考点22等差数列及其前n项和高考全攻略之备战2019年高考数学(理)考点一遍过

合集下载

等差数列及其前n项和复习(全面知识点+精选例题)精编材料word版

二、等差数列1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d 表示．递推式表示为1n n a a d +-=或1(2)n n a a d n --=≥．例如：数列{}n a 满足12n n a a +=+，则数列{}n a 是公差为2的等差数列．注：0d >时，为递增数列；0d <时，为递减数列；0d =时，为常数列． 2．等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫作a 与b 的等差中项．此时2a b A +=3．等差数列的通项公式等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1(1)n a a n d =+-．4．等差数列的性质（1）等差数列{}n a 的第m 项为m a ，则()n m a a n m d =+-．★ 例如：8123107652a a d a d a d a d =+=+=+=-=L ．（2）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=．★ 例如：1928374652a a a a a a a a a +=+=+=+=，12132n n n a a a a a a --+=+=+=L ．（3）下标成等差数列且公差为m 的项k a ,k m a +,2k m a +,L 组成公差为md 的等差数列．例如：135721,,,,,,n a a a a a -L L 组成公差为2d 的等差数列；51015205,,,,,,n a a a a a L L 组成公差为5d 的等差数列．（4）{}n a 是公差为d 的等差数列，则{}n ka b +也是等差数列，公差为kd ．（5）{}n a ,{}n b 都是等差数列，则{}n n a b ±,{}n n pa qb ±也是等差数列．5．判断一个数列是等差数列的方法（1）定义法：1n n a a d +-=（常数）．（2）等差中项法：122++=+n n n a a a 或112-+=+n n n a a a ．★ （3）通项公式法：=n a kn b +（公差为k ）．（4）前n 项和公式法：2n S An Bn =+（不含常数项的二次函数）．★三、等差数列的前n 项和1．等差数列前n 项和公式n a 通项公式得到）★ 21()22n d dS n a n =+-（以n 为变量，体现二次函数） 2n S An Bn =+（简化写法，不含常数项的二次函数）2．和的有关性质等差数列{}n a ，公差为d ，前n 项和为n S ，那么：（1）{}n S n也成等差数列，其首项与{}n a 首项相同，公差是{}n a 公差的12．（2）等差数列{}n b ，前n 项和为n T （21(21)n n S n a -=-）．★ （3）数列232,,,k k k k k S S S S S --L 是等差数列，公差为2k d ．★ （4）S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，则有：①当项数为偶数2n 时，S S nd -=偶奇，1nn S a S a +=奇偶； ②当项数为奇数21n -时，n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶．3．和与函数的关系及和的最值 21()22n d dS n a n =+-简写为2()n S An Bn n =+∈*N ，可以把(,)n n S 看作是二次函数图像上孤立的点，因此可以用二次函数的性质来研究和的性质，比如对称和求最值．例15等差数列{}na中，120S=，且1015S S=，求当n取何值时，nS有最大值，并求出这个最大值．解析：由二次函数对称性，及1015S S=，可知对称轴为101512.52+=距离12.5最近的整数为12和13，即当12n=或13时，nS有最大值即1213S S=，所以13a=，1131313()1302a aS+==．答案：1213130S S==例16等差数列{}na中，17a=，公差为d，前n项和为nS，当且仅当8n=时，nS取得最大值，则d的取值范围为______．解析：由题意可知89770780a da d=+>⎧⎨=+<⎩，解得718d-<<-．答案：7(1,)8--数学浪子整理制作，侵权必究。

