上海市高三数学竞赛试卷标准答案
2016年上海市高三数学竞赛试卷答案
2016年##市高三数学竞赛试卷2016年3月27日上午9：30～11：30[说明]解答本试卷不得使用计算器．解答请写在答题纸上.一、填空题〔本大题满分60分,前4小题每小题7分,后4小题每小题8分〕 1． 已知函数f <x >=ax 2+bx +c <a ≠0,a 、b 、c 均为常数>,函数f 1<x >的图像与函数f <x >的图像关于y 轴对称,函数f 2<x >的图像与函数f 1<x >的图像关于直线y=1对称,则函数f 2<x >的解析式是．2．复数z 满足|z |=1, w=3z 222z-在复平面上对应的动点W 所表示曲线的普通方程为．3. 关于x 的方程arctan 2arctan 26x x π--=的解是．4. 红、蓝、绿、白四颗骰子,每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6；则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36,共有种可能．5. 已知函数f <x>=cos(),x πg <x >=2x a 12-<a ≠0>;若存在1x 、2x ∈[0,1],使f <1x >=f <2x >成立,则实数a 的取值X 围为．6. 如图,有16间小三角形的房间.甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形的房间,那么他们在不相邻〔指没有公共边〕房间的概率是．〔用分数表示〕7. 在空间,四个不共线的向量OA 、OB 、OC 、OD ,它们两两间的夹角都是α,则α的大小是．8.已知a >0,b >0,a 3+b 3=1,则a +b 的取值X 围为．二、解答题〔本大题满分60分〕9．〔本题满分15分〕如图,已知五边形A 1B 1C 1D 1E 1内接于边长为1的正五边形ABCDE ；求证：五边形A 1B 1C 1D 1E 1中至少有一条边的长度不小于cos5π．A DED 1E 110．〔本题满分15分〕设p ,q 和r 是素数,且p |qr 1-<p |qr 1-表示qr 1-能被p 整除>,q |rp 1-和r |pq 1-;求pqr 的所有可能的值．11．〔本题满分15分〕已知数列{}n a 满足递推关系11123n n n a a +=-+〔*n N ∈〕;求所有1a 的值,使{}n a 为单调数列,即{}n a 为递增数列或递减数列.12．〔本题满分15分〕已知等边三角形ABC 的边长为5,延长BA 至点P ,使得|AP |=9. D 是线段BC 上一点〔包括端点〕,直线AD 与BPC ∆的外接圆交于E 、F 两点,其中|EA |<|ED |.<1>设|BD |=x ,试将|EA |-|DF |表示为关于x 的函数f <x >;<2>求f <x >的最小值.一、填空题1．2()2.f x ax bx c =++- 2． 221.25y x += 3．2log x = 4．48． 5. 13[,0)(0,]22-. 6. 1720 7. 1arccos()3-8. 二、解答题9、已知五边形11111A B C D E 内接于边长为1的正方形ABCDE ；求证：五边形11111A B C D E 中至少有一条边的长度不小于cos5π.证明：1111111111,,,,,,,,,AE AA BA BB CB CC DC DD ED EE 的长分别为1212121212,,,,,,,,,a a b b c c d d e e .于是1212121212()()()()()5a a b b c c d d e e +++++++++=由平均数原理,1212121212(),(),(),(),()a a b b c c d d e e +++++必有一个大于等于1. 不妨设121a a +≥,故211a a ≥-.ABCD EFP10．解：由题设可知|(1)(1)(1)pqr qr rp pq ---；|1,pqr pq qr rp ∴++-即11111pq qr rp pqr p q r pqr++-=++-为正整数；记1111,k p q r pqr =++-由于,,2,p q r ≥故31,2k ≤<从而只能1k =. 由对称性,不妨设p q r ≤≤； 若3,p ≥则1111,k p q r<++≤矛盾,故2p =. 若3,q >则125,1,25q k ≥≤+<矛盾. 若2,q =则1111()1,224k r r=++->也矛盾,故3q =. 最后,由11111,236r r=++-得5r =. 经检验,2,3,5p q r ===符合题意. 30pqr ∴=.11. 解：*1111111()333,232n n n n n n n a a n N a a ++++=-+∈⇔=-⨯+ 令3,nn n b a =则*1136363,(),()2525n n n n b b b b n N ++=-+-=-∈ 若120,5a -≠则由11222()535n a --<-,可得213521log (),25n a >+-故当*,n N ∈且213521log ()25n a >+-时,11222()()535n a --+-与125a -同号；而11()2n --正负交叉,从而n a 正负交叉,{}n a 不是单调数列.当125a =时,121()53n n a -=为递减数列; 综上,当且仅当125a =时,{}n a 为单调数列.12. 解：〔1〕设,,,u EA v AD DF ω===则()f x u w =-.在ABD 中,由余弦定理得,v ===.在PBC 的外接圆中运用相交弦定理,得,,EA AF BA AP ED DF BD DC == 即()45,()(5);u v w u v w x x +=+=-两式相减得2()545,v u w x x -=-+故〔2〕设0t =≥,则222020()t f x t t t +===+≥=.当且仅当20t t=时等号成立,即t ==,解得52x ±=所以,当52x ±=时,()f x 取到最小值.。
上海数学奥赛试题及答案
上海数学奥赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 1，则f'(x)等于：A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3C. x^3 - 3xD. 3x^2 + 1答案：A2. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，则向量a与向量b的点积为：A. 10B. 8C. 7D. 6答案：B3. 计算极限lim(x→0) [sin(x) / x]的值是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，那么A∩B等于：A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 4}答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 若函数g(x) = 2x^2 + 3x - 5，求g(-1)的值为______。
答案：-96. 已知等差数列的前三项分别为2, 5, 8，求该数列的第10项。
答案：237. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值为______。
答案：1/38. 已知矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求矩阵A的行列式值。
答案：-2三、解答题（每题10分，共60分）9. 证明：若a, b, c是实数，且满足a^2 + b^2 + c^2 = 1，则(a +b + c)^2 ≤ 3。
证明：由于(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) ≤ a^2 + b^2 + c^2 + 2(a^2 + b^2 + c^2) = 3(a^2 + b^2 + c^2)= 3，所以(a + b + c)^2 ≤ 3。
10. 解方程：x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0。
解：x = 111. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的极值。
解：f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)，令f'(x) = 0，得x = 1, 3。
上海市高中数学竞赛试题及参考答案
上海市高中数学竞赛一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 .2.已知正整数1210,,,a a a 满足:3,1102>≤<≤ji a i j a ,则10a 的最小可能值是 .3.若17tan tan tan 6αβγ++=，4cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ17cot cot cot cot 5βγγα++=-，则()tan αβγ++= .4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 .5．如图，∆AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知90∠=︒AEF ，,,==>AE a EF b a b ，则=x .6．方程1233213+⋅-+=m n n m 的非负整数解(),=m n .7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答）8．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++===-=++n n n n na a a a a n n n .若201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为 .E1C D 1二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =，对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=︒，记直线AB 与CD 的距离为()h x ．求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围．10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin )()1sin a x x f x x++=+的最小值．