数学物理方法复习

已知解析函数f(z)= u(x,y)+iv(x,y)， 且u-v =(x-y)(x2+4xy+y2)．求此解析函数f(z)．
已知解析函数f(z)的实部u(x,y)=2(x-1)y，且f(2)=-i． 求 此解析函数f(z)．
u v , v u x y x y
v u 2x 1
x y
v u 2 y y x
u 3x2 3y2 y
u 6xy x
du u dx u dy 6xydx (3x2 3y2 )dy d 3x2 y y3 x y
u 3x2 y y3 C v 3xy2 x3 C
f (z) 3x2 y y3 i(3xy2 x3) (1 i)C iz3 (1 i)C
| z a || z b |
求0< < , 0<r<1经 =iz变换后在 平面上的图 形。 求z平面上带形区域- <Rez<+ , 0<Imz< 经
=ez 变换后在 平面上的图形。
计算Ln2， Ln(-1) ，Ln(-i)，Ln(1+i)
求解sinz=0 和 sinz=2的全部根
求 lim z1
dv v dx v dy 2x 1dx 2 ydy d x2 2x y2 x y
v x2 2x y2 C
f (z) 2(x 1) y i(x2 2x y2 ) iC i(2 z)z iC
f (z) i(2 z)z i i(z 1)2
已知某解析函数 f(z)的虚部 v(x, y) x x2 y2 ,
1 z
ÑC z2 1sin 4 dz
路径C：
1 z
Ñ sin dz 0
|z|1/ 2 z2 1
4
sin z /(z 1)
Ñ
| z 1|1
4 z 1
dz
1
1 23
sin z
Ñ|z|3
4 z2 1
dz
Ñ 计算积分：
C
z
1 2
1
eiz
dz
路径C：
Ñ eiz /(z i) dz e1
|zi|1 z i
求该解析函数。
u 1 v , v 1 u r r r r
u 1 v
r r
v(r, ) 2r sin
2
1 cos
2r 2
u r v
r
r sin
22
du u dr u d r
1
cos
dr
2r 2
r sin d d
22
2r
cos
2
u(r, ) 2r cos C
教科书：第二章
❖ 典型例子
已知解析函数f(z)的实部为u(x,y)=2(x-1)y，且 f(2)=-i． 求此解析函数f(z)． 已知某解析函数 f(z)的虚部 v(x, y) x x2 y2 , 求该解析函数。
证明：x2-2xy不能成为的一个解析函数的虚部．
证明：函数f(z)=zImz在点z=0可导，但不解析
教科书：第三章
❖ 典型例子
C
Im zdz
其中：(1) C为由原点到(2,0)再到(2,1)的折线； (2) C为由原点到 (2,1)的直线
证明：
|z|1
z2
1 2z
2
dz
0
百度文库
Im
z
2
zeiz z2
1
dz
ez
dz
zi 3 z 2 (z 2 1)
2
e1/ z dz
|z|1 z 2i
计算积分：
i
2 1 i
1 23
| z i | 1 | z | 2 | z i | | z i | 2 2
r 3 sin2 , [ , ]
2
ÑC
z
1 2
1
eiz
dz
Ñ 计算积分：
|
|z|2
z | ez z2
dz
奇点 z=0
蜒 |
|z|2
z | ez z2
dz
2
|z|2
ez z2
dz
a取何值时，函数 F (z)
z z0
ez
1 z
a z3
已知解析函数f(z)= u(x,y)+iv(x,y)， 且u =x+y．求此解析函数的导数．
u 1 x v u 1 x y
u 1 y v u 1 y x
f (z) u i v 1 i x x
u v , v u x y x y
第三章 复变函数的积分
❖ 第一节 积分的概念及性质 ❖ 第二节 Cauchy定理 ❖ 第三节 原函数与不定积分 ❖ 第四节 Cauchy积分公式
2
f (z) z C
已知解析函数f(z)= u(x,y)+iv(x,y)，
u v , v u x y x y
且u-v =(x-y)(x2+4xy+y2)．求此解析函数f(z)．
u v u u (x2 4xy y2 ) (x y)(2x 4 y) x x x y u v u u (x2 4xy y2 ) (x y)(2 y 4x) y y y x
数学物理方法复习
2018年1月
复变函数部分
❖ 复数与复变函数 ❖ 解析函数 ❖ 复变函数的积分 ❖ 级数 ❖ 留数定理及其应用
第一章 复数与复变函数
❖ 第一节 复数及运算 ❖ 第二节 区域 ❖ 第三节 复变函数 ❖ 第四节 复变函数的极限和连续性
教科书：第一章
❖ 典型例子
求(1 i)100 和4 1 i
2x
求解sinz=0 和 sinz=2的全部根
z n , n 0, 1, 2, z i ln(2 3) 2n , n 0, 1, 2,
2
求解方程
sin z 3 i 1 44
tan z i cos z 4
第二章 解析函数
❖ 第一节 导数 ❖ 第二节 解析函数 ❖ 第三节 解析函数的变换性质
zz
2z z z2 1
2的极限
证明极限lim z 不存在 z0 z
求0< < , 0<r<1经 =iz变换后在 平面上的图 形。
z平面
=iz=zexp(i / 2)
平面
求z平面上带形区域- <Rez<+ , 0<Imz< 经 =ez 变换后在 平面上的图形。
=ez
注意 x R, y 0 u ex 0, v 0 x R, y u ex 0, v 0
试确定函数 f(z)=z2-z 将z平面上的区域0<Imz<1映射为 w平面上的图像
y 1
y0
y
u x2 x 1 v 2x 1
u x2 x
v
0
f(z)=z2-z
x
u 1 v2 5 44
v
5
5 1
u
44
5
计算Ln2， Ln(-1) ，Ln(-i)，Ln(1+i)
y 1+i
-1 O -i