浙教版八年级下册讲义数学一元二次方程复习
新浙教版数学八年级下册《一元二次方程》
新浙教版数学八年级下册《一元二次方程》复习教案第2章一元二次方程章末复习教学设计一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在七年级和八年级已经学习了一元一次方程、二元一次方程以及一次函数的相关知识及应用，在本章中，又学习了一元二次方程及其相关解法，初步体会了一元二次方程在解决实际问题中的具体应用，具备了利用数学知识解决实际问题的能力；学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了由具体问题抽象出数学模型的过程，初步积累了一定的数学建模方法；同时在以往的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的机会，具有一定的合作学习经验，具备了一定的合作与交流的能力.二、教学任务分析本节课是一元二次方程的复习课，对于本章的基础知识，学生已大致掌握.本节课以梳理、巩固基础知识为起点，重点解决在学生中存在的易错点与混淆点；实际应用是方程建模思想的具体体现，学生往往感到有一定的难度，本节课以此为重点，从简单的实际问题入手，逐步加深对建模思想的理解.为此，设置本节课的教学目标如下：1、知识与技能：①经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；②能够利用一元二次方程解决有关实际问题，帮助学生认识到运用方程解决实际问题的关键是确定题目中蕴含的等量关系；并且能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；③了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想；2、过程与方法：①通过让学生经历将多种实际问题抽象成数学问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；②通过小组合作学习，经历一题多解等过程，发展学生多角度思考问题的方法.3、情感与态度：①通过对方程的认识、一题多解的思维展示，发展学生勇于展示自己的品质；②在解决富有挑战性的问题的过程中，培养学生敢于直面困难、勇于挑战的良好品质，鼓励学生大胆尝试，体会成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣.三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：课前准备---构建知识结构；第二环节：基础知识重现；第三环节：情境中合作学习；第四环节：巩固提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业.第一环节：课前准备----构建知识结构活动内容：在授完本章新课知识后，让学生重新回顾本章内容，整理出本章的知识结构网络，理清各板块内容间的联系.此活动内容在上课前一天布置，让每一位学生都提前做好准备.上课时，选取有代表性的知识结构网络进行全班展示，其他同学对照自己的总结查缺补漏.同时，教师展示一下本章的框架，指出本节课的重点是：利用一元二次方程解决实际问题.活动目的：学生在整理本章知识结构的同时，可以回顾本章的重点内容，细细体会解一元二次方程的“转化”思想，找寻利用方程解决实际问题的关键.活动的实际效果：基于对学生两年来的不间断训练，绝大分学生可以对本章的主要内容以及注意点详细地总结出来，只是呈现形式略微不同.但也有少数同学只是泛泛地停留在书本上的定义、黑体字上，对于更深入的内容总结不到位，这部分同学在教学中往往也是需要特别关注的同学，需要我们教师从各方面来激发他们对数学学习的兴趣.附部分学生的作业：学生A的本章知识结构1、定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化⑴直接开平方法㈡本章的重点：一元二次方程的解法和应用.㈢本章的难点：应用一元二次方程解决实际问题的方法.学生B的本章知识结构：本章的知识体系包括三大部分：(一)一元二次方程的定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.在这里应注意的问题是：⑴只含有一个未知数；⑵未知数的最高指数必须是2；(3)二次项系数不为0）(二)一元二次方程的解法：一元二次方程的常用解法有：⑴直接开平方法；⑵配方法；⑶公式法；⑷分解因式法.（注意：在运用配方法解一元二次方程时，一般先将二次项系数化为1；在运用公式法解一元二次方程时，必须先将方程化为ax2+bx+c=0 (a≠0)的形式，同时判断b2-4ac是否≥0，如果b2-4ac≥0，才可用公式a acbbx24 2-±-=求解）(三)一元二次方程的应用：其关键是能找出题目中的等量关系，列出方程本章的重点和难点是：一元二次方程的解法和应用.第二环节：基础知识重现内容：以投影形式展示一组基础题目，内容涉及一元二次方程的定义和解法.其中，1、2小题采取口答形式，第3、4小题对比来做，体会其中的方法，第5小题采取3个同学分别板演、其他同学纠错、教师集中规范的方式来解决.1、当m 时，关于x的方程(m－1)12 m x+5+mx=0是一元二次方程.2、方程(m2－1)x2+(m－1)x+1=0，当m 时，是一元二次方程；当m 时，是一元一次方程.3、将一元二次方程x2-2x-2=0化成(x+a)2=b的形式是；此方程的根是.4、用配方法解方程x2+8x+9=0时，应将方程变形为( )A.(x+4)2=7B.(x+4)2=－9C.(x+4)2=25D.(x+4)2=－75、解下列一元二次方程(1) 4x2－16x+15=0 (用配方法解)(2) 9－x2=2x2－6x(用分解因式法解)(3) (x＋1)(2－x)=1 (选择适当的方法解)目的：上述这一组题目主要目的是巩固对一元二次方程定义的理解、熟练地解一元二次方程.其中，第1、2小题对比，加深学生对一元二次方程和一元一次方程定义的理解；第3、4小题均是对一元二次方程配方法掌握程度的检验，同时，这部分内容所涉及的方法也是后续“二次函数”学习的基础，此处，也为二次函数的学习奠定一定的基础；第5小题设置三道小题，分别限定方法让学生来解一元二次方程，让学生熟练方程的解法.实际效果：对于第1题，学生普遍掌握比较好，但对于与之对比的第2题，有部分同学存在一定的问题，尤其是对于何时是一元一次方程，更是没有思路，通过这两道题的对比，使学生对方程的定义更加深了理解，也明确了判断一个方程是何类方程时，不仅要关注未知数的次数，还要注意系数；对于第5小题中的第(3)小题，部分学生直接用分解因式法来做，这也是本题设置的一个重要意图：当方程中等式右侧不为0时，不可以直接用分解因式法来做，而要先化成一般形式，再具体选用方法.通过这几道题，让学生关注了方程中的易错点，对于今后的学习也作了部分铺垫.第三环节：情境中合作学习内容：在本环节中，选择具有代表性的三类实际问题：利润问题、简单动点问题、周长一定的面积问题作为例题及小组合作学习的题目，其中的1、3小题作为例题，2、4小题作为小组合作学习的题目，仿照例题的分析方式小组合作完成，第5题作为师生互动的题目.选择第1题作为例题规范板书，其余题目只需分析、列方程即可.对于第1题，可以从以下几个方面提出问题，帮助学生分析问题、解决问题：(1)成本为多少？(2)“如果以20元/支的价格销售，每月可以售出200支”在本题中的作用是什么？(3)“售价每上涨1元就少卖10支”的作用？(4)利润的表达形式有哪几种？(5)本题中的等量关系是什么？在用一种方法解决完本题之后，可以让学生尝试其它的思路，进行一题多解. 对于第3题，可以从以下几个方面入手分析：(1)题目中的等量关系是什么？(2)点P 、Q 移动的过程中，哪个量是相同的？(3)如何求出△PCQ 的面积？(4)如何求出Rt △ACB 面积？对于第5题，着重于第(4)(5)两个小问题，需要借助于一定的经验加以解决.同时，此题是典型的二次函数最值问题，放在此处，给学生一个直观的感受.1、新竹文具店以16元/支的价格购进一批钢笔，根据市场调查，如果以20元/支的价格销售，每月可以售出200支；而这种钢笔的售价每上涨1元就少卖10支.现在商店店主希望销售该种钢笔月利润为1350元，则该种钢笔该如何涨价？此时店主该进货多少？2、新新商场以16元/件的价格购进一批衬衫，根据市场调查，如果以20元/件的价格销售，每月可以售出200件；而这种衬衫的售价每上涨1元就少卖10件.现在商场经理希望销售该种衬衫月利润为1350元，而且，经理希望用于购进这批衬衫的资金不多于1500元，则该种衬衫该如何定价？此时该进货多少？3、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，BC=6m ，AC=8m ，点P 、Q同时由A 、B 两点出发分别沿AC ，BC 方向向点C 匀速运动，已知点P移动的速度是20cm/s ，点Q 移动的速度是10cm/s ，几秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的85？ 4、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°， AC=6m ，BC=8m ，点P 、Q 同时由A 、B 两点出发分别沿AC ，BC 方向向点C 匀速运动，它们的速度都是1m/s ，几秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半？A B C P Q C BP Q A5、新苑小区的物业管理部门为了美化环境，在小区靠墙的一侧设计了一处长方形花圃(墙长25m)，三边外围用篱笆围起，栽上蝴蝶花，共用篱笆40m ，(1) 花圃的面积能达到180m 2吗？(2) 花圃的面积能达到200m 2吗？(3) 花圃的面积能达到250m 2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． (4) 你能根据所学过的知识求出花圃的最大面积吗？