数字信号处理PPT第1章-1(2014)

j
X (e
)
n
x ( n )e
2f fs

jn
其中：
1 x ( n) 2



X (e )e
j
jn
d
和z变换一样，
X (e ) 必须存在，才有讨论的价值。
j
DTFT存在的充分条件：
n


x(n)
显然周期序列不满足此条件。
其中：
X (e ) X (e ) e
j
2. 线性
设
X (e ) DTFTx(n)
j
Y (e ) DTFTy(n)
j
则：DTFTax(n） by(n) aX (e ) bY(e )
j j
其中a，b均为常数
3.
位移特性
设
X (e ) DTFTx(n)
j
jn0
则： DTFTx(n n 0 ) e
2.序列的相乘
f(n) = x(n )y(n)
3. 序列的移位
y(n) x(n n 0 )
4.序列的能量以及序列的绝对值序列 的能量：

S
n

x ( n)
2
若
n
x ( n)

2
，
则x(n)为平方可和序列。
x ( n ) 若 ，
n

其中：
1 xe (n) [ x(n) x(n)] 2
1 xo (n) [ x(n) x( n)] 2
6. 任意序列都可由单位脉冲序列 表示
x ( n)
m
x(m) (n m)

1.2 离散信号的DTFT与z变换
1.2.1 离散时间信号的DTFT
离散信号的DTFT定义:
1 n 0 u ( n) 0 n 0
u (n ) 1
• • • • ••
0 1 2 3 ••• n
• • • -3 -2 -1
(n) 和 u (n)的关系为
(n) u(n) u(n 1)
u ( n ) ( n m)
m 0
3. 矩形序列
下面讨论正弦序列的周期性。设
则：
x(n) A sin( 0 n )
x(n N ) A sin[ 0 (n N ) ] A sin( 0 n N0 )
若 则：
N0 2k
为整数时，
x ( n) x ( n N )
根据周期序列的定义可知，这时正弦序列为周
X (e )
j
4. 频移特性
设
X (e ) DTFTx(n)
j
则： DTFT e

j0 n
x(n) X (e

j ( 0 )
)
5. 共轭序列
设
X (e ) DTFTx(n)
j
则： DTFT x (n) X (e
* *


j
)
DTFT x (n) X (e )
1 RN (n) 0
RN (n)
0 n N 1 n
1

0
1
2
3
N-1
n
RN 和 (n)、u(n)的关系为：
RN (n) u(n) u(n N )
RN ( n ) ( n m )
m 0
N 1
4. 实指数序列
x(n) a u(n)
n
anu (n)
期序列，其周期满足
N
2k
0
（ N、k必须为整数）。
2
(1）当
0
为有理整数时(k=1)，
N
2
0
例1：
x(n) sin(

4
n)
（2）当
2 为有理分数时： 0
N
2
0
例2：
x(n) sin(

4.25
n)
2 （3）当 是无理数时： 0
此时N不存在。
例3：
1 x(n) sin( n) 4
6.复指数序列
x(n) Ae
( a j0 ) n
Ae cos(0 n) j sin( 0 n)
an
复指数序列 e
j0 n
和复指数信号 e j t 一样，0ຫໍສະໝຸດ 在信号分析中扮演着重要的角色。
1.1.2
序列的运算
1.序列的相加
z(n) = x(n) + y(n)
j
j
j ( )
X (e )表示x(n)的频域特性，也称 x(n）的频谱
j
X (e ) －－幅度谱
j
（）－－相位谱
序列的DTFT直接关系到序列和其 频谱之间的关系，因此在数字滤波器 设计中经常采用。
• 例 1 设 x(n) RN (n)， 求x(n)的DTFT 。
1e j
* *


j
表 1.2 DTFT的主要特性
1 a a2 a3 a4
0
1
2
3
4
n
式中， a为实数。 当|a|<1 时，序列是收敛的；
而当|a|>1时，序列是发散的。
a为负数时，序列是摆动的。
5.正弦序列
x(n) sin( 0 n)
如果对所有n 存在一个最小的正整数N，使
下面等式成立：
x ( n) x ( n N )
则称序列x(n)为周期性序列，周期为N。
jN
1e
e e
j N / 2
j / 2
(e
j N / 2 j / 2
(e
e
e
jN / 2
)
j / 2
)
设N=4， 幅度随ω变化曲线如图所示。
x=[1,1,1,1]
nx=[0:3]
w=linspace(-2.8*pi,2.8*pi,10000) X=x*exp(-j*nx'*w) plot(w/pi,abs(X)) xlabel('\omega/\pi') ylabel('|X(e^j^\omega)|')
则x(n)为绝对可和序列。
若 x(n) Bx ， 则x(n)为有界序列。
5.实序列的偶部和奇部
如果对于所有的n，有：
x(n) x(n)
则x(n）为偶对称序列。
如果对于所有的n，有：
x ( n) x ( n)
则x(n）为奇对称序列。
任何序列都可以分解为：
x(n) xe (n) xo (n)
第1 章
离散时间信号与系统
1.1 离散时间信号
1.1.1 几种常用的典型序列
1.单位脉冲序列 (Unit impulse sequence)
1 n 0 ( n) 0 n 0
δ (n ) 1
•
0
• • • -3 -2 -1
• • • • 1 2 3 4
n
2.单位阶跃序列 (Unit step sequence)
DTFT的性质 1. DTFT的周期性
X (e ) x(n)e
j n j ( 2M ) n
，M为整数
X(ejω) 是频率ω的周期函数， 周期是 2π。
在＝0，2M点上， X (e )表示序列x(n)的低频分量，
序列x(n)的最高频分量在 ＝点上。
注意：和连续信号与系统频谱的区别。