高考数学复习等差数列及其前n项和

第2讲等差数列及其前n 项和最新考纲考向预测1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n 项和公式，理解等差数列的通项公式与前n 项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元一次函数的关系．命题趋势等差数列的基本运算、基本性质，等差数列的证明是考查的热点．本讲内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度中低档.核心素养数学抽象、逻辑推理1．等差数列与等差中项 (1)等差数列的定义：①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；②符号语言：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：若三个数a ，A ，b 组成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ．(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n （a 1＋a n ）2．3．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．常用结论1．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且一次项系数为公差d .若公差d ＞0，则为递增数列，若公差d ＜0，则为递减数列．(2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.2．两个常用结论(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1；②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为S 2n －1T 2n －1＝a nb n .常见误区1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数；当公差d ＝0时，a n 为常数．2．注意利用“a n －a n －1＝d ”时加上条件“n ≥2”．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.()(5)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(6)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)×2．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 2＝2，S 4＝14，则S 6等于( ) A ．32 B ．39 C ．42D ．45解析：选B.设公差为d ，由题意得⎩⎨⎧a 1＋d ＝2，4a 1＋4×32d ＝14，解得⎩⎨⎧a 1＝－1，d ＝3，所以S 6＝6a 1＋5×62d ＝39.3．已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 3＝5，S n ＝64，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C.因为d ＝a 3－a 12＝2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ＋n (n －1)＝64，解得n ＝8(负值舍去)．故选C.4．(易错题)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的通项公式为__________．解析：当n ≥2时，a n ＝a n －1＋12，所以{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，则a n ＝1＋(n －1)×12＝12n ＋12.答案：a n ＝12n ＋125．(2020·高考全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝____________．解析：通解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 2＋a 6＝2，得a 1＋d ＋a 1＋5d ＝2，即－4＋6d ＝2，解得d ＝1，所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.优解：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2＋a 6＝2a 4＝2，所以a 4＝1，所以d ＝a 4－a 14－1＝1－（－2）3＝1，所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.答案：25等差数列的基本运算(1)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n(2)(2020·河南部分重点高中联考)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S 5－5S 3＝135，则数列{a n }的公差d ＝________．【解析】 (1)方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎨⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝－3，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2－4n .故选A.方法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎨⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝－3，d ＝2.选项A ，a 1＝2×1－5＝－3；选项B ，a 1＝3×1－10＝－7，排除B ；选项C ，S 1＝2－8＝－6，排除C ；选项D ，S 1＝12－2＝－32，排除D.故选A.(2)因为3S 5－5S 3＝135，所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d － 5⎝⎛⎭⎪⎫3a 1＋3×22d ＝135，所以15d ＝135，解得d ＝9. 【答案】 (1)A (2)9等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．1．(2020·六校联盟第二次联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＋S 5＝2，S 7＝14，则a 10＝( )A ．18B ．16C ．14D ．12解析：选 C.设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋5a 1＋5×42d ＝2，7a 1＋7×62d ＝14可得⎩⎨⎧6a 1＋13d ＝2，a 1＋3d ＝2，解得⎩⎨⎧a 1＝－4，d ＝2，所以a 10＝－4＋9×2＝14，选C. 2．(2020·合肥第一次教学检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 4＝4S 2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋9＝180(m ∈N *)，求m 的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 4＝4S 2得，4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，整理得d ＝2a 1，又a 1＝1，所以d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *)．(2)a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋9＝180可化为10a m ＋45d ＝20m ＋80＝180.解得m ＝5.等差数列的判定与证明已知数列{a n }中，a 1＝14，其前n 项和为S n ，且满足a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n2S n －1.整理，得S n －1－S n ＝2S n S n －1. 两边同时除以S n S n －1，得1S n －1S n －1＝2.又1S 1＝1a 1＝4，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以4为首项，以2为公差的等差数列．(2)由(1)可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的通项公式为1S n＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2，所以S n ＝12（n ＋1）.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12（n ＋1）－12n ＝－12n （n ＋1）.当n ＝1时，a 1＝14，不适合上式．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14，n ＝1，－12n （n ＋1），n ≥2.【引申探究】 (变条件)本例的条件变为：a 1＝14，S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)，证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．证明：因为S n ＝S n －12S n －1＋1，所以2S n －1S n ＋S n ＝S n －1，即S n －1－S n ＝2S n S n －1，故1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，又1S 1＝1a 1＝4，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为4，公差为2的等差数列．等差数列的判定与证明方法[注意]在解答题中证明一个数列为等差数列时，只能用定义法．1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．49C ．35D ．63解析：选B.由S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )可知数列{a n }是等差数列，依题意得，d ＝a 6－a 26－2＝11－34＝2，则a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1，即a 1＝1，a 7＝13，所以S 7＝a 1＋a 72×7＝1＋132×7＝49.2．数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 4＜S 3B ．S 4＝S 3C ．S 4＞S 1D ．S 4＝S 1解析：选B.数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }是等差数列，设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＝－6，a 6＝6，所以4d ＝a 6－a 2＝12，即d ＝3.所以a n＝－6＋3(n－2)＝3n－12，所以S1＝a1＝－9，S3＝a1＋a2＋a3＝－9－6－3＝－18，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝－9－6－3＋0＝－18，所以S4＜S1，S3＝S4.故选B.等差数列的性质及应用角度一等差数列项的性质(1)在等差数列{a n}中，a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则a8a2a14＝()A．－32B．－3C．－6 D．2(2)(多选)设{a n}是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是()A．d＜0B．a7＝0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值【解析】(1)因为a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，所以a2＋a14＝－6，a2a14＝2，由等差数列的性质可知，a2＋a14＝2a8＝－6，所以a8＝－3，则a8a2a14＝－32，故选A.(2)S6＝S5＋a6＞S5，则a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6＜0，S8＝S7＋a8＜S7，a8＜0.则a7＋a8＜0，所以S9＝S5＋a6＋a7＋a8＋a9＝S5＋2(a7＋a8)＜S5，由a7＝0，a6＞0知S6，S7是S n中的最大值．从而ABD均正确．【答案】(1)A(2)ABD如果{a n}为等差数列，m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现a m－n，a m，a m＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m(或其他项)有关的条件；若求a m项，可由a m＝12(a m－n＋a m＋n)转化为求a m－n，a m＋n或a m－n＋a m＋n的值．角度二等差数列前n项和的性质(1)已知等差数列{a n}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为()A．100 B．120C．390 D．540(2)(2020·山东菏泽一中月考)已知等差数列{a n}的公差为4，其项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为() A．10 B．20C．30 D．40【解析】(1)设S n为等差数列{a n}的前n项和，则S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，又等差数列{a n}的前10项和为30，前30项和为210，所以2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得S20＝100.(2)设等差数列{a n}的公差为d，项数为n，前n项和为S n，因为d＝4，S奇＝15，S偶＝55，所以S偶－S奇＝n2d＝2n＝40，所以n＝20，即这个数列的项数为20.故选B.【答案】(1)A(2)B等差数列前n项和的性质在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(a n＋a n＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)a n；(3)当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．角度三等差数列的前n项和的最值(一题多解)(2020·广东省七校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＋a 8＝6，S 9－S 6＝3，则S n 取得最大值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】方法一：设数列{a n }的公差为d ，则由题意得，⎩⎨⎧a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6，a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，解得⎩⎨⎧a 1＝15，d ＝－2.所以a n ＝－2n ＋17，由于a 8＞0，a 9＜0，所以S n 取得最大值时n 的值是8，故选D.方法二：设数列{a n }的公差为d ，则由题意得，⎩⎨⎧a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6，a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，解得⎩⎨⎧a 1＝15，d ＝－2，则S n ＝15n ＋n （n －1）2×(－2)＝－(n －8)2＋64，所以当n ＝8时，S n 取得最大值，故选D.【答案】 D求等差数列{a n }的前n 项和S n 的最值的方法1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝20，则S 9＝( ) A ．27 B ．36 C ．45D ．54解析：选B.依题意a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝5a 5＝20，a 5＝4，所以S 9＝a 1＋a 92×9＝9a 5＝36.2．(2020·成都市诊断性检测)设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝3a 3，则S 9S 5＝( )A.95B.59C.53D.275解析：选D.S 9S 5＝9（a 1＋a 9）25（a 1＋a 5）2＝9（a 1＋a 9）5（a 1＋a 5）＝9a 55a 3＝95×3＝275.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13解析：选C.因为在等差数列{a n }中a 1＞0，a 6a 7＜0，所以a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0，所以S 12＞0，S 13＜0，所以满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.[A 级基础练]1．若等差数列{a n }的公差为d ，则数列{a 2n －1}是( ) A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为2d 的等差数列 C ．公差为nd 的等差数列 D ．非等差数列解析：选B.数列{a 2n －1}其实就是a 1，a 3，a 5，a 7，…，奇数项组成的数列，它们之间相差2d .2．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，2＋a 5＝a 6＋a 3，则S 7＝( ) A ．2 B ．7 C ．14D ．28解析：选C.因为2＋a 5＝a 6＋a 3，所以2＋a 4＋d ＝a 4＋2d ＋a 4－d .解得a 4＝2，所以S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7a 4＝14.3．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( )A ．21B ．22C ．23D ．24解析：选C.3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1＝a n －23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .因为a k ·a k ＋1<0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫473－23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫453－23k <0，所以452<k <472，所以k ＝23.4．(多选)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有( )A ．a 10＝0B ．S 10最小C ．S 7＝S 12D ．S 20＝0解析：选AC.根据题意，数列{a n }是等差数列，若a 1＋5a 3＝S 8，即a 1＋5a 1＋10d ＝8a 1＋28d ，变形可得a 1＝－9d ，又由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －10)d ，则有a 10＝0，故A 一定正确；不能确定a 1和d 的符号，不能确定S 10最小，故B 不正确；又由S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝－9nd ＋n （n －1）d 2＝d 2×(n 2－19n )，则有S 7＝S 12，故C 一定正确；则S 20＝20a 1＋20×192d ＝－180d ＋190d ＝10d ，因为d ≠0，所以S 20≠0，则D 不正确．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对于任意n ＞1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，则( )A ．a 9＝17B ．a 10＝18C ．S 9＝81D ．S 10＝90解析：选B.因为对于任意n ＞1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，所以S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，所以a n ＋1－a n ＝2.所以数列{a n }在n ≥2时是等差数列，公差为2.又a 1＝1，a 2＝2，则a 9＝2＋7×2＝16，a 10＝2＋8×2＝18，S 9＝1＋8×2＋8×72×2＝73，S 10＝1＋9×2＋9×82×2＝91.故选B.6．已知数列{a n }(n ∈N ＋)是等差数列，S n 是其前n 项和，若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )·(a 1＋4d )＋a 1＋7d＝a 21＋4d 2＋5a 1d ＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.答案：167．(应用型)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．解析：设第n 排的座位数为a n (n ∈N *)，数列{a n }为等差数列，其公差d ＝2，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1＋2(n －1)．由已知a 20＝60，得60＝a 1＋2×(20－1)，解得a 1＝22，则剧场总共的座位数为20（a 1＋a 20）2＝20×（22＋60）2＝820.答案：8208．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2nn 均为等差数列(n ∈N ＋)，且a 1＝2，则a 20＝________．解析：设a n ＝2＋(n －1)d ，所以a 2nn ＝[2＋（n －1）d ]2n＝d 2n 2＋（4d －2d 2）n ＋（d －2）2n ，由于⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 为等差数列，所以其通项是一个关于n 的一次函数，所以(d －2)2＝0，所以d ＝2.所以a 20＝2＋(20－1)×2＝40.答案：409．在①数列{S n －n 2}是公差为－3的等差数列，②S n ＝n 2＋a n －5n ＋4，③数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 3a 6＝a 24这三个条件中任意选择一个，添加到下面的题目中，然后解答补充完整的题目．已知数列{a n }中，a 1＝－2，{a n }的前n 项和为S n ，且________．求a n .解：若选择①，因为a 1＝－2，所以S 1－12＝a 1－1＝－3.因为{S n－n2}是公差为－3的等差数列，所以S n－n2＝－3－3(n－1)＝－3n.所以S n＝n2－3n.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(n2－3n)－[(n－1)2－3(n－1)]＝2n－4.当n＝1时，a1＝－2，符合上式．所以a n＝2n－4.若选择②.因为S n＝n2＋a n－5n＋4，所以当n≥2时，S n－1＝(n－1)2＋a n－1－5(n－1)＋4，两式相减，得a n＝n2－(n－1)2＋a n－a n－1－5n＋5(n－1)，即a n－1＝2n－6.所以a n＝2n－4(n∈N*)．若选择③，设等差数列{a n}的公差为d，由a3a6＝a24可得(a1＋2d)·(a1＋5d)＝(a1＋3d)2.又a1＝－2，d≠0，所以d＝2，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n－4.10．若数列{a n}的各项均为正数，对任意n∈N*，a2n＋1＝a n a n＋2＋t，t为常数，且2a3＝a2＋a4.(1)求a1＋a3a2的值；(2)求证：数列{a n}为等差数列．解：(1)因为对任意n∈N*，a2n＋1＝a n a n＋2＋t，令n＝2，得a23＝a2a4＋t.①令n＝1，得a22＝a1a3＋t.②①－②得a23－a22＝a2a4－a1a3，即a3(a3＋a1)＝a2(a2＋a4)，所以a1＋a3a2＝a2＋a4a3＝2.(2)证明：a2n＋1＝a n a n＋2＋t，a2n＋2＝a n＋1a n＋3＋t，两式相减得a n＋1＋a n＋3a n＋2＝a n＋a n＋2a n＋1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋a n ＋2a n ＋1为常数列，所以a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a 1＋a 3a 2＝2，所以a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列．[B 级综合练]11．(多选)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d .已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则( )A ．a 6＞0B ．－247＜d ＜－3C ．当S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 中的最小项为第7项解析：选ABCD.由题意，得S 12＝（a 1＋a 12）2×12＝6(a 6＋a 7)＞0.又a 7＜0，所以a 6＞0，所以A 正确．根据题意得⎩⎨⎧a 7＝a 3＋4d ＝12＋4d ＜0，a 6＝a 3＋3d ＝12＋3d ＞0，a 6＋a 7＝2a 3＋7d ＝24＋7d ＞0，解得－247＜d ＜－3，所以B 正确．因为S 13＝a 1＋a 132×13＝13a 7＜0，又S 12＞0，所以当S n ＜0时，n 的最小值为13，所以C 正确．由上述分析可知，当n ∈[1，6]时，a n ＞0，当n ∈[7，＋∞)时，a n ＜0，当n ∈[1，12]时，S n ＞0，当n ∈[13，＋∞)时，S n ＜0，所以当n ∈[1，6]时，S n a n ＞0，当n ∈[13，＋∞)时，S na n ＞0，当n ∈[7，12]时，S na n＜0，且当n ∈[7，12]时，{a n }为单调递减数列(a n ＜0)，S n 为单调递减数列(S n ＞0)，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 中的最小项为第7项，所以D 正确．故选ABCD.12．若数列{a n }为等差数列，a n ＞0，前n 项和为S n ，且S 2n －1＝2n －12n ＋1a 2n ，则a 9的值是________．解析：因为S 2n －1＝2n －12n ＋1a 2n ，所以（a 1＋a 2n －1）×（2n －1）2＝2n －12n ＋1a 2n，即2a n ×（2n －1）2＝2n －12n ＋1a 2n ，所以a n＝12n ＋1a 2n ，又a n ＞0，所以a n ＝2n ＋1，所以a 9＝19.答案：1913．(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1＞0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．解：(1)设{a n }的公差为d ，由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0，由a 3＝4得a 1＋2d ＝4，于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .(2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n （n －9）d 2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10. 所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }．14．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2a 4＝65，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在常数k ，使得数列{S n ＋kn }为等差数列？若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由．解：(1)设公差为d ，因为{a n }为等差数列，所以a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又a 2a 4＝65，所以a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个实数根，又公差d ＞0，所以a 2＜a 4，所以a 2＝5，a 4＝13.所以⎩⎨⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝4，所以a n ＝4n －3.(2)存在．由(1)知，S n ＝n ＋n （n －1）2×4＝2n 2－n ，假设存在常数k ，使数列{S n ＋kn }为等差数列．由S 1＋k ＋S 3＋3k ＝2S 2＋2k ，得1＋k＋15＋3k＝26＋2k，解得k＝1.所以S n＋kn＝2n2＝2n，当n≥2时，2n－2(n－1)＝2，为常数，所以数列{S n＋kn}为等差数列．故存在常数k＝1，使得数列{S n＋kn}为等差数列．[C级创新练]15．多环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由苯和芘稠合而成的一类多环芳香烃，长期食用会致癌．下面是一组多环芳香烃的结构简式和分子式：名称萘蒽并四苯…并n苯结构简式……分子式C10H8C14H10C18H12……解析：因为多环芳香烃的分子式中C的下标分别是10，14，18，…，H的下标分别是8，10，12，…，所以多环芳香烃的分子式中C的下标是公差为4的等差数列，设C的下标构成的等差数列为{a n}，其公差为d1，则a4＝18，d1＝4，故a n＝4n＋2，所以a10＝42.多环芳香烃的分子式中H的下标是公差为2的等差数列，设H的下标构成的等差数列为{b n}，其公差为d2，则b4＝12，d2＝2，故b n＝2n＋4.所以b10＝24，所以并十苯的分子式为C42H24.答案：C42H2416．已知定义：在数列{a n}中，若a2n－a2n－1＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{a n}为等方差数列．下列命题正确的是()A．若{a n}是等方差数列，则{a2n}是等差数列B．{(－1)n}是等方差数列C．若{a n}是等方差数列，则{a kn}(k∈N*，k为常数)不可能还是等方差数列D．若{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列解析：选ABD.若{a n}是等方差数列，则a2n－a2n－1＝p，故{a2n}是等差数列，故A正确；a n＝(－1)n时，a2n－a2n－1＝(－1)2n－(－1)2(n－1)＝0，故B正确；若{a n}是等方差数列，则由A 知{a 2n }是等差数列，从而{a 2kn }(k ∈N *，k 为常数)是等差数列，设其公差为d ，则有a 2kn －a 2k （n －1）＝d ，由定义知{a kn }是等方差数列，故C 不正确；若{a n }既是等方差数列，又是等差数列，则a 2n －a 2n －1＝p ，a n －a n －1＝d ，所以a 2n －a 2n －1＝(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)＝d (a n ＋a n －1)＝p ，若d ≠0，则a n ＋a n －1＝p d .又a n －a n －1＝d ，解得a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫p d ＋d ，{a n }为常数列；若d ＝0，该数列也为常数列，故D 正确．第2讲等差数列及其前n 项和最新考纲考向预测1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n 项和公式，理解等差数列的通项公式与前n 项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元一次函数的关系．命题趋势等差数列的基本运算、基本性质，等差数列的证明是考查的热点．本讲内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度中低档.核心素养数学抽象、逻辑推理1．等差数列与等差中项 (1)等差数列的定义：①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；②符号语言：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：若三个数a ，A ，b 组成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ．(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n （a 1＋a n ）2．3．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．常用结论1．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且一次项系数为公差d .若公差d ＞0，则为递增数列，若公差d ＜0，则为递减数列．(2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.2．两个常用结论(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1；②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为S 2n －1T 2n －1＝a nb n .常见误区1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数；当公差d ＝0时，a n 为常数．2．注意利用“a n －a n －1＝d ”时加上条件“n ≥2”．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.()(5)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(6)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)×2．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 2＝2，S 4＝14，则S 6等于( ) A ．32 B ．39 C ．42D ．45解析：选B.设公差为d ，由题意得⎩⎨⎧a 1＋d ＝2，4a 1＋4×32d ＝14，解得⎩⎨⎧a 1＝－1，d ＝3，所以S 6＝6a 1＋5×62d ＝39.3．已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 3＝5，S n ＝64，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C.因为d ＝a 3－a 12＝2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ＋n (n －1)＝64，解得n ＝8(负值舍去)．故选C.4．(易错题)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的通项公式为__________．解析：当n ≥2时，a n ＝a n －1＋12，所以{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，则a n ＝1＋(n －1)×12＝12n ＋12.答案：a n ＝12n ＋125．(2020·高考全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝____________．解析：通解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 2＋a 6＝2，得a 1＋d ＋a 1＋5d ＝2，即－4＋6d ＝2，解得d ＝1，所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.优解：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2＋a 6＝2a 4＝2，所以a 4＝1，所以d ＝a 4－a 14－1＝1－（－2）3＝1，所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.答案：25等差数列的基本运算(1)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n(2)(2020·河南部分重点高中联考)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S 5－5S 3＝135，则数列{a n }的公差d ＝________．【解析】 (1)方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎨⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝－3，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2－4n .故选A.方法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎨⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝－3，d ＝2.选项A ，a 1＝2×1－5＝－3；选项B ，a 1＝3×1－10＝－7，排除B ；选项C ，S 1＝2－8＝－6，排除C ；选项D ，S 1＝12－2＝－32，排除D.故选A.(2)因为3S 5－5S 3＝135，所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d － 5⎝⎛⎭⎪⎫3a 1＋3×22d ＝135，所以15d ＝135，解得d ＝9. 【答案】 (1)A (2)9等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．1．(2020·六校联盟第二次联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＋S 5＝2，S 7＝14，则a 10＝( )A ．18B ．16C ．14D ．12解析：选 C.设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋5a 1＋5×42d ＝2，7a 1＋7×62d ＝14可得⎩⎨⎧6a 1＋13d ＝2，a 1＋3d ＝2，解得⎩⎨⎧a 1＝－4，d ＝2，所以a 10＝－4＋9×2＝14，选C. 2．(2020·合肥第一次教学检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 4＝4S 2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋9＝180(m ∈N *)，求m 的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 4＝4S 2得，4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，整理得d ＝2a 1，又a 1＝1，所以d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *)．(2)a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋9＝180可化为10a m ＋45d ＝20m ＋80＝180.解得m ＝5.等差数列的判定与证明已知数列{a n }中，a 1＝14，其前n 项和为S n ，且满足a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n2S n －1.整理，得S n －1－S n ＝2S n S n －1. 两边同时除以S n S n －1，得1S n －1S n －1＝2.又1S 1＝1a 1＝4，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以4为首项，以2为公差的等差数列．(2)由(1)可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的通项公式为1S n＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2，所以S n ＝12（n ＋1）.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12（n ＋1）－12n ＝－12n （n ＋1）.当n ＝1时，a 1＝14，不适合上式．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14，n ＝1，－12n （n ＋1），n ≥2.【引申探究】 (变条件)本例的条件变为：a 1＝14，S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)，证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．证明：因为S n ＝S n －12S n －1＋1，所以2S n －1S n ＋S n ＝S n －1，即S n －1－S n ＝2S n S n －1，故1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，又1S 1＝1a 1＝4，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为4，公差为2的等差数列．等差数列的判定与证明方法[注意]在解答题中证明一个数列为等差数列时，只能用定义法．1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．49C ．35D ．63解析：选B.由S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )可知数列{a n }是等差数列，依题意得，d ＝a 6－a 26－2＝11－34＝2，则a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1，即a 1＝1，a 7＝13，所以S 7＝a 1＋a 72×7＝1＋132×7＝49.2．数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 4＜S 3B ．S 4＝S 3C ．S 4＞S 1D ．S 4＝S 1解析：选B.数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }是等差数列，设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＝－6，a 6＝6，所以4d ＝a 6－a 2＝12，即d ＝3.所以a n＝－6＋3(n－2)＝3n－12，所以S1＝a1＝－9，S3＝a1＋a2＋a3＝－9－6－3＝－18，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝－9－6－3＋0＝－18，所以S4＜S1，S3＝S4.故选B.等差数列的性质及应用角度一等差数列项的性质(1)在等差数列{a n}中，a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则a8a2a14＝()A．－32B．－3C．－6 D．2(2)(多选)设{a n}是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是()A．d＜0B．a7＝0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值【解析】(1)因为a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，所以a2＋a14＝－6，a2a14＝2，由等差数列的性质可知，a2＋a14＝2a8＝－6，所以a8＝－3，则a8a2a14＝－32，故选A.(2)S6＝S5＋a6＞S5，则a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6＜0，S8＝S7＋a8＜S7，a8＜0.则a7＋a8＜0，所以S9＝S5＋a6＋a7＋a8＋a9＝S5＋2(a7＋a8)＜S5，由a7＝0，a6＞0知S6，S7是S n中的最大值．从而ABD均正确．【答案】(1)A(2)ABD如果{a n}为等差数列，m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现a m－n，a m，a m＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m(或其他项)有关的条件；若求a m项，可由a m＝12(a m－n＋a m＋n)转化为求a m－n，a m＋n或a m－n＋a m＋n的值．角度二等差数列前n项和的性质(1)已知等差数列{a n}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为()A．100 B．120C．390 D．540(2)(2020·山东菏泽一中月考)已知等差数列{a n}的公差为4，其项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为() A．10 B．20C．30 D．40【解析】(1)设S n为等差数列{a n}的前n项和，则S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，又等差数列{a n}的前10项和为30，前30项和为210，所以2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得S20＝100.(2)设等差数列{a n}的公差为d，项数为n，前n项和为S n，因为d＝4，S奇＝15，S偶＝55，所以S偶－S奇＝n2d＝2n＝40，所以n＝20，即这个数列的项数为20.故选B.【答案】(1)A(2)B等差数列前n项和的性质在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(a n＋a n＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)a n；(3)当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．角度三等差数列的前n项和的最值(一题多解)(2020·广东省七校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＋a 8＝6，S 9－S 6＝3，则S n 取得最大值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】方法一：设数列{a n }的公差为d ，则由题意得，⎩⎨⎧a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6，a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，解得⎩⎨⎧a 1＝15，d ＝－2.所以a n ＝－2n ＋17，由于a 8＞0，a 9＜0，所以S n 取得最大值时n 的值是8，故选D.方法二：设数列{a n }的公差为d ，则由题意得，⎩⎨⎧a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6，a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，解得⎩⎨⎧a 1＝15，d ＝－2，则S n ＝15n ＋n （n －1）2×(－2)＝－(n －8)2＋64，所以当n ＝8时，S n 取得最大值，故选D.【答案】 D求等差数列{a n }的前n 项和S n 的最值的方法1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝20，则S 9＝( ) A ．27 B ．36 C ．45D ．54解析：选B.依题意a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝5a 5＝20，a 5＝4，所以S 9＝a 1＋a 92×9＝9a 5＝36.2．(2020·成都市诊断性检测)设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝3a 3，则S 9S 5＝( )A.95B.59C.53D.275解析：选D.S 9S 5＝9（a 1＋a 9）25（a 1＋a 5）2＝9（a 1＋a 9）5（a 1＋a 5）＝9a 55a 3＝95×3＝275.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13解析：选C.因为在等差数列{a n }中a 1＞0，a 6a 7＜0，所以a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0，所以S 12＞0，S 13＜0，所以满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.[A 级基础练]1．若等差数列{a n }的公差为d ，则数列{a 2n －1}是( ) A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为2d 的等差数列 C ．公差为nd 的等差数列 D ．非等差数列解析：选B.数列{a 2n －1}其实就是a 1，a 3，a 5，a 7，…，奇数项组成的数列，它们之间相差2d .2．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，2＋a 5＝a 6＋a 3，则S 7＝( ) A ．2 B ．7 C ．14D ．28解析：选C.因为2＋a 5＝a 6＋a 3，所以2＋a 4＋d ＝a 4＋2d ＋a 4－d .解得a 4＝2，所以S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7a 4＝14.3．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( )A ．21B ．22C ．23D ．24解析：选C.3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1＝a n －23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .因为a k ·a k ＋1<0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫473－23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫453－23k <0，所以452<k <472，所以k ＝23.4．(多选)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有( )A ．a 10＝0B ．S 10最小C ．S 7＝S 12D ．S 20＝0解析：选AC.根据题意，数列{a n }是等差数列，若a 1＋5a 3＝S 8，即a 1＋5a 1＋10d ＝8a 1＋28d ，变形可得a 1＝－9d ，又由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －10)d ，则有a 10＝0，故A 一定正确；不能确定a 1和d 的符号，不能确定S 10最小，故B 不正确；又由S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝－9nd ＋n （n －1）d 2＝d 2×(n 2－19n )，则有S 7＝S 12，故C 一定正确；则S 20＝20a 1＋20×192d ＝－180d ＋190d ＝10d ，因为d ≠0，所以S 20≠0，则D 不正确．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对于任意n ＞1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，则( )A ．a 9＝17B ．a 10＝18C ．S 9＝81D ．S 10＝90解析：选B.因为对于任意n ＞1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，所以S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，所以a n ＋1－a n ＝2.所以数列{a n }在n ≥2时是等差数列，公差为2.又a 1＝1，a 2＝2，则a 9＝2＋7×2＝16，a 10＝2＋8×2＝18，S 9＝1＋8×2＋8×72×2＝73，S 10＝1＋9×2＋9×82×2＝91.故选B.6．已知数列{a n }(n ∈N ＋)是等差数列，S n 是其前n 项和，若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )·(a 1＋4d )＋a 1＋7d＝a 21＋4d 2＋5a 1d ＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.答案：167．(应用型)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．解析：设第n 排的座位数为a n (n ∈N *)，数列{a n }为等差数列，其公差d ＝2，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1＋2(n －1)．由已知a 20＝60，得60＝a 1＋2×(20－1)，解得a 1＝22，则剧场总共的座位数为20（a 1＋a 20）2＝20×（22＋60）2＝820.答案：8208．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2nn 均为等差数列(n ∈N ＋)，且a 1＝2，则a 20＝________．解析：设a n ＝2＋(n －1)d ，所以a 2nn ＝[2＋（n －1）d ]2n＝d 2n 2＋（4d －2d 2）n ＋（d －2）2n ，由于⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 为等差数列，所以其通项是一个关于n 的一次函数，所以(d －2)2＝0，所以d ＝2.所以a 20＝2＋(20－1)×2＝40.答案：409．在①数列{S n －n 2}是公差为－3的等差数列，②S n ＝n 2＋a n －5n ＋4，③数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 3a 6＝a 24这三个条件中任意选择一个，添加到下面的题目中，然后解答补充完整的题目．已知数列{a n }中，a 1＝－2，{a n }的前n 项和为S n ，且________．求a n .解：若选择①，因为a 1＝－2，所以S 1－12＝a 1－1＝－3.因为{S n－n2}是公差为－3的等差数列，所以S n－n2＝－3－3(n－1)＝－3n.所以S n＝n2－3n.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(n2－3n)－[(n－1)2－3(n－1)]＝2n－4.当n＝1时，a1＝－2，符合上式．所以a n＝2n－4.若选择②.因为S n＝n2＋a n－5n＋4，所以当n≥2时，S n－1＝(n－1)2＋a n－1－5(n－1)＋4，两式相减，得a n＝n2－(n－1)2＋a n－a n－1－5n＋5(n－1)，即a n－1＝2n－6.所以a n＝2n－4(n∈N*)．若选择③，设等差数列{a n}的公差为d，由a3a6＝a24可得(a1＋2d)·(a1＋5d)＝(a1＋3d)2.又a1＝－2，d≠0，所以d＝2，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n－4.10．若数列{a n}的各项均为正数，对任意n∈N*，a2n＋1＝a n a n＋2＋t，t为常数，且2a3＝a2＋a4.(1)求a1＋a3a2的值；(2)求证：数列{a n}为等差数列．解：(1)因为对任意n∈N*，a2n＋1＝a n a n＋2＋t，令n＝2，得a23＝a2a4＋t.①令n＝1，得a22＝a1a3＋t.②①－②得a23－a22＝a2a4－a1a3，即a3(a3＋a1)＝a2(a2＋a4)，所以a1＋a3a2＝a2＋a4a3＝2.(2)证明：a2n＋1＝a n a n＋2＋t，a2n＋2＝a n＋1a n＋3＋t，两式相减得a n＋1＋a n＋3a n＋2＝a n＋a n＋2a n＋1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋a n ＋2a n ＋1为常数列，所以a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a 1＋a 3a 2＝2，所以a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列．[B 级综合练]11．(多选)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d .已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则( )A ．a 6＞0B ．－247＜d ＜－3C ．当S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 中的最小项为第7项解析：选ABCD.由题意，得S 12＝（a 1＋a 12）2×12＝6(a 6＋a 7)＞0.又a 7＜0，所以a 6＞0，所以A 正确．根据题意得⎩⎨⎧a 7＝a 3＋4d ＝12＋4d ＜0，a 6＝a 3＋3d ＝12＋3d ＞0，a 6＋a 7＝2a 3＋7d ＝24＋7d ＞0，解得－247＜d ＜－3，所以B 正确．因为S 13＝a 1＋a 132×13＝13a 7＜0，又S 12＞0，所以当S n ＜0时，n 的最小值为13，所以C 正确．由上述分析可知，当n ∈[1，6]时，a n ＞0，当n ∈[7，＋∞)时，a n ＜0，当n ∈[1，12]时，S n ＞0，当n ∈[13，＋∞)时，S n ＜0，所以当n ∈[1，6]时，S n a n ＞0，当n ∈[13，＋∞)时，S na n ＞0，当n ∈[7，12]时，S na n＜0，且当n ∈[7，12]时，{a n }为单调递减数列(a n ＜0)，S n 为单调递减数列(S n ＞0)，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 中的最小项为第7项，所以D 正确．故选ABCD.12．若数列{a n }为等差数列，a n ＞0，前n 项和为S n ，且S 2n －1＝2n －12n ＋1a 2n ，则a 9的值是________．解析：因为S 2n －1＝2n －12n ＋1a 2n ，所以（a 1＋a 2n －1）×（2n －1）2＝2n －12n ＋1a 2n，即2a n ×（2n －1）2＝2n －12n ＋1a 2n ，所以a n＝12n ＋1a 2n ，又a n ＞0，所以a n ＝2n ＋1，所以a 9＝19.答案：1913．(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1＞0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．解：(1)设{a n }的公差为d ，由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0，由a 3＝4得a 1＋2d ＝4，于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .(2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n （n －9）d 2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10. 所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }．14．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2a 4＝65，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在常数k ，使得数列{S n ＋kn }为等差数列？若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由．解：(1)设公差为d ，因为{a n }为等差数列，所以a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又a 2a 4＝65，所以a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个实数根，又公差d ＞0，所以a 2＜a 4，所以a 2＝5，a 4＝13.所以⎩⎨⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝4，所以a n ＝4n －3.(2)存在．由(1)知，S n ＝n ＋n （n －1）2×4＝2n 2－n ，假设存在常数k ，使数列{S n ＋kn }为等差数列．由S 1＋k ＋S 3＋3k ＝2S 2＋2k ，。

