Fuzzy模糊数学-共5节-电子书---讲义
第五章 Fuzzy关系、Fuzzy矩阵、
定义5.2 R = (rij )n×m
当rij 仅取0, 1时,称为布尔矩阵。
关系矩阵与关系图
甲 优
0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0
பைடு நூலகம்
乙
良
丙
中
丁
差
关系与关系图
例5.2 U = V = R( R为实数集) R =(u,v) |1 ≤ u 2 + v2 < 4}。 {
妻子的父亲
甲 乙 丙 丁 戊 己
甲 乙 丙 丁 戊 己
父亲的父亲
甲 乙 丙 丁 戊 己
等价关系
定义5.4 U 上的关系R叫做U 上的一个等价关系, 如果R满足: (1)自反性 (∀u ∈ U )(uRu ) (2)对称性 (∀u, v ∈ U )(uRv ⇒ vRu ) (3)传递性(∀u , v, w ∈ U )(uRv且vRw ⇒ uRw)
Fuzzy关系运算
% % 设R, S是U × V 上的Fuzzy关系,即U × V 上的Fuzzy集, 定义 % % % % % ( )R包含于S:R ⊆ S ⇔ (∀(u, v) ∈ U × V )( R(u , v) ≤ S (u , v)), 1 % % % % % % % % % (2)R等于S:R = S ⇔ R ⊆ S且S ⊆ R % % % % % % % % (3)R与S的并集R ∪ S:( R ∪ S )(u , v) = R(u , v) ∨ S (u , v) % % % % % % % % (4)R与S的交集R ∩ S:( R ∩ S )(u , v) = R (u , v) ∧ S (u , v) % % % % (5) R余集或补集R c:R c (u , v) = 1 − R (u , v) % % % % % % % % (6) R与S的差集R \ S: ( R \ S )(u , v) = R(u, v) ∧ (1- S (u , v)) % % % % (7) R与B的对称差集R∆B: % % % % % % R∆S (u , v) = [ R(u , v) ∧ (1- S (u , v))] ∨ [(1- R(u , v)) ∧ S (u , v)]
模糊模式识别PPT课件
2)序偶表示法: ~A {(1, a), (0.9, b), (0.5, c), (0.2, d)}
3)向量表示法: ~A (1, 0.9, 0.5, 0.2)
4)其他方法,如: ~A 1 a, 0.9 b, 0.5 c, 0.2 d
注:当某一元素的隶属函数为0时,这一项可以不计入。
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例 3.2:以年龄作为论域,取 X=[0,200],Zadeh 给出了“年老” 与“年轻”两个模糊集 O~ 和Y~ 的隶属函数如下:
0 ,
0 x 50
①
ox
~
1
(x
50 5
)
2
1
,
50 x 200
1,
0 x 25
Y ~
x
1
(
x
25)2 5
1
,
25 x 200
② X是一个连续的实数区间,模糊集合表示为
用精确数学方法判断“秃头”: 方法:首先给出一个精确的定义,然后推理,最后结论。
定义:头发根数≤n时,判决为秃头;否则判决为不秃。 即头发根数n为判断秃与不秃的界限标准。
问题:当头发根数恰好为n+1,应判决为秃还是不秃?
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推理:两种选择 (1) 承认精确方法:判定为不秃。
均表现出精确方法在这个 问题上与常理对立的情况
当 x 为多变量,即 x {x1, x2 , , xn}时,隶属函数通常定义为
A x A(1) x1 A(2) x2 A(n) xn
~
~
~
~
其中, A(1) , A(2) ,…, A(n) :对应于各变量的模糊子集;
~~
~
A(i) xi :相应的单变量隶属函数。
第三章模糊综合评价法FUZZY演示文稿
j 1
得到这样的模糊关系矩阵,尚不足对事物做出 评价。评价指标集中的各个指标在“评价目标” 中的有不同的地位和作用,即各评价指标在综 合评价中占有不同的比重。拟引入U上的一个 模 糊 子 集 A , 称 为 权 重 或 权 数 分 配 集 , A= (a1,a2,…am),其中ai>0,且Σai=1。
第10页,共58页。
模糊数学的产生把数学的应用范围,从精 确现象扩大到模糊现象的领域,去处理复 杂的系统问题。模糊数学决不是把已经很 精确的数学变得模模糊糊,而是用精确的 数学方法来处理过去无法用数学描述的模 糊事物。从某种意义上来说,模糊数学是 架在形式化思维和复杂系统之间的一座桥 梁,通过它可以把多年积累起来的形式化 思维,也就是精确数学的一系列成果,应 用到复杂系统里去。
“欢迎”,37%的人态度“一般”,10.5%的人“不欢迎”。
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五、步骤总结
(1)给出备择的对象集:X (x1, x2, , xt ) (2)找出指标集:
U u1,u2,...,um
表明我们对被评判事物从哪些方面来进行评判描述。
(3)找出评语集(可称等级集):
V v1, v2,..., vn
矩阵乘法(即加权平均法),这种模型要让每个因素都对综
合评价有所贡献,比较客观地反映了评价对象的全貌。在实 际问题中,我们不一定仅限于已知的算子对,应该依据具体 的情形,采用合适的算子对,可以大胆试验、大胆创新。
如果评判结果
, 应将它归一化。
bj 1