此时，篱笆该怎样围？ (5) 如果想在花圃中栽种两种不同的蝴蝶花，需要在花圃中再加一道篱笆，若不想改变篱笆的总长度，那么，此时花圃的最大面积会是多少，篱笆该怎样围？目的：让学生熟悉一元二次方程应用中的几种主要模型，明确解决各类问题的关键是找寻题目中蕴含的等量关系；另外，这几种问题情景也是在二次函数中频繁出现的实际问题，若在此处有一个良好的基础，势必会对学习二次函数的学习起到事半功倍的效果.实际效果：将1、3两道小题作为例题，学生彻底理解透彻后，本章的基本应用学生已大致掌握，数学建模思想初步形成.在第2题的合作学习过程中，呈现出了不同的思维形式，各组针对“用于购进这批衬衫的资金不多于1500元”展开了讨论，有的同学认为这是一个无用的条件；有的同学认为在解题之初，要结合进价来用；有的同学认为按常规思路解决完问题之后，用来确定最终的解的合理性.各种想法的提出，真正展现了学生开阔的思维，真正体现了合作学习的优势.第四环节：巩固提高内容：重点放在一元二次方程的实际应用上，内容呈现形式多样化，设置实际背景比较全面.其中3、4小题表面上看类似，实际有一定的差异，可以对比来看；第5小题为后续学习的二次函数作铺垫；第7题为一道经典的中考真题，让学生感受一下中考的氛围.1、新园小区计划在一块长为40米，宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路(两条纵向、一条横向，且横向、纵向互相垂直)，其余部分种花草.若要使甬路的面积占矩形场地面 积的6511.则甬路宽为多少米？设甬路宽为x 米，则根据题意， A BC D AB C D可列方程为 .2、由于家电市场的迅速成长，某品牌的电视机为了赢得消费者，在半年之内连续两次降价，从4980元降到3698元，如果每次降低的百分率相同，设这个百分率为x ，则根据题意，可列方程： .3、王老师假期中去参加高中同学聚会，聚会时，所有到会的同学都互相握了一次手，王老师发现共握手435次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有x 人，则根据题意，可列方程： .4、初三、三班同学在临近毕业时，每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张以表示纪念，全班共送了1640张照片，如果设全班有x 名学生，则根据题意，可列方程( )A.x(x+1)=1640B. x(x －1)=1640C.2x(x+1)=1640D.x(x －1)=2×16405、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件商品售价为x 元，则每天可卖出(350－10x)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店要想每天赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价应定为多少元？6、用一块面积为888cm 2的矩形材料做一个无盖的长方体盒子，要求盒子的长为25cm ，宽为高的2倍，盒子的宽和高应为多少？7、一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心2010海里的圆形区域(包括边界)都属台风区.当轮船到A 处时，测得台风中心移到位于点A 正南方向B 处，且AB=100海里.若这艘轮船自A 处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风?若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由.目的：对本节知识进行巩固练习.实际效果：通过对这些题目的具体分析，学生再次经历在实际问题中抽象出一元二次方程的过程，发展他们分析问题、解决问题的意识和能力，也为下学期二次函数的学习奠定一定的基础，体现了教材螺旋式上升的设计意图.第五环节：课堂小结北 B A内容：师生共同总结本节课的收获，内容主要设计以下几个方面：(1)整节课的感悟：如在解决概念性题目时，要注意领会概念的实质含义；在计算时要做到细心；对于学过的内容，自己要及时进行梳理等等；(2)解决问题时所用到的方法；(3)对于某个知识点的困惑；(4)通过本节课的学习，自己的最大收获.目的：关注学生对数学知识的理解、数学方法的掌握和数学情感的感悟，力争使每个层次的学生在本节课学有所获.实际效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，每个同学的感受也揭示了各自的良好学习方法，为其他同学的学习、听讲等方面提供了有效的借鉴.第六环节：布置作业1、本节课中涉及的所有题目在课下进行分类整理，留作资料；2、针对自己对本章的理解，每名同学命制一份试卷，要求时间在60分钟左右，重点突出，难度适宜，并配有答案（此作业不要求第二天必须上交，给学生一定的收集资料时间）.四、教学反思1、作为一章的复习课，本节课设置的内容较为全面细致，重点突出，课堂容量相对来说较大，学生的分组讨论从时间上来看较为紧张，因而，应该更好地规划对某些题目的处理.2、通过课前知识网络的整理、课堂展示讲解的过程，为学生提供展示自己的机会，更利于教师在此过程中发现学生的闪光点以及思维的误区，以便指导今后的教学.3、学生的学习合作小组也应该是动态的，所学知识的不同，学生的反应也不相同，在分组时，应该将思维形态类似的同学放在一组，这样，可以避免让一些思维活跃的学生代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问.同时，教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性.此外，作为一个较大的章节复习课，希望一节课完成上面所有的任务，是比较困难的，因此，建议根据学生状况灵活选择其中部分例习题，如有可能，将例习题分解成两个课时.。
第2章 一元二次方程 知识讲解-浙教版八年级数学下册
一元二次方程一、一元二次方程的概念1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.2.一般形式：）（0a 0c bx ax 2≠=++，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根.二、一元二次方程的解法1.直接开平方法：如果方程能化成p x 2=或p n mx 2=+）（的形式，那么可得p x ±=或p n mx ±=+.2.配方法：通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方的目的是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.3.因式分解法：通过因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.4.求根公式法：当0ac 4-b 2≥=△时，方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的实数根可写成a2ac 4-b b -x 2±=的形式，这个式子叫做一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的求根公式，把各系数直接代入公式，求出方程的根，这种解法叫做公式法.【用公式法解一元二次方程的步骤】把方程化为一般式→确定a ，b ，c 的值→计算ac 4-b 2的值→如果非负，则代入求解，如果为负数，则方程无实数根.三、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系1.根的判别式：一般地，式子ac 4-b 2叫做一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++根的判别式，通常用“△”表示，即ac 4-b 2=△.知识梳理⎪⎩⎪⎨⎧⇔⇔⇔=方程没有实数根△＜方程有两个相等实数根△＝根方程有两个不相等实数△＞△00 0ac 4-b 2【注】①使用时，要先将一元二次方程化为一般形式，才能确定a ，b ，c ，求出△；②当0ac 4-b 2≥=△时，方程有实数根.2.根与系数的关系（1）韦达定理：若一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++有实数根，设这两个实数根分别为1x 、2x ，可得a b -x x 21=+，ac x x 21=. （2）拓展①212212221x x 2-x x x x ）（+=+； ②212121x x x x x 1x 1+=+； ③2212121a x x a x x a x a x +++=++）（））（（. 四、一元二次方程的应用1.增长率问题（1）增长量=原产量×增长率；（2）增产后的产量=原产量×（1+增长率）.2.数字问题例：一个两位数等于其个位数字的平方，个位数字比十位数字大3，求这个两位数.3.利润问题题型：售价每上升/下降a 元，销量减少/增加b 件.问应把售价上升/下降多少元能使利润达到c 元？ 解决方法：此类题型一般设售价上升/下降x 元，利用单件利润×销量=总利润为等量关系列方程解决问题.4.面积问题5.动点问题（1）求动点运动时间转化为求动点运动路程，即线段长度；（2）利用图形面积或勾股定理构造方程.。
浙教版数学八年级下册_学习要点：一元二次方程的解法
