2018年度丰台区高三数学(理)一模试题及标准答案

丰台区2018年高三年级第二学期综合练习（一）数 学（理科）2018.03第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设全集{|}5U x x =<，集合{|}20A x x =-≤，则U A =ð(A) {|}2x x ≤(B) {|2}x x >(C) {|25}x x << (D) {|25}x x ≤<（2）已知命题p ：1x ∃<，21x ≤，则p ⌝为(A) 1x ∀≥，21x >(B) 1x ∃<，21x >(C) 1x ∀<，21x > (D) 1x ∃≥，21x >（3）设不等式组220,20,0x y x y x -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域为Ω，则(A) 原点O 在Ω内 (B) Ω的面积是1(C) Ω内的点到y 轴的距离有最大值(D) 若点00(,)P x y ∈Ω，则000x y +≠（4）执行如图所示的程序框图，如果输出的2a =，那么判断框中填入的条件可以是(A) 5n ≥ (B) 6n ≥ (C) 7n ≥(D) 8n ≥（5）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos ,sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．若以射线Ox 为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 (A) sin ρθ= (B) 2sin ρθ= (C) cos ρθ=(D) 2cos ρθ=（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(A)23(B)43 (C) 2 (D) 83正视图侧视图俯视图（7）某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为 (A) 4 (B) 8 (C) 12 (D) 24 （8）设函数π()sin(4)4f x x =+9π([0,])16x ∈，若函数()()y f x a a =+∈R 恰有三个零点1x ，2x ，3x 123()x x x <<，则123x x x ++的取值范围是(A) 5π11π[,)816(B) 5π11π(,]816(C) 7π15π[,)816(D) 7π15π(,]816第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A对应的复数分别是1z ，2z ，则21z z = ____． （10）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则34a a +=____．（11）已知抛物线M 的开口向下，其焦点是双曲线2213y x -=的一个焦点，则M 的标准方程为____． （12）在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____． （13）函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，函数()f x ①当[1,1]x ∈-时，y 的取值范围是____；②如果对任意[,](0)x a b b ∈<，都有[2,1]y ∈-，那么b 最大值是 ．（14）已知C 是平面ABD 上一点，AB AD ⊥，1CB CD ==．①若3AB AC =u u u r u u u r ，则AB CD ⋅=u u u r u u u r____；②若AP AB AD =+u u u r u u u r u u u r，则||AP uuu r 的最大值为____．三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）已知函数2sin ()2cos (1)1cos xf x x x=+-． （Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 的单调递减区间．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，AD BC ∥，3AD =，22PA BC AB ===，PB =（Ⅰ）求证：BC PB ⊥；（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值；（Ⅲ）若点E 在棱PA 上，且BE ∥平面PCD ，求线段BE 的长．（17）（本小题共13分）某地区工会利用 “健步行APP ”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分(不足5千步不积分)，每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．记年龄不超过40岁的会员为A 类会员，年龄大于40岁的会员为B 类会员．为了解会员的健步走情况，工会从A ，B 两类会员中各随机抽取m 名会员，统计了某天他们健步走的步数，并将样本数据分为[3,5)，[5,7)，[7,9)，[9,11)，[11,13)，[13,15)，[15,17)，[17,19)，[19,21]九组，将抽取的A 类会员的样本数据绘制成频率分布直方图，B 类会员的样本数据绘制成频率分布表（图、表如下所示）．0.01步数（单位：千步）0.02 0.03 0.04 0.05 0.10.15（Ⅰ）求m 和a 的值；（Ⅱ）从该地区A 类会员中随机抽取3名，设这3名会员中健步走的步数在13千步以上（含13千步）的人数为X ，求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）设该地区A 类会员和B 类会员的平均积分分别为1X 和2X ，试比较1X 和2X 的大小（只需写出结论）．