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为了充分利用B所带来的信息,可把各种等级的 评级参数和评判结果B进行综合考虑,使得评判 结果更加符合实际。此时,我们可假设相对于各 等级vj规定的参数列向量为
模糊数学(讲义)
模糊数学及其应用引言任何新生事物的产生和发展,都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程,一种新理论、一种新学科的问世,往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。
模糊数学自1965年L.A.Zadeh教授开创以来所走过的道路,充分证实了这一点,然而,实践是检验真理的标准,模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果,不仅消除了人们的疑虑,而且使模糊数学在科学领域中,占有了自己的一席之地。
经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的,不可能不带有这些学科固有的局限性。
这些学科考察的对象,都是无生命的机械系统,大都是界限分明的清晰事物,允许人们作出非此即彼的判断,进行精确的测量,因而适于用精确方法描述和处理。
而那些难以用经典数学实现定量化的学科,特别是有关生命现象、社会现象的学科,研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物,不允许作出非此即彼的断言,不能进行精确的测量。
清晰事物的有关参量可以精确测定,能够建立起精确的数学模型。
模糊事物无法获得必要的精确数据,不能按精确方法建立数学模型。
实践证明,对于不同质的矛盾,只有用不同质的方法才能解决。
传统方法用于力学系统高度有效,但用于对人类行为起重要作用的系统,就显得太精确了,以致于很难达到甚至无法达到。
精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑,即要求符合非此即彼的排中律,这对于处理清晰事物是适用的。
但用于处理模糊性事物时,就会产生逻辑悖论。
如判断企业经济效益的好坏时,用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业”表达,否则,便是经济效益不好的企业。
根据常识,显而易见:“比经济效益好的企业年利税少1元的企业,仍是经济效益好的企业”,而不应被划为经济效益不好的企业。
这样,从上面的两个结论出发,反复运用经典的二值逻辑,我们最后就会得到,“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。
类似的悖论有许多,历史上最著名的有“罗素悖论”。
它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。
第四章 模糊数学
(可多位专家取其平均值,如体操比赛打分) 3 描点( xi, A ( xi )),作出 A ( xi )的曲线。
例2:考虑年龄论域X 上的模糊子集A 青年人的年龄, 请专家评定结果如表:
0-14 0
15 18-28 30 35 38 40 45-200 0.5 1 0.9 0.6 0.5 0.3 0
A ( x4 ) 0,则有:
1 0.6 0.1 0 A (最后一项可不写) x1 x2 x3 x4
3、隶属函数的确定 这里介绍两种常用的确定方法,以R1中的模糊 集为例: (1)专家评定法(德尔菲法) 步骤: 1 给定论域X 及其模糊子集A; 2 适当选取X 中若干点xi,请专家评定其 A ( xi );
第四章 模糊数学(Fuzzy Maths)
第一节 模糊集(Fuzzy Sets)
一、模糊现象与模糊集
有些概念,其外延是清楚的,如男人、女人。
而有些概念,其外延不很清楚,如青年人、老年人。 于是我们有如下定义: 模糊集—边界不清楚的集合。 例如:
雨天是清晰集(普通集),而晴天是模糊集;
青年人、老年人也是模糊集。 事实上,“青年”变为“老年”是一个连续的 过程。因此,处于中间过渡阶段年龄的人,自然就 具有“亦此亦彼”的属性。我们把这种属性称为:
书159~161页给出了一个模糊统计的例子。 有时候我们得到的 A ( x)的图形是不规则的,很难
写出其精确的数学表达式。有时为了计算、编程的需 要,我们希望得到 A的函数表达式,可根据估计的 A
进行适当修正,得到与其最接近的函数表达式。下面 介绍几种常见的模糊分布曲线: 4、几种常见的 A ( x)类型(论域为R1):
第八讲模煳数学简介-PPT精品.ppt
集合的运算规律 幂等律: A∪A = A, A∩A = A; 交换律: A∪B = B∪A, A∩B = B∩A; 结合律:( A∪B )∪C = A∪( B∪C ), ( A∩B )∩C = A∩( B∩C ); 吸收律: A∪( A∩B ) = A, A∩( A∪B ) = A; 分配律:( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C ); ( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C );
1965年, 美国加利福尼亚大学自动控制专 家L. A. Zadeh第一次提出了模糊性问题, 从不 同于经典数学的角度, 研究数学的基础集合论, 给出了模糊概念的定量表示方法, 发表了著名 的论文“模糊集合” (Fuzzy sets). 这篇论文 的问世, 标志着模糊数学的诞生.
随着研究的深入, 模糊数学的内容日益丰 富, 其思想与方法正在广泛地渗透到科学和技 术的很多领域, 取得了很多重要成果, 例如: 模 糊识别、模糊决策、模糊控制、预报预测等.
