数学物理方法复习
数学物理方法复习
数学物理方法复习
数学物理方法是指在数学和物理学领域中常用的方法和技巧。
复习这些方法可以帮助我们更好地理解和应用数学和物理学的知识。
数学方法的复习包括但不限于以下内容：
1. 微积分：复习微分和积分的基本概念和性质，掌握常用的微积分技巧，如导数的计算、函数的积分等。
2. 线性代数：复习矩阵的运算和性质，如矩阵乘法、逆矩阵、特征值等；掌握线性方程组的解法，如高斯消元法、矩阵求逆法等。
3. 微分方程：复习一阶和二阶微分方程的基本概念和解法，如分离变量法、变换法、欧拉方程等。
4. 概率与统计：复习概率的基本概念和性质，如事件的概率、条件概率等；掌握常用的概率分布，如正态分布、泊松分布等。
5. 复变函数：复习复数的基本概念和运算，如复数的加减乘除、复函数的导数和积分等；掌握常用的复变函数，如指数函数、三角函数、对数函数等。
物理方法的复习包括但不限于以下内容：
1. 牛顿力学：复习牛顿的三大定律和它们的应用，如力的合成、力的分解、摩擦力等。
2. 电磁学：复习电荷、电场、电势等基本概念和性质，掌握库仑定律、电场强度和电势的计算方法。
3. 光学：复习光的折射、反射、干涉、衍射等基本原理和现象，掌握光的像的
成像公式和光的传播速度。
4. 热学：复习热力学和热传导的基本概念和定律，如热容、热力学第一定律、热传导方程等。
5. 量子力学：复习波粒二象性、不确定性原理等基本概念和性质，了解薛定谔方程和波函数的基本解法。
除了复习这些数学和物理方法外，还可以通过做习题、阅读教材、参加学习小组等方式来加深理解和应用。
数学物理方法复习整理
数学物理方法复习整理数学物理方法一、本课程的教学内容第1章典型数学物理方程及定解问题第2章分离变量法第3章积分变换法第4章行波法和降维法（达朗贝尔法）第5章数理方程差分法第6章格林函数法第7章bessel方程与函数二、章节重点第一章典型的数学和物理方程及定解问题1。
术语解释：(1)定解条件、定解问题、定解问题的适定性；(2).dirichlet、neumann定解问题；（3）傅立叶热传导定律和胡克弹性定律；（4）演化方程，势方程，拉普拉斯方程，泊松方程；2.简述二阶线性偏微分方程的分类方法。
3.推导一维波和热传导方程。
4.写出二阶偏微分方程的特征方程及其特征曲线。
5.书1.4习题：1，3，4，7，8，96.书中示例1.1.1、1.1.3、1.1.6和1.2.1第二章分离变量方法1。
名词解释：(1)特征值、特征函数、sturm-liouville问题；(2)驻波、腹点、节点、基频、固有频率；(3)三角函数系正交性；(4)fourier级数；（5）矩形和圆形区域上的拉普拉斯问题；2．简述采用分离变量法求解齐次边界条件的齐次线性偏微分方程定解问题的步骤。
3.第2.7册练习：1,4,6,8,15,16（p65-67）。
4.书籍示例：2.1.1、2.1.2、2.2.1。
第三章积分变换方法1。
术语解释：(1)fourier变换；(2)laplace变换；（3）傅里叶变换，线性性质，位移性质；（4）拉普拉斯变换，线性性质，平移性质，微分性质；2.简述用积分变换法求解偏微分方程定解问题的基本步骤。
3.写出傅里叶变换和拉普拉斯变换的存在条件。
4.用傅里叶变换方法导出了无限弦振动的达朗贝尔公式。
5.第3.6册练习：1（1）（2）、6、9（1）（2）、12、13（p93-94）。
6.书籍示例：3.1.1；3.1.2； 3.3.1、2、3、4、6；例3.4.1、3.4.2、3.4.3解的像函数。
第四章行波法与降维法(d’alembert法)1．名词解释：（1）无限长弦自由振动的达朗贝尔公式；（2）行波速度；(3)特征变换，特征线；(4)球对称性，降维法；2.简要描述达朗贝尔公式的物理意义。
数学物理方法整理(全)
CR条件极坐标形式
u 1 v 1 u v
f z u v u v 0 CR条件： i 0 z x y y x 解析函数 性质1、f(z)在区域 B 解析，u(x,y)和v(x,y)为共轭调和函数 u(x,y)和v(x,y)都满足二维 Laplace 方程
若l所围区域包围n个奇 点b1 b2 b3 ….， bn , 则 单极点
f z dz 2 i Re sf (b )
l j 1 j
n
称为留数定理
Re sf ( z0 ) lim ( z z0 ) f ( z )
z z0
m 1
1 d m Re sf ( z ) lim { [( z z ) f ( z )]} m阶极点 0 0 m 1 z z0 (m 1)! dz
m为z0的阶，z 0为m阶极点，一阶极点 单极点 z0本性奇点 m ,
第四章 留数定理
l
f ( z )dz ak ( z z0 ) k dz 2ia1 2i Re sf z0
k l0
a1 Re sf ( z0 )
a-1称为f(z)在 奇点z0的留数
k
k
0
f(z)正幂部分称为解析部分，负幂部分称为主要部分 (z-z0 )-1的系数a-1称为f(z)在 奇点z0的留数
若 f ( z) a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 )2 z0可去奇点
