9.1 渐进复杂性-第九章 算法设计与分析
算法设计与分析 教学大纲
《算法设计与分析》教学大纲适用于四年制本科计算机应用技术、信息与计算科学专业（参考学时数：64 学时）一、课程代码7100450，7100451二、课程的性质、任务算法设计与分析是计算机科学的核心问题之一，这门课是计算机专业以及相关专业的一门重要的课程。
本课程的教学目的是：在学生学习掌握了编程的基本技术，掌握了数据结构的基本知识、理论的基础上，比较系统的学习算法理论中的基础部分内容。
在这一课程教学中，培养学生掌握算法设计的方法论，掌握常用的算法设计的方法；掌握算法分析的基本工具、方法、技巧，在解决实际问题时，对于较复杂的问题能抽象出问题的数学模型，设计出有效的算法。
在此基础上学习本课程的中级篇：结构上的算法设计（分类、图的高级部分、流），学生通过这部分的学习，了解算法优化的实现途径，很好的解决数据结构中未能解决的问题、最后是本课程的高级篇：NP完全理论、现代优化计算方法简介。
学生通过这部分的学习初步了解计算复杂性理论的基本内容、现代算法的几个主要发展分支，为今后实际应用或者搞理论研究打下一些必备的理论基础。
三、课程基本要求学生必备的先行课是：高等数学、离散数学、程序设计、数据结构。
本课程不能求快，应循序渐进，培养学生浓厚的学习热情和求知欲。
教学中注重和前期课程数据结构的衔接，使学生明白这门课不同于数据结构的是：数据结构是讨论三种基本数据结构上的基本操作的实现，它是完成“如何做”，算法设计与分析这门课强调的是：怎么巧做，做的更好。
在本课程的后期教学中，特别提倡学生广泛阅读参考书、独立思考、结合实际问题展开讨论的教学方式，并以此达到教师精讲、学生宽学的目的。
课程的基本要求是：1．掌握7种常用的算法设计方法，并能综合、灵活的使用这些基本方法，同时用所学到的知识解决一些实际问题；2．掌握算法分析的基本工具、基本技巧、基本方法；3．掌握数据结构中未能详细、深入了解的部分内容（内存分类，图的高级部分、流上的算法）；4．了解计算复杂性理论中的基本内容，包括：机器模型，NP完全、NP难题，近似计算；5．了解现代的计算算法和算法理论的发展趋势走向。
算法复杂度分析
算法复杂度分析算法是计算机科学中解决问题的基本方法，而算法复杂度分析是在评估算法好坏的过程中至关重要的一环。
通过对算法的复杂度进行分析，我们可以了解算法在处理大规模问题时的效率，进而选择最合适的算法来解决我们所面临的具体问题。
一、什么是算法复杂度算法复杂度是指在算法执行过程中所需要的资源（如时间、空间）的度量。
通常我们将算法的复杂度分为时间复杂度和空间复杂度两个方面来进行分析。
1. 时间复杂度时间复杂度描述的是算法在运行过程中所需要的时间资源。
我们可以通过估算算法中基本操作的执行次数来确定其时间复杂度。
在分析时间复杂度时，我们一般关注最坏情况下的执行时间。
常见的时间复杂度有：- 常数时间复杂度：O(1)- 线性时间复杂度：O(n)- 对数时间复杂度：O(log n)- 线性对数时间复杂度：O(n log n)- 平方时间复杂度：O(n^2)- 立方时间复杂度：O(n^3)- 指数时间复杂度：O(2^n)通过对算法中各部分代码运行次数的计算，我们可以得出一个算法的时间复杂度，从而衡量算法的耗时情况。
在实际应用中，我们通常会选择时间复杂度低、效率高的算法来解决问题。
2. 空间复杂度空间复杂度描述的是算法在运行过程中所需要的内存资源。
与时间复杂度类似，我们可以通过估算算法所需的额外空间来确定其空间复杂度。
常见的空间复杂度有：- 常数空间复杂度：O(1)- 线性空间复杂度：O(n)- 平方空间复杂度：O(n^2)- 对数空间复杂度：O(log n)在实际应用中，我们需要尽量节约内存资源，选择空间复杂度较低的算法来提高程序的性能。
二、如何进行算法复杂度分析在进行算法复杂度分析时，我们可以使用以下几种常用的方法：1. 估算法中基本操作的执行次数通过观察算法的代码，我们可以大致估算出每种基本操作的执行次数，进而得出时间复杂度和空间复杂度。
2. 使用大O表示法大O表示法是用来表示算法的上界的一种方法。
在分析时间复杂度时，我们通常只关注算法在处理大规模问题时的表现情况，因此使用大O表示法更为直观和简洁。
算法设计与分析课程教学大纲
算法设计与分析课程教学大纲【适用专业】计算机科学与技术【课时】理论课时：32【学分】 2【课程性质、目标和要求】《算法设计与分析》是计算机科学与技术专业的专业课。
无论是计算科学还是计算实践，算法都在其中扮演着重要角色。
本课程的教学目的是讲授在计算机应用中常常遇到的实际问题的解法，讲授设计和分析各种算法的基本原理、方法和技术，培养学生对算法复杂性进行正确分析的能力。
课程基本要求是⑴掌握算法分析的基本概念和理论。
⑵掌握算法设计技术和分析算法以及算法复杂性。
【教学时间安排】本课程计 2 学分，理论课时32, 学时分配如下：【教学内容要点】第一章算法引论一、学习目的要求1．了解算法的计算复杂性分析方法2．理解算法分析的基本理论3．掌握算法分析的基本概念二、主要教学内容1. 算法的基本概念2. 表达算法的抽象机制3. 采用Java语言与自然语言相结合的方式描述算法的方法4. 算法的计算复杂性分析方法第二章递归与分治策略一、学习目的要求1．理解典型范例中递归与分治策略应用技巧2．掌握递归与分治策略3．掌握数学归纳法证明算法正确性方法二、主要教学内容1. 递归的概念2. 分治法的基本思想3. 二分搜索技术4. 大整数的乘法5. Strassen阵乘法6. 棋盘覆盖7. 合并排序8. 快速排序9. 线性时间选择10. 最接近点对问题11. 循环赛日程表第三章动态规划一、学习目的要求1．理解典型范例中动态规划算法的设计思想2．掌握动态规划算法的基本要求以及算法的设计要点二、主要教学内容1. 矩阵连乘问题2. 动态规划算法的基本要素3. 最长公共子序列4. 最大子段和5. 凸多边形最优三角剖分6. 多边形游戏7. 图像压缩8. 电路布线9. 流水作业调度10. 0—l背包问题11. 最优二叉搜索树12. 动态规划加速原理三、课堂讨论选题1. 最长公共子序列2. 0—l背包问题第四章贪心算法一、学习目的要求1．了解贪心算法的理论基础及基本要素2. 理解典型范例中贪心算法的设计思想3. 掌握贪心算法的设计要点二、主要教学内容1. 活动安排问题2. 贪心算法的基本要素3. 最优装载4. 