陕西省 西安市高新一中2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)

西安市高新一中2019-2020学年高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 已知集合{1,2,}M a =，{,2}N b =，{,}M N 23=，则M N ⋃=（ ）A. {1,3}B. {2,3}C. {1,2}D. {1,2,3}【答案】D 【解析】{}{}{}{}1,2,,,2,2,3,3,3,1,2,3.M a N b M N a b M N ==⋂=∴==∴⋃= 本题选择D 选项.2. 若函数222=++y x x 在闭区间[],1m 上有最大值5，最小值1，则m 的取值范围是（ ） A. [1,1]- B. [1,)-+∞C. [3,0]-D. [3,1]--【答案】D 【解析】 【分析】数形结合：根据所给函数作出其草图，借助图象即可求得答案． 【详解】2222(1)1y x x x =++=++，令2225x x ++=，即2230x x ++-=，解得3x =-或1x =，()11f -=， 作出函数图象如下图所示：因为函数在闭区间[,1]m 上有最大值5，最小值1， 所以由图象可知，31m --． 故选：D ．【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，考查数形结合思想，深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类问题的关键． 3. 已知α为第二象限角，3sin cos αα+=cos2α=（ ）A. 5-B. 59-C.59D.53【答案】A 【解析】231312sin cos (sin cos ),221sin 2sin 232433k k ππααααπαπαα+=∴+=+<<+∴+=∴=-2535cos 2424cos 2923k k παππαπα=+<<+∴=-，故选A.4. 函数()2sin()0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值分别是（ ）A. 2，6π-B. 2，3π-C. 4，3π-D. 4，6π-【答案】B 【解析】 【分析】根据图象的两个点A 、B 的横坐标，得到四分之三个周期的值，得到周期的值，做出ω的值，把图象所过的一个点的坐标代入方程做出初相，写出解析式，代入数值得到结果．【详解】解：由图象可得：35341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， ∴2T ππω==，∴2ω=，又由函数()f x 的图象经过5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，∴522sin 212πϕ⎛⎫=⨯+⎪⎝⎭， ∴52,()62k k Z ππϕπ+=+∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈，又由22ππϕ-<<，则3πϕ=-．故选：B ．【点睛】本题考査由部分图象确定函数的解析式，属于基础题． 关键点点睛：本题解题的关键是利用代入点的坐标求出初相.5. 已知函数()f x 是R 上的奇函数，且在(,0)-∞单调递减，则三个数：()0.50.6a f =，()0.6log 0.5b f =，()0.60.5c f =之间的大小关系是（ ） A. a c b << B. b c a << C. a b c << D. b a c <<【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，又0.50.60.610.60.60.50>>>>，0.60.6log 0.5log 0.61>=，然后结合单调性判断．【详解】因为函数()f x 是R 上的奇函数，且在(,0)-∞单调递减， 所以函数在(0,)+∞上单调递减，∵0.50.60.610.60.60.50>>>>，0.60.6log 0.5log 0.61>=，∴()()()0.50.60.6log 0.50.60.5f f f <<，即b a c <<． 故选：D ．6. 将函数sin 64y x π=+（）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8π个单位，得到的函数的一个对称中心（ ）A. ,02π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 7,016π⎛⎫⎪⎝⎭D. 5,016π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再求出其对称中心，确定选项．【详解】解：函数sin 64y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再向右平移8π个单位得到图象的解析式为sin 2sin284y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦令2k πx =，得k π2x =，所以函数的对称中心为(),02k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭观察选项只有A 符合． 故选A ．【点睛】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高．7. 函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间是( )A. ()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B. ()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C. (),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D. ()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z【答案】B 【解析】2sin 2sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间即为函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间. 