m m1 f ( z ) a ( z z ) a ( z z ) ... a0 a1 ( z z0 ) 若 m 0 m1 0
f ( z)
数学物理方法期末复习
f
(x)
k 0
bk
sin
(k
1 )
2 l
x
bk
2 l
(k 1) x
l
f (x)sin
2 dx
0
l
12
(4)、边界条件为 f (0) 0, f (l) 0
根据边界条件 f (0) 0应将函数f(x)对区间(0,l)的端点 x=0作偶延拓。又根据边界条件f (l)=0 ，应将函数f(x) 对区间(0,l)的端点x=l作奇延拓，然后以4l为周期向整
ak
k 1
cos k x l
a0 ak
1 l
2 l
l
f (x)dx
0 l
f (x) cos
0
k x
l
dx
g(x) g(x)
4l f (0) f (l) 0
g(2l x) g(x)
f
(
x)
k 0
ak
cos
(2k
1)x 2l
ak
2 l
l 0
f (x)cos(2k 1)x dx 2l
z1 x1 iy1 z2 x2 iy2
z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
(2)、乘法和除法
z1z2 (x1 iy1 )( x2 iy2 )
(x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1 )
z1
z1
z
* 2
z2
z2
z
* 2
(x1 iy1)(x2 iy2 )
x22
y
数学物理方法总复习
第一章 复变函数复数的三种表示：代数表示，三角表示与指数表示几个初等函数的定义式：()1sin 2iz iz z e e i-=- ()1cos 2iz iz z e e -=+ ()12z z shz e e -=- ()12z z chz e e -=+ ln ln()ln iArg iArgz z z e z z ==+§1.3导数u v x y v u xy ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ Cauchy-Riemann 方程§1.4 解析函数1．定义若复变函数()f z 在点0z 及其邻域上处处可导，则称()f z 在0z 点解析。
注意：如果只在一点导数存在，而在其他点不存在，那么也不能说函数在该点解析。
例如：函数2)(z z f =在0=z 点是否可导？是否解析？ 解：222)(y x z z f +==，22y x u +=，0=v ，x x u 2=∂∂，y y u 2=∂∂，0=∂∂xv ，0=∂∂y v ， 由此可见，仅在0=z ，u 、v 可微且满足C-R 条件，即)(z f 仅于0=z 点可导，但在0=z 点不解析。
在其他点不可导，则它在0z =点及整个复平面上处处不解析。
某一点，函数解析⇒⇐可导某一区域B，函数解析⇔可导2．解析函数的性质（ⅰ）几何性质（ⅱ）调和性（ⅲ）共轭性例已知323u x xy=-求v看书上例题§2.1 复变函数的积分∴复变函数的路积分可以归结为两个实函数的线积分。
因此复变函数积分也具有实变函数积分的某些性质。
一般说来，积分值不仅依赖于起点、终点。
积分路线不同，其结果也不同.§2.2 柯西定理的应用§2.3 不定积分§2.4 柯西公式均属于考试内容！第三章幂级数展开,)()()(20201000Λ+-+-+=-∑∞=z z a z z a a z z a k k k （1）比值判别法（达朗贝尔判别法,D ’ Alember ）（3.2.3） （2）根值判别法（柯西判别法）（3.2.6） §3.3 泰勒级数的展开2. 其他展开法可用任何方法展开，只要0()kz z -项相同，那么展开结果一定相同（根据Taylor 展开的唯一性）如利用00111!k k k z k t t t z e z k ∞==∞=⎧=<⎪-⎪⎨⎪=<∞⎪⎩∑∑ ∞<+-=∑∞=+z k z z k k k ,)!12()1(sin 012;∞<-=∑∞=z k z z k k k ,)!2()1(cos 02 等等！例6 将211z -在00z =点邻域展开（1z <） 解：利用011k k t t ∞==-∑有：24222011(1)1k k k z z z z z z ∞==+++++=<-∑K K例7 11z -在02iz =点的邻域展开 解：01011111(1)()1222211212()1122()2(1)22(1)2kk kk k i i iiz z z iiz i ii z i i z i∞=∞+===⋅---------=---=-<--∑∑§3.5 洛朗（Laurent ）级数展开（1）展开中心z 0不一定是函数的奇点；3展开方法的唯一性间接展开方法：利用熟知公式的展开法 较常用 例 2 将函数21()(2)(3)f z z z =--在021z <-<内展开为Laurent 级数 解：因为021z <-<内展开，展开形式应为(2)nn n c z ∞=-∞-∑ 01113(2)11(2)(2)(21)nn z z z z z +∞===------=---<∑ 而20111(2)(3)312(2)(2)(21)n n n z z z z n z z ∞=-''⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦=+-++-+-<∑K K得到：22221111()(2)(3)(2)(3)123(2)(2)(2)(2)021n n n f z z z z z z n z z n z z -∞-===•----=++-++-+-=-<-<∑L L例3 函数1()(1)(2)f z z z =--在下列圆环域内都是处处解析的，将()f z 在这些区域内展开成Laurent级数 ①01z <<②12z <<③2z <<∞④011z <-< 解：①11111()211212f z zz z z =-=----- 由于1z <从而12z<，利用 21111n z z z z z =+++++<-K K 可得：22111(1)122222212n n z z z z z =+++++<-K K 22221()(1)(1)22221370248nn n z z z f z z z z z z z ∴=+++++-+++++=+++<K K K K K 结果中不含负幂次项，原因在于1()(1)(2)f z z z =--在1z <内解析的。
数学物理方法复习题
第一部分:填空题1复变函数f(z) u(x,y) i v(x,y)在点z x i y可导的必要条件是____ 2 柯西黎曼方程在极坐标系中的表达式为_______ 3 复变函数f(z) zz在z ____处可导4复变函数f(z) xy i y在z ____处可导5 ln( 1) _____6 指数函数f(z) ez的周期为______ 21dz _____ 7 1z 2(z )2zezdz _____ 8 z 3z 3 19 dz _____ 2 z 4z 2 1cos zd z _________ 5(z 1)z 111 z10 11 在z0 1的邻域上将函数f(z) e展开成洛朗级数为__________12 将e1/z在z0 0的邻域上展开成洛朗级数为_____________1在z0 1的邻域上展开成洛朗级数为________________ z 1sinz14 z0 0为函数的________________ 2z115 z0 0为函数sin的________________ z13 将sin16 z0 1为函数e17 z0 0为函数11 z的____________________ cosz的______阶极点4zsinz18 z0 0为函数4的______阶极点z1 e2z19 函数f(z) 在z0 0的留数Resf(0) ________ z320 函数f(z) e11 z在z0 1的留数Resf(1) ________,在无限远点的留数Resf( ) ________21 函数f(z) e1/z2在z0 0的留数Resf(0) ________22 函数f(z) cosz在z0 0的留数Resf(0) ________ 3zsinz23 函数f(z) 3在z0 0的留数Resf(0) ________ z24 积分 f( ) (t0 )d ______ (t (a,b) )ab25 两端固定的弦在线密度为 f(x,t) (x)sin t的横向力作用下振动,泛定方程为_______________.26 两端固定的弦在点x0受变力 f(x,t) f0sin t的横向力的作用,其泛定方程为_________________.27 弦在阻尼介质中振动，单位长度的弦所受的阻力F R ut（R为阻力系数），弦在阻尼介质中的振动方程为_______________。
中考数学物理方法归纳总结
中考数学物理方法归纳总结在中考中，数学和物理是两门重要的科目。
为了帮助同学们更好地备考中考，下面将对数学和物理的相关方法进行归纳总结，以希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这两门科目。
一、数学方法1. 整数运算法则整数运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
加法和减法是数学中最基本的运算，掌握好整数的加减法则是非常重要的。
乘法和除法则是对加减法的推广和拓展，需要灵活运用。
2. 分数运算法则分数是数学中的一个重要概念，分数的加减乘除都需要掌握。
加减法的关键在于找到分母的最小公倍数，乘除法的关键在于分数的乘法和除法法则。
3. 代数方程与函数代数方程和函数是数学中的重点内容，理解代数方程和函数的意义以及解法是至关重要的。
需要掌握一元一次方程、平方根、平方差、二次函数等相关概念和求解方法。
4. 图形的性质和几何变换图形的性质和几何变换是中考中的重点内容，需要掌握平行线的性质、相似三角形、正多边形等几何概念，同时也需要了解几何变换中的平移、旋转、翻转等基本操作。
