R 的左零因子,则a 必同时是R 的右零因子. （ ） 1.6剩余类环是一个整环 （ ） 1.7整环（R ，＋， ）若对乘法成群，则这个整环是域（ ） 1.8若(R,+,∙)是一个环,且(R,∙)也构成一个群,则(R,+,∙)是一个除环。
1.9 设环（R ·,+ ·）≠{0},则R 的零元0也是环R 的单位。
（ ）1.10 设环>∙+<,,R 的加法群是循环群,那么环R 必是交换环. （ ）1.11 整数环是无零因子环，但它不是除环。
（ ）1.12 含2个元素的环是域。
（ ）1.13无零因子环的特征1.14 无零因子环的特征一定是素数。
( )1.151.16 无零因子环R 的特征或是零或是一个素数。
( )1.17 剩余类m Z 是无零因子环的充分必要条件是m 为素数. （ ）1.18 模27的剩余类环Z 27是域。
（ ）1.19 存在特征是2004的无零因子环。
（ ）1.201.21 含7个元的环是交换环。
（ ）1.22 含8个元的环是交换环。
（ ）1.231.24子环、环的同态1.251.261.271.281.291.30理想1.311.321.33 在整环中,左理想一定是理想。
( )1.34 没有非平凡理想的环是除环。
( )1.351.361.37 环R 的主理想(a)={ra|r ∈R} 。
剩余类环、同态与理想最大理想1.38 在交换环R 中，极大理想一定是素理想。
（ ）1.39 在整数环Z 中，(-3)是极大理想。
高等代数习题【可编辑范本】
高等代数习题第一章基本概念§１.1 集合1、设Z是一切整数的集合,Ｘ是一切不等于零的有理数的集合.Z是不是X的子集？2、设a是集Ａ的一个元素。
记号{a}表示什么? {a｝ A是否正确?３、设写出和。
4、写出含有四个元素的集合{｝的一切子集.5、设Ａ是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个？6、下列论断那些是对的,那些是错的?错的举出反例，并且进行改正．（i)（ｉi)(iｉｉ)(ｉv)７．证明下列等式:（i)(ii)（ｉｉi）§1。
2映射１、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射,但不是满射．2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射.3、是不是全体实数集到自身的映射？4．设f定义如下:ｆ是不是R到R的映射?是不是单射?是不是满射?５、令Ａ=｛1，2，3｝。
写出A到自身的一切映射。
在这些映射中那些是双射？6、设a ，ｂ是任意两个实数且a<b。
试找出一个[0，1］到[a ,b］的双射。
7、举例说明,对于一个集合Ａ到自身的两个映射f和ｇ来说，fｇ与gｆ一般不相等.８、设A是全体正实数所成的集合。
令（i)ｇ是不是A到Ａ的双射？(ii)g是不是f的逆映射?(iｉi)如果ｇ有逆映射,g的逆映射是什么?9、设是映射，又令,证明(i)如果是单射，那么也是单射；(ii ）如果是满射,那么也是满射；（ｉii ）如果都是双射，那么也是双射,并且10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算:集合 A 规则１２34 全体整数全体整数全体有理数全体实数baba+→|),(§1。
3数学归纳法1、证明：2、设是一个正整数.证明，是任意自然数．3、证明二项式定理：这里，是个元素中取个的组合数.４、证明第二数学归纳法原理。
5、证明，含有个元素的集合的一切子集的个数等于。
§１.4整数的一些整除性质1、对于下列的整数,分别求出以除所得的商和余数:;；; .２、设是整数且不全为0,而，，。
数学概念（集合，数环，数域，线性空间，线性变换）
数学概念（集合，数环，数域，线性空间，线性变换）集合（Set）定义：集合（或简称集）是基本的数学概念，它是集合论的研究对象。
最简单的说法，即是在最原始的集合论─朴素集合论─中的定义，集合就是“⼀堆东西”。
集合⾥的“东西”，叫作元素。
数环（number ring）定义：设S是复数集的⾮空⼦集。
如果S中的数对任意两个数的和、差、积（没有商）仍属于S，则称S是⼀个数环。
例如整数集Z就是⼀个数环，有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数环。
性质：1. 任何数环都包含数零（即零环是最⼩的数环）。
2. 设S是⼀个数环。
若a∈S ，则na∈S(n∈Z)。
3. 若M,N都是数环，则M∩N也是数环。