2019版高考数学(理)高分计划一轮高分讲义：第5章数列 5.2 等差数列及其前n项和

5．2　等差数列及其前n项和[知识梳理]1．等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)，d 为常数．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝，其中A 叫做a ，b 的等差中项．a ＋b22．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，可推广为a n ＝a m ＋(n －m )d .(2)等差数列的前n 项和公式S n ＝＝na 1＋d .n (a 1＋an )2n (n －1)23．等差数列的相关性质已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和都相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝….(2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)．(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d .(5)也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的{Sn n }公差的.124．等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的关系a n ＝a 1＋(n －1)d 可化为a n ＝dn ＋a 1－d 的形式．当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列．(2)等差数列前n 项和公式可变形为S n ＝n 2＋n .当d ≠0d 2(a 1－d 2)时，它是关于n 的二次函数，数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．5．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．[诊断自测]1．概念思辨(1)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2．教材衍化(1)(必修A5P 38例1(1))已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为________．答案　487解析　由条件易知该等差数列的首项为a 1＝－8，公差d ＝5，得a n ＝－8＋(n －1)×5＝5n －13，故a 100＝487.(2)(必修A5P 68A 组T 8)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.答案　180解析　由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.3．小题热身(1)(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97答案　C解析　设{a n }的公差为d ，由等差数列前n 项和公式及通项公式，得Error!解得Error!a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －2，∴a 100＝100－2＝98.故选C.(2)(2017·福建宁德一模)若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 2＝3a 4－6，则S 9等于( )A ．54B ．50C ．27D ．25答案　C解析　数列{a n }为等差数列，设公差为d ，则a 4＝a 2＋2d ，∴a 2＝3(a 2＋2d )－6，∴2a 2＋6d －6＝0.∴a 2＋3d ＝3，即a 5＝3，那么S 9＝＝9×a 5＝27.故选C.(a 1＋a 9)×92题型1　等差数列基本量的运算 (2017·广东惠州调研)设{a n }是首项为－，公差为典例112d (d ≠0)的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则d ＝( )A ．－1B ．－ C. D.121812方程思想方法．答案　A解析　S n ＝na 1＋d ，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以n (n －1)2S 1·S 4＝S ，2即a 1(4a 1＋6d )＝(2a 1＋d )2，因为a 1＝－，12所以－(－2＋6d )＝(－1＋d )2，12即d 2＋d ＝0，解得d ＝0或d ＝－1.又因为d ≠0，所以d ＝－1.故选A. (2017·碑林区期末)设{a n }是递增等差数列，前三项的典例2和为12，前三项的积为48，则它的首项a 1＝________.方程思想，注意设中间项．答案　2解析　由题可知3a 2＝12，①(a 2－d )a 2(a 2＋d )＝48，②将①代入②得(4－d )(4＋d )＝12，解得d ＝2或d ＝－2(舍)，∴a 1＝a 2－d ＝4－2＝2.方法技巧1．等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．见典例1.(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．2．等差数列设项技巧若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．见典例2.冲关针对训练1．(2018·福建质检)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤．只云初日差六十四人，次日转多七人．每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝．第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人．修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天．”在这个问题中，前5天应发大米( )A ．894升B ．1170升C ．1275升D ．1467升答案　B解析　每天派出的人数构成首项为64，公差为7的等差数列，则前5天的总人数为5×64＋×7＝390，所以前5天应发大5×42米390×3＝1170升．故选B.2．(2015·北京高考)设{a n }是等差数列．下列结论中正确的是( )A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0答案　C解析　因为{a n }为等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3.当a 2＞a 1＞0时，得公差d ＞0，∴a 3＞0，∴a 1＋a 3＞2，∴2a 2＞2，a 1a 3a 1a 3即a 2＞.故选C.a 1a 3题型2　等差数列的判断与证明 (2018·长春质检)已知数列{a n }的前n 项和为典例S n ，a 1＝2，且满足a n ＋1＝S n ＋2n ＋1(n ∈N *)．证明：数列为等差数列．{Sn 2n }利用a n ＋1＝S n ＋1－S n 整理变形．证明　由条件可知，S n ＋1－S n ＝S n ＋2n ＋1，即S n ＋1－2S n ＝2n ＋1，整理得－＝1，Sn ＋12n ＋1Sn2n 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．{Sn2n }[条件探究]　将典例条件“a n ＋1＝S n ＋2n ＋1(n ∈N *)”变为“2a n －1－a n a n －1＝1(n ≥2)”其他不变，证明数列是等差数列，{1an －1}并求a n 通项公式．解　当n ≥2时，a n ＝2－，1an －1∴－＝－＝－1an －11an －1－112－1an －1－11an －1－111－1an －1＝－＝＝1(常数)．1an －1－1an －1an －1－11an －1－1an －1－1an －1－1又＝1.1a 1－1∴数列是以首项为1，公差为1的等差数列．{1an －1}∴＝1＋(n －1)×1，1an －1∴a n ＝.n ＋1n 方法技巧判定数列{a n }是等差数列的常用方法1．定义法：对任意n ∈N *，a n ＋1－a n 是同一个常数．见典例．2．等差中项法：对任意n ≥2，n ∈N *，满足2a n ＝a n ＋1＋a n －1.3．通项公式法：数列的通项公式a n 是n 的一次函数．4．前n 项和公式法：数列的前n 项和公式S n 是n 的二次函数，且常数项为0.提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．见冲关针对训练．冲关针对训练(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．解　(1)证明：由题设a n a n ＋1＝λS n －1，知a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1.两式相减得，a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1.由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)存在．由a 1＝1，a 1a 2＝λa 1－1，可得a 2＝λ－1，由(1)知，a 3＝λ＋1.令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得，{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝1＋(n －1)·4＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝3＋(n －1)·4＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得{a n }为等差数列.题型3　等差数列前n项和及性质的应用角度1　等差数列的前n 项和 (2018·太原模拟)一个等差数列的前12项的和为354，典例前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d .利用S 偶－S 奇＝nd (项数为2n )求解．解　设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得Error!解得Error!又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝＝5.192－1626角度2　等差数列前n 项和的最值问题 (2017·北京海淀模拟)等差数列{a n }中，设S n 为其前n 典例项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？二次函数法求最大值．解　由S 3＝S 11，得3a 1＋d ＝11a 1＋d ，则d ＝－3×2211×102a 1.213从而S n ＝n 2＋n ＝－(n －7)2＋a 1.d 2(a 1－d 2)a 1134913又a 1>0，所以－<0.故当n ＝7时，S n 最大．a 113角度3　等差数列的性质的应用等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的典例1值是( )A ．20B ．22C ．24D ．－8若p ＋q ＝2m ，则a p ＋a q ＝2a n ，p ，q ，m ∈N *.答案　C解析　因为a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，所以a 8＝24，所以2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.故选C. 等差数列{a n }中，前m 项的和为30，前2m 项的和为典例2100，试求前3m 项的和．等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．解　记数列{a n }的前n 项和为S n ，由等差数列前n 项和的性质知S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，则2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，又S m ＝30，S 2m ＝100，所以S 2m －S m ＝100－30＝70，所以S 3m －S 2m ＝2(S 2m －S m )－S m ＝110，所以S 3m ＝110＋100＝210.方法技巧1．等差数列前n 项和的性质在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则(1)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)．(2)S 2n －1＝(2n －1)a n .(3)当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ；项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中，S 奇∶S 偶＝n ∶(n －1)．见角度1典例．2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ＝a 2－，求“二次函数”最值．(n ＋b 2a )b 24a (2)邻项变号法①当a 1＞0，d ＜0时，满足Error!的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1＜0，d ＞0时，满足Error!的项数m 使得S n 取得最小值为S m .冲关针对训练1．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，则S 11＝( )A ．66B ．55C ．44D ．33答案　D解析　在等差数列{a n }中，因为a 1＋a 5＝2a 3，a 8＋a 10＝2a 9，所以2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝6a 3＋6a 9＝36，a 3＋a 9＝6＝a 1＋a 11，所以S 11＝＝＝33.故选D.11(a 1＋a 11)211×622．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．答案　－49解析　由S n ＝na 1＋d ，n (n －1)2得Error!解得a 1＝－3，d ＝，23则S n ＝－3n ＋×＝(n 2－10n )，n (n －1)22313所以nS n ＝(n 3－10n 2)，13令f (x )＝(x 3－10x 2)，13则f ′(x )＝x 2－x ＝x，203(x －203)当x ∈时，f (x )递减，(1，203)当x ∈时，f (x )递增，又6＜＜7，(203，＋∞)203f (6)＝－48，f (7)＝－49，所以nS n 的最小值为－49.1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案　C解析　设{a n }的公差为d ，则由Error!得Error!解得d ＝4.故选C.2．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列的首项为1，公差不为0.若{an }a 2，a 3，a 6成等比数列，则前6项的和为( ){an }A ．－24 B ．－3 C ．3 D ．8答案　A解析　由已知条件可得a 1＝1，d ≠0，由a ＝a 2a 6可得(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2.23所以S 6＝6×1＋＝－24.6×5×(－2)2故选A.3．(2017·山西孝义二轮模拟)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18答案　B解析　因为a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，所以a 3＝35，a 4＝33，所以d ＝－2，a 1＝39.由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝39－2(n －1)＝41－2n ≥0，解得n ≤，所以当n ＝20时S n 达到412最大值．故选B.4．(2018·广东测试)已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n项和，且对任意n ∈N *，均有a n ，S n ，a 成等差数列，则2n a n ＝________.答案　n解析　∵a n ，S n ，a 成等差数列，∴2S n ＝a n ＋a .2n 2n 当n ＝1时，2a 1＝2S 1＝a 1＋a .21又a 1＞0，∴a 1＝1.当n ≥2时，2a n ＝2(S n －S n －1)＝a n ＋a －a n －1－a ，2n 2n －1∴(a －a )－(a n ＋a n －1)＝0，2n 2n －1∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)－(a n ＋a n －1)＝0，又a n ＋a n －1＞0，∴a n －a n －1＝1，∴{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，∴a n ＝n (n ∈N *)．[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则a 10等于( )A ．18B ．20C ．16D ．22答案　B解析　由题意得S 3＝3a 2＝12，解得a 2＝4，所以公差d ＝a 3－a 2＝2，a 10＝a 3＋7d ＝20.故选B.2．(2018·武汉调研)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝4，S 6＝12，则S 2＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．3答案　B解析　{a n }为等差数列，则S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也是等差数列，所以2(4－S 2)＝S 2＋(12－4)⇒S 2＝0.故选B.3．(2018·郑州质检)《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？( )A ．18B ．20C ．21D ．25答案　C解析　织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n }，a 1＝5，前30项和为390，于是＝390，解得30(5＋a 30)2a 30＝21，即该织女最后一天织21尺布．故选C.4．已知等差数列{a n }的前10项和为30，a 6＝8，则a 100＝( )A ．100B ．958C ．948D ．18答案　C解析　设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得Error!解得Error!所以a 100＝－42＋99×10＝948.故选C.5．(2018·河南测试)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若＝，则下列结论中正确的是( )Sn an n ＋12A.＝2 B.＝ C.＝ D.＝a 2a 3a 2a 332a 2a 323a 2a 313答案　C解析　由已知可得S n ＝a n ，则S n －1＝a n －1(n ≥2)，两式相n ＋12n 2减可得a n ＝a n －a n －1(n ≥2)，化简得＝(n ≥2)，当n ＋12n 2an －1an n －1n n ＝3时，可得＝.故选C.a 2a 3236．(2018·石家庄一模)已知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，且函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( )A ．－200B ．－100C ．0D ．－50答案　B解析　因为函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称．又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以S 100＝＝50(a 50＋a 51)＝－100.故选100(a 1＋a 100)2B.7．(2018·湖南湘中名校联考)若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2016＋a 2017＞0，a 2016·a 2017＜0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A ．2016B ．2017C ．4032D ．4033答案　C解析　因为a 1＞0，a 2016＋a 2017＞0，a 2016·a 2017＜0，所以d ＜0，a 2016＞0，a 2017＜0，所以S 4032＝＝4032(a 1＋a 4032)2＞0，S 4033＝＝4033a 2017＜0，所4032(a 2016＋a 2017)24033(a 1＋a 4033)2以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4032.故选C.8．(2017·湖南长沙四县联考)中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(ɡuǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分(1寸＝104646分)．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为( )A ．72.4寸B ．81.4寸C ．82.0寸D ．91.6寸答案　C解析　设《易经》中记录的冬至、小寒、大寒、立春、……、夏至的晷影长依次为a 1，a 2，…，a 13，由题意知它们构成等差数列，设公差为d ，由a 1＝130.0，a 13＝14.8，得130.0＋12d ＝14.8，解得d ＝－9.6.∴a 6＝130.0－9.6×5＝82.0.∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸．故选C.9．(2017·安徽安师大附中、马鞍山二中联考)已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{b n }满足b n ＝.若对任意的1＋an an n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－8，－7)B ．[－8，－7)C ．(－8，－7]D ．[－8，－7]答案　A解析　因为{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，所以a n ＝n ＋a －1，因为b n ＝，又对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成1＋an an 立，所以1＋≥1＋，即≥对任意的n ∈N *恒成立，因为数1an 1a 81an 1a 8列{a n }是公差为1的等差数列，所以{a n }是单调递增的数列，所以Error!即Error!解得－8＜a ＜－7.故选A.10．(2018·云南二检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，如果当n ＝m 时，S n 最小，那么m 的值为( )A ．10B ．9C ．5D ．4答案　C解析　设等差数列{a n }的公差为d .由已知得＝22，11(a 1＋a 11)2所以11a 6＝22，解得a 6＝2，所以d ＝＝7，所以a 6－a 42a n ＝a 4＋(n －4)d ＝7n －40，所以数列{a n }是单调递增数列，又因为a 5＝－5<0，a 6＝2>0，所以当n ＝5时，S n 取得最小值，故选C.二、填空题11．(2014·北京高考)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案　8解析　根据题意知a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，即a 8>0.又a 8＋a 9＝a 7＋a 10<0，∴a 9<0，∴当n ＝8时，{a n }的前n 项和最大．12．(2018·金版原创)已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0,2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝________.答案　－32解析　若m >0，则公差d ＝－＝π，显然不成立，所以3π2π2m <0，则公差d ＝＝.3π2－π23π3所以m ＝cos ＝－.(π2＋π3)3213．(2018·青岛模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若为常数，SnS 2n 则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为________．答案　b n ＝2n －1解析　设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，＝k ，因为SnS 2nb 1＝1，则n ＋n (n －1)d ＝k ，12[2n ＋12×2n (2n －1)d ]即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝.所以数列{b n }的通项公式为14b n ＝2n －1.14．(2018·安徽安庆模拟)已知数列{a n }是各项均不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且a n ＝(n ∈N *)．若不等式≤S 2n －1λan 对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值为________．n ＋8n 答案　9解析　a n ＝⇒a n ＝＝S 2n －1(2n －1)(a 1＋a 2n －1)2⇒a ＝(2n －1)a n ⇒a n ＝2n －1，n ∈N *.(2n －1)an 2n 因为≤，所以λ≤，λan n ＋8n (n ＋8)(2n －1)n 即λ≤2n －＋15.8n 易知y ＝2x －(x >0)为增函数，所以8x 2n －＋15≥2×1－＋15＝9，所以λ≤9，故实数λ的最大值为9.8n 81三、解答题15．(2017·中卫一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列．(1)若a ＝1，b ＝，求sin C ；3(2)若a ，b ，c 成等差数列，试判断△ABC 的形状．解　(1)由A ＋B ＋C ＝π，2B ＝A ＋C ，得B ＝.由＝，得π3a sin A b sin B ＝，得sin A ＝，又0＜A ＜B ，∴A ＝，则C ＝π－－＝.1sin A 33212π6π3π6π2∴sin C ＝1.(2)由2b ＝a ＋c ，得4b 2＝a 2＋2ac ＋c 2，又b 2＝a 2＋c 2－ac ，得4a 2＋4c 2－4ac ＝a 2＋2ac ＋c 2，得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∴A ＝C ，又A ＋C ＝，∴A ＝C ＝B ＝，2π3π3∴△ABC 是等边三角形．16．(2018·郑州模拟)数列{a n }满足a 1＝，a n ＋1＝(n ∈N *)．1212－an (1)求证：为等差数列，并求出{a n }的通项公式；{1an －1}(2)设b n ＝－1，数列{b n }的前n 项和为B n ，对任意n ≥2都有1an B 3n －B n >成立，求正整数m 的最大值．m20解　(1)因为a n ＋1＝，12－an所以＝＝＝－1＋，1an ＋1－1112－an－12－an an －11an －1即－＝－1，1an ＋1－11an －1所以是首项为－2，公差为－1的等差数列，所以{1an －1}＝－2＋(n －1)×(－1)＝－(n ＋1)，所以a n ＝.1an －1n n ＋1(2)b n ＝－1＝，n ＋1n 1n 令C n ＝B 3n －B n ＝＋＋…＋，1n ＋11n ＋213n 所以C n ＋1－C n ＝＋＋…＋－－…－＝－1n ＋21n ＋313(n ＋1)1n ＋113n ＋＋＋1n ＋113n ＋213n ＋313n ＋1＝－＋>－＝0，13n ＋223n ＋313n ＋123n ＋323n ＋3∴C n ＋1－C n >0，{C n }为单调递增数列，又∵n ≥2，∴(B 3n －B n )min ＝B 6－B 2＝＋＋＋＝，131415161920<，m <19.又m ∈N *，所以m 的最大值为18.m 201920。

