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高等数学 第三章中值定理与导数的应用习题课
(5) (1 + x )α = 1 + αx +
α (α − 1)
2!
x2 + L+
α (α − 1)L (α − n + 1)
n!
x n + o( x n )
Ⅲ 导数的应用
一、函数的极值与单调性
1．函数极值的定义 ． x ∈ U ( x0 , δ ), f ( x ) ≤ f ( x0 ), f ( x0 )为极大值. 为极大值.
0 ∞ 其它型： 其它型： ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ , 转化为 “ ”型或“ ” 型 0 型或“ 型或 0 ∞
0 ∞ 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式 ．
如果函数在含有一点的开区间内具有直到(n+1)阶导数 阶导数 如果函数在含有一点的开区间内具有直到 f ′′( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn ( x) 2! n! ( n +1) f (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n+1 拉格朗日型余项 ( n + 1)!
x ∈ U ( x 0 , δ ), f ( x ) ≥ f ( x0 ), f ( x0 )为极小值 .
o
。
2．函数的驻点 ．
f ′( x 0 ) = 0 则 x 0为 f ( x ) 的驻点。 的驻点。
3．函数的单调区间的判别 ．
函数在[a,b]上连续 在(a,b)内可导 上连续,在 内可导. 函数在 上连续 内可导
高中数学必修三第三章习题课课件PPT
4个.故所求的概率P(A)＝140＝0.4.
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1 2345
1.某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、
0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( A )
A.0.5
B.0.3
C.0.6
D.0.9
解析 依题意知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)
并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.
解 从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能的结果为{x1，x2}， {x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}， {x3，y2}，{y1，y2}，即基本事件的总数为10. 设事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相 等”，则A包含的基本事件为{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，共
根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( B )
1
1
1
2
A.6
B.3
C.2
D.3
解析 由条件可知，落在[31.5,43.5)的数据有 12＋7＋3＝22(个)，故所求概
率约为2626＝31.
解析答案
1 2345
3.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边
反思与感悟 解析答案
跟踪训练3 盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品. (1)从中取出1只，然后放回，再取1只，求：①连续2次取出的都是正品所 包含的基本事件总数；②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的 基本事件总数；
高教社(亢莹利)高等数学习题集(第三版)教学课件-连续
知识拓展
第一类间断点：
x, 1 x 1 如分段函数 f (x) 0, x 1
1, x 1或x 1
在 x 1处 lim f (x) lim f (x) f (1) ，因此 x 1 是可去间断点；
x1
x1
