概率论第四章_课件2

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例4.3.4.(X,Y)的联合概率分布为:
X Y -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8
求 X,Y 的相关系数ρXY. 解:
E[g(X ,Y )]
g( xi , y j ) pij
ij
故 E(X )
xi pij =0
ij
所以 Cov(X,Y)=EXY-EXEY=0
亦即 ρXY=0
第4.4节 矩、协方差矩阵
定义 4.4.1 设 X 和Y 是随机变量，若 E( X k ) , k 1,2, 存 在，则称它为 X 的 k 阶原点矩，简称 k 阶矩。
若 E X E(X)k ,k 1,2, 存在，则称它为 X 的 k 阶中心矩。
1
2
1 2
Cov( X ,Y ) EXY EX EY 0.
从而， ρXY = 0, 故 X, Y 不相关。
另一方面，对于任一满足0<a<1的实数a，都有
a1 1
P{X a} dx (a 1) 1,
1 2
2
P{Y a} P{ X a} a 1dx a
所以

DX Cov(
X
,Y
)
Cov( X ,Y DY
)



1 1
11
§4.5 条件期望
（1）离散型情况下：
设 ( X ,Y ) 为二维离散型随机变量，在 X xi 的条件下Y 的

条件分布律为 PY | X xi，则称 yj P Y yj | X xi
（3） CovX1 X 2 ,Y CovX1,Y CovX 2 ,Y
注： D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2Cov( X，Y ) D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2Cov( X，Y )
定义 4.3.2
XY
|ρXY|= 1 时，X, Y 之间具有线性关系。
相关系数的计算：
XY

EXY DX
EXEY DY
例.4.3.3
随机向量(X,Y)~f(x,y)=
1
(
x

y)
8
0 x2
0
y2
求X,Y的相关系数ρXY.
0
其它

解:
E[g( X ,Y )] g( x, y) f ( x, y)dxdy
（2）再证明当 XY 1 时， X 与 Y 线性相关。
性质5：D(X)=0
P{X=E(X)}=1
若ρXY = -1, 则
D
X D( X )
Y D(Y )


2 2 XY

0
所以, 有
X D( X )
Y D(Y )

c, 这里c

E

X D( X )
Y D(Y
定理 4.3.1 设 XY 是随机变量 X 与 Y 的相关系数，则有 （1） XY 1
（2） XY 1 充要条件为 PY aX b 1,(a,b为常数,
且a 0)
证明 (1) XY 1.
0 D
X D( X )
Y D(Y )
[[
=EE(XX-EEXX)22+EY(Y-EEYY)22+22EX[(XE-EX XY)(YE-EYY)]
D(X ) D(Y ) 2E[(X E(X ))(Y E(Y ))] D(X ) D(Y ) 2[E(XY ) E(X ) E(Y )]
CovX ,Y DX DY

称为随机变量
X
和Y
的
相关系数。
定义 4.3.3 若 XY 0 ，则称 X 与Y 不相关。
说明：
X, Y 独立
EXY EX EY
Cov( X ,Y ) 0 XY 0 X与Y不相关
注意 : X, Y 不相关, 不一定有 X, Y 相互独立.
所以： XY 1.
0 D
X D( X )
Y D(Y )
，

2

2COV

X, D( X )
Y D(Y
)


2

2
XY
所以： XY 1
综上： XY 1
（2）先证明当 X 与 Y 线性相关时， XY 1 。
若 X 与Y 之间存在线性关系，即Y aX b a 0。
cij COV Xi,X j E Xi E( Xi ) X j E( X j ) , ( i, j 1, 2, ,n )
都存在，则称
c11 c12 c1n
C

c21

cn1
c22 cn2

c2n cnn
yf ( x, y)dxdy =7/6 EY 2 =5/3

所以, DX=11/36, DY=11/36
E(XY )

( xy) f ( x, y)dxdy

2
21 xy ( x y)dxdy
=4/3

00 8
XY (EXY EXEY )
DX DY 1
{或者 E( X ) xi pi =0}
i
E( X 2 )
xi 2 pij =3/4
ij
{或者 E( X 2 ) xi 2 pi =3/4}
i
同理 EY=EX=0
EY2=EX2=3/4
另一方面
E( XY )
( xi y j ) pij
ij
=1/8-1/8-1/8+1/8 =0
注：
D(X Y ) D(X ) D(Y ) 2Cov(X，Y )
3.计算
(1)若(X,Y)为离散型随机向量,
P(X=xi,Y=yj)=pij , (i, j=1,2…), 则
Cov( X ,Y )
( xi EX )( y j EY ) pij
ij
(2)若(X,Y)为连续型随机向量, (X,Y)~f(x,y), 则