11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=，求证：（1）43xy yz zx ++≥； （2）2x y z ++≥．ODCBA12．（本题满分16分）给定整数(3)n ≥，记()f n 为集合{}1,2,,21n -的满足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小值：（a ） 1,21n A A ∈-∈；（b ） A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求(3)f 的值； （2）求证：(100)108f ≤．上海市高中数学竞赛答案1、42、923、114、(){},04-∞526、()()3,0,2,27、258、40259．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得2222211()(1)22OB OC AB BC x +=+=+． ①…………………（2分）在△OBC 中，由余弦定理2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠，所以 221OB OC OC +⋅=， ②由①，②得 2OB OC ⋅=． ③…………………（5分）所以 144s i n 2A B C D O B C S S O B O C B O C ∆==⋅⋅∠OC =⋅212x -=， 故 ()AB h x ⋅212x -=，所以 21()2x h x x-=． …………………（10分）由③可得，210x ->，故1x >．因为222OB OC OB OC +≥⋅，结合②，③可得221(1)22x +≥解得（结合1x >）11x <+．综上所述，21()2x h x x-=，11x <≤． …………………（14分）10．解 (sin )(4sin )3(1)()1sin 21sin 1sin a x x a f x x a x x++-==++++++．当713a <≤时，02≤，此时3(1)()1sin 221sin a f x x a a x-=++++≥++，且当(]()sin 11,1x =∈-时不等式等号成立，故min ()2f x a =+． …………………（6分）当73a >2>，此时“耐克”函数3(1)a y t t -=+在(0,内是递减，故此时min 3(1)5(1)()(1)2222a a f x f a -+==+++=．综上所述，min 72,1;3()5(1)7,.23a a f x a a ⎧+<≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ …………………（14分）11．证 （1）记t =)33223xy yz zx xyz ++⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭．…………………（4分） 于是 324993xyz xy yz zx t t =+++≤+，所以 ()()2323320t t t -++≥，而23320t t ++>，所以320t -≥，即23t ≥，从而 43x y y zz x ++≥． …………………（10分） （2）又因为2()3()x y z xy yz zx ++≥++，所以 2()4x y z ++≥，故 2x y z ++≥． …………………（16分）12．解 （1）设集合{}31,2,,21A ⊆-，且A 满足（a ），（b ）．则1,7A A ∈∈．由于{}()1,,72,3,,6m m =不满足（b ），故3A >． 又 {}{}{}{}{}{}{}1,2,3,7,1,2,4,7,1,2,5,7,1,2,6,7,1,3,4,7,1,3,5,7,1,3,6,7, {}{}{}1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,7都不满足 （b ），故4A >． 而集合{}1,2,4,6,7满足（a ），（b ），所以(3)5f =．…………………（6分） （2）首先证明(1)()2,3,4,f n f n n +≤+=． ①事实上，若{}1,2,,21n A ⊆-，满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ．令{}1122,21n n B A++=--，由于12221n n +->-，故()2B f n =+．又111222(21),211(22)n n n n +++-=--=+-，所以，集合{}11,2,,21n B +⊆-，且B 满足（a ），（b ）．从而(1)()2f n B f n +≤=+． …………………（10分）其次证明：(2)()1,3,4,f n f n n n ≤++=． ②事实上，设{}1,2,,21n A ⊆-满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ．令{}222(21),2(21),,2(21),21nn n n n B A=----，由于 222(21)2(21)2(21)21n n n n n -<-<<-<-，所以{}21,2,,21n B ⊆-，且()1B f n n =++．而12(21)2(21)2(21),0,1,,1k n k n k n k n +-=-+-=-，2212(21)(21)n n n n -=-+-，从而B 满足（a ），（b ），于是(2)()1f n B f n n ≤=++． …………………（14分） 由①，②得 (21)()3f n f n n +≤++． ③ 反复利用②，③可得(100)(50)501(25)25151f f f ≤++≤+++(12)12377(6)6192f f ≤+++≤+++(3)3199108f ≤+++=． …………………（16分）。
2024 年上海市高三数学竞赛参考答案与评分标准
2024年上海市高三数学竞赛参考答案与评分标准【说明】解答本试卷不得使用计算器．解答请写在答题纸上．一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1. 9.2. 1781.3. 20242.5. 5.6. 827π.7. 1,02e ⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭.8. 14.二、解答题（本大题满分60分，每小题15分）9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：2214x y +=，A B 、是椭圆Γ的左、右顶点．点C 是椭圆Γ内（包括边界）的一个动点，若动点P 使得0PB PC ⋅=，求OP 的最大值．解：设动点()()00,,,C x y P x y ．因为0PB PC ⋅=，所以PB PC ⊥．设BC 的中点为M ．因为点()()002,0,,B C x y ，所以点002,22x y M ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，于是BC =，2AC OM ===． 所以 12OP OM MP OM BC ≤+=+()12AC BC =+． ┄┄┄ 5分记()12AC BC a +=，则当000,1x y==时，a = ┄┄┄ 7分 若a >，因为2AC BC a +=表示点C 在椭圆222214x y a a +=-上．┄┄┄ 10分则222222000000221454x x x y y y a a +≥+>+=-，这与点()00,C x y 在椭圆Γ内矛盾！故a ≤，即OP ≤，当点C 为()0,1C 时等号成立．综上所述，OP的最大值为 ┄┄┄ 15分 10. 在平面直角坐标系xOy 中，求所有的正整数()3n n ≥，使得正n 边形能内接于椭圆()222210x y a b a b+=>>（即正n 边形的所有顶点都在椭圆上）．解：当3,4n =时，正三角形、正方形能内接于椭圆．如图，由椭圆的对称性可知，椭圆的内接正三角形、正方形存在． ┄┄┄ 4分()222210x y a b a b +=>>， ① 正n 边形()5n ≥的外接圆方程为()()()2220x c y d r r -+-=>． ②若0d =，由①，②消去y 可得()222221x x c b r a ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪⎝⎭， 这是关于x 的二次方程，它至多有两个实数根，再由y =±得方程组①，②至多有4组实数解． ┄┄┄ 8分若0d ≠，则方程②为22222()dy r x c y d -=----，所以 2222222()1x dy r x c b d a ⎛⎫ ⎪-=----- ⎪⎝⎭， ③ 两边平方 2222222224()1x d y r x c b d a ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=----- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故 2222222222241()1x x d b r x c b d a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪-=----- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． ④ ④是关于x 的4次方程，至多4个实数解．对每个x 的实数解，再由③，即2222221()12x y r x c b d da ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=------ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可对应得到一个y 的解，所以方程组①，②也至多有4组实数解．综上，椭圆与正n 边形()5n ≥的外接圆至多有4个公共点，也就是说正n 边形()5n ≥至少有一个顶点不在椭圆上．故5n ≥时，正n 边形不可能内接于椭圆． ┄┄┄ 15分 11. 数列{}n a 满足：()12211,1,2,n n n a a a a a n ++===+= ，M 是大于1的正整数．求证：在数列345,,,a a a 中存在相邻的两项，它们除以M 的余数相等．解：设n a 除以M 所得的余数为n x ，1,2,n = ．