广义非线性强度理论体系

I
2 1
− 3I 2
= Mf p
(11)
-5-
http://www.paper.edu.cn
式(11)为不过坐标原点的 Drucker-Prager 准则。 2) n = 1，α = 0
2I1
= Mf p
(12)
3 (I1I2 − I3 ) (I1I2 − 9I3) −1
式(12)为扩展的 SMP 准则。
α
I
2 1
− 3I2
+
3
(I1I 2
广义强度理论在π平面上的破坏曲线如图 1(a)所示，其内边界为 SMP 曲边三角形，外边
界为 Mises 圆，通过强度参数α 反映，数学表达式为：
qα∗ = α
I12 − 3I 2 + 3
2(1− α)I1 (I1I2 − I3 ) (I1I2 − 9I3 ) −1
(4)
当α = 0 时为内边界 SMP 准则；当α = 1 时为外边界 Mises 准则，可见，强度参数α 描述了π
σ1
σ1
p = const
p
σ2
σ3
σ2
σ3
(a)同一π平面上的屈服线
(b)不同π平面上的破坏线
图 2 广义非线性屈服准则
Fig 2 Yield criterion of generalized non-linearization
-3-
http://www.paper.edu.cn
2.4 平面应力条件下的广义非线性强度理论
http://www.paper.edu.cn
广义非线性强度理论体系1
路德春，姚仰平，邹 博
北京航空航天大学土木工程系, 100083
E-mail： dechun@buaa.edu.cn
摘 要： 广义非线性强度理论用一个表达式统一描述各种材料在π平面上及子午面上的非 线性强度特性，形成了一个全新的非线性强度理论系统，使非线性强度理论从适用于某一类 特定材料的单一非线性强度理论发展到可以适用于众多不同材料的广义非线性强度理论，完 善了强度理论体系。广义非线性强度理论包含了一系列现有的和可能有的单一非线性强度理 论，如 Mises 准则、SMP 准则等。利用混凝土、岩石强度试验结果证明了广义非线性强度理 论适用于各种材料的优越性。 关键词：摩擦材料；非线性；广义强度理论；双剪统一强度理论；中主应力；静水压力
平面上破坏曲线的形状，反映了不同材料的中主应力效应。
2.2 子午面的破坏曲线
广义强度理论在子午面上的破坏曲线如图 1(b)所示，为幂函数曲线，其方程为：
q∗
=
Mf
⎜⎜⎝⎛
p
+ σ0 pr
⎟⎟⎠⎞ n
pr
(5)
式中 q∗ 为三轴压缩条件下的等效剪应力 q ，表达式为：
q = (σ1 − ) σ 2 2 + (σ 2 − ) σ 3 2 + (σ 3 − )σ1 2 2
(6)
强度参数 σ0 描述破坏曲线与 p 轴的交点，反映了材料的三向拉伸强度，即内聚力效应；M f
描述材料在参考应力 pr 处破坏曲线上点的割线斜率，即破坏应力比，反映了材料的摩擦特
性； n 描述破坏曲线的弯曲程度，反映了静水压力对材料强度的影响规律。
2.3 广义非线性屈服准则
广义强度理论作为屈服准则时，对于某一类特定材料的具体参数其表现如图 2 所示。图 2(a)表明：在同一π平面上，当偏应力较低时材料表现为低应力诱导各向异性，屈服曲线接 近于圆；当偏应力较高时材料表现为高应力诱导各向异性，屈服曲线相应地由圆过渡为曲边 三角形。图 2(b)表明：在不同π平面上，当静水压力较低时破坏曲线为曲边三角形；当静水 压力较高时破坏线趋近于圆。
式(9)为 Drucker-Prager 准则，如图 5(c)、图 6(c)所示。
4) n = 1，α = 0 ，σ 0 = 0
3
(I1I 2
−
2I1 I3) (I1I2
−
9I 3 )
−1
=
Mf
p
(10)
式(10)为 SMP 准则，如图 5(d)、图 6(d)所示。
3.1.2 双参数强度理论
1) n = 1，α = 1
p
(b)子午面上的破坏曲线
图 4 广义非线性强度理论体系
Fig 4 System of Generalized Non-linear Strength Theory
-4-
n=0 Mises Tresca
p
3. 广义非线性强度理论体系
http://www.paper.edu.cn
