概率论第四章_课件2
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最新湘教版九年级数学下册第4章概率PPT

使盒中黄球和白球的数目相同.
1、4个红球、3个白球、2个黑球放入一个不透明的袋子里,从
中摸出8个球,恰好红球、白球、黑球都摸到,这件事情是( D)
A.随机事件 B.不可能事件 C.很可能事件 D.必然事件
2、下列事件中是必然事件的是( A ).
A.早晨的太阳一定从东方升起 B.佛山的中秋节晚上一定能看到月亮 C.打开电视机,正在播少儿节目 D.张琴今年14岁了,她一定是初中学生
由于两种球的数量不等,所以摸出白球的可能性小。
一般地,随机事件发生的可能性是有大小的, 不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
1、如图,标有四种颜色的转盘,甲、乙两人 做转盘游戏,每人转动一次转盘,规定指针 黑 红 落在红色区域则甲胜,落在黑色区域则乙胜, 白 绿 这游戏公平吗?谈谈你的理由。
0
1、判断以下必然事件、随机事件、不可能事件
(1)通常加热到100℃时,水沸腾。必然事件 (2)篮球队员在罚球线上准备投篮,未投中。随机事件 (3)掷一次骰子,向上的一面是6点。 随机事件 (4)度量三角形的内角和,结果是360°。不可能事件 (5)经过一个有交通信号灯的路口,遇到红灯。随机事件 (6)某射击运动员射击一次,命中靶心。 随机事件 (7)有一匹马奔跑的速度是70千米/分钟。不可能事件 (8)在装有3个球的布袋里一次摸出4个球。不可能事件 (9)13个人中,至少有两个人出生的月份相同;必然事件 (10)明年我市10月1日的最高气温是三十摄氏度。随机事件 (11)抛掷三枚硬币,全部正面朝上。 随机事件 (12)水温达到100摄氏度, 水就沸腾。 随机事件 (13) 在地球上抛向空中的铅球会下落。 必然事件 (14) 三个人性别各不相同。不可能事件
答:不公平。 转盘中,红色区域的面积比黑色区域的面积大, 指针落在红色区域的可能性比落在黑色区域的可能性大, 因此,甲获胜的可能更大。
1、4个红球、3个白球、2个黑球放入一个不透明的袋子里,从
中摸出8个球,恰好红球、白球、黑球都摸到,这件事情是( D)
A.随机事件 B.不可能事件 C.很可能事件 D.必然事件
2、下列事件中是必然事件的是( A ).
A.早晨的太阳一定从东方升起 B.佛山的中秋节晚上一定能看到月亮 C.打开电视机,正在播少儿节目 D.张琴今年14岁了,她一定是初中学生
由于两种球的数量不等,所以摸出白球的可能性小。
一般地,随机事件发生的可能性是有大小的, 不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
1、如图,标有四种颜色的转盘,甲、乙两人 做转盘游戏,每人转动一次转盘,规定指针 黑 红 落在红色区域则甲胜,落在黑色区域则乙胜, 白 绿 这游戏公平吗?谈谈你的理由。
0
1、判断以下必然事件、随机事件、不可能事件
(1)通常加热到100℃时,水沸腾。必然事件 (2)篮球队员在罚球线上准备投篮,未投中。随机事件 (3)掷一次骰子,向上的一面是6点。 随机事件 (4)度量三角形的内角和,结果是360°。不可能事件 (5)经过一个有交通信号灯的路口,遇到红灯。随机事件 (6)某射击运动员射击一次,命中靶心。 随机事件 (7)有一匹马奔跑的速度是70千米/分钟。不可能事件 (8)在装有3个球的布袋里一次摸出4个球。不可能事件 (9)13个人中,至少有两个人出生的月份相同;必然事件 (10)明年我市10月1日的最高气温是三十摄氏度。随机事件 (11)抛掷三枚硬币,全部正面朝上。 随机事件 (12)水温达到100摄氏度, 水就沸腾。 随机事件 (13) 在地球上抛向空中的铅球会下落。 必然事件 (14) 三个人性别各不相同。不可能事件
答:不公平。 转盘中,红色区域的面积比黑色区域的面积大, 指针落在红色区域的可能性比落在黑色区域的可能性大, 因此,甲获胜的可能更大。
概率与统计第4章 ——概率论课件PPT