2019年高考数学(文)考点一遍过考点22 等比数列及其前n项和(含解析)

2019年高考数学（文）考点一遍过（1）理解等比数列的概念.（2）掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.（3）能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. （4）了解等比数列与指数函数的关系.一、等比数列 1．等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(0)q q ≠，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与n 无关的常数. 2．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时2G ab =． 3．等比数列的通项公式及其变形首项为1a ，公比为q 的等比数列的通项公式是111(,0)n n a a q a q -=≠．等比数列通项公式的变形：n mn m a a q -=．4．等比数列与指数函数的关系等比数列{}n a 的通项公式11n n a a q-=还可以改写为1nn a a q q=⋅，当1q ≠且10a ≠时，x y q =是指数函数，1x a y q q =⋅是指数型函数，因此数列{}n a 的图象是函数1x ay q q=⋅的图象上一些孤立的点． ①当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时，{}n a 是递增数列；②当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时，{}n a 是递减数列；③当1q =时，{}n a 为常数列(0)n a ≠；④当0q <时，{}n a 为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．二、等比数列的前n 项和公式首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和的公式为111,1.(1),111n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩（1）当公比1q =时，因为10a ≠，所以1n S na =是关于n 的正比例函数，则数列123,,,,,n S S S S L L 的图象是正比例函数1y a x =图象上的一群孤立的点．（2）当公比1q ≠时，等比数列的前n 项和公式是1(1)1n n a q S q -=-，即11nn a S q q =-⋅-11a q +-，设11a m q=-，则上式可写成nn S m q m =-+的形式，则数列123,,,,,n S S S S L L 的图象是函数x y mq m =-+图象上的一群孤立的点．由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和n S 是一个关于n 的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．三、等比数列及其前n 项和的性质若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，前n 项和为n S ，则有如下性质：（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =；若2m n r +=，则2(,)m n r a a a m n,p,q,r =∈*N ．推广：1211;n n i n i a a a a a a -+-===①L L ②若m n t p q r ++=++，则m n t p q r a a a a a a =．（2）若,,m n p 成等差数列，则,,m n p a a a 成等比数列．（3）数列{}(0)n a ≠λλ仍是公比为q 的等比数列；数列1{}n a 是公比为1q的等比数列；数列{}||n a 是公比为||q 的等比数列；若数列{}n b 是公比为q'的等比数列，则数列{}n n a b 是公比为qq'的等比数列．（4）23,,,,k k m k m k m a a a a +++L 成等比数列，公比为m q ．（5）连续相邻k 项的和（或积）构成公比为(kq 或2)k q 的等比数列．（6）当1q =时，n m S n S m =；当1q ≠±时，11nn m m S q S q-=-．（7）m nn m m n n m S S q S S q S +=+=+．（8）若项数为2n ，则S q S =偶奇，若项数为21n +，则1S a q S -=奇偶．（9）当1q ≠-时，连续m 项的和（如232,,,m m m m m S S S S S --L ）仍组成等比数列（公比为mq ，2m ≥）．注意：这里连续m 项的和均非零．考向一等比数列的判定与证明其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．（2）只满足()10n n a qa q +=≠的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要10a ≠.典例1 已知数列{}n a 满足()*2n n S a n n =-∈N .（1）证明：{}1n a +是等比数列；（2）求()*13521n a a a a n ++++⋅⋅⋅+∈N.【答案】（1）证明见解析；（2）232353n n +--.【名师点睛】本题考查了数列中递推公式的应用，通过构造数列证明等比数列，分项求和等知识点.形如1n n a a λμ+=+（1λ≠），在构造数列时，可在等式两边同时加上1μλ-构成等比数列.（1）利用递推公式可以得到1n S -的表达式，两个式子相减即可得到n a 与1n a -的表达式；构造数列{1n a +}，即可证明{1n a +}为等比数列.（2）利用{1n a +}为等比数列，可求得{n a }的通项公式；将{n a }分为等比数列和等差数列两个部分分别求和，再相加即可得出奇数项的和.1．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()1121,1,2,3,n n n a a S n n++===.（1）试写出223,,a S a ；（2）设nn S b n=，求证：数列{}n b 是等比数列；（3）求出数列{}n a 的前n 项和n S 及数列{}n a 的通项公式.考向二等比数列的基本运算等比数列基本量的计算是解等比数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第（1）问中，属基础题. （1）等比数列的基本运算方法：①等比数列由首项1a 与公比q 确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕1a 与q 进行．②对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过解方程(组)求出1a 与q ，对于1,,,,n n a a q n S 五个基本量，如果再给出第三个条件就可以“知三求二”．（2）基本量计算过程中涉及的数学思想方法：①方程思想．等比数列的通项公式和前n 项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算，通过列方程(组)求出关键量1a 和q ，问题可迎刃而解．②分类讨论思想．等比数列的前n 项和公式为111,1(1),111n n n na q S a a q a q q qq ì=ïï=í--=ï--ïî≠，所以当公比未知或是代数式时，要对公比分1q =和1q ≠进行讨论.此处是常考易错点，一定要引起重视．典例2已知{}n a 是等比数列，且263a a +=，61012a a +=，则812a a +等于 A ． B ．24C． D ．48 【答案】B【解析】由题意知4446102626261243a a a q a q q a a a a ++====++，则22q =，所以()22281261061021224a a a q a q qa a +=+=+=⨯=，故选B ．典例3 各项都是正数的等比数列{}n a 中，2a ，312a ，1a 成等差数列，则3445++a a a a 的值为 ABCD【答案】B【名师点睛】该题考查的是数列的有关问题，涉及的知识点有：三个数成等差数列的条件，等比数列的性质等，注意题中的隐含条件.2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，则n n S a =A ．14n - B ．41n- C ．12n -D ．21n-考向三求解等比数列的通项及前n 项和1．求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用11n n a a q -=求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形n mn m a a q -=可以简化解题过程．求解时通常会涉及等比数列的设项问题，常用的设项方法为：若所给等比数列的项数为21()n n *+?N ，则这个数列可设为1n a q -，…，,,a a aq q，…，1n aq -. 2．当1q ≠时，若已知1,,a q n ，则用1(1)1n n a q S q -=-求解较方便；若已知1,,n a q a ，则用11n n a a qS q-=-求解较方便.3．（1）形如1(1,0)n n a pa q p pq +=+≠≠的递推关系式，①利用待定系数法可化为1n a +-()11n q q p a p p =--- ，当101q a p -≠-时，数列{}1n qa p --是等比数列；②由1n n a pa q +=+，1(2)n n a pa q n -=+≥，两式相减，得11()n n n n a a p a a +--=-，当210a a -≠时，数列1{}n n a a +-是公比为p的等比数列．（2）形如+1(,0)nn n a ca d c d cd =+≠≠的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同时除以1n d +，进而化归为等比数列．典例4 若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且42S S =5，则84S S 等于 A ．5 B ．16 C ．17D ．25【答案】C【解析】当公比1q =时，4225S S =≠，故公比不为1，当公比1q ≠时，()()4124221111511a q S q q S a q q--==+=--，∴24q =，∴()()81484411111711a q S q q S a qq--==+=--，故选C.【名师点睛】本题重点考查了等比数列的前n 项和，注意对公比q 的分类讨论，这是一个易错点,同时注意首项与公比均不为零.解决本题时，对公比q 进行分类讨论，利用前n 项和公式及条件，求出24q =，从而得到结果.典例5 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且26a =，3472a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：()*n n b a n n =-∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）1*23()n n a n -∈=⨯N ；（2）2312nn n+--.3．设等比数列{n a }的各项都为正数，数列{n b }满足2121n n n b a a -+=⋅，且124,64b b ==. （1）求数列{n a }的通项；（2）求数列{n b }的前n 项和T n .考向四等比数列的性质的应用等比数列的性质是高考考查的热点之一，利用等比数列的性质求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题，主要考查通项公式的变形、等比中项的应用及前n 项和公式的变形应用等.注意：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.典例6 在等比数列{}n a 中，315,a a 是方程2680x x -+=的根，则1179a a a = A． B ．2 C ．1 D ．2- 【答案】A【解析】由等比数列的性质知2117315998a a a a a a ===⇒=，故1179a a a ==，故选A . 典例7 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1020S =，20=60S ，则30S =_______．【答案】140【解析】方法1：由1020S =，20=60S ，易得公比1q ≠±，根据等比数列前n 项和的性质，可得020101011S q S q 2-=-，即010106011201q q q 2-==+-，解得102q =，又3030101011S q S q -=-，所以33012=72012S -=-，30140S =．方法2：根据等比数列前n 项和的性质，可得10201010S S q S =+，即10602020q =+，解得102q =，所以1030102020260140S S q S =+=+⨯=．方法3：根据等比数列前n 项和的性质，可知10S ，2010S S -，3020S S -成等比数列，则22010103020()()S S S S S -=-，即230(6020)20(60)S -=-，解得30140S =．4．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中, 1232a a a ⋅⋅=,56732a a a ⋅⋅=,则456a a a ⋅⋅等于 A ．4 B ．8 C ．16D ．24考向五数列的新定义问题数列新定义问题能充分考查对信息的阅读、提取及转化能力，综合性强，难度较高，在实际问题中往往需要对题目进行阅读，再借助定义进行转化即可进行求解．对于此类问题，应先弄清问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．典例8 若数列{}n A 满足21n n A A +=，则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}n a 中，19a =，点1(,)n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上，其中n 为正整数．（1）证明：数列{+1}n a 是“平方递推数列”，且数列{lg(+1)}n a 为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前n 项之积为n T ，求lg n T ；（3）在（2）的条件下，记lg lg(+1)nn n T b a =，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使4032n S >成立的n 的最小值．【答案】（1）见解析；（2）21n -；（3）2017．【解析】（1）由题意得212n n n a a a +=+，即211(1)n n a a ++=+，则{}1n a +是“平方递推数列”．对211(1)n n a a ++=+两边取对数得1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，所以数列{lg(+1)}n a 是以1lg(+1)1a =为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）知1111lg(1)lg(+1)22n n n a a --++=⋅=，则12121(12)lg lg[(1)(1)(1)]lg(1)lg(1)lg(1)2 1.12n n n n n T a a a a a a ⨯-=+++=++++++==--（3）由（2）知11lg 2112()lg(+1)22nn n n n n T b a ---===-，111122221212n n n S n n --=-=-+-，又4032n S >，所以112240322n n --+>，即120172nn +>，又1012n <<，所以min 2017n =，故使4032n S >成立的n 的最小值为2017．5．在数列{}n a 中，21nn a =-，一个7行8列的数表中，第i 行第j 列的元素为ij i j i j c a a a a =⋅++()1,2,,71,2,,8i j ==；，则该数表中所有不相等元素之和为A ．16210-B ．16210+C ．16218-D ．16213+1．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,3339,22a S ==,则公比q = A ．12B ．12-C ．1或12-D ．1或122．已知{}n a 为等比数列，47562,8a a a a +==-，则110a a += A ．7 B ．5 C ．5-D ．7-3．已知等比数列{}n a 中,1a ，25a 为方程2540x x -+=的两根，则31323a a a 的值为A ．16B ．8C ．64±D ．16±4．等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{}lg n a 的前8项和等于 A ．6 B ．5 C ．4D ．35．等比数列的前n 项和、前2n 项和、前3n 项和分别为A ，B ，C ，则 A ．A B C +=B ．2B AC =C ．3A B C B +-=D ．()22A B A B C +=+6．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于 A ．9 B ．3 C ．3-D ．6-7．设()()4681021022222n f n n +=+++++∈N ，则()f n 等于A ．()16413n- B ．()116413n +- C ．()316413n +-D ．()416413n +-8．已知各项均不为0的等差数列{}n a 满足2731102a a a -+=，数列{}nb 为等比数列，且77b a =，则113b b ⋅= A ．4 B ．8 C ．16D ．259．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和是n S ，则“0q >”是“2016201820172S S S +>”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．《张丘建算经》中有如下叙述：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问末日行几何．”其大意为：“现有一匹马行走速度越来越慢，每天行走的距离是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里，问最后一天行走的距离是多少？”依据上述记载，计算第7天行走的距离大约是（结果采用四舍五入，保留整数） A ．10里 B ．8里 C ．6里D ．4里11．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为A ．14B ．12 C ．20D ．5412．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足()312n n S a =+()*n ∈N ，则4a 的值为__________.13．已知数列}n 是等比数列，且129,36a a ==，则n a =________________．14．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =+.（1）求证：数列{}1n a -是等比数列；（2）设()2log 1n n b a =-n 项和n T .15．已知公比为整数的正项等比数列{}n a 满足：3124a a -=，10193a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()1n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．1．（2018北京卷文科）设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2018北京卷文科）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A 2f B ．2fC ．D ．12723．（2017江苏）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a =__________．4．（2016新课标全国Ⅲ文科）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，21(21)n n n a a a +---120n a +=．（1）求23,a a ；（2）求{}n a 的通项公式．5．（2018新课标全国I 文科）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．6．（2018新课标全国Ⅲ文科）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．1．【答案】（1）2233,4,8a S a ===；（2）证明见解析；（3）()1*2n n S n n -=⋅∈N ；()212n n a n -=+⋅. 【解析】（1）2233,4,8a S a ===.（2）由()121,2,3,n n n a S n n ++==可得12n n n n S S S n++-=，整理1122221n n n n n n S S n n S S S S n n n n++++=+=⇒=+，所以12n n b b +=，又1111011S a b ===≠，所以数列{}n b 是等比数列，首项是1，公比为2.【点睛】本题为数列常见考题，属于高考高频考点，常涉及： ①利用递推公式，已知数列的前几项利用赋值法求出后面； ②对递推关系式变形，证明某数列为等比（差）数列； ③根据所证明的数列成等比（差）数列，求出第n 项；④已知数列的前n 项和，求第n 项.这些都是数列常规问题，考查面较大.对于本题，当数列提供n a 与n S 之间的递推关系时，借助首项的值，利用赋值法，可求出第二项及以后的项，并求出前几项的和，证明某数列是等比数列，就是证明第n +1项与第n 项的比是一个常数，这个分析给证明提供一个暗示，有了证明的目标，从递推关系式向着这个目标进行等价变形，就可得出所要证明的式子，达到证明的目的；利用所证明的等比数列求出通项公式得出n S ，进而求出通项n a . 2．【答案】D【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，所以241312a a q a a +==+，所以()21311151142a a a q a ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，解得12a =，1211222n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12112411212n n n S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-，所以214122112n n n n n S a -⎛⎫- ⎪⎝⎭==-⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选D ．【名师点睛】该题考查的是有关等比数列的问题，涉及的知识点有等比数列项之间的关系，等比数列的通项公式和等比数列的求和公式的应用，在解题的过程中，注意认真运算.对于本题，设出等比数列的公比为q ，利用等比数列的性质，根据已知等式求出q 的值，进而求出1a 的值，表示出n S 与n a ，即可求出结果.3．【答案】（1）12n n a -=；（2）()416115n n T =-.4．【答案】C【解析】因为等比数列{}n a 中，1232a a a ⋅⋅=,56732a a a ⋅⋅=，所以由等比数列的性质可知123345567,,a a a a a a a a a 成等比数列，所以()()()234512356764a a a a a a a a a ==，因为等比数列{}n a 中各项均为正数，所以3458a a a =，因为345a a a ，456a a a ，567a a a 成等比数列，所以()()()2456345567256a a a a a a a a a ==，可得45616a a a =.故选C ．【名师点睛】本题主要考查等比数列中连续三项积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用.由等比数列的性质求得3458a a a =，再由等比数列的性质可得()()()2456345567256a a a a a a a a a ==，从而可得结果.5．【答案】C【解析】该数表中的第i 行第j 列的元素·ij i j i j c a a a a =++=（2i ﹣1）（2j﹣1）+2i ﹣1+2j ﹣1=2i+j ﹣1 （i =1，2，…，7；j =1，2，…，8），其数据如下表所示：1 1 1由表可知，该数表中所有不相等元素之和为22﹣1+23﹣1++1521-=()1441212--−14=16218-.故答案为C.【名师点睛】（1）本题主要考查等比数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握能力.（2）解答本题时，要注意审题，本题求的是“所有不相等．．．元素的和”. 1．【答案】C【解析】由已知33312332a a S a a a a q q =++=++，所以23119122q q ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得1q =或12q =-，故选C ． 2．【答案】D【名师点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素1a 和q ，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解． ②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解． ③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．④化基本量求和．直接将基本量代入前n 项和公式求解或利用等比数列的性质求解． 3．【答案】B【解析】因为1a ，25a 为方程2540x x -+=的两根，所以1254a a =,且12505a a +=>,因此130a >，1331323125132,428a a a a a a a ==∴==⨯=，故选B ．【名师点睛】在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度． 4．【答案】C【解析】由等比数列的性质知()4412384510a a a a a a ==，所以128l g l g l ga a a +++ ()4128lg lg104a a a ===．故选C.5．【答案】D【解析】由等比数列的性质可知，等比数列的第一个n 项和，第二个n 项和，第三个n 项和仍然构成等比数列，则有,,A B A C B --构成等比数列，()()2B A AC B ∴-=-，即222B AB A AC AB -+=-，()22A B A B C ∴+=+，故选D ．【名师点睛】本题考查了等比数列的性质以及等比数列前n 项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.解本题时，由等比数列的性质，可知其第一个n 项和，第二个n 项和，第三个n 项和仍然构成等比数列，化简即可得结果. 6．【答案】D【解析】∵等差数列{a n }的公差为2，且1a ，3a ，4a 成等比数列，∴（a 1+4）2=a 1（a 1+6），∴a 1=−8，∴a 2=−6．故选D ．【名师点睛】本题主要考查等比数列的性质，等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础． 7．【答案】D8．【答案】C【解析】∵等差数列{}n a 中2731102a a a -+=，∴()27311724a a a a =+=，又70a ≠，∴74a =，∴74b =．∴在等比数列{}n b 中，2113716b b b ⋅==．故选C ．【名师点睛】本题主要考查等差、等比数列中项的下标和的性质，即若m n p q +=+ ()*,,,m n p q ∈N ，则等差数列中有m n p q a a a a +=+，等比数列中有m n p q a a a a =．利用数列这个性质解题，可简化运算、提高解题的效率．解本题时，先根据等差数列下标和的性质求出7a ，进而得到7b ，再根据等比数列下标和的性质求113b b ⋅即可． 9．【答案】D【解析】由201620182012S SS+>得20182017a a >，∴2017201611a q a q >，∴()2016110a q q ->，解得10,1a q >>或10,1a q <<．∴“2016201820172S S S +>”等价于“10,1a q >>或10,1a q <<”．故“0q >”是“2016201820172S S S +>”的既不充分也不必要条件．故选D ．【名师点睛】先求出“2016201820172S S S +>”的等价条件，再根据题意作出判断．等比数列的单调性除了和公比q 有关外，还与数列的首项1a 有关．当10,1a q >>或10,01a q <<<时，数列为递增数列；当10,01a q ><<或10,1a q <>时，数列为递减数列．10．【答案】C【解析】记该匹马每天行走的距离成等比数列{}n a ，其公比为12，前7项的和为700，此问题可以转化为求数列{}n a 的第76171647001700,61272127a a a ⨯⎛⎫===≈ ⎪⎝⎭，故选C ．11．【答案】C【名师点睛】本题考查了等比数列的前项和公式，利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正，即首先要判断参数是否为正；二定，即其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等，即最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.解本题时，利用等比数列的前n 项和公式求出96S S -，由数列的单调性可得1q >，根据基本不等式的性质求解即可. 12．【答案】−81【解析】()312n n S a =+()*n ∈N ，∴当1n =时，13a =-， ∴当2n ≥时，()1132n n n n n a S S a a --=-=-，即13n n a a -=， ∴{}n a 是以首项为−3，公比为3的等比数列，∴3n n a =-.∴481a =-.故答案为−81.【名师点睛】掌握n a 与n S 的关系，利用n a 与n S 的关系式求出n a 的通项公式即可得到答案. 13．【答案】()22nn +【名师点睛】本题考查了等比数列的定义、通项公式的求法，灵活运用公式进行变形求解，属于中档题.解本题时，根据数列}n 是等比数列，将19a =、236a =分别代入，可以得到数列}n 的公比2q =，从而求得通项公式n a . 14．【答案】（1）见解析；（2）1nn +. 【解析】（1）当1n =时，11121a S a ==+，计算得出11a =-，当1n >时，根据题意得，()1121n n S a n --=+-，所以()()111221221n n n n n n S S a n a n a a ---⎡⎤-=+-+-=-+⎣⎦，即121n n a a -=-.()1121n n a a -∴-=-，即1121n n a a --=-， ∴数列{}1n a -是首项为−2，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，()11222n n n a --=-⋅=-，12n n a ∴=-，()22log 1log 2n n n b a n ∴=-==，()1111111n n b b n n n n +∴==-++， 1n n ⎛++- ⎝【名师点睛】本题考查了等比数列的证明，数列求和的常用方法；数列求和的常用方法有：分组求和，用于当数列中相邻两项的和或者差是定值的；错位相减法，用于一个等比数列和等差数列乘到一起；裂项相消法主要用于分式型的通项.15．【答案】（1）3nn a =；（2）()1121334n n S n +⎡⎤=+-⎣⎦.（2）由()13nn b n =+⨯，得23233343n S =⨯+⨯+⨯+()1313n n n n -+⨯++⨯，则2343233343n S =⨯+⨯+⨯+()1313n n n n ++⨯++⨯，两式作差有：232633n S -=+++()1313n n n ++-+⨯，所以()()1313213313n n n S n +-=+⨯---()121332n n ++⨯-=，故()1121334n n S n +⎡⎤=+-⎣⎦．【名师点睛】该问题属于数列的综合问题，属于常考的题型，第一问考查的是有关等比数列的性质以及数列通项公式的求解问题，根据等比数列的通项公式以及性质，结合题中的条件，转化为关于首项和公比的等量关系式，从而求得结果；第二问是典型的数列求和问题——错位相减法，在求解的过程中，一定要注意最后一项应该是减号，以及最后求和的时候要看清项数.1．【答案】B【解析】当14,1,1,4a b c d ====时，,,,a b c d 不成等比数列，所以不是充分条件；当,,,a b c d 成等比数列时，则ad bc =，所以是必要条件.综上所述，“ad bc =”是“,,,a b c d 成等比数列”的必要不充分条件，故选B.【名师点睛】证明“ad bc =”⇒“,,,a b c d 成等比数列”只需举出反例即可，论证“,,,a b c d 成等比数列”⇒“ad bc =”可利用等比数列的性质. 2．【答案】D【名师点睛】此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n ≠∈N ）或1n n aq a -=（*0,2,q n n ≠≥∈N ），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n ≥∈N ），则数列{}n a 是等比数列. 3．【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=．【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法． 4．【解析】（1）由题意得41,2132==a a ．（2）由02)12(112=---++n n n n a a a a ，得)1()1(21+=++n n n n a a a a ．因为{}n a 的各项都为正数，所以211=+n n a a ，故{}n a 是首项为1，公比为21的等比数列，因此121-=n n a ． 5．【解析】（1）由条件可得a n +1=2(1)n n a n+．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4．将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列的通项公式，借助于的通项公式求得数列的通项公式，从而求得最后的结果.6．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =．故1(2)n n a -=-或12n n a -=．（2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3nn S --=．由63m S =得(2)188m -=-，此方程没有正整数解．若12n n a -=，则21n n S =-．由63m S =得264m =，解得6m =．综上，6m =．。