哈夫曼编码5. 单源最短路径6. 最小生成树7. 多机调度问题8. 贪心算法的理论基础三、课堂讨论选题1. 最优装载2. 单源最短路径第五章回溯法一、学习目的要求1．理解回溯法的效率分析方法2．掌握回溯法的算法框架和应用技巧二、主要教学内容1. 回溯法的算法框架2. 装载问题3. 批处理作业调度4. 符号三角形问题5. n后问题6. 0—l背包问题7. 最大团问题8. 图的m着色问题9. 旅行售货员问题10. 圆排列问题11. 电路板排列问题12. 连续邮资问题13. 回溯法的效率分三、课堂讨论选题1. 0—l背包问题2. 图的m着色问题第六章分支限界法一、学习目的要求1．理解分支限界法的基本思想2．掌握典型范例中分支限界法的应用技巧二、主要教学内容1. 分支限界法的基本思想2. 单源最短路径问题3. 装载问题4. 布线问题5. 0-1背包问题6. 最大团问题7. 旅行售货员问题8. 电路板排列问题9. 批处理作业调度三、课堂讨论选题1. 0-1背包问题2. 批处理作业调度第七章概率算法一、学习目的要求1．理解概率算法的基本思想2．掌握典型范例中概率算法的应用技巧二、主要教学内容1. 随机数2. 数值概率算法3. 舍伍德算法4. 拉斯维加斯算法5. 蒙特卡罗算法第八章 NP完全性理论一、学习目的要求1．了解P类与NP类问题2．了解典型的NP完全问题二、主要教学内容1. 计算模型2. P类与NP类问题3. NP完全问题4. 一些典型的NP完全问题第九章近似算法一、学习目的要求1．掌握近似算法的基本思想2．掌握常用近似算法的应用二、主要教学内容1. 近似算法的性能2. 顶点覆盖问题的近似算法3. 旅行售货员问题近似算法4. 集合覆盖问题的近似算法5. 子集和问题的近似算法第十章算法优化策略一、学习目的要求1．掌握算法优化策略2．掌握算法优化的基本方法二、主要教学内容1. 算法优化策略的比较与选择2. 动态规划加速原理3. 问题的算法特征4. 优化数据结构5. 优化搜索策略【教学（实验）内容要点】算法设计与分析实验是算法设计与分析课的一个实践性教学环节。
算法设计与分析——算法复杂性分析
算法设计与分析——算法复杂性分析这篇博客的内容摘⾃课本，针对课本中缺少的5道证明题，作为练习，给出证明。
算法运⾏时所需要的计算机时间资源的量称为时间复杂性。
这个量应该集中反应算法的效率，并从运⾏该算法的实际计算机中抽象出来。
换句话说，这个量应该是只依赖于要解的问题的规模、算法的输⼊和算法本⾝的函数。
如果分别⽤ N,I和A 表⽰算法要解的问题的规模、算法的输⼊和算法本⾝，⽽且⽤ T 表⽰时间复杂性，那么，应该有 T=T(N,I,A)。
通常 A 隐含在复杂性函数名中，因⽽将 T 简写为 T(N,I) 。
现在，时间复杂性分析的主要问题是如何将复杂性函数具体化，即对于给定的 N,I和A ，如何导出 T(N,I) 的数学表达式，来给出计算T(N,I) 的法则。
根据 T(N,I) 的概念，它应该是算法在⼀台抽象的计算机上运⾏所需要的时间。
设此抽象的计算机所提供的原运算有 k 种，它们分别记为O1,O2,...,Ok 。
⼜设每执⾏⼀次这些元运算所需要的时间分别为 t1,t2,...,tk 。
对于给定的算法 A ，设经统计，⽤到元运算 Oi 的次数为 ei,i=1,2,...,k 。
很清楚，对于每⼀个 i,1≤i≤k,ei 是 N和I 的函数，即 ei=ei(N,I)。
因此有 式中， ti（i=1,2,...,k )，是与 N和I ⽆关的常数。
显然，不可能对规模为 N 的每⼀种合法的输⼊都去统计 ei(N,I),i=1,2,...,k 。
因此 T(N,I) 的表达式还要进⼀步简化，或者说，只能在规模为 N 的某些或某类有代表性的合法输⼊中统计相应的 ei,i=1,2,...,k ，评价其时间复杂性。
通常只考虑三种情况下的时间复杂性，即最坏情况、最好情况和平均情况下的时间复杂性，并分别记为 Tmax(N)、Tmin(N)和Tavg(N) 。
在数学上有 式中， DN 是规模为 N 的合法输⼊的集合； I∗是 DN 中使 T(N,I∗) 达到 Tmax(N) 的合法输⼊；I∼是 DN 中使 T(N,I∼)达到 Tmin(N) 的合法输⼊；⽽ P(I) 是在算法的应⽤中出现输⼊ I 的概率。
算法的渐进复杂度分析
算法优化可以降低算法的渐进复杂度， 从而提高算法的效率。常见的算法优化 方法包括选择更高效的算法、减少重复 计算、使用更有效的数据结构等。
算法优化可以减少算法在处理大规模数据时 的计算量和时间复杂度，从而提高算法的实 用性。
算法优化可以改进算法的并行性和 分布式计算能力，从而更好地利用 多核处理器和分布式计算资源，提 高算法的执行效率。
在游戏开发中的算法选择与渐进复杂度分析
要点一
总结词
要点二
详细描述
游戏开发中，算法的渐进复杂度分析有助于优化游戏性能 和提升用户体验。
游戏开发中，算法的选择直接影响到游戏的运行效率和性 能表现。渐进复杂度分析可以帮助我们评估不同算法在游 戏中的性能表现，从而选择适合的算法来优化游戏性能。 例如，对于游戏物理引擎，可以使用碰撞检测和碰撞响应 算法来提高游戏交互性和真实性；对于游戏渲染，可以采 用光线追踪和阴影渲染等技术来提升画面质量和用户体验 。
渐进复杂度分析可以用于比较不同算 法的性能，为实际应用中选择合适的 算法提供依据。
促进学科发展
渐进复杂度分析是计算科学领域的重 要研究方向之一，对算法设计和分析 理论的发展具有重要意义。
未来研究方向与挑战
探索更复杂的算法模型
随着计算科学的发展，越来越多的复杂算法涌现出来，需 要发展更精确、更复杂的渐进复杂度分析方法来评估这些 算法的性能。
THANKS.
渐进复杂度通常用大O表示法来表示 ，例如O(n)、O(n^2)、O(log n)等， 其中n表示输入规模。
为什么关心算法的渐进复杂度
01
算法的效率是衡量算法好坏的重 要标准之一，而渐进复杂度是评 估算法效率的重要指标。
02
通过分析算法的渐进复杂度，可 以了解算法在不同规模输入下的 性能表现，从而在实际应用中选 择合适的算法。
算法分析与设计概论
9
How to Study Algorithm？
“Sometimes we have experiences, and sometimes not. Therefore, the better way is to learn more."
