函数项级数一致收敛的判定开题报告
数学与应用数学毕业论文-函数列一致收敛性判别法
数学与应用数学毕业论文-函数列一致收敛性判别法哈尔滨师范大学学士学位论文开题报告论文题目函数列一致收敛性判别法学生姓名指导教师年级 2008级2班专业数学与应用数学2011年11月课题来源:由指导教师提供课题研究的目的和意义:由于本课题在数学领域中对初学者来说比较难理解，难以掌握与应用，所以研究此课题目的是让初学者掌握该课题知识，学会分析，提高自己的综合能力，本文给出5种函数一致收敛性判别法的例题，让初学者更加形象的理解本课题的应用技巧。
函数列一致收敛性判别法在数学分析中是重点难点，有效的判别函数列的收敛性对研究函数列的性质起着重要作用。
所以本文介绍了判别收敛性的方法及案例，让初学者能深刻体会其重要性和应用的广泛性。
国内外同类课题研究现状及发展趋势:函数列一致收敛性判别法在求解极限领域中起着极其重要的作用，它不仅有助于提高我们对极限认识清晰度，而且更能帮助我们领悟一致收敛这一性质。
但在国内对于写相关课题已被广泛研究，1991年海南师范学院学报第二期张国才和方良秋的《函数列一致收敛性判别法》，这篇文章参考数学分析中函数列的性质得出了函数列一致收敛性的基本方法，包括柯西判别法。
1995年吉林师范学院学报第16卷上关伟大的《关于一致收敛的判别问题》，这篇文章讨论了处处收敛与一致收敛的关系，得出了“单调的一致收敛函数列是一致收敛的”结论。
1994年上海师范大学学报第23卷第3期张骏芳的《广义一致收敛与亚一致收敛》,这篇文章讨论了连续函数列的极限函数连续条件，采用了先把函数列为正则收敛减弱为弱正则收敛或一致收敛，在减弱为广义一致收敛，最后成为一个定理证明。
还有很多学者研究了一致收敛判别的各个方面，不仅未来的研究指明了方向，而且在学术界得到广泛应用，同时也为本文提供了理论依据和参考。
课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法:主要内容:1、函数列一致收敛性的判别法2、函数列一致收敛性的定义3、函数列一致收敛性的柯西准则4、函数列一致收敛的充要条件5、函数列一致收敛性判别法的应用6、函数列一致收敛性判别法的意义主要方法:查询法:通过文献调研有目的有计划有系统地收集并整理资料，了解图论在数学模型中的应用。
函数项级数一致收敛的判别
专业名称：数学与应用数学年级班别： 2009级1班姓名：张庆明指导教师：左红亮2013年04月函数项级数一致收敛的判别摘要：函数项级数的一致收敛性是函数级数概念当中最基本最重要的问题。
本文则在数项级数的基础上, 分析函数项级数的收敛性定义及其判定, 函数项级数的分析性质和函数的一致收敛有关。
而因此本论文中提出了函数级数一致收敛的定义, 柯西一致收敛准则, 魏尔斯特拉斯判别法(M判别法), 狄利克雷判别法, 阿贝尔判别法, 余项判别法, 积分判别法。
本文对函数项级数一致收敛的判别法进行推广, 主要归纳总结出了对数判别法, 导数判别法, 连续性判别法, 逼敛性判别法以及M判别法的推论等几种判别法, 同时并应用函数项级数一致敛的定义, 重要判别法及其充要条件给出了论文中一些结论的证明。
关键词：函数项级数；一致收敛性；判别法。
Discrimination of uniform convergence of function seriesAbstract:The uniform convergence of function series is the concept of series of functions are the most basic and most important problem. In this paper, on the basis of a number of series,the definitions of convergence of function series and its decision, uniform convergence analysis of properties and functions related to the function of series. Therefore, this paper proposes a definition of uniform convergence of function series, Cauchy uniform convergence criteria the Weierstrass discrimination method (M identification method), Dirichlet discrimination law, Abel discriminant law, the remainder discriminant method, integration criterion method and article on the function series convergence discriminant method to promote mainly summarized Diagnostic Method derivative test, continuity discrimination law, forcing several discriminant method of convergence discrimination law and M inference of discrimination law, and apply function series consistent definition of convergence, it is important discrimination method and the necessary and sufficient conditions are given some proof of the conclusion of the paper.Keywords: Function Series; uniform convergence; discrimination law.前言一致收敛性是函数项级数的一个重要性质, 有效地判别函数项级数的一致收敛对进一步研究函数项级数的性质起着重要的作用。
函数项级数一致收敛性判别法及其应用
函数项级数一致收敛性判别法及其应用数学科学学院08级蒙班 包艳玲 20082115054指导老师 苏雅拉图摘 要：本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法，并通过例题给出了它的应用. 关键词：一致收敛，函数项级数，和函数.下面我要给出函数项级数的一致收敛性的定义定义 设给定函数项级数∑∞=1)(k k x u ，如果它的部分和序列=)(x S n ∑=π1)(k kx u在区间I 一致收敛到和函数)(x S ;那么称级数∑∞=1)(k k x u 在区间I 一致收敛到和函数)(x S ,即用N -ε语言来叙述，函数项级数∑∞=1)(k k x u 在区间I 一致收敛到)(x S ，是指对任给的0>ε，存在于x 无关的N ，只要N n >就有ε<-=-∑=nk kn x S x ux S x S 1)()()()(对一切I x ∈一直成立.例1 证明函数项级数∑∞=-11k k x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21一致收敛.证明 已知∑∞=-11k k x=x x n --11，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,21x 时 xx xx S nnk k n --==∑=-11)(11ε<≤-≤-=--12111)()(n nnn x x x x x S x S ；⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,21x 时取121ln ln +⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=εN则只要N n >，就有ε<-)()(x S x S n ；⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,21x ，∑∞=-11k k x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21一致收敛.