上海市高三数学竞赛试卷标准答案

2016年上海市高三数学竞赛试卷

2016年3月27日上午9：30～11：30

【说明】解答本试卷不得使用计算器．解答请写在答题纸上.

一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）

1． 已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0，a 、b 、c 均为常数),函数f 1(x )的图像与函数f (x )的图像关于y 轴对称，函数f 2(x )的图像与函数f 1(x )的图像关于直线y=1对称，则函数f 2(x )的解析式是 ．

2．复数z 满足|z |=1, w=3z 22

2

z -在复平面上对应的动点W 所表示曲线的普通方程为 ．

3. 关于x 的方程arctan 2arctan 26

x x π

--=

的解是 ．

4. 红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6；则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36，共有 种可能．

5. 已知函数f (x)=cos(),x πg (x )=2x a 1

2

-

(a ≠0);若存在1x 、2x ∈[0,1],使f (1x ) =f (2x )成立，则实数a 的取值范围为 ．

6. 如图，有16间小三角形的房间.甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形的房间，那么他们在不相邻（指没有公共边）房间的概率是 ．（用分数表示）

7. 在空间，四个不共线的向量OA u u u r 、OB uuu r

、

OC u u u r 、OD u u u r

,它们两两间的夹角都是α，则α的大小是 ．

8.已知a >0,b >0,a 3+b 3=1,则a +b 的取值范围为 ．

二、解答题（本大题满分60分）

9．（本题满分15分）如图，已知五边形A 1B 1C 1D 1E 1内接于边长为1的正五边形ABCDE ；

求证：五边形A 1B 1C 1D 1E 1中至少有一条边的长度不小于cos

5

π

．

10．（本题满分15分）设p ，q 和r 是素数，且p |qr 1-(p |qr 1-表示qr 1-能被p 整除)，q |rp 1-和r |pq 1-;求pqr 的所有可能的值．

11．（本题满分15分）已知数列{}n a 满足递推关系111

23

n n n a a +=-+（*n N ∈）;

求所有1a 的值，使{}n a 为单调数列，即{}n a 为递增数列或递减数列.

12．（本题满分15分）已知等边三角形ABC 的边长为5，延长BA 至点P ，使得|AP |=9. D 是线段BC 上一点（包括端点），直线AD 与BPC ∆的外接圆交于E 、F 两点，其中|EA |<|ED |.

(1)设|BD |=x ,试将|EA |-|DF |表示为关于x 的函数f (x );

(2)求f (x )的最小值.

A B

C

D

E

A 1

B 1

C 1

D 1

E 1

A

B

C

D E

F

P

一、填空题

1．2

()2.f x ax bx c =++- 2． 2

2

1.25

y x += 3．2log x =

4．48． 5. 13[,0)(0,]22-U . 6.

1720 7. 1

arccos()3

- 8. 二、解答题

9、已知五边形11111A B C D E 内接于边长为1的正方形ABCDE ；求证：五边形

11111A B C D E 中至少有一条边的长度不小于cos

5

π

。

证明：1111111111,,,,,,,,,AE AA BA BB CB CC DC DD ED EE 的长分别为

1212121212,,,,,,,,,a a b b c c d d e e 。

于是1212121212()()()()()5a a b b c c d d e e +++++++++=

由平均数原理，1212121212(),(),(),(),()a a b b c c d d e e +++++必有一个大于等于1。 不妨设121a a +≥，故211a a ≥-。

()()2

222

21112121111322cos

121cos 55

A E a a a a a a a a ππ=+-≥+-+- 2

11222(1cos

)21cos 155a a ππ⎛

⎫

=---+ ⎪⎝

⎭

2

2121122(1cos )1cos

(cos )5225

5a ππ

π⎛⎫⎛⎫

=--++≥ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

10．解：由题设可知|(1)(1)(1)pqr qr rp pq ---；

222(1)(1)(1)()1,qr rp pq p q r pqr p q r pq qr rp ---=-+++++-Q

|1,pqr pq qr rp ∴++-即

11111

pq qr rp pqr p q r pqr

++-=++-为正整数；

记1111,k p q r pqr =

++-由于,,2,p q r ≥故3

1,2

k ≤<从而只能1k =. 由对称性，不妨设p q r ≤≤； 若3,p ≥则111

1,k p q r

<

++≤矛盾，故2p =. 若3,q >则12

5,1,25

q k ≥≤

+<矛盾. 若2,q =则1111

()1,224k r r

=

++->也矛盾，故3q =. 最后，由1111

1,236r r

=

++-得5r =. 经检验，2,3,5p q r ===符合题意. 30pqr ∴=.

11. 解：*1111111

()333,232

n n n n n n n a a n N a a ++++=-

+∈⇔=-⨯+