与y有关系,则y与x有关系,即若R(x, y) =1,则 R(y, x) = 1;
系矩阵. 布尔矩阵是元素只取0或1的矩阵. 关系的合成
设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关 系, 则R1与 R2的合成 R1 ○ R2是 X 到 Z 上的一 个关系.
(R1 ○ R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y }
关系合成的矩阵表示法
例 设 X ={1, 2, 3, 4}, Y ={ 2, 3, 4}, Z = {1,
2, 3}, R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是Y 到 Z 的关系,
R1 ={(x, y) | x + y = 6} = {(2,4), (3,3), (4,2)},
Fuzzy模糊数学-共5节-电子书---讲义
模糊数学第1节模糊聚类分析第2节模糊模式识别第3节模糊相似优先比方法第4节模糊综合评判第5节模糊关系方程求解在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。
这里所谓的模糊性,主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性,如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”;灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重”,等等。
这些通常是本来就属于模糊的概念,为处理分析这些“模糊”概念的数据,便产生了模糊集合论。
根据集合论的要求,一个对象对应于一个集合,要么属于,要么不属于,二者必居其一,且仅居其一。
这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。
为处理这些模糊概念而进行的种种努力,催生了模糊数学。
模糊数学的理论基础是模糊集。
模糊集的理论是1965年美国自动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出来的,近10多年来发展很快。
模糊集合论的提出虽然较晚,但目前在各个领域的应用十分广泛。
实践证明,模糊数学在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面,在图像识别、天气预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。
从该学科的发展趋势来看,它具有极其强大的生命力和渗透力。
在侧重于应用的模糊数学分析中,经常应用到聚类分析、模式识别和综合评判等方法。
在DPS系统中,我们将模糊数学的分析方法与一般常规统计方法区别开来,列专章介绍其分析原理及系统设计的有关功能模块程序的操作要领,供用户参考和使用。
第1节模糊聚类分析1. 模糊集的概念对于一个普通的集合A,空间中任一元素x,要么x∈A,要么x∉A,二者必居其一。
这一特征可用一个函数表示为:A x x A x A()=∈∉⎧⎨⎩1A(x)即为集合A的特征函数。
将特征函数推广到模糊集,在普通集合中只取0、1两值推广到模糊集中为[0, 1]区间。
定义1 设X为全域,若A为X上取值[0, 1]的一个函数,则称A为模糊集。
模糊数学第二章 Fuzzy集合
分配律: ( B C ) ( A B ) ( A C ) , A
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
A ( B C ) ( A B ) ( A C ) 对偶律: A B ) c A c B c , (
证:
~ ~ ~ ~ ~ ~
A( u) ( B( u) C ( u)) A( u) B( u)
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
A( u) ( B( u) C ( u)) A( u) C ( u) A( u) ( B( u) C ( u)) ( A( u) B( u)) ( A( u) C ( u))
A ( At ) ( A At )
~ tT ~ tT ~ ( At ) c At c tT ~ tT ~ ~
~
At c
tT ~
第三节
定义:
Fuzzy集的代数运算及性 质
一一对应
称 x A为A的特征函数
A x A ( u)
二 Fuzzy 集的定义:设在论域 上给定映射A : U [0,1], 则称 A 为U上的 U
~ ~
一个Fuzzy集合, ( u)为A的隶属函数 A
~
U上 的Fuzzy集全体记为 F (U ) { A A : U [0,1]}
c
0.1 0.8 0.3 A B , ~ ~ u2 u3 u4 A A c
~ ~
0.7 0.9 1 0.8 1 , u1 u2 u3 u4 u5
A A c
~ ~
0.3 0.1 0.2 , u1 u2 u4
二 运算性质(p8):幂等律,交换律,结合律,吸收律,0-1律,复原律
fuzzy模糊数学
~
~
(u, w) Q R
~
~
(Q
~
R)~
•
Q R
~
~
同理
Q
~
R
~
(Q
~
R~ )
第三节 Fuzzy 矩阵(讨论有限论域的关系)
一、Fuzzy矩阵的定义及运算
U u1 , u2 ,...,um ,
V
v1 , v2 ,..,vn ,
R F (U
~
V )
将
R(
~
ui
,
v
j
)排
成
表
格
R
~
R(
z))
vV
(
R(u,
~
v)
wW
(S(v,
~
w)
P(w,
~
z ))
(R(u,v) (S P)(v, z)
vV ~
~~
(R (S P))(u, z)
~
~~
S,Q