定理1（柯西原理） 函数项级数∑∞=1)(k k x u 在I 上一致收敛的充要条件是，I x N p N n N N N ∈∀∈∀>∀∈=∃>∀++及,,,,0)(εε都有ε<+++=-=++++++=∑)()()()()()(211x u x u x u x S x S x up n n n n p n pn n k k，证明 必要性 已知∑∞=1)(k k x u 在区间I 一致收敛，设其和函数是)(x S ，即2)()(ε<-x S x S n 也有 2)()(ε<-+x S x S p n于是εεε=+<-+-≤-+-=-=+++++=∑22)()()()()()()()()()()(1x S x S x S x S x S x S x S x S x S x S x un p n n p n n p n p n n k k充分性 已知I x N p N n N N N ∈∀∈∀>∀∈=∃>∀++及,,,,0)(εε有ε<-=+++=∑)()()(1x S x S x un p n pn n k k从而∑∞=1)(k k x u 在区间I 收敛，设其和函数是)(x S ，因为p 是任意正整数，所以当∞→p 时，上述不等式有ε<-)()(x S x S n即函数项级数∑∞=1)(k k x u 在区间I 一致收敛.例2 函数项级数∑∞=++-11)1(n n n n x nx 在区间[]1,1-的一致收敛性.证明 有柯西原理；[]0,1,1>∀-∈∀εx 要使不等式ε<+≤++++≤++++≤++-+=++-++++-+++-+=-++++++++++++++1211111111)1()32()21()()(111113221n p n n p n x n x p n x n x p n x p n x n x n x n x n x x S x S p n n p n n p n p n n n n n n p n从ε<+12n 得到12->εn ，则取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=12εN ，于是 [],1,1,,,12,0-∈∀∈∀>∀∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∃>∀++x N p N n N N 及εε有ε<-=+++=∑)()()(1x S x S x un p n pn n k k即函数项级数∑∞=++-11)1(n n n n x nx 在区间[]1,1-一致收敛.定理2 （维尔斯特拉斯判别法，或称M 判别法或称控制收敛判别法） 若对函数项级数∑∞=1)(k k x u ，存在),2,1(, =k M k ，使得k k M x u ≤)(，I x ∈∀，而正项数值级数∑∞=1k k M 收敛，则∑∞=1)(k k x u 在区间I I 一致收敛.证明 ∑∞=1k k M 收敛，,,,,0++∈∀>∀∈∃>∀N p N n N N ε有ε<++++++p n n n M M M 21，从而只要+∈∀>N p N n ,，有由柯西原理知,,)()()()()()(212121I x M M M x u x u x u x u x u x u p n n n p n n n p n n n ∈∀<+++≤+++≤++++++++++++ε函数项级数∑∞=1)(k k x u 在区间I 一致收敛.例3 证明∑∞=-11k k x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21一致收敛.证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∀≤--21,21,)21(11x xk k ，而∑∞=-11)21(k k 收敛，由M 判别法知∑∞=-11k k x在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21一致收敛.定理3 （狄利克雷判别法）若函数项级数∑∞=1)()(n n n x b x a 满足下面两个条件：1. 函数列{})(x a n 对每一个I x ∈0是单调的，且∞→n 时在区间I 一致收敛于0；2. 函数项级数∑∞=1)(n n x b 的部分和函数列{})(x B n 在区间I 一致有界，则函数项级数∑∞=1)()(n n n x b x a 在区间I 一致收敛.证明 已知函数列{})(x a n 一致收敛于0， 即I x N n N N N ∈∀>∀∈=∃>∀+,,,0εε，有.)(1ε<+x a n又已知函数项级数∑∞=1)(n n x b 的部分和函数列{})(x B n 在区间I 一致有界，即.)(,,,0M x B I x N n M n ≤∈∀∈∀>∃+有从而，有.2)()()()()()(21M x B x B x B x B b x b x b n p n n p n p n n n ≤+≤-=++++++++根据阿贝尔引理，I x ∈∀，有).(2)()()()()()(12211x Ma x b x a x b x a x b x a n p n p n n n n n +++++++≤+++ 于是，,,,,,0I x N p N n N N ∈∀∈∀>∀∈∃>∀++ε有,2)()()()()()(2211εM x b x a x b x a x b x a p n p n n n n n ≤+++++++++ 即函数项级数∑∞=1)()(n n nx b x a在区间I 一致收敛.例4 证明函数项级数∑∞=1sin n n nx在区间[])0(2,πδδπδ<<-一致收敛.证明 []+∈∀-∈∀N n x ,2,δπδ有.2sin121sin 12sin 2)21cos(21cos )21cos()21cos(2sin 212sin sin 22sin 21sin 111M x x xn x x k x k x x kx x kx nk nk nk =≤≤+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--==∑∑∑===δ知函数项级数∑∞=1sin n nx 的部分和函数列在[]δπδ-2,一致有界，而数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1单调减少趋于0（当然在[]δπδ-2,也是一致收敛于0），根据狄利克雷判别法，函数 项级数∑∞=1sin n n nx在区间[]δπδ-2,一致收敛. 定理4 （阿贝尔判别法）若函数项级数∑∞=1)()(n n n x b x a 满足下面两个条件：1. 函数列{})(x a n 对每一个I x ∈0是单调的，且在区间I 一致有界；2. 函数项级数∑∞=1)(n n x b 在区间I 一致收敛，则函数项级数∑∞=1)()(n n n x b x a 在区间I 一致收敛.证明 由条件知存在.0>M 使得.,2,1,,)( =∈∀≤n I x M x a n由柯西原理知，,,,,0++∈∀>∀∈∃>∀N p N n N N ε有.,)(1I x x bpn n k k∈∀<∑++=ε因此，对任意,N n >任意的正整数p ，用阿贝尔引理，有.,3))(2)(()()(11I x M x a x a x b x ap n n pn n k k k∈∀<+<++++=∑εε再由柯西原理知∑∞=1)()(n n n x b x a 在区间I 一致收敛.例5 已知函数项级数∑∞=1)(n n x a 收敛，证明∑∞=1)(n n n x x a 在[]1,0一致收敛.证明 已知∑∞=1)(n n x a 收敛，而对[]1,0∈∀x ，n x 对n 单调下降，且一致有界,[].,2,1,1,0,1 =∈∀≤n x x n由阿贝尔判别法知∑∞=1)(n n n x x a 在区间[]1,0一致收敛.例6 证明若函数项级数∑∞=1n n n x a （n a 是常数）在)0(>=r x 收敛，则它在区间[]r ,0一致收敛.证明 先把∑∞=1n n n x a 改写为.)(1n n nn n n r x r a x a ∑∑=∞= 已知级数∑∞=1n n n r a 收敛，从而它在区间[]r ,0也是一致收敛，且函数列在⎭⎬⎫⎩⎨⎧n r x )([]r ,0单调减少，又一致有界， 即[]有,,0,,1r x N n M ∈∀∈∀=∃+1)(≤n rx，根据阿贝尔判别法，函数项级数∑∞=1n n nx a在区间[]r ,0一致收敛.参考文献:1. 刘玉琏，傅沛仁，林玎.数学分析讲义.高等教育出版，2003年4月第二版.2. 邓东皋,尹小玲.数学分析简明教程（下）.高等教育出版，2006年3月第二版.。