定理 4.1: 设 =g(X), g(X) 是连续函数, 若 X的分布律为 pk P{ X xk }
且 pk g( xk ) 绝对收敛,则 k 1
E() g( xk ) pk k 1 14
定理4.1的重要性在于计算随机变量的函数 Y=g(X)的数学期望E[g(X)]时,不必求出随 机变量Y的分布律,可由随机变量X的分布 律直接计算E(Y),应用起来比较方便。
随机变量的概率分布完整地描述了随机变量 的统计规律,但是在实际问题中求得随机变量 的概率分布并不容易,而且对某些问题来说, 只需要知道它的某些特征就够了,不一定非要 求出概率分布。
我们把刻画随机变量某些方面特征的数值 称为随机变量的数字特征。本章主要有: 数学期望,方差,协方差,相关系数和矩。
2
4.1 数学期望
0
1 20
1
2 20
9 2 10 20
1 20
10 i0
xi
fi
以频率为权数的加权平均
3
引例 2:某班有 N 个人,其中有 ni 个人为 ai
k
分, i 1,2,k , ni N , 求平均成绩。
i 1
解: 平均成绩为:
1 N
k
ai ni
i 1
k
ai
i 1
ni N
若用 X 表示成绩,则
设连续型随机变量X的概率密度为f(x),
若积分 xf (x)dx 绝对收敛,则称积分
xf ( x)dx 的值为X的数学期望。
记为E(X) = xf ( x)dx
数学期望也称为均值。
19
例4.4 设随机变量X 的密度函数为
f
x
x
2
e
x2 2 2
且 pk g( xk ) 绝对收敛,则 k 1
E() g( xk ) pk k 1 14
定理4.1的重要性在于计算随机变量的函数 Y=g(X)的数学期望E[g(X)]时,不必求出随 机变量Y的分布律,可由随机变量X的分布 律直接计算E(Y),应用起来比较方便。
随机变量的概率分布完整地描述了随机变量 的统计规律,但是在实际问题中求得随机变量 的概率分布并不容易,而且对某些问题来说, 只需要知道它的某些特征就够了,不一定非要 求出概率分布。
我们把刻画随机变量某些方面特征的数值 称为随机变量的数字特征。本章主要有: 数学期望,方差,协方差,相关系数和矩。
2
4.1 数学期望
0
1 20
1
2 20
9 2 10 20
1 20
10 i0
xi
fi
以频率为权数的加权平均
3
引例 2:某班有 N 个人,其中有 ni 个人为 ai
k
分, i 1,2,k , ni N , 求平均成绩。
i 1
解: 平均成绩为:
1 N
k
ai ni
i 1
k
ai
i 1
ni N
若用 X 表示成绩,则
设连续型随机变量X的概率密度为f(x),
若积分 xf (x)dx 绝对收敛,则称积分
xf ( x)dx 的值为X的数学期望。
记为E(X) = xf ( x)dx
数学期望也称为均值。
19
例4.4 设随机变量X 的密度函数为
f
x
x
2
e
x2 2 2
概率论课件第四章

二项分布
描述$n$重伯努利试验中成功次数的概率分 布。
泊松分布
用于描述单位时间或空间内事件发生的次数 的概率分布。
常见的连续概率分布
正态分布
描述自然界中许多现象的分布情况,具有钟 形曲线的特点。
均匀分布
在一定范围内的取值概率均相等的分布。
期望和方差
期望是随机变量取值的加权平均值,反映了随机变量的平均水平。 方差是随机变量取值与其期望之差的平方的加权平均值,反映了随机变量的离散程度。
概率论课件第四章
本章将回顾概率论的基础知识,包括实验、样本空间和事件,概率和频率, 离散和连续概率分布,以及期望和方差。
实验、样本空间和事件
在概率论中,实验是指可以重复进行的过程,样本空间是实验所有可能结果的集合,事件是样本空间中 的一个子集。 通过对实验和事件的定义,我们可以定量地描述事件的发生概率。
概率和频率
概率是事件发生的可能性的度量,通常用数字表示。 频率是事件在多次独立重复实验中发生的相对次数,随着实验次数增多,频 率逐渐趋近于概率值。
离散和连续概率分布
离散概率分布用于描述离散型随机ห้องสมุดไป่ตู้量的取值及其对应的概率。 连续概率分布用于描述连续型随机变量的取值及其对应的概率密度函数。
常见的离散概率分布
概率论第四章

1
1
2 1 x 6 x 2 ydy dx 0 0
2 3 4
2 12 x 2 x x d x ; 0 5
19
E XY
xyf x, y dxdy.
2 1 x 2 2 6 x y dy dx 0 0 1
28
例设随机变量X服从参数为1的指数分布,求 E{ X e 2 X }
解 X的密度函数为
e , ( x 0) f ( x) EX 1 0, ( x 0) 2 X 2 X 所以 E( X e ) EX E(e )
x
而
E (e
所以
f ( x)dx 1 3 x e dx 0 3 4 2 X E( X e ) 3
(4)
如果 X 与 Y 相互独立,则
E XY E X E Y .
25
证明 (2)连续型 设X~f(x),则 E (CX)
Cxf ( x )dx
C
xf ( x )dx CE(X)
(3)离散型 设(X,Y)联合分布为 P(X=xi,Y=yj)=pij ,(i,j=1,2…)
g ( x, y) f ( x, y)dxdy 绝对收敛,
则:EZ=
g ( x, y) f ( x, y)dxdy 。
15
例 设离散型随机变量X 的分布列为 X -1 0 2 3
Pk
1 8
1 4
2
3 8
1 4
试计算:E X , E X
和 E 2 X 1 。
概率论基础第四章ppt