学习要点： 一元二次方程的解法1、因式分解法解方程对于一般形式的一元二次方程)0(0ax 2≠=++a c bx 来说，若其左端能够进行因式分解成（ax 1+b 1）(a 2x+b 2)=0,则根据乘法中一个数同零相乘积是零的性质，可知ax 1+b 1=0或a 2x+b 2=0，进而求出方程的解，这种方法叫做因式分解法.步骤：(1)若方程的两边不是为0，则先移项，使方程的右边为0，(2)将方程的左边因式分解(3)根据若（ax 1+b 1）(a 2x+b 2)=0，则ax 1+b 1=0或a 2x+b 2=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.2、利用因式分解法解一元二次方程的常用方法：（1）提公因式法.（2）利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解（3）十字相乘法【例】求x 2-7x+6=0的解.3、利用直接开平方法解形如(ax+b)2=c(c ≥0)的一元二次方程（1）形如x 2=a(a ≥0),(x-a)2=b(b ≥0)等的一元二次方程，都可以用直接开平方法求得方程的解.（2）对于可用直接开平方法来解得一元二次方程，一定要注意方程有两个解，若x 2=a(a ≥0)，则x=±a ；若(x-a)2=b(b ≥0)，则x=a +±b4、配方法：把一个一元二次方程配成(x-a)2=b(b ≥0)的形式，来解一元二次方程的方法叫做配方法.（1）配方法是以完全平方公式222)(2a b a b ab ±=+±和直接开平方法为依据，将方程加以变形，从而获得其解的一种方法，这种方法适合任何解一元二次方程的问题，同时也为解二次函数打下基础.（2）要点：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方.（3）步骤：1)化二次项系数为1；2)移项，是方程左边为二次项和一次项，右边是常数项；3)方程两边都加上一次项系数一半的平方；4)右边变为()2m x +，右边是一个常数；5)利用直接开平方法求得方程的解.5、公式法一般地，对于形式是0ax 2=++c bx （a ≠0），当04b 2≥-ac 时，它的根可由式子）（04b 24x 22≥--±-=ac aac b b 得到，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的解法叫做公式法.求根公式是用配方法得出来的，过程省略.6、利用公式法解一元二次方程的步骤：(1)把一元二次方程化成一般形式(2)确定a,b,c 的值(3)求出ac 4b 2-的值(4)若04b 2≥-ac ，则代入公式，求出原方程的根，若ac 4b 2-<0，则方程无解.[例] 用公式法解方程013x 32=--x 和 047x 22=-+x7、一元二次方程根的判别式(1)在推导一元二次方程求根公式的过程中，当04b 2≥-ac 时，22244)2(aac b a b x -=+的两边才能直接开平方，这里的ac 4b 2-叫做一元二次方程0ax 2=++c bx （a ≠0）的根的判别式.(2)一般地，常用字母∆表示ac 4b 2-，即∆=ac 4b 2-(3)在实数范围内，一元二次方程0ax 2=++c bx （a ≠0）根由系数a,b,c 确定，它的根的情况由∆=ac 4b 2-确定.1当∆=ac 4b 2->0时，方程有两个不相等的实数根.2当∆=ac 4b 2-=0时，方程有两个相等的实数根.3当∆=ac 4b 2-<0时，方程没有实数根.【探究】判断下列方程根的情况.(1)方程0232=--x x 的根的情况______________________;(2)方程2032=+x 的根的情况______________________;(3)方程01)12()(22=+---x m x m m 是关于未知数x 的方程，这个方程根的情况是______________________;8、一元二次方程的根与系数的关系若方程0ax 2=++c bx （a ≠0）有实数根，设这两个实数根分别是21,x x ，由求根公式得）（04b 24x 22≥--±-=ac aac b b ， 即a ac b b 24x 21-+-=,aac b b 24x 22---=. 所以+-+-=+a ac b b x 24x 221aac b b 242---=a b a b -=-22，•-+-=a ac b b x 24x 221aac b b 242---=.442a c a ac = 即对于一元二次方程0ax 2=++c bx （a ≠0）来说，若21,x x 是一元二次方程0ax 2=++c bx （a ≠0）的两个根，则21x x += a b -， .x 21ac x = 例如：一元二次方程02732=+-x x 的两根为21,x x .则有21x x +=37，.32x 21=x 【例1】方程09822=-x 的解为__________________.【例2】(1)0132=-+x x 的解为____________________. (2) 2x(x+2)=-1的解为_________________________.【例3】 已知方程062=+-q x x 可以配方成()72=-p x 的形式，那么262=+-q x x 可以配方成（ ）A. ()52=-p xB. ()92=-p xC. ()922=+-p xD. ()522=+-p x【例4】若关于x 的一元二次方程（2a-1）x 2+(a+1)x+1=0的两个根相等，那么a 等于（ ）A.-1或-5B.-1或5C. 1或-5D. 1或5【例5】已知关于x 的方程x 2-(a+2)x+a-2b=0 的判别式等于0，且x=21是方程的根，则a+b 的值为_____________.【例6】如果x 2+x-1=0，那么代数式x 3+2x 2-7 的值为（ ）A.6B. 8C. -6D.-8【例7】下列方程中有实数根的是（ ）A.x 2+2x+3=0B.x 2+1=0C.x 2+3x+1=0D.111-=-x x x 【例8】已知关于x 的一元二次方程x 2-m=2x 有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是_______【例9】已知2-5是一元二次方程x 2-4x+c=0的一个根，则方程的另一个根式__________【例10】若关于x 的一元二次方程 有两个实数根x 1,x 2，且x 1x 2> x 1+x 2-4,则实数m 的取值范围是（ ） A.m > -35 B. m 21≤ C. m< -35 D. -35<m ≤ 21 【例11】关于x 的一元二次方程mx 2-(3m-1)x+2m-1=0，其根的判别式值为1，求m 的值及该方程的根.。
第二章一元二次方程的复习讲义浙教版八年级数学下册
一．一元二次方程的的概念 一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：①整式方程．②方程中只含有一个未知数．③方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程的一般式：20ax bx c ++=()0a ≠．其中，2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的根：如果0x 满足2000(0)ax bx c a ++=≠，则0x 就是方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个根．1．判断下列方程是不是一元二次方程．⑴ 2210x kx --=（k 为常数） ⑵ 2413x =+ ⑶ 210x -=；⑷ 250x = ⑸ 20x y += ⑹ ()()2233x x +=-；⑺ 2320mx x -+=（m 为常数）2．将下列一元二次方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．⑴2216x x -=；⑵ ()()3213x x x -+=- ⑶()()()3253115x x x x ++--=；类型：方程根的应用1．如果一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个根1和1-，那么a b c ++= ________，a b c -+=___________．2．已知关于x 的一元二次方程()221210m x x m -++-=有一个根是0，则m 的值为_______．3．已知m 是方程210x x --=的一个根，求代数式2552006m m -+的值．二．一元二次方程的解法方法一 直接开平方法对于形如2x m =或()()200ax b m a m +=≠≥，的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解.用直接开平方法解关于x 的方程：八下第二章一元二次方程复习（1）()211x += （2） 3x 2-12=0 （3）(2x -1)2-7=0方法二 配方法配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化成形如()2ax b m +=的方程，再运用直接开平方的方法求解，即用配方法解方程用配方法解方程：1．220x x += 2. 2x 2-x -1=0 3. x 2=4√3x −11例1. 关于x 的二次三项式x 2+4x +9进行配方得x 2+4x +9=（x +m ）2+n（1）则m= ，n= ；（2）求x 为何值时，此二次三项式的值为7？方法三 因式分解法因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若0ab =，则0a =或0b =；因式分解法的一般步骤：将方程化为一元二次方程的一般形式；把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解．用因式分解法解方程：⑴x 2-4x=0 ⑵ 2y 2=7y ⑶ 4x 2-12x +9=0方法四 公式法公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定a b c ，，的值；③代入24b ac -中计算其值，判断方程是否有实数根；④若240b ac -≥代入求根公式求值；否则，原方程无实数根．用公式法解方程：1．2220x x --=； 2．231x =； 3．2312x x -=-；三．一元二次方程根的判别式设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．1.不解方程，直接判断下列方程的解的情况： ⑴ 2710x x --= ⑵ ()29431x x =-2．关于x 的方程()25860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．93．若关于y 的一元二次方程24334ky y y --=+有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．74k -≥且0k ≠B ．74k >-且0k ≠C ．74k -≥D ．74k >- 4．设a b ，是方程220100x x +-=的两个实数根（a b ≠），求22a a b ++的值.5. 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +3）x +3k=0．（1）求证：不论k 取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC 的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC 的周长．四．一元二次方程的应用增长率问题的模式为：原来数量为A ，后来数量为B ，经过某两个时间单位，设增长率(降低率)为x . 则有关系式： 或. 。