5. 概率与统计概率和统计是数学中的应用内容，需要掌握概率的计算方法、抽样调查和数据分析等统计概念和方法。
在中考中，概率题和统计题所占比例较小，但也需要重视。
二、物理方法1. 物理量和单位物理中的物理量有长度、质量、时间、速度、加速度等，每个物理量都需要有相应的单位。
掌握各种物理量和单位，可以更好地理解物理概念和解题方法。
2. 运动学运动学是物理中最基础的部分，包括直线运动、曲线运动和平抛运动等。
理解物体的位移、速度、加速度等运动学量，以及利用运动学公式解题的方法，是掌握物理的基本要求。
3. 力和牛顿定律力是物理中的基本概念，掌握力的性质、计算和合成方法是解决力学问题的关键。
牛顿定律是物理中的基本定律，包括惯性定律、运动定律和作用-反作用定律，需要理解和应用。
4. 能量与功率能量和功率是物理中的重要概念，能量守恒定律和功率的计算方法是物理问题中常见的考点。
数学物理方法复习资料及参考答案(二)
数学物理方法复习资料及参考答案(二)一、选择题:1. 函数()f x 以0z 为中心的Taylor 展开的系数公式为：（ )A ξξξπd z f i k C c k ⎰-=)()(20 B !)(0)(k z f C k k =C ξξξπd z f i C c k k ⎰+-=10)()(21 D ξξξπd z f i k C c k k ⎰+-=10)()(2 2。
⎰=-l dz a z )(（ ） （其中l 表示以为a 中心ρ为半径的周围)。
A i ⋅πB iC i ⋅-πD 0 3. 非齐次边界条件)(),(0t u t u l x x νμ====，转化为齐次边界条件的方法：（ )A )()(tB x t A + B x t A )(C )(t BD x t B x t A )()(2+ 4。
)(t f 是定义在半无界区间),0(∞上的函数，⎩⎨⎧<<<=)(0)0()(t T T t ht f在边界条件0)0(='f 下，把)(t f 展为实数形式傅立叶积分：（ ） Aw h 12π B w wT h cos 2π C w wT h sin 2π D wwTh cos 12-π 5. 齐次边界条件0,00====l x x xu u 的本征值和本征函数：（ ） A ),3,2,1,0(cos )(,222 ===n l xn C x X l n nn n ππλB ),3,2,1(sin )(,222 ===n l xn C x X l n nn n ππλC ),3,2,1,0()21(cos )(,)21(222 =+=+=n l xn C x X ln n n n ππλD ),3,2,1,0()21(sin )(,)21(222 =+=+=n l xn C x X l n nn n ππλ6. 若集合是（ ）,则该集合是区域。
A 开集B 连通开集C 连通闭集D 连通集 7. 设a 是)(z f 的可去奇点，则有：（ ）Alim ()Z af Z →存在且有限 Blim ()Z af Z →不存在C )(z f 在a 点的主要部分只有有限项D )(z f 在a 点的主要部分有无限多项8。
数学物理方法期末复习
数学物理方法期末复习数学物理方法是一门综合应用数学和物理知识的学科，主要涉及到数学工具和数学方法在物理学中的应用。
数学物理方法的核心内容包括数学分析、微分方程、线性代数、复变函数等。
这门课程对于物理学专业的学生来说非常重要，它为我们理解和解决物理问题提供了强有力的工具。
在数学物理方法的学习中，数学分析是一个非常重要的基础部分。
数学分析研究了函数的性质、极限、连续性、微分性和积分性等。
通过学习数学分析的原理和方法，我们可以更深入地理解和分析物理问题中的数学关系。
微分方程是数学物理方法中的另一个重要内容。
微分方程是描述物理系统动力学行为的数学模型。
通过对微分方程进行求解，可以得到物理系统的解析解或数值解，从而进一步研究和分析物理系统的运动和变化规律。
线性代数也是数学物理方法中的关键部分。
线性代数研究了向量空间、线性变换、矩阵以及它们的性质和运算。
在物理学中，线性代数被广泛应用于矩阵理论、量子力学、电磁学等领域。
例如，在量子力学中，波函数的表示和演化可以通过线性代数的方法进行描述和求解。
复变函数是研究复数域上的函数的一门学科，也是数学物理方法中的重要内容。
复变函数在物理学中的应用非常广泛，特别是在电磁学、流体力学和量子力学中。
通过复变函数的分析，我们可以更好地理解和求解这些物理问题。
总的来说，数学物理方法是物理学专业学生必须掌握的一门课程。
它不仅提供了解决物理问题所需的数学工具，而且培养了我们分析和解决问题的能力。
数学物理方法的学习不仅需要我们掌握数学知识，还需要我们运用数学方法进行物理问题的建模和求解。
通过不断练习和研究，我们可以逐渐掌握和运用这些数学物理方法来解决实际问题。
在数学物理方法的期末复习中，我们可以从以下几个方面进行复习和提高：首先，我们可以回顾和复习数学分析的基本概念和原理。
包括函数的性质、极限、连续性、微分性和积分性等。
通过做一些相关的数学分析题目，加深对这些概念和原理的理解和应用能力。