~~
W P
~
Z
(2) 对并的分配律:R (S Q) (R S) (R Q)
~
~
~
~~
~~
(S Q) P (S P) (Q P)
~
~
~
~~
~~
注:在合成对交的次分配律中,等号不成立
例: 设 U (0,1),R,Q, S F (U U )如下: ~~~
R(u, v) 1,
~
1
S(u, v)
u
v
~
0
当u v 当u v 当u v
0 当u v
Q(u, v)
~
vu
当u v
(S Q)(u, v) S(u, v) Q(u, v) 0
第五章模糊数学基础
x y ( x y ) ( y x)
§5.3.2 语言变量
一、模糊数与语言变量 模糊数和语言变量的定义如下: 连续论域U中的模糊数 F是一个U上的正规凸模糊 集合。这里所谓正规集合的含义就是其隶属度函数的 最大值是1,即
max F (u ) 1
uU
凸集合的含义是:在隶属度函数曲线上任意两点 之间,曲线上的任意一点所表示的隶属度都大于或者 等于两点隶属度中较小的一个,即在实数集合的任意 区间[a,b]上,对于所有的x∈[a,b],都有
设A、B是同一论域U上的两个模糊集合,隶属度 函数分别为A (u)和B (u),它们的并、交、补运算定 义如下: l A与B的交,记作A∩B,有 AB(u)= A(u)B(u) =min{A(u) , B(u) } , uU l A与B 的并,记作A∪B,有 AB(u)= A(u)B(u) =max{A(u) , B(u) } , uU
(4)G为语法规则,用于产生语言变量N的值X的名称, 研究原子单词构成合成词后词义的变化,并求取其隶 属度函数。其中,用“或”、“与”、“非”作连接 词构成的合成词,可以按模糊逻辑运算取真值;带修 饰词算子的合成词,其真值可以根据经验公式计算出 来。常用的算子有以下几种: ①语气算子,如“很”、“略”、“相当”等; ②模糊化算子,如“大概”、“近乎”、“差不多” 等; ③判定化算子,如“偏向”、“多半是”、“倾向 于”等。 (5)M是语义规则,根据语义规则给出模糊子集X的隶 属度函数。
F ( x) min(F (a), F (b)) , a, b U , x [a, b]
语言变量用一个有五个元素的集合(N,T(N),U,G,M) 来表征,其中 (1)N是语言变量的名称,如年龄、数的大小等; (2)U为语言变量N的论域; (3)T(N)为语言变量的值X的集合,其中每个X都是 论域U上的模糊集合,如 T( N ) = T( 年 龄 )=“ 很 年 轻 ” +“ 年 轻 ” +“ 中 年”+“较老”+“很老” =X1+X2+X3+X4+X5
第四章 模糊数学
三 模 集 运 、 糊 的 算 由 已 , 要 定 个 糊 , 要 给 其 上 知 若 给 一 模 集 主 是 定 隶 属 数 由 两 模 集 运 结 仍 一 模 集 函 。 于 个 糊 的 算 果 为 个 糊 。 因 , 义 糊 的 算 主 是 明 隶 函 为 。 此 定 模 集 运 , 要 阐 其 属 数 何 1 运 定 、 算 义 A B 为 域 的 糊 , 有 列 义 设 、 均 论 X上 模 集 则 下 定 : % % (1 相 A= B µA(x) = µB(x), 现 两 曲 重 ; ) 等 : 表 为 者 线 合 % % % % (2)包 A⊂ B µA(x) ≤ µB(x), 现 µA处 不 于 B; 含 : 表 为 处 大 µ % % % % % % (3)并 UB µAUB(x) = m µA(x), B(x)} µA(x) ∨µB(x); A : ax{ µ ∆ % % % % % % % % (4)交 IB µAIB(x) = m µA(x), B(x)} µA(x) ∧µB(x); A : in{ ∆ µ % % % % % % % % (5)补 ( A) µA(x) =1−µA(x), 集 或c : A % % % % (6)空 ∅ µ∅(x) ≡ 0 一 x 不 于 , ∅ 无 素 集 : , 个也 属 ∅ 即 中 元 。 % % % %
µA
%
µB
%
0
25
50
% % % %
(2)易 , AIB(x) ≤ µAUB(x), 见 µ ∴AIB ⊂ AUB % % % %
2、 算 : 运 律 设 、 、 均 X上 模 集 A B C 为 的 糊 % % % (1)幂 律 AUA= A AIA= A 等 : , % % % % % % (2)交 律 AUB BUA AIB BIA 换 : = , = % % % % % % % % (3)结 律 (AUB) UC = AU(BUC), AIB) IC = AI(BIC) 合 : ( % % % % % % % % % % % % (4)分 律 AI(BUC) = (AIB) U(AIC) 配 : % % % % % % % AU(BIC) = (AUB) I(AIC) % % % % % % % (5)吸 律 AI(AUB) = A AU(AIB) = A 收 : , % % % % % % % % 证 由 配 , I(AUB) = (AIA U(AIB) : 分 律 A ) % % % % % % % ∴µAI(AUB) (x) = (µA(x) ∧µA(x)) ∨(µA(x) ∧µB(x)) = µA(x)
模糊数学 (第一讲)
模糊数学
福州大学 数学与计算机科学学院
1
第一章 模糊集合及其运算
第一讲 1.1 经典集合与特征函数 1.2 模糊集合与隶 经典集合与特征函数; 属函数; 属函数 1.3 模糊集合的运算
0 O(u) = u − 50 −2 −1 (1+ ( 5 ) )
0 ≤ u ≤ 25 25 < u ≤ 200
0 ≤ u ≤ 50 50 < u ≤ 200
例如: 例如 Y (30) = 0.5 , O(30) = 0 , Y(60) = 0.02, O(60) = 0.8.