P{ X k}
k
e
k 0,1, 2, , 0
X 的数学期望为 x ab E ( X ) xf ( x)dx dx ba 2 a
b
即数学期望是区间[a, b]的中点. 例4.5已知随机变量 X ~ e( ) 。求数学期望 E ( X ). 解: X 的概率密度为 e x x 0 f ( x) x0 0
概率论
第四章 随机变量的数字特征与特征函数
随机变量的数学期望 随机变量的方差 随机变量的矩与中位数 随机变量间的协方差与相关系数 熵与信息 随机变量的特征函数 小结与练习
二、数学期望的定义 离散型随机变量 Def 设离散型随机变量的概率分布为
P( X xi ) pi
b
例4.11已知随机变量 X ~ N ( , 2 )。求方差 D( X ).
解: X 的概率密度为 f ( x)
1 e 2 ( x )2 2 2
xR
易知数学期望为 E ( X ) 所以,随机变量X 的方差为
D( X ) ( x )
t x 2 1 e 2 ( x )2 2 2
k! X 的数学期望为 k e k 1 E( X ) k e e e k! k 0 k 1 ( k 1)! 即 E( X ) 例4.4已知随机变量 X ~ U (a, b) 。求数学期望 E ( X ). 解: X 的概率密度为 1 a xb f ( x) b a 0 其它
k!
k e
k!
k! k! k 0 k e k (k 1) 2e e 2 k! k 2 而已知 E( X ) 所以,X 的方差为 D( X ) E ( X 2 ) -[ E ( X )]2
《概率论第四章》PPT课件

2 2a
所以 f(s,t)4
1 a2
s2t2
e4a22
2
1对概念的理解:
描述随机变量X波动大小的量( B )
(A)数学期望EX
(B)方差DX
(C)X的分布函数F(x) (D)X的密度函数f(x)
设 X~N(μ,σ2),在下列哪种情况下的概率密度曲
线比较平缓(D )
(A) 较小 (B) 较大 (C) 较小 (D) 较大
一、协方差与相关系数的概念及性质
1. 问题的提出
若随机 X和 Y 变 相量 互 ,那 独么 立
D (X Y ) D (X ) D (Y ).
若随机X变 和Y 量 不相互独立
D(XY)?
D (X Y ) E { (X Y ) E (X Y ) } 2
D ( X ) D ( Y ) 2 E { [ X E ( X ) ] [ Y E ( Y ) ] } .
《概率论第四章》PPT课 件
2随机变量函数的数学期望
(1)离散型随机变量函数的数学期望
若 Y=g(X), 且 P { X x k } p k ,k 1 ,2 , ,
则有
E(g(X)) g(xk)pk.
k1
(2)连续型随机变量函数的数学期望
若 X 是连续型的,它的分布密度为 f (x) , 则
由方差性质知
P { Y ( a 0 b 0 X ) 0 } 1 ,或 P { Y a 0 b 0 X } 1 .
例4.4.3 设X和Y 是相互独立的随,都 机服 变从 量
正态分N布(0,2),又 aXbY,aXbY (1) 求 与的相关系数 (2) 问, 是否相关?是否独立? (3) 当, 相互独立,求时(,)的联合密度函数
概率论与数理统计(浙大版)第四章课件PPT课件

10
10
10
x
14166.7(元)
第15页/共84页
数学期望的特性:
1.设C是常数,则有E(C) C 2.设X是一个随机变量,C是常数,则有E(CX ) CE(X )
3.设X ,Y是两个随机变量,则有E(X Y) E(X ) E(Y)
将上面三项合起来就是:E(aX bY c) aE(X ) bE(Y) c 4.设X ,Y是相互独立的随机变量,则有E(XY) E(X )E(Y)
其余同理可得,于是Y的分布率为:
期望利润Y 是多少 2? 0
5 10
pk 0.057 0.205 0.410 0.328
于是 E(Y ) 5.21( 6 万元)
第6页/共84页
例5:设 X (),求E(X )。
解:X的分布律为:P(X k) ke k 0,1,
k! X的数学期望为:
E( X ) k ke
第1页/共84页
§1 数学期望
例1:甲、乙两人射击比赛,各射击100次,其中甲、乙的
成绩
如下:
甲 8 9 10
次数 10 80 10
乙 8 9 10
次数 20 65 15
解:计算评甲的定平他均成们绩的:成
绩
好
810
坏。
980 100
1010
8
10 100
9
80 100
10
10 100
9
计算乙的平均成绩:
也称为均值(加权均值)。
第2页/共84页
定义:设离散型随机变量X的分布律为:P( X xk ) pk k 1, 2,
若级数 xk pk绝对收敛,则称级数 xk pk的和为随机变量X
k 1
九年级数学下册 第4章《概率》课件 (新版)湘教版