数学物理方法复习
( x ,Байду номын сангаас)
2 xdy c 2 yx c
Y (X,Y)
0
(X,0)
X
例三：已知解析函数f（Z）的虚部 v(x,y)= -x+ x y ,
2 2
求其实部及整个解析函数。
已知解析函数f（Z）的虚部
2 2
v(x,y)= -x+ x y , 求其实部及整个解析函数 解：在极坐标系下表示：v 2 cos( / 2) v 1 v sin( / 2), 2 根据C R条件，可得： u 1 u cos( / 2), sin( / 2) 2 2
ln 2 3 i( / 2 2k ) z i ( / 2 2k ) i ln 2 3
计算下列各式数值 (1)sin(a ib) (2)sin(ix) (3) ln(1)
(1) sin(a ib) e sin(a ib) 2i b b e (cos a i sin a ) e (cos a i sin a ) 2i b b b b e sin a e sin a i e cos a e cos a 2 b b b b e e sin a i e e cos a 2 e
i ( a ib ) i ( a ib )
(2) sin(ix) sin(ix) e
i ( ix )
e 2i
i ( ix )
e e i 2
x
x
(3) ln(1) ln(1) ln 1 i 2k i 2k
数学物理方法期末复习笔记
《热力学统计物理》期末复习一、简答题1、写出焓、自由能、吉布斯函数的定义式及微分表达式（只考虑体积变化功）答：焓的定义H=U+PV，焓的全微分dH=TdS+VdP；自由能的定义F=U-TS，自由能的全微分dF=-SdT-PdV；吉布斯函数的定义G=U-TS+PV，吉布斯函数的全微分dG=-SdT+VdP。
2、什么是近独立粒子和全同粒子？描写近独立子系统平衡态分布有哪几种？答：近独立子系统指的是粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用。
全同粒子组成的系统就是由具有完全相同的属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成的系统。
描写近独立子系统平衡态分布有费米-狄拉克分布、玻色-爱因斯坦分布、玻耳兹曼分布。
3、简述平衡态统计物理的基本假设。
答：平衡态统计物理的基本假设是等概率原理。
等概率原理认为，对于处于平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。
它是统计物理的基本假设，它的正确性由它的种种推论都与客观实际相符而得到肯定。
4、什么叫特性函数？请写出简单系统的特性函数。
答：马休在1869年证明，如果适当选择独立变量（称为自然变量），只要知道一个热力学函数，就可以通过求偏导数而求得均匀系统的全部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质完全确定。
这个热力学函数称为特性函数。
简单系统的特性函数有内能U=U （S 、V ），焓H=H （S 、P ），自由能F=F （T 、V ），吉布斯函数G=G （T 、P ）。
5、什么是μ空间？并简单介绍粒子运动状态的经典描述。
答：为了形象的描述粒子的运动状态，用rrp p q q ,,,,11；共2r 个变量为直角坐标，构成一个2r 维空间，称为μ空间。
粒子在某一时刻的力学运动状态()rrp p q q ,,,,11；可用μ空间的一个点表示。
6、试说明应用经典能量均分定理求得的理想气体的内能和热容量中哪些结论与实验不符（至少例举三项）。
理工类专业课复习资料-数学物理方法总结(改)
数学物理方法总结第一章 复变函数复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:(cos sin )z ρϕϕ=+和i z e ϕρ=欧拉公式:{1sin ()21cos ()2iz iz iz izz e e iz e e --=-=+柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{u u x yv v x y∂∂=∂∂∂∂=-∂∂ (其中f(z)=u+iv)函数f(z)=u+iv 在点0z 及其领域上处处可导,则称f(z)在0z 点解析.在区域B 上每一点都解析,则称f(z)是在区域B 上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv 在区域B 上解析,则12(,),(,)u x y C v x y C ==(12,C C 为常数)是B 上的两组正交曲线族.2.若函数在区域B 上解析,则u,v 均为B 上的调和函数,即22220u vx y ∂∂+=∂∂ 例题: 已知某解析函数f(z)的实部22(,)u x y x y =-,求虚部和这个解析函数.解答: 由于22ux∂∂=2;22v y ∂∂=-2;则22220u v x y ∂∂+=∂∂曲线积分法u x ∂∂=2x;u y ∂∂=-2y.