10
1.1 算法与程序
算法：是满足下述性质的指令序列。
输 入：有零个或多个外部量作为算法的输入。 输 出：算法产生至少一个量作为输出。 确定性：组成算法的每条指令清晰、无歧义。 有限性：算法中每条指令的执行次数有限，执行 每条指令的时间也有限。
1） 第一种解法：
输入：所购买的三种鸡的总数目n 输出：满足问题的解的数目k,公鸡,母鸡,小鸡的只数g[ ],m[ ],s[ ] 1. void chicken_question(int n,int &k,int g[ ],int m[ ],int s[ ]) 2. { int a,b,c; 4. k = 0; 5. for (a=0;a<=n;a++) 6. for (b=0;b<=n;b++) 7. for (c=0;c<=n;c++) { 8. if ((a+b+c==n)&&(5*a+3*b+c/3==n)&&(c%3==0)) { 9. g[k] = a; 10. m[k] = b; 11. s[k] = c; 12. k++; 13. }}}
矩阵。
数组 T：表示售货员的路线，依次存放旅行路线中的城 市编号。
售货员的每一条路线，对应于城市编号的一个排列。
n 个城市共有 n! 个排列，采用穷举法逐一计算每一条路线的费 用，从中找出费用最小的路线，便可求出问题的解。
《算法设计与分析》(全)
1.1、算法与程序
程序：是算法用某种程序设计语言的具体实现。 程序可以不满足算法的性质(4)。 例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序， 因而不是一个算法。 操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个 问题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实 现。该子程序得到输出结果后便终止。
渐近分析记号的若干性质
（1）传递性： ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= O(g(n))， g(n)= O (h(n)) f(n)= O (h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= o(g(n))， g(n)= o(h(n)) f(n)= o(h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； （2）反身性： ➢ f(n)= (f(n))；f(n)= O(f(n))；f(n)= (f(n)). （3）对称性： ➢ f(n)= (g(n)) g(n)= (f(n)) . （4）互对称性： ➢ f(n)= O(g(n)) g(n)= (f(n)) ； ➢ f(n)= o(g(n)) g(n)= (f(n)) ；
巢湖学院计算机科学与技术系
渐近分析记号的若干性质
规则O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)}) 的证明： ➢ 对于任意f1(n) O(f(n)) ，存在正常数c1和自然数n1，使得对
所有n n1，有f1(n) c1f(n) 。 ➢ 类似地，对于任意g1(n) O(g(n)) ，存在正常数c2和自然数
巢湖学院计算机科学与技术系
第1章 算法引论
算法设计与分析知识点
第一章算法概述1、算法的五个性质：有穷性、确定性、能行性、输入、输出。
2、算法的复杂性取决于：(1)求解问题的规模(N) , (2)具体的输入数据(I),( 3)算法本身的设计(A)，C=F(N,I,A。
3、算法的时间复杂度的上界，下界，同阶，低阶的表示。
4、常用算法的设计技术：分治法、动态规划法、贪心法、回溯法和分支界限法。
5、常用的几种数据结构：线性表、树、图。
第二章递归与分治1、递归算法的思想：将对较大规模的对象的操作归结为对较小规模的对象实施同样的操作。
递归的时间复杂性可归结为递归方程：1 11= 1T(n) <aT(n—b) + D(n) n> 1其中，a是子问题的个数，b是递减的步长，~表示递减方式，D(n)是合成子问题的开销。
递归元的递减方式~有两种：1、减法，即n -b，的形式。
2、除法，即n / b，的形式。
2、D(n)为常数c：这时，T(n) = 0(n P)。
D(n)为线形函数cn：r O(n) 当a. < b(NT(n) = < Ofnlog^n) "n = blljI O(I1P)二"A bl吋其中.p = log b a oD(n)为幕函数n x：r O(n x) 当a< D(b)II JT{ii) = O(ni1og b n) 'ia = D(b)ll].O(nr)D(b)lHJI：中，p= log b ao考虑下列递归方程：T(1) = 1⑴ T( n) = 4T(n/2) +n⑵ T(n) = 4T(n/2)+n2⑶ T(n) = 4T(n/2)+n3解：方程中均为a = 4，b = 2，其齐次解为n2。
对⑴，T a > b (D(n) = n) /• T(n) = 0(n);对⑵，•/ a = b2 (D(n) = n2) T(n) = O(n2iog n);对⑶，•/ a < b3(D(n) = n3) - T(n) = 0(n3)；证明一个算法的正确性需要证明两点：1、算法的部分正确性。
函数的渐进复杂性
7
实际中很多问题都可以归结为货郎担这 类问题。 如：
1) 物资运输路线中，汽车应该走怎样的路线 使路程最短； 2) 工厂里在钢板上要挖一些小圆孔，自动焊 接机的割咀应走怎样的路线使路程最短； 3) 城市里有一些地方铺设管道时，管子应走 怎样的路线才能使管子耗费最少，等等。
8
我们学的数据结构里面也有很多 内容和货郎担问题的思想相似!
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例3，
2n2+3n+4
∴ n2渐进控制4、3n和2n2， 按定理1.2.2 ⑶, 2n2+3n+4 是 O(n2).
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定理1.2.3：
f是O(g),iff（如果且只要是）O(f)∈O(g).
推理：
f是O(g)，g是O(f)，iff O(f)=O(g) 这个推理和定理一样重要，举一简单例子， ① cn2是O(n2), n2是O(cn2),∴ O(cn2)=O(n2) ② f=an2+bn+c 是O(n2), n2是O(f),∴ O(f)=O(n2)
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定义1.2.3：
渐进复杂性 asymptotic complexity 设算法的复杂性函数是f，那么O(f)叫做该算法
的渐进复杂性。
例4,
f=an2+bn+c, 那么该算法渐进复杂性是O(f),即O(n2)。
g=bn+c的渐进复杂性是O(g),即O(n)。
28
渐进复杂性的几个重要的类：
① O(1)
复杂性。
19
定义1.2.1：渐进控制
设有 N 到 R+
(正实数）
的映射f和g，
那么g渐进控制f,
若存在常数m，使
f(n)≤mg(n), for all n≥k, k≥0
算法设计与分析-绪论
回溯法的算法框架 实例分析
０－１背包问题 ＴＳＰ问题 N皇后问题 连续邮资
回溯法的效率分析
基础算法部分教学安排（6/10）
第六章：分支限界法
分支限界法的基本思想 实例分析
单源最短路径问题 装载问题 布线问题
基础算法部分教学安排（7/10）
第七章：概率算法
分析总结阶段
方案是否可行 是否满足预期要求 与其他方案相比，本方案有哪些优点（通过实验数 据说明），有哪些问题？如何进行改进？ ——提交工程设计论文
6000字左右 遵照标准科技论文格式 严禁抄袭!