函数项级数一致收敛性判别及应用
函数项级数一致收敛性判别及应用1. 引言1.1 研究背景函数项级数是数学分析中一个重要的研究对象，它是由无穷个函数组成的无穷级数求和。
在实际的应用中，往往需要研究级数的收敛性，其中一致收敛性是一个重要的性质。
一致收敛性指的是对于每一个给定的ε>0，存在一个N，使得当n>N时，级数的部分和与其极限的差的绝对值小于ε。
函数项级数一致收敛性的研究有着重要意义，它可以帮助我们更好地理解函数序列之间的关系，从而应用到不同的数学问题中。
函数项级数的一致收敛性判别方法有多种，比较判别法和魏尔斯特拉斯判别法是常用的方法之一。
比较判别法通过比较级数与已知收敛的级数的大小关系来判断级数的收敛性，而魏尔斯特拉斯判别法则利用函数项级数中的Cauchy收敛原理来判断其收敛性。
在实际应用中，函数项级数的一致收敛性判别方法可以帮助我们解决各种数学问题，例如在微积分和数学分析中的应用。
通过深入研究函数项级数的一致收敛性，我们可以更好地理解其数学性质，为进一步的研究提供基础。
【研究背景】1.2 研究意义函数项级数是数学中重要的概念之一，它在分析学、数学物理等领域中有着广泛的应用。
研究函数项级数的一致收敛性对于深入理解这一概念的性质和特点具有重要意义。
一致收敛性是函数项级数收敛的一种较强的方式，它能够保证收敛的速度和稳定性，从而使得我们能够更好地掌握级数的性质和行为。
研究函数项级数的一致收敛性，不仅可以帮助我们更好地理解级数的收敛性质，还可以为我们解决实际问题提供有力的数学工具。
在实际应用中，我们经常会遇到需要考察函数项级数的收敛性的情况，比如在数值计算、信号处理、概率论等领域中都会涉及到函数项级数的处理。
研究函数项级数的一致收敛性具有重要的理论意义和实际应用价值。
1.3 研究目的研究目的是对函数项级数的一致收敛性进行深入探讨，通过研究不同的判别方法来确定函数项级数是否在整个定义域上一致收敛。
通过对比比较判别法和魏尔斯特拉斯判别法的优缺点，可以更好地理解和判断函数项级数的收敛性。
函数项级数收敛判别法的推广和应用【开题报告】
开题报告数学与应用数学函数项级数收敛判别法的推广和应用一、选题的意义人类的文明进步和社会发展，无时无刻不受到数学的恩惠和影响，数学科学的应用和发展牢固地奠定了它作为整个科学技术乃至许多人文学科的基础的地位。
数学分析的形成和发展是由于物理学、天文学、几何学等研究领域的进展和突破。
级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。
级数的收敛问题是级数理论的基本问题。
将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，即函数项级数函数项级数的出现不仅大大丰富和发展了已有的微积分理论，同时大大扩展了微积分学的应用范围。
首先，函数项级数为函数的构造开辟了一个新天地。
其次，函数项级数理论提供了研究函数的一个基本方法。
利用级数的理论出现了Taylor展开式和 Fourier 展开式的有关理论，以后又出现了用多项式和三角函数来逼近函数的理论。
实际上函数项级数的理论对近代各种函数逼近理论以及无穷维空间中元素按基底的展开理论都产生了重大的影响。
研究函数项级数收敛具有重要意义，我们通过研究函数项级数收敛判别法，尤其是一致收敛的判别法，并且将它们推广和应用具有理论和现实作用。
二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）所谓函数项级数1() nn u x∞=∑在某区间I上收敛，是指它逐点收敛。
即：对I中每固定一点X∈I,作为数项级数，1() nn u x∞=∑总是收敛的。
因此对收敛性，可用数项级数的各种判别法进行判断。
如：利用级数收敛的定义或者级数收敛的柯西准则。
如果是正项级数的话还可以用比较原则、比式判别法、根式判别法等。
由于无穷级数的收敛性和它的部分和数列的收敛性是相同的，因此，研究函数项级数的收敛性可以研究它的部分和数列的收敛性。
函数项级数一致收敛的判定开题报告
二、本课题研究的关键问题及解决问题的思路
关键问题：对函数项级数一致收敛性判别法总结和推广。
基本思路：首先从定义出发，让读者了解函数项级数及一致收敛的定义，对函数项级数一致收敛有一个大致的认识，并对其进行一定的说明，且将收敛与一致收敛做一个比较，使读者对其有一个更深刻的认识。随后给出一些常见的一致收敛的判别法，并附上例题加以说明。当熟悉了一般的判别法后，我将其加以推广，得到一些特殊的判别法，如比式判别法，根式判别法，对数判别法等。
三、论文纲要
1、引言
2、定义
函数项级数定义
函数项级数一致收敛的定义
3、函数项级数一致收敛的判别方法
柯西一致收敛准则
余项判别法
魏尔斯特拉斯判别法
狄利克雷判别法
阿贝尔判别法
比式判别法
根式判别法
对数判别法
积分判别法
确界判别法
5、结束语
阐明总结函数项级数一致收敛判别方法的重要性及必要性。
四、主要参考文献
[1] 华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].高等教育出版社.1991
收敛与一致收敛 开题报告
《收敛与一致收敛》开题报告综述本课题研究动态、选题目的及意义收敛与一致收敛的应用非常广泛，涉及到数学的许多领域，在数学的代数分支中有很重要的地位，许多数学家对收敛与一致收敛都进行了仔细的研究，并且有很多成果，有些著名的收敛判别法运用非常广泛(如两边夹定理，柯西收敛准则，M判别法，狄利克雷判别法)，它们在外表上结构美观，具有数学美。
本课程在学习和研究已有文献资料的基础上，总结归纳关于数列，数值级数、函数级数、幂级数、泰勒级数、傅立叶级数以及无穷积分瑕积分收敛与一致收敛的性质和判别方法及其应用。
努力通过此毕业论文的设计工作，初步掌握科学研究的基本方法，而且通过老师指导、自学思考、文献查询等方式。
通过对数列，数值级数、函数级数、幂级数、泰勒级数、傅立叶级数以及无穷积分瑕积分收敛与一致收敛的研究，认真总结和归纳研究的基本方法和怎样去解决一些关于收敛与一致收敛的问题在数学和生活中的应用。
并形成相关的思路。
掌握了科学研究的基本方法，养成动手查阅资料的好习惯。
通过对这次毕业论文的研究培养思考问题并且有计划，有这样在以后的工作和学习中会起到事半功倍的作用。
研究基本内容、拟解决的主要问题研究数列收敛与发散的概念，收敛数列的性质，四则运算以及判别方法；数值级数收敛与发散的概念，性质以及绝对收敛级数的性质；函数级数的一致收敛概念以及判别法；幂级数、泰勒级数傅、里叶级数的收敛性质。
无穷积分以及瑕积分收敛与发散的概念，性质以及无穷积分和瑕积分的敛散性的判别法。
查询、阅读相关文献，在此基础上，重点阐述，解决数列，数值级数、函数级数幂级数、泰勒级数、傅立叶级数以及无穷积分与瑕积分收敛与一致收敛的问题。
在此过程中学习研究的基本方法，学会资料的收集和整理，努力通过此项研究，初步掌握科学研究的基本方法。
研究方法、步骤及措施研究方法通过查阅相关参考书等自学方式，找到正确高效的学习方法，保证足够的时间，遇到问题与同学讨论，共同发现问题，找到解决问题的途径，在关键时候向指导老师请教，走出误区，获得启示，继续研究。
关于函数项级数一致收敛性判定的讨论
∑
x ∈D
un ( x ) 的余项 , 即 R n ( x ) =
sup R n ( x )
∑u ( x) , 若 lim = 0 , 则函数项级数 ∑ u ( x ) 在 D 上一
k k = n+1 n
n →∞
0 ) 上一致收敛 , 由于 qn ( x ) = sup qn ( x ) = lim
∑x
n
n
在 ( - ∞, - r) ∪
( r, + ∞ ) , 其中 r > 1 上一致收敛 , 因为 qn ( x ) =
n
得知函数项级数 数 S ( x) .
∑
un ( x ) 在 D 上一致收敛于函
| un ( x ) | =
n , 设 D = ( - ∞, - r) ∪ ( r , + | x|
证明 由假设lim an = 0 , 对任给ε > 0 , 存在 正整数 N , 使得当 n > N 时 , 有 | an | < ε . 因为对于一切 x ∈ D , 总有 | S n ( x ) - S ( x ) | ≤ an , 故对任给ε > 0 , 存在正整数 N , 使得当 >
N 时 , 对一切 x ∈ D , 都有 | S n ( x ) - S ( x ) | ≤ an <ε .
