对数函数和性质学案资料全

《对数函数及其性质》

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型；

2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较；

3.了解反函数的概念，知道指数函数x

=与对数函数log a

y a

=互为反函数

y x

()

>≠．

0,1

a a

学习策略：在理解对数函数定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质，在学习过程中，要处处与指数函数相对照．

知识回顾——复习

指数函数图象及性质：

要点一：对数函数的概念

1．函数 叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件：

（1）系数为 ；

（2）底数为 的常数； （3）对数的真数仅有 ． 要点诠释：

（1）只有形如y=log a x(a>0，a ≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数．

（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求 ，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意 ． 要点二：对数函数的图象与性质

a ＞1 0＜a ＜1

图象

性质

定义域： 值域：

过定点 ，即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函数

在（0，+∞）上是减函数

当0＜x ＜1时， ＜0，

当x ≥1时， ≥0

当0＜x ＜1时， ＞0， 当x ≥1时， ≤0

关于对数式log N 的符号问题，既受a 的制约又受N 的制约，两种因素交织在一起，

以1为分界点，当a ，N 同侧时，log a N>0；当a ，N 异侧时，log a N<0. 要点三：底数对对数函数图象的影响

1．底数制约着图象的升降． 如图

要点诠释：

由于底数的取值围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与 对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．

2．底数变化与图象变化的规律

在同一坐标系，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈 轴； 当0

要点四：反函数

1．反函数的定义

设,A B 分别为函数()y f x =的定义域和值域，如果由函数()y f x =所解得的()x y ϕ= 也是一个函数（即对任意的一个y B ∈，都有唯一的x A ∈与之对应），那么就称 函数()x y ϕ=是函数()y f x =的 ，记作 ，在1()x f y -=中，

y 是自变量，x 是y 的函数，习惯上改写成 （,x B y A ∈∈）的形式．

函数()y f x =的值域B 正好是它的反函数1()y f x -=的 ．

要点诠释： 并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如2y x =．一般说来，单调函数有反函数．

2．反函数的性质

（1）互为反函数的两个函数的图象关于 对称．

（2）若函数()y f x =图象上有一点(),a b ，则 必在其反函数图象上， 反之，若(),b a 在反函数图象上，则 必在原函数图象上．

类型一：对数函数的概念

例1.下列函数中，哪些是对数函数？

（1）log 0,1)a

y a a =>≠； （2）2log 2;y x =+

（3）28log (1)y x =+； （4）log 6(0,1)x y x x =>≠；

（5）6log y x =．

【总结升华】 类型二：对数函数的定义域

求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.

例2. 求下列函数的定义域：

(1)

2log a y x =； (2)log (4-)(01)a y x a a =>≠且.

【解析】由对数函数的定义知：20x >，40x ->，解出不等式就可求出定义域.

(1) 典型例题——自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三．

(2)

【总结升华】 举一反三：

【变式1】求下列函数的定义域.

(1) y=

(2)

lg 23y x x =

+-.

类型三：对数函数的单调性及其应用

利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念. 例3. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)33log 3.6,log 8.9；

(2)0.20.2log 1.9,log 3.5；

(3)2log 5与7log 5； (4) 3log 5与6log 4．

(5)log 4.2,log 4.8a a （01a a >≠且）．

【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。

【总结升华】

例4．利用对数函数的性质比较0.23、3log 2、5log 4的大小．