构造有序数对的序列： ()()()34451,,,,,,,n n x x x x x x + ． （*） ┄┄┄ 3分 由于{}0,1,2,,1i x M ∈- ，故序列（*）中至多有2M 个不同的项，根据抽屉原理，（*）的前21M +项中必有相同的两项，设为()()11,,k k l l x x x x ++=，3k l ≤<． ┄┄┄ 5分因为 1111k k k k k k x a a a x x --++≡=-≡-()1111mod l l l l l l x x a a a x M ++--=-≡-=≡，所以11k l x x --=，故()()11,,k k l l x x x x --=． ┄┄┄ 10分继续上述过程，可以得到()()()1212,,1,1l k l k x x x x -+-+==，即()12mod l k l k a a M -+-+≡． ┄┄┄ 13分注意到1231,2a a a ===，所以()()1223,,x x x x ≠，从而13l k -+≥．从而命题得证． ┄┄┄ 15分12. 将正整数1,2,,100 填入1010⨯方格表中，每个小方格恰填一个数，要求每行从左到右10个数依次递减，记第i 行的10个数之和为()1,2,,10i S i = ．设{}1,2,,10n ∈ 满足：存在一种填法，使得1210,,,S S S 均大于第n 列上的10个数之和，求n 的最小值．解：将第j 列10个数之和记为()1,2,,10j T j = ．考虑下述填法（易验证其符合要求），此时有10915330S S S T >>>>= ，这表明5n =满足条件．100 99 98 97 6 5 4 3 2 1 96 95 94 93 12 11 10 9 8 7 92 91 90 89 18 17 16 15 14 13 88 87 86 85 24 23 22 21 20 19 84 83 82 81 30 29 28 27 26 25 80 79 78 77 36 35 34 33 32 31 76 75 74 73 42 41 40 39 38 37 72 71 70 69 48 47 46 45 44 43 68 67 66 65 54 53 52 51 50 49 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55┄┄┄ 5分以下假设存在一种填法，使得1210,,,S S S 均大于4T ，我们来导出矛盾． 对{},1,2,,10i j ∈ ，记,i j a 为第i 行第j 列所填的数．不失一般性，设1,42,410,4a a a <<< ． ①对1,2,,10k = ，记k A 为表格前k 行与前3列相交所构成的3k ⨯方格表，kB 为前k 行与后7列相交所构成的7k ⨯方格表．考虑到每行的数从左到右依次递减，且①成立，故对每个{}1,2,,10k ∈ ，k B 中7k 个数的最大者是位于左下角的数,4k a ，于是,47k a k ≥． ②┄┄┄ 8分对1,2,,10k = ，记k A 与k B 中的数之和分别为()k S A 与()k S B ，则3(2013)()10099(1013)2k k k S A k， ,4,4,4,47(71)()(1)(71)72k k k k k k k S B a a a k ka， 又{}41210min ,,,T S S S < ，因此有412,43(2013)7(71)()()722k k k k k k k k kT S S S S A S B ka， 化简得4,4730529k T a k <+-，即4,4305297k T ka -+>． ③┄┄┄ 12分 利用②、③，可得()()41,42,47,48,49,410,4T a a a a a a =++++++()7413052978797107k T k=-+>+⨯+⨯+⨯∑44189189T T =-+=，矛盾！故假设不成立，结合1234T T T T >>>知1,2,3,4n =均不满足条件．综上，n 的最小值为5． ┄┄┄ 15分。
2019年上海市高三数学竞赛(带答案解析)
2019年上海市高三数学竞赛1．某侦察班有12名战士，其中报务员有3名.现要将这12名战士随机分成3组，分别有3名战士、4名战士、5名战士，那么每一组都有1名报务员的概率是________. 2．若直线ax －by +2=0(a >0，b >0)和函数22(0,1)x y c c c +=+>≠的图象均恒过同一个定点，则11a b+的最小值为________.3．若复数z 满足||4z z +=，则||z i +的最大值为________.4．设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，前n 项和为S n .若数列也是公差为d 的等差数列，则数列{a n }的通项a n =________.5．如图所示，分别作正四面体P －ABC 的平行于四个面的截面，使得P －ABC 的四个面都被截成正六边形，截去4个小四面体后得到的多面体记为G ，则四面体P －ABC 与多面体G 的表面积比为________，体积比为________.6．边长为2的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可以围成一个正四棱锥，则此正四棱锥的体积最大值为________.7．设a 是实数，关于z 的方程(z 2－2z +5)(z 2+2az +1)=0有4个互不相等的根，它们在复平面上对应的4个点共圆，则实数a 的取值范围是________. 8．已知x ，y ∈[0，+∞)，则x 3+y 3－5xy 的最小值为________. 9．已知,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin sin AB=()sin A B +，求tanA 的最大值.10．设数列{a n }满足：11231220191,n n n n a a a a a a a -+-+====，n =3，4，…….求证：数列{a n }的每一项都是正整数.11．求证：不存在无穷多项的素数数列12,,,,n p p p ，使得154,1,2,k k p p k +=+=.12．设n 为正整数，称n ×n 的方格表T n 的网格线的交点(共(n +1)2个交点)为格点.现将数1，2，……，(n +1)2分配给T n 的所有格点，使不同的格点分到不同的数.称T n 的一个1×1格子S 为“好方格”，如果从2S 的某个顶点起按逆时针方向读出的4个顶点上的数依次递增(如图是将数1，2，…，9分配给T 2的格点的一种方式，其中B 、C 是好方格，而A 、D 不是好方格)设T n 中好方格个数的最大值为f (n ).（1）求f (2)的值；（2）求f (n )关于正整数n 的表达式.参考答案1．311【解析】 【分析】 【详解】由题意可知，所有的分组方法34129C C N =，满足题意的分组方法23973!C C n =，则满足题意的概率值：2397341293!C C 3C C 11P ==. 故答案为：311． 2．52+【解析】 【分析】 【详解】因为y =c x +2+2过定点P (－2，3)，所以直线20ax by -+=也过定点P (－2，3)，于是－2a －3b +2=0，即2a +3b =2.因为211(23)(23)5a b a b ⎛⎫+++=+⎪⎝⎭11562a b ++，当22,(33a b ==时等号成立.故最小值为52+故答案为：523【解析】 【分析】 【详解】由复数的几何意义知，z 在复平面上对应的曲线是椭圆：2214x y +=.设2cos isin ,02z θθθπ=+<，则222211616|i |4cos (sin 1)3sin 333z θθθ⎛⎫+=++=--+ ⎪⎝⎭，所以43||3z i +，当1sin 3θ=，即1i 33z =+时等号成立，故最大值为3.故答案为：3． 4．944n -【解析】 【分析】 【详解】设1(1)n a a n d dn a =+-=+，这里a =a 1－d ， 于是2211(1)22222n n n d d d d S na d n a n n a n -⎛⎫⎛⎫=+=+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，=dn b =+，这里b d =. 所以22224(842)2dn a d n d n bdn b +++=++， 于是4d =d 2，8a +4d +2=2bd ，b 2=0，解得d =4，b =0，94a =-，故944n a n =-. 故答案为：944n -． 5．9:7 27:23 【解析】 【分析】 【详解】设截去的4个小四面体的表面积为14S ，体积为1V ， 则正三棱锥P ABC -的表面积为136S ，体积为127V ，多面体G 的表面积为：11113634428S S S S -⨯+=，体积为11127423V V V -=， 故四面体P －ABC 与多面体G 的表面积比为36:289:7=，体积比为27:23.故答案为：9:7,27:23．6【解析】 【分析】 【详解】设围成的正四棱锥为P ABCD -，PO 为四棱锥的高作OE ⊥BC ，垂足为E ，连结PE .令OE =x ，则p =1－x，PO = 于是正四棱锥P －ABCD的体积为21(2)3V x =⋅， 所以2416(12)9V x x =-44162(12)92x x ⎛⎫=⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭512256222295x x x x x ⎛⎫++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭525695=⨯， 故165375V，当25x =时等号成立所以正四棱锥体积的最大值为375. 故答案为：375． 7．{a |－1<a <1}∪{－3} 【解析】 【分析】 【详解】由z 2－2z +5=0，得1212i,12i z z =+=-.因为z 2+2az+1=0有两个不同的根，所以△=4(a 2－1)≠0，故a ≠±1.若△=4(a 2－1)<0，即－1<a <1时，3,4z a =-±因为1234,,,z zz z 在复平面上对应的点构成等腰梯形或者矩形，此时四点共圆，所以，11a -<<满足条件.若△=4(a 2－1)>0，即|a |>1时， 3.4z a =-±仅当z 1、z 2对应的点在以34,z z 对应的点为直径的圆周上时，四点共圆，此圆方程为22343422z z z z x y +-⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得()2234340x z z x z z y -+++=，即x 2+2ax +1+y 2=0，将点(1，±2)代入得a =－3. 综上所述，满足条件的实数a 的取值范围是{a |－1<a <1}∪{－3}. 故答案为：{a |－1<a <1}∪{－3}. 8．12527-【解析】 【分析】 【详解】因为33333512555327x y xy x y xy ⎛⎫+-=++-- ⎪⎝⎭333125125352727x y xy ⎛-=-⎝， 当x =y =53时等号成立故最小值为12527-. 