定义 2 设{ S n ( x ) } 是函数项级数
∑u
n
( x)
的部分和函数列 , 函数列{ S n ( x ) } 和函数 S ( x ) 都 是定义在同一数集 D 上 , 若对于任给的正数ε, 总 存在某一正整数 N , 使得当 n > N 时 , 对一切 x ∈
D , 都有 | S n ( x ) - S ( x ) | < ε,
函数项级数一致收敛性判别及应用
函数项级数一致收敛性判别及应用【摘要】本文主要讨论了函数项级数的一致收敛性判别及其应用。
首先介绍了一致收敛性判别定理，然后探讨了函数项级数在实际问题中的应用。
接着列举了几个常见的一致收敛性判别法则，帮助读者更好地理解一致收敛性。
通过应用举例，展示了函数项级数一致收敛性在数学和工程领域的实际应用。
最后讨论了函数项级数一致收敛性的收敛区域，为读者进一步深入研究提供了指导。
通过本文的学习，读者可以更好地理解函数项级数的一致收敛性及其实际应用，为相关领域的研究和应用提供了理论支持。
【关键词】函数项级数、一致收敛性、判别定理、应用、常见法则、收敛区域、举例、总结1. 引言1.1 引言函数项级数一致收敛性是函数分析中一个重要的概念，它涉及到函数序列在整个定义域上的一致收敛性问题。
在实际应用中，我们常常需要判断函数项级数是否一致收敛，以及在一致收敛的条件下如何进行求和。
掌握函数项级数一致收敛性的判别方法和应用是非常必要的。
在本文中，我们将深入探讨函数项级数的一致收敛性判别定理以及其应用。
我们将介绍一致收敛性的判别定理，包括一些常见的判别法则，以及如何判断函数项级数在整个定义域上的一致收敛性。
接着，我们将讨论函数项级数一致收敛性在实际问题中的应用，通过具体的示例来说明如何利用一致收敛性来求出函数项级数的和函数。
我们将讨论函数项级数一致收敛性的收敛区域，即函数序列的收敛性对应的区域范围。
通过本文的学习，读者将能够更加深入地理解函数项级数的一致收敛性及其在实际问题中的应用。
希望本文能够帮助读者更好地理解函数分析中关于一致收敛性的重要概念，进而提高对函数序列和级数问题的认识和应用能力。
2. 正文2.1 一致收敛性判别定理一致收敛性是函数项级数收敛性中的重要性质，它在分析数学中有着广泛的应用。
一致收敛性判别定理是判断函数项级数是否一致收敛的重要工具。
在实际问题中，我们经常需要判断一个函数项级数是否一致收敛，以确保我们得到的结果是可靠的。
关于函数项级数一致收敛性判定的讨论
函数 项 级 数 一 致 收 敛 判 别 法一
中 图分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ３ １
关键词 ： 项级数 ； 数 函数 项 级 数 ； 致 收 敛 性 ； 一 比式 判 别 法 ； 式 判 别 法 根
则称函数项级数 ： ｚ 在 Ｄ上一致收敛 ＂（）
于 函数 ｓ ）或 称 ‰ （ 在 Ｄ上 一致 收敛 ． （ ， ）
根据 定 义 ２可知 ， 于 已知 的 函数 项级 数 对
收 敛性 的判 别 法［ ： 尔斯 特 拉斯 判 别 法 、 贝 １ 魏 ｑ］ 阿 尔 判别 法 、 利 克 雷判 别法 等 ， 狄 而数项 级 数 的判别 法 除阿 贝尔 判别 法 和狄 利克 雷判 别法 之 外还 有许 多判 别 法 ， 比式 判 法 、 如 根式 判别 法 等 ［ ， ３ 然 叫］ 而作 为数 项级 数 推 广 函数 项级 数 ， 否 对 比式 判 能
文献 标 识 码 ： Ａ
函数 项级 数 的一 致收敛 性 的判定 是 数 学分 析 中的一个 重 要 知 识 点 ， 函数 项级 数 既 可 以 被看 作
定 义 ２ 设 ｛ ｚ ）是 函数 项 级数 Ｓ（）
（ ）
的部 分 和 函数 列 ， 函数 列 ｛ ｚ ） 函数 Ｓ ｚ 都 Ｓ（） 和 （）
别法 ， 式判 别 法 等 进 行 推广 使 其 适 用 于 函数 项 根
级数 的一 致 收 敛 性 的 判 定 是 值 得 展 开 讨 论 的 课 题 ［ ， 文 主要 从 函数 项 级 数一 致 收敛 性 的 定 义 ５本 ］ 及 数项 级 数判 别 法 展 开讨 论 ， 到 了一 些 值 得 借 得 鉴 的适 用 于 函数 项级 数一 致 收敛 的判 别方 法．
11-6函数项级数的一致收敛性
s( x) s( x0 ) sn ( x) sn ( x0 ) rn ( x) rn ( x0 )
sn ( x) sn ( x0 ) rn ( x) rn ( x0 ) (1)
级数 un ( x)一致收敛于s( x) ， n1
对 0，必 自然数N N ( ) ，使得当n N 时,
又 0 x1 R，级数
an
xn 1
收敛，
n1
由比较审敛法即得级数 nan xn1 收敛． n1 由定理 4，级数 nan xn1 在( R, R)内的任意 n1
闭区间[ a,b ]上一致连续，
故幂级数 an xn 在[a,b ]上适合定理 3 条件，从 n1
一、问题的提出
问题: 有限个连续函数的和仍是连续函数，有 限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的 导数及积分的和．对于无限个函数的和是否具 有这些性质呢？对于幂函数是这样的，那么对 于一般的函数项级数是否如此？
例1 考察函数项级数 x ( x2 x) ( x3 x2 ) ( xn xn1 )
对a,b上的一切 x 都有
同样有
rn
(
x)
3
rn ( x0 )
. 3
(2)
sn ( x)是有限项连续函数之和，
故sn ( x)(n N )在点 x0连续，
0当 x x0
时总有
sn( x) sn ( x0 ) 3
(3)
由(1)、(2)、(3)可见, 对任给 0 ，必有 0 ，
致收敛于s( x),则s( x)在[ a,b ]上可以逐项积分,
关于函数项级数一致收敛的判别法探讨 -毕业论文
【标题】关于函数项级数一致收敛的判别法探讨【作者】余成亮【关键词】函数项级数一致收敛判别法【指导老师】陈波涛【专业】数学与应用数学【正文】1 引言一致收敛是函数项级数的一个重要性质，有效地判别函数项级数的一致收敛对进一步研究函数项级数的性质起着重要作用。
判别函数项级数的一致收敛时，通常用到柯西准则、魏尔斯特拉斯判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法、莱布尼兹函数项级数一致收敛判别法或者直接根据一致收敛的定义进行判别。
而本文在给出这些判别法的同时并对函数项级数一致收敛的定义、柯西判别法、魏尔斯特拉斯判别法、阿贝尔判别法、莱布尼兹判别法加以补充和推广，从而给判别函数项级数一致收敛提供了便利。
２函数项级数及其一致收敛性判别定理设{u (x)}是定义在数集E上的一个函数列，表达式u (x)+ u (x)+ u (x)+ …，x E （2－1）称为定义在E上的函数项级数，简记为或．称S (x)= ，x E，n=1,2…（２－2）为函数项级数（1）的部分和函数列。
若X E，数项级数u (x )+ u ( x )+ u ( x )+ …（２－3）收敛，即部分和S ( x )= 当n 时极限存在，则称级数（２－1）在点x 收敛，x 称为级数（２－1）的收敛点，若级数（２－3）发散，则称级数（２－1）在点x 发散，若奇数（２－1）在E的某个子集D上每点都收敛，则称级数（２－1）在D上收敛，若D为级数（２－1）全体收敛点的集合，这时则称D为级数（２－1）的收敛域．函数项级数（２－1）的一致收敛性定义如下：2.1函数项级数的一致收敛性定义[1]定义 1设{ S (x)}是函数项级数的部分和函数列，若{ S (x)}在数集D上一致收敛于函数S (x)，则称函数项级数在D上一致收敛于函数S (x)，或称在D上一致收敛．推论1(必要条件)函数项级数在数集D上一致收敛,则函数列{ }在D上一致收敛于零．由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定，所以由前段中有关函数列一致收敛的定理，可推出下列相应的有关函数项级数的定理：2.2一致收敛的柯西准则定理1（一致收敛的柯西准则）函数项级数在数集D上一致收敛的充要条件为：对任给的正数，总存在某正整数N，使得n>N当时，对一切x D和一切正整数P，都有|S (x)-S (x)|<或| u (x)+ u ( x)+ u ( x)| <此定理中当P=1时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件．推论函数项级数在数集D上一致收敛的必要条件是函数列在D上一致收敛于零．设函数项级数在D上的和为，称为函数项级数的余项．定理1是函数项级数的一致收敛判别法，判别函数项级数的一致收敛性除了根据定义或定理1外，有些级数还可根据级数各项的特性来判别．2.3魏尔斯特拉斯判别法定理2(魏尔斯特拉斯判别法) 设函数项级数定义在数集D上，为收敛的正项级数，若对一切x D，有（２－4）则函数项级数在D上一致收敛．证由假设正项级数收敛，根据数项级数的柯西准则，任给正数，存在某正整数N，使得n>N当及任何正整数P，有又由（２－4）式对一切x D有．根据函数项级数一致收敛的柯西准则，级数在D上一致收敛．定理2也称为M判别法或优级数判别法，当级数与级数在区间[a,b]上成立关系式（２－4）时。
