实验报告弹簧振子的简谐运动

可见 v 随时间的变化关系也是一个简谐振动. 由(1)和(3)式消去 t, 有:
v2 = ω02(A2 − x2) ......................................................................(4) 即当 x=A 时, v=0; 当 x=0 时, v=±ω0A, 这时 v 的数值最大, 即
其中 k 和 A 均不随时间变化,(8)式说明了简谐振动的机械能守恒.
【实验内容】
1.
测量弹簧振子的振动周期并考察振动周期和振幅的关系
滑块振动的振幅 A 分别取 10.0, 20.0, 30.0, 40.0 cm 时, 测量其相应的振动周期, 分析和讨论 实验结果可得出什么结论.
2.
研究振动周期和振子质量之间的关系
2.08606 2.19852 2.30622 2.41058 2.50926 2.60382
TR (s) 2.08571 2.19863 2.30626 2.41059 2.50922 2.60330
2.08585 2.19880 2.30641 2.41029 2.50871 2.60358
2.08565 2.19898 2.30641 2.41021 2.50881 2.60354
实验报告
班号 ____________ 姓名
第3页
______________
实验日期 _________________________
教师评定 ______________
1
1
Ek = 2mv2 = 2(m1 + m0)v2 ......................................................(6)
vmax = ω0A ...............................................................................(5)
3.
简谐振动的机械能
在实验中, 任何时刻系统的振动动能为:
系别 同组姓名
___________ __________
实验日期 _________________________
教师评定 ______________
800.1 700.1
y = 4180.7x - 6.9347
600.1
500.1
t2/4pi2
400.1
300.1
200.1
100.1
0.1 0.000000
0.020000
0.040000
0.060000
1.1391
0.299
0.038 0.337 0.364
0.8697
0.174
0.176 0.350 0.364
我们可以看到各处动能和势能之和均基本与 kA2/2 一致, 与理论推导出来的结论相符.
【分析与讨论】
实验进行的很顺利。首先我进行了导轨的调平，不过似乎效果也不是很明显。主要的问题在 于无法准确的读到滑块的位置，因为没有明确的标示，另外光电计数器的位置也没法测得很 准。滑块放手的时候容易给它一个初速度，这很不好。
Tˉ (s) 2.085815 2.1987317 2.3063417 2.4105283 2.509015 2.6036133
T2/4π2 (s2) 0.083593852 0.092889629 0.102204509 0.111647049 0.12095652 0.130249403
拟合直线方程为:
方程的解为:
−kx = mx¨
x = A sin(ω0t + ϕ0) .................................................................(1) 即物体作简谐振动, 其中
ω0 =
k m
ω0 是振动系统的固有角频率. m = m1 + m0 是振动系统的有效质量, m0 是弹簧的有效质量. A 是振幅, φ0 是初相位, ω0 有系统本身决定, A 和 φ0 由初始条件决定. 系统的振动周期:
表格 2 振子周期和质量之间的关系
A = 40.0(cm)
m0(g) 453.8 505.0 556.3 608.5 659.7 710.9
TL (s) 2.08580 2.19880 2.30622 2.41073 2.50893 2.60368
2.08582 2.19866 2.30653 2.41077 2.50916 2.60376
教师评定 ______________
v(m/s) Ek=mv2/2 (J) Ep=kx2/2(J) E=Ek+Ep (J) E’=kA2/2(J)
0.7340
0.124
0.242 0.366 0.364
1.0195
0.239
0.116 0.356 0.364
1.2208
0.343
0.000 0.343 0.364
2.08287 2.08446 2.08623 2.08588
Tˉ (s) 2.08289 2.08487 2.08586 2.08595
从这个周期和振幅的关系我们可以看出, 弹簧振子的振幅对其周期没有太大影响, 基本与理 论相符. 在本次试验中周期随振幅增大而有微小增加, 那是因为存在摩擦力的原因.
有效质量;
2.
观测简谐振动的运动学特征;
3.
测量简谐振动的机械能.
【仪器用具】
气轨, 弹簧, 划块, 骑码, 挡光刀片, 光电计时器(精度:0.00001s), 电子天平(精度:0.01g), 游 标卡尺(游标刻度 0.02mm).
【实验原理】
k
m1
k
1.