广义强度理论不是一个单一的强度理论，而是一个理论体系，是一系列连续变化的强度 理论，在π平面上涵盖了从下限 SMP 准则到上限 Mises 准则范围内的所有区域；在子午面上 为幂函数形式，通过四个相互独立的材料强度参数的变化实现统一。
1 本课题得到国家自然科学基金资助(10272010)资助。 -1-
http://www.paper.edu.cn
域，第一，利用变换应力方法[7-9]可将广义强度理论方便地用于弹塑性本构模型，笔者已将 其成功用于剑桥模型[14]、砂土应力路径本构模型[15-16]；第二，广义强度理论可以合理地描 述各类材料(如混凝土、岩石、砂土、粘土等)的非线性强度特性，笔者已将其成功用于岩石 材料[17]；第三，广义强度理论在三维主应力空间中的破坏面处处光滑，存在连续的偏导数， 在数值计算中，用于弹塑性本构模型可以得到很好的收敛性。本文着重介绍广义强度理论形 成的非线性强度理论体系。
增大增加很小，基本表现为 σ1 随 σ2 的增大而减小；当α 较大时，基本表现为 σ1 随 σ2 的增大 而增大。
σ1
σ1
⎧1 α = ⎪⎪⎪⎨00..575
⎪⎪0.25 ⎪⎩0
⎧1 α = ⎪⎪⎪⎨00..575
⎪⎪0.25 ⎪⎩0
0
σ2
0
σ2
(a)
(b)
图 3 平面应力状态下的广义非线性强度理论
σ ij
=
σ ij
+
⎡ ⎢ ⎢⎣
p
r
⎜⎜⎝⎛
p
+ σ0 pr
⎟⎟⎠⎞ n
−
⎤ p⎥⎥⎦δij
(2)
式中， pr 为参考应力； p = σii 3 为静水压力， σi (i = 1,2,3) 为主应力； δij 为 Kronecher 符号； p = σii 3 为过渡空间的静水压力， σi (i = 1,2,3) 为过渡空间的主应力； I1 、 I 2 和 I3 分别为过 渡空间的主应力不变量，表达式为
如图 4 所示，双剪统一强度理论形成了一个线性强度理论体系，它用一个分段描述的表 达式统一包含了现有的或可能有的线性单一强度理论。双剪统一强度理论的特殊情况，当 bd = 0 时简化为 Mohr-Coulomb 准则；当 bd = 0 且α d = 1 时简化为 Tresca 准则( bd 、α d 为双 剪强度参数)，两准则均不能反映中主应力效应。广义强度理论与双剪统一强度理论相对应， 形成了一个非线性强度理论体系，使非线性强度理论从适用于某一类材料的单一强度理论发 展到适用于多类材料的广义强度理论，使非线性强度理论实现了统一，完善了强度理论体系。 广义强度理论的特殊情况，当α = 0 且 n = 1时简化为 SMP 准则；当α = 1 且 n = 0 时简化为 Mises 准则。在π平面上，广义强度理论的特例外接于双剪统一强度理论的特例，为光滑的 连续曲线，与双剪统一强度理论形成对称之美。
各种单一强度理论只适用于某一类特定材料，在实际使用中非常不便，也难于选择。俞 茂宏教授多年来致力于统一强度理论的研究，于 1991 年在日本京都会议上发表了双剪统一 强度理论，并在 1994 年做了进一步论述[10]。双剪统一强度理论用两个分段线性表达式统一 描述不同材料的强度特性，包含了现有的和可能有的各种线性单一强度理论，形成了一个线 性强度理论体系。各国学者对非线性统一强度理论也进行了不同的尝试[11-13]，至今还没有一 个像双剪统一强度理论那样得到公认。笔者基于摩擦材料的试验规律并在前人研究成果的基 础上，提出了广义非线性强度理论(简称广义强度理论)[14]，它用一个表达式统一描述材料在 π平面及子午面上的非线性强度特性，共有 4 个强度参数，均具有明确的物理意义，当其为 不同值时，使得广义强度理论在主应力空间的π平面上的破坏函数为介于SMP准则和Mises 准则之间的光滑曲线，反映了材料的中主应力效应；子午面上的破坏函数为幂函数曲线，反 映了材料的静水压力效应。广义强度理论使非线性强度理论得到了统一，与双剪统一强度理 论相对应，形成了非线性强度理论体系，使非线性强度理论从适用于某一类特定材料的单一 非线性强度理论发展到适用于各类不同材料的广义强度理论。广义强度理论可应用于各个领
σ1
Mises
q∗
qα∗
SMP
