重积分_期末复习题_高等数学下册_(上海电机学院)

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高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分每小题3分)1．曲线⎩⎨⎧=+=012x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ．2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{．4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．5．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<+≤<-=,0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π+．6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为Cxy =．7．写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共18分每小题6分）1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-02032z y x z y x 的平面方程．解:设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,1111121=--=kj i n(4分）所求平面方程为 032=++z y x （6分） 2．将积分⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面)(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解: πθ20 ,10 ,2 :2≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分）⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(⎰⎰⎰-=221020d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ （6分)3．计算二重积分⎰⎰+-=Dy x y x eI d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D解⎰⎰-=2020d d 2r r eI r πθ⎰⎰--=-20220)(d d 212r e r πθ⎰-⋅-=202d 221r e π)1(4--=e π三、解答题（共35分每题7分)1．设vue z =，而22y x u +=,xy v =,求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e xv v z x u u z x z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (3分))2(223xy x y e x ue y e yv v z y u u z y z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ （6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分）2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z所确定,求yz x z ∂∂∂∂,．解：令xyz e z y x F z-=),,(， (2分)则 ,yz F x -=,xz F y -=,xy e F zz -= （5分）xye yzF F x z zz x -=-=∂∂， xy e xz F F y z z z y -=-=∂∂．（7分) 3．计算曲线积分⎰+-Ly x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解:添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰⎰⎰⎰+--=+-OA DL y x x y y x y x x y d d d d 2d d （5分）ππ=-⋅=022 （7分)4．设曲线积分⎰++Lx y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关,其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ,求)(x f ．解：由xQ y P ∂∂=∂∂ 得 )()(x f x f e x'=+，即xe xf x f =-')()( （3分)所以 )d ()(d d )1(C x e e e x f x x x+⋅=⎰⎰---⎰)(C x e x +=，（6分) 代入初始条件，解得1=C ，所以)1()(+=x e x f x． (7分)5．判断级数∑∞=12)!2()!(n n n 的敛散性．解：因为)!2()!()!22(])!1[(lim lim221n n n n u u n nn n ++=∞→+∞→ （3分) )12)(22()1(lim2+++=∞→n n n n 141<= （6分) 故该级数收敛．（7分)四、（7分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分）0d 3-=⎰⎰⎰Ωv （6分）34213π⋅⋅=π2=． (7分) 五、（6分)在半径为R 的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．解：设三角形各边所对圆心角分别为z y x ,,，则π2=++z y x ，且面积为)sin sin (sin 212z y x R A ++=，令)2(sin sin sin πλ-+++++=z y x z y x F (3分）由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=πλλλ20cos 0cos 0cos z y x z F y F x F z yx (4分)得32π===z y x ．此时，其边长为R R 3232=⋅．由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大．（6分）六、（8分)求级数∑∞=1n nnx 的收敛域，并求其和函数．解： 1)1(lim lim1=+==∞→+∞→nn a a R n n n n ,故收敛半径为1=R ．（2分) 当1-=x 时,根据莱布尼茨判别法，级数收敛; 当1=x 时，级数为调和级数,发散．故原级数的收敛域为)1,1[-． (5分)设和为)(x S ,即∑∞==1)(n nnx x S ，求导得∑∞=-='11)(n n x x S x-=11， (6分）再积分得 ⎰'=xx x S x S 0d )()(x xxd 110⎰-=)1ln(x --=，)11(<≤-x (8分）七、（5分)设函数)(x f 在正实轴上连续，且等式⎰⎰⎰+=yx x yt t f x t t f y t t f 111d )(d )(d )(对任何0,0>>y x 成立．如果3)1(=f ，求)(x f ．解：等式两边对y 求偏导得)(d )()(1y f x t t f y x f x x+=⎰ （2分)上式对任何0,0>>y x 仍成立．令1=y ，且因3)1(=f ，故有⎰+=xx t t f x xf 13d )()(． (3分）由于上式右边可导,所以左边也可导．两边求导，得3)()()(+=+'x f x f x f x 即)0(3)(>='x xx f ．故通解为 C x x f +=ln 3)(．当1=x 时，3)1(=f ,故3=C ．因此所求的函数为 )1(ln 3)(+=x x f ．(5分）八．（5分）已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．解1：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解,xxe 是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为)(2x f y y y =-'-''将x xe y=代入上式，得x x xe e x f 2)(-=，因此所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''解2：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故x x x e C e C xe y -++=221是所求微分方程的通解，从而有x x x x e C e C xe e y --++='2212, x x x x e C e C xe e y -+++=''22142消去21,C C ，得所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''06高数B一、填空题（共30分每小题3分）1．xoy 坐标面上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为36)(94222=+-z y x ．2．设函数22),,(z yz x z y x f ++=,则=-)1,0,1(grad f )2,1,2(--．3．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π．4。