故答案为：12527-． 9．43【解析】 【分析】 【详解】由题设等式可得sin sin (sin cos cos sin )A B A B A B =+， 所以tan sin (tan cos sin )A B A B B =+. 令tan t A =，则2sin cos sin t t B B B =+，于是2sin 21cos2t t B B =+-，21)t B θ--，这里θ是锐角，sin θ=.所以2|21|1t t -+，注意到t >0，可得43t . 当413arctan,arcsin 3225A B π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭时，题设等式成立. 所以，tanA 的最大值为43. 10．见解析 【解析】 【分析】 【详解】由题设知，数列{a n }的每一项都是正数，且1212019n n n n a a a a +--=+， 所以2112019n n n n a a a a +-+=+，上面两式相减得211211n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+--=-， 故()()2121n n n n n n a a a a a a +--++=+，2211n n n n n n a a a a a a +-+-++=. ①由1231a a a ===，可得a 4=2020.当n 是奇数时，由①可得22311122n n n n n n a a a a a a a a a +-+-+++====， 即212,1,3,n n n a a a n ++=-=.当n 是偶数时，由①可得22421132021n n n n n n a a a a a a a a a +-+-+++====， 即212021,2,4,n n n a a a n ++=-=.所以1212,2021n n n n n a a n a a a n +++-⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数.故由1234,,,a a a a 是正整数及上面的递推式可知，数列{a n }的每一项都是正整数. 11．见解析 【解析】【分析】 【详解】用反证法.假设存在满足题设的无穷多项的素数数列12,,,,n p p p ，则由154k k p p +=+得()1151k k p p ++=+，于是数列{p k +1}是以5为公比的等比数列，所以()11151k k p p -+=+，故()11511,1,2,k k p p k -=+-=.易知数列{p n }是严格递增的，不妨设p 1>5(否则用p 2作为首项)，则有(5，p 1)=1， 于是由费马小定理得()11151mod p p -≡，所以()()11111111115115510mod p p p p p p p p ---=+-=+-=，这与1p p 是素数矛盾所以，满足题设的素数数列不存在.12．（1）f (2)=3.（2）221()2n n f n ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】 【详解】(1)如图①，将T 2的4个1×1格子(以下简称“格子”)分别记为A 、B 、C 、D ，将9个格点上的数分别记为a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i.当a ，b ，……，i 依次取为1，2，……，9时，易验证B 、C 、D 均为好方格，这表明f (2)≥3. 现假设f (2)=4，即存在一种数的分配方式，使A 、B 、C 、D 均为好方格.由对称性，不妨设边界上8个数a ，b ，……，h 中的最小数为a 或b .此时由A 为好方格知，或者有a <b <i <h ，或者有b <i <h <a ，故b <i <h 总是成立的.进而由B 、C 为好方格知，必有i <f <g <h ，b <c <d <i ，但这时d <i <f ，与D 为好方格矛盾. 综上可得f (2)=3.(2)设T n 的各格点的数已被分配好，此时好方格有k 个称格子的一条边为一段“格线”我们对T n 的每段格线标记一个箭头若格线连结了两个格点U 、V ，其中U 上的数小于V 上的数，则对格线UV 标上一个指向UV 顺时针旋转90°后所得方向的箭头.称一个格子S 及S 的一条边UV 所构成的有序对(S ，UV )为一个“对子”，如果UV 上所标的箭头由S 内指向S 外设对子总数为N .一方面，每个格子S 至少贡献1个对子(否则沿逆时针方向读S 顶点上的数将永远递减，矛盾)，而根据好方格的定义每个好方格贡献3个对子，于是()22312N k n k k n +⋅-=+. 另一方面，T n 的每段格线至多贡献1个对子，且T n 边界上至少有一段格线标有向内的箭头(否则，沿逆时针方向读n 边界上的数将永远递增，矛盾)，从而不贡献对子.注意到T n 的格线段数为2n (n +1)，所以又有2(1)1N n n +-.综合两方面得，2k +n 2≤2n (n +1)－1，即好方格的个数2212n n k+-. 最后，对n 为奇数和n 为偶数的情况，分别如图②和图③，将1，2，……，(n +1)2按粗线经过的次序依次分配给所有格点对图中标有“▲”记号的每个格子，易验证，按被粗线经过的先后次序排列其4个顶点，恰是一种逆时针排列，因而这些格子均为好方格.图②中好方格数为211211222n n n n n +-+-⋅+⋅=.图③中好方格数为2222211122222n n n n n n n n ⎡⎤+-+-⎛⎫⋅+-⋅+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.综上可得，221()2n n f n ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦.。
上海市高中数学竞赛试题及答案
2016年上海市高中数学竞赛试题及答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1.已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠，,,a b c 均为常数），函数()1f x 的图象与函数()f x 的图象关于y 轴对称，函数()2f x 的图象与函数()1f x 的图象关于直线1y =对称，则函数()2f x 的解析式为 ．答案：()22 2.f x ax bx c =-+-+解 在函数()y f x =的表达式中用x -代替x ，得()21f xax b x c =-+，在函数()1y f x =的表达式中用2y -代替y ，得()22 2.f x ax bx c =-+-+ 2.复数z 满足1z =，2223w z z=-在复平面上对应的动点W 所表示曲线的普通方程是 ．答案：221.25y x += 解 设,z a bi w x yi =+=+，则221a b +=，()()()()()()()()()222222222222333210.a bi x yi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a bi ab abi -+=+-=+-++-=+--=-+从而22,10x a b y ab =-=，于是()22222224 1.25y x a b a b +=-+= 3.关于x 的方程arctan 2arctan 26x xπ--=的解是 ．答案：2log x =解 因为()()tan arctan 2tan arctan 2221xxx x --⋅=⋅=，所以arctan 2arctan 22x x π-+=，解得arctan 2,arctan 236xx ππ-==，则22log x x ==4.红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6，则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36，共有 种可能． 答案：48．解 四颗骰子乘积等于36，共有四种情形：（1）两个1，两个6，这种情形共246C =种可能； （2）两个2，两个3，这种情形共246C =种可能；（3）两个3，一个1，一个4，这种情形共214212C C =种可能；（4），123,6各一个，这种情形共4424A =种可能．综上，共有66122448+++=种可能． 5.已知函数()()()()1c o s ,202xfx x g xa a π==-≠，若存在[]12,0,1x x ∈，使()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为 ．答案；13,00,.22⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦解 易知[]0,1x ∈时，()[]1,1.f x ∈-只需求a 的取值范围，使得()g x 能取到[]1,1-中的值．（1）当0a >时，()g x 单调递增，因为()12g x >-，故只需()01g ≤，解得30.2a <≤ （2）当0a <时，()g x 单调递减，因为()12g x <-，故只需()01g ≥-，解得10.2a -≤<6.如图，有16间小三角形的房间，甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形房间，那么他们在不相邻（指没有公共边）房间的概率是 （用分数表示）．答案：17.20解法一 如图1，将小三角形房间分为三类：与第一类（红色）房间相邻的房子恰有一间，与第二类（绿色）房间相邻的房间恰有两间，与第三类（白色）房间相邻的房间恰有三间，从而满足条件的安置方法共有()()()316261637164204⨯-+⨯-+⨯-=种．从而所求概率为20417.161520=⨯解法二 我们从反面考虑问题，如图2，每一对相邻房间对应着一条黄色的邻边，故所求概率为18231711.16152020⨯-=-=⨯7.在空间，四个不共线的向量,,,OA OB OC OD ，它们两两的夹角都是α，则α的大小是 ． 答案：1arccos .3π-解 如图，ABCD 为正四面体，角α即为AOD ∠，设,E M 分别为BC 和AD 的中点，则,AE DE OA OD ==，则中心O 在EM 上，从而O 为△ADE 的垂心，11sin sin cos .33EH ODE EAH DOH AE ∠=∠==⇒∠= 所以，1arccos .3απ=-8.已知330,0,1b a b α>>+=，则a b +的取值范围为 ．答案：(．