材料力学第5章弯曲应力(每页放2张)

+ -
1 ql 2 = 0 .02 ql 2 50
1 ql ( l − a) − 1 ql 2 = 1 ql 2 − 1 qla
22
8
8
2
合理时，|Mmax|=|Mmin|
+
-
-
1 qa 2 2
1 ql 2 − 1 qla = 1 qa2
8
2
2
∴ a = 0.207 l
14
2 .合理布置载荷 P
l/2 l/2
一、最大正应力
σ max
=
M max ⋅ ymax IZ
=
M max I z / ymax
令
W
= Wz
=
Iz ymax
称为截面对中性轴z的抗弯截面系数(模量)
∴σ max
=
M max Wz
二、几种特殊截面的抗弯截面系数
1. 矩形截面
z b
h
Iz
=
bh 3 12
Wz
=
Iz h/2
=
bh 2 6
6
2. 圆形截面
二、假设 1.平面假设：梁的所有横截面在变形过程中要发生转动， 但仍保持平面，并且和变形后的梁轴线垂直。
2. 纵向纤维间无正应力。
2
三、两个概念 •中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受 拉应力和压应力，此层纤维称中性层。
‚中性轴：中性层与横截面的交线。
即横截面绕中性轴发生了轻微的转动
抗拉强度和抗压强度
σtmax
=
M Wz
≤[σt
]
σcmax
=
M Wz
≤[σc]
四、弯曲强度条件的应用
依此强度准则可进行三种强度计算：
Œ、校校核核强强度度：：
σ max ≤ [σ ]
• 设计截面尺寸：
Wz
≥ M max [σ ]
Ž 设计载荷： M max ≤ Wz[σ ]; [P] = f (M max )
即弯矩M只与横截面上的正应力σ有关；而剪力Fs只与剪应
力τ相关。
aP
Pa
纯弯曲
FS =0, M ≠ 0
剪切（横力）弯曲
FS ≠ 0 , M ≠ 0
AC P +
Pa
DB
P
+
一、纯弯曲梁实验研究
实验现象：
1° 横向线(a b、e f)变形 后仍为直线，它们相对旋 转了一个角度，仍垂直弯 曲后的纵线；
2° 纵向线变为曲线，且 靠近底面的纵线伸长，靠 近顶面的纵线缩短 。
σ max =
max ≤ [σ ] Wz
置的横截面上应力达到[σ]。 不合理！
宜采用变截面梁，且应使各横截面上的最大应力都达到[σ]。 ——等强度梁
16
[例] 简支梁在集中力P作用下为等强度梁，设截面为矩形，
60 ×106 × 60 5.832 ×107
=
61.7MPa
σ 1max
=
M1 ymax Iz
= 92.6MPa
σ max
=
M max ymax Iz
= 104.2MPa
ƒ求曲率半径
ρ1
=
EI z M1
=
200×103 × 5.832×107 60 ×106
= 194.4m
§5-3 弯曲正应力的强度条件及其应用
15
3 .从材料特性[σ]角度考虑选择合理的截面形式
1°塑性材料： [σt ] = [σc ] ⇒ ytmax = ycmax
上下对称截面： 圆形，矩形，工字形等；
2°脆性材料：[σt ] ＜ [σc ] ⇒ ytmax < ycmax中性轴偏向受拉一侧
上下不对称截面： T 形，槽形等；
y1
M
y2
二、工字钢截面
(H-h)/2 b
y
(H-h)/2 B
τ = QSz∗ = FS [ B (H 2 − h2 ) + b ( h2 − y 2 )]
bIz I zb 8
24
当y=0时
τ max
=
FS [ BH Izb 8
2
− (B
− b)
h2 ] 8
当y=±h/2时
τ min τ max
τ min
=
FS
§5-2 纯弯曲时梁的正应力 一、变形几何关系
dx
o
o
y
a
b
o'
o'
'
'
以横截面的对称轴为y轴，且以向下为正，以中性轴为z轴 设中性层的曲率半径为ρ，对于任意纤维ab，则
变形前 ab = oo = o′o′ = ρdθ
变形后 a′b′ = (ρ + y) ⋅ dθ
3
∴ ab的相对变形为
)
ε = a′b′ − ab = (ρ + y)dθ − ρdθ = y
zZ
M
σ tmax =
t max
Iz
yt max
≤ [σt ]
σ cmax
=
M c max Iz
yc
＜
max
[σ
c
]
理想的中性轴的位置应是 最大拉应力和最大压应力 同时达到许用应力。
ytmax = y2 = [σt ] ycmax y1 [σ c ]
三、等强度梁
M
等截面梁WZ为常数，横力弯曲时弯 矩M是随截面位置变化的。只有|M|max位
1 Pl 4
