符号检验和符秩检验

H0: =0.5。
计 • 建立原假设为真前提下的下列检验统计
量：
学
Z P 0.5 ~ N (0,1)
0.25
n
天津财经大学 统计学系
三、威尔科克森配对符号秩检验
统 • 以上所介绍的两总体情形下符号检验方法，
用配对观测之间差别的符号进行检验，而不
计
注重差别的大小，因此对资料的利用不够充 分。
学
天津财经大学 统计学系
• 如果改革没有引起居民经济情况的变 化，那么居民经济情况的前后差异就
统
完全是由于各种随机因素的影响形成
的（假定其它重要的影响因素都已控
计
制不变），于是正差值的个数与负差
值的个数会大体相等。
学 • 把0差值舍去后，对总体（正差值与负 差值组成的总体）作独立重复贝努里
试验，每次试验出现正号的概率是
统 • 取正差值的个数,近似服从正态分布， 所以通常可以将其标准化为标准正态变
计 量，作为检验统计量。 • 建立原假设为真前提下的下列检验统计
学 量：
Z 0.5n ~ N (0,1)
0.25n
天津财经大学 统计学系
二、两总体问题的符号检验
• 两总体符号检验适用于检验配对样本情
统
形下，两总体分布在位置特征上是否有
统
符号检验与符秩检验
计
学
主讲人：杨贵军 教授
天津财经大学 统计学系
主要内容
统 • 单总体问题的符号检验 计 • 两总体问题的符号检验
• 威尔科克森配对符号秩检验 学
天津财经大学 统计学系
一、单总体问题的符号检验
• 单总体符号检验适用于检验总体中位数 统 是否在某一指定位置。
• 检验时，可根据样本中正号的数目来决 计 定是否拒绝原假设：
天津财经大学 统计学系
• 相反，如果中等水平假定偏低，则正差 统 值的个数会比负差值的个数多。
计
• 如果中等水平假定偏高，则正差值的个 数会比负差值的个数少。
学 • 对正差值与负差值组成的总体作独立重 复贝努里试验，每次试验出现正号的概
率是 >0.5。
天津财经大学 统计学系
• 检验所针对的原假设是： H0:中等水平居民的经济状况为y0
=0.5。
天津财经大学 统计学系
• 相反，如果改革引起了居民经济情况的 统 明显好转，则正差值的个数会比负差值
的个数多。
计 • 对正差值与负差值组成的总体作独立重
学
复贝努里试验，每次试验出现正号的概
率是 >0.5。
天津财经大学 统计学系
• 检验所针对的原假设是：
H0:改革没有引起居民经济情况的变化 统 （总体X与Y没有差别），或等价地：
天津财经大学 统计学系
• 如果中等水平假定合理，那么居民经
济情况的差异就完全是由于各种随机
统
因素的影响形成的（假定其它重要的
影响因素都已控制不变），于是正差
计
值的个数与负差值的个数会大体相等。
• 把0差值舍去后，对总体（正差值与负
学
差值组成的总体）作独立重复贝努里
试验，每次试验出现正号的概率是
=0.5。
• 当配对观测之间的差别可以从数量上来测定 时，威尔科克森（Wilcoxon）配对符号秩检
验比符号检验更有效 。
天津财经大学 统计学系
具体做法是：
统 • 首先，将样本配对观测之间的差di= yi xi按
计
其绝对值| di |大小递增排列，并从1至n给以 秩次。
• 如果出现0差值项，就略去该项，对这样的
将其标准化为标准正态变量，作为检验
学 统计量。即
Z 0.5n ~ N (0,1)
0.25n
天津财经大学 统计学系
• 假设某地区居民在经济改革后的经济状
况记作变量Y。中等水平居民的经济状
统
况记作y0
计
• 第i户居民改革后的经济状况分别为yi。 二者之间的变化记作di= yi y0 。
学
• 现在不关心具体数值，只关心它的为正 号的个数。
计
Z T E(T )
学
V (T )
天津财经大学 统计学系
• 若 n 不够大，T 的临界值可由附表 6 来 统 确定。该表所给出的是，对一定的 n 和
计
，满足关系式 P ( T T ) 的值。
• 在单尾检验时若T T ，在双尾检验时
学
若T T/2 ，就拒绝原假设。
天津财经大学 统计学系
• 假若样本中正号与负号的数目大体相等， 学 这时没有理由拒绝原假设，也就是说，
总体中中位数等于0的假设有可能是对
的；
天津财经大学 统计学系
• 如果出现了太少的正号，认为样本可能
来自中位数小于0的总体；
统
• 如果出现了太多的正号，认为样本可能
来自中布，所以通常可以
• 在原假设成立的前提下，威尔科克森T 统计量的数学期望和方差分别是：
统
计
E(T ) n(n 1) 4
学
V (T ) n(n 1)(2n 1) 24
天津财经大学 统计学系
• 当n≥25时（n是正负号的总数，不包括0 差值项数），威尔科克森T统计量近似服
统 从正态分布。这时，可构造Z统计量
• 为检验两总体平均水平是否有差异，可建立 原假设 H0: ∑秩(+)与∑秩()
统
• 这一假设表明，在差数总体D中，正差和负
计
差不仅个数相同，而且在均值0的两侧对称分 布。
学
• 也就是表明，总体X与Y没有差异。两个秩中 较小的一个，通常称作威尔科克森T统计量，
将其作为检验统计量。
天津财经大学 统计学系
学 项不给秩次，并相应地减少样本量n；
• 如果出现差值相同的项，则用这些项所在位 置的秩次的简单算术平均数来代替原来的秩 次。
天津财经大学 统计学系
统
• 其次，对每个秩次按照di的正负号赋以正 负号。
计
• 再次，分别对正号秩与负号秩计算秩和， 所得之秩和不带正负号，记作∑秩(+)与∑
学
秩() 。
天津财经大学 统计学系
差异。
计 • 所谓配对样本，是指对每一个观测单元
学
（个体）作两次观测。
天津财经大学 统计学系
• 假设某地区居民在经济改革前的经济状
况记作变量X，改革后的经济状况记作 统 变量Y。第i户居民改革前后的经济状况
计
分别为xi，yi。二者之间的变化记作di= yi xi。
学
• 请注意，现在我们不关心具体数值，只 关心它的符号。