数域（number field）定义1：设F是⼀个数环，如果对任意的a,b∈F⽽且a≠0, 则b/a∈F；则称F是⼀个数域。
定义2：设S是复数集的⾮空⼦集。
如果S中的数对任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍属于S，则称S是⼀个数域。
例如有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数域。
性质：任何数域都包含有理数域Q。
线性空间（linear space） 简单的说，线性空间是这样⼀种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另⼀元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另⼀元素。
（个⼈理解就是可加性和齐次性） 定义：设V是⼀个⾮空集合，F是⼀个数域，在集合V的元素之间定义⼀种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了⼀个法则，对于V中任意两个元素x和y，在V中都有唯⼀的⼀个元素z与他们对应，称为x与y的和，记为z=x+y．在数域F与集合V的元素之间还定义了⼀种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域F中任⼀数k与V中任⼀元素x，在V中都有唯⼀的⼀个元素y与他们对应，称为k与x的数量乘积，记为y=kx。
如果加法与乘法还满⾜下述规则，那么V称为数域F上的线性空间．1. V对加法满⾜：（1）（交换律）x+y=y+x；（2）（结合律）(x+y)+z=x+(y+z)（3）（零元素）在V中有⼀元素θ，对于V中任⼀元素x都有x+θ=x；（4）（负元素）对于V中每⼀个元素x，都有V中的元素y，使得x+y=θ；2. 数量乘法满⾜：（5）（1乘律）1x=x；（6）（结合律）k(lx)=(kl)x；3. 数量乘法和加法满⾜：（7）（分配律）(k+l)x=kx+lx；（8）（数因⼦分配律）k(x+y)=kx+ky．其中x，y，z为V中任意元素，k，l为数域F中的任意元素，1是F的乘法单位元。
考研《高等代数》考研考点与考研真题详解
考研《高等代数》考研考点与考研真题详解第1章多项式1.1考点归纳一、一元多项式1．数环与数域（1）数环设S是由一些复数组成的一个非空集合，如果对任何a，b∈S，总有a＋b，a －b，a·b∈S，则称S是一个数环．整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数环．（2）数域设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数，那么P 就称为一个数域．有理数集Q，实数集R，复数集C是最重要的三个数域．2．一元多项式设x是一个符号（或称文字），n是一非负整数，形式表达式…，其中a0，a1，…，an全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式．n称为多项式的系数，f（x）的次数记为．3．一元多项式环所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为P[x]，P称为P[x]的系数域．二、整除的概念1．带余除法定义对于P[x]中任意两个多项式f（x）与g（x），其中g（x）≠0，一定有P[x]中的多项式q（x），r（x）存在，使f（x）＝q（x）g（x）＋r（x）成立，其中或者r（x）＝0，并且这样的q（x），r（x）是惟一决定的．带余除法中所得的q（x）通常称为g（x）除f（x）的商，r（x）称为g（x）除f（x）的余式．2．整除定义如果数域P上的多项式h（x）使等式f（x）＝g（x）h（x）成立，就称数域P 上的多项式g（x）整除f（x），用“g（x）丨f（x）”表示；用g（x）不能整除f（x）则用“g（x）f（x）”表示．当g（x）丨f（x）时，g（x）就称为f（x）的因式，f（x）称为g（x）的倍式．3．整除性的判别对于数域P上的任意两个多项式f（x），g（x），其中g（x）≠0，g（x）丨f （x）的充分必要条件是g（x）除f（x）的余式为零．注意：任一个多项式f（x）一定整除它自身；任一个多项式f（x）都整除零多项式；零次多项式，也就是非零常数，能整除任一个多项式．4．