弹簧振子的简谐运动方程
质量为 m1 的质点由两个弹簧拉着, 弹簧的劲度系数分别为 k1 和 k2, 如图所示. 当 m 偏离平 衡位置的距离为 x 时, 它受弹簧作用力:
系别 同组姓名
___________ __________
实验报告
班号 ____________ 姓名
第4页
______________
实验日期 _________________________
教师评定 ______________
【实验数据】
表格 1 周期振幅关系
m = 453.8(g)
振幅 A(cm) TL(s)
T2 m0= 4180.678629(4π2) + (−6.934683751)
相关系数: r = 1 弹性系数: k=4.181kg/m 弹簧折合质量: m1 = 6.935g
系别 同组姓名
___________ __________
实验报告
班号 ____________ 姓名
第5页
______________
f = −(k1 + k1)
系别 同组姓名
___________ __________
实验报告
班号 ____________ 姓名
第2页
______________
实验日期 _________________________
教师评定 ______________
令k = k1 +k2 , 并用牛顿第二定律写出方程
系统的弹性势能为(以 m1 位于平衡位置时系统的势能为零):
1 Ep = 2kx2 .................................................................................(7)
系统的机械能为:
1
1
E = Ek + Ep =2mω02A2 = 2kA2 ................................................(8)
2π
m
m1 + m0
T =ω0 = 2π, k =2π
k .........................................(2)
2.
简谐振动的运动学特征
将(1)式对时间求微商, 有
dx v = dt = Aω0cos(ω0t + ϕ0) .....................................................(3)
在滑快上加骑码(铁片). 对一个确定的振幅(A=40.0cm)每增加一个骑码测量一组 T.
作 T2‐m1 图,
如果 T 与 m1 的关系确如
所示,
则 T2‐m1 图应为一直线,
其斜率为4π2 k
,
截距为
4π2 k m0
.
用最小二乘法作直线拟合,
求出 k Байду номын сангаас m.
3.
研究振动系统的机械能是否守恒
固定振幅 A=40.0cm, 测出不同 x 处的滑快速度 v, 由此算出振动过程中系统经过每一个 x 处 的动能和势能.
0.00887 0.00883 0.00890 0.00887 1.01
0.01151 0.01149 0.01184 0.01161 1.01
系别 同组姓名
___________ __________
实验报告
班号 ____________ 姓名
第6页
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实验日期 _________________________
我们可以看到，随着振幅的增大，周期有变长的趋势，这是摩擦力作用的结果，但是振幅不 变，增大振子重量，得到的 T2, m，关系同线性相差不大，这可以从一定程度上反映气垫导 轨上的摩擦力大小跟振子重量关系不大，直观上想，确实也差不多应该如此。
最后一组数据，U 同 U’的相对差最大到了 10%左右，我想问题主要不在于摩擦，确是在于 位置测量的总不是很准，而且手在放开时候总会引入一些初速度。
0.080000
0.100000 m1
0.120000
0.140000
0.160000
0.180000
0.200000
由图可见可见线性关系得到很好的满足.
表格 3 验证机械能守恒
m0(g)
453.8 x(cm) U 型片两 次挡光时 间间隔 (s) 1 2 3 T(s) dX(cm)
m1(g) 6.935 56.4
左
0.01352 0.01387 0.01389 0.01376 1.01
m=m0+m1 (g) 460.735 66.4
左
0.00987 0.00996 0.00989 0.00991 1.01
x0(cm)
89 89.0
k(kg/m) A(cm)
4.551 102.0
40 116.8
左
右
右
0.00829 0.00823 0.00830 0.00827 1.01
10.0
2.08218
20.0
2.08489
30.0
2.08552
40.0
2.08606
2.08288 2.08526 2.08598 2.08599
2.08242 2.08489 2.08573 2.08598
TR (s) 2.08310 2.08469 2.08606 2.08586
2.08386 2.08500 2.08566 2.08594
系别 同组姓名
___________ __________
实验报告
班号 ____________ 姓名
第1页
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实验日期 _________________________
教师评定 ______________
【实验名称】气轨上弹簧振子的简谐运动
【目的要求】
1.
用实验方法考察弹簧振子的振动周期与系统参量的关系并测定弹簧的劲度系数和