人教版八年级数学上册第十二章全等三角形课时同步练习卷

11.1全等三角形

◆随堂检测

1.若两个三角形全等，猜想它们对应的高、中线、角平分线的关系是。

2.如图，△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，则AD的长是（）

A、7cm

B、5cm

C、8cm

D、6cm

3.如果?ABC≌?ADC，AB=AD，∠B=70°,BC=3cm,那么∠D=____,DC=__cm

4.如图，已知△ABE≌△ACD，∠B=∠C，∠ADE=∠AED，指出这两个三角形的其他相等的边或角.

◆典例分析

例:如图，若△OAD≌△OBC，且∠0=65°，∠BEA=135°，求∠C的度数．

分析：全等三角形的对应角相等，根据该性质可得∠OAD=∠OBC.借助四边形和三角形的内角和(或三角形的外角性质)可求得∠C的度数.

解：∵△OAD≌△OBC，

∴∠OAD=∠OBC，

∵∠0=65°，∠BEA=135°,∠O+∠OBE+∠OAE+∠BEA=360°，

∴∠OBE=∠OAE=(360°-65°-135°)÷2=80°，

∵∠BEA=135°,∴∠AEC=45°

∴∠C=80°-45°=35°.

提示:当已知两个三角形全等时,首先要考虑到全等三角形性质：全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等.

A '

B D

◆课下作业

●拓展提高

1.下列说法不正确的是（） A 、全等三角形的周长相等; B 、全等三角形的面积相等; C 、全等三角形能重合;

D 、全等三角形一定是等边三角形.

2.已知△DEF ≌△ABC ，AB=AC ，且△ABC 的周长是23cm ，BC=4cm ，则△DEF 的边长中必有一边等于（） A 、9.5cm

B 、9.5cm 或9cm

C 、9cm

D 、4cm 或9cm

3．△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为12，若AB=3，EF=4，则AC= ． 4．如图，△ABC ≌△ADE ，若∠BAE=120°，∠BAD=40°，求∠BAC 的度数.

5.如图，△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G ，∠D=25°，∠E=105°，∠DAC=16°，求∠DGB 的度数。

●感受中考

1．(2009年湖北省荆门市)如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则∠A ′DB=( ) (A)40°． (B)30°． (C)20°． (D)10°．

2．(2009年山东省日照市)如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于( )

（A ） 70°

（B ） 65° （C ） 50°

（D ） 25°

参考答案：随堂检测：

1、分别对应相等.解析：将全等三角形的三角形重叠起来就会发现全等三角形的一切对应线段都相等。

2、C.解析：利用全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等

3、70°，3.解析：利用全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等

4、全等三角形的对应角相对的边是对应边，对应边相对的角是对应角.根据△ABE≌△ACD，对应角除了∠B=∠C，∠ADE=∠AED 外，还有∠BAE=∠CAD，对应边应是AB=AC ，AE=AD ，BE=BD.(错解：AB=AD ，AE=AC ，BD=CE ，∠BAD=∠CAE ) 拓展提高：

1、D.解析:抓住全等三角形的性质

2、A.解析:由已知△DEF ≌△ABC ，AB=AC ，可知DE=DF,又△ABC 的周长是23cm ，BC=4cm ，可得EF=4cm,故DE=DF=9.5cm

3、 AC=5.解析:由△ABC ≌△DEF ，EF=BC,又△ABC 的周长为12，AB=3，EF=4，得BC=4,故

4、∵△ABC ≌△ADE ∴∠BAC=∠DAE

∴∠DAC+∠DAB=∠DAC+∠EAC ∴∠BAD=∠EAC=40°

C′

D ′

∵∠BAE=120°

∴∠DAC=40°

∴∠BAC=80°

5、在△ADE中,∵∠D=25°，∠E=105°

∴∠EAD=50°

∵△ABC≌△ADE

∴∠BAC=∠EAD=50°

∵∠DAC=16°

∴∠FAB=66°

∵∠BFA=∠DFG

∴∠DGB=∠FAB=66°

体验中考：

1、 D.解析:一定要抓住翻折后的三角形与原来的三角形全等,利用全等三角形性质、三角形内角和定理求解

2、 C .解析:一定要抓住翻折后的图形与原来的图形全等,利用全等形性质、平行线的性质求解

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11.2三角形全等的判定（SSS ）

◆随堂检测

1.已知线段a 、b 、c ，求作△ABC ，使BC =a ，AC =b ，AB =c ，下面作法的合理顺序为______． ①分别以B 、C 为圆心，c 、b 为半径作弧，两弧交于点A ； ②作直线BP ，在BP 上截取BC =a ； ③连结AB 、AC ，△ABC 为所求作三角形．