整除性的常用性质（1）如果f（x）丨g（x），g（x）丨f（x），那么f（x）＝cg（x），其中c 为非零常数；（2）如果f（x）丨g（x），g（x）丨h（x），那么f（x）丨h（x）（整除的传递性）；（3）如果f（x）丨gi（x），i＝1，2，…，r，那么f（x）丨（u1（x）gl（x）＋u2（x）g2（x）＋…＋ur（x）gr（x）），其中ui（x）是常数域P上任意的多项式．三、最大公因式1．公因式定义如果多项式既是f（x）的因式，又是g（x）的因式，那么就称为f（x）与g（x）的一个公因式．2．最大公因式（1）定义设f（x），g（x）是P[x]中两个多项式，若P[x]中多项式d（x）是f（x），g （x）的公因式且f（x），g（x）的公因式全是d（x）的因式，则称d（x）称为f（x），g（x）的一个最大公因式．两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是惟一确定的．（2）引理如果有等式f（x）＝q（x）g（x）＋r（x），成立，那么f（x），g（x）和g（x），r（x）有相同的公因式．（2）定理对于P[x]中任意两个多项式f（x），g（x），在P[x]中存在一个最大公因式d（x），且d（x）可以表成f（x），g（x）的一个组合，即有P[x]中多项式u（x），υ（x）使d（x）＝u（x）f（x）＋υ（x）g（x）可用辗转相除法来求最大公因式．3．多项式互素（1）定义P[x]中两个多项式f（x），g（x）满足（f（x），g（x））＝1，则称f（x）和g （x）互素（也称互质）．（2）性质①P[x]中两个多项式f（x），g（x）互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式u （x），v（x）使u（x）f（x）＋υ（x）g（x）＝1；②如果（f（x），g（x））＝1，且f（x）丨g（x）h（x），那么f（x）丨h（x）；③如果f1（x）丨g（x），f2（x）丨g（x），且（f1（x），f2（x））＝1，那么f1（x）f2（x）丨g（x）；④如果（f（x），g（x））＝（f（x），h（x））＝1，则（f（x）g（x），h（x））＝1．四、因式分解定理1．不可约多项式（1）定义数域P上次数≥l的多项式p（x）如果不能表成该数域上的两个次数比p（x）的次数低的多项式的乘积，则称p（x）为域P上的不可约多项式．按照定义，一次多项式总是不可约多项式．（2）性质①如果p（x）是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f（x），g（x），由p（x）丨f（x）g（x）一定推出p（x）丨f（x）或者p（x）丨g（x）．②如果不可约多项式p（x）整除一些多项式f1（x），f2（x），…，fs（x）的乘积f1（x），f2（x），…，fs（x），那么p（x）一定整除这些多项式之中的一个．2．因式分解及惟一性定理（1）惟一性定理数域P上每一个次数≥1的多项式f（x）都可以惟一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积．惟一性是指，如果有两个分解式f（x）＝p1（x）p2（x）…ps （x）＝q1（x）q2（x）…qt（x），那么必有s＝t，并且适当排列因式的次序后有pi（x）＝ciqi（x），i＝1，2，…，s，其中c（i＝1，2，…，s）是一些非零常数．（2）因式分解在多项式f（x）的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并，于是f（x）的分解式成为其中c是f（x）的首项系数，p1（x），p2（x），…，ps（x）是不同的首项系数为1的不可约多项式，而r1，r2，…，rs是正整数，这种分解式称为多项式的标准分解式．五、重因式与多项式的根1．重因式定义如果不可约多项式p（x）满足（k≠0），而，则称p（x）为f（x）的k重因式，其中，若k＝1，那么p（x）称为f（x）的单因式．如果k＝0，那么p（x）根本不是f（x）。
第三章环与域
第三章环与域第三章环与域与群一样,环与域也就是两个重要得代数系统。
但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了,在哪里,我们有数环与数域得概念,它们实际上就就是特殊得环与域。
在本章里,我们只就是介绍环与域得最基本得性质及几类最重要得环与域,通过本章得学习,将使得我们一方面对数环与数域有更清楚得了解,另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备得基础。