§_9_重积分习题与答案

§_9_重积分习题与答案第九章重积分A1、填空题1）交换下列二次积分的积分次序（1）()=??-dx y x f dy y y102,______ （2）()=??dx y x f dy yy2022,________（3）()=??dx y x f dy y1,________ （4）()=??---dx y x f dy y y 1 1122,______（5）()=??dy y x f dx ex1ln 0,_______ （6）()()=??---dx y x f dy y y44214,_______2）积分dy e dx xy ?-222的值等于______3)设(){}10,10,≤≤≤≤=y x y x D ，试利用二重积分的性质估计()σd y x xy I D+=的值则4)设区域D 是有x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成，根据二重积分的性质，试比较积分()σd y x I D2??+=与()σd y x I D3+=的大小_________5）设()≤≤≤≤=20,20,ππy x y x D ，则积分()dxdy y x I D+-=2sin 1 ___________6)已知Ω是由12,0,0,0=++===z y x z y x 所围，按先z 后y 再x 的积分次序将Ω=xdxdydz I 化为累次积分，则__________________________=I 7）设Ω是由球面222y x z --=与锥面22y x z +=的围面，则三重积分dxdydz z y x f I Ω++=)(222在球面坐标系下的三次积分表达式为2、把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值 1）-+ax ax dy y x dx 2020222)( 2）??+a xdy y x dx 0223、利用极坐标计算下列各题1）??+Dy xd eσ22，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.2）++Dd y x σ)1ln(22，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.3）Dd x y σarctan ，其中D 是由圆周1,42222=+=+y x y x 及直线x y y ==,0所围成的在第一象限的闭区域.4、选用适当的坐标计算下列各题1)??D d yx σ22,其中D 是直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成的闭区域. 2）??+D yd x σsin )1(，其中D 是顶点分别为)2,1(),0,1(),0,0(和)1,0(的梯形闭区域.3）??--Dd y x R σ222，其中D 是圆周Rx y x =+22所围成的闭区域. 4）+Dd y x σ22，其中D 是圆环形闭区域{}2222),(b y x a y x ≤+≤.5、设平面薄片所占的闭区域D 由螺线θρ2=上一段弧??≤≤20πθ与直线2πθ=所围成，它的面密度为()22,y x y x +=μ，求这薄片的质量（图9-5）.6、求平面0=y ，()0>=k kx y ，0=z ，以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积（图9-6）.7、设平面薄片所占的闭区域D 由直线2=+y x ，x y =和x 轴所围成，它的面密度()22,y x y x +=μ，求该薄片的质量.8、计算由四个平面0=x ，0=y ，1=x ，1=y 所围成的柱体被平面0=z 及632=++z y x 截得的立体的体积.9、求由平面0=x ，0=y ，1=+y x 所围成的柱体被平面0=z 及抛物面z y x -=+622 截得的立体的体积.10、计算以xoy 面上的圆周ax y x =+22围成的闭区域为底，而以曲面22y x z +=为顶的曲顶柱体的体积. 11、化三重积分()Ω=dxdydz z y x f I ,,为三次积分，其中积分区域Ω分别是1）由双曲抛物面z xy =及平面0,01==-+z y x 所围成的闭区域. 2）由曲面222y x z +=及22x z -=所围成的闭区域.12、设有一物体，占有空间闭区域(){}10,10,10,,≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ，在点()z y x ,, 处的密度为()z y x z y x ++=,,ρ，计算该物体的质量. 13、计算Ωdxdydz z xy 32，其中Ω是由曲面xy z =，与平面1,==x x y 和0=z 所围成的闭区域. 14、计算Ωxyzdxdydz ，其中Ω为球面1222=++z y x 及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域. 15、算Ωzdxdydz ，其中Ω是由锥面22y x Rhz +=与平面()0,0>>=h R h z 所围成的闭区域.16、利用柱面坐标计算三重积分Ωzdv ，其中Ω是由曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的闭区域.17、利用球面坐标计算三重积分()Ω++dv z y x222，其中Ω是由球面1222=++z y x 所围成的闭区域.18、选用适当的坐标计算下列三重积分 1）Ωxydv ，其中Ω为柱面122=+y x 及平面1=z ，0=z 0=x ，0=y 所围成的在第一卦限内的闭区域. 2）Ωdxdydz z2，其中Ω是两个球2222R z y x ≤++和)0(2222>≤++R Rz z y x 的公共部分. 3）()Ω+dv y x22，其中Ω是由曲面()222254y x z +=及平面5=z 所围成的闭区域.4）()Ω+dv y x22，其中闭区域Ω由不等式A z y x a ≤++≤<2220，0≥z 所确定. 19、利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积 1）226y x z --=及22y x z +=.2）()02222>=++a az z y x 及222z y x =+(含有z 轴的部分).20、球心在原点、半径为R 的球体，在其上任意一点的密度大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的的质量.21、求球面2222a z y x =++含在圆柱面ax y x =+22内部的那部分面积. 22、求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面面积23、求由抛物线2x y =及直线1=y 所围成的均匀薄片（面密度为常数μ）对于直线1-=y 的转动惯量.24、设薄片所占的闭区域D 如下，求均匀薄片的质心D 是半椭圆形闭区域()?≥≤+0,1,2222y b y a x y x .25、设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线2x y =及直线x y =所围成，它在点()y x ,处的面密度()y x y x 2,=μ，求该薄片的质心.25、利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心（设密度1=ρ）1）222y x z +=，1=z2）222y x A z --=，222y x a z --=()0>>a A ,0=z26、求半径为a 高为h 的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量（设密度1=ρ）B1、根据二重积分的性质，比较下列积分的大小 1）()σd y x D+2与()σd y x D+3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成. 2）()σd y x D+ln 与()[]σd y x D+2ln ，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为()0,1，()1,1，()0,2 .2、计算下列二重积分1）??+σd eyx ，其中(){}1,≤+=y x y x D2）()-+Dd x y xσ22，其中D 是由直线2=y ，x y =及x y 2=所围成的闭区域3），()σd y x yD+-+9632，其中(){}222,R y x y x D ≤+=3、化二重积分()σd y x f I D=,为而次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D 是1）由x 轴及半圆周222r y x =+()0≥y 所围成的闭区域2）环形闭区域(){}41,22≤+≤y x y x4、求由曲面222y x z +=及2226y x z --=所围成的立体的体积5、计算()Ω+++31z y x dxdydz，其中Ω为平面0=x ，0=y ，0=z ，1=++z y x 所围成的四面体6、计算下列三重积分 1)dxdydz zΩ2，其中Ω是两个球：2222R z y x ≤++和Rz z y x 2222≤++()0>R 的公共部分.2)()dv z y x z y x z Ω++++++11ln 222222，其中Ω是由球面1222=++z y x 所围成的闭区域. 3)()d v z yΩ+22，其中Ω是由xoy 平面上曲线x y 22=绕x 轴旋转而成的曲面与平面5=x 所围成的闭区域.7、设球体占有闭区域(){}Rz z y x z y x 2,,222≤++=Ω，它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球体的球心.8、一均匀物体（密度ρ为常量）占有的闭区域Ω由曲面22y x z +=和平面0=z ，,a x =a y =所围成1）求物体的体积; 2）求物体的质心; 3）求物体关于z 轴的转动 1、利用二重积分的性质，估计积分()??++=Dd y x I σ10，其中D 是由圆周422=+y x所围成.2、用二重积分计算立体Ω的体积V ，其中Ω由平面0=z ，x y =，a x y +=，a y 2=和y x z 23+=所围成()0>a .3、计算二重积分Dydxdy ，其中D 是由直线2-=x ，0=y 以及曲线22y y x --=所围成的平面区域.4、设()y x f ,在积分域上连续，更换二次积分()?---=yy dx y x f dy I 31112,的积分次序.5、计算二重积分dxdy x y I D-=2，其中积分区域D 是由20≤≤y 和1≤x 确定.6、求二重积分()dxdy xe y D y x++22211的值，其中D 是由直线x y =，1-=y 及1=x 围成的平面区域. 7、计算Ωdv z 2,其中Ω由曲面2222R z y x =++及()2222R r z y x =-++围成. 8、计算dxdydz z xy I Ω=32，其中Ω是由曲面xy z =与平面1=y 及0=z 所围成的闭区域.9、设有一半径为R 的球体，0P 是此球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P 的距离的平方成正比（比例常数0>k ），求球体的重心的位置. 10、设有一高度为()t h （t 为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程()()()t h y x z t h z 22+-= （设长度单位为cm ，时间单位为h ），已知体积减少的速率与侧面积成正比例（比例系数9.0），问高度为130（cm ）的雪堆全部融化需多少时间？第九章重积分答案习题答案（A ）1、填空题 1）①()()?-+2120122,,x x dy y x f dx dy y x f dx ②()dy y x f dx xx ?24, ③()dy y x f dy x11, ④()dy y x f dx x ?--21011,⑤()??e e ydx y x f dy ,10⑥()??-+-244202,x x dy y x f dx2）()4121--e3)20≤≤I 4)()()+≥+D Dd y x d y x σσ32 5)2-π 6)---yx x xdz dy dx 21021017)()2224020sin dr r r f d d ??θππ2、1）443a π 2）()[]21ln 2613++a3、1）()14-e π2）()12ln 24-π 3）2643π 4、1）49 2）2sin 22cos 1sin 1cos 2 3--++3）-34313πR 4）()3332a b -π5、5401π 6、k R arctan 313 7、34 8、27 9、617 10、4323a π 11、1）()dz z y x f dy dx xy x-01010,, 2）()??-+----22222221111,,x y x x x dz z y x f dy dx12、23 13、3641 14、481 15、224R h π 16、π127 17、π54 18、1）81 2）548059R π 3）π8 4）()55154a A -π 19、1）π3322）3a π 20、3R k π 21、()222-πa 22、π2 23、μ105368=I 24、π34,0by x == 25、4835=x ，5435=y 26、??? ?43,0,0 27、M a 221（ρπh a M 2=为圆柱体的质量）（B ）1、 1）()()+≤+DDd y x d y x σσ32 2）()()+≤+DDd y x d y x σσln ln 22、1）1--e e 2) 613 3) 2494R R ππ+ 3、1）()?--=220,x r rr dy y x f dx I ，()??---=2222,0y r y r rdx y x f dy I2）()()()?-------------++=222222141141114412,,,x x x x x x dy y x f dx dy y x f dx dy y x f dx I ()?---+224421,x x dy y x f dx()()()??-----------++=222222144111114421,,,y y y y y y dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy I ()?-----+224412,y y dx y x f dy4、π65、-852ln 21 ； 6、1）548059R π 2）0 3）π3250 ； 7、??? ??R 45,0,0 8、1）438a 2）??2157,0,0a 3）645112a ρ （C ）1、解：令()10,++=y x y x f ，关键是求()y x f ,在D 上的最大值和最小值，在D 内部，1=x f ，1=y f ，因此()y x f ,在D 内部无驻点，最值点一定在边界上取得，作 ()()410,22-++++=y x y x y x F λ由方程组=-+='=+='=+='0402102122y x F y F x F y x λλλ解得驻点为()2,2，()2,2-，比较可得最小值2210-=m ，最大值为2210+=M ，而D 的面积为π4，由估值定理得()()258258+≤≤-ππI 。