已知函数()e (ln 1)()x f x a x a =-+∈R ． （Ⅰ）求函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()y f x =在1(,1)2上有极值，求a 的取值范围．（19）（本小题共14分）已知点3(1,)2P 在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，(1,0)F 是椭圆的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）椭圆C 上不与P 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线PD ，PE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被直线32y =截得的弦长是定值．（20）（本小题共13分）已知无穷数列{}()n n a a ∈Z 的前n 项和为n S ，记1S ，2S ，…，n S 中奇数的个数为n b ． （Ⅰ）若n a n =，请写出数列{}n b 的前5项；（Ⅱ）求证：“1a 为奇数，(2,3,4,)i a i =L 为偶数”是“数列{}n b 是单调递增数列”的充分不必要条件； （Ⅲ）若i i a b =，1,2,3,i =L ，求数列{}n a 的通项公式．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2018年高三年级第二学期综合练习（一）数 学（理科）2018.03第一部分 （选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）12i -- （10）14 （11）28x y =-（12）14-（13）[1,2]；2- （14）34-；2 注：第13、14题，第一空3分，第二空2分．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）由 cos 0x ≠得，ππ2x k ≠+，()k ∈Z ， 所以()f x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z ． ……………………2分因为2sin ()2(1)cos 1cos xf x x x=+⋅-22sin cos 2cos 1x x x =+-sin 2cos2x x =+ …………………… 4分π)4x =+． ……………………6分所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==． ……………………8分（Ⅱ）由 ππ3π2π22π242k x k +≤+≤+， ……………………10分可得 π5πππ88k x k +≤≤+，……………………11分所以()f x 的单调递减区间为ππ[π,π)82k k ++，π5π(π,π]28k k ++()k ∈Z ．………………13分（16）（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB I 平面=ABCD AB ，因为BC ⊥AB ，且BC ⊂平面ABCD所以BC ⊥平面PAB ． ……………………3分 因为PB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PB ． ……………………4分（Ⅱ）解：在△PAB 中，因为=2PA，=PB =1AB ，所以222=+PA AB PB ，所以PB ⊥AB ． ……………………5分 所以，建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示． 所以(1,0,0)A -，(0,0,0)B ，(0,2,0)C ，(1,3,0)D -，P ，(1,1,0)CD =-u u u r，(0,2,PC =u u u r．易知平面ABCD 的一个法向量为=(0,0,1)n ． ……………………6分 设平面PCD 的一个法向量为=(,,)x y z m ，则00CD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rm m ，即2x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 令=2z ，则=m ． ……………………8分 设二面角P CD A --的平面角为α，可知α为锐角，则cos cos ,5α⋅=<>===⋅n m n m n m ， 即二面角P CD A --的余弦值为5． ……………………10分 （Ⅲ）解：因为点E 在棱PA ，所以AE AP λ=u u u r u u u r，[0,1]λ∈． ……………………11分因为=AP u u u r（，所以=)AE λu u u r （，()BE BA AE λ=+=-u u u r u u u r u u u r． ……………………12分 又因为//BE 平面PCD ，m 为平面PCD 的一个法向量，所以0BE ⋅=u u u r m1)20λλ-+=，所以1=3λ． ……………………13分所以2(3BE =-u u u r，所以==BE BE u u u r ． ……………………14分（17）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）因为100.01m=，所以 1000m =． ……………………2分因为0.2nm=，所以 200n =，所以400a =． ……………………4分 所以 1000m =，400a =．