数值分析实验报告之常微分方程数值解

数学与计算科学学院实验报告

实验项目名称常微分方程数值解

所属课程名称数值方法B

实验类型验证

实验日期 2013.11.11

班级

学号

姓名

成绩

【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）

注：以下图形是通过Excel 表格处理数据得出，并未通过MATLAB 编程序所得！

1、1(0)1dy

y x dx y ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩

由题可知精确解为：x y x e -=+，当x=0时，y(x)=0。 h=0.1

表1 h=0.1时三个方法与精确值的真值表

图1 h=0.1时三个方法走势图

步长 Euler 法 预估校正法 经典四阶库 精确值 0.1 1.010000 1.005000 1.004838 1.249080 0.2 1.029000 1.019025 1.018731 1.055455 0.3 1.056100 1.041218 1.040818 1.091217 0.4 1.090490 1.070802 1.070320 1.131803 0.5 1.131441 1.107076 1.106531 1.176851 0.6 1.178297 1.149404 1.148812 1.226025 0.7 1.230467 1.197211 1.196586 1.279016 0.8 1.287421 1.249975 1.249329 1.335536 0.9 1.348678 1.307228 1.306570 1.395322 1.0

1.413811

1.368541

1.367880

1.458127

h=0.05（此时将源程序中i的围进行扩大，即for(i=0;i<20;i++)）

表2 h=0.05时三个方法与精确值的真值表步长Euler法预估校正法经典四阶库精确值

0.05 1.002500 1.001250 1.001229 1.011721

0.10 1.007375 1.004877 1.004837 1.024908

0.15 1.014506 1.010764 1.010708 1.039504

0.20 1.023781 1.018802 1.018731 1.055455

0.25 1.035092 1.028885 1.028801 1.072710

0.30 1.048337 1.040915 1.040818 1.091217

0.35 1.063421 1.054795 1.054688 1.110931

0.40 1.080250 1.070436 1.070320 1.131801

0.45 1.098737 1.087752 1.087628 1.153791

0.50 1.118800 1.106662 1.106531 1.176851

0.55 1.140360 1.127087 1.126950 1.200942

0.60 1.163342 1.148954 1.148812 1.226025

0.65 1.187675 1.172193 1.172046 1.252062

0.70 1.213291 1.196736 1.196585 1.279016

0.75 1.240127 1.222520 1.222367 1.306852

0.80 1.268121 1.249485 1.249329 1.335536

0.85 1.297215 1.277572 1.277415 1.365037

0.90 1.327354 1.306728 1.306570 1.395322

0.95 1.358486 1.336900 1.336741 1.426362

1.00 1.390562 1.368039 1.367880 1.458127

图2 h=0.05时三个方法走势图

2、(0)1x

dy xe y dx y -⎧=-⎪⎨⎪=⎩

由题可知精确解为：21

(2)2

x x e -+，当x=0时，y(x)=0。

h=0.1

表3 h=0.1时三个方法与精确值的真值表

步长 Euler 法 预估校正法 经典四阶库 精确值 0.1 0.900000 0.909625 0.909428 0.929533 0.2 0.819249 0.835927 0.835593 0.872564 0.3 0.754433 0.776081 0.775655 0.826822 0.4 0.702726 0.727671 0.727189 0.790348 0.5 0.661726 0.688636 0.688127 0.761457 0.6 0.629396 0.657225 0.656711 0.738709 0.7 0.604018 0.631957 0.631453 0.720874 0.8 0.584147 0.611582 0.611100 0.706908 0.9 0.568575 0.595050 0.594599 0.695927 1.0 0.556297 0.581487 0.581072

0.687191

图3 h=0.1时三个方法走势图

h=0.05（此时将源程序中i的围进行扩大，即for(i=0;i<20;i++)）

表4 h=0.05时三个方法与精确值的真值表

步长Euler法预估校正法经典四阶库精确值0.050.9500000.9524520.9524270.962924 0.100.9049040.9094740.9094280.929533 0.150.8642840.8706700.8706060.899511 0.200.8277410.8356710.8355920.872564 0.250.7949080.8041370.8040470.848419 0.300.7654470.7757550.7756550.826822 0.350.7390430.7502320.7501250.807538 0.40 0.7154070.7273020.7271890.790348 0.45 0.6942720.7067150.7065990.775050 0.50 0.6753940.6882450.6881260.761457 0.55 0.6585460.6716820.6715610.749397 0.60 0.6435190.6568300.6567100.738709 0.65 0.6301240.6435140.6433950.729247 0.70 0.6181850.6315700.6314530.720874 0.75 0.6075410.6208480.6207330.713466 0.80 0.5980460.6112110.6111000.706908 0.85 0.5895650.6025350.6024260.701094 0.90 0.5819760.5947030.5945990.695927

0.95 0.5751670.5876120.5875120.691320

1.00 0.5690350.5811670.5810710.687191

图4 h=0.05时三个方法走势图