(1)指针指向红色;
(2)指针指向Байду номын сангаас色或黄色;
(3)指针不指向红色.
概率的定义: 一般地,对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可 能性大小的数值,称为随机事件A发生的概率,记作 P(A)。
3.把分别写有数字1,2,3,4,5,五张一样的小 纸片.捻成小纸团放进盒子里,摇匀后,随机取一个小 纸团试问? (1)取出的序号可能出现几种结果. 每一个小纸团出现的可能性一样吗? (2)"取出3"是什么事件?它的概率是多少?
确定事件
事件
随机事件
必然发生的事件 不可能发生的事件
定义:在一定条件下,有可能发生也有可 能不发生称为随机事件
特征:事先不能预料即具有不确定性。
知识是座山,只要肯登攀。
第4章 概率
第4章 概率
1.从分别标有1,2,号的2根纸签中随机地抽取一根,抽
出的签上的号码有2种可能即 1,2由于纸签的形状、大小相
(1)打开电视机,它正在播新闻 ;(2)掷一枚均匀的骰子,骰子停止转动后朝上的点数是 7;
(3)气温低于 0 ℃,水会结冰;
(4)抛出的球会下落 ;(5)纸放到火上,纸会被点燃; (6)放在冰箱里的食物永不变质 (;7)射箭演习时,箭正中靶心 (;8)小明买了一张电影票,座位号恰好是偶数 ;(9)买彩票,中了头等奖 (;10)口袋里有一个红球和一个白球,随意摸出两个球的颜色相同
思路:判断一个事件是哪种事件,就看它是否可能发生, 事件的结果是相应于“一定条件”而言的.
自主解答:(1)打开电视机,它正在播新闻是随机事件. (2)掷一枚均匀的骰子,骰子停止转动后朝上的点数是 7 是 不可能事件. (3)气温低于 0 ℃,水会结冰是必然事件. (4)抛出的球会下落是必然事件. (5)纸放到火上,纸会被点燃是必然事件.
(2)指针指向Байду номын сангаас色或黄色;
(3)指针不指向红色.
概率的定义: 一般地,对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可 能性大小的数值,称为随机事件A发生的概率,记作 P(A)。
3.把分别写有数字1,2,3,4,5,五张一样的小 纸片.捻成小纸团放进盒子里,摇匀后,随机取一个小 纸团试问? (1)取出的序号可能出现几种结果. 每一个小纸团出现的可能性一样吗? (2)"取出3"是什么事件?它的概率是多少?
确定事件
事件
随机事件
必然发生的事件 不可能发生的事件
定义:在一定条件下,有可能发生也有可 能不发生称为随机事件
特征:事先不能预料即具有不确定性。
知识是座山,只要肯登攀。
第4章 概率
第4章 概率
1.从分别标有1,2,号的2根纸签中随机地抽取一根,抽
出的签上的号码有2种可能即 1,2由于纸签的形状、大小相
(1)打开电视机,它正在播新闻 ;(2)掷一枚均匀的骰子,骰子停止转动后朝上的点数是 7;
(3)气温低于 0 ℃,水会结冰;
(4)抛出的球会下落 ;(5)纸放到火上,纸会被点燃; (6)放在冰箱里的食物永不变质 (;7)射箭演习时,箭正中靶心 (;8)小明买了一张电影票,座位号恰好是偶数 ;(9)买彩票,中了头等奖 (;10)口袋里有一个红球和一个白球,随意摸出两个球的颜色相同
思路:判断一个事件是哪种事件,就看它是否可能发生, 事件的结果是相应于“一定条件”而言的.
自主解答:(1)打开电视机,它正在播新闻是随机事件. (2)掷一枚均匀的骰子,骰子停止转动后朝上的点数是 7 是 不可能事件. (3)气温低于 0 ℃,水会结冰是必然事件. (4)抛出的球会下落是必然事件. (5)纸放到火上,纸会被点燃是必然事件.
人教B版高中数学选择性必修第二册精品课件 第四章 概率与统计 第2课时 全概率公式与贝叶斯公式

解为若干个简单事件的概率计算问题,最后利用概率的可加性求出最终结
果.用树状图表示如下:
【变式训练2】 袋中有大小相同的a个黄球、b个白球.现不放回地摸球两
次,每次摸出1个球,问第2次摸到黄球的概率是多少?
解:设A表示第2次摸到黄球,B表示第1次摸到黄球,则
-1
P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=+ ·
被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,则该飞行物必定被击落,求
该飞行物被击落的概率.
解:设A表示该飞行物被击落,Bi表示该飞行物被i人击中,i=1,2,3,所以
P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,
P(A|B3)=1,且A=B1A+B2A+B3A.
设Hi表示该飞行物被第i人击中,i=1,2,3,
1
1
2
2
2×0.02
3
2×0.02+1×0.01=0.8.
3
3
【规范解答】
全概率公式的应用
【典例】 采购员要购买10个一包的电器元件.他的采购方法是:从一包中
随机抽查3个,若这3个元件都是正品,则他才买下这一包.假定含有4个次品
的包数占30%,而其余包中各含有1个次品.求采购员拒绝购买的概率.
审题策略 设出各相关事件,根据题意得到各相关事件的概率,把所求概率
B 表示该员工为女员工,
则
12+24
P(A)= 50
=
18
10+4
,P()=
25
50
=
7
,且
25
12
P(B|A)=12+24
概率论与数理统计教程第四章优秀PPT