解 注意到()204a b ab +<≤，及()()()()2332213,a b a b a ab b a b a b ab ⎡⎤=+=+-+=++-⎣⎦我们有()()33114a b a b +≤<+，所以1a b <+≤ 二、解答题（本题满分60分，每小题15分）9.如图，已知五边形11111A B C D E 内接于边长为1的正五边形ABCDE ．求证：五边形11111A B C D E 中至少有一条边的长度不小于cos .5π证设1111111111,,,,,,,,,E A AA A B BB B C CC C D DD D E EE 的长分别为12121,,,,,a a b b c 21212,,,,,c d d e e 则()()()()()()()()()()12121212121221212121 5.a ab bc cd de e a e a b b c c d d e +++++++++=+++++++++=由平均数原理，1212121212,,,,a a b b c c d d e e +++++中必有一个大于1，不妨设121a a +≥，则2110.a a ≥-≥此时()()22222111212111122111212322cos121cos 5522221cos 21cos 21cos 1555211221cos 1cos 5225121cos cos .255A E a a a a a a a a a a a a πππππππππ=+-≥+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫≥+= ⎪⎝⎭所以，11cos.5A E π≥命题得证．10.设,p q 和r 是素数，且|1,|1,|1p qr q rp r pq ---，求pqr 的所有可能的值．解 由题设可得()()()|111pqr qr rp pq ---，因为()()()()2221111,qr rp pq p q r pqr p q r pq qr rp ---=-+++++-所以，| 1.pqr pq qr rp ++-于是11111pq qr rp pqr p q r pqr++-=++-为正整数．记1111k p q r pqr =++-，注意到,,2p q r ≥，则32k <从而 1.k = 由对称性，不妨设.p q r ≤≤ 若3p ≥，则1111k p q r<++≤，矛盾，故 2.p = 若3q >，则5q ≥，12125k =+<，矛盾． 若2q =，则11111224k r r ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭，也矛盾．故 3.q = 最后，由11111236r r=++-，得 5.r = 综上，30.pqr =11.已知数列{}n a 满足递推关系()*11123n n n a a n N +=-+∈，求所有1a 的值，使{}n a 为单调数列，即{}n a 为递增数列或递减数列．解 由11123n n n a a +=-+得，1113332n n n n a a +++=-+，令3n n n b a =，则 1136363,2525n n n n b b b b ++⎛⎫=-+⇒-=-- ⎪⎝⎭从而，11663,552n n b b -⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则1111111116633335522121535212221.25352n n n n n n n n n nb a a a a T -----⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+--⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦若125a ≠，注意到213-<，则当2/31521log 25n a ⎛⎫>+-⎪⎝⎭时，T 与125a -同号，但112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭正负交替，从而n a 正负交替，{}n a 不为单调数列．当125a =时，12153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭为递减数列．综上，当且仅当125a =时，{}n a 为单调数列． 12.已知等边三角形ABC 的边长为5，延长BA 至点P ，使得9AP =，D 是线段BC 上一点（包括端点）．直线AD 与△BPC 的外接圆交于,E F 两点，其中.EA ED < （1）设BD x =，试将EA DF -表示为关于x 的函数()f x ； （2）求()f x 的最小值．解 （1）设,,u EA v AD w DF ===，则().f x u w =- 在△ABD 中，由余弦定理，得v == 在△PBC 的外接圆中运用相交弦定理，得()()()5945,5.u v w u v w x x +=⨯=+=-两式相减，得()2545,v u w x x -=-+故())2254505.x x f x u w x v -+=-==≤≤（2）设0t =，则()222020t f x t t t +===+≥=当且仅当20t t=时等号成立，此时t ==解得x =所以，当x =()f x 取到最小值。
2024年上海高三数学竞赛试题及答案
2024年上海市高三数学竞赛试题2024年3月24日上午9:30〜11:30一、填空题(第1〜4题每小题7分，第5〜8题每小题8分，共60分)1.若正实数Q,b满足Ql=2a+b,贝I]q+2。
的最小值是.192.现有甲、乙两人进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为乙胜的概率为注规定谁先胜3局谁赢得胜利，则甲赢得胜利的概率为.(用最简分数表示答案)3.计算「2|「4「6I I「2024、2，厂1厂3«「5「7<(厂2023、2_(口2024一口2024十口2024—^2024^2024)十(口2024—>2024十^2024—口2024^2024；—4.已知~a.T,~c是同一平面上的3个向量，满足|切=3,\~b\=2\/2,~a^~b=-6,且向量~c-~a与~c-~b的夹角为p则\~c\的最大值为.5.若关于z的方程2”+1-防邪-1=0存在一个模为1的虚根，则正整数n的最小值为6.一个顶点为P、底面中心为O的圆锥体积为1,若正四棱锥。
— ABCD内接于该圆锥，平面ABCD与该圆锥底面平行，A,B,C,D这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥O一AOCD的体积的最大值是•7.已知函数f(x)=arr2+Inc有两个零点，贝0实数Q的取值范围是.8.若3个整数Q,b,c满足a?+户+c?+3V Qb+3b+3c,则这样的有序整数组(fl,6,c)共有组.二、解答题(每小题15分，共60分)9.在平面直角坐标系明中，已知椭圆「：乎+/=1,4、B是椭圆的左、右顶点.点C是椭圆「内(包括边界)的一个动点，若动点P使得PB PC=0.求|OP|的最大值.10.求所有正整数n(n>3),满足正71边形能内接于平面直角坐标系xOy中椭圆片+%=1(q>b>0).11.数列｛。
曷满足：Q i=Q2=1,a n+2=a n+1+a n(打=1,2,•.•),M是大于1的正整数，试证明:在数列Q3,Q4,Q5,…中存在相邻的两项，它们除以M余数相同.12.将正整数1,2,.・・,100填入10X10方格表中，每个小方格恰好填1个数，要求每行从左到右10个数依次递减，记第2行的10个数之和为&(1=1,2,...,10).设nc｛l,2,...，10｝满足：存在一种填法,使得$,，,•••，Sio均大于第n列上的10个数之和，求n的最小值.2024年上海市高三数学竞赛试题解析一、填空题1.【解析】解:整理得上注=1,因此"2方=（〃+2方）（上+2）=5+2（&0）29,等号成立当且仅当a b a b b a〃=8=3时取得，则最小值是9.2.【解析】解:甲以3：0获胜的税率是P q=（—）3=sy；以3：I获ft的概•率是P]=C；•（—）?=3*以3:2枝胜的概率是p2=Cj・（：）3・（；）2=§■.株上所述，甲获It的概.率•是p=P q+P i+p?=共X I3.【解析】解:由二项式定理可加（"6）皿=㈡抽皿+Um湖"％…CicW板皿“，...+C魏〃皿2024令"=展=|可得（1“皿=£。
2019年上海市高三数学竞赛(解析版)
2019年上海市高三数学竞赛试题一、填空题(前4小题每题7分，后4小题每题8分，共60分)1.某侦察班有12名战士，其中报务员有3名.现要将这12名战士随机分成3组，分别有3名战士、4名战士、5名战士，那么每一组都有1名报务员的概率是________. 【答案】311【解析】【详解】由题意可知，所有的分组方法34129C C N =，满足题意的分组方法23973!C C n =，则满足题意的概率值：2397341293!C C 3C C 11P ==. 故答案为：311． 2.若直线ax －by +2=0(a >0，b >0)和函数22(0,1)x y c c c +=+>≠的图象均恒过同一个定点，则11a b+的最小值为________.【答案】52+【解析】【详解】因为y =c x +2+2过定点P (－2，3)，所以直线20ax by -+=也过定点P (－2，3)，于是－2a －3b +2=0，即2a +3b =2.因为211(23)(23)5a b a b ⎛⎫+++=+⎪⎝⎭11562a b ++，当22,(33a b ==时等号成立.故最小值为52故答案为：523.若复数z 满足||4z z -++=，则||z i +的最大值为________.【解析】【详解】由复数的几何意义知，z 在复平面上对应的曲线是椭圆：2214x y +=.设2cos isin ,02z θθθπ=+<，则222211616|i |4cos (sin 1)3sin 333z θθθ⎛⎫+=++=--+ ⎪⎝⎭，所以43||3z i +，当1sin 3θ=，即1i 33z =+时等号成立，故最大值3.．4.设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，前n 项和为S n .若数列也是公差为d 的等差数列，则数列{a n }的通项a n =________. 【答案】944n - 【解析】【详解】设1(1)n a a n d dn a =+-=+，这里a =a 1－d ， 于是2211(1)22222n n n d d d d S na d n a n n a n -⎛⎫⎛⎫=+=+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，=dn b =+，这里b d =. 