重积分_期末复习题_高等数学下册_(上海电机学院)

第九章重积分一、选择题1.I=222222(),:1x y z dv x y z Ω++Ω++=⎰⎰⎰球面内部，则I= [ C ]A. ⎰⎰⎰ΩΩ=dv 的体积 B.⎰⎰⎰142020sin dr r d d θϕθππ C. ⎰⎰⎰104020sin dr r d d ϕϕθππ D. ⎰⎰⎰14020sin dr r d d θϕθππ 2. Ω是x=0, y=0, z=0, x+2y+z=1所围闭区域，则⎰⎰⎰Ω=xdxdydz [ B ]A. ⎰⎰⎰---y x x dz x dy dx 21021010B. ⎰⎰⎰---yx x dz x dy dx 21021010 C. ⎰⎰⎰-1210210dz x dx dy y D. ⎰⎰⎰---y x y dz x dx dy 21021010 3. 设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =所围闭区域，1D 是D 位于第一象限的部分，则[B ]（A ）()()1cos d d 2d d DD xy x xy x y xy x y +=⎰⎰⎰⎰（B ）()()()1cos d d 2cos d d DD xy x xy x y x xy x y +=⎰⎰⎰⎰（C ）()()1cos d d 2(cos())d d DD xy x xy x y xy x xy x y +=+⎰⎰⎰⎰（D ）()()cos d d 0Dxy x xy x y +=⎰⎰4. Ω:1222≤++z y x ，则⎰⎰⎰Ω=++++++dxdydz z y x z y x z 1)1ln(222222 [ C ]A. 1B. πC. 0D. 34π 5．222{(,),0}D x y x y a y =+≤≥，其中0a >，则Dxy d σ=⎰⎰DA.220sin cos a d r dr πθθθ⎰⎰ B. 300sin cos ad r dr πθθθ⎰⎰C. 3(sin cos )ad r dr πθθθ-⎰⎰ D. 3200sin cos a d r dr πθθθ⎰⎰-302sin cos ad r dr ππθθθ⎰⎰6．设,010,()()0,a x a f x g x ≤≤⎧>==⎨⎩其余，D 为全平面，则()()D f x g y x dxdy -=⎰⎰ CA.aB. 212a C. 2a D.+∞7．积分cos 20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可写为 DA. 100(,)dy f x y dx ⎰B. 100(,)dy f x y dx ⎰ B. 11(,)dx f x y dy ⎰⎰D. 10(,)dx f x y dy ⎰8.交换二次积分22(,)x dx f x y dy ⎰⎰的积分顺序为（ A ）.(A) 420(,)dy f x y dx ⎰(B) 400(,)dy f x y dx ⎰(C) 242(,)xdy f x y dx ⎰⎰(D) 42(,)dy f x y dx ⎰9.设平面区域D 由140,0,,1x y x y x y ==+=+=围成，若31[ln()],DI x y dxdy =+⎰⎰32(),DI x y dxdy =+⎰⎰ 33[sin()],DI x y dxdy =+⎰⎰ 则123,,I I I 的大小顺序为（ C ）.(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 132I I I << (D) 312I I I << 10．221x y ≤+≤⎰⎰的值（ B ）.(A) 大于零 (B) 小于零 (C) 0 (D) 不能确定 11．设积分区域D 由||,||(0)x a y a a ==>围成，则Dxydxdy =⎰⎰（ C ）.(A)1 (B) 14 (C) 0 (D) A, B, C 都不对12．221x y ≤+≤⎰⎰的值（ B ）.(A) 大于零 (B) 小于零 (C) 0 (D) 不能确定 13.把二次积分2210x y dx dy +⎰化为极坐标形式的二次积分（B ）.(A) 221r d re dr πθ⎰⎰ (B) 2221r d re dr ππθ-⎰⎰(C) 22210r d e dr ππθ-⎰⎰ (D) 22100r d e dr πθ⎰⎰14. 设积分区域D 是由直线y=x,y=0,x=1围成，则有⎰⎰=Ddxdy （ A ）（A ）⎰⎰x dydx 01（B ）⎰⎰ydxdy 01（C ）⎰⎰01xdydx （D ）⎰⎰yxdxdy 115. 设D 由1,2,===y x y x y 围成，则⎰⎰=D dxdy （ B ）（A ）21 （B ）41 （C ）1 （D ）2316．根据二重积分的几何意义，下列不等式中正确的是( B )；(A) D x D,0d )1(⎰⎰>-σ：x ≤1，y ≤1；(B) D x D,0d )1(⎰⎰>+σ：x ≤1，y ≤1；(C) D y x D,0d )(22⎰⎰>--σ：22y x +≤1；(D) D y x D,0d )ln(22⎰⎰>-σ：x +y ≤117．=+⎰⎰y x y x Dd d 22( C )，其中D ：1≤22y x +≤4；(A) 2π421d d r r θ⎰⎰； (B) 2π41d d r r θ⎰⎰；(C) 2π221d d r r θ⎰⎰； (D) 2π201d d r r θ⎰⎰18. 二重积分⎰⎰=≤≤≤≤1010y x xydxdy （ C ）（A ）1 （B ）21 （C ）41（D ）2 19. dxdy y x y x ⎰⎰≤++132222的值等于（ A ）A. π43；B. π76；C. π56；D. π2320. 二重积分⎰⎰=≤≤≤≤1010y x xydxdy （ C ）（A ）1 （B ）21 （C ）41（D ）221. 设D 是区域(){}()π8 ,|,22222=⎰⎰+≤+dxdy y x a y xy x D 又有，则a=（ B ）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）822. 若D 是平面区域(){}e y x y x ≤≤≤≤1 ,10|,，则二重积分=⎰⎰dxdy y xD （ B ）（A ）2e （B ）21（C ）e （D ）123. 设D 由1,2,===y x y x y 围成，则⎰⎰=Ddxdy （ B ）（A ）21 （B ）41 （C ）1 （D ）23二、填空题 1．变换积分次序(,)f x y dx =1(,)(,)f x y dy f x y dy +2．比较大小：其中D 是以(0,0),(1,1),(1,1)-为顶点的三角形 22()Dx y dxdy -⎰⎰< D3．变换积分次序 2142(,)ydy f x y dx -=⎰⎰1411(,)(,)dx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰⎰4．交换二次积分的积分次序()2211,x dx f x y dy ⎰⎰=()421,dy f x y dx ⎰5. 交换 dx e dy yx ⎰⎰1012的积分次序后的积分式为210xx dx dy e ⎰⎰，其积分值为()112e - 6、交换二次积分的积分次序后，)(1010y x ，f dx x⎰⎰-dy=⎰⎰-1010),(ydx y x f dy7、交换二次积分的次序⎰⎰-=ax ax xdy y x f dx 022),(0(,)a ya dy f x y dx ⎰⎰三、计算与证明1. 计算⎰⎰Ddxdy xy 2, 其中D 是抛物线2y =2x 与直线x=21所围闭区域解：⎰⎰Ddxdy xy 2=⎰⎰--11212122y dx xy dy=⎰--1162)8181(dy y y=2112. 计算I=⎰⎰+Ddxdy y x 22sin , D={(x, y)22224ππ≤+≤y x }解：令x=rcos θ, y=rsin θ则I=⎰⎰πππθ220sin rdr r d=26π-3. 设G(x)在10≤≤x 上有连续的)(''x G , 求I=dxdy y x xyG D⎰⎰+)(22'', 其中D 为122≤+y x 的第一象限部分解：在极坐标下计算积分，D={(r,θ)20,10πθ≤≤≤≤r }I=θθθ⎰⎰Drdrd r G r )(cos sin 2''2=⎰⎰202''13)(cos sin πθθθdr r G r d=dr r G r )(212''103⎰ =du u G u )(41''1⎰ =)]1(0)1([41'G G G -+）（ 4.xy dxdy Ω⎰⎰,其中Ω是以a 为半径，坐标原点为圆心的圆。