即32k π22,?232x k k Z ππππ+≤-≤+∈. 解得()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 故选B.8. 幂函数y ＝x α，当α取不同正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么1a b-＝（ ）A. 0B. 1C.12D. 2【答案】A 【解析】 【分析】由题意得1221(,),(,)3333M N ，代入函数解析式，进而利用指对互化即可得解.【详解】BM ＝MN ＝NA ，点A(1，0)，B(0，1)，所以1221(,),(,)3333M N ，将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得1221(),()3333a b ==所以123321log ,log 33a b ==， 所以1113332312122log log log 01333log 3a b -=-=-=. 故选：A.【点睛】本题主要考查了幂函数的图像及对数的运算，涉及换底公式，属于基础题.9. 已知函数()sin 3cos (0)f x x x ωωω=>，若有且仅有两个不同的实数1x ，[]20,1x ∈，使得()()12 2.f x f x ==则实数ω的值不可能为( ) A.136π B. 3πC.196π D.256π 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由[]0,1x ∈，可得,333x πππωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，根据在[]0,1上有且仅有两个最大值，可求解实数ω的范围，从而可得结果．【详解】函数()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭； 由[]0,1x ∈，可得,333x πππωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 因为有且仅有两个不同的实数1x ，[]20,1x ∈，使得()()122f x f x ==． 所以在[]0,1上有且仅有两个最大值，因为,233πππω⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦， 59232πππω∴≤+<， 则132566ππω≤<； 所以实数ω的值不可能为256π，故选D ． 【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用、三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题． 10. 已知函数()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<的图象关于直线1x =对称，则sin2ϕ=（ ）A. 35B.35 C. 45-D.45【答案】C 【解析】 【分析】【详解】因为函数()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<的图象关于直线1x =对称，所以()()sin 2cos πϕπϕ+-+=22sin 2cos sin 4sin cos 4cos 5ϕϕϕϕϕϕ-+=-+=，22214sin 4sin cos cos 0(2sin +cos )0tan -,2ϕϕϕϕϕϕϕ-+=∴=∴=因此2222sin cos 2tan -14sin 2-1sin cos tan 1514ϕϕϕϕϕϕϕ====+++，选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）11. 设集合{}24A x x =≤≤，{}240B xx ax =--∣，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[3,)+∞ 【解析】 【分析】对于方程240x ax --=，由于2160a ∆=+>，解得集合B ，由A B ⊆，根据区间端点值的关系列式求得a 的范围．【详解】解：对于{}240B xx ax =--∣， 由于240x ax --=，2160a ∆=+>，1x =，2x =；∴21622a a a B xx ⎧++⎪=⎨⎪⎪⎩⎭∣∵A B ⊆，集合{}24A x x =≤≤，∴242a ⎨+⎪≥⎪⎩解得，3a ，则实数a 的取值范围是[3,)+∞． 故答案为：[3,)+∞．12. 在ABC ∆中，已知sin 10sin sin ,cos 10cos cos A B C A B C =⋅=⋅，则tan A =______. 【答案】11 【解析】 【分析】【详解】由sin cos A A -()10sin sin cos cos B C B C =⋅-⋅()10cos 10cos B C A =-+=sin 11cos A A ⇒=tan 11A ⇒=.13. 设α为锐角，若π3cos()65α+=，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_______.