浙教版数学八年级下册 第二章一元二次方程单元综合复习
浙教版数学（八下） 第二单元综合复习一、 一元二次方程的求解1.因式分解法：若A ·B=0，则A=0或B=0.2.开平方法：形如x 2=a(a ≥0)，(mx ＋n)2=b(m ≠0，b ≥0)，可用开平方法直接求解.3.配方法：口诀——除移配开求答.(系数化为1)┘ 4.公式法：求根公式x=﹣b ±b 2-4ac2a （a ≠0）.【习题一】(2)已知(a 2＋b 2－1)(a 2＋b 2＋3)－12＝0，求a 2＋b 2的值.【习题二】解方程：x 2－b 2＝a(3x －2a ＋b).【习题三】解方程：(1)(3x ＋1)2＝9(2x ＋3)2； (2)(3x －11)(x －2)＝2；(3) x(x ＋1)3 －1＝(x －1)(x ＋2)4； (4)(3x －2)(3x ＋2)＝x.【习题四】设a ，b 是一个直角三角形两条直角边的长，且(a 2+b 2)(a 2+b 2+1)=12，则这个直角三角形的斜边长为___________.【习题五】如果x-3是多项式2x 2-5x+m 的一个因式，则m 等于（ ） A ．6 B ．-6 C ．3 D ．-3 【习题六】用配方法解下列方程时，配方有错误．．的是（ ） A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100 B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25 C ．4t 2－4t －5＝0化为(2t －1)2＝6 D ．9y 2＋6y －2＝0化为(3y ＋1) 2＝3二、根系关系1.求根关系：x ＝﹣b ±b 2-4ac2a (a ≠0)2.判别式：△=b 2-4ac3.韦达定理：x 1＋x 2=﹣b a ，x 1·x 2=ca4.常见题型：(1)已知方程的一根，求另一根.(2)已知两数的和与积，构造一元二次方程解题. (3)求待定系数的值或取值范围. (4)求对称式和非对称式的值.【习题一】已知方程x 2-5x+15=k 2的一个根是2，则k 的值是_________，方程的另一个根为___________.【习题二】若m 为实数，方程x 2-3x+m=0的一个根的相反数是方程x 2+3x-3=0的一个根，则x 2-3x+m=0的根是___________.【习题三】现定义运算“☆”，对于任意实数a 、b ，都有a ☆b=a 2-3a+b ，若x ☆2=6，则实数x 的值是_________.【习题四】若正数a 是一元二次方程x 2-5x+m=0的一个根，-a 是一元二次方程x 2+5x-m=0的一个根，则a 的值是___________.【习题五】已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0（a ≠0）有两个相等的实数根，求ab 2(a −2)2+b 2−4的值．【习题六】已知关于x 的方程x 2-（k+2）x+2k=0，若一个等腰三角形的一边长为1，另两边长恰是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长与面积．【习题七】已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．【习题八】若k是自然数，且关于x的二次方程（k-1）x2-px+k=0有两个正整数根，求k kp•（p p+k k）+k k-p+2 +kp+1的值.【习题九】已知α，β是方程x2+2x-7=0的两个实数根，求α2+3β2+4β的值．【习题十】设x1、x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个根，求x13-4x22+19的值.三、生活类应用1. 增长（降低）率问题若基数为a ，平均增长（降低）率为x ，则连续增长n 次后为a(1±x)n . 2. 数字问题① 有关三个连续整数（或连续奇数、连续偶数）的问题，设中间一个数为x ，再根据题 目中的条件用含x 的代数式表示其余两个数. ② 多位数的表示方法：a. 两位数＝(十位数字)×10＋（个位数字）；b. 三位数＝（百位数字）×100＋（十位数字）×10＋（个位数字）；… 3. 利润问题① 毛利润＝售出价－进货价 ② 纯利润=售出价－进货价－其他费用 ③ 利润率＝利润成本×100%4. 储蓄问题① 利息＝本金×年（月）利润×年（月）数 ② 利息税＝利息×税率③ 本息和＝[1＋年（月）利率×年（月）数]×本金（不计利息税）④ 不计利息税后，且到期后又连本带利一起再存相同时间，且年利率不变时，本息和＝本金×（1＋年利率）年数【习题一】某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x ，那么x 满足的方程是（ ）A ．100(1＋x)2＝81B ．100(1－x)2＝81C ．100(1－x%)2＝81D ．100x 2＝81【习题二】三个连续自然数的平方和为50，求这三个数.在这个问题中，设中间的自然数为x ，则其余两个自然数为_________、_________，根据题意，可列出方程：________________________________.【习题三】某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是（ ） A ．(3+x)(4-0.5x)=15 B ．(x+3)(4+0.5x)=15 C ．(x+4)(3-0.5x ）=15 D ．(x+1)(4-0.5x)=15【习题四】近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．【习题五】某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？【习题六】某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？【习题七】明在2013年暑假帮某服装店买卖体恤衫时发现，在一段时间内，体恤衫每件80元销售时，每天销售量是20件，单价每降低4元，每天就可以多售出8件，已知该体恤衫进价是每件40元，请问服装店一天能赢利1200元吗？如果设每件降低x元，那么所列方程正确的是（）A．(80-x)(20+x)=1200 B．(80-x)(20+2x)=1200C．(40-x)(20+x)=1200 D．(40-x)(20+2x)=1200【习题八】某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50(1+x2)=196 B．50+50(1+x2)=196C．50+50(1+x)+50(1+x)2=196 D．50+50(1+x)+50(1+2x)=196【习题九】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为R=500+30x，P=170-2x．（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？四、几何应用1.常用勾股定理，面积公式，图形特点，平移，数形结合，三边关系等解题.【习题一】要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【习题二】某初三一班学生上军训课，把全班人数的18排成一列，这样排成一个正方形的方队后还有7人站在一旁观看，此班有学生________人．【习题三】如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（）A．100×80-100x-80x=7644 B．(100-x)(80-x)+x2=7644C．(100-x)(80-x)=7644 D．100x+80x=356习题三图习题四图【习题四】如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（）A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm【习题五】一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A=30°，∠B=90°，BC=6米．当正方形DEFH运动到什么位置，当AE=_____米时，有DC2=AE2+BC2．【习题六】百货大楼服装柜销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要使平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？