本时间序列分析第四章小结

AIC 准则有过分估计自回归阶数的倾向，
可略加改动，得到BIC准则
n ˆ (n) ln N BIC(n) ln N
2 a
选择使上式达到最小的n0做为最佳阶数。 因为一般有：lnN>2，所以由BIC准则确定的阶数不 大于由AIC准则确定的阶数。
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第四章 平稳时间序列模型的建立
第三节
模型参数估计
1 k 1 1 k 1 0 k 2 1 0 k 2 2 可以得到： 0 k kk k 1 k 2
偏自相关函数p步截尾， 当k>p时，有
ˆ kk ~ N(0, 1 ) N
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第四章 平稳时间序列模型的建立
(2)截尾、拖尾性的判断
截尾：从某一步q开始与零是否有显著性差别的显著性 检验。若从某一步q开始与零无显著性差别，即为截尾。 观察是否落入2倍标准差范围内，若是，则与零无显著 性差别，即为截尾。 拖尾：在不长时间内收敛，逐渐衰减至零附近。
1. 模型识别既是模型建立中的一个重要步骤也是一个过程 2. 一个具体的时间序列分析问题：
建立时间序列
建模
应用分析
模型识别 参数估计
诊断检验
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第四章 平稳时间序列模型的建立
二、用自相关函数和偏自相关函数识别
1. B-J方法模型识别的依据
AR(p)模型 MA(q)模型 ARMA模型 ρ k φ kk 拖尾 p步截尾 q步截尾 拖尾 拖尾 拖尾
选择使上式达到最小的n0做为最佳阶数。 一般做法： (1)对观察数据从低阶到高阶拟合AR模型，
(2)计算相应的FPE值，
(3)选择最小的FPE值对应的AR模型为最佳模型。
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第四章 平稳时间序列模型的建立
4. AIC准则
最小信息准则
2 ˆa AIC(n) ln (n) 2n N
准则函数：
2 ˆa 用ARMA(n,m)拟合序列{Xt}，则拟合残差方差
是n、m、μ的函数（假定μ也是待估参数）， 记作
2 ˆa (n, m, )
2 ˆa 定义 AIC(n, m, ) ln (n, m, ) 2(n m 1) / N
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第四章 平稳时间序列模型的建立
5. BIC准则
时间序列分析
第四章 平稳时间序列模型的建立
第四章 平稳时间序列模型的建立
第四章 平稳时间序列模型的建立
共分六节：
※第一节 ※第二节 ※第三节 ※第四节 ※第五节 ※第六节 模型识别 模型定阶 模型参数估计 模型的适应性检验 建模的其它方法 实例
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第一节
模型识别
第四章 平稳时间序列模型的建立
一、对模型识别问题的认识 ：
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第四章 平稳时间序列模型的建立
三、实际操作中的问题 1. 零均值的显著性检验 判断时间序列是否是零均值的，即判断给出的 样本序列是否与零有显著性差异（是否显著为零或 显著非零）。
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第四章 平稳时间序列模型的建立
进行零均值化 若显著非零 不进行零均值化
判断平稳性、 识别、估计、 检验等
这时是将均值作为一个未知 参数代入模型中，模型的形 式也将会有所改变，参数估 计时，需估计序列的均值。
0
[1 2 (1 k ) k ] N N k 1

N 1
在大样本情况下，上面的方差表达式可以近似表示为：
var(X )
0
N
(1 2 k )
k 1
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第四章 平稳时间序列模型的建立
（2）零均值的显著性判断： 我们考察均值μ的估计 X 的均值和方差，为我们 判断序列是否零均值提供了一种依据。 如果样本均值在以下范围内可认为是零均值过程。
0 2 Var X
另外，由
0 var(X ) (1 2 k ) N k 1
可看出：
若原时间序列是独立随机变量序列，则有 var(X ) N 若Xt之间存在自相关，X 的方差就发生了变化
0
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第四章 平稳时间序列模型的建立
对AR(1)模型，有
k , 1
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第四章 平稳时间序列模型的建立
2. 对ARMAБайду номын сангаасn,m)模型
可看成n+m阶回归方程
检验ARMA(n,m)与ARMA(n-1,m-1)有无显著性差异
H0：无显著性差异
ARMA(n,m)
Q0：对应自由度为N－n－(n+m)＝N－2n-m
ARMA(n-1,m-1)
Q1：对应自由度为N－(n－1)－(n+m－2)＝N－2n-m+3
3. 残差方差的计算：
2 ˆa
Q 实际观察值个数－参数个数
Q 2 ˆa AR : (n) ( N n) (n 1) Q 2 ˆ MA : a (n) N (n 1) Q 2 ˆa (n, m) ARMA : ( N n) (n m 1)