（Ⅱ）由频率分布直方图可得，从该地区A 类会员中随机抽取1名会员，健步走的步数在13千步以上（含13千步）的概率为25． ……………………5分 所以2(3,)5X B :，03033227(0)()()55125P X C ==⨯⨯=；12133254(1)()()55125P X C ==⨯⨯=； 21233236(2)()()55125P X C ==⨯⨯=；3033328(3)()()55125P X C ==⨯⨯=． ………………7分26()355E X =⨯=. ……………………10分（Ⅲ）12X X <． ……………………13分（18）（本小题共13分）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()e x af x x'=-． ……………………1分 （Ⅰ）因为(1)e f a =-，(1)e f a '=-， ……………………3分所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(e )(e )(1)y a a x --=--，即(e )y a x =-． ……………………5分 （Ⅱ）()e x a f x x'=-． （ⅰ）当0a ≤时，对于任意1(,1)2x ∈，都有()0f x '>， ……………………6分所以函数()f x 在1(,1)2上为增函数，没有极值，不合题意． ……………………8分 （ⅱ）当0a >时，令()e x a g x x =-，则2()e 0x ag x x'=+>． ……………………9分 所以()g x 在1(,1)2上单调递增，即()f x '在1(,1)2上单调递增， ……………………10分所以函数()f x 在1(,1)2上有极值，等价于(1)0,1()0.2f f '>⎧⎪⎨'<⎪⎩ ……………………12分所以e 0,20.a a ->⎧⎪<e a <<． 所以a的取值范围是(2． ……………………13分（19）（本小题共14分）解：（Ⅰ）依题意，椭圆的另一个焦点为)0,1(-'F ，且1=c ． ……………………1分因为4)23(0)23(222222=+++=a ，所以2a =，b == ……………………3分所以椭圆C 的方程为13422=+y x ． ……………………4分 （Ⅱ）证明：由题意可知D ，E 两点与点P 不重合．因为D ，E 两点关于原点对称，所以设(,)D m n ，(,)E m n --，)1(±≠m ． ……………………5分 设以MN 为直径的圆与直线32y =交于33(,),(,)(0)22G t H t t ->两点， 所以GM GN ⊥． ……………………6分直线PD ：)1(12323---=-x m n y ． 当0=x 时，23123+---=m n y ，所以)23123,0(+---m n M ． ……………………7分 直线PE ：)1(12323-++=-x m n y ． 当0=x 时，23123+++-=m n y ，所以)23123,0(+++-m n N ． ……………………8分 所以32(,)1n GM t m -=---u u u u r ，32(,)1n GN t m +=--+u u u r ， ……………………9分 因为GM GN ⊥，所以0GM GN ⋅=u u u u r u u u r， ……………………10分所以2224904(1)n GM GN t m -⋅=+=-u u u u r u u u r ． ……………………11分因为13422=+n m ，即124322=+n m ，223394m n -=-， ……………………12分 所以2304t -=，所以23=t ． ……………………13分所以)23,23(G ，)23,23(-H ， 所以GH =．所以以MN 为直径的圆被直线23=y ……………………14分（20）（本小题共13分）（Ⅰ）解：1=1b ，2=2b ，3=2b ，4=2b ，5=3b ． ……………………3分 （Ⅱ）证明：（充分性）因为1a 为奇数，(2,3,4,)i a i =L 为偶数，所以，对于任意*i ∈N ，i S 都为奇数． ……………………4分 所以n b n =． ……………………5分 所以数列{}n b 是单调递增数列． ……………………6分 （不必要性）当数列{}n a 中只有2a 是奇数，其余项都是偶数时，1S 为偶数，(2,3,4,)i S i =L 均为奇数， 所以1n b n =-，数列{}n b 是单调递增数列． ……………………7分 所以“1a 为奇数，(2,3,4,)i a i =L 为偶数”不是“数列{}n b 是单调递增数列”的必要条件；……………………8分综上所述，“1a 为奇数，(2,3,4,)i a i =L 为偶数”是“数列{}n b 是单调递增数列” 的充分不必要条件．（Ⅲ）解：（1）当k a 为奇数时，如果k S 为偶数，若1k a +为奇数，则1k S +为奇数，所以111k k k b b a +=+=+为偶数，与11k k a b ++=矛盾； 若1k a +为偶数，则1k S +为偶数，所以1k k k b b a +==为奇数，与11k k a b ++=矛盾．所以当k a 为奇数时，k S 不能为偶数． ……………………9分 （2）当k a 为偶数时，如果k S 为奇数，若1k a +为奇数，则1k S +为偶数，所以1k k k b b a +==为偶数，与11k k a b ++=矛盾； 若1k a +为偶数，则1k S +为奇数，所以111k k k b b a +=+=+为奇数，与11k k a b ++=矛盾． 所以当k a 为偶数时，k S 不能为奇数． ……………………10分 综上可得k a 与k S 同奇偶． 所以n n S a -为偶数．因为11n n n S S a ++=-为偶数，所以n a 为偶数． ……………………11分 因为111a b S ==为偶数，且101b ≤≤，所以110b a ==．因为22111a b b =≤+=，且20b ≥，所以220b a ==． ……………………12分 以此类推，可得0n a =． ……………………13分（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）。