§1 加群、环得定义一、加群在环得概念里要用到加群得概念,因此要先介绍一下什么就是加群,实际上加群也不就是什么新得群,在习惯上,抽象群得代数运算,都就是用乘法得符号来表示得,但我们知道,一个代数运算用什么符号表示就是没有什么关系得,对于一个交换群来说,它得代数运算在某种场合下,用加法得符号来表示更加方便。
因此,我们通常所说得加群,就是指用加法符号表示代数运算得交换群。
由于加法符号与乘法符号有所不同,所以加群得许多运算规则与表示形式就要与乘法表示得群有所不同。
如:(1)加群得单位元用0表示,叫做零元。
即,有。
(2)加群得元素得逆元用表示,叫做得负元。
即有。
利用负元可定义加群得减法运算:。
(3)。
(4)。
(5)(6),且有请同学们在乘法群中写出以上各结论得相应结论。
加群得一个非空子集作成一个子群,有,有。
加群得子群得陪集表示为:。
二、环得定义设就是一个非空集合,“+”与“。
”就是两个代数运算,分别叫做加法与乘法,若1、对于“+”作成一个加群。
2、对于“。
”就是封闭得。
3、 ,有,即乘法适合结合律。
4、 ,有,即乘法对加法适合左(右)分配律。
则称关于“+”与“。
”作成一个环。
由定义可知,环就是一个具有两个代数运算得代数系统,两个代数运算通过分配律联系起来。
例1 整数集合,有理数集合,实数集合,复数集合对于普通数得加法与乘法作成环。
分别叫做整数环,有理数环,实数环,复数环。
例2 数域上所有阶方阵作成得集合关于矩阵得加法与乘法作成环。
例3 关于普通数得加法与乘法作成环,叫做偶数环。
近世代数之环与域
证 （1）由第一章知，剩余类的加法是 Z m 的代 数运算. 由第二章知 Z m , 是加群. 下面证明乘法 “·” :
[i ] [ j ] [i j ] 是 Z m 的代数运算.
假设 i [i ], j [ j ]，那么 按照定义，有
[i[ [i],[ j] [ j ]
[i] [ j] [i j]
（2）
（1） ， （ 2 ）两式的左端是相等的， 即
[i] [ j] [i ] [ j ].
如果它们的右端不一样，就有
[i] [ j] [i ] [ j ]，
那么，规则“· ”就不是 Z m 的代数运算， 就是说 Z m 中两个元素，按照规则“· ”得到 两个不同的值了.
a a a (a) (a) a 0, a R; (a ) a, a R;
a b c b a c, a, b, c R;
性质5 (a b) a b, (a b) a b, a, b R; 性质6 m(na) (mn)a, n(a b) na nb, m, n Z , a, b R;
In our classes, all the mobile phones should be switched off !
上课啦！
The class is begin!
第 三 章
环 和 域
群是有一个代数运算的代数系统 但是， 我们在数学特别是在高等代数中，遇到过很 重要的讨论对象，例如，数、多项式、函数 以及矩阵和线性变换等，都有两个代数运算, 这一事实说明，在近世代数中研究有两个代 数运算的代数系统，也具有非常重要的现实 意义。在有两个代数运算的代数系统 “· ” R, , 中设 Z 为整数集,
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数环和数域
13
1．5 数环和数域
1． 证明，如果一个数环{}0≠S ,那么S 有无限多个元素。
证明：法一（正面证明）： {}0≠S
0,≠∈∃∴a S a
S 为数环 ∴加法具有封闭性
∴S na a a ∈,,,,2, 且为两两不同的数 （否则，可以推出0=a ）
∴
S 有无限多个元素
法二（反证法）：
假设S 有有限多个元素 不妨设为k 个
{}0≠S
0,≠∈∃∴a S a
S 为数环 ∴加法具有封闭性
∴,,,,2, ka a a 为两两不同的数且为S 中元，矛盾
∴
假设不正确，即：
S 有无限多个元素
2． 证明：{}
Q b a bi a F ∈+=,是数域。
证明： Q b a bi a ∈+,, 令0==b a ∴
Q bi a ∈=+0
∴
F 为复数集C 的非空子集
又对F di c bi a ∈++∀,有：
F i d b c a di c bi a ∈±+±=+±+)()()()( F i ad bc bd ac di c bi a ∈++-=++)()())((
∴
F 为数环
又对0,,≠+∈++∀di c F di c bi a 有：
022≠+d c 及
F i d c ad
bc d c bd ac di c bi a ∈+-+++=++2
222