函数项级数的一致收敛性读书报告
函数项级数的一致收敛性几种常用判别法定理1 Cauchy 一致收敛准则 函数项级数()∑x u n 在D 上一致敛的充要条件为：对0>∀ε，总+∈∃N N ，使得当N n >时，对一切D x ∈和一切正整数p ，都有()()ε<-+x S x S n p n 或 ()()()ε<++++++x u x u x u p n n n 21 或()ε<∑++=pn n k kx u 1特别地，当1=p 时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件： 推论1 函数项级数在()∑x u n 在数集D 上一致收敛的必要条件是函数列(){}x u n 在D 上一致收敛于0．定理2 M 判别法或优先级判别法设函数项级数()x u n ∑定义在数集D 上,∑n M 为收敛的正项级数,若对一切D x ∈,有 2,1,)(=≤n M x u n x ，则函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛.证明 由假设正项级数()x u n ∑收敛,根据函数项级数的Cauchy 准则,∀0>ε,∃某正整数N ,使得当N n >及任何正整数p ,有ε<+=++++++p n n p n n M M M M 11又由(3)对一切D x ∈,有()≤+≤++++++x u x u x u x u p n n p n n )()()(11ε<+++p n n M M 1根据函数项级数一致收敛的Cauchy 准则,级数()x u n ∑在D 上一致收敛.注:若能用从判定()∑∞=1n n x u 一致收敛,则()∑∞=1n n x u 必是绝对收敛,故M 判别法对条件收敛的函数项级数失效.例1 函数项级数∑∑22cos ,sin nnxn nx 在()+∞∞-,上一致收敛,因为对一切∈x ()+∞∞-,有22221cos ,1sin n n nx n n nx ≤≤,而正项级数∑21n 是收敛的. 推论2 设有函数项级数()x u n ∑,存在一收敛的正项级数∑∞=1n n a ,使得对于,I x ∈∀有()()+∞<≤=∞→k k a x u nn n 0lim,则函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间I 一致收敛证明 已知()()+∞<≤=∞→k k a x u nn n 0lim,即,,,,00I x N n N N ∈∀>∀∈∃>∃+ε有()0ε<-k a x u n n 即()k a x u n n +<0ε,从而()()n n a k x u +<0ε,又因为∑∞=1n n a 收敛,则()n n a k ∑∞=+1ε也收敛,由M 判别法得函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间I 一致收敛.由广义调和级数∑∞=11n p n ,当1>p 时收敛,故当n a =pn 1时,有 推论3 设有函数项级数()∑∞=1n n x u ,若存在极限k x u n n p n =∞→)(lim 且1,0>+∞<≤p k ,则函数项级数()x u n ∑在区间I 一致收敛.例2 证明函数项级数∑∞=+++1)1)((1n n x n x 在[)∞,0是一致收敛的.证明 对于∑∞=+++1)1)((1n n x n x ,存在收敛的正项级数∑∞=121n n,且=+++⋅∞→)1)((1lim 2n x n x n n 1)1)((lim 2=+++∞→n x n x n n , 则∑∞=+++1)1)((1n n x n x 在[)∞,0一致收敛.定理3 比较判别法两个函数项级数()∑x u n 与()x v n ∑,若N N ∈∃0,当I x N n ∈∀>∀,0有()x v c x u n n <)((其中c 为正常数),且函数项级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,则函数()x u n ∑区间I 绝对一致收敛.证明 已知 ()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,即对cε∀0>(其中c 为正常数),11,N n N N >∀∈∃及I x N p ∈∈,,有()()()cx v x v x v p n n n ε<++++++ 21；又由条件知I x N n N ∈>∀∃,,00有()x v c x u n n <)(；取{},,max 01N N N =当I x N p N n ∈∈∀>∀,,,有()()()<++++++x u x u x u p n n n 21()()()()εε=⋅<++++++cc x v x v x v c p n n n 21．由收敛级数一致收敛Cauchy 准则知，函数项级数∑)(x u n 在区间I 一致收敛，从而函数项级数()x u n ∑在区间I 绝对一致收敛.定理4若有函数级数()∑x u n 与()x v n ∑,N N ∈∃0,I x N n ∈∀>∀,0有()x cv x u n n <)((其中c 为正常数),且函数项级数()∑∞=1n n x v 在区间I 一致收敛,则函数()∑∞=1n n x u 区间I 绝对一致收敛.证明 已知I x N n N ∈>∀∃,,00,有()x v c x u n n <)((其中c 为正常数). 又函数项级数()∑∞=1n n x v 在区间I 绝对一致收敛,即I x N p N n N N c∈∈>∀∈∃>∀,,,,011ε,有()()()()cx v x v x v x v x v p n n p n n n ε<+=++++++++ 121)(；取{},,max 10N N N =当I x N p N n ∈∈>∀,,有()()()()()()x u x u x u x u x u x u p n n n p n n n +++++++++≤++ 2121()()()x v x v c p n n ++++< 1εε=⋅<cc从而函数项级数()x u n ∑在区间I 绝对一致收敛.推论4 比较极限法若有两个函数级数()∑∞=1n n x u 与()())0(1≠∑∞=x v x v n n n ,且有()()k x v x u nn n =∞→lim且+∞<≤k 0,若级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,则函数()∑x u n 在区间I 也绝对一致收敛.证明 由()()k x v x u nn n =∞→lim且+∞<≤k 0,即,,00N n ∈∃>∀ε当I x N n ∈>,有()()0ε<-k x v x u n n 使()()c k x v x u n n=+<0ε且00>+=εk c .即N n >∀及I x ∈有()()x v c x u n n <,又级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,知级数()∑∞=1n n x u 在区间I绝对一致收敛.推论5 有函数列(){}x u n 在区间I 上一致有界,且函数级数()∑∞=1n n x v 在区间I绝对一致收敛,则函数级数()()x v x u n n ∑在区间I 上也绝对一致收敛.证明 由已知函数列(){}x u n 在区间I 上一致有界,即I x N n M ∈∈∀>∃,,0有()M x u n ≤,使当I x N n ∈∈∀,有()()()x v M x v x u n n n ≤⋅,又因函数级数()∑x v n 在区间I 绝对一致收敛,函数级数()()x v x u n n ∑在区间I 上绝对一致收敛.