等差数列及其前n项和知识点总结、经典高考题解析(可编辑修改word版)

等差数列及其前 n 项和【考纲说明】1、理解等差数列的概念，学习等差数列的基本性质.2、探索并掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式.3、体会等差数列与一次函数的关系.4、本部分在高考中占 5-10 分左右.【知识梳理】一、等差数列的相关概念 1、等差数列的概念如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．通常用字母 d 表示。

2、等差中项如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与b 的等差中项．即： A = a + b或22 A = a + b推广： 2a n = a n -1 + a n +1(n ≥ 2) ⇔ 2a n +1 = a n + a n +23、等差数列通项公式若等差数列{a n } 的首项是a 1 ，公差是d ，则a n = a 1 + (n -1)d ．推广： a n = a m+ (n - m )d ，从而d = a n - a m。

n - m4、等差数列的前n 项和公式等差数列的前n 项和的公式：① S n = n (a 1 + a n ) ；② S 2 n= na 1+ n (n -1) d ．25、等差数列的通项公式与前 n 项的和的关系a = ⎧s 1, n = 1 {a } s = a + a +L + a n ⎨s - s , n ≥ 2 ( 数列 n 的前 n 项的和为 n 1 2 n ).⎩ nn -1二、等差数列的性质1、等差数列与函数的关系当公差d ≠ 0 时，(1) 等差数列的通项公式a n = a 1 + (n -1)d = dn + a 1 - d 是关于n 的一次函数,斜率为d ；(2) 前 n 和 S = na + n (n -1) d = d n 2 + (a - d)n 是关于 n 的二次函数且常数项n 1 2 2 12n m m +k m +2k m +3k a a ≤ ⎨ 为 0。

高二数学等差数列及其前n项和知识点梳理

高二数学等差数列及其前n项和知识点梳理伟大的数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生活之迷、日月之繁，无处不用数学。

小编准备了高二数学等差数列及其前n项和知识点，希望你喜欢。

一、等差数列的有关概念：1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为an+1-an=d(n∈N*，d为常数).2.等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A=(a+b)/2，其中A叫做a，b的等差中项.等差数列的有关公式1.通项公式：an=a1+(n-1)d.2.前n项和公式：Sn=na1+n(n-1)/2d+d=(a1+an)n/2.等差数列的性质1.若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，{an}为等差数列，则am+an=ap+aq.2.在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为kd.3.若{an}为等差数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍为等差数列，公差为n2d.4.等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当a10时前n项和Sn有最大值.5.等差数列{an}的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成Sn=An2+Bn，则A=d/2，B=a1-d/2，当d≠0时它表示二次函数，数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn是{an}成等差数列的充要条件.解题方法1.与前n项和有关的三类问题(1)知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想.(2)Sn=d/2*n2+(a1-d/2)n=An2+Bn?d=2A.(3)利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值.2.设元与解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…;若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元高二数学等差数列及其前n项和知识点就为大家介绍到这里，希望对你有所帮助。

等差数列及其前n项和高考数学满分秘籍第02讲

第02讲等差数列及其前n项和（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等，分值为5-12分【备考策略】1.理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题4.理解等差数列与一次函数的关系及等差数列通项公式与前n 项和的关系5.熟练掌握等差数列通项公式与前n 项和的性质【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等差数列，或通过构造为等差数列，求通项公式及前n 项和。