根据C-R 条件有:v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x.于是 22dv ydx xdy =+;(,0)(,)(0,0)(,0)(,)(,)(,0)(22)(22)(22)22x x y x x y x y x v ydx xdy C ydx xdy ydx xdy Cxdy C xy C=++=++++=+=+⎰⎰⎰⎰凑全微分显式法由上式可知dv=2ydx+2xdy贝易得dv=d(2xy)则显然v=2xy+C不定积分法上面已有—=2y;丝=2xdx dy则第一式对y积分,x视为参数，有v=J2xy+(p(x)=2xy+(p(x)......................dv...上式对x求导有一=2y+^\x),而由C-R条件可知(p\x)=0,dx从而(p(x)=C.故v=2xy+C.f(z)=x2-y2+i(2x y+C)=z2+iC第二章复变函数的积分单连通区域柯西定理如果函数f(z)在闭单连通区域B上解析，则沿B上任意一分段光滑闭合闭合曲线1(也可以是B的边界)，有血/⑵也=0.复连通区域柯西定理如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数，则山任)也+£由/(z)也=0.式中1为区域外边界线，诸l为区域内边界线，积分均沿边界线的正方向进行.即血力＞)也=力血/(z)d z.柯西公式f(a)=t^-也""dz2m z-an次求导后的柯西公式f(〃)(z)=£山声舄化2mi中(。
数学物理方法知识点归纳
数学物理方法知识点归纳一、向量1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
2. 向量的表示方法：可以用坐标表示，也可以用分量表示。
3. 向量的运算：3.1 向量的加法：将两个向量的对应分量相加。
3.2 向量的减法：将两个向量的对应分量相减。
3.3 向量的数量积：将两个向量的对应分量相乘后求和。
3.4 向量的向量积：根据相关公式求得向量的模长和方向。
4. 坐标系与向量：向量的坐标表示与坐标系的选择有关。
5. 向量的模长和方向：可以通过向量的坐标计算得到。
二、微积分1. 极限与导数：1.1 极限的定义：函数在某一点的极限是函数逼近该点时的稳定值。
1.2 导数的定义：函数在某一点的导数是该点的切线斜率。
1.3 导数的计算：使用导数的定义或相关公式计算函数的导数。
2. 微分与积分：2.1 微分的定义：函数微分是函数在某一点附近的线性逼近。
2.2 积分的定义：积分是函数的反导数。
2.3 微分与积分的关系：微分和积分是互为逆运算。
3. 常见函数的导数与积分：3.1 基本函数的导数和积分：如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
3.2 三角函数的导数和积分：如正弦函数、余弦函数、正切函数等。
3.3特殊函数的导数和积分：如反三角函数、指数函数、四则运算函数等。
三、矩阵1. 矩阵的定义：矩阵是由数个数按照一定次序排列在矩形阵列中的数集合。
2. 矩阵的运算：2.1 矩阵的加法：将两个矩阵的对应元素相加。
2.2 矩阵的减法：将两个矩阵的对应元素相减。
2.3 矩阵的数乘：将矩阵的每个元素都乘以一个数。
2.4 矩阵的乘法：根据矩阵乘法的规则进行计算。
3. 矩阵的转置：将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
4. 矩阵的逆与行列式：根据相关公式进行计算。
5. 矩阵的应用：在线性代数、图像处理、物理等领域有广泛应用。
四、微分方程1. 微分方程的定义：含有未知函数及其导数的方程。
2. 常微分方程：只包含一元函数及其导数的方程。
数学物理方法(梁昆淼)总复习
ut a2uxx 0
ux x0 0 ux xl 0 u (x)
t 0
通解
u( x, t )
C0
n1
C e
n2 2
l2
a2
n
t
cos
n
l
x
系数
C0
1 l
l
( x)dx
0
Cn
2 l
l (x) cos n x dx
0
l
3. 边界条件为“ 混齐”
F (x)eimxdx
0
2
i{F (z)eimz在上半平面所有奇点留数之和}
1
G(x)sin mxdx
G(x)eimxdx
0Leabharlann 2i {G( z )eimz 在上半平面所有奇点留数之和}
八 奇函数和偶函数的傅立叶级数
奇函数
f
(x)
k 1
bk
sin
k
u f (t) x xa Ys
例2 细杆导热问题 f (t)
xa
u
k
f (t)
x xa
k u f (t) x xa
流出 流入
达朗贝尔公式适用的问题
1 utt a2uxx 0
u (x) t 0
ut t0 (x)
齐次的泛定方程
( x ,t 0)
n
l f (z)dz 2 i Re sf (bj )
.bn
j 1
全平面的留数定理：
函数 f (z) 在全平面上所有各点
的留数之和为零
.
.b1
.b2
.