请先填空后再列方程求解：设每件童装降价_________元，那么平均每天就可多售出_________件，现在一天可售出_________件，每件盈利_________元．【习题七】配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2-1≥-1，即：3a2-1就有最小值-1．只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值-1．同样，因为-3a2≤0．所以-3a2+1≤1，即：-3a2+1就有最大值1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最大值1．（1）当x=________时，代数式-2（x+1）2-1有最________值（填“大”或“小”值为______. （2）当x=________时，代数式 2x 2+4x+1有最________值（填“大”或“小”）值为______. （3）矩形自行车场地ABCD 一边靠墙（墙长10m ），在AB 和BC 边各开一个1米宽的小门（不用木板），现有能围成14m 长的木板，当AD 长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？【习题八】在长方形ABCD 中，AB=16cm ，BC=6cm ，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以3cm/s 的速度移动，点Q 从点C 开始沿CD 边向点D 以2cm/s 的速度移动，点P 、Q 从出发开始，经过几秒时，点P 、Q 、D 组成的三角形是等腰三角形？浙教版数学（八下） 第二单元综合复习参考答案一、一元二次方程的求解习题一.(1)m=﹣1；x 1=﹣1＋72 ，x 2=﹣1－72.(2) a 2+b 2=3【解答】设a 2+b 2=n(n ≥0)，则原方程变形为(n-1)(n-3)-12=0.整理，得n 2+2n-15=0，即(n+5)(n-3)=0，,∴n 1=﹣5（不合题意，舍去），n 2=3，∴a 2+b 2=3. 习题二.x 1=2a+b ，x 2=a-b 【解答】x 2-b 2=a(3x-2a ＋b) x 2-b 2=3ax-2a 2+ab x 2-3ax+ 94-a 2=14-a 2+b 2+ab(x-32a)2=(12a+b)2∴x-32a=12a+b 或x-32a=-(12a+b)∴x 1=2a+b ，x 2=a-b.习题三.(1)x 1=﹣83 ，x 2=﹣109；(2)x 1=53 ，x 2=4；(3)x 1=2，x 2=﹣3；(4)x 1=1，x 2=﹣23 .习题四. 3【解答】∵a ，b 是一个直角三角形两条直角边的长， 设斜边为c ，∴(a 2+b 2)(a 2+b 2+1)=12，根据勾股定理得：c 2（c 2+1）-12=0，即(c 2-3)(c 2+4)=0， ∵c 2+4≠0， ∴c 2-3=0，解得c= 3 或c=﹣ 3 (舍去)． 则直角三角形的斜边长为 3 ． 习题五. D【分析】x-3是多项式2x 2-5x+m 的一个因式，即方程2x 2-5x+m=0的一个解是3，代入方程求出m 的值． 习题六. B二、根系关系习题一. ±3，3【解答】已知方程x 2-5x+15=k 2的一个根为x l =2，设另一根是x 2， 则x 1+x 22，则另一个根x 2=3，k=±3．习题二【解答】解方程x 2+3x-3=0的根是，方程x 2-3x+m=0的一个根的相反数是方程x 2+3x-3=0的一个根，因而方程x 2+3x-3=0的一个根的相反数是方程x 2-3x+m=0的一个根，则x 2-3x+m=0的根是﹣(﹣3±21 2 )即3±212.习题三. 4或-1【解答】x ☆2=6，∴x 2-3x+2=6， ∴x 2-3x-4=0，∴(x-4)(x+1)=0， ∴x-4=0，x+1=0，∴x 1=4，x 2=-1. 习题四. 5 【解答】∵a 是一元二次方程x 2-5x+m=0的一个根，-a 是一元二次方程x 2+5x-m=0的一个根，∴a 2-5a+m=0①，a 2-5a-m=0②， ①+②，得2(a 2-5a)=0， ∵a ＞0，∴a=5． 习题五.4【解答】∵ax 2+bx+1=0（a ≠0）有两个相等的实数根， ∴△=b 2-4ac=0，即b 2-4a=0，∴b 2=4a ，∵ab 2(a −2)2+b 2−4 =ab 2a 2−4a+4+b 2−4 =ab 2a 2−4a+b 2 =ab 2a 2 ， ∵a ≠0，∴ab 2a 2 = b 2a =4aa =4.习题六. 周长=5，面积=154. 【解答】∵x 2-（k+2）x+2k=0，∴(x-k)(x-2)=0，解得：x 1=2，x 2=k ， ∵三角形是等腰三角形，当k=1时，不能围成三角形；当k=2时，周长为5. 如图：设AB=AC=2，BC=1， 过点A 作AD ⊥BC 于D ， ∴BD=CD=12BC=12 ，∴AD=AB 2−BD 2 =152∴S △ABC =12×1×15 2 =154.习题七. (1)证明：∵△=(m+2)2-4(2m-1)=(m-2)2+4，∴在实数范围内，m 无论取何值，(m-2)2+4＞0，即△＞0，∴关于x 的方程x 2-(m+2)x+(2m-1)=0恒有两个不相等的实数根. (2) 另一根=3，周长=4+10 或4+2 2 【解答】根据题意，得12-1×(m+2)+(2m-1)=0，解得，m=2， 则方程的另一根为：m+2-1=2+1=3.①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为10 ， 该直角三角形的周长为1+3+10 =4+10 ；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2 2 ，则该直角三角形的周长为1+3+2 2 = 4+2 2 .k是自然数，∴kk-p+2 +kp+1三、生活类应用习题一 .B习题二 .x-1 x+1 (x-1)2+x2+(x+1) 2=50习题三. A习题四.(1)20% (2)能实现【解答】(1)设每年平均增长的百分率为x．6000(1+x)2=8640，(1+x)2=1.44，∵1+x＞0，∴1+x=1.2，x=20%．(2)2012年该县教育经费为8640×(1+20%)=10368（万元）＞9500万元．故能实现目标．习题五.0.3或0.2【解答】设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．习题六. 定价60元，进货100个 【解答】设每个商品的定价是x 元，由题意，得（x-40）[180-10（x-52）]=2000，整理，得x 2-110x+3000=0，解得x 1=50，x 2=60．当x=50时，进货180-10（50-52）=200个＞180个，不符合题意，舍去； 当x=60时，进货180-10（60-52）=100个＜180个，符合题意．∴当该商品每个定价为60元时，进货100个．习题七. D习题八. C习题九.(1)25只 (2) 35只，1950元【解答】(1)∵生产x 只玩具熊猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R ，P 与x 的关系式分别为R=500+30x ，P=170-2x ，∴（170-2x ）x-（500+30x ）=1750，解得 x 1=25，x 2=45（大于每日最高产量为40只，舍去）． ∴当日产量为25只时，每日获得利润为1750元.(2)设每天所获利润为W ，由题意得，W=（170-2x ）x-（500+30x ）=﹣2x 2+140x-500=﹣2（x 2-70x ）-500=﹣2（x 2-70x+352-352）-500=﹣2（x 2-70x+352）+2×352-500=﹣2（x-35）2+1950．当x=35时，W 有最大值1950元．四、 几何应用习题一. C【解答】设有x 个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛， x （x-1）÷2=21，解得x=7或-6（舍去），∴应邀请7个球队参加比赛． 习题二. 56【解答】设班级学生x 人，依题意，得(18)2+7=x ， 整理，得x 2-64x+448=0，解得x 1=56，x 2=8，当x=8时，18x=1，1人不能成为方阵，舍去. ∴此班有学生56人．习题三. C【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．习题四. B【解答】设AC 交A ′B ′于H ，∵∠A=45°，∠D=90°，∴△A ′HA 是等腰直角三角形，设AA ′=x ，则阴影部分的底长为x ，高A ′D=2-x ，∴x •（2-x ）=1，∴x=1，即AA ′=1cm ．习题五. 143 【解答】如图，连接CD ，设AE=x 米， ∵坡角∠A=30°，∠B=90°，BC=6米，∴AC=12米，∴EC=（12-x ）米，∵正方形DEFH 的边长为2米，即DE=2米，∴DC 2=DE 2+EC 2=4+(12-x)2，AE 2+BC 2=x 2+36，∵DC 2=AE 2+BC 2，∴4+(12-x)2=x 2+36，解得：x=143米． 习题六. x 2x 20+2x 40-x每件应降20元【解答】设每件童装降价x 元，则(40-x)(20+2x)=1200即：x 2-30x+200=0，解得：x 1=10，x 2=20，∵要扩大销售量，减少库存，∴舍去x 1=10∴每件童装应降价20元．习题七.(1)-1，大，-1 (2) -1，小，-1(3)设AD=x ，S=x(16-2x)=-2(x-4)2+32，当AD=4m 时，面积最大值为32m 2．习题八. 2秒 或 16−243 7 秒 或 16+247 7 秒 或 ﹣32+659 5秒. 【解答】如图1，设时间为ts ，过P 作PM ⊥CD 于M ，过Q 作QN ⊥AB 于N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴DC=AB=16cm ，AD=BC=PM=QN=6cm ，∠A=∠C=∠B=∠ADC=90°， 则DM=AP=3t cm ，CQ=BN=2t cm ，分为三种情况：①当DP=PQ 时，则DM=MQ=3t cm ，∵3t+3t+2t=16，解得：t=2.②当∠PQD 为锐角时，DQ=PQ 时，在Rt △PNQ 中，由勾股定理得：(16-2t)2=62+(16-3t-2t)2，7t 2-32t+12=0，解得：t=32±443 14 =16±243 7， ∵t=16＋243 7 ＞163 （舍去），∴t=16－243 7.当∠PQD 为钝角时，如图2，QD=PQ ，则AP-DQ ≥0，即3t-（16-2t ）≥0，∴165 ≤t ≤163． ∵DQ=16-2t ，PH=6，QH=AP-DQ=5t-16，∴(16-2t)2=36+(5t-16)2，解得t=16±247 7 ， ∵t ≥165 ，∴t=16+247 7. ③当DP=DQ 时，在Rt △DAP 中，由勾股定理得：(16-2t)2=62+(3t)2，即5t 2+64t-220=0，解得t=−64±1259 10 =﹣32±659 5， ∵﹣32－659 5 ＜0，∴t=﹣32+659 5. 综上，经过2秒、16−243 7 、16+247 7 、﹣32+659 5秒时，点P 、Q 、D 组成的三角形是等腰三角形．。