+
P
l/6 5l/6
5 Pl 36
+
q=P/l
l
1 ql2 = 1 Pl 88
+
P/2 P/2 l/4 l/2 l/4
1 Pl 8
+
P
l/4 l/2 l/4
二、梁的合理截面
b
b
1 .截面形状相同，A一定时
尽量提高Wz值
h
zh
z
2 .截面形状不相同
y y
尽量提高Wz/A值
D = 78.2mm A1 = 48 cm 2 WZ1 = 46.95cm3 WZ1 / A = 0.978
o
o
3
4 Fs
1'
2'
9
y
6
4
FN1
FN2
在右侧面2'4上，由
微内力σdA组成的
内力系的合力为
∫ ∫ FN 2 =
σdA∗ = M + dM
A∗
Iz
A∗ y1dA∗
=
(M
+ dM Iz
)
⋅
S
∗ z
∫ 式中
S
* z
=
A∗ y1dA∗
是横截面的部分面积A*
对中性轴的静矩，即距中性轴为y的横线46
以下的面积对中性轴的静矩。
在下列情况下，需要对梁进行剪应力强度校核
1.短梁(l<5h)； 2.自行设计的梁；
3.接缝处。
12
[例1] 已知[σ]=160MPa， [τ] =100MPa。P=200KN，l=3m， a=0.5m。试为图示梁选择工字钢型号。
解：1°作Fs、M图
aP
2° 根据正应力强度条件 选择截面型号
A
Cl
由强度条件
ab
ρdθ
ρ
即纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比
二、物理关系
由虎克定律σ=Eε，则
σ
= Eε
=
E
y ρ
即横截面上各点正应力σ与它到中性 层的距离成正比
y>0，凸的受拉 y<0，凹的受压
三、静力关系
三个内力分量分别为：
M
∫ FN =
σdA = 0
A
∫ M y =
(σdA) ⋅ z
A
=0
∫ M z =
8
[例3] T字形截面外伸梁如图示，已知[σc]／ [σt] =3。求该梁 最合理的外伸长度。
§5-4 弯曲剪应力
一、矩形截面
q
x
P2
12
P1
1' 2' dx
2 FS
剪应力的分布规律 作如下假设
1.各处的剪应力τ与Fs同向；
2.沿宽度方向均匀分布。
2'
dx M(x) Fs 1
2' M(x)+dM(x)
BH 2 [
Izb 8
−
Bh 2 ]
8
S
∗ z
=
y
∗ c
A∗
=
B( H 2
−
h )[ h 22
+
1 (H 22
−
h )] + b( h
2
2
−
y)[ y +
1 (h 22
−
y)]
=
B
(H
2
− h2) +
b
h2 (
−
y2)
8
24
∴τ = FS bh
11
三、圆形截面
在中性轴上，剪应力达到max
S
∗ z
=
Iz
=
πd 4 64
d
z
Wz
=
Iz d /2
=
πd 3 32
三、弯曲强度条件
3. 圆环截面
Iz
=
πD 4 64
− πd 4 64
d
z
Wz
=
Iz D/2
D
= πD3 (1−α 4 )
32
σ max
=
M max Wz
≤ [σ ]
上式适用于抗拉压强度相等的材料，如碳钢
对抗拉压强度不相等的材料，如铸铁，需要分别校核
第5章 弯曲应力
§5–1 §5–2 §5–3 §5–4 §5–5 §5–6
纯弯曲 纯弯曲时梁的正应力 弯曲正应力的强度条件及其应用 弯曲剪应力 提高弯曲强度的措施 习题讨论课
§5-1 纯弯曲
q(x) F
m
A
m
Me B
y
F
M
m
A
m
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱFA
FS
FS
M
σ
τ
τ =? σ =?
1
由梁横截面上的剪力和弯矩分析可知，弯矩是垂直于横截面的 内力系的合力偶矩；而剪力是切于横截面的内力系的合力。
D d
=
2
D = 79.9mm
A2 = 37.6cm2
WZ2 = 46.95cm3 WZ2 / A = 1.25
hb=2 b = 41.3mm A3 = 34 cm 2 WZ3 = 46.95cm3 WZ3 / A = 1.38
工字钢
№10
A4 = 14.3cm 2 WZ4 = 49cm3 WZ2 / A = 3.28
7
[例1] 图示为一铸铁梁，P1＝10KN，P2＝4KN，许用拉应力[σt] ＝30MPa，许用压应力[σc ] ＝60MPa，Ｉz＝7.63×10-6m4，试校 核此梁的强度。
[例2] 制动装置的杠杆，用直径d=30mm的销钉支承在B处。若杠杆 材料的σs=210MPa，取安全系数ns=1.5，试求许可载荷P1、P2。
4
ML
∫ ∫ ∫ 3.