所以22224(842)2dn a d n d n bdn b +++=++， 于是4d =d 2，8a +4d +2=2bd ，b 2=0，解得d =4，b =0，94a =-，故944n a n =-. 故答案为：944n -． 5.如图所示，分别作正四面体P －ABC 平行于四个面的截面，使得P －ABC 的四个面都被截成正六边形，截去4个小四面体后得到的多面体记为G ，则四面体P －ABC 与多面体G 的表面积比为________，体积比为________.【答案】 (1). 9:7 (2). 27:23 【解析】【详解】设截去的4个小四面体的表面积为14S ，体积为1V ， 则正三棱锥P ABC -的表面积为136S ，体积为127V ，多面体G 的表面积为：11113634428S S S S -⨯+=，体积为11127423V V V -=， 故四面体P －ABC 与多面体G 的表面积比为36:289:7=，体积比为27:23. 故答案为：9:7,27:23．6.边长为2的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可以围成一个正四棱锥，则此正四棱锥的体积最大值为________.165【解析】【详解】设围成的正四棱锥为P ABCD -，PO 为四棱锥的高作OE ⊥BC ，垂足为E ，连结PE .令OE =x ，则p =1－x ，12PO x =-于是正四棱锥P －ABCD 的体积为21(2)123V x x =⋅- 所以2416(12)9V x x =-44162(12)92x x ⎛⎫=⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭512256222295x x x x x ⎛⎫++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭525695=⨯， 故165375V，当25x =时等号成立所以正四棱锥体积的最大值为375. 故答案为：375． 7.设a 是实数，关于z 的方程(z 2－2z +5)(z 2+2az +1)=0有4个互不相等的根，它们在复平面上对应的4个点共圆，则实数a 的取值范围是________. 【答案】{a |－1<a <1}∪{－3} 【解析】【详解】由z 2－2z +5=0，得1212i,12i z z =+=-.因为z 2+2az +1=0有两个不同的根，所以△=4(a 2－1)≠0，故a ≠±1.若△=4(a 2－1)<0，即－1<a <1时，3,4z a =-因为1234,,,zz z z 在复平面上对应的点构成等腰梯形或者矩形，此时四点共圆，所以，11a -<<满足条件.若△=4(a 2－1)>0，即|a |>1时， 3.4z a =-z 1、z 2对应的点在以34,z z 对应的点为直径的圆周上时，四点共圆，此圆方程为22343422z z z z x y +-⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得()2234340x z z x z z y -+++=，即x 2+2ax +1+y 2=0，将点(1，±2)代入得a =－3. 综上所述，满足条件的实数a 的取值范围是{a |－1<a <1}∪{－3}. 故答案为：{a |－1<a <1}∪{－3}.8.已知x ，y ∈[0，+∞)，则x 3+y 3－5xy 的最小值为________. 【答案】12527- 【解析】【详解】因为33333512555327x y xy x y xy ⎛⎫+-=++-- ⎪⎝⎭333125125352727x y xy ⎛-=-⎝，当x =y =53时等号成立故最小值为12527-. 故答案为：12527-．二、解答题(每小题15分，共60分)9.已知,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin sin AB=()sin A B +，求tanA 的最大值. 【答案】43【解析】【详解】由题设等式可得sin sin (sin cos cos sin )A B A B A B =+， 所以tan sin (tan cos sin )A B A B B =+. 令tan t A =，则2sin cos sin t t B B B =+，于是2sin 21cos2t t B B =+-，21)t B θ-=-， 这里θ是锐角，sin θ=.所以2|21|1t t -+，注意到t >0，可得43t . 当413arctan,arcsin 3225A B π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭时，题设等式成立. 所以，tanA 的最大值为43. 10.设数列{a n }满足：11231220191,n n n n a a a a a a a -+-+====，n =3，4，…….求证：数列{a n }的每一项都是正整数.【答案】见解析 【解析】【详解】由题设知，数列{a n }的每一项都是正数，且1212019n n n n a a a a +--=+， 所以2112019n n n n a a a a +-+=+，上面两式相减得211211n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+--=-， 故()()2121n n n n n n a a a a a a +--++=+，2211n n n n n n a a a a a a +-+-++=. ①由1231a a a ===，可得a 4=2020.当n 是奇数时，由①可得22311122n n n n n n a a a a a a a a a +-+-+++====， 即212,1,3,n n n a a a n ++=-=.当n 是偶数时，由①可得22421132021n n n n n n a a a a a a a a a +-+-+++====， 即212021,2,4,n n n a a a n ++=-=.所以1212,2021n n n n n a a n a a a n +++-⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数. 故由1234,,,a a a a 是正整数及上面的递推式可知，数列{a n }的每一项都是正整数. 11.求证：不存在无穷多项的素数数列12,,,,n p p p ，使得154,1,2,k k p p k +=+=.【答案】见解析 【解析】【详解】用反证法.假设存在满足题设的无穷多项的素数数列12,,,,n p p p ，则由154k k p p +=+得()1151k k p p ++=+，于是数列{p k +1}是以5为公比的等比数列，所以()11151k k p p -+=+，故()11511,1,2,k k p p k -=+-=.易知数列{p n }是严格递增的，不妨设p 1>5(否则用p 2作为首项)，则有(5，p 1)=1， 于是由费马小定理得()11151mod p p -≡，所以()()11111111115115510mod p p p p p p p p ---=+-=+-=，这与1p p 是素数矛盾所以，满足题设的素数数列不存在.12.设n 为正整数，称n ×n 的方格表T n 的网格线的交点(共(n +1)2个交点)为格点.现将数1，2，……，(n +1)2分配给T n 的所有格点，使不同的格点分到不同的数.称T n 的一个1×1格子S 为“好方格”，如果从2S 的某个顶点起按逆时针方向读出的4个顶点上的数依次递增(如图是将数1，2，…，9分配给T 2的格点的一种方式，其中B 、C 是好方格，而A 、D 不是好方格)设T n 中好方格个数的最大值为f (n ).（1）求f(2)的值；（2）求f(n)关于正整数n的表达式.【答案】（1）f(2)=3.（2）221 ()2n nf n⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦.【解析】【详解】(1)如图①，将T2的4个1×1格子(以下简称“格子”)分别记为A、B、C、D，将9个格点上的数分别记为a、b、c、d、e、f、g、h、i.当a，b，……，i依次取为1，2，……，9时，易验证B、C、D均为好方格，这表明f(2)≥3.现假设f(2)=4，即存在一种数的分配方式，使A、B、C、D均为好方格.由对称性，不妨设边界上8个数a，b，……，h中的最小数为a或b.此时由A为好方格知，或者有a<b<i<h，或者有b<i<h<a，故b<i<h总是成立的.进而由B、C为好方格知，必有i<f<g<h，b<c<d<i，但这时d<i<f，与D为好方格矛盾.综上可得f(2)=3.(2)设T n的各格点的数已被分配好，此时好方格有k个称格子的一条边为一段“格线”我们对T n的每段格线标记一个箭头若格线连结了两个格点U、V，其中U上的数小于V上的数，则对格线UV标上一个指向UV顺时针旋转90°后所得方向的箭头.称一个格子S及S的一条边UV所构成的有序对(S，UV)为一个“对子”，如果UV上所标的箭头由S内指向S 外设对子总数为N.一方面，每个格子S至少贡献1个对子(否则沿逆时针方向读S顶点上的数将永远递减，矛盾)，而根据好方格的定义每个好方格贡献3个对子，于是()22312N k n k k n +⋅-=+.另一方面，T n 的每段格线至多贡献1个对子，且T n 边界上至少有一段格线标有向内的箭头(否则，沿逆时针方向读n 边界上的数将永远递增，矛盾)，从而不贡献对子.注意到T n 的格线段数为2n (n +1)，所以又有2(1)1N n n +-.综合两方面得，2k +n 2≤2n (n +1)－1，即好方格的个数2212n n k+-. 最后，对n 为奇数和n 为偶数的情况，分别如图②和图③，将1，2，……，(n +1)2按粗线经过的次序依次分配给所有格点对图中标有“▲”记号的每个格子，易验证，按被粗线经过的先后次序排列其4个顶点，恰是一种逆时针排列，因而这些格子均为好方格.图②中好方格数为211211222n n n n n +-+-⋅+⋅=.图③中好方格数为2222211122222n n n n n n n n ⎡⎤+-+-⎛⎫⋅+-⋅+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.综上可得，221()2n n f n ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦.。
上海市高中数学竞赛试卷及答案