例3 若函数级数()()x c x a n n ∑∑,在区间I 一致收敛,且I x N n ∈∈∀,,有()()()x c x b x a n n n ≤≤,则函数项级数()x b n ∑在区间I 上一致收敛.证明 由条件函数()()x c x a n n ∑∑,在区间I 一致收敛,则级数()()()∑-x a x c nn在区间I 上一致收敛.又I x N n ∈∈∀,有()()()x c x b x a nn n ≤≤,故()()()()x a x c x a x b n n n n -≤-≤0且级数()()()∑-x a x c n n 在区间I 绝对一致收敛,级数()()()∑-x a x b n n 在区间I 上一致收敛.又已知()x a n ∑在区间I 一直收敛,从而级数()()()()()[]()()()()x a x a x b x a x a x b x b n n n n n n n ∑∑∑∑+-=+-=在区间I 上一致收敛.推论6 设函数项级数()∑x u n 定义在数集上，()∑x v n 在上一致收敛且()0>x v n ，若对一切D x ∈，有()()x v x u n n ≥， ,2,1则函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛.推论7 设函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛，函数()x g 在D 上有界，则()()x u x g n∑在D 上一致收敛.证明 因为()x g 在D 上有界,所以,0>∃M 使()M x g ≤,对D x ∈∀成立.因()x u n∑在D 上一致收敛,,0,,0>∃>∀∴p N ε使当N n >,时有()Mx u pn nk k ε<∑+=,对D x ∈∀成立,此式表明()()()()εε=⋅<<∑∑+=+=MM x u x g x u x g pn nk k pn nk k .由Cauchy 准则知()()x u x g n ∑在D 上一致收敛.定理5 Dirichlet 判别法设(i )()x u n ∑的部分和函数列()()x u x s nk k n ∑==1在I 上一直致有界;(ii )对每一个I x ∈，()x v n 单调; (ⅲ)在I 上()()∞→→n x v n 0,则级数和()()x u x v nn∑在I 上一致收敛.证明 充分性 由(i )∃正数M ,对一切I x ∈,有()M x s n ≤,因此当为任何正整数p n ,时()()()()()M x s x s x u x u x u n p n p n n n 221≤-=++++++ ,对任何一个I x ∈,再由(ii )及Abel 引理,得到 ()()()()()x v x v M x v x v x v p n n p n n n ++++++≤+++22)(121 .再由(ⅲ)对,0,0>∃>∀N ε当N n >时,对一切I x ∈,有()ε<x v n ；所以()()()()εεεM M x v x u x v x u p n p n n n 6)2(211=+<++++++于是由一致收敛的Cauchy 准则级数()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛. 注:事实上必要性也成立,即已知()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛,可推出(i )(ii )(ⅲ)成立,这里不再赘述.例4 若数列{}n a 单调且收敛于0,则级数∑nx ancos 在[]()πααπα<<-02,上一致收敛.证明 由()π2,0,2sin221sin cos 211∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∑=x x x n kx nk 得在[]απα-2,上有212sin 21212sin21212sin 221sin cos 1+≤+≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑=αx x x n kx nk ,所以级数∑nx cos 的部分和函数列在[]απα-2,上一致有界,于是令()()n n n a x v nx x u ==,cos ,则由Dirichlet 判别法可得级数∑nx a n cos 在[]()πααπα<<-02,上一致收敛.定理6 积分判别法设()y x f ,为区域(){}+∞<≤∈=y D x y x R 1,|,上的非负函数, ()x u n ∑是定义在数集D 上的正项函数级()()n x f x u n ,=,如果()y x f ,在[)+∞,1上关于y 为单调减函数,若含参变量反常积分()⎰+∞1,dy y x f 在数集D 上一致收敛,()x u n ∑在数集D 上一致收敛.证明 由()⎰+∞1,dy y x f 在数集D 上一致收敛,对0>∀ε,∃一个N ,当Nn >时,对一切自然数p 和一切D x ∈,有()ε<⎰+pn n dy y x f ,.由()()()<+++++x u x u x u p n n n 21()ε<⎰+pn ndy y x f ,,所以()x u n ∑在数集D上一致收敛.例5 设()∑∞=-⋅=1n nx e n x S ,证明()x S 在区间()+∞,0连续.证明 首先对任意取定一点()+∞∈,00x ,都存在0>δ,使得[)+∞∈,0δx ,我们只要证明()x S 在0x 即可.令()yx e y y x f -⋅=,,[)+∞∈,δx ,由()δy yxey ey y x f --⋅<⋅=,,[)+∞∈,δx ,并且无穷级数dy e y y ⎰+∞-⋅δδ1收敛,所以含参积分dy e y y ⎰+∞-⋅δδ1在[)+∞∈,δx 上一致收敛.又因为()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+∞<≤=∈<-=-δ1,0|,,,01,y x y x R y x yx e y x f yx y 即对任意固定[)+∞∈,δx ,()yx e y y x f -⋅=,关于y 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1δ上是单调递减的 ,函数级数∑∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⋅11δn nxen 在区间[)+∞∈,δx 上是一致收敛的.利用函数项级数的性质可得, ()∑∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⋅=11*δn nxen x S 在区间[)+∞∈,δx 连续,从而()()x S e n x S n nx *11+⋅=∑=-δ在区间[)+∞∈,δx 也连续,所以()x S 在0x 连续,由0x 在()+∞,0的任意性可知, ()x S 在()+∞,0上连续.定理7 函数列(){}x u n 在[]b a ,上连续且单调,级数()∑a u n 和级数()||b u n 收敛,则级数()x u n ∑在[]b a ,上一致收敛.证明 级数()∑a u n 和()∑b u n 收敛.则()∑a u n +()∑b u n 收敛.由(){}x u n 在[]b a ,上连续且单调,则()||x u n <()||a u n +()||b u n ,由M 判别法知,级数()x u n∑在[]b a ,上一致收敛.定理8设函数()x u n ,() ,2,1=n 在[]b a ,上可微(其中b a ,为有限数),且满足如下条件:(i )函数项级数()x u pn n k k∑++=1在[]b a ,上收敛;(ii )存在常数M ,使得对任意的自然树1≥m ,任意的实数[]b a x ,∈,恒有()M x u n<∑/,则函数项级数()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.证明 对0>∀ε,因为b a ,为有限数,所以存在自然数k ,使得()εεk a b k a +≤≤-+1,我们在闭区间[]b a ,上插入分点i a x a x i ε+==,0,()1,2,1-=k i ,b x k =,于是,闭区间被分成k 个小区间[]i i x x ,1-,()k i ,2,1=.