上海电机学院高等数学考试及答案

上海电机学院高等数学考试及答案一、选择题（10分）1在yoz 坐标面上，求与三个点A(3,1,2),B(4,-2,-2),C(0,5,-1)等距离的点的坐标（）（若C 为（0，5，1）就选B ） A(0,1,-1) B(0,1,-2) C(1,0,-2) D(1,-2,0)2.直线341222--=+=-z y x 与平面x+y+z=4的关系是（ A ）A 直线在平面上B 平行C 垂直D 三者都不是 3.考虑二元函数f （x,y ）的下面四条性质（1）f(x,y)在点（x 0，y 0）连续（2）f x （x,y ）、f y (x,y)在点（x 0,y 0）连续. （3）f(x,y)在点（x 0,y 0）可微分（4）f x (x 0,y 0)、f y (x 0,y 0)存在若用“P →Q ”表示可由性质P 推出性质Q ，则下列四个选项中正确的是（ A ）A （2）→（3）→（1）B （3）→（2）→（1）C （3）→（4）→（1）D （3）→（1）→（4） 4.设f （x,y ）在点（x 0,y 0）处存在偏导，则limℎ→0f (x 0+2ℎ,y 0)−f(x 0−ℎ,y 0)ℎ=( D )A.0B.f x (x 0,y 0)C.2f x (x 0,y 0)D.3f x (x 0,y 0)二、填空题（40分）1.两平行平面2x-3y+4z+9=0与2x-3y+4z-15=0的距离是＿√29＿＿。

2.求过点P(2,1,3)且与直线l:X+13=y−12=z−1垂直相交的直线方程＿＿x−22=y−1−1=z−34＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

3.xoz平面上曲线z=e x(x>0)绕x轴旋转所得旋转曲面方程为＿＿＿+−√y2+z2=e x＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

4球面z=√4−x2−y2与锥面z=√3(x2+y2)的交线在xoy面上的投影曲面方程为＿＿{x2+y2=1z=0＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

5.设u=f（x,xy,xyz）,f可微，则∂u∂x=＿＿f'1+yf'2+yzf'3＿＿＿＿＿6.求z=√xy 的全微分dz=＿＿12√xydx−√xy2y2dy＿＿＿＿＿＿＿＿。

(完整版)曲线积分与曲面积分期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

第十章曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数，且(0)0f =，则()f x = BA.1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1()2x x e e -+ D.0 2．闭曲线C 为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ C A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C 为2241x y +=的正向，则224Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ D A.2π- B. 2π C.0 D. π 4．∑为YOZ 平面上221y z +≤，则222()xy z ds ∑++=⎰⎰ DA.0B. πC.14π D. 12π 5．设222:C x y a +=，则22()Cx y ds +=⎰Ñ CA.22a πB. 2a πC. 32a πD. 34a π 6. 设∑为球面2221x y z ++=，则曲面积分∑[ B ]A.4πB.2πC.πD.12π7. 设L 是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分⎰=Lyds [ C ]A. 21B. 21- C. 22 D. 22-8. 设I=⎰Lds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则I=[D ]A.655 B.1255 C.6155- D. 12155- 9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ D ） A.⎰-l ydy xdx 21； B. ⎰-l xdx ydy 21；C.⎰-l xdy ydx 21； D. ⎰-lydx xdy 21。

10．设2222:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中部分，则有 CA.14SS xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.14SS yds yds =⎰⎰⎰⎰C.14SS zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.14SS xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰二、填空题1. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分⎰=+-L y dy x eydx )(2-22.S 为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(03.⎰=++-12222y x yx xdyydx =π2-4．曲线积分22()Cx y ds +⎰Ñ，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π 5．设∑为上半球面)0z z =≥，则曲面积分()222ds y x z ∑++⎰⎰= 32π6. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-⎰Ñ 2π .7. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds )yx (8. 设∑为上半球面z=，则曲面积分∑的值为 83π。

多元函数微分法和应用期末复习题高等数学(下册)(上海电机学院)

第八章偏导数与全微分一、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =∂∂=则=∂∂=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极大值B. 在点(-1, 3)处取极小值C. 在点(3, -1)处取极大值D. 在点(3, -1)处取极小值3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数=∂∂lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极大值B. 在点(1, 1)处取极小值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值C.在点(5, 2)处取极大值D. 在点(5, 2)处取极小值9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =-，则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12．为使二元函数(,)x yf x y x y+=-沿某一特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13．设函数(,)z f x y =满足222zy∂=∂，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15．为使二元函数222(,)xy f x y x y =+在全平面连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 BA.-1B.0C.1D. 16．已知函数22(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂ C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17．若()yf x=(0)x >，则()f x =BB. C.xD. 18．若xz y =，则在点 D 处有z z y x∂∂=∂∂ A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19．设2y z x =，则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ∂∂-=∂∂∂∂ B. 220z zx y y x ∂∂->∂∂∂∂ C.220z zx y y x∂∂-<∂∂∂∂ D.两者大小无法确定 20.函数0,0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，则极限00lim (,)x y f x y →→ （ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极大值 (B) 有极小值 (C) 不是驻点 (D) 无极值 22.二元函数z =在原点(0,0)处（ A ）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23．设()u f r =，而r =，()f r 具有二阶连续导数，则222222u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂（ B ）.(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 25．函数221z x y =--的极大值点是（ D ）.(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26．设(,)f x y =(2,1)x f '=（B ）. (A)14(B) 14- (C) 12(D) 12-27．极限24200lim x y x y x y →→+（ B ）.(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个一阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ∂∂=⋅+⋅∂∂ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yxy y d ln d 1+- (B)．y x x yx y y d d 1+-(C)．y x x x x yy d ln d + (D)．y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=∂∂===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）（A ）y x xy yx 3232ln 2+ （B ）y xxy y x 3232ln 2- （C ）y x xy y x 3232ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ）（A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1} （C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32．设22),(y x xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =⎪⎭⎫⎝⎛； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-33．设e cos xz y =，则=∂∂∂yx z2（ D ）； )A ( e sin xy ； )B ( e e sin xxy +；)C ( e cos xy -； )D ( e sin xy - 34．已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f ∂∂=∂∂+yf （ C ）；)A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．35. 设y xy x z 2232-+=，则=∂∂∂y x z（ B ）（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.36.设()=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛x zy x y x f z 00, ,,则（ B ）（A ）()()x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆00000,,lim（B ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆0000,,lim（C ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆00000,,lim（D ）()x y x x f x ∆∆+→∆000,lim37. 设由方程0=-xyz e z确定的隐函数()=∂∂=x z y x f z 则,,（ B ）（A ）z z+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -138. 二次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是（ D ）A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；B. –1 ≤ 22y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 22y x + ＜ 4。

多元函数微分法及其应用-期末复习题-高等数学下册-(上海电机学院)