工程论文要求
题目 作者 摘要 文献综述 典型问题 方案设计 实验分析 研究过程中发现的问题总结 结论与感想 参考文献 附件说明
如不交作业，该组同学的该次作业成绩以0分计；
每次上传作业中，除规定的课程作业外，还需注明本次作业 的负责同学姓名,学号 以及作业的分工； 每周四中午12：00前交作业，迟交一律不收
工程设计要求（1/5）
准备阶段
确定要研究的课题； 在组内进行分工； 拟订工作计划； ——提交研究小组组成情况说明，课题名称，分工以 及工作计划
考核方式
平时成绩（40%）；
请假以课前书面假条为准
小组汇报、实验+考勤
期末考试或工程设计（60%）
平时作业的分组安排
平时作业的分组安排
按2-3人/组进行分组 自由组合； 每组选出一位同学作为联系人,该联系人在10月10日前将本 组成员名单、联系方式上传到作业目录下； 作业按组上交，成绩按组评定 由联系人负责作业和实验报告。
9.1 渐进复杂性-第九章 算法设计与分析
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常见的算法时间复杂度
O(1) O(log(n)) O( n ) O(n) O(n.log(n)) O(n )
2
O(n ) O(2 ) O(3 ) O(n !) O(n )
3 n n n
渐进的定义
f(N)= (g(N))当且仅当 f(N)=O(g(N))且f(N)= (g(N))， 我们称f(N)与g(N)同阶。 例如：2N2+11N-10= (N2)
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o渐进的定;0，都存在N0，使得 当NN0时有f(N)/g(N)< ，则称函数f(N)当 N充分大时的阶比g(N)低，记f(N)=o(g(N)) 例如：2N2+11N-10=o(N3)
(3)f（n）=n ； g（n）=log2n
(由洛比塔法则) f ( n) n n lim lim lim 2 n g ( n) n [log( n)] n 2 log( n).1/ ln 2 n lim 2 n 2 /(ln 2)
n M 0, N 0, 当n N , M 2 [log( n)] n M .[log(n)]2 n (log 2 ( n))
当N>100, 2N2+11N-10 3N2 任意给定的>0, 当N>3/，有3N2< .N3 取N0=max(100, 3/ +1),当NN0, 2N2+11N-10 < 3N2 < .N3
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如何确定两个函数之间的关系
对于下列各组函数f(n) 和g(n) ，确定 f（n）= O(g(n)) 或 f（n）=Ω(g(n)) 或 f（n）=θ(g(n)) 并简述理由。 （1）f（n）= log(n2) ； g（n）=log(n)+5 （2） f（n）= log(n2) ； g（n）=n1/2 （3） f（n）=n ； g（n）=log2n
算法设计与分析习题解答(第2版)
第1章算法引论11.1 算法与程序11.2 表达算法的抽象机制11.3 描述算法31.4 算法复杂性分析13小结16习题17第2章递归与分治策略192.1 递归的概念192.2 分治法的基本思想262.3 二分搜索技术272.4 大整数的乘法282.5 Strassen矩阵乘法302.6 棋盘覆盖322.7 合并排序342.8 快速排序372.9 线性时间选择392.10 最接近点对问题432.11 循环赛日程表53小结54习题54第3章动态规划613.1 矩阵连乘问题62目录算法设计与分析(第2版)3.2 动态规划算法的基本要素67 3.3 最长公共子序列713.4 凸多边形最优三角剖分753.5 多边形游戏793.6 图像压缩823.7 电路布线853.8 流水作业调度883.9 0-1背包问题923.10 最优二叉搜索树98小结101习题102第4章贪心算法1074.1 活动安排问题1074.2 贪心算法的基本要素1104.2.1 贪心选择性质1114.2.2 最优子结构性质1114.2.3 贪心算法与动态规划算法的差异1114.3 最优装载1144.4 哈夫曼编码1164.4.1 前缀码1174.4.2 构造哈夫曼编码1174.4.3 哈夫曼算法的正确性1194.5 单源最短路径1214.5.1 算法基本思想1214.5.2 算法的正确性和计算复杂性123 4.6 最小生成树1254.6.1 最小生成树性质1254.6.2 Prim算法1264.6.3 Kruskal算法1284.7 多机调度问题1304.8 贪心算法的理论基础1334.8.1 拟阵1334.8.2 带权拟阵的贪心算法1344.8.3 任务时间表问题137小结141习题141第5章回溯法1465.1 回溯法的算法框架1465.1.1 问题的解空间1465.1.2 回溯法的基本思想1475.1.3 递归回溯1495.1.4 迭代回溯1505.1.5 子集树与排列树1515.2 装载问题1525.3 批处理作业调度1605.4 符号三角形问题1625.5 n后问题1655.6 0\|1背包问题1685.7 最大团问题1715.8 图的m着色问题1745.9 旅行售货员问题1775.10 圆排列问题1795.11 电路板排列问题1815.12 连续邮资问题1855.13 回溯法的效率分析187小结190习题191第6章分支限界法1956.1 分支限界法的基本思想1956.2 单源最短路径问题1986.3 装载问题2026.4 布线问题2116.5 0\|1背包问题2166.6 最大团问题2226.7 旅行售货员问题2256.8 电路板排列问题2296.9 批处理作业调度232小结237习题238第7章概率算法2407.1 随机数2417.2 数值概率算法2447.2.1 用随机投点法计算π值2447.2.2 计算定积分2457.2.3 解非线性方程组2477.3 舍伍德算法2507.3.1 线性时间选择算法2507.3.2 跳跃表2527.4 拉斯维加斯算法2597.4.1 n 后问题2607.4.2 整数因子分解2647.5 蒙特卡罗算法2667.5.1 蒙特卡罗算法的基本思想2667.5.2 主元素问题2687.5.3 素数测试270小结273习题273第8章 NP完全性理论2788.1 计算模型2798.1.1 随机存取机RAM2798.1.2 随机存取存储程序机RASP2878.1.3 RAM模型的变形与简化2918.1.4 图灵机2958.1.5 图灵机模型与RAM模型的关系297 8.1.6 问题变换与计算复杂性归约299 8.2 P类与NP类问题3018.2.1 非确定性图灵机3018.2.2 P类与NP类语言3028.2.3 多项式时间验证3048.3 NP完全问题3058.3.1 多项式时间变换3058.3.2 Cook定理3078.4 一些典型的NP完全问题3108.4.1 合取范式的可满足性问题3118.4.2 3元合取范式的可满足性问题312 8.4.3 团问题3138.4.4 顶点覆盖问题3148.4.5 子集和问题3158.4.6 哈密顿回路问题3178.4.7 旅行售货员问题322小结323习题323第9章近似算法3269.1 近似算法的性能3279.2 顶点覆盖问题的近似算法3289.3 旅行售货员问题近似算法3299.3.1 具有三角不等式性质的旅行售货员问题330 9.3.2 一般的旅行售货员问题3319.4 集合覆盖问题的近似算法3339.5 子集和问题的近似算法3369.5.1 子集和问题的指数时间算法3369.5.2 子集和问题的完全多项式时间近似格式337 小结340习题340第10章算法优化策略34510.1 算法设计策略的比较与选择34510.1.1 最大子段和问题的简单算法34510.1.2 最大子段和问题的分治算法34610.1.3 最大子段和问题的动态规划算法34810.1.4 最大子段和问题与动态规划算法的推广349 10.2 动态规划加速原理35210.2.1 货物储运问题35210.2.2 算法及其优化35310.3 问题的算法特征35710.3.1 贪心策略35710.3.2 对贪心策略的改进35710.3.3 算法三部曲35910.3.4 算法实现36010.3.5 算法复杂性36610.4 优化数据结构36610.4.1 带权区间最短路问题36610.4.2 算法设计思想36710.4.3 算法实现方案36910.4.4 并查集37310.4.5 可并优先队列37610.5 优化搜索策略380小结388习题388第11章在线算法设计39111.1 在线算法设计的基本概念39111.2 页调度问题39311.3 势函数分析39511.4 k 服务问题39711.4.1 竞争比的下界39711.4.2 平衡算法39911.4.3 对称移动算法39911.5 Steiner树问题40311.6 在线任务调度40511.7 负载平衡406小结407习题407词汇索引409参考文献415习题1-1 实参交换1习题1-2 方法头签名1习题1-3 数组排序判定1习题1-4 函数的渐近表达式2习题1-5 O(1) 和 O(2) 的区别2习题1-7 按渐近阶排列表达式2习题1-8 算法效率2习题1-9 硬件效率3习题1-10 函数渐近阶3习题1-11 n !