浙教版八下一元二次方程概念及其解法
浙教版八下一元二次方程概念及其解法一、知识框架1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
2、一元二次方程的解法（1） 直接开平方法 （也可以使用因式分解法）①2(0)x a a =≥ 解为：x =②2()(0)x a b b +=≥ 解为：x a +=③2()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b +=④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2） 因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+= 此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0 290(3)(3)0x x x -=⇔+-=230(3)0x x x x -=⇔-=3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x ---=⇔--=注意：提取整个因式的方法非常常见，解题的过程中一定要认真观察。
22694(3)4x x x -+=⇔-=2241290(23)0x x x -+=⇔-=24120(6)(2)0x x x x --=⇔-+=225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+=十字相乘法非常实用，注意在解题的过程中多考虑。
（3） 配方法①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：2220()()022P P x Px q x q ++=⇔+-+= 示例：22233310()()1022x x x -+=⇔--+= ②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：22220 (0)()0 ()()022b b b ax bx c a a x x c a x a c a a a++=≠++=⇒-⇒++= 222224()()2424b b b b ac a x c x a a a a-⇒+=-⇒+= 示例：22221111210(4)10(2)2102222x x x x x --=⇔--=⇔--⨯-=备注：实际在解方程的过程中，一般也只是针对1a =±且b 为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。
浙教版八年级下册2.2一元二次方程及解法培优讲义(含解析)
第1讲 一元二次方程及解法命题点一：利用一元二次方程的概念求值例1已知关于x 的方程(m ＋2)x |m |＋3x ＝mx ＋1是一元二次方程，则m 的值为 2 ． 例2方程(m ＋1)xm 2＋1＋(m －3)x －1＝0，(1)当m 取何值时，是一元二次方程？并求出此方程的解． (2)当m 取何值时，是一元一次方程？解：(1)若方程是一元二次方程，则m 2＋1＝2，∴m ＝±1. 显然m ＝－1时，m ＋1＝0，不符合题意．故m ＝1符合题意． 当m ＝1时，原方程可化简为2x 2－2x －1＝0， ∴x 1＝1＋32，x 2＝1－32.因此m ＝1，方程的两根为x 1＝1＋32，x 2＝1－32. (2)当m ＋1＝0时，解得m ＝－1，此时方程为－4x －1＝0； 当m 2＋1＝1时，解得m ＝0，此时方程为－2x －1＝0. ∴当m ＝－1或m ＝0时，方程为一元一次方程． 命题点二：用适当的方法解下列方程 例3解下列方程：(1)3(1－x )2＝27. (2)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2. (3)x 2－12x ＝9 964. (4)x 2－33x ＋6＝0.解：(1)由原方程，得(1－x )2＝3，∴1－x ＝3或1－x ＝－3， 解得x 1＝1－3，x 2＝1＋ 3.(2)移项，得4(3x ＋1)2－25(x －2)2＝0，将方程的左边因式分解，得[2(3x ＋1)－5(x －2)][2(3x ＋1)＋5(x －2)]＝0， 即(x ＋12)(11x －8)＝0.∴x ＋12＝0或11x －8＝0，解得x 1＝－12，x 2＝811. (3)方程两边都加上36，得x 2－12x ＋36＝9 964＋36，即(x －6)2＝10 000.∴x －6＝100或x －6＝－100，解得x 1＝106，x 2＝－94. (4)对于方程x 2－33x ＋6＝0，a ＝1，b ＝－33，c ＝6，b 2－4ac ＝(－33)2－4×1×6＝3， ∴x ＝－(－33)±32×1.∴x 1＝23，x 2＝ 3.【思路点拨】方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的常见变形： ①ax 2＋bx ＝－c ； ②ax 2＝－bx －c ； ③ax ＋c x＝－b (x ≠0). 例4解下列方程：(1)x 2－3x ＝3x ＋1. (2)x 2＋3＝32x . (3)2x 2＋(3m －n )x －2m 2＋3mn －n 2＝0. 解：(1)由原方程移项，得x 2－6x －1＝0，a ＝1，b ＝－6，c ＝－1，b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×(－1)＝40. ∴x ＝6±2102×1.∴x 1＝3＋10，x 2＝3－10.(2)由原方程移项，得x 2－32x ＋3＝0，a ＝1，b ＝－32，c ＝3，b 2－4ac ＝(－32)2－4×1×3＝6.∴x ＝32±62×1.x 1＝32＋62，x 2＝32－62.(3)由原方程移项，得2x 2＋(3m －n )x －(2m －n )(m －n )＝0. 因式分解，得(x ＋2m －n )(2x ＋n －m )＝0， ∴x 1＝n －2m ，x 2＝m －n 2.命题点三：利用一元二次方程求代数式的值 例5若a 2－3a ＋1＝0，则a 2＋1a2的值为 7 ．例6若y 2＋4y ＋2＝0，则y 2y 4－2y 2＋4＝ 110．命题点四：利用公共根求值例7一元二次方程x2－2x－54＝0的某个根，也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋94＝0的根，求k的值．解：x2－2x－54＝0，移项，得x2－2x＝54.配方，得x2－2x＋1＝94，即(x－1)2＝94.开方，得x－1＝±32，解得x1＝52，x2＝－12.Δ＝(k＋2)2－9≥0，即k≥1或k≤－5.①根据题意，把x＝52代入x2－(k＋2)x＋94＝0，得⎝⎛⎭⎪⎫522－52(k＋2)＋9 4＝0，解得k＝75；②把x＝－12代入x2－(k＋2)x＋94＝0，得⎝⎛⎭⎪⎫－122＋12(k＋2)＋94＝0，解得k＝－7.∵75＞1，－7＜－5，∴两个k均符合题意．综上所述，k的值为－7或7 5 .例8已知a是关于x的方程x2－(2k＋1)x＋4＝0及3x2－(6k－1)x＋8＝0的公共解，则a＝ 1 ，k＝ 2 ．命题点五：利用判别式解决问题例9已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0.(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根．(2)当m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？解：(1)∵该方程是关于x的一元二次方程，∴m≠0，Δ＝(m＋2)2－8m＝m2－4m＋4＝(m－2)2.∵不论m为何值时，(m－2)2≥0，∴Δ≥0.∴方程总有实数根．(2)解方程，得x＝m＋2±(m－2)2m，x1＝2m，x2＝1.∵方程有两个不相等的正整数根，∴m＝1或2. 当m＝2时，x1＝x2＝1不合题意，∴m ＝1.例10已知关于x 的方程x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根．(2)已知方程的一个根为x ＝0，求代数式(2m －1)2＋(3＋m )(3－m )＋7m －5的值(先化简，再求值)．