k1
0.5 npq
np
注 意 点 (2)
中心极限定理的应用有三大类: i) 已知 n 和 y,求概率; ii) 已知 n 和概率,求y ; iii) 已知 y 和概率,求 n .
一、给定 n 和 y,求概率
例4.4.3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组 成一个系统,求系统中至少有85个部件工作的概率.
n
n
p
1
4.2.2 常用的几个大数定律
大数定律一般形式:
若随机变量序列{Xn}满足:
nlim
P
1 n
n
i 1
Xi
1 n
n
E(Xi)
i 1
1
则称{Xn} 服从大数定律.
切比雪夫大数定律
定理4.2.2
{Xn}两两不相关,且Xn方差存在,有共 同的上界,则 {Xn}服从大数定律. 证明用到切比雪夫不等式.
依概率收敛的性质
定理4.3.1 若 Xn P a, Yn P b
则{Xn}与{Yn}的加、减、乘、除 依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.
4.3.2 按分布收敛、弱收敛
对分布函数列 {Fn(x)}而言,点点收敛要求太高.
定义4.3.2 若在 F(x) 的连续点上都有
nlim Fn(x) F(x) 则称{Fn(x)} 弱收敛于 F(x) ,记为
§4.3 随机变量序列的两种收敛性
两种收敛性: i) 依概率收敛:用于大数定律; ii) 按分布收敛:用于中心极限定理.
4.3.1 依概率收敛
定义4.3.1 (依概率收敛)
若对任意的
>0,有
nlim
P
Yn
Y
1
则称随机变量序列{Yn}依概率收敛于Y, 记为
概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差

回归分析
在回归分析中,数学期望和方差 等统计指标用于描述因变量和自 变量之间的关系,以及预测未来
的趋势。
假设检验
在假设检验中,数学期望和方差等 统计指标用于比较两组数据或样本 的差异,判断是否具有显著性。
方差分析
方差分析利用数学期望和方差等统 计指标,分析不同组别或处理之间 的差异,确定哪些因素对数据变化 有显著影响。
质量控制
统计分析
在统计分析中,方差分析是一种常用 的统计方法,通过比较不同组数据的 方差,可以判断它们是否存在显著差 异。
在生产过程中,方差用于度量产品质 量波动的程度,通过控制产品质量指 标的方差,可以提高产品质量稳定性。
03
期望与方差的关系
期望与方差的关系式
期望值是随机变量取值的平均数 ,表示随机变量的“中心趋势”
方差的性质
方差具有可加性
当两个随机变量相互独立时,它们组 合而成的随机变量的方差等于它们各 自方差的线性组合。
方差与期望值的关系
方差与期望值之间存在一定的关系, 如方差等于期望值减去偏差的平方和 再求平均值。
方差的应用
风险评估
在金融和经济学中,方差被用来度量 投资组合的风险,通过计算投资组合 中各个资产的方差和相关系数,可以 评估投资组合的整体风险。
期望与方差的拓展
期望与方差在金融中的应用
金融风险评估
利用数学期望和方差计算 金融资产的风险,评估投 资组合的风险和回报。
资产定价
利用数学期望和方差等统 计指标,对金融资产进行 定价,确定其内在价值。
保险精算
通过数学期望和方差等统 计方法,评估保险产品的 风险和回报,制定合理的 保费和赔付方案。
期望与方差在统计学中
期望与方差在其他领域的应用
在回归分析中,数学期望和方差 等统计指标用于描述因变量和自 变量之间的关系,以及预测未来
的趋势。
假设检验
在假设检验中,数学期望和方差等 统计指标用于比较两组数据或样本 的差异,判断是否具有显著性。
方差分析
方差分析利用数学期望和方差等统 计指标,分析不同组别或处理之间 的差异,确定哪些因素对数据变化 有显著影响。
质量控制
统计分析
在统计分析中,方差分析是一种常用 的统计方法,通过比较不同组数据的 方差,可以判断它们是否存在显著差 异。
在生产过程中,方差用于度量产品质 量波动的程度,通过控制产品质量指 标的方差,可以提高产品质量稳定性。
03
期望与方差的关系
期望与方差的关系式
期望值是随机变量取值的平均数 ,表示随机变量的“中心趋势”
方差的性质
方差具有可加性
当两个随机变量相互独立时,它们组 合而成的随机变量的方差等于它们各 自方差的线性组合。
方差与期望值的关系
方差与期望值之间存在一定的关系, 如方差等于期望值减去偏差的平方和 再求平均值。
方差的应用
风险评估
在金融和经济学中,方差被用来度量 投资组合的风险,通过计算投资组合 中各个资产的方差和相关系数,可以 评估投资组合的整体风险。
期望与方差的拓展
期望与方差在金融中的应用
金融风险评估
利用数学期望和方差计算 金融资产的风险,评估投 资组合的风险和回报。
资产定价
利用数学期望和方差等统 计指标,对金融资产进行 定价,确定其内在价值。
保险精算
通过数学期望和方差等统 计方法,评估保险产品的 风险和回报,制定合理的 保费和赔付方案。
期望与方差在统计学中
期望与方差在其他领域的应用
概率统计课件第四章