Mz =
(σdA) y =
A
Ey 2 dA = E
Aρ
ρ
y 2dA = EI z = M
A
ρ
∴1 = M ρ EI z
式中EIz 称为梁的抗弯刚度。
⇒σ = M ⋅y Iz
正应力σ正负判断： 1°M>0，y为正时， σ为拉应力即σ >0
M>0，y为负时， σ为压应力即σ <0
1
在顶面3465上， 与顶面相切的内 力系合力为
FN1
FN2 dFS′ = τ ′bdx
∑ 同理 FN1 =
Q FX = 0
∴ M + dM Iz
τ ′ = dM
M Iz
⋅
S
∗ z
∴ FN 2 − FN1
S
* z
−
M Iz
S
* z
−
S
∗ z
=
FS
S
∗ z
− dFS′ τ ′bdx
= =
由剪应力互等定理
2°由凸凹性判断，凹侧为负，凸侧为正。
[例1] 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）a-a截
面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）
全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求a-a截面的曲率
半径。
a q=60KN/m
A
B
RA 1m a 2m RB
解：•画M图求截面弯矩
200KN
σ max
=
M max Wz
≤ [σ ]
+
∴Wz
≥
M max [σ ]
= 625×103 mm3
100KN.m
+
Pa DB
-
200KN
查型钢表，选择32a号工字钢 Wz = 692×103 mm3
3° 校核剪应力强度 查型钢表，知32a号工字钢
Iz S*
z max
= 27.5cm
腹板厚度 d = 9.5mm
(σdA) ⋅ y
A
=M
∫ ∫ ∫ 1.由FN =
σdA =
A
Ey dA = E
Aρ
ρ
ydA = ESz = 0
A
ρ
Sz = 0
∴ z轴即中性轴过形心
∫ ∫ ∫ 2.
My =
(σdA) z =
A
Eyz dA = E
Aρ
ρ
yz dA = EI yz
A
ρ
≡0
由于y轴是横截面的对称轴，即Iyz=0，上式自然满足
πR 2 2
⋅
4R 3π
∴τ max
=
FS SZ ∗ bI z
=
FS πR 4 ⋅ 2R
⋅ πR 2 2
⋅
4R 3π
4
=
4 3
FS πR 2
=
4 3
FS A
四、剪应力强度条件
一般说，在剪力为最大值的截面的中性轴上，剪应力达 到max，则
τ max
=
F S* S max z max bI z
≤ [τ ]
S
∗ z
=
yc∗ A∗
=
h 2
+ 2
y
b( h 2
−
y)
= b (h2 − y2) 24
∴τ = FS ( h 2 − y 2 ) 2Iz 4
故剪应力τ沿高度h分布为抛物线 当y=0时， τ 达到τmax
τ max
=
FS 2Iz
⋅ h2 4
=
3 2
FS A
= 1.5τ
最大剪应力为平均剪应力的1.5倍
∴τ max
=
F S* S max z max Izb
=
(Iz
FS max
/
S* z max
)d
= 200×103 = 76.7MPa < [τ ] =100MPa 27.5 ×10 × 9.5
同时满足正应力和剪应力强度条件，故选32a号工字钢
13
§5-5 提高弯曲强度的措施
主要考虑正应力强度条件：
M
σmax =
max ≤ [σ] WZ
1.合理安排梁的受力情况，以减小最大弯矩Mmax；
2.采用合理的截面形状，以提高抗弯截面模量WZ， 充分利用材料的性能。
一、合理安排梁的受力情况
1 .合理安排支座
q
q
l
a=0.2l
l
a
1 ql2 = 0.125ql2 8
+
讨论支座的最佳位置
1 ql 2 = 0.025 ql 2 40
M1
=
( qLx 2
−
qx 2 2
)
x =1
=
60 kNm
M max = qL2 / 8 = 60× 32 / 8 = 67.5kNm
180 30
qL2
M
M1 8 Mmax
+
12 z
y
x
120
5
‚求应力
Iz
=
bh3 12
=
120×1803 12
=
5.832×107 mm4
σ1
=σ2
=
M1y Iz
=
0 τ = τ ( y) = τ ′ = FS Sz∗ bI z
0 式中 Fs---横截面上的剪力 Iz---横截面对中性轴的惯性矩 b---横截面宽度
dx bI z bI z
10
∫ ∫ S
∗ z
=
y1dA∗ =
y1(b dy1)
A*
A*
FS
∫=
h/2
y by1dy1
=
b 2
h2 (
4
−
y2)
y1