2005年上海市高中数学竞赛试卷（2005年3月27日 星期日 上午8：30～10：30）【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空（前4小题每小题7分，后4小题每小题8分，供60分） 1．计算：0!1!2!100!i +i +i ++i = 95+2i ．（i 表示虚数单位）2．设θ是某三角形的最大内角，且满足sin 8sin 2θθ=，则θ可能值构成的集合是279,,,,3321010πππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭．（用列举法表示） 3．一个九宫格如图，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线上三个格内的复数和都相等，则x 表示的复数是 1122i + ．4．如图，正四面体ABCD 的棱长为6cm ，在棱AB 、CD 上各有一点E 、F ，若1AE =cm ，2CF =cm ，则线段EF．5．若关于x 的方程4(3)250x xa ++⋅+=至少有一个实根在区间[1,2]内，则实数a 的取值范围为8.25,3⎡---⎣ ．6．a 、b 、c 、d 、e 是从集合{}1,2,3,4,5中任取的5个元素（允许重复），则abcd e +为奇数的概率为17943125． 7．对任意实数x 、y ，函数()f x 满足()()()1f x f y f x y xy +=+--，若(1)1f =，则对负整数n ，()f n的表达式 2322n n +- ．8．实数x 、y 、z 满足0x y z ++=，且2221x y z ++=，记m 为2x 、2y 、2z 中最大者，则m 的最小值为12． i x 1A B FD E二、（本题满分14分）设()f x =a 的值：至少有一个正数b ，使()f x 的定义域和值域相同．解：若a ＝0，则对每个正数b，()f x =[)0,+∞，故a ＝0满足条件若a ＞0，则对每个正数b，()f x =D ＝{}[)20,0,b x a x bx a⎛⎤+≥=-∞-+∞ ⎥⎝⎦，但()f x =A [)0,⊆+∞故D ≠A ，即a ＞0不合条件 若a ＜0，则对每个正数b，()f x =D ＝0,b a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，由于此时()max 2b f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故()f x =⎡⎢⎣所以，04a b a a a <⎧⎪-=⇔⇔=-⎨=-⎪⎩综合所述，a 的值为0或－4三、（本题满分14分）已知双曲线22221x y a b-=（a 、b ∈+R ）的半焦距为c ，且2b ac =．,P Q 是双曲线上任意两点，M为PQ 的中点，当PQ 与OM 的斜率PQ k 、OM k 都存在时，求PQ OM k k ⋅的值．解：∵M 是PQ 的中点，设M （x 0，y 0），P （x 0＋α，y 0＋β－），Q （x 0－α，y 0－β） 于是00,OM PQ y k k x βα== ∵P 、Q 都在双曲线上，所以()()()()2222220022222200220020220440OM PQb x a y a b b x a y a b b x a y y b ac ck k x a a aαβαβαββα+-+=---=-=∴⋅====相减得： 又由)222212c a bc a b ac⎧=+⎪⇒=⎨=⎪⎩舍负根∴12OM PQ k k ⋅=四、（本题满分16分）设[]x 表示不超过实数x 的最大整数．求集合2|,12004,2005k n n k k ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=≤≤∈⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭N 的元素个数． 解：由()2212111002200520052005k k k k ++-=≤≤，解得即当()()2222111,2,3,,100212005200520052005k k k k k ⎡⎤⎡⎤++⎡⎤⎡⎤===+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦时或22210021500,0,1,2,,1002,0,1,,500200520052005k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦当时能取遍()()222222222211003,1004,,2004,1,2005200511003100420041,,,,2005200520052005200520041002100210031002501,200520052k k k k k k n n +=->⎡⎤+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤≥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=⎡⎤⎡⎤>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=另外,当时由于故即各不相同，这些数有个注意到＝就知集合,12004,50110021503005k k N ⎧⎫⎡⎤⎪⎪≤≤∈⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭共有＋＝个元素.五、（本题满分16分）数列{}n f的通项公式为n nn f ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，n ∈+Z ． 记1212C +C +C nn n n n n S f f f =，求所有的正整数n ，使得n S 能被8整除．解：记αβ==则()()()()1000S11n ni i i i i in n ni in nn ni i i in ni in nC CC Cαβαβαβαβ=====--⎫⎤=-=+-+⎪⎦⎭⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦∑∑注意到3553,12222+=⋅=，可得()1121S3S Sn n n n nn n++++⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥=-+--⎢⎥⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎭=-*因此，S n+2除以8的余数，完全由S n+1、S n除以8的余数确定11211122122,3S C f S C f C f==+=，故由(*)式可以算出{}n S各项除以8的余数依次是1,3，0,5，7,0，1,3，……，它是一个以6为周期的数列，从而83nS n⇔故当且仅当38nn S时，。
2023年上海市高三数学竞赛试卷及答案
一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1.若不等式 对任意均成立， 则实数的取值范围是.2.将一枚硬币和一个骰子同时投掷，硬币出现正面记为，出现反面记为，此数与骰子的点数之积记为（例如硬币出现正面，骰子点数为，则），那么的数学期望是.3.已知长方体中，，，是平面上一动点，且，则满足上述条件的所有的点所围成的平面区域的面积等于.4.在平面直角坐标系中，曲线有两条互相平行的切线，若这两条切线的斜率均为，且两条切线之间的距离为，则实数的值为.5.正整数构成一个严格增的等比数列，且满足，则，公比 .6.已知曲线的方程是.若过点的直线与曲线恰有三个不同的交点，则直线的倾斜角的取值范围是.7.给定正实数，对任意正实数，，记，则的最大值为.（注:表示实数中的较小者.）8.十进制六位数中，每个数码都是奇数，且其中出现的数码不允许相邻（例如，，满足条件，而不满足条件）则这种六位数的个数是.二、解答题（本大题满分60分，每小题15分）9.已知抛物线与双曲线相交于点，抛物线与双曲线的公切线分别与拋物线、双曲线相切于点.求证: 对于任意正实数，的面积为与无关的常数，并求该常数.、2023年上海市高三数学竞赛试卷10.设集合，对的子集，令它对应一个数（空集对应的数）. 对的所有子集，求它们对应的数的总和.11.给定，其中，，.点，，分别在边，，上，使得是正三角形，求面积的最小值.12.设为大于的正整数.求的最小值，使得存在两个正整数，，满足：，都恰有个正约数，且若将的正约数从小到大排列为（其中），将的正约数从小到大排列为（其中），则存在一个整数（），使得。
2019年上海市高三数学竞赛试题及答案
2019高三上海市高三数学竞赛一、填空题（前4小题每题7分，后4小题每题8分，共60分）1、某侦查班有12名战士，其中服务员有3名，现要将这12名战士随机分成3组，分别有3名战士、4名战士、5名战士，那么每一组都有1名报务员的概率 。
2、若直线()0,002>>=+-b a by ax 和函数()1,022≠>+=+c c c y x ，的图像均恒过同一个定点，则ba 11+的最小值为 。
3、若复数z 满足433=++-z z ，则i z +的最大值为 。
4、设等差数列{}n a 的公差为()0≠d d ，前n 项和为n S 。
若数列{}n Sn28+也是公差为d 的等差数列，则数列{}n a 的通项=n a 。
5、如图所示，分别做正四面体ABC P -的平行于四个面的截面，使得ABC P -的四个面都被截成正六边形，截去4个小四面体后得到的多面体记为G ，则四面体ABC P -与多面体G 的表面积比为 ，体积为 。
6、边长为2的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可以围成一个四棱锥，则此四棱锥的体积最大值为 。
7、设a 是实数，关于z 的方程()()0125222=+++-az z z z 有4个互不相等的根，它们在复平面上对应的4个点共圆，则实数a 的取值范围是 。
8、已知[)+∞∈,0,y x ，则xy y x 533-+的最小值为 。
二、解答题（每小题15分，共60分） 9、已知⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0,πB A ，且()B A B A +=sin sin sin ，求A tan 的最大值。
10、设数列{}n a 满足:1321===a a a ，2112019--++=n n n n a a a a ，,...4,3=n 。
求证：数列{}n a 每一项都是正整数。
11、求证不存在无穷多项的素数数列,...,...,,,321n p p p p 使得451+=+k k p p ，,...2,1=k 。
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2016年上海市高三数学竞赛试卷
2016年3月27日上午9：30～11：30
【说明】解答本试卷不得使用计算器．解答请写在答题纸上.