2
例3 设 X ~ 参数为 p 的几何分布,求E ( X ).
解
E(X) kp (1p)k1
p
kxk1
k1
k1
x1p
p
xk
'
k1
x1 p
p(11x)2
x1p
1 p
8
常见随机变量的数学期望
分布
概率分布
期望
参数为p 的 0-1分布
P(X1)p P(X0)1p
p
B(n,p)
P()
P(Xk)Cnkpk(1p)nk k0,1,2, ,n
np
P(X k) ke
k!
k 0,1,2,
9
分布
概率密度
期望
区间(a,b)上的 均匀分布
f(x)b1a, 0,
axb, a b 其它 2
E()
ex, x0,
f (x)
0,
其它
1
N(, 2)
f(x) 1 e(x22)2
2
10
注意 不是所有的随机变量都有数学期望 例如:柯西(Cauchy)分布的密度函数为
设连续型随机变量X 的概率密度为f (x)
若广义积分
g(x)f(x)dx绝对收敛,
则
E(Y)g(x)f(x)dx
12
设二维离散型随机变量(X ,Y ) 的 联合分布律为
P (X x i,Y y j) p i,ji,j 1 ,2 ,
Z = g(X ,Y ),
若级数 g(xi, yj )pij 绝对收敛 , 则 i, j1 E(Z)g(xi,yj)pij i,j1
f(x)(1 1x2), x
但
|x|
f(x)d x (1| x|x2)dx 发散
概率论与数理统计第四章2节

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第十三页,编辑于星期二:四点 四十一分。
第十四页,编辑于星期二:四点 四十一分。
第十五页,编辑于星期二:四点 四十一分。
第一页,编辑于星期二:四点 四十一分。
第二页,编辑于星期二:四点 四十一分。
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概率论与数理统计第04章随机变量的数字特征第2讲

| x-m |
2
| x - m | e 2
e
2
f ( x) d x
2
s 2 ( x - m ) f ( x) d x 2 . e - e
此不等式也可写为:
s P{| X - m | e } 1 - 2 e
2
(2.10)
16
这个不等式给出了, 在随机变量X的分布未知 的情况下事件{|X-m|<e}的概率的下限估计. 例 如, 在(2.10)式中分别取e=3s, 4s得到 P{|X-m|<3s}0.8889, P{|X-m|<4s}0.9375. 在书末附表1中列出了多种常用的随机变量的 数学期望和方差, 供读者查用.
2 2
2
4
方差的几个重要性质 (1) 设C是常数, 则D(C)=0. (2) 设X是随机变量, C是常数, D(CX)=C2D(X).
(3) 对任意两个随机变量X,Y, D(X+Y)=D(X)+D(Y) +2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} (2.5) 特别, 若X,Y相互独立, 则 D(X+Y)=D(X)+D(Y) (2.6) (4) D(X)=0的充要条件是X以概率1取以cm计)X~N(22.40, 0.032), 气缸的直径Y~N(22.50, 0.042), X,Y相互独立. 任取一只活塞, 任取一只气缸, 求活塞能装入 气缸的概率. 解 按题意须求P{X<Y}=P{X-Y<0}. 由于 X-Y~N(-0.10, 0.0025), 故有 P{X<Y}=P{X-Y<0}
概率论与数理统计
第四章 随机变量的数字特征
第2讲
1
例1 设随机变量X具有数学期望E(X)=m, 方差 D(X)=s20. 记X *=(X-m)/s . 1 1 * 则 E ( X ) E ( X - m ) [ E ( X ) - m ] 0; s s 2 X - m * *2 * 2 D( X ) E ( X ) - [ E ( X )] E s
概率论与数理统计自学课件 第四章