Cov( X ,Y ) ( x EX )( y EY ) f ( x, y)dxdy
注意

一般地,常用计算方法为:
重
Cov( X，Y ) E( XY ) E( X )E(Y )
点
例 4.3.1 二维随机变量( X ,Y ) 的联合概率密度为
f
x,
y
若 E(X kY l ) ,k,l 1,2, 存在，则称它为 X 和Y 的
k l 阶混合原点矩。
若 E X E(X)k Y E(Y) l ,k,l 1,2, 存在，
则称它为 X 和Y 的k l 阶混合中心矩
随机向量的协方差矩阵
设 n 维随机变量( X1 , X2 , , Xn ) 的二阶混合中心矩
a 2
因此，有0 P{X a} 1, P{Y a} 0.
因而， F(a,a) P{X a,Y a} P{X a, X a} P{ X a}
P{Y a} P{ X a} P{Y a} FX (a)FY (a)
所以，X 与 Y 不相互独立。
则有
CovX ,Y CovX , aX b CovX , aX CovX , b aCovX , X aDX
DY DaX b a2DX
XY
CovX ,Y DX DY

a a
1
所以： XY 1.
例4.3.2 设 X 在区间[-1,1]上服从均匀分布， Y=|X|。试证明：X与Y不相关，但不相互独立。
证明：先证不相关性。 由已知，X的概率密度为
f
(
x)


1 2
,
0,
1 x 1； 其它。
因此，
1
1
11
E( XY ) E( X X ) x | x | dx 0, EX x dx 0,
性质（4）若X与Y相互独立, 则 D(X+Y)=DX+DY
证证明明：：DDX(X+YY )=EE{[X(X+YY)-EE(XX+Y)]22}
= E{[(X-EX)+(Y-EY)]2}
=EE {X(X-EEXX)2+(YY-EEYY)2+22 [(X-EX)(Y-EY)]}
)
.
若ρXY = 1, 则
D
X D( X )
Y D(Y )


2 2 XY
0
所以, 有
X D( X )
Y D(Y )

d ,这里d

E
X D( X )
Y D(Y
)
.
小结:
|ρXY| 的大小反映了X, Y之间线性关系的密切程度:
|ρXY | = 0 时，X, Y 不相关, 无线性关系; 0< |ρXY | < 1 时， X, Y 之间有一定程度的线性关系；
DD((XX) DD((XX)
)
])2]2[
D(DY(Y) ) [ D(DY(Y) ]2)
]2
2C2OCVOV
DX( XDX)( ,X
,Y Y )D(YD) (Y
)

2222 DD((XX)1)1D(DY(Y) )COCVO(VX(，XY，)Y)222X2Y XY
j1
为在 X xi 的条件下,Y 的条件期望。记为 EY | X xi 。
（2）连续型情况下：
设二维连续型随机变量( X ,Y ) 在 X x 的条件下Y 的条件
概率密度为 fY|X ( y | x ) ，则称
EY | X x

yfY|X ( y | x )dy

1, 0,
求： Cov( X ,Y )
0 x 1, 0 y 1
其它
解

11
1
1
E(X)
xf ( x, y)dxdy xdxdy xdx

00
0
2
同理 EY 1
2
EXY


xyf
x,
y dxdy
11
1
1
1
xydxdy xdx ydy

00
0
0
4
故 Cov( X，Y ) E( XY ) E( X )E(Y ) 1 1 1 0
4 22
Baidu Nhomakorabea
2、性质：（1） Cov( X ,Y ) Cov(Y , X )
（2） Cov(aX , bY ) abCov( X ,Y ) ( a, b 是常数)

E(X )

xf ( x, y)dxdy
2
2 x 1 ( x y)dxdy
=7/6

00 8
E(X 2 )


x
2
f
(
x,
y)dxdy


2 2 x2 1 ( x y)dxdy =5/3
00 8

同理由对称性: E(Y )
为
n
维随机变量
X1 , X2 , , Xn 的协方差矩阵。
特别地：对二维 随机向量(X,Y)有协方差矩阵为:

DX Cov(
X
,Y
)
Cov( X DY
,Y
)

例 设X~N(0,1), Y~N(0,1), D(X-Y)=0,求(X,Y)的协差阵.
解: 由题意得: DX=DY=1, D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=2-2Cov(X,Y) =0 故 Cov(X,Y)=1
x
1
e |x|dx

0
2
EX 2


x
2

1
e |x|dx

x2exdx 2

2
0
所以： DX EX 2 (EX )2 2
为在 X x 的条件下关于Y 的条件期望。
作业： P130: T13（其中E(X,Y)改为求E(XY)）;
T14, T18, T19
第四 章
4．设随机变量 X 的密度函数为
f x 1 e x
2
x
求 EX 和 DX 。
解：
EX

X 和Y 相互独立，由上一节数学期望的性质（4）知
E( XY ) E( X )E(Y ) 0
于是
第4.3节 协方差及相关系数
1.定义 E[(X-EX)(Y-EY)] 称为 X 和 Y 的协方差, 记作：Cov(X, Y), 即
Cov( X,Y ) E( X EX )(Y EY )