σ2
σ3
Mf
1
σ0
0 Pr
p
(a)π平面
(b)子午面
图 1 广义非线性强度理论的破坏曲线
Fig 1 Failure curve of Generalized Non-linear Strength Theory
-2-
http://www.paper.edu.cn
2.1 π平面上的破坏曲线
1. 引 言
强度理论研究材料在复杂应力状态下的破坏规律。多年来各国学者提出了众多的强度理 论，俞茂宏教授将其进行了系统而全面的总结[1]；沈珠江院士将其归纳为单剪强度理论、双 剪强度理论和三剪强度理论[2]。笔者根据强度理论在π平面上破坏曲线的形式将其分为两大 类：一类是线性强度理论，如Tresca准则、Mohr-Coulomb准则、双剪强度理论[3]等。线性强 度理论在解析分析中通常可以求出解析解，因而得到了广泛应用[1]。另一类是非线性强度理 论，如Mises准则、Lade准则[4-5]、SMP(Spatially Mobilizde Plane)准则[6]等。非线性强度理论 在π平面上形成连续光滑的破坏曲线，利用变换应力方法[7-9]可方便地与弹塑性本构模型结合 用于数值计算。
−
2I1 I3 ) (I1I2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
−
9I3 )
−1
=
Mf
pr
(8)
式(8)为一新理论，该理论在π平面上的破坏曲线与 SMP 准则形状形同，子午面上的破坏曲
线为平行于静水压力轴的直线，如图 5(b)、图 6(b)所示。
3) n = 1，α = 1 ，σ 0 = 0
I12 − 3I 2 = M f p
(9)
3) n = 0
α
I12 − 3I 2 + 3
(I1I 2
2(1 −α )I1
− I3 ) (I1I2
−
9I3 )
−1
=
Mf
pr
(13)
式(13)为一新理论，该理论在π平面上的破坏曲线介于 SMP 准则和 Mises 准则之间，子午面
上的破坏曲线为平行于静水压力轴的直线。
4) n = 1， σ 0 = 0
Fig 3 GNST under plane-stress state
SMP
Mises
M−C
Tresca
bd = 0 α =0
双剪统一强度理论
bd = 0,α d = 1
广义强度理论
α =1
q∗
n=1
(a)π平面上的破坏曲线
q∗
0< n<1
q∗
Mf 1
σ0
SMP M−C
n =1
Mf
1
n=0
σ0
p
Pr
2. 广义非线性强度理论
广义强度理论认为，材料的破坏受主应力空间中八面体面上的应力状态所控制，即其上
的静水压力和广义剪应力的函数达到某一值时，材料开始破坏。其的数学描述为[14]：
α I12 − 3I 2 +
2(1−α )I1
= Mf p
(1)
3 (I1I2 − I3) (I1I2 − 9I3) −1
在平面应力条件下，广义强度理论在( σ1 , σ2 )平面上的破坏线如图 3 所示， σ 0 、 n 为某
确定值，当 M f 较小时如图 3(a)所示，不同程度中主应力效应(α 不同)的材料，中主应力效 应均表现出区间性，即 σ1 随 σ2 的增大先增大后减小。当 M f 较大时如图 3(a)所示，σ1 随 σ2 的
3.1 广义非线性强度理论的特例
广义强度理论体系包含了一系列的单一强度理论，通过四个参数的变化实现。
3.1.1 单参数强度理论
1) n = 0 ，α = 1
I12 − 3I 2 = M f pr
(7)
式(7)为 Mises 准则，如图 5(a)、图 6(a)所示.
2) n = 0 ，α = 0
3
(I1I 2
I1 = σ1 + σ2 + σ3
⎫ ⎪
I2 = σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1 ⎬
(3)
I3 = σ1σ2σ3
⎪ ⎭
强度参数α 为反映参考应力 pr 作用下π平面上三轴拉压强度比的参数；M f 为参考应力 pr 作
用下的破坏应力比； n 为静水压力效应指数； σ0 为三向拉伸强度。
α =1 α = 0.75 α = 0.5 α = 0.25 α =0