0 0
1 E ( X ) E (Y ) 3
三、数学期望的性质 1. 设C 是常数,则E(C )=C ; 2. 若C 是常数,则E(CX ) = CE(X ); 3. E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) 证明: 设 X .Y ~ f x, y
例6. 设某公共汽车站于每小时的10分, 50分发车, 乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求 乘客到达车站等车时间的数学期望。 则 T ~ U [0 , 60] 解: 设T 为乘客到达车站的时刻(分),
1 , 0 t 60, 其概率密度为 f t 60 其它. 0,
4. 设X、Y 独立,则 E(XY )=E(X )E(Y ); 证明: 设 X .Y ~ f x, y 注:该性质不是充要条件
2
115 100 ) P{Y 5000} P{T 115} 1 ( 5 1 3 0.0013
P{Y 1000} P{100 T 115} 0.4987
已求出:
P{Y 5000} 0.0013 P{Y 1000} 0.4987 P{Y 10000} P{0 T 100} (0) (20) 0.5 0 0.5
第四章 随机变量的数字特征
一、数学期望 二、方差 三、协方差和相关系数 四、矩和协方差矩阵
第一节 数学期望
一 、数学期望的概念 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质 四、几种离散型分布的期望 五、几种连续型分布的期望
第四章
一、数学期望的概念
引例:某人参加一个掷骰子游戏,规则如下: 掷得点数 获得(元) 1点 1 2,3点 2 4,5,6点 4
求:一次游戏平均得多少钱?
1 E ( X ) E (Y ) 3
三、数学期望的性质 1. 设C 是常数,则E(C )=C ; 2. 若C 是常数,则E(CX ) = CE(X ); 3. E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) 证明: 设 X .Y ~ f x, y
例6. 设某公共汽车站于每小时的10分, 50分发车, 乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求 乘客到达车站等车时间的数学期望。 则 T ~ U [0 , 60] 解: 设T 为乘客到达车站的时刻(分),
1 , 0 t 60, 其概率密度为 f t 60 其它. 0,
4. 设X、Y 独立,则 E(XY )=E(X )E(Y ); 证明: 设 X .Y ~ f x, y 注:该性质不是充要条件
2
115 100 ) P{Y 5000} P{T 115} 1 ( 5 1 3 0.0013
P{Y 1000} P{100 T 115} 0.4987
已求出:
P{Y 5000} 0.0013 P{Y 1000} 0.4987 P{Y 10000} P{0 T 100} (0) (20) 0.5 0 0.5
第四章 随机变量的数字特征
一、数学期望 二、方差 三、协方差和相关系数 四、矩和协方差矩阵
第一节 数学期望
一 、数学期望的概念 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质 四、几种离散型分布的期望 五、几种连续型分布的期望
第四章
一、数学期望的概念
引例:某人参加一个掷骰子游戏,规则如下: 掷得点数 获得(元) 1点 1 2,3点 2 4,5,6点 4
求:一次游戏平均得多少钱?
第4章概率论基本概念