【答案】50【解析】 【分析】由条件求得sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，利用二倍角公式求得sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭和cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再根据221234sin sin πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用两角差的正弦公式计算求得结果．【详解】∵α为锐角，π3cos()65α+=，∴465sin πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴24sin 22sin cos 36625πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，27cos 22cos 13625ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故sin 2sin 21234πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin 2cos cos 2sin 3434ππππαα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24725225250=⋅+⋅=50. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题．14. 已知函数()22,04,01x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪+⎩，若关于x 的方程()()()230f x m f x m +-⋅+=恰好有6个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为__________.【答案】2,13⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】作出函数()f x 的简图，换元，结合函数图象可知原方程有6根可化为2(3)0t m t m +-+=在区间(0,2)上有两个不等的实根，列出不等式组求解即可.【详解】当40,()1x f x x x>=+，结合“双勾”函数性质可画出函数()f x 的简图，如下图，令()t f x =，则由已知条件知，方程2(3)0t m t m +-+=在区间(0,2)上有两个不等的实根，则2(3)40,3202,123(0)0,(2)320,m m m m f m f m ⎧∆=-->⎪-⎪<<⎪⇒<<⎨⎪=>⎪=->⎪⎩，即实数m 的取值范围为2,13⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，二次方程根的分布，换元法，数形结合，属于难题 .三、解答题（本大题共5小题，共44分．） 15. 回答下列各题．（1）求值：5102log 3293lg 4125534g -⎛⎫⎛⎫+⨯++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）解关于x 的不等式：2260x ax a --<（其中0a <）．【答案】（1）2；（2）(3,2)a a -. 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则和对数的运算性质计算即可；（2）不等式化为(2)(3)0x a x a +-<，根据不等式对应方程的两根写出不等式的解集．【详解】（1）5102log 3293lg 4125534g -⎛⎫⎛⎫+⨯++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭213lg(425)33=+⨯+⨯-1223=++-2=．（2）不等式2260x ax a --<可化为(2)(3)0x a x a +-<， 不等式对应方程的两根为2a -，3a ，且32a a <-（其中0a <）； 所以原不等式的解集为(3,2)a a -．16. 已知函数2()sin()sin 2f x x x x π=-.(1)求()f x 的最小正周期和最大值；(2)求()f x 在2[,]63ππ上的单调区间【答案】（1）f(x)的最小正周期为π，最大值为22-； （2）f(x)在5[,]612ππ上单调递增；在52[,]123ππ上单调递减．【解析】 【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得()f x 的最小正周期和最大值．（2）根据[]20,3x ππ-∈，利用正弦函数的单调性，即可求得()f x 在2[,]63ππ上的单调区间．【详解】解：（1）函数2()sin()sin cos sin cos2)2f x x x x x x x π=-=+1sin 22sin(2)23x x x π=-=-，即()sin(2)3f x x π=-故函数的周期为22T ππ==，最大值为12-． （2）当2[,]63x ππ∈ 时，[]20,3x ππ-∈，故当0232x ππ-时，即5[,]612x ππ∈时，()f x 为增函数；当223x πππ-时，即52[,]123x ππ∈时，()f x 为减函数；即函数()f x 在5[,]612ππ上单调递增；在52[,]123ππ上单调递减．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．17. 已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=．（I ）若α是第一象限角，且33()5f α=．求()g α的值； （II ）求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合．