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第四章 平稳时间序列模型的建立
（1）序列均值的方差为： 对有N个观察值的有限时间序列( X 1 , X 2 ,, X N )，其 均值μ可用样本均值
X 1 N
N
X
t 1
t
来估计，且是μ的无偏估计。为度量其精度，我们有：
var(X ) 12 N
ts
t 1 s 1
N
N
k 1,2,, m
这是一个由m+1个方程构成的非线性方程组。 常用的求解方法有三种：直接法、线性迭代法和 Newton-Raphson算法。
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第四章 平稳时间序列模型的建立
例：求MA(1) 模型参数的矩估计
1 1 4 12 1 2 1
1
2 1 1 1 4 12
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第四章 平稳时间序列模型的建立
第二节
模型定阶
一、自相关和偏自相关函数定阶法
二、残差方差图定阶法 三、 F检验定阶法 四、 最佳准则函数定阶法(AIC、FPE、BIC准则)
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第四章 平稳时间序列模型的建立
一、 自相关和偏自相关函数定阶法
AR(p)模型 MA(q)模型 ARMA模型 ρ k φ kk 拖尾 p步截尾 q步截尾 拖尾 拖尾 拖尾
1
又有
k1 1,k 2 2 ,,kk k ,
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第四章 平稳时间序列模型的建立
又有：
2 0 1 1 2 2 n n a
可得：
2 ˆ1 ˆ 2 ˆ n ˆi ˆi ) ˆa ˆ0 ˆ1 ˆ2 ˆn ˆ0 (1 i 1 n
既不截尾也不拖尾：无上述特征，呈明显缓慢衰减或周 期性衰减。这说明序列是非平稳的。
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第四章 平稳时间序列模型的建立
即如果自相关函数是q阶截尾的，当k>q时，自相 关估计值的方差满足
q 1 var(rk ) (1 2 v2 ) (k>q) N v 1 如果自相关估计值在 0 2 var(rk ) 范围内，可 看成是截尾的。
一、模型参数估计的几种方法
常用的参数估计方法有：
矩估计、极大似然估计、贝叶斯估计、
最小二乘估计等 二、模型参数的相关矩估计
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第四章 平稳时间序列模型的建立
二、模型参数的相关矩估计
1. 矩估计：
用样本矩去估计总体相应的矩。
是一种简单粗略的估计，但可提供迭代估计时的初值 优点：简单易懂，便于计算 缺点：有效性和精度不够
例1：求AR(1)模型参数的矩估计
2 ˆ1 ˆ1; ˆ1 ˆ12 ) ˆa ˆ0 ˆ1 ˆ0 (1
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第四章 平稳时间序列模型的建立
（2）MA模型参数的矩估计 在第三章考察模型的自协方差时我们得到：
2 2 0 (1 12 22 m ) a 2 k ( k k 11 k 2 2 m mk ) a
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第四章 平稳时间序列模型的建立
2. 自相关和偏自相关函数估计值的截尾和拖尾性判断 在进行模型识别(主要是考虑自相关函数和偏自相关函 数的截尾和拖尾性)时，要用到自相关和偏自相关估计 的标准差
(1)自相关函数和偏自相关函数的估计值的渐近分布
q 2 1 自相关函数q步截尾， ˆ k ~ N 0, ˆ j ) (1 2 j 1 当k>q时，有 N
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第四章 平稳时间序列模型的建立
2. 这种识别方法的优缺点： 优点：简单易懂，易于操作，应用广泛。 缺点：精度不够，特别是序列长度不足够长时。 这是因为
（1）识别时用的是自相关函数和自协方差函数的样本 估计值，它们与理论值有一定差异； （ 2 ）对高阶 ARMA 模型的识别，显得有些力不从心。
改进措施：可利用自相关和自协方差函数做初步识别， 再结合其他方法确定模型。
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第四章 平稳时间序列模型的建立
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第四章 平稳时间序列模型的建立
2. 主要有AIC准则、FPE准则和BIC准则
3. FPE准则：
最小化最终预测误差(Final Prediction Error)准则
依据：
根据模型的预报误差来判断自回
归模型的阶数是否恰当。
适用范围：AR模型
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第四章 平稳时间序列模型的建立
准则函数：
2 ˆ i ˆa ˆ0 ˆi ) FPE(n) N n N n ( N n N n i 1 n
2 ˆ 用AR(n)拟合序列{Xt}，则拟合残差方差 a
2 ˆ 是n的函数，记作 a (n)
n