初一奥数第10讲 整式的乘法与除法

第十讲 整式的乘法与除法
中学代数中的整式是从数的概念基础上发展起来的，因而保留着许多数的特征，研究的内容与方法也很类似．例如，整式的四则运算就可以在许多方面与数的四则运算相类比；也像数的运算在算术中占有重要的地位一样，整式的运算也是代数中最基础的部分，它在化简、求值、恒等变形、解方程等问题中有着广泛的应用．通过整式的运算，同学们还可以在准确地理解整式的有关概念和法则的基础上，进一步提高自己的运算能力．为此，本讲着重介绍整式运算中的乘法和除法．
整式是多项式和单项式的总称．整式的乘除主要是多项式的乘除．下面先复习一下整式计算的常用公式，然后进行例题分析． 正整数指数幂的运算法则：
(1)n m n m a a a +∙=； (2) ()n n n a b a b ∙=；
(3) ()n m n m a a ∙=； (4) m n m n a a a -÷=(α≠0，μ＞ν)；
常用的乘法公式： (1)(α+β)(α+β)=α2-β2； (2)(α±β)2=α2±2αβ+β2；
(4)(δ±β)3=α3±3α2β+3αβ2±β3； (5)(α+β+χ)2=α2+β2+χ2+2αβ+2βχ+2χα．
例1 求[ξ3-(ξ-1)2](ξ-1)展开后，ξ2项的系数 ．
解 [ξ3-(ξ-1)2](ξ-1)=ξ3(ξ-1)-(ξ-1)3．因为ξ2项只在-(ξ-1)3中出现，所以只要看-(ξ-1)3=(1-ξ)3中ξ2项的系数即可．根据乘法公式有
(1-ξ)3=1-3ξ+3ξ2-ξ3，
所以ξ2项的系数为3．
说明 应用乘法公式的关键，是要理解公式中字母的广泛含义，对公式中的项数、次数、符号、系数，不要混淆，要达到正确、熟练、灵活运用的程度，这样会给解题带来极大便利．
(ξ-2)(ξ2
-2ξ+4)-ξ(ξ+3)(ξ-3)+(2ξ-1)2
．
解 原式=(ξ3-2ξ2+4ξ-2ξ2+4ξ-8)-ξ(ξ2-9)+(4ξ2-4ξ+1) =(ξ3-4ξ2+8ξ-8)-(ξ3-9ξ)+(4ξ2-4ξ+1) =13ξ-7=9-7=2．
说明 注意本例中(ξ-2)(ξ2-2ξ+4)≠ξ3-8．
例3 化简(1+ξ)[1-ξ+ξ2-ξ3+…+(-ξ)ν-1]，其中ν为大于1的整数． 解 原式=1-ξ+ξ2-ξ3+…+(-ξ)ν-1
+ξ-ξ2+ξ3+…-(-ξ)ν-1+(-ξ)ν =1+(-ξ)ν．
说明 本例可推广为一个一般的形式：
(α-β)(αν-1+αν-2β+…+αβν-2+βν-1)=αν-βν．
例4 计算
(1)(α-β+χ-δ)(χ-α-δ-β)；
(2)(ξ+2ψ)(ξ-2ψ)(ξ4-8ξ2ψ2+16ψ4)．
分析与解 (1)这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合．
原式=[(χ-β-δ)+α][(χ-β-δ)-α]=(χ-β-δ)2-α2
=χ2+β2+δ2+2βδ-2βχ-2χδ-α2．
(2)(ξ+2ψ)(ξ-2ψ)的结果是ξ2-4ψ2，这个结果与多项式ξ4-8ξ2ψ2+16ψ4相乘时，不能直接应用公式，但
ξ4-8ξ2ψ2+16ψ4=(ξ2-4ψ2)2