数环和数域
14
所以F 的除法封闭 所以F 为数域。
3． 证明：⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧∈=Z n m m S n
,2是一个数环。
S 不是一个数域。
证明：（1）S 为数环的证明：
S ∈=
02
1
1 ∴
S 为复数集的非空子集
又对任意的
2,1,,,2,22
12
1=∈∈i Z n m S m m i i n n 有： S m m m m n n n n n n ∈±=
±
+2
11
22
1
222222121
S m m m m n n n n ∈=⋅+21212222
121 ∴
S 为数环
（2）S 不是数域的证明： S ∈==
2
2
1
5,1
1
但S ∉5
1
∴S 对除法不具封闭性 ∴
S 不是数域
4． 证明：两个数环的交还是一个数环；两个数域的交还是一个数域。
两个
数环的并是不是数环？
证明：（1）两个数环的交还是数环： 任取两个数环21,S S
∴
10S ∈，20S ∈ 令21S S S ⋂=
数环和数域
15
∴S ∈0
∴
S 为复数集C 的非空子集
对任意的S b a ∈,有： 1,S b a ∈2,S b a ∈ 1S 为数环
∴
1,S ab b a ∈±
同理：2,S ab b a ∈±
∴S ab b a ∈±, ∴S 为数环
（2）两个数域的交还是一个数域 任取两个数环21,F F
令21F F F ⋂=
根据（1）知F 是一个数环 对任意的0,,≠∈b F b a 有
1,F b a ∈2,F b a ∈
1F 是数域
∴1F b a ∈
同理2F b a
∈
∴F b
a
∈，即： F 为数域
（3）两个数环的并不一定是数环
取数环：{}Z n n Z ∈=33，{}
Z k k Z ∈=22 令⋃=Z S 3Z 2 Z 33∈，Z 22∈
∴
S ∈3,2
但S ∉+=325
即S 的加法不封闭 ∴
S 不是数环
5． 设n 是一整数，令：
{}
Z z nz nZ ∈=
由例1，nZ 是一个数环。
设Z n m ∈,，记：
数环和数域
16
{}
Z y x ny mx nZ mZ ∈+=+, 证明：（i ）nZ mZ +是一个数环。
证明： nZ mZ n m +∈+
∴nZ mZ +是复数集的非空子集
∴对任意的nZ mZ nz mz nz mz +∈++2211, 有：
nZ mZ z z n z z m nz mz nz mz +∈±+±=+±+)()()()(21212211
nZ
mZ z nz n z z n m m nz mz nz mz +∈++=++)()2(()
)((21212211
∴nZ mZ +对加，乘，减运算具有封闭性
∴nZ mZ +为数环。
（ii ）m n nZ mZ ⇔⊆
证明：充分性： m n
∴st Z d ,∈∃ dn m =
对任意的mZ b ∈ （1） st Z f ,∈∃ )(fd n fm b == ∴nZ b ∈ （2） 由（1）、（2）知： nZ mZ ⊆ 必要性：
nZ mZ mZ m ⊆∈, ∴nZ m ∈
∴st Z d ,∈∃
dn m =
∴m n
（iii ）),(,n m d dZ nZ mZ ==+这里是n m ,的最大公因数
分析：本题实际上是证明集合相等，只要证明相互包含即可。
证明：先证dZ nZ mZ ⊆+
数环和数域
17
),(n m d =
∴st b a Z b a ,1),(,,=∈∃ bd n ad m ==,
对任意的Z y x nZ mZ ny mx ∈+∈+,,有： dZ d by ax bdy adx ny mx ∈+=+=+)( ∴dZ nZ mZ ⊆+ 再证：dZ nZ mZ ⊇+ ),(n m d =
∴st Z b a ,,∈∃
d bn am =+ （1） 又对任意的dZ f ∈ （2）
dh f st Z h =∈∃:, （3）
由（1）、（3）知：
nZ mZ bh n ah m f +∈+=)()( （4）
由（2）、（4）知
dZ nZ mZ ⊇+
综合两个方面的证明，dZ nZ mZ =+
（iv ）),(1n m Z nZ mZ =⇔=+ 证明：由（iii ）知：
),(n m d dZ nZ mZ =⇔=+
),(1n m =
∴),(1n m Z nZ mZ =⇔=+
数环和数域18
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数环和数域30
广东陶粒，广东陶粒厂 Up3ICj4stBs1
数环和数域31。