解：(1)∵该方程是关于x 的一元二次方程x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝0， ∴Δ＝(2m ＋1)2－4m (m ＋1)＝1>0. ∴方程总有两个不相等的实数根． (2)∵x ＝0是此方程的一个根，∴把x ＝0代入方程中，得到m (m ＋1)＝0. ∴(2m －1)2＋(3＋m )(3－m )＋7m －5 ＝4m 2－4m ＋1＋9－m 2＋7m －5 ＝3m 2＋3m ＋5 ＝3m (m ＋1)＋5 ＝5.命题点六：解特殊方程例11(1)方程x 2－||x －3－3＝0，则此方程的根是 x ＝－3或2 ．(2)解方程：(x 2－2x )2＋(x 2－2x )－2＝0. 解：因式分解，得(x 2－2x －1)(x 2－2x ＋2)＝0. ∵x 2－2x ＋2始终大于0， ∴x 2－2x －1＝0.∴x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.(3)解方程：x 2－2x ＋2xx 2－2＝3.解：设a ＝x 2－2x ，则原式为a ＋2a ＝3.解a ＋2a＝3，得a 1＝1，a 2＝2.当a ＝1时，x 1＝2，x 2＝－1； 当a ＝2时，x 1＝1＋3，x 2＝1－ 3.(4)如果x 2－x －1＝(x ＋1)0，那么x 的值为( C ) A ．2或－1 B ．0或1 C ．2 D.－1 (5)解方程：2x 2－15x －2x 2－15x ＋1 998＝－18. 解：令t ＝2x 2－15x ＋1 998，则t 2－t －1 980＝0.因式分解，得(t －45)(t ＋44)＝0，解得t 1＝45，t 2＝－44(舍去)． ∴2x 2－15x －27＝0.因式分解，得(2x ＋3)(x －9)＝0， 解得x 1＝－32，x 2＝9.例12(1)解方程：(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0.解：原式＝(x 2－2)(x 2－5)＝0，x 2＝2或x 2＝5，∴x 1＝2，x 2＝－2，x 3＝5，x 4＝－ 5. (2)解方程：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2－4x －2x ＝3.解：设a ＝2x －1x，则原式＝a 2－2a ＝3，解得a 1＝3，a 2＝－1. 当a ＝3时，x ＝－1； 当a ＝－1时，x ＝13.∴x 1＝－1，x 2＝13.(3)方程x 2－2 012||x ＋2 013＝0的所有实数解的和为( B ) A ．－2 012 B ．0 C ．2 012 D ．2 013 (4)方程(x 2＋x －1)x ＋3＝1的所有整数解的个数是( C ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．51 (5)解方程：3x －5＋36－3x ＝1. 解：令t ＝3x －5，得1－t ＝31－t 2. 由原式，得t (t －1)(t －3)＝0，解得t 1＝0，t 2＝1，t 3＝3. ∴x 1＝53，x 2＝2，x 3＝143.课后练习1．我们知道方程x 2＋2x －3＝0的解是x 1＝1，x 2＝－3，现给出另一个方程(2x ＋3)2＋2(2x ＋3)－3＝0，它的解是( D )A ．x 1＝1，x 2＝3B ．x 1＝1，x 2＝－3C ．x 1＝－1，x 2＝3D ．x 1＝－1，x 2＝－3 2．(2018·包头)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m －2＝0有两个实数根，m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m 的和为( B )A ．6B ．5C ．4 D.33．设方程(x －a )(x －b )－x ＝0的两个根为c ，d ，则方程(x －c )(x －d )＋x ＝0的根为( A )A ．a ，bB ．－a ，－bC ．c ，dD ．－c ，－d4．已知三个关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，bx 2＋cx ＋a ＝0，cx 2＋ax ＋b ＝0恰有一个公共实数根，则a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab的值为( D )A ．0B ．1C ．2D ．35．若x ＝0是一元二次方程(m －2)x 2＋3x ＋m 2＋2m －8＝0的解，则m 的值为 －4 ． 6．若方程x 2－8x ＋12＝0的两个根是等腰三角形两条边的长，则该三角形的底边长为 2 ． 7．若一元二次方程ax 2＝b (ab >0)的两个根分别为m ＋1与2m －4，则ba＝ 4 ．8．已知a ，b 是方程x 2－x －3＝0的两个根，则代数式2a 3＋b 2＋3a 2－11a －b ＋5的值为 23 ． 9．设a ，b 是整数，方程x 2＋ax ＋b ＝0的根是4－23，则a ＋b ＝ 0 ． 10．已知关于x 的方程x 2－(m ＋2)x ＋2m －1＝0.(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根．(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以这两个根为边长的直角三角形的周长．解：(1)∵Δ＝(m ＋2)2－4(2m －1)＝(m －2)2＋4，∴在实数范围内，m 无论取何值，(m －2)2＋4≥4，即Δ≥4. ∴关于x 的方程x 2－(m ＋2)x ＋2m －1＝0恒有两个不相等的实数根． (2)根据题意，得12－1×(m ＋2)＋2m －1＝0，解得m＝2，则方程的另一个根为3.①当该直角三角形的两直角边是1，3时，由勾股定理得斜边的长度为10，则该直角三角形的周长为1＋3＋10＝4＋10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1和3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22，则该直角三角形的周长为1＋3＋22＝4＋2 2.11．已知实数m满足m2－3m＋1＝0，求代数式m2＋19m2＋2的值．解：∵m2－3m＋1＝0，∴m2＝3m－1.∴m2＋19m2＋2＝3m－1＋193m－1＋2＝3m－1＋193m＋1＝9m2－1＋193m＋1＝9m2＋183m＋1＝9(3m－1)＋183m＋1＝9(3m＋1) 3m＋1＝9.12．已知关于x的方程x2－x＋3m＝0，x2＋x＋m＝0(m≠0)，若前一个方程中有一个根是后一个方程的某个根的3倍，求实数m的值．解：设α是方程x2＋x＋m＝0的一个根，则3α是方程x2－x＋3m＝0的一个根．∴α2＋α＋m＝0，①9α2－3α＋3m＝0，即3α2－α＋m＝0.②②－①，得2α2－2α＝0，解得α＝0或1.当α＝0时，02＋0＋m＝0，m＝0(舍去)；当α＝1时，12＋1＋m＝0，m＝－2.故实数m的值为－2.13．(自主招生模拟题)满足(2－m)m2－m－2＝1的所有实数m的和为( A ) A．3 B．4 C．5 D．614．(自主招生真题)解方程：方程2x2＋5x－2－2x2＋5x－9＝1的解为x1＝2，x2＝－92．15．(自主招生真题)设k ≥0，解方程x 3＋2kx 2＋k 2x ＋9k ＋27＝0.解：原方程化为xk 2＋(2x 2＋9)k ＋x 3＋27＝0.解得k ＝－x －3或k ＝－x 2－3x ＋9x .∴x 1＝－k －3，x 2＝3－k ＋(k －9)(k ＋3)2，x 3＝3－k －(k －9)(k ＋3)2.。
浙教版八下第二章一元二次方程及解法复习
解一元二次方程时，我们先考虑用开平方法和
因式分解法，然后再考虑用公式法和配方法
☆对于（ax+m）2=n(n≥0) 的形式，我们通常选择开平方法。
☆对于右边化成零后左边可以因式分解的一元二次方程，我们
通常选择因式分解法。 ☆对于ax2+bx+c=0(a≠0)一般形式 ，a,b,c≠0时的方程以及 用上面两种方法解方程比较困难时选择公式法。 ☆配方法通常只用于x２＋px＋q＝０形式的方程。
一元二次方程及 解法复习
准备好了吗？
明辨是非
判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二 次方程，请说明理由？ 1、(x－1)２＝４ √ × √ ２、x2－2x=8 ４、x２＝y+１ ６、x３－２x２＝１ √ × ×
1 3、x2+ ＝１ x
５、x２＝x
７、３x２－５x＝２ √
８、x（x－２）＝１+x2 ×
火眼金睛
选择适当的方法解下列方程：
1、(x+1)2=4 2、４x２－９＝x(２x－３) 3、(x+1)(2x－1)=5 4、（y+1）2+2（y+1）+1=0
勇攀高峰
如图，在 ABCD中，对角线AC⊥BC，AC=BC=2，动 点P从点A出发沿AC向终点C移动，过点P分别作 PM∥AB交BC于M。PN∥AD交DC于N，连接AM，设 AP=x。 （1）四边形PMCN的形状有可能是菱形吗？请说明理由。 （2）当x为何值时，四边形PMCN的面积与⊿ABM的面 积相等？ A
D P NBຫໍສະໝຸດ MC课堂小结：
通过今天的学习你 有什么收获？
已知：如图， ABCD中，AB=4，AD=6，BC边上的高 AE=2，动点P从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位 的速度向点D运动，同时动点Q也从点C出发，在线段 BC上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点Q运动 到点B时，点P随之停止运动。连接AQ、PQ、PC。设 运动时间为t（秒）。 (1)当运动时间为1.5秒时，求出⊿ABM的面积。 (2)用含t的代数式来表示⊿PCQ的面积。 (3)当t为何值时，P、Q两点间的距离为 13 ？
浙教版八级数学下册第二章一元二次方程复习课件(共张PPT)
∵m为非负数 ∴m=0或m=1
说明：当二次项系数也含有待定的字母时，要注意 二次项系数不能为0，还要注意题目中待定字母的取 值范围.
