2018年度丰台区高三数学(理)一模试题及标准答案

丰台区2018年高三年级第二学期综合练习（一）

数 学（理科）

2018.03

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）设全集{|}5U x x =<，集合{|}20A x x =-≤，则U A =ð

(A) {|}2x x ≤

(B) {|2}x x >

(C) {|25}x x << (D) {|25}x x ≤<

（2）已知命题p ：1x ∃<，2

1x ≤，则p ⌝为

(A) 1x ∀≥，2

1x >

(B) 1x ∃<，2

1x >

(C) 1x ∀<，21x > (D) 1x ∃≥，2

1x >

（3）设不等式组220,

20,0x y x y x -+≤⎧⎪

-+≥⎨⎪≥⎩

表示的平面区域为Ω，则

(A) 原点O 在Ω内 (B) Ω的面积是1

(C) Ω内的点到y 轴的距离有最大值

(D) 若点00(,)P x y ∈Ω，则000x y +≠

（4）执行如图所示的程序框图，如果输出的2a =，那么判断框中填入的条件可以是

(A) 5n ≥ (B) 6n ≥ (C) 7n ≥

(D) 8n ≥

（5）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos ,

sin x y αα=+⎧⎨=⎩

（α为

参数）．若以射线Ox 为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 (A) sin ρθ= (B) 2sin ρθ= (C) cos ρθ=

(D) 2cos ρθ=

（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

(A)

2

3

(B)

43 (C) 2 (D) 83

正视图

侧视图

俯视图

（7）某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们

的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为 (A) 4 (B) 8 (C) 12 (D) 24 （8）设函数π()sin(4)4f x x =+

9π

([0,])16

x ∈，若函数()()y f x a a =+∈R 恰有三个零点1x ，2x ，3x 123()x x x <<，则123x x x ++的取值范围是

(A) 5π11π

[,)816

(B) 5π11π(

,]816

(C) 7π15π[

,)816

(D) 7π15π(

,]816

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A

对应的复数分别是1z ，2z ，则

2

1

z z = ____． （10）已知数列{}n a 的前n 项和2

n S n n =+，则34a a +=____．

（11）已知抛物线M 的开口向下，其焦点是双曲线2

213

y x -=的一个焦点，则M 的标准方程为____． （12）在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____． （13）函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，函数

()f x ①当[1,1]x ∈-时，y 的取值范围是____；

②如果对任意[,](0)x a b b ∈<，都有[2,1]y ∈-，那么b 最大值是 ．

（14）已知C 是平面ABD 上一点，AB AD ⊥，1CB CD ==．

①若3AB AC =u u u r u u u r ，则AB CD ⋅=u u u r u u u r

____；

②若AP AB AD =+u u u r u u u r u u u r

，则||AP uuu r 的最大值为____．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分）

已知函数2sin ()2cos (

1)1cos x

f x x x

=+-． （Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 的单调递减区间．

如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，AD BC ∥，3AD =，

22PA BC AB ===

，PB =

（Ⅰ）求证：BC PB ⊥；

（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值；

（Ⅲ）若点E 在棱PA 上，且BE ∥平面PCD ，求线段BE 的长．

（17）（本小题共13分）

某地区工会利用 “健步行APP ”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分(不足5千步不积分)，每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．记年龄不超过40岁的会员为A 类会员，年龄大于40岁的会员为B 类会员．为了解会员的健步走情况，工会从A ，B 两类会员中各随机抽取m 名会员，统计了某天他们健步走的步数，并将样本数据分为[3,5)，[5,7)，[7,9)，[9,11)，[11,13)，[13,15)，

[15,17)，[17,19)，[19,21]九组，将抽取的A 类会员的样本数据绘制成频率分布直方图，B 类会员的样

本数据绘制成频率分布表（图、表如下所示）．

0.01

步数（单位：千步）

0.02 0.03 0.04 0.05 0.1

0.15

（Ⅰ）求m 和a 的值；

（Ⅱ）从该地区A 类会员中随机抽取3名，设这3名会员中健步走的步数在13千步以上（含13千步）的

人数为X ，求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）设该地区A 类会员和B 类会员的平均积分分别为1X 和2X ，试比较1X 和2X 的大小（只需写出结

论）．