2．如图,是一个三角形测平架,已知AB ＝AC,在BC 的中点D 挂一个重锤,自然下垂．调整架身,使点A 恰好在重锤线上,AD 和BC 位置关系为＿＿＿＿＿＿．

3.如图，AC=AD ，BC=BD ，AB 是∠CAD 的平分线吗？

◆典例分析

例：工人师傅常用角尺平分任意角，做法如下：

如图：∠AOB 是一个任意角，在OA 、OB 上分别取OM=ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M 、N 重合，过角尺顶点P 的射线OP 便是∠AOB 的平分线。你知道这样做的理由吗？

解析：工人师傅在做法中创设“边边边”，构造全等三角形，得出对应角相等。 ∵OM=ON ，PM=PN ，OP=OP ， ∴△OMP ≌△ONP(SSS)，

∴∠AOP=∠BOP 即射线OP 便是∠AOB 的角平分线

◆课下作业

●拓展提高

1．如图，AC=DF，BC=EF，AD=BE，∠BAC=72°，∠F=32°，则∠ABC=

2．如图，已知AB=AC，BD=DC，那么下列结论中不正确的

是（）A．△ABD≌△ACD B．∠ADB=90°

C．∠BAD是∠B的一半D．AD平分∠BAC

3．如图，是一个风筝模型的框架，由DE=DF，EH=FH，就说明∠DEH=∠DFH。试用你所学的知识说明理由。

4．如图,已知线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,请说明∠A=∠C.

●感受中考

1.（2009年怀化）如图,AD=BC,AB=DC. 求证：∠A+∠D=180°

2.（2009年四川省宜宾市）已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD.

求证：∠C=∠A.

参考答案：

随堂检测：

1、②①③．解析：本题是利用SSS 画全等三角形的尺规作图步骤，“作直线BP ，在BP 上截取BC=a ”也可表达为“画线段BC=a ”

2、由全等可得 AD 垂直平分BC

3、公共边相等是两个三角形全等的一个条件．

由于AC=AD ，BC=BD ，AB=AB ，所以，△A BC ≌△ABD(SSS)，所以，∠CAB=∠DAB ，即AB 平分∠CAD. 拓展提高：

1、760

.解析：先证明全等，再利用全等三角形的对应角相等和三角形内角和定理答案：

2、C.解析：利用SSS 证明两个三角形全等

3、由于已知DE=DF ，EH=FH ，连结DH ，这是两三角形的公共边，于是，

在△DEH 和△DFH 中， DE DF

EH FH DH DH =??

=??=?

所以△DEH ≌△DFH （SSS ），所以∠DEH=∠DFH （全等三角形的对应角相等）。

4、根据条件OA=OC,EA=EC ，OA 、EA 和OC 、EC 恰好分别是△EAC 和△EBC 的两条边，故可以构造两个三角形，利用全等三角形解决解:连结OE

在△EAC 和△EBC 中

OA OC EA EC OE OE ??

???

＝＝＝（已知）

（已知）（公共边） ∴△EAC ≌△EBC （SSS ）

∴∠A ＝∠C （全等三角形的对应角相等）体验中考：

1、由条件可构造两个全等三角形证明：连结ＡＣ

∵AD=BC,AB=DC，ＡＣ＝ＣＡ

∴△ＡＢＣ≌△ＣＤＡ

∴∠ＢＡＣ=∠ACD

∴ＡＢ∥ＣＤ

∴∠Ａ＋∠Ｄ＝180°

2、证明：连接BD.

在△ABD和△CBD中，

∵AB=CB,AD=CD，BD=BD，

∴△ABD≌△CBD.

∴∠C=∠A.

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11.2三角形全等的判定（SAS ）

◆随堂检测

1.如图,OA 平分∠BOC ，并且OB=OC 请指出AB=AC 的理由．

2.如图,已知△ABC 中,AB=AC,D 、E 分别是AB 、AC 的中点，且CD=BE ，△ADC 与△AEB 全等吗？小明是这样分析的：因为AB=AC,BE=CD,∠BAE=∠CAD,所以△ADC≌△AEB（SSA ），他的思路正确吗？请说明理由.