在 x 1 处 lim f (x) lim f (x) ，因此 x 1 是跳跃间断点。
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
，那么称函数
y f (x)
在点
x0
左连续；如果
ห้องสมุดไป่ตู้
lim
x x0
f
(x)
f
(x0 ) ，那么称函数
y
f
(x)
在点
x0 右连续．
函数 y f (x) 在点 x0 连续的充要条件是函数在 x0 处既左连
续，又右连续．
新知识
§1.3.1函数连续性的概念§1.3.2初等函数的连续性
xx0
xx0
可去间断点： lim f (x) lim f (x)
xx0
xx0
跳跃间断点： lim f (x) lim f (x)
xx0
xx0
第二类间断点
lim f (x), lim f (x) 至少有一个不存在
xx0
xx0
无穷间断点 振荡间断点
§1.3.1函数连续性的概念§1.3.2初等函数的连续性
新知识
§1.3.1函数连续性的概念§1.3.2初等函数的连续性
函数 y f (x) 在点 x0 处连续必须满足下面三个条件：
（1）函数 y f (x) 在点 x0 处及其近旁有定义；
（2） lim f (x) 存在，即 lim f (x) lim f (x) ；
第一类间断点：
x, 1 x 1 如分段函数 f (x) 0, x 1
1, x 1或x 1
在 x 1处 lim f (x) lim f (x) f (1) ，因此 x 1 是可去间断点；
x1
x1
在 x 1 处 lim f (x) lim f (x) ，因此 x 1 是跳跃间断点。
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
，那么称函数
y f (x)
在点
x0
左连续；如果
ห้องสมุดไป่ตู้
lim
x x0
f
(x)
f
(x0 ) ，那么称函数
y
f
(x)
在点
x0 右连续．
函数 y f (x) 在点 x0 连续的充要条件是函数在 x0 处既左连
续，又右连续．
新知识
§1.3.1函数连续性的概念§1.3.2初等函数的连续性
xx0
xx0
可去间断点： lim f (x) lim f (x)
xx0
xx0
跳跃间断点： lim f (x) lim f (x)
xx0
xx0
第二类间断点
lim f (x), lim f (x) 至少有一个不存在
xx0
xx0
无穷间断点 振荡间断点
§1.3.1函数连续性的概念§1.3.2初等函数的连续性
新知识
§1.3.1函数连续性的概念§1.3.2初等函数的连续性
函数 y f (x) 在点 x0 处连续必须满足下面三个条件：
（1）函数 y f (x) 在点 x0 处及其近旁有定义；
（2） lim f (x) 存在，即 lim f (x) lim f (x) ；
高等数学第三版第三章课件(每页16张幻灯片)
A
∃ x 0 ∈ (0,1), 使 f ( x 0 ) = 0. 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 ∈ (0,1), x1 ≠ x 0 , 使 f ( x1 ) = 0.
ξ ，使等式
线平行于弦 AB .
o a
ξ1
x
ξ2 b
x
f ( b ) − f ( a ) = f ' ( ξ )( b − a ) 成立.
= lim
x →0
原式 = lim e
x →0
1 ln x 1− x 1 ln x
=e
1 lim x x → 1 −1
=e .
−1
例11 求 lim+ (cot x )
(∞ )
0
1 ⋅ln(cot x ) ln x
解 取对数得 (cot x )
1 ln x
1 1 − ⋅ 2 1 = lim+ cot x sin x ∵ lim+ ⋅ ln(cot x ) 1 x →0 x → 0 ln x x −x = −1, = lim+ ∴ 原式 = e −1 . x → 0 cos x ⋅ sin x
+
解
原式 = lim+ e x ln x = e x → 0+ x →0
lim x ln x
=e
x →0+
1 x
=e
x →0+ −
lim
1 x 1
x2
= e 0 = 1.
20
例10 解
求 lim x
x →1 x →1
1 1− x
.
(1 )
=e
.
=e
ln x x → 11− x lim
高等数学习题课
曲率的定义
d K lim s 0 s ds
曲率 的计算公式
K
y (1 y )
2 32
曲率圆、曲率半径、曲率中心的概念
设曲线方程为 曲率半径及曲率中心
且
求曲线上点M 处的 的坐标公式 .