从而有[]b a ,=[]i i ki x x U ,11-=.又因为函数项级()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上是收敛的,故对任意i x ()1,2,1-=k i ,存在自然数()i x N ,ε,使得()i x N n ,ε>时,对任意p ,有()ε<∑++=pn n j ijx u 1.于是,对任意[]i i x x x ,1-∈,在自然数()i x N ,ε,使得()1,->i x N n ε时, 对任意p ,有()()()()ipn n j jp n n j p n n j ijjpn n j jx u x u x u x u ∑∑∑∑++=++=++=++=+-=1111()()()∑∑∑++=++=++=+-≤pn n j ijpn n j pn n j ijjx u x u x u 111()εε+-≤-++=∑11/i pn n j j xx u()()εεε+--≤-=+=∑∑11/1/i nj jpn j jxx u u()()εεε+-+≤-=+=∑∑11/1/||i nj jpn j jxx u u()ε12+≤M因此,对0>∀ε,存在自然数(){}1,,1,0|,max 0-==k i x N N i ε,使得当0N n >时,任意[]b a x ,∈,任意自然数p ,均有()ε)12(1+<∑++=M x u pn n j j.即函数项级数()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.定理9 设()x u nn ∑为定义在数集D 上的函数项级数,D x ∈0为()x u nn ∑的收敛点,且每个()x u n 在上一致可微, ()x u nn ∑/在上一致收敛,记()=x S ()x u nn ∑.定理10 设函数列(){}x u n 在闭区间[]b a ,上连续可微,且存在一点[]b a x ,0∈,使得()x u n n ∑∞=1在点0x 处收敛; ()x u n n ∑∞=1/在[]b a ,上一致收敛,则函数项级数()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收.证明 已知()x u n n ∑∞=1在点[]b a x ,0∈处收敛, ()x u n n ∑∞=1/在[]b a ,上一致收敛.即对()εε1,N o ∃>∀,使得()ε1N n ≥时,对+∈∀N p ,有()ε<∑+=+=p n k n k kx u 1成立.对[]b a x ,∈∀,有()ε<∑+=+=p n k n k k x u 1/.根据拉格朗日中值定理,[]b a x N p N n ,,,∈∀∈∀>∀+,有()()∑∑++=++=-pn n k pn n k k k x u x u 110≤()∑+=+=p n k n k k u 1/ξ0x x -<()a b -ε,(ξ介于x 与0x 之间)．于是[]b a x N p N n ,,,∈∀∈∀>∀+，()()()()∑∑∑∑++=++=++=++=+-≤pn n k kp n n k p n n k kkpn n k kx u x u x u x u 1111||()()1+-=+-≤a b a b εεε．即()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.定理11 （根式判别法）设∑)(x u n 为定义在数集D 上的函数项级数，记n n n x u x q )()(=，若存在正整数N ，正数q ，使得1)(<≤q x u n n 对一切的N n >，D x ∈成立，则函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．证明 由定理条件n n q x u ≤)(对一切N n >，D x ∈成立，而几何级数∑nq 收敛，由优级数判别法知，函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．综上可知，判别函数项级数一致收敛与非一致收敛有多种方法，有的方法对某一类函数项级数能显示其优点，熟练掌握函数项级数一致收敛与非一致收敛判别方法，这对研究收敛函数项级数所确定的函数分析性质至关重要．参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M ].第三版.北京:高等教育出版社.。
函数项级数一致收敛性判别及应用
函数项级数一致收敛性判别及应用一、前言函数项级数是数学中重要的研究对象之一，其研究内容包含了级数的一切，而函数的性质使得函数项级数的研究更加复杂。
本文主要讨论函数项级数的一致收敛性判别及其应用。
二、一致收敛性定义及判别定义：对于一列函数 $f(x)$ 的级数：$f_1(x)+f_2(x)+...+f_n(x)+...$，如果当$n→∞$ 的时候，级数 $f_1(x)+f_2(x)+...+f_n(x)+...$ 的部分和 $S_n(x)$ 对于 x ∈D 讨论存在极限，即 $\lim_{n→∞} S_n(x)=S(x)$，则称函数项级数：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ 在域 D 上一致收敛于 S(x)。
S(x)称为函数项级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ 的和函数。
函数项级数的Cauchy准则：函数项级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ 在区间 I 上一致收敛的充分必要条件为：对于任意的 $\epsilon>0$，存在正整数 N 和任意的 n,m>N，使得当$x∈I$ 时，$|f_n(x)+...+f_m(x)|≤\epsilon$.总结：定义、定理和准则都给我们对函数项级数一致收敛性的一个综合的认识，通过这些理论知识，我们下面可以看到函数项级数在实际应用中的一些具体应用。
三、函数项级数的应用函数项级数在数学和物理学等方面有广泛的应用，例如傅里叶级数、泰勒级数、泊松方程和热传导方程等。
下面我们主要介绍函数项级数在傅里叶级数中的应用。
傅里叶级数是标准基函数与一般函数之间的线性组合，可以看作是将一个周期为T的函数展开为不同频率的正弦函数和余弦函数的和。
傅里叶级数的求解过程主要分为两步：第一步确定基函数，第二步利用基函数求解待定系数。
假设一个周期函数$f(x)$可以表示为完备正弦函数和余弦函数的和，表示为：$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos(\frac{n\pix}{l})+b_n\sin(\frac{n\pi x}{l})]$$其中 $a_0$，$a_n$ 和 $b_n$ 分别为待定系数，$l$为周期。
函数项级数一致收敛的判别及应用
n 1 n 1
证 由于 （1）u n ( x )（n=1,2,．．．）是 a , b 上的连续函数 （2）u n ( x ) 收敛于 u n ( x ) =0 （3）对于 x a , b 有 u n ( x ) 单调 所以 由Dini定理知 u n ( x ) 一致收敛于 u n ( x ) =0 又因为 n 1 u n ( x ) ( 1) ( x ) 一致有界 （1） n 1 （2）对于x a , b 有 u n ( x ) 单调 （3） u n ( x ) 一致收敛于 u n ( x ) =0 所以 由Dirichlet判别法知“J型”函数项级数是一致收敛 的
引言
预备知识 定义与性质
函数项级数一致收敛 的判别方法
3.9“J型”函数项级数是一致收敛
设S(x)= 其中 u n ( x ) （n=1,2,．．．）是 x a , b 上的连续 函数，而且对每一个x,当n→∞时，u n ( x ) 单 调递减→0，称这一函数项级数为“J型” 函数项级数
也就是只要是形如S(x)= n 项级数，就必 ( 1)
n 1
的函数
例如： 研究 (1 x ) x 在 0,1 上一致 收敛. 证（ⅰ）此级数是交错级数； n (1 x ) x （ n=1,2,．．．）是 0,1 上的连续 （ⅱ） 函数 x 0,1 , (1 x ) x n 单调递减→0. （ⅲ）对于 所以 此级数是“J型”函数项级数.、 所以 此级数一致收敛.