10
16
1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
目录
§1.3 模糊集合的运算 1.3.1 经典集合的运算及其性质 定理1.3.2 设 A , B , C ∈ P ( U ),则 定理 , (1) 幂等律:A∪A = A , A∩A = A ; 幂等律: ∪ (2) 交换律:A∪B = B∪A , A∩B = B∩A ; 交换律: ∪ ∪ (3) 结合律:( A∪B )∪C = A∪( B∪C ), 结合律: ∪ ∪ ∪ ∪ ( A∩B )∩C = A∩( B∩C ); (4) 吸收律:( A∩B )∪B = B , ( A∪B )∩B = B ; 吸收律: ∪ ∪ (5) 分配律:A∩( B∪C ) = ( A∩B )∪( A∩C ), 分配律: B∪ )∪ A∪( B∩C ) = ( A∩B )∪( A∩C ); ∪ ∪ (6) 复原律: (A′ )′= A ; 复原律: ′ ′ (7) 两极律: A∪U = U , A∩U = A , A∪∅ = A , A∩∅ = ∅ ; 两极律: ∪ ∪ ∅ (8) De Morgan律: ( A∪B )′ = A′∩B′ , ( A∩B )′ = A′∪B′ ; 律 ∪ ′ ′ ′ ′ ′ ′ (9) 排中律 互补律 : A∪A′ = U , A∩A′ = ∅ . 排中律(互补律 互补律): ∪ ′ ′
模糊数学第一章
A B B A
(3) 结合律(associativity)
A B பைடு நூலகம்B A
A (B C) (A B) C (A B) C A (B C)
(4) 吸收律(absorption laws)
A (A B) A
A (A B) A
例2:
在例 1中,f1 ({1, 2, 3}) {a,b,c},f2 ({1, 2, 3}) {a}.
二、映射与扩张
(2) 特殊映射
单射(injection):
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
或f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
满射(surjection): f 为从X到Y的满射当且仅当f(X)=Y. 双射(bijection):
2
二、课程认识
在客观世界中,诸如上述的模糊概念要比清
晰概念多得多。
对于这类模糊现象,过去已有的数学模 型难以适用,需要形成新的理论和方法,即 在数学和模糊现象之间架起一座桥梁——模 糊数学。
2
二、课程认识
教学目的
通过本课程的学习,掌握模糊数学的
基本思想,基础理 论;从而进一步了解 模糊理论的基本应用,能够应用模糊理 论解决信息领域与工程技术中的实际问 题。
空集: 不含任何元素的集合, 记为 子集: 若x A x B, 则称A是B的子集,或A包含
于B, 或B包含A.记为A B或B A
相等: A B 且 B A,则称 A与B 相等,且A=B 真子集: A B且A与B不相等且A ,称A是B的真子集, 或A真包含于B, 记A B
交(int ersection) A B {x | x A且x B}
【精编】模糊数学课件PPT课件
❖ 说明:
❖ 1、R是集合X到集合Y的关系,记作 RXY
❖ 2、关系R的定义域,记为D(R) ❖ 3、关系R的值域,记为C(R) ❖ 4、所有的集合运算及其性质在关系中也适用
5、令集合X ={x1 , x2 ,…, xn} ,Y ={y1 , y2 ,…, ym}, X到Y存在关系R,则关系R的“关系矩阵”为 MR=(rij)n*m,其中
⑨排中律: A∪Ac = U, A∩Ac = ;
2.1.3 关系
定义2-5 X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的二元关系, 特别地,当 X = Y 时,称之为 X 上的二元关系.二元关系 简称为关系.
若(x , y )R,则称 x 与 y 有关系,记为 R (x , y ) = 1;
若(x , y )R,则称 x 与 y 没有关系,记为 R (x , y ) = 0.