1 (1 R K y
2 32 y )
y
D( , )
§3.6 §3.7内容回顾
函数图形的描绘 严格按下列步骤进行 : 1. 确定函数
的定义域 ,并考察对称性(奇偶及周期)求渐近线 ;
为 0 和不存在的点 ;
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 5. 作图 (1)画出坐标系(适当确定两轴的单位) (2) 画出渐近线 (3)描点:首先是表中的特殊点 (必要时补充一些关键点)
两式相减得
(0 1)
0 f ( x) 1 f ( )(1 x) 2 1 f ( ) x 2 2 2
f ( x)
1 2
f ( )(1 x) 2 1 f ( ) x 2 2
[(1 x) 1]2 1 , x [0, 1]
(4)结合单调性与凹凸性及渐近线分段连线作图
弧微分公式: (1)若曲线方程为 : y=f(x)
ds 1 ( y) 2 dx 或 ds (dx) 2 (d y ) 2 x x(t ) (2)若曲线由参数方程表示: y y (t ) ds ( x) 2 ( y) 2 d t (3)若曲线由极坐标方程表示: ds 2 ( ) 2 d
例6. 设函数 且 证明
在
上二阶可导,
证: x [0 , 1] , 由泰勒公式得
f (1) f ( x) f ( x)(1 x) 1 f ( )(1 x) 2 (0 1) 2 f (0) f (x) f ( x) x 1 f ( ) x 2 2
高教社(亢莹利)高等数学习题集(第三版)教学课件-二重积分的概念
D
D
如果把积分区域 D 分成两个闭子域 D1 与 D2 ，即 D D1 D2 ，则
f (x , y)d f (x , y)d f (x , y)d ．
D
D1
D2
如果在 D 上， f (x , y) 1， D 的面积为 ，则
f (x , y)d 1d ．
D
D
课堂练习
§6.2.1二重积分的概念
1x2 1 y 0
（2） (x2 + y2 2)d ； x2 y2 1
（3） xd ．
x1 y1
3. 利用二重积分的几何意义计算二重积分：
（1） d ， D ： x2 y2 1；
D
（2） R2 x2 y2 d ， D ： x2 y2 R2 ．
D
课堂小结
§6.2.1二重积分的概念
i 1
如果当各小区域的直径中的最大值 趋于零时，此和式的极限存在，且极限值与区域 D 的
分法无关，也与每个小区域 i 中点 (i ,i ) 的取法无关．则称此极限值为函数 f (x , y) 在闭区
域 D 上的二重积分，记作 f (x , y)d ，即
D
n
D
f (x , y)d
lim 0 i1
问题探究
§6.2.1二重积分的概念
关于曲顶柱体，当点 (x , y) 在区域 D 上变动时，高 f (x , y) 是个变量，因此，它的体积不
能直接用平顶柱体体积公式来计算．不难想到，用求曲边梯形面积的方法，即分割、近似代
替、求和、取极限的手段来解这个问题．
（1）分割：我们用一曲线网把区域 D 任意分成 n 个小区域 1 ， 2 ，…， n ，
体体积V ，当把区域 D 无限细分时，即当所有小区域的最大直径（区间内，最远
高数3ppt课件
x1, x2 , , xn , 称为一个数列, 记为{ xn }.
数列中的每一个数称为数列的一项
xn = f (n) 称为数列的通项或一般项
(2)
1 2n
:
1 2
,
1 4
,
1 8
,
,
1 2n
,
通项 :
xn
1 2n
.
… xn … x3
x2
••••• •••••
1
1
01
2n
8
4
2
1
x1 x
(3) { (1)n1}: 1, 1, 1, 1,, (1)n1, 通项 : xn (1)n1.
的图上看,
( x1
1 10
x3
•••
(••x• 2n••-1••
(•••
x2n
*•••)•••• •••
)•••x4
1 103
1 102n1
0
1
1
102n
104
x2
1 102
)
x
xn U(O, ) | xn 0 | .
预先任意给定一个正数 > 0, 不论它的值多么小,
0
当 n 无限增大时, 数列 { xn } 总会从某一项开始,
第二章 极限和连续
本章学习的主要内容：
极限的概念、性质和运算法则 无穷小量的性质
两个重要极限
函数的连续性概念
第二章 极限和连续
第一节 数列的极限
一、数列的概念 二、数列的极限的定义 三、数列极限的性质
一、数列概念
引例（刘徽的“割圆术”）：设有一半径为1 的圆，用其内接正 6 2n 1边形的面积 An 来逼近圆的面积A. 先作圆的内接正六边形，其面积记作 A1 再作内接正十二边形，其面积记作 A2
数列中的每一个数称为数列的一项
xn = f (n) 称为数列的通项或一般项
(2)
1 2n
:
1 2
,
1 4
,
1 8
,
,
1 2n
,
通项 :
xn
1 2n
.
… xn … x3
x2
••••• •••••
1
1
01
2n
8
4
2
1
x1 x
(3) { (1)n1}: 1, 1, 1, 1,, (1)n1, 通项 : xn (1)n1.