需综合复习知识讲解1.等差数列的定义从第二项开始，后一项与前一项的差为同一个常数，这个数列是等差数列，这个常数是等差数列的公差，用d 表示2.数学表达式da a n n =-+13.通项公式()d n a a n 11-+=，()+∈N n ，()d m n a a m n -+=，()+∈N n 4.等差数列通项公式与函数关系()d n a a n 11-+=()d a dn a n -+=⇒1令d K =，d a B -=1，B Kn a n +=⇒⇒等差数列{}n a 为一次函数5.等差中项若A ，B ，C 三个数成等差数列，则C A B +=2，其中B 叫做A ，C 的等差中项6.等差数列通项公式的性质（1）若q p n m +=+q p n m a a a a +=+⇔，或p n m 2=+p n m a a a 2=+⇔（2）若{}n a ，{}n b 为等差数列，则{}n n b a ±，{}n n kb ma ±仍为等差数列7.等差数列前n 项和()21n n a a n S +=或()211dn n na S n -+=8.等差数列前n 项和与函数关系()211d n n na S n -+=221dn dn na S n -+=⇒n d a n d S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⇒2212令2d A =，21d a B -=，Bn An S n +=⇒2⇒等差数列{}n a 前n 项和公式是无常数项的二次函数9.等差数列前n 项和的性质（1）k S ，k k S S -2，k k S S 23-……仍成等差数列（2）⎭⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列推导过程：B An n Bn An n S n +=+=2（一次函数）⎭⎬⎫⎩⎨⎧⇒n S n 为等差数列（3）mnd S S S n m n m ++=+（4）()nn a n S 1212-=-10.证明数列为等差数列的方法（1）c a a n n =-+1（c 为常数）{}n a ⇒为等差数列（2）通项公式：B Kn a n +=（一次函数），前n 项和：Bn An S n +=2（无常数项的二次函数）（3）若C A B +=2，则A ，B ，C 三个数成等差数列考点一、等差数列项、公差及通项公式的求解1．（山东·高考真题）{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于（）A ．667B ．668C ．669D ．6702．（海南·高考真题）已知{}n a 是等差数列466a a +=，其前5项和510S =．则其公差d =．3．（重庆·高考真题）在数列{}n a 中，若11a =，12n n a a +=+，则该数列的通项n a =.4．（北京·高考真题）设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为．1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知{}n a 为等差数列，211032,4a a a a =-+=+，则5a =（）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知数列{}n a 为等差数列，且满足1002023a =，2023100a =，则2123a 的值为（）A ．2033B ．2123C ．123D ．03．（2022·四川成都·统考三模）在等差数列{}n a 中，已知33a =，1710a a +=，则数列{}n a 的公差为（）A ．1-B ．0C ．1D ．24．（2022·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知{}n a 为等差数列，首项12a =，公差3d =，若228n n a a ++=，则n =（）A ．1B ．2C ．3D ．4考点二、等差中项的应用1．（2023·辽宁大连模拟预测）等差数列x ，33x +，66x +，⋅⋅⋅的第四项等于（）A ．0B ．9C ．12D ．181．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列{}n a 中，5a 与11a 的等差中项为8，且22a =，则12a =（）A ．6B ．9C ．12D ．18考点三、等差数列的性质1．（北京·高考真题）在等差数列{}n a 中，已知1234520a a a a a ++++=，那么3a 等于（）A ．4B ．5C ．6D ．72．（2023·福建漳州·统考模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3912a a +=，则11S =（）A ．66B ．72C ．132D ．1443．（江西·高考真题）设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝．4．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，410S =，945S =，则7a =（）A ．5B ．6C ．7D ．81．（全国·高考真题）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =，则249a a a ++=.2．（江西·高考真题）已知等差数列{}n a ，若1231221a a a a ++++= ，则25811a a a a +++=.3．（2023·全国·校联考二模）等差数列{}n a 中，24101240a a a a +++=.则前13项和13S =（）A ．133B ．130C ．125D ．1204．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）在等差数列{}n a 中，若12345120a a a a a ++++=，则692a a -=.考点四、等差数列前项和的求解1．（2023·全国·统考高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若264810,45a a a a +==，则5S =（）A ．25B ．22C ．20D ．152．（2020·全国·统考高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =．3．（2020·海南·高考真题）将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{an }，则{an }的前n 项和为．4．（2021·全国·统考高考真题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求使n n S a >成立的n 的最小值．5．（2023·全国·统考高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知21011,40a S ==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前n 项和n T ．1．（2023·黑龙江大庆·统考二模）在公差不为零的等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若()73537k S a a a =++，则k =．2．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且214a =，555S =，数列{}31n a -的前10项的和为.3．（2023·湖南·校联考二模）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，14818S S +=，2100a a +=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求1001k k a =∑的值．4．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考模拟预测）已知在等差数列{}n a 中，14724a a a ++=-，25815a a a ++=-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n T 是数列{}n a 的前n 项和，求30T .5．（2023·云南昭通·统考模拟预测）设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若5950S a +=，457a a a =.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)求使n n S a <的n 的最大值.考点五、等差数列前项和的性质1．（全国·高考真题）已知等差数列{}n a 的前m 项之和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项的和为（）A ．130B ．170C ．210D ．2602．（2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3918,3S S ==，则6S =（）A ．9B ．212C ．12D ．2723．（2023·辽宁大连·校联考二模）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612S S =（）A ．310B ．13C ．18D ．194．（2022·青海海东·校考模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10110S =，11010S =，则120S =（）A ．－10B ．－20C ．－120D ．－1105．（2022·河南新乡·统考一模）设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若3542n n S n T n +=-，则88a b =（）A ．2528B ．3539C ．5558D ．25296．（2022·全国·模拟预测）设等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若对于任意的正整数n 都有2131n n S n T n +=-，则89a b =（）A ．3552B ．3150C ．3148D ．35461．（辽宁·高考真题）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（）A ．63B ．36C ．45D ．272．（陕西·高考真题）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242,10,S S ==则6S 等于A ．12B ．18C ．24D ．423．（2023·海南·校考模拟预测）已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若()23n n n S nT +=，则56a b =（）A ．925B ．13C ．921D ．11254．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且1n n S nT n =+，那么87a b 的值为（）A ．1312B ．1413C ．1514D ．16155．（2022·江西·临川一中校联考模拟预测）已知数列{}n a 和{}n b 都是等差数列，且其前n 项和分别为n S 和n T ，若3125n n S n T n +=+，则55a b =（）A ．1615B ．2823C ．1011D ．3427考点六、等差数列通项公式与前项和的关系1．（全国·高考真题）设等差数列{}n a 的公差是d ，如果它的前n 项和2n S n =-，那么（）A ．21n a n =-，2d =-B ．21n a n =-，2d =C ．21n a n =-+，2d =-D ．21n a n =-+，2d =2．（2023·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,,n n n a S a 为等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若m 为正整数，记集合{}2n m a m >的元素个数为{}n b ，求数列{}n b 的前50项和.1．（2023·四川达州·统考二模）已知n S 是数列{}n a 前n 项和，21544n S n n =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设22n an b =，记n T ，n T '分别为数列{}n b 的前n 项和与前n 项积，求n n T T '+．2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，2n n S na =，23a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若16n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．3．（湖南·高考真题）已知数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．考点七、等差数列通项公式与前项和的最值1．（福建·高考真题）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于()A ．6B ．7C ．8D ．92．（2023·陕西西安·校联考一模）设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若197140,0S a a >+<，则当n S 取得最大值时，n ＝（）A ．8B ．9C ．10D ．113．（2023·四川自贡·统考三模）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若100S <，110S >，则下列四个命题正确个数为（）①5S 为n S 的最小值②60a >③10a <，0d >④6S 为n S 的最小值A ．1B ．2C ．3D ．44．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在等差数列{}n a 中，已知10a >，且817S S =，则当n S 取最大值时，n =（）A ．10B ．11C ．12或13D ．135．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知首项为1-的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且7889,S S S S ><，则（）A ．1187d <<B ．105S S >C ．()8min n S S =D ．150S >6．（全国·高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．1．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）设等差数列{}n a 的公差为d ，共前n 项和为n S ，已知160S >，170S <，则下列结论不正确的是（）.A ．10a >，0d <B ．8S 与9S 均为n S 的最大值C ．890a a +>D ．90a <2．（2023·云南·校联考三模）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若160S >，790a a +<，则当n S 取最小值时，n 的值为.3．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若120S <，570a a +>，则当n S 取最大值时，n 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．64．（2023·河南·统考模拟预测）设数列{}n a 为正项等差数列，且其前n 项和为n S ，若20232023S =，则下列判断错误的是（）A ．10121a =B ．10131a ≥C ．20222022S >D ．20242024S ≥5．（全国·高考真题）设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值考点八、等差数列的证明1．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）已知{}n a 是各项均为正数的数列，n S为的前n 项，n S ，2n a -成等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)已知()1nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1122n n n S a -=-．(1)证明：12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(2)求数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项积．3．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知各项均为正数的数列{}n a满足1n a =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若对任意N n +∈，且当2n ≥时，总有12311114111n S S S S λ+++⋅⋅⋅+<---恒成立，求实数λ的取值范围.4．（2023·云南曲靖·校考三模）已知数列{}n a 满足1111,20n n n n a a a a a ++=+-=.记1n nb a =.(1)证明：数列{}n b 为等差数列；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求数列{}(1)nn S -的前20项的和.1．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）已知数列{}n a 的首项11a =，且满足1323nn n a a -+-=⨯.(1)求证：数列{}3nn a ⋅是等差数列；(2)若数列{}n b 满足19nn n n b a a +=⋅，求数列1n b ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n S .2．（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知数列{}n a 满足111,12nn n a a a a +==+．(1)证明1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并{}n a 的通项公式；(2)设214n n n c n a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．3．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，数列{}n S 的前n 项积为n T ，且满足n n n n S T S T +=⋅()*N n ∈．(1)求证：11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；(2)记21n nb n S =，求数列{}n b 的前2023项的和M ．4．（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项的积记为n T ，且满足11n n na T a -=(1)证明：数列{}n T 为等差数列;(2)若11,1,n n n n T n b n T T-+⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T.【基础过关】一、单选题1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()21n n n S a a =+，则2023a =（）A ．2022B ．2023C ．2024D ．20252．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知等差数列{}n a 满足246πa a a ++=，则()17cos a a +=（）A ．12-B ．12CD3．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考二模）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3531,8S a a a =-=，则7a =（）A ．30B ．28C ．26D ．134．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5242,26.a S S ==若100n S ≤，则n 的最大值为（）A ．7B ．8C ．9D ．105．（2023·河北·统考模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和是376,1,3n S a S a ==，则3S =（）A ．1B ．1-C ．3D ．3-二、填空题6．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列{}n a 的公差为()0d d >，且满足3521a a -=，2440a a ⋅=，则数列{}n a 的通项公式n a =．7．（2023·甘肃·三模）已知数列{}n a 满足113a =，11n n n a a a +=+，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前8项和为.三、解答题8．（2023·山西阳泉·统考三模）已知数列{}n a 满足13a =，1121n n n a a a ++-=．(1)记11n n b a =-求数列{}n b 的通项公式；(2)求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．9．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a <，2234n n n a a S -=-．(1)求1a ，2a ；(2)求数列{}n a 的通项公式．10．（2023·辽宁丹东·统考二模）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知15a =，1(1)12n n n n na S ++=-+．(1)求{an }的通项公式；(2)证明：20n S ≤．【能力提升】一、单选题1．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，且1411,2==-a a ，则2023a =（）A ．20212023B ．20212023-C ．20192021D ．20192021-2．（2023·福建·统考模拟预测）已知数列{}n a 满足113a =，()11nn n n a a a n++=+，()11212n a a a a a a m m +++<∈R 恒成立，则m 的最小值为（）A ．3B ．2C ．1D ．23二、多选题3．（2023·辽宁大连·大连八中校考三模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠．若6n S S ≤，则（）A ．10a >B ．0d <C ．60a =D ．130S ≤4．（2023·山东淄博·统考二模）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，满足2211n n n a S a =+对N*n ∈成立，则下列结论正确的是（）A ．11a =±B ．{}n a 一定是递减数列C ．数列{}2n S 是等差数列D．2023a =三、填空题5．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知等差数列{}n a 的首项为()10a a a =>，公差1d =，等比数列{}n b 满足17b a =，71b a =，则33a b -的取值范围为.四、解答题6．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()()1n n S a n n =-+.(1)求数列{n a }的通项公式；(2)数列{n b }满足()*1N ,22nn n a b b n n --=∈≥且111a b -=，1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明:12n T ≤<.7．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为()1,23n n n S S n a =+，且11a =.(1)求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎩⎭是等差数列；(2)求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .8．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S，满足1n a =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2πcos3n n n b a =，求数列{}n b 的前31n +项和31n T +.9．（2023·天津红桥·统考一模）已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列{}n b 是公比大于0的等比数列，13b =，3218b b -=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记2*(1),N n n n c a n =-∈，求数列{}n c 的前2n 项和2n S ；(3)记*211,N n n n n na d n a ab ++-=∈，求数列{}n d 的前n 项和n T .10．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知正项数列{n a }中，11a =，n S 是其前n项和，且满足)211n S S +=(1)求数列{n a }的通项公式：(2)已知数列{n b }满足()1111n n n n n a b a a +++=-，设数列{n b }的前n 项和为n T ，求n T 的最小值.【真题感知】一、单选题1．（2021·北京·统考高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长12345,,,,a a a a a (单位:cm)成等差数列，对应的宽为12345,,,,b b b b b (单位:cm),且长与宽之比都相等，已知1288a =，596=a ，1192b =，则3b =A ．64B ．96C ．128D ．1602．（2021·北京·统考高考真题）已知{}n a 是各项均为整数的递增数列，且13a ≥，若12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（）A ．9B ．10C ．11D ．123．（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.94．（2020·全国·统考高考真题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块二、填空题5．（2022·全国·统考高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =．三、解答题6．（2021·全国·高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知210,3n a a a >=，且数列{}n S 是等差数列，证明：{}n a 是等差数列.7．（2021·全国·统考高考真题）已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.8．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列{}n a 的首项11a =-，公差1d >．记{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N ．(1)若423260S a a -+=，求n S ；(2)若对于每个n *∈N ，存在实数n c ，使12,4,15n n n n n n a c a c a c +++++成等比数列，求d 的取值范围．9．（2023·全国·统考高考真题）已知{}n a 为等差数列，6,2,n n na nb a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，432S =，316T =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：当5n >时，n n T S >．10．（2023·全国·统考高考真题）设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn nb a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．(1)若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式；(2)若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求d ．。

高考数学(理)总复习讲义：等差数列及其前n项和

第二节等差数列及其前n 项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d ❶(n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ❷.(2)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (3)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2❸. ,d ＞0⇔{a n }为递增数列， d ＝0⇔{a n }为常数列， d ＜0⇔{a n }为递减数列．当d ≠0时，等差数列{an }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d )是关于d 的一次函数．当d ≠0时，等差数列{an }的前n 项和S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数． [熟记常用结论]1．若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . 2．若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . 3．若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．4．若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．5．若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12. 6．若{a n }是等差数列，S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列．7．关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质．(1)若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. (2)若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.8．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、选填题1．在等差数列{}a n 中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6解析：选B ∵{}a n 为等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 6，∴a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0.2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 解析：选B 设公差为d .∵a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5，又∵a 4＝7，∴d ＝2.故选B.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( ) A ．1 B.53 C ．－2D ．3解析：选C ∵S 3＝6＝32(a 1＋a 3)，且a 3＝a 1＋2d ，a 1＝4，∴d ＝－2，故选C.4．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为________．解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a 100＝－8＋99×5＝487. 答案：4875．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为________．解析：∵a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37， ∴m ＝37. 答案：37考点一等差数列基本量的运算[基础自学过关][题组练透]1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10D ．12解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4. 3．(2019·西安质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1＞0，则S 20＝( )A ．420B ．340C ．－420D ．－340解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 2＋d ＝d ，a 5＝a 2＋3d ＝3d ，由a 3·a 5＝12，得d ＝±2，由a 1＞0，a 2＝0，可知d ＜0，所以d ＝－2，所以a 1＝2，故S 20＝20×2＋20×192×(－2)＝－340.4．(2019·西安八校联考)设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 4＜S 3B ．S 4＝S 3C ．S 4＞S 1D ．S 4＝S 1解析：选B 设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3.于是，S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4＜S 1，故选B.[名师微点]等差数列基本运算的常见类型及解题策略(1)求公差d 或项数n .在求解时，一般要运用方程思想． (2)求通项．a 1和d 是等差数列的两个基本元素．(3)求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．(4)求前n 项和．利用等差数列的前n 项和公式直接求解或利用等差中项间接求解． [提醒] 在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．考点二等差数列的判定与证明[师生共研过关][典例精析]若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，因为S n ≠0，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1S n ＝2n ，所以S n ＝12n .当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1). 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.[变式发散]1．(变设问)本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由．解：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)．所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．又1S 1＝1a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列．所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)，所以a n ＋1＝－12n (n ＋1).又a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ·⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1)，所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列．2．(变条件)将本例条件“a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12”变为“S n (S n －a n )＋2a n ＝0(n ≥2)，a 1＝2”，问题不变，试求解．解：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1且S n (S n －a n )＋2a n ＝0，所以S n [S n －(S n －S n －1)]＋2(S n －S n －1)＝0，即S n S n －1＋2(S n －S n －1)＝0，因为S n ≠0，所以1S n－1S n －1＝12.又1S 1＝1a 1＝12，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以首项为12，公差为12的等差数列． (2)由(1)知1S n ＝n 2，所以S n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n (n －1).当n ＝1时，a 1＝2不适合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，－2n (n －1)，n ≥2. [解题技法]等差数列的判定与证明方法[提醒] 如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件．[过关训练]1．已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1－2n，设b n ＝a n －2n3n ，求证：数列{b n }为等差数列，并求{a n }的通项公式．证明：因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1－2n ＋13n ＋1－a n －2n3n ＝3a n ＋3n ＋1－2n －2n ＋13n ＋1－3a n －3·2n 3n ＋1＝1，所以{b n }为等差数列，又b 1＝a 1－23＝0，所以b n ＝n －1，所以a n ＝(n －1)·3n ＋2n .2．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1. (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：因为1a n ＋1－1－1a n －1＝a n －a n ＋1(a n ＋1－1)(a n －1)＝13，所以b n ＋1－b n ＝13，所以数列{b n }是等差数列． (2)由(1)及b 1＝1a 1－1＝12－1＝1，知b n ＝13n ＋23，所以a n －1＝3n ＋2，所以a n ＝n ＋5n ＋2.考点三等差数列的性质与应用[师生共研过关][典例精析](1)(2018·咸阳二模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4，a 10是方程x 2－8x ＋1＝0的两根，则S 13＝( )A ．58B ．54C ．56D ．52(2)已知等差数列{a n }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( ) A ．100 B ．120 C ．390D ．540(3)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 019＝________.[解析] (1)∵a 4，a 10是方程x 2－8x ＋1＝0的两根， ∴a 4＋a 10＝8，∴a 1＋a 13＝8， ∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13×82＝52.(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，又等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210， ∴2(S 20－30)＝30＋(210－S 20)，解得S 20＝100.(3)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d ，则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1. 故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 014＋2 018＝4， ∴S 2 019＝4×2 019＝8 076.[答案] (1)D (2)A (3)8 076[解题技法]一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，如m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)；数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列；⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具． [过关训练]1．(2019·聊城模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13＝104，a 6＝5，则数列{a n }的公差为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d . 因为S 13＝104，所以13(a 1＋a 13)2＝104，所以13a 7＝104，解得a 7＝8.因为a 6＝5，所以d ＝a 7－a 6＝8－5＝3.2．(2018·宁德二检)已知等差数列{a n }满足a 3＋a 5＝14，a 2a 6＝33，则a 1a 7＝( ) A ．33 B ．16 C ．13D ．12解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＋a 5＝14，所以a 2＋a 6＝14，又a 2a 6＝33，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝3，a 6＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 6＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 6＝11时，d ＝11－36－2＝2，所以a 1a 7＝(a 2－d )(a 6＋d )＝13；当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 6＝3时，d ＝3－116－2＝－2，所以a 1a 7＝(a 2－d )(a 6＋d )＝13. 综上，a 1a 7＝13，故选C.3．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 11b 11＝________.解析：由等差数列前n 项和的性质，得a 11b 11＝S 21T 21＝2×213×21＋1＝2132.答案：2132考点四等差数列前n 项和的最值问题[师生共研过关][典例精析]在等差数列{a n }中，已知a 1＝13,3a 2＝11a 6，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．[解析] 法一通项法设等差数列{a n }的公差为d .由3a 2＝11a 6，得3×(13＋d )＝11×(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15.由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋15≥0，－2(n ＋1)＋15≤0，解得132≤n ≤152.因为n ∈N *，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝7×(13－2×7＋15)2＝49.法二二次函数法设等差数列{a n }的公差为d .由3a 2＝11a 6，得3×(13＋d )＝11×(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15.所以S n ＝n (13＋15－2n )2＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝49. [答案] 49[解题技法]求数列前n 项和的最值的方法(1)通项法：①若a 1＞0，d ＜0，则S n 必有最大值，其n 的值可用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0来确定；②若a 1＜0，d ＞0，则S n 必有最小值，其n 的值可用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来确定．(2)二次函数法：等差数列{a n }中，由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n ，可用求函数最值的方法来求前n 项和的最值，这里应由n ∈N *及二次函数图象的对称性来确定n 的值．(3)不等式组法：借助S n 最大时，有⎩⎪⎨⎪⎧S n ≥S n －1，S n ≥S n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，解此不等式组确定n的范围，进而确定n 的值和对应S n 的值(即S n 的最值)．[过关训练]1．已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 15＞0，S 16＜0，则S n 的最大值是( ) A ．S 1 B ．S 7 C ．S 8D ．S 15解析：选C 由等差数列的前n 项和公式可得S 15＝15a 8＞0，S 16＝8(a 8＋a 9)＜0，所以a 8＞0，a 9＜0，则d ＝a 9－a 8＜0，所以在数列{a n }中，当n ＜9时，a n ＞0，当n ≥9时，a n ＜0，所以当n ＝8时，S n 最大，故选C.2．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．解：(1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. 又a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.[课时跟踪检测]一、题点全面练1．等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d ＝( ) A.14 B.12 C ．2D ．－12解析：选A 由a 4＋a 8＝2a 6＝10，得a 6＝5，所以4d ＝a 10－a 6＝1，解得d ＝14.2．(2019·沈阳质量监测)在等差数列{a n }中，若S n 为{a n }的前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( )A ．55B ．11C ．50D ．60解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，得a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A. 3．(2018·泉州期末)等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }的前9项和S 9等于( )A ．99B ．66C ．144D ．297解析：选A 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝2a 4，a 3＋a 9＝2a 6，又∵a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，∴3a 4＝39，3a 6＝27，解得a 4＝13，a 6＝9，∴a 4＋a 6＝22，∴数列{a n }的前9项和S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×222＝99. 4．(2019·广州五校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ＝4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)，则a 2 019的值为( )A ．2 020B ．4 032C ．5 041D ．3 019 解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a m ＝a 1＋(m －1)d ＝4，S m ＝ma 1＋m (m －1)2d ＝0，S m ＋2－S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＝2a 1＋(m ＋m ＋1)d ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－4，m ＝5，d ＝2，∴a n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6，∴a 2 019＝2×2 019－6＝4 032.故选B.5．(2019·长春质检)等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d ＞0，则其前n 项和取最小值时n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C 由d ＞0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d 2，则a 8＝－d 2＜0，a 9＝d 2＞0，所以前8项和为前n 项和的最小值，故选C.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11S 5＝______. 解析：S 11S 5＝112(a 1＋a 11)52(a 1＋a 5)＝11a 65a 3＝225. 答案：225 7．等差数列{a n }中，已知S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10＝________.解析：设公差为d ，∵S 99－S 77＝2，∴9－12d －7－12d ＝2， ∴d ＝2，∵a 1＝－9，∴S 10＝10×(－9)＋10×92×2＝0. 答案：08．(2018·广元统考)若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，则a 1＋a 22＋…＋a n n ＝________.解析：当n ＝1时，a 1＝2⇒a 1＝4，又a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，①所以当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋(n －1)＝n 2－n ，② ①－②得a n ＝2n ，即a n ＝4n 2，所以a n n ＝4n 2n ＝4n ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 构成以4为首项，4为公差的等差数列．所以a 1＋a 22＋…＋a n n ＝(4＋4n )n 2＝2n 2＋2n . 答案：2n 2＋2n9．(2018·大连模拟)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，所以a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，所以两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，数列{a n }的公差d ＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2.10．已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n;(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式，解得d ＝2或d ＝－5.因为d ＞0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4. 即所求m 的值为5，k 的值为4.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 018＋a 2 019＞0，a 2 018·a 2 019＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是( )A ．2 018B ．2 019C ．4 036D ．4 037解析：选C 因为a 1＞0，a 2 018＋a 2 019＞0，a 2 018·a 2 019＜0，所以d ＜0，a 2 018＞0，a 2 019＜0，所以S 4 036＝4 036(a 1＋a 4 036)2＝4 036(a 2 018＋a 2 019)2＞0，S 4 037＝4 037(a 1＋a 4 037)2＝4 037·a 2 019＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4 036. 2．(2019·武汉模拟)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为( )A ．－10B ．－12C ．－9D ．－13解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 7＝36，∴a 4＋a 6＝36，又a 4a 6＝275，联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25或⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n ＜0，当n ≥3时，a n ＞0，∴a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值；当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n ＞0，当n ≥8时，a n ＜0，∴a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值．综上，a n a n ＋1的最小值为－12.3．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n－10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案：130(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与方程交汇]若等差数列{a n }中的a 3，a 2 019是3x 2－12x ＋4＝0的两根，则log 14a 1 011＝________.解析：因为a 3和a 2 019是3x 2－12x ＋4＝0的两根，所以a 3＋a 2 019＝4.又a 3，a 1 011，a 2 019成等差数列，所以2a 1 011＝a 3＋a 2 019，即a 1 011＝2，所以log 14a 1 011＝－12. 答案：－125．[与不等式恒成立交汇]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝a 5＋a 6＝25.(1)求{a n }的通项公式；(2)若不等式2S n ＋8n ＋27＞(－1)n k (a n ＋4)对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围．解：(1)设公差为d ，则5a 1＋5×42d ＝a 1＋4d ＋a 1＋5d ＝25， ∴a 1＝－1，d ＝3.∴{a n }的通项公式a n ＝3n －4.(2)由题意知S n ＝－n ＋3n (n －1)2，2S n ＋8n ＋27＝3n 2＋3n ＋27，a n ＋4＝3n ，则原不等式等价于(－1)n k ＜n ＋1＋9n对所有的正整数n 都成立． ∴当n 为奇数时，k ＞－⎝⎛⎭⎫n ＋1＋9n 恒成立；当n 为偶数时，k ＜n ＋1＋9n恒成立．又∵n ＋1＋9n ≥7，当且仅当n ＝3时取等号，∴当n 为奇数时，n ＋1＋9n在n ＝3上取最小值7，当n 为偶数时，n ＋1＋9n 在n ＝4上取最小值294， ∴不等式对所有的正整数n 都成立时，实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，294.。