模糊数学课件
第一章 绪 论
1.1 模糊数学的发展 1.2 模糊性 1.3 模糊数学的应用
1.1 模糊数学的发展
1、数学的定义
19世纪之前:数学是关于物质世界的空间形式和 数量关系的科学。
近代科学的特点:用精确定义的概念和严格证明的 定理描述现代事物数量的关系和空间形式,用精 确的实验方法和精确的测量计算探索客观 世界的规律,建立严密的理论体系。
设A,B,C为论域U中的三个任意集合
①幂等律: A∪A = A, A∩A = A; ②交换律: A∪B = B∪A, A∩B = B∩A; ③结合律:( A∪B )∪C = A∪( B∪C ),
( A∩B )∩C = A∩( B∩C ); ④吸收律:A∪( A∩B ) = A,A∩( A∪B ) = A;
第三章模糊综合评价法(FUZZY)
R (rij )m*n
(5)确定权数向量: A (a1, a2 ,, am ) 一种是由具有权威性的专家及具有代表性的人按 因素的重要程度来商定;另一种方法是通过数学 方法来确定。现在通常是凭经验给出权重 。 (6)选择适当的合成算法:常用算法:加权平均 法、最大隶属度法和主因素突出法(查德算子)。 加权平均型算法常用在因素集很多的情形,它可 以避免信息丢失;主因素突出型算法常用在所统 计的模糊矩阵中的数据相差很悬殊的情形,它可 以防止其中“调皮”的数据的干扰。
模糊数学的产生把数学的应用范围,从精 确现象扩大到模糊现象的领域,去处理复 杂的系统问题。模糊数学决不是把已经很 精确的数学变得模模糊糊,而是用精确的 数学方法来处理过去无法用数学描述的模 糊事物。从某种意义上来说,模糊数学是 架在形式化思维和复杂系统之间的一座桥 梁,通过它可以把多年积累起来的形式化 思维,也就是精确数学的一系列成果,应 用到复杂系统里去。
二、构造评价矩阵和确定权重
首先对指标集U中的单指标ui(i=1,2,…,m)作单指标 评判,就指标ui着眼,确定该事物对抉择等级 vj(j=1,2,…,n)的隶属度(可能性程度)rij,这样就得 出第i个因素ui的单指标评判集:
ri ri1 , ri 2 ,..., rin
这样,m个指标的评价集就构造成一个总的评 价矩阵R。
R中不同的行反映了某个被评价事物从不同的单指 标来看对各等级模糊子集的隶属程度。用模糊权 向量A将不同的行进行综合,就可得到该被评事物 从总体上来看对各等级模糊子集的隶属程度,即 模糊综合评价结果向量。 引入V上的一个模糊子集B,称模糊评价集,又称 决策集。B=(b1,b2,…bn)。 如何由R与A求B呢?一般地令B=A*R(*为算子符 号),称之为模糊变换。
模糊数学第一章
模糊产品
洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯
第一章 模糊理论的数学基础
普通集合与普通关系
模糊理论的数学基础
普通集合与普通关系
一、集合
集合的有关概念 集合的运算 集合运算的性质 映射与扩张 集合的特征函数 直积
空集的基数是
即||=0.
有穷集、无穷集
定义: 设A为集合,若存在自然数n(0也是自然数), 使得|A|=card A=n,则称A为有穷集,否则称A 为无穷集。 例如,{a,b,c}是有穷集,而N,Z,Q,R都是无穷集。
5. 映射与扩张
(1) 映射(mapping):实际是函数概念的推广 设 X, Y 都是集合,若存在对应关系f, 使 x X, 都有唯一的 y Y 与之相对应,则称f 是映X入Y 的映射。 记号: f : X Y x a y f (x)
或A真包含于B, 记A B
1. 集合的有关概念 幂集: U的所有子集的集合称为U的幂集,记为P(U)
P(U) {A | A U}
例如: U {x, y, z}
P(U) {{x},{y},{z},{x, y},{x, z},{y, z}, U, }
定理:如果有限集合U有n个元素,则其幂集P(U)有 2n 个元素。 例:P() = {} P(P()) = {,{}}
读作f映X入Y(映入),y称为x在影射f下的像,x称为原像。
例1:设A {1,2,3}, B {a, b, c}, 定义对应法则:
f1 :1 a a, 2 a b, 3 a c f 2 :1 a a, 2 a a, 3 a a
模糊数学05
§5.1 关系
z 定义 设U,V是两个非空集合,U ×V 的任 何一个子集 R 称为从 U 到 V 的二元关
系,简称关系。
z 若(u , v )∈R,则称 u 与 v 有关系,记为
z
R (u , v ) = 1;
z 若(u , v )∉R,则称 u 与 v 没有关系,记为
z
R (u , v ) = 0.
设R=(rij)m×n,S=(bij)m×n都是关系矩阵, 相等:R = S ⇔ rij = sij; 包含:R≤S ⇔ rij≤sij; 并:R∪S = (rij∨sij)m×n; 交:R∩S = (rij∧sij)m×n; 余:Rc = (1- rij)m×n.
关系的合成
设 R 是 U 到 V 的关系, S 是 V 到 W 的关系, 则 R 与 S 的合成 RоS 是 U 到 V 上的一个关系.
E
=
⎜⎛1 ⎜M
...
1⎟⎞ M⎟
还原律:(Ac)c = A;
⎜⎝1 ... 1⎟⎠
对偶律: (A∪B)c =Ac∩Bc, (A∩B)c =Ac∪Bc.