的图上看,
( x1
1 10
x3
•••
(••x• 2n••-1••
(•••
x2n
*•••)•••• •••
)•••x4
1 103
1 102n1
0
1
1
102n
104
x2
1 102
)
x
xn U(O, ) | xn 0 | .
预先任意给定一个正数 > 0, 不论它的值多么小,
0
当 n 无限增大时, 数列 { xn } 总会从某一项开始,
第二章 极限和连续
本章学习的主要内容：
极限的概念、性质和运算法则 无穷小量的性质
两个重要极限
函数的连续性概念
第二章 极限和连续
第一节 数列的极限
一、数列的概念 二、数列的极限的定义 三、数列极限的性质
一、数列概念
引例（刘徽的“割圆术”）：设有一半径为1 的圆，用其内接正 6 2n 1边形的面积 An 来逼近圆的面积A. 先作圆的内接正六边形，其面积记作 A1 再作内接正十二边形，其面积记作 A2
人教B版高中数学必修第三册精品课件 第7章 三角函数 习题课——三角函数的性质与图象
4.培养直观想象、逻辑推理能力和数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、函数y=sin x,y=cos x,y=tan x的性质与图象
1.(1)函数 y=tan x 的定义域为{x ≠ π +
π
,k∈Z};
2
(2)函数 y=sin x,y=cos x 的值域为[-1,1];
(3)y=cos x 的单调递减区间是[2kπ,2kπ+π],k∈Z,y=tan x 的单调递增区间是
6 6
π
2- 6
≤
,
5π
,
6
π
x= 时,f(x)最大=√3;
3
x=0
√3
时,f(x)最小=- .
2
本 课 结 束
π
π
(kπ-2 ,kπ+ 2 )(k∈Z),周期是
π;
(4)函数 y=tan x 的图象无对称轴,其对称中心的坐标为
π
,0
2
(k∈Z).
2.(1)若函数 y=-3cos
π
ax 的周期为2 ,则实数
a 为 ±4 ;
(2)函数 y=M-2sin x 的最小值为 M-2 ;
(3)函数 y=tan x 满足 tan x≤0 的单调递增区间为
6
ωx+φ
0
x
π
12
π
2
π
3
Asin(ωx+φ)
0
5
且函数解析式为 f(x)=5sin
π
2- 6
.
7π
12
3π
2
5π
6
13π
12
0
-5
0
π
2π
π
自主预习 新知导学
一、函数y=sin x,y=cos x,y=tan x的性质与图象
1.(1)函数 y=tan x 的定义域为{x ≠ π +
π
,k∈Z};
2
(2)函数 y=sin x,y=cos x 的值域为[-1,1];
(3)y=cos x 的单调递减区间是[2kπ,2kπ+π],k∈Z,y=tan x 的单调递增区间是
6 6
π
2- 6
≤
,
5π
,
6
π
x= 时,f(x)最大=√3;
3
x=0
√3
时,f(x)最小=- .
2
本 课 结 束
π
π
(kπ-2 ,kπ+ 2 )(k∈Z),周期是
π;
(4)函数 y=tan x 的图象无对称轴,其对称中心的坐标为
π
,0
2
(k∈Z).
2.(1)若函数 y=-3cos
π
ax 的周期为2 ,则实数
a 为 ±4 ;
(2)函数 y=M-2sin x 的最小值为 M-2 ;
(3)函数 y=tan x 满足 tan x≤0 的单调递增区间为
6
ωx+φ
0
x
π
12
π
2
π
3
Asin(ωx+φ)
0
5
且函数解析式为 f(x)=5sin
π
2- 6
.
7π
12
3π
2
5π
6
13π
12
0
-5
0
π
2π
π
高数三第7章PPT讲解
法向量 n { A, B , C }.