多元函数微分法及其应用-期末复习题-高等数学下册-(上海电机学院)第八章偏导数与全微分一、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==xy y x u,2x xux y =∂∂=则=∂∂=2x y yu [A ]A.21-B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极大值B. 在点(-1, 3)处取极小值C. 在点(3, -1)处取极大值D. 在点(3, -1)处取极小值3.二元函数(),f x y 在点()0,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数=∂∂lu [ D ]A.635 B.635- C.335 D.335-5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极大值B. 在点(1, 1)处取极小值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值6.二元函数(),f x y 在点()0,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A.ycos 1ε+ B.y cos 11ε- C.ycos 1ε- D.ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值C.在点(5, 2)处取极大值D. 在点(5, 2)处取极小值9.二元函数(),f x y 在点()0,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ]A. 必要而非充分条件B. 充分而非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有 [ B ]A. 1 条B.2条C. 3条D.不存在11．设22(,)xy f x y y x =-，则(,)x yf y x= B A.42xy y x - B.2244x y y x - C.2244x y y x +- D.2244y x y x --12．为使二元函数(,)x yf x y x y+=-沿某一特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 BA. 4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23xy =13．设函数(,)z f x y =满足222zy ∂=∂，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B.2(1)2y x y +-+ C.2(1)2y x y +-- D.2(1)2y x y ++-14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = C A.344xy x y ++ B. 2xy x y++ C.364xy x y++ D.346xy x y ++15．为使二元函数222(,)xy f x y x y =+在全平面内连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 B A.-1 B.0 C.1D.16．已知函数22(,)f x y x y xy +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y ∂∂+=∂∂ CA.22x y -B.22x y+ C.x y+D.x y-17．若()y f x=(0)x >，则()f x =BA.B. C.D.18．若xz y =，则在点 D 处有z z y x∂∂=∂∂ A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D.(,)e e19．设2y z x =，则下列结论正确的是 AA.220z zx y y x∂∂-=∂∂∂∂ B.220z zx y y x∂∂->∂∂∂∂C.220z zx y y x∂∂-<∂∂∂∂ D.两者大小无法确定20.函数0,0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，则极限00lim (,)x y f x y →→（ C ）.(A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极大值 (B) 有极小值 (C) 不是驻点 (D) 无极值 22.二元函数z =在原点(0,0)处（ A ）.(A) 连续，但偏导不存在 (B)可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微 23．设()u f r =，而r =()f r 具有二阶连续导数，则222222u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂（ B ）.(A)1''()'()f r f r r+ (B)2''()'()f r f r r+(C)211''()'()f r f r r r+ (D)212''()'()f r f r r r+24．函数(,)z f x y =在点0(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）.(A) 必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 25．函数221z x y =--的极大值点是（ D ）.(A) (1,1) (B) (1,0)(C)(0,1)(D)(0,0)26．设(,)f x y =(2,1)xf '=（B ）.(A) 14(B) 14- (C) 12(D)12-27．极限24200lim x y x y x y →→+（ B ）.(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12(D) 存在且不等于0及1228．(,)z f x y =若在点0(,)P x y 处的两个一阶偏导数存在，则（B ）. (A)(,)f x y 在点0P 连续 (B)0(,)z f x y =在点0x 连续(C)00||P P z zdz dx dy x y ∂∂=⋅+⋅∂∂ (D) A,B,C 都不对29. 设函数yx z =，则z d =（ A ）． (A)．yx x x yxy y d ln d 1+- (B)．yx x yxy y d d 1+- (C)．yx x x x yy d ln d + (D)．yy x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=∂∂===yzxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）（A ）y xxy y x 3232ln 2+ （B ）y xxy y x 3232ln 2-（C ）yx xy y x 3232ln 2+- （D ）yx xy yx22ln 2+31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ）（A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1} （B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1}（C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1} （D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1} 32．设22),(y x xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =⎪⎭⎫⎝⎛；)B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C (),(),(y x f x y f =； )D (),(),(y x f y x f =-33．设ecos xz y=，则=∂∂∂yx z2（ D ）；)A (e sin x y；)B (e e sin x x y+；)C (e cos x y-；)D (e sin x y-34．已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f ∂∂=∂∂+yf（ C ）；)A (yx 22+；)B (yx -；)C (yx 22-)D (yx +．35. 设y xy x z 2232-+=，则=∂∂∂yx z（ B ）（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2. 36.设()=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛x zy x y x f z 00, ,,则（ B ）（A ）()()xy x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆00000,,lim（B ）()()xy x f y x x f x ∆-∆+→∆0000,,lim（C ）()()xy x f y x x f x ∆-∆+→∆00000,,lim（D ）()xy x x f x ∆∆+→∆000,lim37. 设由方程0=-xyz e z确定的隐函数()=∂∂=xz y x f z 则,,（ B ）（A ）zz +1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -138. 二次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是（ D ）A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；B. –1 ≤ 22y x+ ＜ 4；C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 22y x+ ＜ 4。

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第八章偏导数与全微分一、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =∂∂=则=∂∂=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极大值B. 在点(-1, 3)处取极小值C. 在点(3, -1)处取极大值D. 在点(3, -1)处取极小值3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数=∂∂lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极大值B. 在点(1, 1)处取极小值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值C.在点(5, 2)处取极大值D. 在点(5, 2)处取极小值9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =-，则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12．为使二元函数(,)x yf x y x y+=-沿某一特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13．设函数(,)z f x y =满足222zy∂=∂，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15．为使二元函数222(,)xy f x y x y=+在全平面连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 B A.-1 B.0 C.1 D. 16．已知函数22(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂ C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17．若()yf x=(0)x >，则()f x =BB. C.xD.18．若xz y =，则在点 D 处有z z y x∂∂=∂∂ A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19．设2y z x =，则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ∂∂-=∂∂∂∂ B. 220z zx y y x ∂∂->∂∂∂∂ C.220z zx y y x∂∂-<∂∂∂∂ D.两者大小无法确定 20.函数0,0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，则极限00lim (,)x y f x y →→ （ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极大值 (B) 有极小值 (C) 不是驻点 (D) 无极值 22.二元函数z =在原点(0,0)处（ A ）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23．设()u f r =，而r =()f r 具有二阶连续导数，则222222u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂（ B ）.(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 25．函数221z x y =--的极大值点是（ D ）.(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26．设(,)f x y =(2,1)x f '=（B ）.(A)14 (B) 14- (C) 12 (D) 12-27．极限24200lim x y x yx y →→+（ B ）.(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个一阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ∂∂=⋅+⋅∂∂ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yxy y d ln d 1+- (B)．y x x yx y y d d 1+-(C)．y x x x x yy d ln d + (D)．y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=∂∂===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）（A ）y x xy y x 3232ln 2+ （B ）y xxy y x 3232ln 2-（C ）y x xy y x 3232ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ）（A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1}（C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32．设22),(yx xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =⎪⎭⎫⎝⎛； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-33．设e cos xz y =，则=∂∂∂yx z2（ D ）；)A ( e sin x y ； )B ( e e sin x x y +；)C ( e cos xy -； )D ( e sin xy -34．已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f ∂∂=∂∂+yf （ C ）； )A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．35. 设y xy x z 2232-+=，则=∂∂∂y x z（ B ）（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.36.设()=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛x zy x y x f z 00, ,,则（ B ）（A ）()()x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆00000,,lim（B ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆0000,,lim（C ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆00000,,lim（D ）()x y x x f x ∆∆+→∆000,lim37. 设由方程0=-xyz e z确定的隐函数()=∂∂=x z y x f z 则,,（ B ）（A ）z z+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -138. 二次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是（ D ）A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；B. –1 ≤ 22y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 22y x + ＜ 4。

