八年级勾股定理培优题型归纳总结

勾股定理培优题型归纳总结

一、巧解几何图形折叠问题

折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题就是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律．利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：

(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；

(2)在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来；

(3)利用勾股定理列方程求出x；(4)进行相关计算解决问题．

考点1、巧用对称法求折叠中图形的面积

1、将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED面积．来

【解析】由题意易知AD∥BC，∴∠2＝∠3.

∵△BC′D与△BCD关于直线BD对称，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.∴EB＝ED.

设EB＝x，则ED＝x，AE＝AD－ED＝8－x.在R t△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，

∴42＋(8－x)2＝x2.∴x＝5.

∴DE＝5.∴S∴BED＝1

2DE·AB＝

1

2×5×4＝10.

考点2、巧用全等法求折叠中线段的长

1、如图①是一直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4 cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将图②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，

如图③，则折痕DE的长为()

A.8

3c m B．2 3 c m C．2 2 c m D．3 c m【答案】A

考点3、巧用折叠探究线段之间的数量关系

1、如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC 于点F，连接CE.

(1)求证：AE＝AF＝CE＝CF

(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式．

(1)证明：由题意知，AF＝CF，AE＝CE，∠AFE＝∠CFE，又四边形ABCD是长方形，故

AD∥B C，∴∠AEF＝∠CFE.∴∠AFE＝∠AEF.∴AE＝AF＝EC＝CF.

(2)【解析】由题意知，AE＝EC＝a，E D＝b，DC＝c，由∠D＝90°知，ED2＋DC2＝CE2，

即b2＋c2＝a2

考点4、巧用方程思想求折叠中线段的长

1、如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG.

(1)求证：△ABG≌△AFG；2)求BG的长．

(1)证明：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠D＝∠B＝90°.

∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD＝AF，∠D＝∠AFE＝90°.

∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°.又∵AG＝AG，∴R t△ABG≌R t△AFG(HL)．

(2)【解析】∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG.设BG＝FG＝x，则GC＝6－x，

∵E为CD的中点，∴CE＝DE＝EF＝3，∴EG＝3＋x.

∴在R t△CEG中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2.∴BG＝2.

专题二、勾股定理求最短路径长度问题

求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)．

考点1、通过计算比较解最短问题

1、小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题：

(1)求A，C之间的距离．(参考数据：21≈4.6)

(2)若客车的平均速度是60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为40 km/h，“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间)

【解析】(1)如图，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E.

∵∠ABC＝120°，∴∠BCE＝30°.在R t△CBE中，∵BC＝20 km，∴BE＝10 km.

由勾股定理可得CE＝10 3 km.

在R t △ACE 中，∵AC 2＝AE 2＋CE 2＝(AB ＋BE )2＋CE 2＝8 100＋300＝8 400，

∴AC ＝2021≈20×4.6＝92(km )．

(2)选择乘“武黄城际列车”．理由如下：乘客车所需时间为8060＝113

(h )， 乘“武黄城际列车”所需时间约为92180＋2040＝1190(h )．∵113>1190

，∴选择乘“武黄城际列车”． 2、如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A 走到B ，为了避免拐角C 走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m )，却踩伤了花草．

【答案】4

考点2、用平移法求平面中最短问题

1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm ，30 cm ，10 cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只壁虎，它想到B 点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，至少需爬( )

A ．13 cm

B ．40 cm

C ．130 cm

D ．169 cm

【解析】将台阶面展开，连接AB ，如图，线段AB 即为壁虎所爬的最短路线．

因为BC ＝30×3＋10×3＝120(c m )，AC ＝50 c m ，在R t △ABC 中，根据勾股定理， 得AB 2＝AC 2＋BC 2＝16 900，所以AB ＝130 c m .所以壁虎至少爬行130 c m .

2、如图，已知∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E ＝90°，且AB ＝CD ＝3，BC ＝4，DE ＝EF ＝2，则AF