【答案】（I ）15（II ）2|22,3x k x k k Z πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【解析】试题分析：该题属于三角函数的综合问题，在解题的过程中，第一问需要先化简函数解析式，在化简的过程中，应用正余弦的差角公式，化简后利用33()5f α=，从而求得3sin 5α=，根据α是第一象限角，从而确定出4cos 5α=，利用倍角公式建立起sin 2α所满足的等量关系式，从而求得结果，第二问将相应的函数解析式代入不等式，化简后得到1sin()62x π+≥，结合正弦函数的性质，可以求得结果．试题解析：（1），求得3sin 5α=，根据α是第一象限角，所以4cos 5α=，且21()2sin1cos 25g ααα==-=； （2）．考点：正余弦差角公式，辅助角公式，同角三角函数关系式，倍角公式，三角不等式．18. 已知0πx <<，1sin cos 2x x +=． （1）求sin cos x x -的值；（2）求2sin 22sin 1tan x xx+-的值．【答案】（1）sin cos 2x x -=；（2）28. 【解析】 【分析】（1）先根据sin cos x x +的值和二者的平方关系联立求得 sin cos x x 的值，再把sin cos x x -平方即可求出；（2）结合（1）求sin x ，cos x 的值，最后利用商数关系求得tan x 的值，代入即可得解． 【详解】（1）∵1sin cos 2x x +=， ∴21(sin cos )12sin cos 4x x x x +=+=， ∴3sin cos 8x x =-，∵0πx <<，∴sin 0x >，cos 0x <,sin cos 0x x ->，∴237(sin cos )12sin cos 144x x x x -=-=+=，∴sin cos x x -=. （2）由1sin cos 2x x +=，sin cos 2x x -=，解得1sin 4x +=，1cos 4x =，∴sin tan cos x x x == ∵3sin 24x =-，2sin x =，∴23sin 22sin 1tan x x x -++==-．【点睛】方法点睛：三角恒等常用方法：三看（看角、看名、看式），三变（变角、变名、变式）.19. 已知函数定义在(1,1)-上且满足下列两个条件:①对任意,(1,1)x y ∈-都有;②当(1,0)x ∈-时,有()0f x >， （1）求(0)f ，并证明函数在(1,1)-上是奇函数；（2）验证函数1()lg1xf x x-=+是否满足这些条件； （3）若1()12f -=，试求函数1()()2F x f x =+的零点.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)23x =-. 【解析】 【分析】()1令0x y ==代入即可求得()0f ，令y x =-，则可得()()0f x f x +-=，即可证明结论()2根据函数的解析式求出定义域满足条件，再根据对数的运算性质，计算()()f x f y +与1x y f xy ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭并进行比较，根据对数函数的性质判断当0x <时，()f x 的符号，即可得证()3用定义法先证明函数()f x 的单调性，然后转化函数()()12F x f x =+的零点为()21f x =-，利用条件进行求解 【详解】（1）对条件中的，令得()()()()00000f f f f +=⇒=.再令可得()()()()()00f x f x f f x f x +-=⇒+-= 所以在（－1，1）是奇函数.(2)由101xx->+可得11x -<<，其定义域为（-1，1）， ()()1111111lg lg lg lg lg 11111111x yx y x y x y xy x y xyf x f y f x y x y x y x y xy xy xy又+-⎛⎫⎛⎫------++++=+=⋅=== ⎪ ⎪+++++++++⎝⎭⎝⎭++ 当0x <时， 110x x ->+> ∴111x x ->+ ∴1lg 01xx->+故函数()1lg 1xf x x-=+是满足这些条件. （3）设，则，，由条件②知，从而有，即故上单调递减，由奇函数性质可知,在（0，1）上仍是单调减函数.111122f f ⎛⎫⎛⎫-=∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭原方程即为()()()2212112x f x f x f x f f x ⎛⎫⎛⎫=-⇔+== ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭，()f x 在(-1,1)上单调22214102312x x x x x ∴=⇔-+=⇔=+ 又()1,123x x ∈-∴=故原方程的解为23x =-【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性与函数的单调性，考查了对数函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握抽象函数的处理方式，将抽象问题具体化，有一定的难度和计算量．四、附加题（本大题共2小题，共20分．）20. 求函数33sin 3sin cos3cos cos2x x x x y x⋅+⋅=的最小正周期．【答案】2π 【解析】 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为11cos422y x =+，利用余弦函数的周期公式即可计算得解． 【详解】先证明出()()cos cos sin sin 2αβαβαβ--+=，()()cos cos cos cos 2αβαβαβ-++=. 