11数环和数域(答案)

数环和数域

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1．5 数环和数域

1． 证明，如果一个数环{}0≠S ,那么S 有无限多个元素。

证明：法一（正面证明）： {}0≠S

0,≠∈∃∴a S a

S 为数环 ∴加法具有封闭性

∴S na a a ∈,,,,2, 且为两两不同的数 （否则，可以推出0=a ）

∴

S 有无限多个元素

法二（反证法）：

假设S 有有限多个元素 不妨设为k 个

{}0≠S

0,≠∈∃∴a S a

S 为数环 ∴加法具有封闭性

∴,,,,2, ka a a 为两两不同的数且为S 中元，矛盾

∴

假设不正确，即：

S 有无限多个元素

2． 证明：{}

Q b a bi a F ∈+=,是数域。

证明： Q b a bi a ∈+,, 令0==b a ∴

Q bi a ∈=+0

∴

F 为复数集C 的非空子集

又对F di c bi a ∈++∀,有：

F i d b c a di c bi a ∈±+±=+±+)()()()( F i ad bc bd ac di c bi a ∈++-=++)()())((

∴

F 为数环

又对0,,≠+∈++∀di c F di c bi a 有：

022≠+d c 及

F i d c ad

bc d c bd ac di c bi a ∈+-+++=++2

222

数环和数域

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所以F 的除法封闭 所以F 为数域。

3． 证明：⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧∈=Z n m m S n

,2是一个数环。S 不是一个数域。 证明：（1）S 为数环的证明：

S ∈=

02

1

1 ∴

S 为复数集的非空子集

又对任意的

2,1,,,2,22

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1=∈∈i Z n m S m m i i n n 有： S m m m m n n n n n n ∈±=

±

+2

11

22

1

222222121

S m m m m n n n n ∈=⋅+21212222

121 ∴

S 为数环

（2）S 不是数域的证明： S ∈==

2

2

1

5,1

1

但S ∉5

1

∴S 对除法不具封闭性 ∴

S 不是数域

4． 证明：两个数环的交还是一个数环；两个数域的交还是一个数域。两个

数环的并是不是数环？

证明：（1）两个数环的交还是数环： 任取两个数环21,S S

∴

10S ∈，20S ∈ 令21S S S ⋂=

数环和数域

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∴S ∈0

∴

S 为复数集C 的非空子集

对任意的S b a ∈,有： 1,S b a ∈2,S b a ∈ 1S 为数环

∴

1,S ab b a ∈±

同理：2,S ab b a ∈±

∴S ab b a ∈±, ∴S 为数环

（2）两个数域的交还是一个数域 任取两个数环21,F F

令21F F F ⋂=

根据（1）知F 是一个数环 对任意的0,,≠∈b F b a 有

1,F b a ∈2,F b a ∈

1F 是数域

∴1F b a ∈

同理2F b a

∈

∴F b

a

∈，即： F 为数域

（3）两个数环的并不一定是数环

取数环：{}Z n n Z ∈=33，{}

Z k k Z ∈=22 令⋃=Z S 3Z 2 Z 33∈，Z 22∈

∴

S ∈3,2

但S ∉+=325

即S 的加法不封闭 ∴

S 不是数环

5． 设n 是一整数，令：

{}

Z z nz nZ ∈=

由例1，nZ 是一个数环。设Z n m ∈,，记：

数环和数域

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{}

Z y x ny mx nZ mZ ∈+=+, 证明：（i ）nZ mZ +是一个数环。 证明： nZ mZ n m +∈+

∴nZ mZ +是复数集的非空子集

∴对任意的nZ mZ nz mz nz mz +∈++2211, 有：

nZ mZ z z n z z m nz mz nz mz +∈±+±=+±+)()()()(21212211

nZ

mZ z nz n z z n m m nz mz nz mz +∈++=++)()2(()

)((21212211

∴nZ mZ +对加，乘，减运算具有封闭性

∴nZ mZ +为数环。

（ii ）m n nZ mZ ⇔⊆

证明：充分性： m n

∴st Z d ,∈∃ dn m =

对任意的mZ b ∈ （1） st Z f ,∈∃ )(fd n fm b == ∴nZ b ∈ （2） 由（1）、（2）知： nZ mZ ⊆ 必要性：

nZ mZ mZ m ⊆∈, ∴nZ m ∈

∴st Z d ,∈∃

dn m =

∴m n

（iii ）),(,n m d dZ nZ mZ ==+这里是n m ,的最大公因数

分析：本题实际上是证明集合相等，只要证明相互包含即可。 证明：先证dZ nZ mZ ⊆+