一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）
1． 已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0，a 、b 、c 均为常数),函数f 1(x )的图像与函数f (x )的图像关于y 轴对称，函数f 2(x )的图像与函数f 1(x )的图像关于直线y=1对称，则函数f 2(x )的解析式是 ．
2．复数z 满足|z |=1, w=3z 22
2
z -在复平面上对应的动点W 所表示曲线的普通方程为 ．
3. 关于x 的方程arctan 2arctan 26
x x π
--=
的解是 ．
4. 红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6；则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36，共有 种可能．
5. 已知函数f (x)=cos(),x πg (x )=2x a 1
2
-
(a ≠0);若存在1x 、2x ∈[0,1],使f (1x ) =f (2x )成立，则实数a 的取值范围为 ．
6. 如图，有16间小三角形的房间.甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形的房间，那么他们在不相邻（指没有公共边）房间的概率是 ．（用分数表示）
7. 在空间，四个不共线的向量OA u u u r 、OB uuu r
、
OC u u u r 、OD u u u r
,它们两两间的夹角都是α，则α的大小是 ．
8.已知a >0,b >0,a 3+b 3=1,则a +b 的取值范围为 ．
二、解答题（本大题满分60分）
9．（本题满分15分）如图，已知五边形A 1B 1C 1D 1E 1内接于边长为1的正五边形ABCDE ；
求证：五边形A 1B 1C 1D 1E 1中至少有一条边的长度不小于cos
5
π
．
10．（本题满分15分）设p ，q 和r 是素数，且p |qr 1-(p |qr 1-表示qr 1-能被p 整除)，q |rp 1-和r |pq 1-;求pqr 的所有可能的值．
11．（本题满分15分）已知数列{}n a 满足递推关系111
23
n n n a a +=-+（*n N ∈）;
求所有1a 的值，使{}n a 为单调数列，即{}n a 为递增数列或递减数列.
12．（本题满分15分）已知等边三角形ABC 的边长为5，延长BA 至点P ，使得|AP |=9. D 是线段BC 上一点（包括端点），直线AD 与BPC ∆的外接圆交于E 、F 两点，其中|EA |<|ED |.
(1)设|BD |=x ,试将|EA |-|DF |表示为关于x 的函数f (x );
(2)求f (x )的最小值.
A B
C
D
E
A 1
B 1
C 1
D 1
E 1
A
B
C
D E
F
P
一、填空题
1．2
()2.f x ax bx c =++- 2． 2
2
1.25
y x += 3．2log x =
4．48． 5. 13[,0)(0,]22-U . 6.
1720 7. 1
arccos()3
- 8. 二、解答题
9、已知五边形11111A B C D E 内接于边长为1的正方形ABCDE ；求证：五边形
11111A B C D E 中至少有一条边的长度不小于cos
5
π。
证明：1111111111,,,,,,,,,AE AA BA BB CB CC DC DD ED EE 的长分别为
1212121212,,,,,,,,,a a b b c c d d e e 。
于是1212121212()()()()()5a a b b c c d d e e +++++++++=
由平均数原理，1212121212(),(),(),(),()a a b b c c d d e e +++++必有一个大于等于1。
不妨设121a a +≥，故211a a ≥-。
()()2
222
21112121111322cos
121cos 55
A E a a a a a a a a ππ=+-≥+-+- 2
11222(1cos
)21cos 155a a ππ⎛
⎫
=---+ ⎪⎝
⎭
2
2121122(1cos )1cos
(cos )5225
5a ππ
π⎛⎫⎛⎫
=--++≥ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
10．解：由题设可知|(1)(1)(1)pqr qr rp pq ---；
222(1)(1)(1)()1,qr rp pq p q r pqr p q r pq qr rp ---=-+++++-Q
|1,pqr pq qr rp ∴++-即
11111
pq qr rp pqr p q r pqr
++-=++-为正整数；
记1111,k p q r pqr =
++-由于,,2,p q r ≥故3
1,2
k ≤<从而只能1k =. 由对称性，不妨设p q r ≤≤； 若3,p ≥则111
1,k p q r
<
++≤矛盾，故2p =. 若3,q >则12
5,1,25
q k ≥≤
+<矛盾. 若2,q =则1111
()1,224k r r
=
++->也矛盾，故3q =. 最后，由1111
1,236r r
=
++-得5r =. 经检验，2,3,5p q r ===符合题意. 30pqr ∴=.
11. 解：*1111111
()333,232
n n n n n n n a a n N a a ++++=-
+∈⇔=-⨯+
令3,n
n n b a =则*113636
3,(),()2525
n n n n b b b b n N ++=-
+-=-∈ 1111163636
()()()(3),52525
n n n b b a --+∴-
=--=-- 1111116632121[(3)()]()()()335525352
n n n n n n n b a a a ---=
=+--=+-- 1111222()[()()].2535
n n a --=--+-
若120,5a -
≠则由11222()535n a --<-，可得213
52
1log (),25n a >+-
故当*
,n N ∈且213
52
1log (
)25
n a >+-时，11222()()535n a --+-与125a -同号；
而1
1
()
2
n --正负交叉，从而n a 正负交叉，{}n a 不是单调数列.
当125a =
时，1
21()53
n n a -=为递减数列; 综上，当且仅当12
5
a =
时，{}n a 为单调数列. 12. 解：（1）设,,,u EA v AD DF ω===则()f x u w =-. 在ABD V
中，由余弦定理得，v =
==.
在PBC V 的外接圆中运用相交弦定理，得,,EA AF BA AP ED DF BD DC == 即()45,()(5);u v w u v w x x +=+=-两式相减得2
()545,v u w x x -=-+故
22545()5)x x f x u w x v -+=-==≤≤
（2
）设0t =
≥，则
22
2020()t f x t t t +=
==+≥=.
当且仅当20
t t
=
时等号成立，即t ==x =
所以，当52
x ±=
时，()f x 取到最小值。