(完整版)无穷级数期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

第十一章无穷级数一、选择题1.在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A）∑∞=+1121n n(B)()()2311nnn∑∞=-(C)()∑--nn3111(D)()nnnn111--∑∞=2.()∑∞=-2!1nnnnx在-∞<x<+∞的和函数()=xf（A ）（A）e x2-(B) e x2(C) e x--2(D) e x2-3.下列级数中收敛的是（ B ）（A）∑+∞=11n nn(B)∑+∞=111n nn(C)()∑+∞=1121n n(D)()∑+∞=12111n n4.lim=∞→u nn是级数∑∞=1nnu收敛的（ B ）（A）充分条件(B) 必要条件(C) 充要条件(D) 无关条件5.级数∑∞=1nnu收敛的充分必要条件是（ C ）（A）lim=∞→u nn(B)1lim1<=+∞→ruunnn(C)s nn∞→lim存在（s n=u1+u2+…+u n）(D) nu n21≤6.下列级数中，发散的级数是（ B ）（A）∑∞=121n n(B)∑∞=11cosnn(C)()∑∞=131nn(D)()∑∞=-1132nn7.级数()()nx nnn51111-∑-∞=-的收敛区间是（ B ）（A）（0，2）(B)(]2,0 (C)[)2,0(D) [0，2]8.()+∞<<∞-∑∞=xnnnx1!的和函数是（ B ）（A）e x(B) 1-e x(C) 1+e x(D) x-119.下列级数中发散的是（ A ）（A）∑∞=12sinnnπ(B)()∑-∞=-1111nnn(C) ∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=143nn(D)∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=131n n10.幂级数()∑∞=-13nnx的收敛区间是（ B ）（A）()1,1-(B)()4,2(C) [)4,2(D)(]4,211.在下列级数中发散的是（ D ）（A）∑∞=123nn(B)()nnn1111∑∞=--(C) ∑∞=+1312n nn(D)∑∞=+13)1(1n nn12.幂级数()()xnnnn120!121+∞=∑+-的和函数是（ D ）（A）e x(B) xcos(C)()x+1ln(D) xsin13. 级数()()nx nn n 51111-∑-∞=-的收敛区间是（B ）（A ）（0，2） (B) (]2,0 (C) [)2,0 (D) [0，2]14. 在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A ）∑∞=+1121n n (B)()()2311nn n∑∞=-(C)()∑--n n 3111 (D)()n n n n111--∑∞=15. 下列级数中不收敛的是（ A ）．A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-11)1(n n n C ．∑∞=-1321)1(n n n D ．∑∞=-121)1(n nn16．在下列级数中发散的是（C ）（A ）∑∞=131n n（B ）Λ+++++321161814121 （C ）Λ+++3001.0001.0001.0（D ）()()()Λ+-+-53535353432 17．幂级数x n n nn ∑∞=++11)1ln(的收敛区间是（C ）（A ）[]1,1- (B)（-1，1）(C) [)1,1- (D) (]1,1-18．下列级数中条件收敛的是（ B ）A ．∑∞=--11)32()1(n n n B ．∑∞=--11)1(n n nC ．∑∞=--11)31()1(n nn D ．∑∞=-+-1212)1(n n n n19．幂级数∑∞=++11)21(n nn x 的收敛区间是（ C ） A ．)2123(,- B ．]2123[,- C ．)2123[,-D ．]2123(,-20.在下列级数中，条件收敛的是（ B ）（A ）()111+∑-∞=n n n n(B) ()n n n 111∑-∞= (C)()∑-∞=1211n nn (D)∑∞=11n n21.级数∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=+1152n n 的和Ｓ＝（ D ）（A ）23 (B) 35 (C) 52 (D) 3222. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=x, 若f(x)的傅立叶级数展开式为∑∞=++1)sin cos (2n n n nx b nx a a ，则=n a [D] A.1)1(2+-n n B.n n )1(2- C. 1)1(1+-n nD. 0 23. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=2x , 若f(x)的傅立叶级数展开式为∑∞=++1)sin cos (2n n n nx b nx a a ，则=n b [A] A. 0 B.n n)1(4- C. 1)1(2+-n n D. 1)1(4+-n n二、填空题 1．幂级数()∑∞=-02!1n nnn x的和函数是 e x 2-2.幂级数∑∞=02n nnx的收敛半径为21=R 。

曲线积分与曲面积分期末复习题高等数学下册 (上海电机学院)

重积分期末练习题及答案5-23

重积分期末练习题及答案一、选择题 1、交换积分0(,)(aydy f x y dx a ⎰⎰为常数）的次序后得（ B ）A 00(,)yadx f x y dy ⎰⎰ B0(,)aaxdx f x y dy ⎰⎰C(,)axdx f x y dy ⎰⎰ C(,)aydx f x y dy ⎰⎰2、设2222222()()x y z t F t f x y z dv ++≤=++⎰⎰⎰，其中 f 为连续函数，(0)f '存在，而(0)0,(0)1f f '==，则50()limt F t t →=（ B ）A πB 45πC 35πD 25π3、球面22224x y z a ++=与柱面222x y ax +=所围成立体体积（含在柱内部分）为（ C ）A2cos 2004a d πθθ⎰⎰ B2cos 208a d πθθ⎰⎰C2cos 204a d πθθ⎰⎰D2cos 202a d πθπθ-⎰⎰4、设D 是xy 平面上以点(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )Dxy x y d σ+⎰⎰=（ A ）A 12cos sin D x yd σ⎰⎰ B 12D xyd σ⎰⎰ C 1(cos sin )D xy x y d σ+⎰⎰ D 05、设2222222222sin()1arctan 0(,)02x y x y x y x y f x y x y π⎧++≠⎪⎪++=⎨⎪+=⎪⎩ ，区域22:(0)D x y εε+≤>，则01lim (,)Df x y d εσπε+→⎰⎰=（ A ）A2πB πC 0D ∞ 二、填空题 1、设(,,)I f x y z dxdydz Ω=⎰⎰⎰，积分区域:0z z y Ω≤≥≥所确定，则I 在柱面坐标系下的三次积分为120(cos ,sin ,)d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰2、设D 是由3,(0)y x y x x ==>所围成的平面区域，则sin Dxd x σ⎰⎰= 32(cos1sin1)-+ 3、二次积分222y xdx e dy -⎰⎰=41(1)2e -- 4、设D是由11,22x y -≤≤-≤≤围成的平面区域，则3(2)Dxy dxdy +⎰⎰= 05、设Ω是由球面2221x y z ++=所围成的闭区域，则222222ln(1)1z x y z dxdydz x y z Ω++++++⎰⎰⎰= 0 三、计算题 1、计算222:(0)Dxy dxdyD x y a a +≤>⎰⎰解：由对称性知224142()2aaDxy dxdy dx x a x dx a ==-=⎰⎰⎰⎰2、计算2421222xxxdx dy dx dy yyππ+⎰⎰解：由于sin2xdy yπ⎰的原函数不能用初等函数表示，因此要交换积分次序原式=22314(2)sinsin22y yDxxdxdy dy dx yyππππ+==⎰⎰⎰⎰3、计算D，其中D 为 221x y +≤的第一象限部分解：原式=220(2)48d t r πππθπ==-⎰⎰⎰ 4、22224:9Dx y dxdy D x y +-+≤⎰⎰解：12222222222322024(4)(4)41(4)(4)2DD D x y dxdy x y dxdy x y dxdyd r rdr d r rdr ππθθπ+-=-+++-=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5、设2222{(,)0,0},[1]D x y x y x y x y =+≤≥≥++表示不超过221x y ++的最大整数，计算二重积分22[1]Dxy x y dxdy ++⎰⎰解：22322132332001[1]sin cos [1]13sin cos [1]()28Dxy xy dxdy d r drd r dr r dr r dr ππθθθθθθ++=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰6、计算Ω，其中 Ω为2216,4,0x y y z z +=+==所围成的区域解：原式=244sin 05123r d rdr rdz πθπθ-=⎰⎰⎰7、计算.,)(22222的球体是其中R z y x dxdydz z y x ≤++Ω++⎰⎰⎰Ω8、（1）把下列二重积分化为定积分：.1:,)(≤++⎰⎰y x D dxdy y x f D（2）计算.2,2,21:,z xy z y zx y xyzxyzdxdydz ≤≤≤≤≤≤Ω⎰⎰⎰Ω其中 9 （2009-11）椭球面1S 是椭圆13422=+y x 绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是过点（4,0）且与椭圆13422=+y x 相切的直线绕x轴旋转而成，（1）求1S ,2S 的方程，（2）求1S ,2S 之间的立体体积.。

无穷级数期末复习题高等数学下册 (上海电机学院)