3. 如图，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD ，请说明AC=BD 的理由．

4.如图为某市人民公园中的荷花池,现要测量此荷花池两旁A 、B 两棵树间的距离(我们不能直接量得).请你根据所学知识,以卷尺和测角仪为测量工具设计一种测量方案. 要求:(1)画出你设计的测量平面图；

(2)简述测量方法，并写出测量的数据(长度用,,,c b a … 表示；角度用,,,γβα…表示)；

(3)根据你测量的数据,计算A 、B 两棵树间的距离.

Ａ

? ?

Ｂ

◆典例分析

例：如图所示，铁路上A，B两站（视为线上两点）相距25km，C，D为铁路同旁的两个村庄（视为两点），DA⊥AB于A点，CB⊥AB于B点，DA=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？

解析：若C，D两村到E站的距离相等，则有DE=EC，又因为AD+BC=AE+EB=25km，由此想到收购站应建在距A点10km处，此时则有EB=15km，又

因DA⊥AB，CB⊥AB，则△DAE≌△EBC，根据全等三角形

的性质知DE=EC．这样通过构造全等三角形就找到了收

购站的地址．

◆课下作业

●拓展提高

1.如图，AC与BD交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需（）

A、AB=DC;

B、OB=OC;

C、∠A=∠D;

D、∠AOB=∠DOC

2.如图，AB平分∠CAD，E为AB上一点，若AC=AD，则下列结

论错误的是（）

A、BC=BD;

B、CE=DE;

C、BA平分∠CBD;

D、图中有两对全等三角形

3.如图，点B、E、C、F在同一直线上，AC=DF，BE=CF，只要

再找出边 =边，或∠ =∠，或∥ ,就可以证得△DEF≌△ABC.

A B

4．如图，AE=AF ，∠AEF=∠AFE ，BE=CF ，说明AB=AC 。

5.如图，A 、D 、

F 、B 在同一直线上，AD=BF,AE=BC, 且 AE ∥BC. 说明：（1）△AEF ≌△BCD ；(2) EF ∥CD.

●体验中考

1.（2009年湖南省娄底市）如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE . 求证：△ABE ≌△ACE

2.（2008年遵义市）如图，OA OB =，OC OD =，50O ∠=，35D ∠=，则AEC ∠等于（）

A．60B．50C．45D．30

参考答案:

1、 AB=AC.解析：因为OA平分∠BOC，所以，∠BOC=∠COA，又已知OB=OC，再由于OA是公共边，所以，△OA B≌△OA C(SAS)，所以AB=AC.

2、小明的思路错误.错解在把SSA作为三角形全等的识别方法,实际上，SSA不能作为三角形全等的识别条件.因为两边及一边对角相等的两个三角形不一定全等.

正解: △ADC≌△AEB.

因为AB=AC,D、E为AB、AC的中点，所以AD=AE.

在△ADC和△AEB中,

因为AB=AC,AD=AE,CD=BE,所以△ADC≌△AEB（SSS）

3、旋转模式型全等三角形常用SAS证明．

∵∠AOB=∠COD，

∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC

即∠AOC=∠BOD，

∵OA=OB，OC=OD，

∴△OA C ≌△O BD （SAS ） ∴AC=BD.

4、随着数学知识的增多，此题的测量方法也会很多，目前我们用全等知识可以解决，方案如图，步骤为：

（1）在地上找可以直接到达的一点O ，

（2）在OA 的延长线上取一点C ，使OC=OA ；在BO 的延长线上取一点D ，使OD=OB ；（3）测得DC=a ，则AB=a ．拓展提高：

1、B.解析：要注意挖掘题中隐含的“对顶角相等”的条件

2、D.解析:由已知条件和公共边AB 和AE 可证出△ACE ≌△ADE ，△ACB ≌△ADE ，进而再可证得△CEB ≌△DEB 故选D

3、AB=DE ；∠ACB=∠DFE ；AC ∥DF

由BE=CF 可得BC=EF ，当题中出现有两边相等时，证全等三角形应考虑SSS 或SAS 4、利用全等三角形证明线段或角相等的一般思路是：（1）观察线段或角在哪两个可能全等的三角形中；（2）分析欲证全等的两个三角形，已知什么条件，还缺什么条件；（3）设法证得所缺条件；本题只需找到夹等角的另一对边即可

∵BE=CF ，

∴BE+EF=CF+EF ，即BF=CE 。

在△ABF 和△ACE 中， AE AF

AEF AFE BF CE =??

∠=∠??=?