数学物理方法复习整理
数学物理方法复习整理数学物理方法是研究物理问题时所需要的数学方法和技巧的总和。
物理学是一门基础学科，数学是一门工具学科，物理学与数学密不可分。
掌握数学物理方法对于深入理解物理学的基本概念和问题的解决具有重要意义。
下面就数学物理方法进行一个复习整理。
1.微积分：微积分是数学物理方法的基础。
微积分包括微分学和积分学。
微分学研究函数的变化率和极限，积分学研究函数的定积分和不定积分。
在物理学中，微积分用于描述物理量的变化和求解物理问题的关键方程。
掌握微积分的基本理论和方法对于解决物理问题非常重要。
2.线性代数：线性代数是描述物理系统和问题的另一个重要数学工具。
线性代数研究矩阵、向量、线性方程组、线性变换等概念和性质。
在物理学中，线性代数用于描述物理量之间的线性关系和线性变换。
矩阵运算、特征值和特征向量、矩阵的对角化等概念和方法在物理学中有广泛应用。
3.调和分析：调和分析是一种研究周期现象的数学方法。
在物理学中，周期性现象非常常见，如波动、振动、周期运动等。
调和分析研究任意周期函数的频谱分解和重构，可以将周期函数表示为不同频率的正弦函数的叠加。
傅里叶级数和傅里叶变换是调和分析的基本工具，在物理学中有重要应用。
4.微分方程：微分方程是描述物理问题的主要数学工具之一、微分方程描述物理量随时间、空间或其他自变量的变化规律。
常见的微分方程包括常微分方程和偏微分方程。
在物理学中，微分方程用于描述自然界现象的规律和物理系统的运动方程。
解微分方程是解决物理问题的关键步骤。
5.变分法：变分法是一种求解极值问题的数学方法。
在物理学中，很多问题都可以转化为极值问题，如最速降线、最小作用量原理等。
变分法研究如何寻找函数使得泛函取极值。
在物理学中，变分法用于求解运动方程和确定物理量的极值，如量子力学的路径积分方法就是基于变分法的。
以上是数学物理方法的复习整理，主要包括微积分、线性代数、调和分析、微分方程和变分法等内容。
掌握这些基本数学方法对于深入理解物理学的理论和解决物理问题非常重要。
数学物理方法复习
x =0
x =0
=
F0 ⇒ ux YS
=
F0 YS
习题
P161 3.长为l的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为q0，写出这个热传导 问题的边界条件。
若杆的某端点x = a有热流q0沿该端点外法线方向流出： −kun −kun
x =a
= q0 = −q0 ⇒ ku x = q0
若杆的端点x = a有热流q0沿该端点外法线方向流入：
0
∂u ∂u = ∂n ∂x
l
q0 x
习题
3.长为l的均匀杆，两端受压从而长度缩为l (1 − 2ε )，放手后自由振动，求解 杆的这一振动。
解：首先应正确理解物理量u:表示杆上各点相对于平衡位置的纵向位移 由胡克定律：Y = F/S ∂u ⇒ F = YS = YSun ∂u / ∂n ∂n ∆u l (1 − 2ε ) − l − F0 = YS = YS ⇒ F0 = 2ε YS , ∆x l
F0 0
∂u ∂u = ∂n ∂x
l
F0 x
习题
4.长为l的均匀杆，一端固定，另一端受力F0后而伸长，求解杆在 放手后的振动。
解：杆因受力而伸长，显然杆上各点有初始位移。 F/S ∂u ⇒ F = YS ∂u / ∂x ∂x F F t = 0时刻，du = 0 dx, 积分得：( x, t ) t =0 = 0 x + C u YS YS F0 ∵ x = 0, u = 0 ⇒ C = 0 ∴ u ( x, t ) t =0 = x YS ∴ 定解问题为： 由胡克定律：Y =
∞
u ( x, t ) = ∑
习题
2.研究细杆导热问题，杆的初始温度是均匀的u0 ,保持杆的一端温度为 不变的u0，至于另一端则有强度为恒定的q0热流流入。
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求该解析函数。
u 1 v , v 1 u r r r r
u 1 v
r r
v(r, ) 2r sin
2
1 cos
2r 2
u r v
r
r sin
22
du u dr u d r
1
cos
dr
2r 2
r sin d d
22
2r
cos
2
u(r, ) 2r cos C
i
2 1 i
1 23
| z i | 1 | z | 2 | z i | | z i | 2 2
r 3 sin2 , [ , ]
2
ÑC
z
1 2
1
eiz
dz
Ñ 计算积分：
|
|z|2
z | ez z2
dz
奇点 z=0
蜒 |
|z|2
z | ez z2
dz
2
|z|2
ez z2
dz
a取何值时，函数 F (z)
数学物理方法复习
2018年1月
复变函数部分
❖ 复数与复变函数 ❖ 解析函数 ❖ 复变函数的积分 ❖ 级数 ❖ 留数定理及其应用