模糊关系与普通关系
模糊关系向普通关系的转化(相应地,模糊矩阵
向布尔矩阵的转化),由λ截集来实现。
定义 设R ∈ F(U×V), ∀ λ ∈[0, 1], R的λ截集 Rλ 是U与V之间的一个普通关系, 称为λ截关系, 它
A 0.3
=
⎜1
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
1 0 1
0 1 1
1⎟ 11 ⎟⎟⎟⎠
模糊关系的合成
z 定义 设U,V,W是三个论域,Q∈F(U×V), R∈ F(V×W), Q与R的合成QоR∈F(U×W), 隶 属函数规定为
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模糊数学第1节模糊聚类分析第2节模糊模式识别第3节模糊相似优先比方法第4节模糊综合评判第5节模糊关系方程求解在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。
这里所谓的模糊性,主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性,如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”;灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重”,等等。
这些通常是本来就属于模糊的概念,为处理分析这些“模糊”概念的数据,便产生了模糊集合论。
根据集合论的要求,一个对象对应于一个集合,要么属于,要么不属于,二者必居其一,且仅居其一。
这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。
为处理这些模糊概念而进行的种种努力,催生了模糊数学。
模糊数学的理论基础是模糊集。
模糊集的理论是1965年美国自动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出来的,近10多年来发展很快。
模糊集合论的提出虽然较晚,但目前在各个领域的应用十分广泛。
实践证明,模糊数学在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面,在图像识别、天气预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。
从该学科的发展趋势来看,它具有极其强大的生命力和渗透力。
在侧重于应用的模糊数学分析中,经常应用到聚类分析、模式识别和综合评判等方法。
在DPS系统中,我们将模糊数学的分析方法与一般常规统计方法区别开来,列专章介绍其分析原理及系统设计的有关功能模块程序的操作要领,供用户参考和使用。
第1节模糊聚类分析1. 模糊集的概念对于一个普通的集合A,空间中任一元素x,要么x∈A,要么x∉A,二者必居其一。
这一特征可用一个函数表示为:A x x A x A()=∈∉⎧⎨⎩1A(x)即为集合A的特征函数。
将特征函数推广到模糊集,在普通集合中只取0、1两值推广到模糊集中为[0, 1]区间。
定义1 设X为全域,若A为X上取值[0, 1]的一个函数,则称A为模糊集。
如给5个同学的性格稳重程度打分,按百分制给分,再除以100,这样给定了一个从域X={x1 , x2 , x3 , x4, x5}到[0, 1]闭区间的映射。
x1:85分,即A(x1)=0.85x2:75分,A(x2)=0.75x3:98分,A(x3)=0.98x4:30分,A(x4)=0.30x5:60分,A(x5)=0.60这样确定出一个模糊子集A=(0.85, 0.75, 0.98, 0.30, 0.60)。
定义2 若A为X上的任一模糊集,对任意0 ≤λ≤ 1,记Aλ={x|x∈X, A(x)≥λ},称Aλ为A的λ截集。
Aλ是普通集合而不是模糊集。
由于模糊集的边界是模糊的, 如果要把模糊概念转化为数学语言,需要选取不同的置信水平λ (0 ≤λ≤ 1) 来确定其隶属关系。
λ截集就是将模糊集转化为普通集的方法。
模糊集A是一个具有游移边界的集合,它随λ值的变小而增大,即当λ1 <λ2时,有Aλ1∩Aλ2。
定义3 模糊集运算定义。
若A、B为X上两个模糊集,它们的和集、交集和A的余集都是模糊集, 其隶属函数分别定义为:(A∨B) (x)= max ( A(x), B(x) )(A∧B) (x)= min ( A(x), B(x) )A C (x)=1-A(x)关于模糊集的和、交等运算,可以推广到任意多个模糊集合中去。
定义4若一个矩阵元素取值为[0, 1]区间内,则称该矩阵为模糊矩阵。
同普通矩阵一样,有模糊单位阵,记为I;模糊零矩阵,记为0;元素皆为1 的矩阵用J表示。
定义5 若A和B是n×m和m×l的模糊矩阵,则它们的乘积C=AB为n×l阵, 其元素为:C ij=∨∧=kmik kja b1()(i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, l) (20.1)符号“∨”和“∧”含意的定义为:a∨b=max(a, b),a∧b=min(a, b)。
模糊矩阵乘法性质包括: 1) (AB)C=A (BC);2) AI=IA=A;3)A0=0A=0; 4) AJ=JA; 5) 若A、B为模糊矩阵且a ij ≤b ij (一切i, j),则A≤B,又若A≤B, 则AC≤BC,CA≤CB。
2. 模糊分类关系模糊聚类分析是在模糊分类关系基础上进行聚类。
由集合的概念, 可给出如下定义:定义6 n个样品的全体所组成的集合X作为全域,令X⨯Y={(X, Y)|x∈X, y∈Y},则称X⨯Y为X的全域乘积空间。
定义7 设R为X⨯Y上的一个集合,并且满足:1) 反身性: (x i , y i)∈R,即集合中每个元素和它自己同属一类;2) 对称性: 若(x, y)∈R,则(y, x)∈R,即集合中(x, y)元素同属于类R时, 则(y, x)也同属于R;3) 传递性: (x, y)∈R,(y, z)∈R,则有(x, z)∈R。
上述三条性质称为等价关系,满足这三条性质的集合R为一分类关系。