2023年新高考数学一轮复习7-2 等差数列及其前n项和(知识点讲解)解析版

专题7.2 等差数列及其前n 项和（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理的核心素养．2．与函数、不等式相结合，考查数列的概念及其性质，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 3．与递推公式相结合，考查对求通项公式的方法的掌握，凸显数学运算、数学建模的核心素养．【知识点展示】（一）等差数列1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.2.等差数列的通项公式：；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列，为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . 2d 1(2)n n a a d n --=≥1(1)n n a a d n +-=≥1(1)n a a n d =+-A P d 0>0d =0d <a A b A a b 2a bA +=，，成等差数列. 4.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．（二）等差数列的前和的求和公式：. （三）等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系(1)当d ≠0时，等差数列{a n }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d )是关于d 的一次函数． (2)当d ≠0时，等差数列{a n }的前n 项和S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数．（四）等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．（五）等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列，如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差数列中，对任意，，，；（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.（6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列．（7）若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列．（8）设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①-S S nd =奇偶； ②；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①S S -偶奇(中间项)；②. （9）等差数列中，(),p q a q a p p q ==≠,则0p q a +=,m n m n S S S mnd +=++.a Ab ⇔2a bA +=n 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+{}n a {}n a 1a 3a 5a 7a 3a 8a 13a 18a {}n a m n N +∈()n m a a n m d =+-n ma a d n m-=-()m n ≠{}n a m n p q N +∈m n p q +=+m n p q a a a a +=+{}n a d 2n 1n n S a S a +=奇偶21n -n a a ==中1S nS n =-奇偶（10）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．（11）若与{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 与'n S ，则2121'm m m m a Sb S --=. （12）等差数列的增减性：0d >时为递增数列，且当10a <时前n 项和n S 有最小值．0d <时为递减数列，且当10a >时前n 项和n S 有最大值．【常考题型剖析】题型一：等差数列基本量的运算例1.（2019·全国·高考真题（理））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（） A ．25n a n =- B ．310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A 【解析】【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．例2．（2022·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______．【答案】2 【解析】【分析】转化条件为()112+226a d a d =++，即可得解. 【详解】由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++，即()112+226a d a d =++，解得2d =. 故答案为：2.{}n a【总结提升】1.解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a 1和公差d ，通常利用已知条件及通项公式或前n 项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，可“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a 1，d 表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程． 2.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题.3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+；四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++.这对已知和,求数列各项,运算很方便.题型二：等差数列的判定与证明例3. （2020·山东·高考真题）某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决. 【答案】140里. 【解析】【分析】由条件确定，该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，根据等差数列的通项公式，和前n 项和公式，列式求解.【详解】解：因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，所以该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，设该数列为{}n a ，第1天走的路程数为首项1a ，公差为d ，则91260S =，147390a a a ++=. 因为1(1)2n n n S na d -=+，1(1)n a a n d =+-， 1(1)n a a n d =+-11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+所以11119(91)91260236390a d a a d a d ⨯-⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，解得110010a d =⎧⎨=⎩，则514100410140a a d =+=+⨯=，所以该男子第5天走140里.例4.（2021·全国·高考真题（文））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知210,3n a a a >=，且数列是等差数列，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】证明见解析. 【解析】【分析】的公差d，进一步写出的通项，从而求出{}n a 的通项公式，最终得证. 【详解】∵数列是等差数列，设公差为d(n -()n *∈N∴12n S a n =，()n *∈N∴当2n ≥时，()221111112n n n a S S a n a n a n a -=-=--=- 当1n =时，11121=a a a ⨯-，满足112n a a n a =-， ∴{}n a 的通项公式为112n a a n a =-，()n *∈N ∴()()111111221=2n n a a a n a a n a a --=----⎡⎤⎣⎦∴{}n a 是等差数列.例5．（2021·全国·高考真题（理））已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①①①中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{}n a是等差数列：②数列是等差数列；③213a a =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】证明过程见解析【解析】【分析】选①②作条件证明③时，结合,n n a S 的关系求出n a ，利用{}n a 是等差数列可证213a a =；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.选②③作条件证明①时，an b =+，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论. 【详解】选①②作条件证明③：[方法一]：待定系数法+n a 与n S 关系式(0)an b a +>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n a a n =-，21a a =，故22133a a a ==.[方法二] ：待定系数法设等差数列{}n a 的公差为d，等差数列的公差为1d ，1(1)n d -，将1(1)2n n n S na d -=+1(1)n d -，化简得())2222211111222d d n a n d n d n d ⎛⎫+-=+-+⎪⎝⎭对于n +∀∈N恒成立．则有21211112,240,d d a d d d ⎧=⎪⎪-=-⎨=，解得112d d a =．所以213a a =．选①③作条件证明②：因为213a a =，{}n a 是等差数列，所以公差2112d a a a =-=，所以()21112n n n S na d n a -=+=，)1n =+=所以是等差数列. 选②③作条件证明①： [方法一]：定义法(0)an b a +>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-；当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；当43a b =-4=3an b an a +-03a=-<不合题意，舍去. 综上可知{}n a 为等差数列. [方法二]【最优解】：求解通项公式因为213a a =，因为也为等差数列，所以公差1d()11n d =-=故21n S n a =，当2n ≥时，()()221111121n n n a S S n a n a n a -=-=--=-，当1n =时，满足上式，故{}n a 的通项公式为()121n a n a =-，所以()1123n a n a -=-，112n n a a a --=，符合题意. 【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n(0)an b a =+>，平方后得到n S 的关系式，利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到{}n a 的通项公式，进而得到213a a =，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出{}n a 与{}n S的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系1d =12d a =，进而得到213a a =；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出n S进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，(0)an b a =+>，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a两项的差1d11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出{}n a 的通项公式，进而证明出结论. 【总结提升】等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1()n N ∈*(常数)，则数列{}n a 是等差数列； (2) 等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ()n N ∈*，则数列{}n a 是等差数列; (3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔是等差数列;(4)前n 项和公式：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔是等差数列;(5)是等差数列⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. 提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件.题型三：等差数列的前n 项和例6．【多选题】（2022·湖南永州·三模）已知等差数列{}n a 是递减数列，n S 为其前n 项和，且78S S =，则（）A ．0d ＞B ．80a =C ．150S >D ．7S 、8S 均为n S 的最大值【答案】BD 【解析】【分析】根据等差数列的性质以及其前n 项和的性质，逐个选项进行判断即可求解【详解】因为等差数列{}n a 是递减数列，所以，10n n a a +-<，所以，0d <，故A 错误；因为78S S =，所以8870a S S =-=，故B 正确；因为()115158151502a a S a +===，故C 错误；因为由题意得，789000a a a >⎛ = <⎝，所以，*78()n S S S n N =≥∈，故D 正确；故选：BD例7.（2020·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =__________．【答案】25 【解析】【分析】因为{}n a 是等差数列，根据已知条件262a a +=，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案. 【详解】{}n a 是等差数列，且12a =-，262a a +=设{}n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式：()11n a a n d +-= 可得1152a d a d +++= 即：()2252d d -++-+= 整理可得：66d = 解得：1d =根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N -=+∈ 可得：()1010(101)1022045252S ⨯-=-+=-+=∴1025S =. 故答案为：25.例8.（2018·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．【答案】（1）n a =2n –9，（2）Sn =n 2–8n ，最小值为–16．【解析】【详解】分析：（1）根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n 项和公式得nS 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15．由a 1=–7得d =2．所以{n a }的通项公式为n a =2n –9．（2）由（1）得Sn =n 2–8n =（n –4）2–16．所以当n =4时，Sn 取得最小值，最小值为–16．例9.（2021·全国·高考真题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求使n n S a >成立的n 的最小值．【答案】(1)26n a n =-；(2)7. 【解析】【分析】(1)由题意首先求得3a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式； (2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值. 【详解】(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =∴=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-++-=-，从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =，数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-.(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214252n n n S n n n -=⨯-+⨯=-，则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->，解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.例10．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，11a =，0n a >，141n n n a a S +=-． (1)计算2a 的值，求{}n a 的通项公式；(2)设1(1)nn n n b a a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．【答案】(1)23a =，21n a n =- (2)24(21)n T n n =+ 【解析】【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差得到24n n a a +-=，再根据等差数列通项公式计算可得；（2）由（1）可得(1)(21)(21)n n b n n =--+，利用并项求和法计算可得； (1)解：当1n =时，12141a a a =-，解得23a =，由题知141n n n a a S +=-①，12141n n n a a S +++=-②，由②-①得121()4n n n n a a a a +++-=，因为0n a >，所以24n n a a +-=，于是：数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项，以4为公差的等差数列，即()2114(1)432211n a n n n -=+-=-=--，偶数项是以23a =为首项，以4为公差的等差数列，即234(1)41n a n n =+-=- 所以{}n a 的通项公式21n a n =-； (2)解：由（1）可得(1)(21)(21)n n b n n =--+，212(43)(41)(41)(41)4(41)n n b b n n n n n -=---+-+=-+21234212(341)()()()4[37(41)]44(21)2n n n n n T b b b b b b n n n -+-=++++++=+++-=⨯=+. 【总结提升】1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设为最小项，则有11n n n n a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用. 题型四：等差数列性质及应用例11.（2020·浙江·高考真题）已知等差数列{an }的前n 项和Sn ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，bn+1=S2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是（） A ．2a 4=a 2+a 6 B ．2b 4=b 2+b 6 C ．2428a a a = D ．2428b b b =【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，而1212b S a a ==+，即可表示出题中2468,,,b b b b ，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．【详解】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+， ∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+． ∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-，当1a d =时，2428a a a =，C 正确；对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，n a n a()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++，()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即24280b b b ->；当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确．故选：D.例12．（2014·北京高考真题（理））若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =__________时，{}n a 的前n 项和最大．【答案】8 【解析】由等差数列的性质，，，又因为，所以所以，所以，，故数列的前8项最大.例13．（2016·北京·高考真题（理））已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______. 【答案】6 【解析】【详解】试题分析：因为{}n a 是等差数列，所以35420a a a +==，即40a =，又4136a a d -==-，所以2d =-，所以616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=．故答案为6．例14.（2021·江西新余四中高二月考（理））等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则2517208101214a a a ab b b b +++=+++________．【答案】4365【分析】证明得出2121n n n n a S b T --=，结合等差中项的基本性质可求得结果. 【详解】因为等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，则()()()()()()12121121212121221212n n n n n n n nn a a n a S a n b b T n b b -----+-===-+-，所以，25172011218101214112142211434321265a a a a a Sb b b b b T +++⨯+====+++⨯+.故答案为：4365. 【温馨提醒】等差数列的性质主要涉及“项的性质”和“和的性质”，因此，要注意结合等差数列的通项公式、前n 项和公式求解．。