的阶4习题1-12 平均情况下的计算时间复杂性4算法实现题1-1 统计数字问题4算法实现题1-2 字典序问题5算法实现题1-3 最多约数问题6算法实现题1-4 金币阵列问题8算法实现题1-5 最大间隙问题11第2章递归与分治策略14 习题2-1 Hanoi 塔问题的非递归算法14习题2-2 7个二分搜索算法15习题2-3 改写二分搜索算法18习题2-4 大整数乘法的 O(nm log(3/2))算法19习题2-5 5次 n /3位整数的乘法19习题2-6 矩阵乘法21习题2-7 多项式乘积21习题2-8 不动点问题的 O( log n) 时间算法22习题2-9 主元素问题的线性时间算法22习题2-10 无序集主元素问题的线性时间算法22习题2-11 O (1)空间子数组换位算法23习题2-12 O (1)空间合并算法25习题2-13 n 段合并排序算法32习题2-14 自然合并排序算法32习题2-15 最大值和最小值问题的最优算法35习题2-16 最大值和次大值问题的最优算法35习题2-17 整数集合排序35习题2-18 第 k 小元素问题的计算时间下界36习题2-19 非增序快速排序算法37习题2-20 随机化算法37习题2-21 随机化快速排序算法38习题2-22 随机排列算法38习题2-23 算法qSort中的尾递归38习题2-24 用栈模拟递归38习题2-25 算法select中的元素划分39习题2-26 O(n log n) 时间快速排序算法40习题2-27 最接近中位数的 k 个数40习题2-28 X和Y 的中位数40习题2-29 网络开关设计41习题2-32 带权中位数问题42习题2-34 构造Gray码的分治算法43习题2-35 网球循环赛日程表44目录算法设计与分析习题解答（第2版）算法实现题2-1 输油管道问题（习题2-30) 49算法实现题2-2 众数问题（习题2-31) 50算法实现题2-3 邮局选址问题（习题2-32) 51算法实现题2-4 马的Hamilton周游路线问题（习题2-33) 51算法实现题2-5 半数集问题60算法实现题2-6 半数单集问题62算法实现题2-7 士兵站队问题63算法实现题2-8 有重复元素的排列问题63算法实现题2-9 排列的字典序问题65算法实现题2-10 集合划分问题（一）67算法实现题2-11 集合划分问题（二）68算法实现题2-12 双色Hanoi塔问题69算法实现题2-13 标准二维表问题71算法实现题2-14 整数因子分解问题72算法实现题2-15 有向直线2中值问题72第3章动态规划76习题3-1 最长单调递增子序列76习题3-2 最长单调递增子序列的 O(n log n) 算法77习题3-7 漂亮打印78习题3-11 整数线性规划问题79习题3-12 二维背包问题80习题3-14 Ackermann函数81习题3-17 最短行驶路线83习题3-19 最优旅行路线83算法实现题3-1 独立任务最优调度问题（习题3-3) 83算法实现题3-2 最少硬币问题（习题3-4) 85算法实现题3-3 序关系计数问题（习题3-5) 86算法实现题3-4 多重幂计数问题（习题3-6) 87算法实现题3-5 编辑距离问题（习题3-8) 87算法实现题3-6 石子合并问题（习题3-9) 89算法实现题3-7 数字三角形问题（习题3-10) 91算法实现题3-8 乘法表问题（习题3-13) 92算法实现题3-9 租用游艇问题（习题3-15) 93算法实现题3-10 汽车加油行驶问题（习题3-16) 95算法实现题3-11 圈乘运算问题（习题3-18) 96算法实现题3-12 最少费用购物（习题3-20) 102算法实现题3-13 最大长方体问题（习题3-21) 104算法实现题3-14 正则表达式匹配问题（习题3-22) 105算法实现题3-15 双调旅行售货员问题（习题3-23) 110算法实现题3-16 最大 k 乘积问题（习题5-24) 111算法实现题3-17 最小 m 段和问题113算法实现题3-18 红黑树的红色内结点问题115第4章贪心算法123 习题4-2 活动安排问题的贪心选择123习题4-3 背包问题的贪心选择性质123习题4-4 特殊的0-1背包问题124习题4-10 程序最优存储问题124习题4-13 最优装载问题的贪心算法125习题4-18 Fibonacci序列的Huffman编码125习题4-19 最优前缀码的编码序列125习题4-21 任务集独立性问题126习题4-22 矩阵拟阵126习题4-23 最小权最大独立子集拟阵126习题4-27 整数边权Prim算法126习题4-28 最大权最小生成树127习题4-29 最短路径的负边权127习题4-30 整数边权Dijkstra算法127算法实现题4-1 会场安排问题（习题4-1) 128算法实现题4-2 最优合并问题（习题4-5) 129算法实现题4-3 磁带最优存储问题（习题4-6) 130算法实现题4-4 磁盘文件最优存储问题（习题4-7) 131算法实现题4-5 程序存储问题（习题4-8) 132算法实现题4-6 最优服务次序问题（习题4-11) 133算法实现题4-7 多处最优服务次序问题（习题4-12) 134算法实现题4-8 d 森林问题（习题4-14) 135算法实现题4-9 汽车加油问题（习题4-16) 137算法实现题4-10 区间覆盖问题（习题4-17) 138算法实现题4-11 硬币找钱问题（习题4-24) 138算法实现题4-12 删数问题（习题4-25) 139算法实现题4-13 数列极差问题（习题4-26) 140算法实现题4-14 嵌套箱问题（习题4-31) 140算法实现题4-15 套汇问题（习题4-32) 142算法实现题4-16 信号增强装置问题（习题5-17) 143算法实现题4-17 磁带最大利用率问题（习题4-9) 144算法实现题4-18 非单位时间任务安排问题（习题4-15) 145算法实现题4-19 多元Huffman编码问题（习题4-20) 147算法实现题4-20 多元Huffman编码变形149算法实现题4-21 区间相交问题151算法实现题4-22 任务时间表问题151第5章回溯法153习题5\|1 装载问题改进回溯法（一）153习题5\|2 装载问题改进回溯法（二）154习题5\|4 0-1背包问题的最优解155习题5\|5 最大团问题的迭代回溯法156习题5\|7 旅行售货员问题的费用上界157习题5\|8 旅行售货员问题的上界函数158算法实现题5-1 子集和问题（习题5-3) 159算法实现题5-2 最小长度电路板排列问题（习题5-9) 160算法实现题5-3 最小重量机器设计问题（习题5-10) 163算法实现题5-4 运动员最佳匹配问题（习题5-11) 164算法实现题5-5 无分隔符字典问题（习题5-12) 165算法实现题5-6 无和集问题（习题5-13) 167算法实现题5-7 n 色方柱问题（习题5-14) 168算法实现题5-8 整数变换问题（习题5-15) 173算法实现题5-9 拉丁矩阵问题（习题5-16) 175算法实现题5-10 排列宝石问题（习题5-16) 176算法实现题5-11 重复拉丁矩阵问题（习题5-16) 179算法实现题5-12 罗密欧与朱丽叶的迷宫问题181算法实现题5-13 工作分配问题（习题5-18) 183算法实现题5-14 独立钻石跳棋问题（习题5-19) 184算法实现题5-15 智力拼图问题（习题5-20) 191算法实现题5-16 布线问题（习题5-21) 198算法实现题5-17 最佳调度问题（习题5-22) 200算法实现题5-18 无优先级运算问题（习题5-23) 201算法实现题5-19 世界名画陈列馆问题（习题5-25) 203算法实现题5-20 世界名画陈列馆问题（不重复监视）（习题5-26) 207 算法实现题5-21 部落卫队问题（习题5-6) 209算法实现题5-22 虫蚀算式问题211算法实现题5-23 完备环序列问题214算法实现题5-24 离散01串问题217算法实现题5-25 