第十一章无穷级数一、选择题1.在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A）∑∞=+1121n n(B)()()2311nnn∑∞=-(C)()∑--nn3111(D)()nnnn111--∑∞=2.()∑∞=-2!1nnnnx在-∞<x<+∞的和函数()=xf（A ）（A）e x2-(B) e x2(C) e x--2(D) e x2-3.下列级数中收敛的是（ B ）（A）∑+∞=11n nn(B)∑+∞=111n nn(C)()∑+∞=1121n n(D)()∑+∞=12111n n4.lim=∞→u nn是级数∑∞=1nnu收敛的（ B ）（A）充分条件(B) 必要条件(C) 充要条件(D) 无关条件5.级数∑∞=1nnu收敛的充分必要条件是（ C ）（A）lim=∞→u nn(B)1lim1<=+∞→ruunnn(C)s nn∞→lim存在（s n=u1+u2+…+u n）(D) nu n21≤6.下列级数中，发散的级数是（ B ）（A）∑∞=121n n(B)∑∞=11cosnn(C)()∑∞=131nn(D)()∑∞=-1132nn7.级数()()nx nnn51111-∑-∞=-的收敛区间是（ B ）（A）（0，2）(B)(]2,0 (C)[)2,0(D) [0，2]8.()+∞<<∞-∑∞=xnnnx1!的和函数是（ B ）（A）e x(B) 1-e x(C) 1+e x(D) x-119.下列级数中发散的是（ A ）（A）∑∞=12sinnnπ(B)()∑-∞=-1111nnn(C) ∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=143nn(D)∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=131n n10.幂级数()∑∞=-13nnx的收敛区间是（ B ）（A）()1,1-(B)()4,2(C) [)4,2(D)(]4,211.在下列级数中发散的是（ D ）（A）∑∞=123nn(B)()nnn1111∑∞=--(C) ∑∞=+1312n nn(D)∑∞=+13)1(1nnn12.幂级数()()xnnnn120!121+∞=∑+-的和函数是（ D ）（A）e x(B) xcos(C)()x+1ln(D) xsin13. 级数()()nx nn n 51111-∑-∞=-的收敛区间是（B ）（A ）（0，2） (B) (]2,0 (C) [)2,0 (D) [0，2]14. 在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A ）∑∞=+1121n n (B)()()2311nn n∑∞=-(C)()∑--n n 3111 (D)()nn n n111--∑∞=15. 下列级数中不收敛的是（ A ）．A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-11)1(n nnC ．∑∞=-1321)1(n n nD ．∑∞=-121)1(n nn16．在下列级数中发散的是（C ）（A ）∑∞=131n n（B ）+++++321161814121（C ） +++3001.0001.0001.0（D ）()()()+-+-5353535343217．幂级数x n n nn ∑∞=++11)1ln(的收敛区间是（C ）（A ）[]1,1- (B)（-1，1）(C) [)1,1- (D) (]1,1-18．下列级数中条件收敛的是（ B ）A ．∑∞=--11)32()1(n nnB ．∑∞=--11)1(n n nC ．∑∞=--11)31()1(n nn D ．∑∞=-+-1212)1(n n nn19．幂级数∑∞=++11)21(n nnx 的收敛区间是（ C ）A ．)2123(,- B ．]2123[,- C ．)2123[,-D ．]2123(,-20.在下列级数中，条件收敛的是（ B ）（A ）()111+∑-∞=n nn n(B)()n n n111∑-∞=(C)()∑-∞=1211n nn (D)∑∞=11n n21.级数∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∞=+1152n n 的和Ｓ＝（ D ）（A ）23(B) 35(C) 52(D) 3222. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=x, 若f(x)的傅立叶级数展开式为∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa ，则=n a [D]A. 1)1(2+-n nB.nn)1(2- C.1)1(1+-n nD. 023. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=2x , 若f(x)的傅立叶级数展开式为∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa ，则=nb [A]A. 0B.nn)1(4- C.1)1(2+-n nD. 1)1(4+-n n二、填空题1．幂级数()∑∞=-02!1n nnn x 的和函数是 e x 2-2.幂级数∑∞=02n nnx的收敛半径为21=R 。

上海电力学院电机学期末考试题库

上海电力学院电机学期末考试题库直流電機庫一、选择１直流并励电动机的输出功率等于：⑴ＵN*ＩN*ηN; ⑵ＵN(ＩN-Ｉf)；⑶ＵN*ＩN。

２直流发电机电枢导体中的电流是：⑴直流电；⑵交流电；⑶脉动的直流。

３要改变并励直流电动机的转向，可以：⑴增大励磁；⑵改变电源极性；⑶改接励磁绕组。

４一台直流它励发电机，６极，单迭绕组，额定电流为１５０安，电枢绕组的支路电流为：⑴１２．５安；⑵２５安；⑶５０安。

５直流发电机的电磁转矩与转速的方向：⑴相同；⑵相反；⑶无关。

６一台并励直流发电机正常运行后停机，现将原动机反转，希望能正常工作，应该：⑴将并励绕组反接；⑵将电枢绕组反接；⑶将并励绕组和电枢绕组同时反接。

７一台并励直流发电机，在５００转／分时建立空载电压１２０伏，若把转速提高到１０００转／分，则该电机空载电压：⑴等于２４０伏；⑵大于２４０伏；⑶大于１２０伏，但小于２４０伏；⑷无法判断。

８一台直流并励电动机，拖动一不随转速而变化的恒定负载运行，原来输出功率为额定值，当电枢回路中串入一电阻Ｒ使电机转速下降，不计电枢反应作用，则在新的稳定运行状态下，电枢电流：⑴小于额定值；⑵等于额定值；⑶大于额定值；⑷不能确定。

９直流它励电动机空载运行时，若不慎将励磁回路断开，电机转速将：⑴增至不允许的值，即“飞车”；⑵升至新的值稳定运行；⑶减速直至停止。

１０一台并励直流发电机希望改变它电枢两端的正负极性，采用的方法是：⑴改变原动机的转向；⑵改变励磁绕组的接法；⑶既改变原动机的转向又改变励磁绕组的接法。

１１一台空载电压为１００伏的并励直流发电机，空载励磁电流为１．０安，若励磁电流增加到２．０安，此时电枢电压：⑴大于１００伏但小于２００伏；⑵等于２００伏；⑶大于２００伏。

１２一台直流电动机在额定电压下空载起动，和在额定电压下半载起动，两种情况下的合闸瞬时起动电流：⑴前者小于后者；⑵两者相等；⑶后者小于前者１３一台额定电压为２２０伏的直流串励电动机，误接在交流２２０伏的电源上，此时电动机将产生：⑴方向交变的电磁转矩；⑵方向恒定的电磁转矩；⑶不产生电磁转矩。

第九章重积分习题与答案

第九章重积分A1、填空题1）交换下列二次积分的积分次序（1）()=⎰⎰-dx y x f dy y y 102,______________________________________________ （2）()=⎰⎰dx y x f dy y y 2022,______________________________________________ （3）()=⎰⎰dx y x f dy y 100,_______________________________________________ （4）()=⎰⎰---dx y x f dy y y 101122,___________________________________________ （5）()=⎰⎰dy y x f dx ex 1ln 0,______________________________________________ （6）()()=⎰⎰---dx y x f dy y y 404214,________________________________________ 2）积分dy e dx xy ⎰⎰-2022的值等于__________________________________ 3)设(){}10,10,≤≤≤≤=y x y x D ，试利用二重积分的性质估计()σd y x xy I D⎰⎰+=的值则。