第一章 复数与复变函数
❖ 第一节 复数及运算 ❖ 第二节 区域 ❖ 第三节 复变函数 ❖ 第四节 复变函数的极限和连续性
教科书：第一章
❖ 典型例子
求(1 i)100 和4 1 i
u 3x2 3y2 y
u 6xy x
du u dx u dy 6xydx (3x2 3y2 )dy d 3x2 y y3 x y
u 3x2 y y3 C v 3xy2 x3 C
f (z) 3x2 y y3 i(3xy2 x3) (1 i)C iz3 (1 i)C
| z a || z b |
求0< < , 0<r<1经 =iz变换后在 平面上的图 形。 求z平面上带形区域- <Rez<+ , 0<Imz< 经
=ez 变换后在 平面上的图形。
计算Ln2， Ln(-1) ，Ln(-i)，Ln(1+i)
求解sinz=0 和 sinz=2的全部根
求 lim z1
已知解析函数f(z)= u(x,y)+iv(x,y)， 且u-v =(x-y)(x2+4xy+y2)．求此解析函数f(z)．
已知解析函数f(z)的实部u(x,y)=2(x-1)y，且f(2)=-i． 求 此解析函数f(z)．
u v , v u x y x y
v u 2x 1
x y
v u 2 y y x
试确定函数 f(z)=z2-z 将z平面上的区域0<Imz<1映射为 w平面上的图像
y 1
y0
y
u x2 x 1 v 2x 1
u x2 x
v
0
f(z)=z2-z
x
u 1 v2 5 44
v
5
5 1
u
44
5
计算Ln2， Ln(-1) ，Ln(-i)，Ln(1+i)
y 1+i
-1 O -i
z z0
ez
1 z
a z3
教科书：第三章
❖ 典型例子
C
Im zdz
其中：(1) C为由原点到(2,0)再到(2,1)的折线； (2) C为由原点到 (2,1)的直线
证明：
|z|1
z2
1 2z
2
dz
0
Im
z
2
zeiz z2
1
dz
ez
dz
zi 3 z 2 (z 2 1)
2
e1/ z dz
|z|1 z 2i
计算积分：
2
f (z) z C
已知解析函数f(z)= u(x,y)+iv(x,y)，
u v , v u x y x y
且u-v =(x-y)(x2+4xy+y2)．求此解析函数f(z)．
u v u u (x2 4xy y2 ) (x y)(2x 4 y) x x x y u v u u (x2 4xy y2 ) (x y)(2 y 4x) y y y x
zz
2z z z2 1
2的极限
证明极限lim z 不存在 z0 z
求0< < , 0<r<1经 =iz变换后在 平面上的图 形。
z平面
=iz=zexp(i / 2)
平面
求z平面上带形区域- <Rez<+ , 0<Imz< 经 =ez 变换后在 平面上的图形。
=ez
注意 x R, y 0 u ex 0, v 0 x R, y u ex 0, v 0
已知解析函数f(z)= u(x,y)+iv(x,y)， 且u =x+y．求此解析函数的导数．
u 1 x v u 1 x y
u 1 y v u 1 y x
f (z) u i v 1 i x x
u v , v u x y x y
第三章 复变函数的积分
❖ 第一节 积分的概念及性质 ❖ 第二节 Cauchy定理 ❖ 第三节 原函数与不定积分 ❖ 第四节 Cauchy积分公式
教科书：第二章
❖ 典型例子
已知解析函数f(z)的实部为u(x,y)=2(x-1)y，且 f(2)=-i． 求此解析函数f(z)． 已知某解析函数 f(z)的虚部 v(x, y) x x2 y2 , 求该解析函数。
证明：x2-2xy不能成为的一个解析函数的虚部．
证明：函数f(z)=zImz在点z=0可导，但2的全部根
z n , n 0, 1, 2, z i ln(2 3) 2n , n 0, 1, 2,
2
求解方程
sin z 3 i 1 44
tan z i cos z 4
第二章 解析函数
❖ 第一节 导数 ❖ 第二节 解析函数 ❖ 第三节 解析函数的变换性质
dv v dx v dy 2x 1dx 2 ydy d x2 2x y2 x y
v x2 2x y2 C
f (z) 2(x 1) y i(x2 2x y2 ) iC i(2 z)z iC
f (z) i(2 z)z i i(z 1)2
已知某解析函数 f(z)的虚部 v(x, y) x x2 y2 ,
1 z
ÑC z2 1sin 4 dz
路径C：
1 z
Ñ sin dz 0
|z|1/ 2 z2 1
4
sin z /(z 1)
Ñ
| z 1|1
4 z 1
dz
1
1 23
sin z
Ñ|z|3
4 z2 1
dz
Ñ 计算积分：
C
z
1 2
1
eiz
dz
路径C：
Ñ eiz /(z i) dz e1
|zi|1 z i