喷漆机器人问题218算法实现题5-26 n 2-1谜问题221第6章分支限界法229习题6-1 0-1背包问题的栈式分支限界法229习题6-2 用最大堆存储活结点的优先队列式分支限界法231习题6-3 团顶点数的上界234习题6-4 团顶点数改进的上界235习题6-5 修改解旅行售货员问题的分支限界法235习题6-6 解旅行售货员问题的分支限界法中保存已产生的排列树237 习题6-7 电路板排列问题的队列式分支限界法239算法实现题6-1 最小长度电路板排列问题一（习题6-8) 241算法实现题6-2 最小长度电路板排列问题二（习题6-9) 244算法实现题6-3 最小权顶点覆盖问题（习题6-10) 247算法实现题6-4 无向图的最大割问题（习题6-11) 250算法实现题6-5 最小重量机器设计问题（习题6-12) 253算法实现题6-6 运动员最佳匹配问题（习题6-13) 256算法实现题6-7 n 后问题（习题6-15) 259算法实现题6-8 圆排列问题（习题6-16) 260算法实现题6-9 布线问题（习题6-17) 263算法实现题6-10 最佳调度问题（习题6-18) 265算法实现题6-11 无优先级运算问题（习题6-19) 268算法实现题6-12 世界名画陈列馆问题（习题6-21) 271算法实现题6-13 骑士征途问题274算法实现题6-14 推箱子问题275算法实现题6-15 图形变换问题281算法实现题6-16 行列变换问题284算法实现题6-17 重排 n 2宫问题285算法实现题6-18 最长距离问题290第7章概率算法296习题7-1 模拟正态分布随机变量296习题7-2 随机抽样算法297习题7-3 随机产生 m 个整数297习题7-4 集合大小的概率算法298习题7-5 生日问题299习题7-6 易验证问题的拉斯维加斯算法300习题7-7 用数组模拟有序链表300习题7-8 O(n 3/2)舍伍德型排序算法300习题7-9 n 后问题解的存在性301习题7-11 整数因子分解算法302习题7-12 非蒙特卡罗算法的例子302习题7-13 重复3次的蒙特卡罗算法303习题7-14 集合随机元素算法304习题7-15 由蒙特卡罗算法构造拉斯维加斯算法305习题7-16 产生素数算法306习题7-18 矩阵方程问题306算法实现题7-1 模平方根问题（习题7-10) 307算法实现题7-2 集合相等问题（习题7-17) 309算法实现题7-3 逆矩阵问题（习题7-19) 309算法实现题7-4 多项式乘积问题（习题7-20) 310算法实现题7-5 皇后控制问题311算法实现题7-6 3-SAT问题314算法实现题7-7 战车问题315算法实现题7-8 圆排列问题317算法实现题7-9 骑士控制问题319算法实现题7-10 骑士对攻问题320第8章NP完全性理论322 习题8-1 RAM和RASP程序322习题8-2 RAM和RASP程序的复杂性322习题8-3 计算 n n 的RAM程序322习题8-4 没有MULT和DIV指令的RAM程序324习题8-5 MULT和DIV指令的计算能力324习题8-6 RAM和RASP的空间复杂性325习题8-7 行列式的直线式程序325习题8-8 求和的3带图灵机325习题8-9 模拟RAM指令325习题8-10 计算2 2 n 的RAM程序325习题8-11 计算 g(m,n)的程序 326习题8-12 图灵机模拟RAM的时间上界326习题8-13 图的同构问题326习题8-14 哈密顿回路327习题8-15 P类语言的封闭性327习题8-16 NP类语言的封闭性328习题8-17 语言的2 O (n k) 时间判定算法328习题8-18 P CO -NP329习题8-19 NP≠CO -NP329习题8-20 重言布尔表达式329习题8-21 关系∝ p的传递性329习题8-22 L ∝ p 330习题8-23 语言的完全性330习题8-24 的CO-NP完全性330习题8-25 判定重言式的CO-NP完全性331习题8-26 析取范式的可满足性331习题8-27 2-SAT问题的线性时间算法331习题8-28 整数规划问题332习题8-29 划分问题333习题8-30 最长简单回路问题334第9章近似算法336习题9-1 平面图着色问题的绝对近似算法336习题9-2 最优程序存储问题336习题9-4 树的最优顶点覆盖337习题9-5 顶点覆盖算法的性能比339习题9-6 团的常数性能比近似算法339习题9-9 售货员问题的常数性能比近似算法340习题9-10 瓶颈旅行售货员问题340习题9-11 最优旅行售货员回路不自相交342习题9-14 集合覆盖问题的实例342习题9-16 多机调度问题的近似算法343习题9-17 LPT算法的最坏情况实例345习题9-18 多机调度问题的多项式时间近似算法345算法实现题9-1 旅行售货员问题的近似算法（习题9-9) 346 算法实现题9-2 可满足问题的近似算法（习题9-20) 348算法实现题9-3 最大可满足问题的近似算法（习题9-21) 349 算法实现题9-4 子集和问题的近似算法（习题9-15) 351算法实现题9-5 子集和问题的完全多项式时间近似算法352算法实现题9-6 实现算法greedySetCover（习题9-13) 352算法实现题9-7 装箱问题的近似算法First Fit（习题9-19) 356算法实现题9-8 装箱问题的近似算法Best Fit（习题9-19) 358算法实现题9-9 装箱问题的近似算法First Fit Decreasing（习题9-19) 360算法实现题9-10 装箱问题的近似算法Best Fit Decreasing（习题9-19) 361算法实现题9-11 装箱问题的近似算法Next Fit361第10章算法优化策略365 习题10-1 算法obst的正确性365习题10-2 矩阵连乘问题的 O(n 2) 时间算法365习题10-6 货物储运问题的费用371习题10-7 Garsia算法371算法实现题10-1 货物储运问题（习题10-3) 374算法实现题10-2 石子合并问题（习题10-4) 374算法实现题10-3 最大运输费用货物储运问题（习题10-5) 375算法实现题10-4 五边形问题377算法实现题10-5 区间图最短路问题（习题10-8) 381算法实现题10-6 圆弧区间最短路问题（习题10-9) 381算法实现题10-7 双机调度问题（习题10-10) 382算法实现题10-8 离线最小值问题（习题10-11) 390算法实现题10-9 最近公共祖先问题（习题10-12) 393算法实现题10-10 达尔文芯片问题395算法实现题10-11 多柱Hanoi塔问题397算法实现题10-12 线性时间Huffman算法400算法实现题10-13 单机调度问题402算法实现题10-14 最大费用单机调度问题405算法实现题10-15 飞机加油问题408第11章在线算法设计410习题11-1 在线算法LFU的竞争性410习题11-4 多读写头磁盘问题的在线算法410习题11-6 带权页调度问题410算法实现题11-1 最优页调度问题（习题11-2) 411算法实现题11-2 在线LRU页调度（习题11-3) 414算法实现题11-3 k 服务问题（习题11-5) 416参考文献422。
第9章 图算法设计-算法设计与分析(第2版)-李春葆-清华大学出版社
{ lowcost[j]=g.edges[k][j];
closest[j]=k;
}
}
}
Prim()算法中有两重for循环，所以时间复杂度为O(n2)，其中n为 图的顶点个数。
3. 普里姆算法的正确性证明
普里姆算法是一种贪心算法。对于带权连通无向图G=(V，E)，采用 通过对算法步骤的归纳来证明普里姆算法的正确性。
8
2
4
3
6
lowcost[1]最小，将k=1添加到U中
U
0
6
1
仅修改V-U中顶点j：
1
4 3
g.edges[k][j]<lowcost[j] 调整
5
6
2
lowcost[j]=g.edges[k][j]
7
5
8
4
3
6
2
V-U
closest[j]=k
Prim(g，v)算法利用上述过程构造最小生成树，其中参数g为带权 邻接矩阵，v为起始顶点的编号。
k=j;
//k记录最近顶点的编号
}
printf(" 边(%d,%d)权为:%d\n",closest[k],k,mincost);
lowcost[k]=0;
//标记k已经加入U
for (j=0;j<g.n;j++)
//修改数组lowcost和closest
if (g.edges[k][j]!=0 && g.edges[k][j]<lowcost[j])