高考数学复习讲义：等差数列及其前n项和

答案：B
返回
2．(2019·山东五校联考)已知等差数列{an}为递增数列，其前 3 项的和为－3，前 3 项的积为 8.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，d>0， ∵等差数列{an}的前 3 项的和为－3，前 3 项的积为 8， ∴3aa11a＋1＋3dd＝a－1＋3，2d＝8， ∴ad1＝＝－2，3 或ad1＝＝3－. 4， ∵d>0，∴a1＝－4，d＝3，∴an＝3n－7. (2)∵an＝3n－7，∴a1＝3－7＝－4， ∴Sn＝n－4＋23n－7＝n3n2－11.
(1)求{an}的通项公式； (2)求 Sn，并求 Sn 的最小值． [解] (1)设{an}的公差为 d，由题意得 3a1＋3d＝－15. 又 a1＝－7，所以 d＝2. 所以{an}的通项公式为 an＝2n－9.
返回
(2)法一：(二次函数法) 由(1)得 Sn＝na12＋an＝n2－8n＝(n－4)2－16，所以当 n＝4 时，Sn 取得最小值，最小值为－16. 法二：(通项变号法) 由(1)知 an＝2n－9，则 Sn＝na12＋an＝n2－8n.
3 突破点三等差数列的判定与证明
4
课时跟踪检测
返回
突破点一等差数列的基本运算
返回
抓牢双基·自学回扣
[基本知识]
1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为 an＋1－an＝d (n∈N*，d 为常数)． (2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 __A_＝__a_＋2__b__，其中 A 叫做 a，b 的等差中项．

2019年高考数学(理)大一轮复习人教版第六章数列第2节等差数列及其前n项和

第2节等差数列及其前n 项和最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.知识梳理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . 通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *).(2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d (其中n ∈N *). 3.等差数列的有关性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和.(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(4)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).4.等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.[常用结论与微点提醒]1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了a n ＋1－a n ＝d (n ≥2)时，应注意验证a 2－a 1是否等于d ，若a 2－a 1≠d ，则数列{a n }不为等差数列.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( )(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( )解析 (3)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数.(4)若公差d ＝0，则前n 项和不是二次函数.答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( )A.－1B.0C.1D.6解析由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0.答案 B3.(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A.100B.99C.98D.97解析设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎨⎧9a 1＋36d ＝27，a 1＋9d ＝8，所以⎩⎨⎧a 1＝－1，d ＝1，所以a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99＝98.答案 C4.在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为______.解析由题意知d ＜0且⎩⎨⎧a 8＞0，a 9＜0，即⎩⎨⎧7＋7d ＞0，7＋8d ＜0，解得－1＜d ＜－78.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78 5.(必修5P68A8改编)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.解析由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.答案 180考点一等差数列基本量的运算【例1】 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A.2B.10C.52D.54(2)(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A.1B.2C.4D.8解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S 10＝10×(－2)＋10×（10－1）2×12＝52. (2)设{a n }的公差为d ，首项为a 1，由⎩⎨⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎨⎧2a 1＋7d ＝24， ①6a 1＋15d ＝48， ②解得d ＝4.答案 (1)C (2)C规律方法 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和.若S 8＝4S 4，则a 10等于( )A.172B.192C.10D.12(2)(一题多解)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________.解析 (1)由S 8＝4S 4，得8a 1＋8×72×1＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋4×32×1，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝192.(2)法一设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎨⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12，解得⎩⎨⎧a 1＝0，d ＝2，所以S 6＝6a 1＋15d ＝30.法二由{a n }为等差数列，故可设前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，由S 3＝6，S 4＝12可得⎩⎨⎧S 3＝9A ＋3B ＝6，S 4＝16A ＋4B ＝12，解得⎩⎨⎧A ＝1，B ＝－1，即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30. 答案 (1)B (2)30考点二等差数列的判定与证明(典例迁移)【例2】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解由(1)可得1S n＝2n ，∴S n ＝12n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）. 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式. 故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【迁移探究1】本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由. 解因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2).所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2). 又1S 1＝1a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列.所以1S n＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n . 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝－12n （n －1），所以a n ＋1＝－12n （n ＋1），又a n ＋1－a n ＝－12n （n ＋1）－－12n （n －1）＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n （n －1）（n ＋1）. 所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列.【迁移探究2】将本例条件“a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12”改为“S n (S n －a n )＋2a n ＝0(n ≥2)，a 1＝2”，问题不变，试求解.(1)证明当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1且S n (S n －a n )＋2a n ＝0.∴S n [S n －(S n －S n －1)]＋2(S n －S n －1)＝0，即S n S n －1＋2(S n －S n －1)＝0.即1S n －1S n －1＝12. 又1S 1＝1a 1＝12. 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以首项为12，公差为12的等差数列. (2)解由(1)知1S n＝n 2，∴S n ＝2n ，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝－2n （n －1）. 当n ＝1时，a 1＝2不适合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，－2n （n －1），n ≥2. 规律方法等差数列的证明方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数.(2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立.考点三等差数列的性质及应用【例3】 (1)(2018·贵阳质检)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 9＝16，则S 11＝( )A.88B.48C.96D.176(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A.63B.45C.36D.27解析 (1)依题意得S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11（a 3＋a 9）2＝11×162＝88. (2)由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列.即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45.答案 (1)A (2)B规律方法等差数列的常用性质和结论(1)在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k .(2)在等差数列{a n }中，数列 S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列.【训练2】 (1)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )A.13B.12C.11D.10(2)设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________. 解析 (1)因为a 1＋a 2＋a 3＝34，a n －2＋a n －1＋a n ＝146，a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180，又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，所以3(a 1＋a n )＝180，从而a 1＋a n ＝60，所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n ×602＝390，即n ＝13. (2)因为{a n }，{b n }为等差数列，所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. 故a 6b 6＝2a 62b 6＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝S 11T 11＝2×11－34×11－3＝1941. 答案 (1)A (2)1941考点四等差数列前n 项和及其最值【例4】 (1)(一题多解)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A.5B.6C.7D.8(2)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.解析 (1)法一由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n＝7时S n 最大.法二由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n .根据二次函数的性质，知当n ＝7时S n 最大.(2)由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案 (1)C (2)130规律方法求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.【训练3】 (1)设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n 的值为( )A.5B.6C.5或6D.11(2)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________.解析 (1)由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大.(2)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝20n －n （n －1）2×2 ＝－n 2＋21n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110. 答案 (1)C (2)110基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018·安徽江南十校联考)已知数列{a n }是等差数列，a 3＋a 13＝20，a 2＝－2，则a 15＝( )A.20B.24C.28D.34解析由已知，得a 3＋a 13＝2a 8＝20，∴a 8＝10，又a 2＝－2，∴d ＝2，∴a 15＝a 2＋13d ＝－2＋13×2＝24.答案 B2.已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A.10B.20C.30D.40解析设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n 解得n ＝5，故这个数列的项数为10.答案 A3.(2018·郑州质检)已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 1＝1，a 4＝4，则a 10＝( )A.－45B.－54C.413D.134 解析设等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d ，由已知，得14＝1＋3d ，解得d ＝－14，所以1a 10＝1＋9×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－54，即a 10＝－45. 答案 A4.(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A.－24B.－3C.3D.8解析根据题意得a 23＝a 2·a 6，即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，解得d ＝－2，所以数列{a n }的前6项和为S 6＝6a 1＋6×52d ＝1×6＋6×52×(－2)＝－24.答案 A5.(2018·东北三省三校联考)已知数列{a n }是等差数列，满足a 1＋2a 2＝S 5，下列结论中错误的是( )A.S 9＝0B.S 5最小C.S 3＝S 6D.a 5＝0解析由题意知a 1＋2(a 1＋d )＝5a 1＋5×42d ，则a 5＝0，∴a 4＋a 6＝0，∴S 3＝S 6，且S 9＝9a 5＝0，故选B.答案 B二、填空题6.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 解析 ∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20，∴S 30－30＝10＋2×10＝30，∴S 30＝60.答案 607.正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝________.解析由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，得数列{a 2n }是等差数列，公差d ＝a 22－a 21＝3，首项a 21＝1，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，∴a n ＝3n －2，∴a 7＝19.答案 198.已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________.解析因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋a 6＝21. 答案 21三、解答题9.(2016·全国Ⅱ卷)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解 (1)设数列{a n }首项为a 1，公差为d ，由题意得⎩⎨⎧2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35.(2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35. 当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4，5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9，10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.10.(2018·桂林、百色、崇左调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .解 (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝2－1＝1，满足a n ＝2n －1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *).(2)由(1)得，b n ＝log 4a n ＋1＝n ＋12，则b n ＋1－b n ＝n ＋22－n ＋12＝12，∴数列{b n }是首项为1，公差d ＝12的等差数列，∴T n ＝nb 1＋n （n －1）2d ＝n 2＋3n 4. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2017·石家庄模拟)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝24，则a 6·a 7的最大值为( )A.36B.6C.4D.2解析在等差数列{a n }中，∵S 12＝6(a 6＋a 7)＝24，∴a 6＋a 7＝4，又a 6>0，a 7>0，∴a 6·a 7≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6＋a 722＝4，当且仅当a 6＝a 7＝2时，“＝”成立.故a 6·a 7的最大值为4.答案 C12.(2018·河南百校联盟联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由细到粗是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i ＝1，2，…，10)，且a 1<a 2…<a 10，若48a i ＝5M ，则i ＝________.解析根据题意知，由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a n }，设公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＋a 2＝2，a 9＋a 10＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1516，d ＝18.所以该金杖的总重量M ＝10×1516＋10×92×18＝15，因为48a i ＝5M ，所以48⎣⎢⎡⎦⎥⎤1516＋（i －1）×18＝75，即39＋6i ＝75，解得i ＝6. 答案 613.(2018·康杰中学、晋城一中联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n －3(n ∈N *).(1)求a 2的值并证明：a n ＋2－a n ＝2；(2)求数列{a n }的通项公式.解 (1)令n ＝1得2a 1a 2＝4S 1－3，又a 1＝1，∴a 2＝12.2a n a n ＋1＝4S n －3， ①2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3. ②②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1.∵a n ≠0，∴a n ＋2－a n ＝2.(2)由(1)可知：数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1， ∴a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1，当n 为奇数时，a n ＝n .数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2，首项为12，∴a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32，则当n 为偶数时，a n ＝n －32.综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，n －32，n 为偶数.。

等差数列的前n项和的数学知识点

等差数列的前n项和的数学知识点
等差数列的前n项和的数学知识点
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。

这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

以下是店铺为大家收集的'等差数列的前n项和的数学知识点，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

（1），（2），（3），（4）
当d≠0时，Sn是关于n的二次函数且常数项为0，｛an｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：
（1），…成等差数列；
（2）｛an｝有2k项时，＝kd；
（3）｛an｝有2k+1项时，S奇=（k+1）ak+1=（k+1）a平，S偶=kak+1=ka平，S奇：S偶=（k+1）：k，S奇－S偶＝ak+1=a 平；
解决等差数列问题常用技巧：
1、等差数列中，已知5个元素：a1，an，n，d，S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

为减少运算量，要注意设元的技巧,时间管理，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛an｝中，（1）若ap=q，aq=p，则列方程组可得：d=-1，a1=p+q-1，ap+q=0，S=-（p+q）；
(2)当Sp＝Sq时（p≠q），数形结合分析可得Sn中最大，Sp+q ＝0，此时公差d＜0。

【等差数列的前n项和的数学知识点】。

等差数列及其前n项和 2019高考数学考点精讲

抓主干知识的“源”与“流”
1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为 an＋1－an＝d (n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是 a＋b A＝ 2 __________，其中A叫做a，b的等差中项．
突
破
点
一
突
破
点
二
突
破
点
三
课时达标检测
等差数列及其前n项和结
束
[解析]
(1)因为 a3＋a9＝27－a6,2a6＝a3＋a9，
所以 3a6＝27，所以 a6＝9， 11 所以 S11＝ 2 (a1＋a11)＝11a6＝99. (2)因为{an}，{bn}都是等差数列，所以 2a3＝a1＋a5,2b8＝b10＋b6，所以 2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即 2×15＝9＋(a5＋b6)，解得 a5＋b6＝21. [答案]
突破点一
( 4 D.3钱
)
5 B.3钱
突破点
3 C.2钱
二突破
点
三
课时达标检测
等差数列及其前n项和结
束
解析：设等差数列 {an} 的首项为 a1 ，公差为 d ，依题意有 4 2 a ＋ d ＝ 3 a ＋ 9 d ， 1 a1＝3， 1 解得 5 1 2a1＋d＝2， d＝－6，答案：D 4 即甲得3钱，故选 D.
突破点一
(1)B
突
(2)21
破点二突破点三课时达标检测
等差数列及其前n项和结

等差数列及其前n项和备考策略 2019高考绝密资料

等差数列及其前n 项和备考策略主标题：等差数列及其前n 项和备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。

关键词：等差数列，等差数列前n 项和，等差数列的判断，备考策略难度：3 重要程度：5 内容考点一等差数列的基本量的求解【例1】在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2.从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n . 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35. 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或－5. 又k ∈N *，故k ＝7为所求．【备考策略】(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．考点二等差数列的判定与证明【例2】若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．点拨 (1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为关于S n 与S n －1的式子⇒同除S n ·S n －1⇒利用定义证明⇒得出结论．(2)由(1)求1S n⇒再求S n ⇒再代入条件a n ＝－2S n S n －1，求a n ⇒验证n ＝1的情况⇒得出结论．(1)证明当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧n s 1是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解由(1)可得1S n＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1).当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.【备考策略】证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)；二是等差中项法，证明2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．考点三等差数列的性质及应用【例3】 (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )． A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2(2)在等差数列{a n }中，前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则前3m 项的和为________．解析 (1)S 8＝4a 3⇒8(a 1＋a 8)2＝4a 3⇒a 3＋a 6＝a 3，∴a 6＝0，∴d ＝－2，∴a 9＝a 7＋2d ＝－2－4＝－6.(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，由等差数列前n 项和的性质知S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，则2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，又S m ＝30，S 2m ＝100，S 2m －S m ＝100－30＝70，所以S 3m －S 2m ＝2(S 2m －S m )－S m ＝110，所以S 3m ＝110＋100＝210.答案 (1)A (2)210【备考策略】巧妙运用等差数列的性质，可化繁为简；若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．考点四等差数列的性质及最值【例4】已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．21[解析] a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，则{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.【备考策略】求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .导数在研究函数中的应用主标题：导数在研究函数中的应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。

考点21等差数列及其前n项和-高考全攻略之备战2019年高考数学(文)考点一遍过

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
1
（1）理解等差数列的概念.
（2）掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.
（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
（4）了解等差数列与一次函数的关系
.
一、等差数列
1．等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．即1n n a a d +-=，d 为常数．
2．等差中项
如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且2
a b A +=
． 3．等差数列的通项公式及其变形
以1a 为首项，d 为公差的等差数列{}n a 的通项公式为1(1)n a a n d =+-．
公式的变形：()n m a a n m d =+-，,m n ∈*N ． 4．等差数列与一次函数的关系
由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，可得1()n a dn a d =+-．
令p d =，1q a d =-，则n a pn q =+，其中p ，q 为常数．
（1）当0p ≠时，(,)n n a 在一次函数y px q =+的图象上，数列{}n a 的图象是直线y px q =+上均匀分布的一群孤立的点，且当0d >时数列{}n a 为递增数列，当0d <时数列{}n a 为递减数列．（2）当0p =时，n a q =，等差数列为常数列，数列{}n a 的图象是平行于x 轴的直线（或x 轴）上均。

专题6.2 等差数列及其前n项和-2019年高考数学一轮复习提分秘籍(解析版)

一、等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( ) A ．2 B ．10 C.52 D.54(2)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.【答案】 (1)C (2)6点拨等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组) 求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．巩固1(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．35 C ．49D ．63(2)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．(3) （2018全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5a （）A ．12-B ．10-C ．10D ．12二、等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1(2－1a n)－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52.所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．点拨等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．巩固2数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. ①设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列；②求{a n }的通项公式．三、等差数列性质的应用例3 (1)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. (2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________.【答案】 (1)10 (2)21巩固3在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176例4 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝－12，S 9＝45，则S 12＝________.(2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018的值等于( )A ．－2 018B ．－2 016C ．－2 019D ．－2 017【解析】 (1)因为{a n }是等差数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，所以2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，即2(S 6＋12)＝－12＋(45－S 6)，解得S 6＝3. 又2(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)＋(S 12－S 9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S 12－45)，解得S 12＝114. (2)由题意知，数列{S nn }为等差数列，其公差为1，∴S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1 ＝－2 018＋2 017＝－1.∴S 2 018＝－2 018. 【答案】 (1)114 (2)A巩固4等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727B.3828C.3929 D.4030点拨等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a n m －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差． (2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .例5在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．方法二 S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.巩固5(1)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n的值为( ) A ．7 B ．8 C ．7或8D ．8或9(2) (2018全国新课标Ⅱ文、理) 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．答案与解析(3) 【解析】11111132433(3)24996732022a d a d a d a d a d a d ⨯⨯+⨯=+++⨯⇒+=+⇒+=6203d d ⇒+=⇒=-，∴51424(3)10a a d =+=+⨯-=-.【答案】 (1)C (2)20 (3) B巩固2①证明由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列．②解由①得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑n k ＝1(a k ＋1－a k )＝∑n k ＝1(2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.巩固3【解析】 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88.【答案】 B巩固4【解析】 a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727. 【答案】 A巩固5(1) 【解析】由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n 7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或n ＝8，故选C.【答案】 C【答案】（1）29n a n =-；（2）2–8n S n n =，最小值为–16．。