1
h
2
3
11
3、证明方程根的情况 例2、求证：关于x的方程：
x2 m 2 x 2 m 1 0
有两个不相等的实根。
证明： m2242m1
解答问题：1、在由原方程得到方程（1）的过程中，利用了 换元 法达到了降次的目的，体现了 整体 思想。
h
6
相关问题1: 解方程: (x 2 2 x )2 7 (x 2 2 x ) 8 0
相关问题2:
设a,b是直角三角形两条直角边的长， 且它们满足
（a2+b2）×（ a2+b2+1 ）=12,
则这个直角三角形的斜边长为多少？
h
24
P58,19.把一个足球垂直地面向上踢，t(秒)后该 足球的高度h(米)适用公式h=20t一5t2. (1)经多少秒后足球回到地面? (2)经多少秒时球的高度为15米?
h
25
P58,21.某租赁公司拥有汽车100辆.据统计，当每辆车的 月租金为3 000元时，可全部租出.每辆车的月租金每增 加50元，未租出的车将增加1辆.租出的车每辆每月的维 护费为150元，未租出的车每辆每月只需维护费50元. (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆? (2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益 (租金收入扣除维护费)可达到306 600元?
方
程
求 根 公式法
化 成 一 般 形 式 a x 2 b x c 0 a 0
当 b24ac0 时 ,x bb24ac
浙教版初中数学八年级下册《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解(提高)
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.【：388528 根系关系】2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．已知（m －1）x |m|+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.【答案与解析】依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1，解得m ＝±1，又∵m －1≠0，∴m ≠1，故m ＝－1.【总结升华】依题意可知m －1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m 的值即可.特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.举一反三：【变式】若方程2(310m m x mx --=是关于x 的一元二次方程，求m 的值．【答案】根据题意得22,0,m m ⎧=⎪⎨-≠⎪⎩ 解得所以当方程2(310m m x mx --=是关于x的一元二次方程时，m =．类型二、一元二次方程的解法2．解下列一元二次方程．(1)224(3)25(2)0x x ---=； (2)225(3)9x x -=-； (3)2(21)4(21)40x x ++++=．【答案与解析】(1)原方程可化为：22[2(3)][5(2)]0x x ---=，即(2x-6)2-(5x-10)2＝0，∴ (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)＝0，即(7x-16)(-3x+4)＝0，∴ 7x-16＝0或-3x+4＝0，∴ 1167x =，243x =． (2)25(3)(3)(3)x x x -=+-，25(3)(3)(3)0x x x --+-=，∴ (x-3)[5(x-3)-(x+3)]＝0，即(x-3)(4x-18)＝0，∴ x-3＝0或4x-18＝0，∴ 13x =，292x =． (3)2(21)4(21)40x x ++++=，∴ 2(212)0x ++=．即2(23)0x +=，∴ 1232x x ==-． 【总结升华】 (1)方程左边可变形为22[2(3)][5(2)]x x ---，因此可用平方差公式分解因式；(2)中方程右边分解后为(x-3)(x+3)，与左边中的(x-3)2有公共的因式，可移项后提取公因式(x-3)后解题；(3)的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x+1+2)2＝0再求解．举一反三：【变式】解方程： (1)3x+15＝-2x 2-10x ； (2)x 2-3x ＝(2-x)(x-3)．【答案】(1)移项，得3x+15+(2x 2+10x)＝0，∴ 3(x+5)+2x(x+5)＝0，即(x+5)(3+2x)＝0，∴ x+5＝0或3+2x ＝0，∴ 15x =-，232x =-． (2)原方程可化为x(x-3)＝(2-x)(x-3)，移项，x(x-3)-(2-x)(x-3)＝0，∴ (x-3)(2x-2)＝0，∴ x-3＝0或2x-2＝0，∴ 13x =，21x =．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根．则a 满足（ ）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠5【答案】A ；【解析】①当50a -=，即5a =时，有410x --=，14x =-，有实数根；②当50a -≠时，由△≥0得2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥，解得1a ≥且5a ≠．综上所述，使关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根的a 的取值范围是1a ≥．答案：A【总结升华】注意“关于x 的方程”与“关于x 的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为0．【：388528 一元二次方程的根的判别式】4． k 为何值时，关于x 的二次方程2690kx x -+=（1）k 满足 时,方程有两个不等的实数根；（2）k 满足 时,方程有两个相等的实数根；（3）k 满足 时,方程无实数根.【答案】（1）10k k ≠＜，且；（2）1k =；（3）1k ＞.【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范围.【总结升华】根据判别式ac b 42-=∆及k ≠0求解.类型四、一元二次方程的根与系数的关系5．（2016•凉山州）已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，则x 1﹣x 1x 2+x 2的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，结合根与系数的关系可得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2，将其代入x 1﹣x 1x 2+x 2中即可算出结果．【答案】D ．【解析】解：∵x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，∴x 1+x 2=﹣=﹣，x 1•x 2==﹣2，∴x 1﹣x 1x 2+x 2=﹣﹣（﹣2）=．故选D ．【总结升华】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．举一反三：【变式】已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k 的值；如果不存在， 请说明理由．【答案】(1)根据题意，得△＝(2k-3)2-4(k-1)(k+1)＝224129412130k k k k -+-=-+>， 所以1312k <．由k-1≠0，得k ≠1. 当1312k <且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根； (2) 不存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则122301k x x k -+=-=-，解得32k =． 当32k =时，判别式△＝-5＜0，方程没有实数根． 所以不存在实数k ，使方程的两个实数根互为相反数．类型五、一元二次方程的应用6．（2015•青岛模拟）随着青奥会的临近，青奥特许商品销售逐渐火爆．甲、乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10万元．已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，求甲店、乙店这两个月的月平均增长率各是多少？【答案与解析】解：设乙店销售额月平均增长率为x ，由题意得：10（1+2x ）2﹣15（1+x ）2=10，解得 x 1=60%，x 2=﹣1（舍去）．2x=120%．答：甲、乙两店这两个月的月平均增长率分别是120%、60%．【总结升华】此题考查了一元二次方程的应用，为运用方程解决实际问题的应用题型． 举一反三：【变式】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。
浙教版数学八年级下册第2章《一元二次方程》复习课件
数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写一 次项,最后是常数项。
判断下列方程是一元二次方程吗?
(1) x2 5x 150√
2 (2) x2 5 3
(3) (x 3)2 7 √ (4) x2 2 y 3 0
(5) 3x2 5x 0 √
用开平方法解下列方程:
(1)3x2－48=0;
(2)(x－5)2=9
(3)(2x－3)2=7
3、先配方再开平方法
对于形如x2+ax+b=0的方程,不能
因式分解。用配方法
加上一次项系数一半的平方
(1)x2＋6x=1 (2)x2=6－5x (3)x2+13=12x
步骤？
一元二次方程的解法： （1）因式分解法 若A·B=0，则A=0或B=0
做一做：
（1） 27x2 18x 3
（2）(x 2)2 2x 4
（3）4(x 3)2 x(x 3) 0
（4） (7x1)2 4x2 （5）x2 2x 3 0
2、直接开平方法
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a , x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
此类方程一定有实数根么？
必须符合什么条件？
当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 b2 4ac＜时0 ，方程没有实数根.
一般地,对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) ,
2
如果 b2 4ac 0 ,
解法一：设方程的另一个根为x2. 由根与系数的关系，得 2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k 解这方程组，得 x2 =－3 k =－2
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浙教版八年级下册数学一元二次方程复习
一、基础知识梳理
定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），
未知数的最高次数是2（二次）的方程为一元二次方程。
1．一元二次方程 概念及其解法
直接开平方法
解法
（降次）
因式分解法 配方法
b24ac＞0方程有两个不相等的实数根
公式法 b24ac＝0方程有两个相等的实数根
4.二次方程根与系数关系
例4. 已知a、b是方程 求下列各式的值：
（1） a2 b2
（2） 1 1 ab
的两个根，
【课堂试一试，你一定行！）
一、选择题
感谢聆听！
二、合作探究（取人之长，补己之短） 1.一元二次方程概念 例 1 (m1)xm13x20是关于x的一元二次方程，求 m 的值.
2.一元二次方程的解法 例 2．按要求解方程
二、合作探究（续）
3.一元二次方程根的情况 例3、已知关于X的方程：(p1)x22p xp30有两个相等的实数根， 求P的值。
b24ac＜方程无实数根
2、一元二次方程的根的判别式：
当Δ＞0时 方程有两个不相等的实数根； 当Δ=0时 方程有两个相等的实数根； 当Δ< 0时 方程没有实数根，无解；
3、一元二次方程根与系数的关系：（韦达定理）
x x, 12
ax2bxc0 的两个根，则
b
x1
x2
a
c x1 x2 a
是一元二次方程