void Prim(MGraph g,int v)
//Prim算法
{ int lowcost[MAXV];
信息工程中的算法设计与分析技术
信息工程中的算法设计与分析技术一、概述信息工程中算法设计和分析技术是计算机科学中非常重要的部分。
其关注的是如何设计和分析开发不仅具备高效性和高可靠性，而且还能应用于计算机科学和工程领域的算法。
同时，算法设计和分析技术也是计算机科学中的核心基础。
本文的目的就在于探讨算法设计和分析技术在信息工程领域的应用。
二、算法设计与分析算法设计与分析包括了很多方面，如数据结构、算法分析、复杂性、最优化等。
熟悉这些方面，能够帮助开发者准确评估算法运行时间、空间效率，并制定最优解算法来有效解决问题。
2.1 数据结构数据结构是代表数据组织方式的计算机科学概念。
算法设计与分析方面的数据结构特指能够有效地组织数据，并且它们的代码执行时间和空间开销最少。
常见的数据结构有：数组、堆、栈、哈希表、队列等。
例如，堆是用于实现优先队列的最常用数据结构。
堆使用数组表示，数组中的每个元素都有优先级。
堆根据优先级维护这些元素，以便在任何时间都可以访问堆中的优先级最高的元素。
2.2 算法分析算法分析是研究计算机算法在解决问题时使用资源的量和时间的函数关系，通常使用渐进符号表示。
算法分析的主要方法有：2.2.1 时间复杂度时间复杂度表示输入规模n 增长时，算法需要执行的最大次数。
在时间复杂度的计算中，常用到的是 Big O 符号来表示其渐进上界。
例如，O(n) 表示算法的最坏情况下的时间复杂度，n 表示输入规模。
2.2.2 空间复杂度空间复杂度是算法在执行过程中需要占用的存储空间。
空间复杂度的计算和时间复杂度的计算类似，可以使用 Big O 符号来表示其渐进上界。
2.3 复杂性复杂性理论不仅是算法设计在计算机科学领域中最重要的理论之一，也是数学中最花哨的部分之一。
很多算法设计师通过复杂性理论来证明其代码的正确性和优越性。
2.3.1 P 和 NP计算机科学界的一个重要问题是：是否存在一个能在多项式时间内解决所有问题的算法？即“P=NP”问题。
理解算法复杂度分析的基本原则
理解算法复杂度分析的基本原则在计算机科学领域，算法复杂度分析是评估算法性能的重要方法。
它不仅能够帮助我们选择最优算法，还能够预测算法在不同输入规模下的运行时间和空间需求。
然而，理解算法复杂度分析的基本原则并不是一件容易的事情。
本文将介绍算法复杂度分析的基本原则，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、时间复杂度和空间复杂度算法复杂度分析主要关注算法的时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度是指算法在运行过程中所需的时间资源，通常用大O表示。
空间复杂度是指算法在运行过程中所需的存储空间，也用大O表示。
通过分析算法的时间复杂度和空间复杂度，我们可以估计算法的运行时间和空间需求。
二、最坏情况和平均情况在进行算法复杂度分析时，我们通常考虑最坏情况和平均情况。
最坏情况是指算法在输入规模最大的情况下所需的时间和空间资源。
平均情况是指算法在各种输入规模下的时间和空间资源的平均值。
通过分析最坏情况和平均情况，我们可以更好地评估算法的性能。
三、渐进分析渐进分析是一种常用的算法复杂度分析方法。
它通过研究算法在输入规模无限增大时的增长趋势，来估计算法的时间复杂度和空间复杂度。
常用的渐进记号有大O、大Ω和大Θ。
大O表示算法的上界，即算法的时间复杂度或空间复杂度不会超过某个函数。
大Ω表示算法的下界，即算法的时间复杂度或空间复杂度不会低于某个函数。
大Θ表示算法的上界和下界相等，即算法的时间复杂度或空间复杂度在某个函数的范围内。
四、常见的时间复杂度常见的时间复杂度包括常数时间复杂度O(1)、对数时间复杂度O(log n)、线性时间复杂度O(n)、线性对数时间复杂度O(n log n)、平方时间复杂度O(n^2)、立方时间复杂度O(n^3)等。
这些时间复杂度代表了算法在不同输入规模下的运行时间增长趋势。
通过比较不同算法的时间复杂度，我们可以选择最优算法。
五、常见的空间复杂度常见的空间复杂度包括常数空间复杂度O(1)、线性空间复杂度O(n)、平方空间复杂度O(n^2)等。
算法复杂性分析
算法复杂性分析比较两对算法的效率 (1)复杂性的计量 (3)复杂性的渐近性态及其阶 (6)复杂性渐近阶的重要性 (10)算法复杂性渐近阶的分析 (12)递归方程解的渐近阶的求法 (16)递归方程组解的渐进阶的求法——代入法 (16)递归方程组解的渐进阶的求法——迭代法 (19)递归方程组解的渐进阶的求法——套用公式法 (23)递归方程组解的渐进阶的求法——差分方程法 (25)递归方程组解的渐进阶的求法——母函数法 (29)比较两对算法的效率考虑问题1：已知不重复且已经按从小到大排好的m个整数的数组A[1..m]（为简单起见。
还设m=2 k，k是一个确定的非负整数）。
对于给定的整数c，要求寻找一个下标i，使得A[i]=c；若找不到，则返回一个0。
问题1的一个简单的算法是：从头到尾扫描数组A。
照此，或者扫到A的第i个分量，经检测满足A[i]=c；或者扫到A的最后一个分量，经检测仍不满足A[i]=c。
我们用一个函数Search来表达这个算法：Function Search (c:integer):integer;Var J:integer;BeginJ:=1; {初始化}{在还没有到达A的最后一个分量且等于c的分量还没有找到时，查找下一个分量并且进行检测}While (A[i]<c)and(j<m) doj:=j+1;If A[j]=c then search:=j {在数组A中找到等于c的分量，且此分量的下标为j}else Search:=0; {在数组中找不到等于c的分量}End;容易看出，在最坏的情况下，这个算法要检测A的所有m个分量才能判断在A中找不到等于c的分量。
解决问题1的另一个算法是利用已知条件中A已排好序的性质。
首先拿A的中间分量A[m/2]与c比较，如果A[m/2]=c，则解已找到。
如果A[m/2]>c，则c只可能在A[1],A[2],..,A[m/2-1]之中，因而下一步只要在A[1],A[2], .. ，A[m/2-1]中继续查找；如果A[m/2]<c，则c只可能在A[m/2+1],A[m/2+2],..,A[m]之中，因而下一步只要在A[m/2+1],A[m/2+2],..,A[m]中继续查找。
算法的渐进复杂度分析
北京航空航天大学计算机学院具体数学Concrete Mathematics赵启阳2018年10月15日星期一9 渐进Asymptotics渐进处理的意义•在实际研究或应用中遇到的数学问题中，精确答案往往是可遇不可求的（1）有的问题并没有封闭形式解；（2）封闭形式解存在，但是以现在的数学工具很难求出。
•近似结果往往能够满足实际需要，因此了解渐进意义下的变化趋势也很有价值和意义。
•对于求和问题•这个问题看上去是没有封闭形式解的。
但是有•这对判断S n 的变化趋势是很有帮助的。
此时称S n渐进于∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nk n k n S 03∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n nS n 当,32~⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n32•如果进一步给出•显然就更加精确了，因为它指出我们渐进的相对误差大概是•然而在面对渐进趋势与S n相近的量例如斐波那契数F4n 时，怎样判断它们之间的大小关系？⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nOnnnSn21423⎪⎪⎭⎫⎝⎛nO21•当n=2时，。
当n 趋向于无穷大时•因此还是F 4n 要大一些。
这个结果看上去很难导出，本章的目的就是学习相关的技巧，使我们可以方便快捷地推导出这样的结果。
21228=>=F S n ()8541.6,5~172151175.634442≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⋅=φφπ这里nn n n F O n n S n渐进处理名称的来源•渐进（Asymptotics ）来自于希腊语，字面意义是“不落在一起”。
古希腊数学家研究双曲线时发现当x 趋向于无穷时，双曲线无限逼近但不会碰到直线•现在我们提到“渐进”，重点强调“越来越趋近”。