因()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin 22αβαβαβαβαβαβ--++--=sin sin αβ=，同理可证()()cos cos cos cos 2αβαβαβ-++=.33sin3sin cos3cos x x x x +()()22sin sin3sin cos cos3cos x x x x x x =+221(cos2cos4)sin (cos2cos4)cos 2x x x x x x ⎡⎤=-++⎣⎦ ()()22221sin cos cos2cos sin cos42x x x x x x ⎡⎤=++-⎣⎦1(cos2cos2cos4)2x x x =+ 1cos4cos22xx +=⋅， 33sin 3sin cos3cos 11cos 4cos 21c 22cos os 4co 22s 2x x x xxy x x xx ⋅+⋅∴=+⋅==+， 因此，原函数的最小正周期242T ππ==． 【点睛】关键点点睛：本题考查余弦型函数最小正周期的求解，求解的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式，本题中用到了积化和差公式()()cos cos sin sin 2αβαβαβ--+=，()()cos cos cos cos 2αβαβαβ-++=，在解题时应先给与证明.21. 已知二次函数()2f x ax bx c =++的图象经过()2,0-，且不等式()21222x f x x ≤≤+对一切实数x 都成立． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若对任意[]1,1x ∈-，不等式()3x f x t f ⎛+<⎫⎪⎝⎭恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）()2114f x x x =++；（2）8233t -<<-.【解析】 【分析】（1）观察不等式，令2x =，得到()424f ≤≤成立，即()24f =，以及()20f -=， 再根据不等式()21222x f x x ≤≤+对一切实数x 都成立，列式求函数的解析式；（2）法一，不等式转化为()22818249360x t x t t ++++<对[]1,1x ∈-恒成立，利用函数与不等式的关系，得到t 的取值范围，法二，代入后利用平方关系得到424033x x t t ⎛⎫⎛⎫++⋅+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[]1,1x ∈-恒成立，再根据参变分离，转化为最值问题求参数的取值范围.【详解】（1）由题意得：()2420f a b c -=-+=①，因为不等式()21222x f x x ≤≤+对一切实数x 都成立， 令2x =，得：()44f x ≤≤，所以()24f =，即424a b c ++=②由①②解得：1b =，且24c a =-，所以()224f x ax x a =++-，由题意得：()20f x x -≥且()21202f x x --≤对x ∈R 恒成立，即222401402ax x a a x x a ⎧-+-≥⎪⎨⎛⎫-+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩③对x ∈R 恒成立， 对③而言，由0a >且()14240a a ∆=--≤， 得到()2410a -≤，所以14a =，经检验满足， 故函数()f x 的解析式为()2114f x x x =++． （Ⅱ）法一：二次函数法，由题意，()3x f x t f ⎛+<⎫⎪⎝⎭对[1,1]x ∈-恒成立，可转化为()()2211114433x x x t x t ⎛⎫++++<++ ⎪⎝⎭，对[1,1]x ∈-恒成立，整理为()22818249360x t x t t ++++<对[]1,1x ∈-恒成立，令()()2281824936g x x t x t t =++++，则有()()1010g g ⎧-<⎪⎨<⎪⎩，即22918160954320t t t t ⎧+-<⎨++<⎩，解得823316233t t ⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<-⎪⎩，所以t 的取值范围为8233t -<<-．法二，利用乘积的符号法则和恒成立命题求解， 由①得到，()()2124f x x =+，()3x f x t f ⎛+<⎫ ⎪⎝⎭对[1,1]x ∈-恒成立， 可转化为()221122443x x t ⎛⎫++<+ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，得到()222203x x t ⎛⎫⎪⎝+⎭+-+<对[]1,1x ∈-恒成立，平方差公式展开整理，即424033x x t t ⎛⎫⎛⎫++⋅+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即4403203x t x t ⎧++<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩或4403203xt x t ⎧++>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩对[]1,1x ∈-恒成立， 即min max 44323x t x t ⎧⎛⎫<-- ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪>- ⎪⎪⎝⎭⎩或min44323max x t x t ⎧⎛⎫>--⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪<- ⎪⎪⎝⎭⎩ 即16323t t ⎧<-⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，或8323t t ⎧>-⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩，即x ∈∅或8233t -<<-，所以t 的取值范围为8233t -<<-．【点睛】本题考查求二次函数的解析式，不等式恒成立求参数的取值范围，重点考查函数，不等式与方程的关系，转化与变形，计算能力，属于中档题型.。