∴△ABF ≌△ACE （SAS ） ∴AB=AC 。

5、要说明△AEF ≌△BCD ，根据已知条件AE//BC ，可得到∠A=∠B ，根据已知条件AD=BF ，可得到AF=BD ，这时两个三角形满足“SAS ”. 解：（1）∵AE ∥BC ∴∠A=∠B. 又∵AD=BF

∴AF=AD+DF=BF+FD=BD ，

在△AEF和△BCD中，

∵AF=BD，∠A=∠B，AE=BC,∴△AEF≌△BCD.

(2)∵△AEF≌△BCD

∴∠EFA=∠CDB

∴EF∥CD.

提示：说明两个三角形全等，关键是根据已知条件结合图形，探究三角形全等所应具备的条件.

体验中考：

1、证明：∵AB=AC

点D为BC的中点

∴∠BAE=∠CAE

AE=AE

∴△ABE≌△ACE（SAS）

2、A.解析:先根据三角形外角性质得∠CAE=85°, 再由条件可证得△OAD≌△OBC(SAS),得到∠C=∠D=35° ,从而∠AEC=60°故选A

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11.2三角形全等的判定（AAS-ASA）

◆随堂检测

（4）如图，O是AB的中点，∠A=∠B，△AOC与△BOD全等吗？为什么？2．已知如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，试说明BD=CE。

3．如图，在△AFD和△BEC中，点A、E、F、C在同一直线

上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC。试说明AD=CB。

A B

2 3

4.如图，已知AC 、BD 相交于点0，∠A=∠B ，∠1=∠2，AD=BC. 试说明△AOD ≌△BOC.

◆典例分析

例:如图：已知AE 交BC 于点D ，∠1=∠2=∠3， AB=AD. 求证：DC=BE 。

证明：∵∠ADB=∠1+∠C ， ∠ADB=∠3+∠E ，又∵∠1=∠3， ∴∠C=∠E 。在△ABE 和△ADC 中， ∵∠E =∠C ， ∠2 =∠1， AB =AD ，

∴ △ABE ≌△ADC （AAS ）。 ∴DC=BE 。

解析:要证DC=BE,先观察DC 与BE 分别在可能全等的两个三角形中.根据所给条件选择方法

◆课下作业

●拓展提高

5.玻璃三角板摔成三块如图，现在到玻璃店在配一块同样大小的三角板，最省事的方法（） A 、带①去 B 、带②去 C 、带③去 D 、带①②③去

6. 如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板ABCD ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A 点，两条直角边分别与

CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ．则四边形AECF 的面

积是．

7.如图，已知AC 、BD 交于E ，∠A=∠B ，∠1=∠2．求证：

AE=BE ．

8.如图，在△ABC 中，MN ⊥AC ，垂足为N ，，且MN 平分∠AMC ，△ABM 的周长为9cm,AN=2cm,求△ABC 的周长。

9．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，说明AB=AC

Ａ D F

10.已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 ⑴求证：∠ABE=∠C ；

⑵若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。

11．如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，AE EC =，CF AB ∥．求证：AD CF =．

12．一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上．（1）求证AB ⊥ED ；

（2）若PB=BC ，请找出图中与此条件有关的一对．．全等三角形，并给予证明．

●体验中考

1.（2009年江西省）如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的是（）

A ．C

B CD = B ．BA

C DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠

D ．90B D ==?∠∠

2.（2009年福建省龙岩市）如图，点B 、E 、F 、C 在同一直线上．已知∠A =∠D ，∠B =∠C ，要使△ABF ≌△DCE ，需要补充的一个条件是（写出一个即可）．

A B

E F

3.（2009年福建省福州市）如图，已知AC 平分∠BAD ，∠1=∠2，求证：AB=AD

4.(2009

年武汉市)如图，已知点E C ，在线BF

线段上，

BE CF AB DE ACB F =∠=∠，∥，．

求证：ABC DEF △≌△．

参考答案: 随堂检测：

1、本题已知∠A=∠B ，又O 是AB 的中点，因此OA=OB ，再找任一角相等，由于本题还隐含了对顶角，∠AOC=∠BOD ，于是根据（ASA ）可得△AOC 与△BOD 全等。

2、已知AB=AC ，AD=AE ，若BD=CE ，则△ABD ≌△ACE ，结合∠BAC=∠DAE 易得两已知边的夹角∠BAD=∠CAE ，于是，建立了已知与结论的联系，应用（SAS ）可说明△ABD ≌△ACE ，于是BD=CE 。

3、这是已知两个角和其中一个角的对边对应相等的问题。