21xy +=x y ±=9.1 量的等级A Hierarchy•第一个关系符号：某个函数比另一个函数的增长趋势更快•传递性：•使用符号可对常见的函数做一个排序 0)()(lim )()(=⇔∞→n g n f n g n f n hf hg g f ⇒, nc n n n c c n c n n n n n log log log log 1εn c n n n c c n c nn n n n )9(,)8(,)7(,)6(,)5(,)4(,log )3(,log log )2(,1)1(log ε计算复杂度取这些函数的算法有哪些？•上面排序中的函数都趋向于无穷大。
渐进时间复杂度的计算
时间复杂度计算首先了解一下几个概念.一个是时间复杂度，一个是渐近时间复杂度。
前者是某个算法的时间耗费，它是该算法所求解问题规模n的函数，而后者是指当问题规模趋向无穷大时，该算法时间复杂度的数量级。
当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度T（n）=O（f(n））简称为时间复杂度，其中的f（n）一般是算法中频度最大的语句频度。
此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关,还与输入实例中各元素的取值相关。
但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。
以保证算法的运行时间不会比它更长。
常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶O(1)、对数阶O（log2n）、线性阶O（n）、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O（n^2）、立方阶O(n^3）、k 次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n）.1. 大O表示法定义设一个程序的时间复杂度用一个函数 T（n) 来表示，对于一个查找算法，如下：int seqsearch( int a[]， const int n， const int x){int i = 0；for （； a［i] != x &＆ i < n ； i++ )；if （ i == n） return —1;else return i;}这个程序是将输入的数值顺序地与数组中地元素逐个比较，找出与之相等地元素。
在第一个元素就找到需要比较一次，在第二个元素找到需要比较2次，……，在第n个元素找到需要比较n次。
对于有n个元素的数组，如果每个元素被找到的概率相等，那么查找成功的平均比较次数为：f(n) = 1/n （n + （n-1） + (n-2) + ... + 1） = (n+1)/2 = O(n)这就是传说中的大O函数的原始定义。
用大O来表述要全面分析一个算法，需要考虑算法在最坏和最好的情况下的时间代价，和在平均情况下的时间代价。
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(3)f（n）=n ； g（n）=log2n
(由洛比塔法则) f ( n) n n lim lim lim 2 n g ( n) n [log( n)] n 2 log( n).1/ ln 2 n lim 2 n 2 /(ln 2)
n M 0, N 0, 当n N , M 2 [log( n)] n M .[log(n)]2 n (log 2 ( n))
可以理解为：f(N)的上界是N2级别的。
(2)f(N)=N-1, f(N)=O(N)
可以理解为：f(N)的上界是N级别的。
O的性质
(1)O(f)+O(g)=O(max(f,g)) (2)O(f)+O(g)=O(f+g) (3)O(f)O(g)=O(f.g) (4)如果g(N)=O(f(N))， 则O(f)+O(g)=O(f) (5)O(C.f(N))=O(f(N))，C是一个正常数 (6)f(N)=O(f)
当N>100, 2N2+11N-10 3N2 任意给定的>0, 当N>3/，有3N2< .N3 取N0=max(100, 3/ +1),当NN0, 2N2+11N-10 < 3N2 < .N3
返回
如何确定两个函数之间的关系
对于下列各组函数f(n) 和g(n) ，确定 f（n）= O(g(n)) 或 f（n）=Ω(g(n)) 或 f（n）=θ(g(n)) 并简述理由。 （1）f（n）= log(n2) ； g（n）=log(n)+5 （2） f（n）= log(n2) ； g（n）=n1/2 （3） f（n）=n ； g（n）=log2n
返回
常见的算法时间复杂度
O(1) O(log(n)) O( n ) O(n) O(n.log(n)) O(n )
2
O(n ) O(2 ) O(3 ) O(n !) O(n )
3 n n n
第九章
算法设计与分析
本章学习的主要内容
第9.1节 第9.2节 第9.3节 第9.4节 第9.5节 第9.5节
渐进复杂性 分治法 贪心法 动态规划法 回溯法 分支限界法
第9.1节 渐进复杂性
假设T(n)是算法A的复杂性函数。 通常T(n)有比较多的项，
例如：T(n)=3n2+nlog(n)+7
（2）f（n）= log(n2) ； g（n）=n1/2
f ( n) log(n 2 ) 2log(n) lim lim lim n g ( n) n n n n (2 / ln 2)2 n (由洛比塔法则) lim 0 n n 2
log(n ) 0, N 0, 当n N , | 0 | n log( n 2 ) ; log( n 2 ) . n n log( n 2 ) O ( n )
人们希望将T(n)简化，提出了渐进复杂 性的概念。
渐进意义下的记号
O渐进的定义(上界)
渐进的定义(下界) 渐进的定义 o渐进的定义 如何确定两个函数之间的关系 常见的算法时间复杂度
O渐进的定义(上界)
如果存在正的常数C和自然数N0，使得当N N0 时有f(N)C.g(N)，则称函数f(N)当N充分大时 有上界，且g(N)是它的一个上界, 记为f(N)＝ O(g(N))。 例如： (1)f(N)=2N2+11N-10, g(N)=N2 常数C = 3， N0 = 11，当N> N0 , f(N) 3g(N), 因此2N2+11N-10 =O(N2)
渐进的定义(下界)
如果存在正的常数C和自然数N0，使得当N N0 时有f(N) C.g(N)，则称函数f(N)当N充分大 时有下界，且g(N)是它的一个下界，记为f(N) ＝ (g(N))。 例如：f(N)=2N2+11N-10 g(N)= N2, f(N)= (g(N))= (N2) 常数C = 1， N0 = 1，当N> N0 , f(N) c.g(N), 因此2N2+11N-10 = (N2) 返回
性质(2) O(f)+O(g)=O(f+g)的证明
证明：设F(N)=O(f)，G(N)=O(g)，则根据O的 定义有: 存在常数C1和自然数N1，使得当N N1，有 F(N)C1.f(N) 存在常数C2和自然数N2，使得当N N2，有 G(N)C2.g(N) 令C3=max{C1, C2}, 返回 F(N)C1.f(N) C3.f(N) G(N)C2.g(N) C3.g(N) 当N max{N1,N2}, F(N)+G(N) C3.(f(N)+g(N)) F(N)+G(N)=O(f+g), 即O(f)+O(g)=O(f&#；g（n）=log(n)+5 2 f (n) log(n ) 2log(n) lim lim lim 2 n g (n) n log(n) 5 n log(n) 5
log(n 2 ) 0, N 0, 当n N , | 2 | log(n) 5 log(n 2 ) 2 2 log(n) 5 (2 )(log( n) 5) log( n 2 ) (2 )(log( n) 5) log(n 2 ) (log( n) 5)
结论：
f ( n) (1) lim 0, f (n) O( g (n)) n g ( n) f ( n) (2) lim c, f (n) ( g (n)) n g ( n) f ( n) (3) lim , f (n) ( g (n)) n g ( n)
渐进的定义
f(N)= (g(N))当且仅当 f(N)=O(g(N))且f(N)= (g(N))， 我们称f(N)与g(N)同阶。 例如：2N2+11N-10= (N2)
返回
o渐进的定义
如果对于任意给定的>0，都存在N0，使得 当NN0时有f(N)/g(N)< ，则称函数f(N)当 N充分大时的阶比g(N)低，记f(N)=o(g(N)) 例如：2N2+11N-10=o(N3)