结论：平面方程是三元一次方程，任意三元一次方程 的图形是一平面。
平面一般方程的几种特殊情况：
Ax By Cz D 0
(1) D 0, 平面通过坐标原点；
D 0, 平面通过 x 轴； ( 2) A 0, D 0, 平面平行于 x 轴；
解：设动点 ( x, y, z ) M
( x y z)2 ( x 2 y z)2 ( x z)2 则 3 6 2
动点轨迹为 2 xz 0. y
2
思考题
若平面 x ky 2 z 0 与平面
2 x 3 y z 0 的夹角为 ，求k ? 4
Ax0 By0 Cz0 ( Ax1 By1 Cz1 ) , 2 2 2 A B C
Ax1 By1 Cz1 D 0
( P1 )
Ax0 By0 Cz0 D , Pr jn P1 P0 2 2 2 A B C
| Ax0 By0 Cz0 D | d . 2 2 2 A B C 点到平面距离公式
a 1, b 6, c 1,
所求平面方程为 6 x y 6 z 6.
代入体积式
三、两平面的夹角
定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的 （通常取锐角） 夹角.
n2
n1
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0,
2
2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n1 { A1 , B1 , C1 }, 1 n2 { A2 , B2 , C2 },
第七节
平面及其方程
z
结论：平面方程是三元一次方程，任意三元一次方程 的图形是一平面。
平面一般方程的几种特殊情况：
Ax By Cz D 0
(1) D 0, 平面通过坐标原点；
D 0, 平面通过 x 轴； ( 2) A 0, D 0, 平面平行于 x 轴；
解：设动点 ( x, y, z ) M
( x y z)2 ( x 2 y z)2 ( x z)2 则 3 6 2
动点轨迹为 2 xz 0. y
2
思考题
若平面 x ky 2 z 0 与平面
2 x 3 y z 0 的夹角为 ，求k ? 4
Ax0 By0 Cz0 ( Ax1 By1 Cz1 ) , 2 2 2 A B C
Ax1 By1 Cz1 D 0
( P1 )
Ax0 By0 Cz0 D , Pr jn P1 P0 2 2 2 A B C
| Ax0 By0 Cz0 D | d . 2 2 2 A B C 点到平面距离公式
a 1, b 6, c 1,
所求平面方程为 6 x y 6 z 6.
代入体积式
三、两平面的夹角
定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的 （通常取锐角） 夹角.
n2
n1
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0,
2
2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n1 { A1 , B1 , C1 }, 1 n2 { A2 , B2 , C2 },
第七节
平面及其方程
z
高等数学课件--D3习题课
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f 故当 x > 0 时,( x) [ ln(1 x) ln x ]在 x [ 从而 f ( x)
2012-10-12 同济高等数学课件
1
1
例9. 设
在
上可导, 且
证明 f ( x ) 至多只有一个零点 .
x 证: 设 ( x) e f ( x)
F ( x ) a0 x a1 2 x
2
an n 1
x
n 1
且 F (0)
F (1) 0 , 由罗尔定理知存在一点 (0 ,1) , 使
即 a0 a1x an x 0 在 0， 内至少有一个实根 . （ 1 ）
n
2012-10-12 同济高等数学课件
第三章 习题课 中值定理及导数的应用
一、 微分中值定理及其应用
二、 导数应用
2012-10-12
同济高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
一、 微分中值定理及其应用
1. 微分中值定理及其相互关系
罗尔定理
f ( ) 0
y
f (a) f (b)
拉格朗日中值定理
f ( ) f (b) f ( a ) ba
在区间 (, x1 ), (0 , x2 ) 上是凸弧 ; 拐点为
( x1 , f ( x1 )) , ( x2 , f ( x2 )) , (0, f (0)) .
x
f (x)
提示:
的正负作 f (x) 的示意图.