聚类分析的基本思想是用相似性尺度来衡量事物之间的亲疏程度, 并以此来实现分类,模糊聚类分析的实质就则是根据研究对象本身的属性未构造模糊矩阵,在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系。
3. 模糊聚类利用模糊集理论进行聚类分析的具体步骤如下:(1) 若定义相似系数矩阵用的是定量观察资料,在定义相似系数矩阵之前,可先对原始数据进行变换处理,变换的方法同系统聚类分析, 可参考第17章系统聚类分析一节。
(2) 计算模糊相似矩阵。
设U是需要被分类对象的全体,建立U上的相似系数R,R(i, j)表示i与j之间的相似程度,当U为有限集时,R是一个矩阵,称为相似系数矩阵。
定义相似系数矩阵的工作,原则上可以按系统聚类分析中的相似系数确定方法,但也可以用主观评定或集体打分的办法。
DPS 平台,对数据集X =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⨯x x x x x x x x x n m m m n n nm 111212122212提供了以下8种建立相似矩阵的方法: ①相关系数法: ②最大最小法:③算术平均最小法:④几何平均最小法: ⑤绝对指数法:⑥绝对值减数法: ⑦夹角余弦法:⑧欧氏距离:(3) 聚类分析。
用上述方法建立起来的相似关系R ,一般只满足反射性和对称性,不满足传递性,因而还不是模糊等价关系。
为此,需要将R 改造成R *后得到聚类图,在适当的阈值上进行截取,便可得到所需要的分类。
将R 改造成R *,可用求传递闭包的方法。
R 自乘的思想是按最短距离法原则,寻求两个向量x i 与x j 的亲密程度。
假设R 2=(r ij ),即r ij =k n=∨1(r ik ∧r kj ),说明x i 与x j 是通过第三者K 作为媒介而发生关系,r ik ∧r kj 表示x i 与x j 的关系密切程度是以min(r ik , r kj )为准则,因k 是任意的, 故从一切r ik ∧r kj 中寻求一个使x i 和x j 关系最密切的通道。
R m 随m 的增加,允许连接x i 与x j 的链的边就越多。
由于从x i 到x j 的一切链中, 一定存在一个使最大边长达到极小的链,这个边长就是相当于r ij ∝。
在实际处理过程中,R 的收敛速度是比较快的。
为进一步加快收敛速度,通常采取如下处理方法:R →R 2→R 4→R 8→…→R 2k即先将R 自乘改造为R 2,再自乘得R 4,如此继续下去,直到某一步出现R 2k =R k =R *。
此时R *满足了传递性, 于是模糊相似矩阵(R )就被改造成了一个模糊等价关系矩阵(R *)。
(4) 模糊聚类。
对满足传递性的模糊分类关系的R *进行聚类处理,给定不同置信水平的λ,求R λ*阵,找出R *的λ显示,得到普通的分类关系。
当λ=1时,每个样品自成一类,随λ值的降低,由细到粗逐渐归并,最后得到动态聚类谱系图。
4. DPS 平台操作示例首先在编辑状态下输入编辑数据,格式是每一行为一个样本,每一列为一个变量,然后将待分析的数据定义成数据矩阵块,在菜单方式下选择“模糊数学→模糊聚类”功能项,回车执行时,系统将提示用户选择数据转换方法:0.不转换 1.数据中心化 2.对数转换 3.数据规格化 4.数据标准化 作出数据转换方式的选择后,系统又将提示选择建立模糊相似关系的计算方法,共有上面所述的8种方法可供选择。
分析输出的结果包括各个样本的联结序号、联结水平、聚类谱系图索引及在屏幕上显示聚类谱系图(拷屏可得到谱系图硬拷贝, 或按S 将图形文件以“.BMP ”格式存放在盘上,然后可在Windows 有关应用软件中调出)。
第2节 模糊模式识别1. 方法简介“模式”一词来源于英文Pattern ,原意是典范、式样、样品,在不同场合有其不同的含义。
在此我们讲的模式是指具有一定结构的信息集合。
模式识别就是识别给定的事物以及与它相同或类似的事物,也可以理解为模式的分类,即把样品分成若干类,判断给定事物属于哪一类,这与我们前面介绍的判别分析很相似。
模式识别的方法大致可以分为两种,即根据最大隶属原则进行识别的直接法和根据择近原则进行归类的间接法,分别简介如下: (1) 若已知n 个类型在被识别的全体对象U 上的隶属函数,则可按隶属原则进行归类。
此处介绍的是针对正态型模糊集的情形。
对于正态型模糊变量x ,其隶属度为A x x a b ()=--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥e 2其中a 为均值,b 2=2σ2, σ2为相应的方差。
按泰勒级数展开,取近似值得A x x a b x a b x a b ()=--⎛⎝ ⎫⎭⎪-<->⎧⎨⎪⎩⎪102若有n 种类型m 个指标的情形,则第i 种类型在第j 种指标上的隶属函数是A x x a b x a b a b x a a x a x a b a x a b a b xij ij ij ijij ij ij ijij ij ijij ij ij ijij ij ()(1)(1)(1)(1)(1)()()()()()=≤---⎛⎝⎫⎭⎪⎪-<<≤≤--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪<<++<⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪011102222222其中a ij(1)和a ij()2分别是第i 类元素第j 种指标的最小值和最大值,b ij ij 222=σ, 而σij 2是第i 类元素第j 种指标的方差。
(2) 若有n 种类型(A 1, A 2, …, A N ), 每类都有m 个指标,且均为正态型模糊变量,相应的参数分别为a ij (1),a ij ()2,b ij(i =1, 2, …, n ; j =1, 2, …, m )。
其中,a x ij ij (1)min()=,a x ij ij ()2=max(),b ij ij222=σ, 而σij 2是x ij 的方差。