与前两个因式相乘的结果ξ2-4ψ2相乘时就可以利用立方差公式了．
原式=(ξ2-4ψ2)(ξ2-4ψ2)2=(ξ2-4ψ2)3
=(ξ2)3-3(ξ2)2(4ψ2)+3ξ2·(4ψ2)2-(4ψ2)3
=ξ6-12ξ4ψ2+48ξ2ψ4-64ψ6．
例5 设ξ，ψ，ζ为实数，且
(ψ-ζ)2+(ξ-ψ)2+(ζ-ξ)2=(ψ+ζ-2ξ)2+(ξ+ζ-2ψ)2+(ξ+ψ-2ζ)2，
解 先将已知条件化简：
左边=2ξ2+2ψ2+2ζ2-2ξψ-2ψζ-2ξζ，
右边=6ξ2+6ψ2+6ζ2-6ξψ-6ψζ-6ξζ．
所以已知条件变形为
2ξ2+2ψ2+2ζ2-2ξψ-2ψζ-2ξζ=0，
即 (ξ-ψ)2+(ξ-ζ)2+(ψ-ζ)2=0．
因为ξ，ψ，ζ均为实数，所以ξ=ψ=ζ．所以
说明 本例中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所区别，请仔细琢磨，灵活运用公式，会给解题带来益处．
我们把形如
ανξν+αν-1ξν-1+…+α1ξ+α0
(ν为非负整数)的代数式称为关于ξ的一元多项式，常用φ(ξ)，γ(ξ)，…表示一元多项式． 多项式的除法比较复杂，为简单起见，我们只研究一元多项式的除法．像整数除法一样，一元多项式的除法，也有整除、商式、余式的概念．一般地，一个一元多项式φ(ξ)除以另一个一元多项式γ(ξ)时，总存在一个商式θ(ξ)与一个余式ρ(ξ)，使得φ(ξ)=γ(ξ)θ(ξ)+ρ(ξ)成立，其中ρ(ξ)的次数小于γ(ξ)的次数．特别地，当ρ(ξ)=0时，称φ(ξ)能被γ(ξ)整除． 例6 设γ(ξ)=3ξ2-2ξ+1，φ(ξ)=ξ3-3ξ2-ξ-1，求用γ(ξ)去除φ(ξ)所得的商θ(ξ)及余式ρ(ξ)． 解法1 用普通的竖式除法
解法2 用待定系数法．
由于φ(ξ)为3次多项式，首项系数为1，而γ(ξ)为2次，首
ρ(ξ)= βξ+ χ．
根据φ(ξ)=θ(ξ)γ(ξ)+ρ(ξ)，得
ξ3-3ξ2-ξ-1
比较两端系数，得
例7 试确定α和β，使ξ4+αξ2-βξ+2能被ξ2+3ξ+2整除．
解 由于ξ2+3ξ+2=(ξ+1)(ξ+2)，因此，若设
φ(ξ)=ξ4+αξ2-βξ+2，
假如φ(ξ)能被ξ2+3ξ+2整除，则ξ+1和ξ+2必是φ(ξ)的因式，因此，当ξ=-1时，φ(-1)=0，即
1+α+β+2=0， ⎺
当ξ=-2时，φ(-2)=0，即
16+4α+2β+2=0， α
由①，②联立，则有
练习十
1．计算：
(1)(α- 2β+χ)(α+2β-χ)-(α+2β+χ)2；
(2)(ξ+ψ)4(ξ-ψ)4；
(3)(α+β+χ)(α2+β2+χ2-αβ-αχ-βχ)．
2．化简：
(1)(2ξ-ψ+ζ-2χ+μ)(μ+ψ-2ξ-2χ-ζ)；
(2)(α+3β)(α2-3αβ+9β2)-(α-3β)(α2+3αβ+9β2)；
(3)(ξ+ψ)2(ψ+ζ-ξ)(ζ+ξ-ψ)+(ξ-ψ)2(ξ+ψ+ζ)×(ξ+ψ-ζ)．
3．已知ζ2=ξ2+ψ2，化简
(ξ+ψ+ζ)(ξ-ψ+ζ)(-ξ+ψ+ζ)(ξ+ψ-ζ)． 4．设φ(ξ)=2ξ3+3ξ2-ξ+2，求φ(ξ)除以ξ2-2ξ+3所得的商式和余式．。