2012-10-12 同济高等数学课件
目录
x1O
x2
x
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结束
例8. 证明
f 故当 x > 0 时,( x) [ ln(1 x) ln x ]在 x [ 从而 f ( x)
2012-10-12 同济高等数学课件
1
1
例9. 设
在
上可导, 且
证明 f ( x ) 至多只有一个零点 .
x 证: 设 ( x) e f ( x)
F ( x ) a0 x a1 2 x
2
an n 1
x
n 1
且 F (0)
F (1) 0 , 由罗尔定理知存在一点 (0 ,1) , 使
即 a0 a1x an x 0 在 0， 内至少有一个实根 . （ 1 ）
n
2012-10-12 同济高等数学课件
第三章 习题课 中值定理及导数的应用
一、 微分中值定理及其应用
二、 导数应用
2012-10-12
同济高等数学课件
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一、 微分中值定理及其应用
1. 微分中值定理及其相互关系
罗尔定理
f ( ) 0
y
f (a) f (b)
拉格朗日中值定理
f ( ) f (b) f ( a ) ba
在区间 (, x1 ), (0 , x2 ) 上是凸弧 ; 拐点为
( x1 , f ( x1 )) , ( x2 , f ( x2 )) , (0, f (0)) .
x
f (x)
提示:
的正负作 f (x) 的示意图.
2012-10-12 同济高等数学课件
目录
x1O
x2
x
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例8. 证明
人教B版高中数学必修第三册精品课件 第7章 三角函数 习题课——正弦型函数的性质与图象的应用
2
解三角不等式时注意换元法和数形结合法的应用.作y=Asin u的图象要比
作y=Asin(ωx+φ)的图象容易很多.
【变式训练 1】 求函数 y=lg(sin α)+ 192-3 2 的定义域.
解:要使函数 y=lg(sin α)+
解得
192-3 2 有意义,则
2π < < π + 2π(∈Z),
1
1
函数 y=-3sin + π 的单调递减区间,即函数 y=3sin + π 的单调递增
2
2
区间.
π
1
π
令-2 +2kπ≤2x+π≤2 +2kπ,k∈Z,解得 4kπ-3π≤x≤4kπ-π,k∈Z,即函数
1
y=-3sin(2x+π)的单调递减区间为[4kπ-3π,4kπ-π](k∈Z).
本 课 结 束
π
2- 6
2.将函数 y=sin
的方程是(
π
的图象向左平移4 个单位,所得函数图象的一条对称轴
)
π
A.x=
12
π
B.x=
6
π
C.x= 3
π
D.x=-12
答案:A
3.函数 y=( 5-1)sin 2
π
+
6
+
π
的周期是
2
.
答案:π
4.函数 y=-3sin
答案:
1
π
4
6
2π
4π + ,0
3
的图象的对称中心坐标为
+
3π
2π, 2
+ 2π (k∈Z)
解三角不等式时注意换元法和数形结合法的应用.作y=Asin u的图象要比
作y=Asin(ωx+φ)的图象容易很多.
【变式训练 1】 求函数 y=lg(sin α)+ 192-3 2 的定义域.
解:要使函数 y=lg(sin α)+
解得
192-3 2 有意义,则
2π < < π + 2π(∈Z),
1
1
函数 y=-3sin + π 的单调递减区间,即函数 y=3sin + π 的单调递增
2
2
区间.
π
1
π
令-2 +2kπ≤2x+π≤2 +2kπ,k∈Z,解得 4kπ-3π≤x≤4kπ-π,k∈Z,即函数
1
y=-3sin(2x+π)的单调递减区间为[4kπ-3π,4kπ-π](k∈Z).
本 课 结 束
π
2- 6
2.将函数 y=sin
的方程是(
π
的图象向左平移4 个单位,所得函数图象的一条对称轴
)
π
A.x=
12
π
B.x=
6
π
C.x= 3
π
D.x=-12
答案:A
3.函数 y=( 5-1)sin 2
π
+
6
+
π
的周期是
2
.
答案:π
4.函数 y=-3sin
答案:
1
π
4
6
2π
4π + ,0
3
的图象的对称中心坐标为
+
3π
2π, 2
+ 2π (k∈Z)
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