4)设区域D 是有x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成，根据二重积分的性质，试比较积分 ()σd y x I D 2⎰⎰+=与()σd y x I D 3⎰⎰+=的大小________________________________5）设()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,20,ππy x y x D ，则积分()dxdy y x I D⎰⎰+-=2sin 1 ___________________________________________6)已知Ω是由12,0,0,0=++===z y x z y x 所围，按先z 后y 再x 的积分次序将 ⎰⎰⎰Ω=xdxdydz I 化为累次积分，则__________________________=I7）设Ω是由球面222y x z --=与锥面22y x z +=的围面，则三重积分dxdydz z y x f I ⎰⎰⎰Ω++=)(222在球面坐标系下的三次积分表达式为2、把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值1）⎰⎰-+a x ax dy y x dx 2020222)(2）⎰⎰+ax dy y x dx 00223、利用极坐标计算下列各题1）⎰⎰+D y x d e σ22，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.2）⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.3）⎰⎰D d xy σarctan，其中D 是由圆周1,42222=+=+y x y x 及直线x y y ==,0所围成的在第一象限的闭区域.4、选用适当的坐标计算下列各题 1)⎰⎰D d yx σ22,其中D 是直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成的闭区域.2）⎰⎰+D yd x σsin )1(，其中D 是顶点分别为)2,1(),0,1(),0,0(和)1,0(的梯形闭区域.3）⎰⎰--D d y x R σ222，其中D 是圆周Rx y x =+22所围成的闭区域.4）⎰⎰+D d y x σ22，其中D 是圆环形闭区域{}2222),(b y x a y x ≤+≤.5、设平面薄片所占的闭区域D 由螺线θρ2=上一段弧⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤20πθ与直线2πθ=所围成，它的面密度为()22,y x y x +=μ，求这薄片的质量（图9-5）.6、求平面0=y ，()0>=k kx y ，0=z ，以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积（图9-6）.7、设平面薄片所占的闭区域D 由直线2=+y x ，x y =和x 轴所围成，它的面密度 ()22,y x y x +=μ，求该薄片的质量.8、计算由四个平面0=x ，0=y ，1=x ，1=y 所围成的柱体被平面0=z 及 632=++z y x 截得的立体的体积.9、求由平面0=x ，0=y ，1=+y x 所围成的柱体被平面0=z 及抛物面z y x -=+622 截得的立体的体积.10、计算以xoy 面上的圆周ax y x =+22围成的闭区域为底，而以曲面22y x z +=为顶的曲顶柱体的体积.11、化三重积分()⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ,,为三次积分，其中积分区域Ω分别是1）由双曲抛物面z xy =及平面0,01==-+z y x 所围成的闭区域.2）由曲面222y x z +=及22x z -=所围成的闭区域.12、设有一物体，占有空间闭区域(){}10,10,10,,≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ，在点()z y x ,, 处的密度为()z y x z y x ++=,,ρ，计算该物体的质量.13、计算⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32，其中Ω是由曲面xy z =，与平面1,==x x y 和0=z 所围成的闭区域.14、计算⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz ，其中Ω为球面1222=++z y x及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.15、算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω是由锥面22y x Rh z +=与平面()0,0>>=h R h z 所围成的闭区域.16、利用柱面坐标计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω是由曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的闭区域.17、利用球面坐标计算三重积分()⎰⎰⎰Ω++dv z y x 222，其中Ω是由球面1222=++z y x 所围成的闭区域.18、选用适当的坐标计算下列三重积分1）⎰⎰⎰Ωxydv ，其中Ω为柱面122=+y x 及平面1=z ，0=z 0=x ，0=y 所围成的在第一卦限内的闭区域.2）⎰⎰⎰Ωdxdydz z 2，其中Ω是两个球2222R z y x ≤++和)0(2222>≤++R Rz z y x 的公共部分.3）()⎰⎰⎰Ω+dv y x 22，其中Ω是由曲面()222254y x z +=及平面5=z 所围成的闭区域.4）()⎰⎰⎰Ω+dv y x22，其中闭区域Ω由不等式A z y x a ≤++≤<2220，0≥z 所确定.19、利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积1）226y x z --=及22y x z +=.2）()02222>=++a az z y x 及222z y x =+(含有z 轴的部分).20、球心在原点、半径为R 的球体，在其上任意一点的密度大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的的质量.21、求球面2222a z y x =++含在圆柱面ax y x =+22内部的那部分面积.22、求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面面积.23、求由抛物线2x y =及直线1=y 所围成的均匀薄片（面密度为常数μ）对于直线1-=y 的转动惯量.24、设薄片所占的闭区域D 如下，求均匀薄片的质心 D 是半椭圆形闭区域()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≤+0,1,2222y b y a x y x .25、设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线2x y =及直线x y =所围成，它在点()y x ,处的面密度()y x y x 2,=μ，求该薄片的质心.25、利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心（设密度1=ρ）1）222y x z +=，1=z2）222y x A z --=，222y x a z --=()0>>a A ,0=z26、求半径为a 高为h 的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量（设密度1=ρ）.B1、根据二重积分的性质，比较下列积分的大小1）()σd y x D ⎰⎰+2与()σd y x D⎰⎰+3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成.2）()σd y x D ⎰⎰+ln 与()[]σd y x D⎰⎰+2ln ，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为()0,1， ()1,1，()0,2 .2、计算下列二重积分1）⎰⎰+σd e y x ，其中(){}1,≤+=y x y x D2）()⎰⎰-+D d x y x σ22，其中D 是由直线2=y ，x y =及x y 2=所围成的闭区域3），()σd y x y D ⎰⎰+-+9632，其中(){}222,R y x y x D ≤+=3、化二重积分()σd y x f I D⎰⎰=,为而次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D 是 1）由x 轴及半圆周222ry x =+()0≥y 所围成的闭区域2）环形闭区域(){}41,22≤+≤y x y x4、求由曲面222y x z +=及2226y x z --=所围成的立体的体积.5、计算()⎰⎰⎰Ω+++31z y x dxdydz ，其中Ω为平面0=x ，0=y ，0=z ，1=++z y x 所围成的四面体.6、计算下列三重积分1)dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2，其中Ω是两个球：2222R z y x ≤++和Rz z y x 2222≤++()0>R 的公共部分.2)()dv z y x z y x z ⎰⎰⎰Ω++++++11ln 222222，其中Ω是由球面1222=++z y x 所围成的闭区域.3)()d v z y⎰⎰⎰Ω+22，其中Ω是由xoy 平面上曲线x y 22=绕x 轴旋转而成的曲面与平面5=x 所围成的闭区域.7、设球体占有闭区域(){}Rz z y x z y x 2,,222≤++=Ω，它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球体的球心.8、一均匀物体（密度ρ为常量）占有的闭区域Ω由曲面22y x z +=和平面0=z ，,a x = a y =所围成1）求物体的体积;2）求物体的质心;3）求物体关于z 轴的转动.C1、利用二重积分的性质，估计积分()⎰⎰++=D d y x I σ10，其中D 是由圆周422=+y x 所围成.2、用二重积分计算立体Ω的体积V ，其中Ω由平面0=z ，x y =，a x y +=，a y 2=和y x z 23+=所围成()0>a .3、计算二重积分⎰⎰Dydxdy ，其中D 是由直线2-=x ，0=y 以及曲线22y y x --=所围成的平面区域.4、设()y x f ,在积分域上连续，更换二次积分()⎰⎰---=y y dx y x f dy I 311102,的积分次序. 5、计算二重积分dxdy x y I D ⎰⎰-=2，其中积分区域D 是由20≤≤y 和1≤x 确定.6、求二重积分()dxdy xe y D y x ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22211的值，其中D 是由直线x y =，1-=y 及1=x 围成的平面区域.7、计算⎰⎰⎰Ωdv z 2,其中Ω由曲面2222R z y x =++及()2222R r z y x =-++围成. 8、计算dxdydz z xy I ⎰⎰⎰Ω=32，其中Ω是由曲面xy z =与平面1=y 及0=z 所围成的闭区域. 9、设有一半径为R 的球体，0P 是此球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P的距离的平方成正比（比例常数0>k ），求球体的重心的位置.10、设有一高度为()t h （t 为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程()()()t h y x z t h z 22+-= （设长度单位为cm ，时间单位为h ），已知体积减少的速率与侧面积成正比例（比例系数9.0），问高度为130（cm ）的雪堆全部融化需多少时间？。

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