( 1)
n 1
n
n 1
致 谢 在本次论文设计过程中,张若峰老师对该论文 从选题、构思到最后定稿的各个环节都给予细心 指引与教导,使我得以最终完成毕业论文设计. 在此,谨向张老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！ 这四年中还得到众多老师的关心、支持和帮助. 在此,向他们表示我深深的谢意！ 最后,向在百忙中抽出时间对本文进行评审并 提出宝贵意见的各位老师表示衷心地感谢！
函数项级数一致收敛的几种判定及相应推广毕业论文
函数项级数一致收敛的几种判定及相应推广摘要函数项级数一致收敛的判别法是数学中的一个重点也是一个难点，一个函数项级数是收敛还是发散，数学上建立了一系列的判别法可以来进行判别.我们比较熟悉的判别法有：柯西（Cauchy）一致收敛准则、魏尔斯特拉斯判别法（M 判别法）、阿贝耳(Abel)判别法、狄利克雷(Dirichlet)判别法、积分判别法、还有更为精细的狄尼（Dini）定理、确界判别法、数列判别法等等.这些判别法虽然对我们研究函数项级数一致收敛的问题上带来了很大的方便，但是对于更深层次的研究函数项级数一致收敛仍然是不够的，因此函数项级数判别法推广的研究也是研究函数可微性至关重要的一部分.本文将分为三个部分研究：第一个部分主要介绍函数项级数一致收敛的相关概念；第二个部分介绍柯西（Cauchy）一致收敛准则、魏尔斯特拉斯判别法（M判别法）、阿贝耳(Abel)判别法、狄利克雷(Dirichlet)判别法、积分判别法的定理及相应的详细证明，最后给出典型例题对这几种判别法的简单应用，又简单介绍了狄尼（Dini）定理、确界判别法的定理；第三个部分就是简单介绍以上几种判别法的相应的推广，主要包括判别法推广的定理、定理的证明及在解题中的应用.其中定理3.4的结论与课本内容相符，但条件有所减弱,通过引入有界变差的定义从而得到了与课本内容相一致的结论.关键词：函数项级数；一致收敛；判别及推广AbstractJudging method of uniform convergence of the series of functional is a key point as well as a difficult point in mathematics .A series criterion is established in mathematics to judge whether a series of a function is convergent or divergent. We are more familiar with criterions such as Cauchy (Cauchy) uniform convergence criterion ，Weierstrass Criterion (M Criterion), Abel (Abel) Criterion, Dirichlet (Dirichlet) Criterion, points Criterion, and more subtle Dini(Dini)theorem, Supremum Criterion, Criterion Series and so on .Although these methods to study about the approximate convergence of series of functions is a big issue of convenience for us , it is still not enough for a deeper study of the function of approximate convergence. So the research about the promotion of discriminant function series is a critical part for exploring differentiability of function.Therefore ,this paper will focus on three parts to research: the first part focuses on related concepts of the approximate convergence of series of functions; the second part introduces the Cauchy (Cauchy) uniform convergence criterion、Weierstrass Criterion (M Criterion), Abel (Abel) Criterion, Dirichlet (Dirichlet) Criterion, theorem of integration criterion and the corresponding detailed proof ;the third part simply introduces the corresponding expansion of above-mentioned criterions, including theorem of the promotion criterion as well as its proof and the application in the title. The conclusions in 3.4 correspond with the textbook’s contents, but the conditions become a little weaker. By introducing the definition of bounded variables, we get the same conclusions with contents of the textbook.Keywords: Series of functions; Uniform convergence;Discrimination and promote目录摘要 (I)Abstract (II)１引言 (1)1．1 研究现状 (1)1．2 本文决所要解的问题 (1)1．3 本文结构及所做的工作 (1)2 函数项级数一致收敛的判别法 (2)2．1 预备知识 (2)2．2 函数项级数的柯西判别法 (2)2．3 函数项级数的M判别法 (3)2．4 函数项级数的阿贝耳判别法 (3)2．5 函数项级数狄利克雷判别法 (4)2．6 函数项级数的柯西积分判别法 (5)2．7函数项级数其他判别法 (8)3 函数项级数判别法的推广 (11)3．1 函数项级数柯西判别法的推广 (11)3．2 函数项级数M判别定理的推广 (16)3．3 函数项级数阿贝尔判别法的推广 (18)3．4 函数项级数柯西积分判别法的推广 (19)3．5 函数项级数优级数判别法的推广 (21)4总结与展望 (23)参考文献 (24)致谢...............................................................................................错误!未定义书签。
函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
定理1. 若级数 u n ( x) 满足 :
n 1
1) 各项un ( x) 在区间[a, b] 上连续;
2) un ( x) 在区间[a, b] 上一致收敛于 S ( x) ,
n 1
则S ( x) 在[a, b] 上连续.
证: 只需证明 x0 [a, b] , lim S ( x) S ( x0 ) .
因为对任意 x 都有:
sin n x
2
1
cos x cos 2 2 x cos n 2 x
其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 .
问题: 对什么样的函数项级数才有:
逐项连续 和函数连续;
逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分
函数序列的一致收敛
回忆
设 fn ( x) 是区间I 上的函数列, 若x0 I , 数列
x 求证f n ( x ) 在( , )上一致收敛. 2 2 1 n x x lim f n ( x ) lim 0, 逐点收敛于f ( x ) 0. 2 2 n n 1 n x x 1 2n x 1 fn ( x) f ( x) 2 2 2 2 1 n x 2n 1 n x 2n 1 n sup f n ( x ) f ( x ) 0. 2n x( , )
2 n n 1
在 [0,1] 上不一致收敛 .
证: S n ( x ) x ( x x ) ( x x
)x
n
S ( x)
xn , 0 x 1 rn ( x) S ( x) S n ( x) x 1 0, 1 1 n 取正数 , 对无论多么大的正数 n , 取xn ( 1 ) , 2 2 xn [0, 1] , 而 rn ( xn ) 1 2 , 因此级数在 [0, 1] 上不
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1、引言
2、定义
函数项级数定义
函数项级数一致收敛的定义
3、函数项级数一致收敛的判别方法
柯西一致收敛准则
余项判别法
魏尔斯特拉斯判别法
狄利克雷判别法
阿贝尔判别法
比式判别法
根式判别法
对数判别法
积分判别法
确界判别法
5、结束语
阐明总结函数项级数一致收敛判别方法的重要性及必要性。
四、主要参考文献
[1]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].高等教育出版社.1991
一、本课题研究现状及可行性分析
目前通用的数学分析教材（如华东师范大学，复旦大学，吉林大学，北京师范大学等）其介绍的主要内容如下：M判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法，柯西收敛准则等，用来判别一些级数的一致收敛性问题，其他一些数学方面的工作者对某些特殊级数的收敛性进行了讨论。当前对级数的收敛性的讨论研究已经到达比较高级阶段，分枝也比较细，发展也相对较完善。但在许多实际解题过程中，往往不是特定的级数，用特殊的方法不能解决。故需对特殊级数情况要总结和发展。
[6]刘玉璉，傅沛仁，林玎，苑德馨，刘宁等.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，2003.6
[7]裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社．1993．
[8]毛一波.函数项级数一致收敛性的判别[J].重庆文理学院学报(自然科学版).2006.10
[9]陈传章．金福临，宋学炎，等．数学分析(下册)[M].高等教育出版社.1983
二、本课题研究的关键问题及解决问题的思路
关键问题：对函数项级数一致收敛性判别法总结和推广。
基本思路：首先从定义出发，让读者了解函数项级数及一致收敛的定义，对函数项级数一致收敛有一个大致的认识，并对其进行一定的说明，且将收敛与一致收敛做一个比较，使读者对其有一个更深刻的认识。随后给出一些常见的一致收敛的判别法，并附上例题加以说明。当熟悉了一般的判别法后，我将其加以推广，得到一些特殊的判别法，如比式判别法，根式判别法，对数判别法等。
函数项级数的一致收敛性的判定是数学分析中的一个重要知识点，函数项级数既可以被看作是对数项级数的推广，同时数项级数也可以看作是函数项级数的一个特例。它们在研究内容上有许多相似之处，如研究其收敛性及和等问题，并且它们很多问题都是借助数列和函数极限来解决，同时它们敛散性的判别方法也具有相似之处，如Cauchy判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法等。教材中给出了对于 一致收敛性的判别法，如Cauchy判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法等，但在具体进行一致收敛的判别时，往往会有一定的困难，这就需要我们有效地运用函数项级数一致收敛的判别法。而此课题除了叙述以上判别法外，还对这些判别方法进行了一些推广，从而进一步丰富了判别函数项级数一致收敛的方法。
[2]王振乾，彭建奎，王立萍.关于函数项级数一致收敛性判定的讨论[J].甘肃联合大学学报.2010
[3]吴良森，毛羽辉，宋国栋，魏栍等.数学分析习题精解[M].北京：理科教育出版社,2002.
[4]谢惠民，恽自求，易发槐，钱定边等.数学分析习题课讲义[M].北京：高等教育出版社，2004.1：
[5]赵显曾，黄安才等பைடு நூலகம்数学分析的方法与解题[M].陕西：师范大学出版社，2005.8