n=6
事件A
A=“出现的点数是不小于3的偶数”={4,6} m=2
加法定理
对任意两个随机事件A、B ,有
P(A B) P(A) P(B) P(AB)
A
B
A B A (B AB)
P(A B) P(A (B AB)) P(A) P(B AB)
P(B AB) P(B) P(AB)
加法定理
P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)
抛掷一枚均匀的硬币
试验总次数n
将硬币抛掷n次
随机事件
A=“出现正面”
事件A出现次数m 出现正面m次
m
随机事件的频率 fn ( A)
n
事件A出现的次数m fn (A) 试验总次数n
抛掷硬币的试验 Experiment of tossing coin
历史纪录
试 验 者 抛 掷 次 数n 德.摩 根 2048 蒲 丰 4040 皮尔逊 12000
概率的公理 化定义
给定一个随机试验,Ω是它的样本空间,对于 任意一个事件A,赋予一个实数
P( A) ,如果 P()满足下列三条公理,
那么,称 P( A) 为事件A的概率.
非负性: 规范性:
P(A)≥0 P(S)=1
可列可加性: A1, A2 , 两两互不相容时
P(A1 ∪A2 ∪…)=P(A1)+P(A2)+…
再分析一个例子,为检查某种小麦的发芽情况, 从一大批种子中抽取10批种子做发芽试验,其结果如 表1-2:
种子粒数 2 5 10 70 130 310 700 1500 2000 3000 发芽粒数 2 4 9 60 116 282 639 1339 1806 2715
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{或者 E( X ) xi pi =0}
i
E( X 2 )
xi 2 pij =3/4
ij
{或者 E( X 2 ) xi 2 pi =3/4}
i
同理 EY=EX=0
EY2=EX2=3/4
另一方面
E( XY )
( xi y j ) pij
ij
=1/8-1/8-1/8+1/8 =0
定理 4.3.1 设 XY 是随机变量 X 与 Y 的相关系数,则有 (1) XY 1
(2) XY 1 充要条件为 PY aX b 1,(a,b为常数,
且a 0)
证明 (1) XY 1.
0 D
X D( X )
Y D(Y )
[[
性质(4)若X与Y相互独立, 则 D(X+Y)=DX+DY
证证明明::DDX(X+YY )=EE{[X(X+YY)-EE(XX+Y)]22}
= E{[(X-EX)+(Y-EY)]2}
=EE {X(X-EEXX)2+(YY-EEYY)2+22 [(X-EX)(Y-EY)]}
1, 0,
求: Cov( X ,Y )
0 x 1, 0 y 1
其它
解
11
1
1
E(X)
xf ( x, y)dxdy xdxdy xdx
00
0
2
同理 EY 1
2
EXY
xyf
x,
Cov( X ,Y ) ( x EX )( y EY ) f ( x, y)dxdy
注意
一般地,常用计算方法为:
重
Cov( X,Y ) E( XY ) E( X )E(Y )
点
例 4.3.1 二维随机变量( X ,Y ) 的联合概率密度为
f
x,
y
cij COV Xi,X j E Xi E( Xi ) X j E( X j ) , ( i, j 1, 2, ,n )
都存在,则称
c11 c12 c1n
C
c21
cn1
c22 cn2
c2n cnn
yf ( x, y)dxdy =7/6 EY 2 =5/3
所以, DX=11/36, DY=11/36
E(XY )
( xy) f ( x, y)dxdy
2
21 xy ( x y)dxdy
=4/3
00 8
XY (EXY EXEY )
DX DY 1
DD((XX) DD((XX)
)
])2]2[
D(DY(Y) ) [ D(DY(Y) ]2)
]2
2C2OCVOV
DX( XDX)( ,X
,Y Y )D(YD) (Y
)
2222 DD((XX)1)1D(DY(Y) )COCVO(VX(,XY,)Y)222X2Y XY
|ρXY|= 1 时,X, Y 之间具有线性关系。
相关系数的计算:
XY
EXY DX
EXEY DY
例.4.3.3
随机向量(X,Y)~f(x,y)=
1
(
x
y)
8
0 x2
0
y2
求X,Y的相关系数ρXY.
0
其它
解:
E[g( X ,Y )] g( x, y) f ( x, y)dxdy
(2)再证明当 XY 1 时, X 与 Y 线性相关。
性质5:D(X)=0
P{X=E(X)}=1
若ρXY = -1, 则
D
X D( X )
Y D(Y )
2 2 XY
0
所以, 有
X D( X )
Y D(Y )
c, 这里c
E
X D( X )
Y D(Y
为
n
维随机变量
X1 , X2 , , Xn 的协方差矩阵。
特别地:对二维 随机向量(X,Y)有协方差矩阵为:
DX Cov(
X
,Y
)
Cov( X DY
,Y
)
例 设X~N(0,1), Y~N(0,1), D(X-Y)=0,求(X,Y)的协差阵.
解: 由题意得: DX=DY=1, D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=2-2Cov(X,Y) =0 故 Cov(X,Y)=1
11
例4.3.4.(X,Y)的联合概率分布为:
X Y -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8
求 X,Y 的相关系数ρXY. 解:
E[g(X ,Y )]
g( xi , y j ) pij
ij
故 E(X )
xi pij =0
ij
=EE(XX-EEXX)22+EY(Y-EEYY)22+22EX[(XE-EX XY)(YE-EYY)]
D(X ) D(Y ) 2E[(X E(X ))(Y E(Y ))] D(X ) D(Y ) 2[E(XY ) E(X ) E(Y )]
(3) CovX1 X 2 ,Y CovX1,Y CovX 2 ,Y
注: D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2Cov( X,Y ) D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2Cov( X,Y )
定义 4.3.2
XY
CovX ,Y DX DY
称为随机变量
X
和Y
的
相关系数。
定义 4.3.3 若 XY 0 ,则称 X 与Y 不相关。
说明:
X, Y 独立
EXY EX EY
Cov( X ,Y ) 0 XY 0 X与Y不相关
注意 : X, Y 不相关, 不一定有 X, Y 相互独立.
a 2
因此,有0 P{X a} 1, P{Y a} 0.
因而, F(a,a) P{X a,Y a} P{X a, X a} P{ X a}
P{Y a} P{ X a} P{Y a} FX (a)FY (a)
所以,X 与 Y 不相互独立。
1
2
1 2
Cov( X ,Y ) EXY EX EY 0.
从而, ρXY = 0, 故 X, Y 不相关。
另一方面,对于任一满足0<a<1的实数a,都有
a1 1
P{X a} dx (a 1) 1,
1 2
2
P{Y a} P{ X a} a 1dx a
为在 X x 的条件下关于Y 的条件期望。
作业: P130: T13(其中E(X,Y)改为求E(XY));
T14, T18, T19
第四 章
4.设随机变量 X 的密度函数为
f x 1 e x
2
x
求 EX 和 DX 。
解:
EX
则有
CovX ,Y CovX , aX b CovX , aX CovX , b aCovX , X aDX
DY DaX b a2DX
XY
CovX ,Y DX DY
a a
1
所以: XY 1.
y dxdy
11
1
1
1
xydxdy xdx ydy
00
0
0
4
故 Cov( X,Y ) E( XY ) E( X )E(Y ) 1 1 1 0
4 22
2、性质:(1) Cov( X ,Y ) Cov(Y , X )
(2) Cov(aX , bY ) abCov( X ,Y ) ( a, b 是常数)
)
.
若ρXY = 1, 则
D
X D( X )Y DFra bibliotekY )
2 2 XY
0
所以, 有
X D( X )
Y D(Y )
d ,这里d
E
X D( X )
Y D(Y
)
.
小结:
|ρXY| 的大小反映了X, Y之间线性关系的密切程度:
|ρXY | = 0 时,X, Y 不相关, 无线性关系; 0< |ρXY | < 1 时, X, Y 之间有一定程度的线性关系;
若 E(X kY l ) ,k,l 1,2, 存在,则称它为 X 和Y 的
k l 阶混合原点矩。
若 E X E(X)k Y E(Y) l ,k,l 1,2, 存在,
则称它为 X 和Y 的k l 阶混合中心矩
随机向量的协方差矩阵
设 n 维随机变量( X1 , X2 , , Xn ) 的二阶混合中心矩
所以: XY 1.
0 D
X D( X )
Y D(Y )
,
2
2COV
X, D( X )
Y D(Y
)
2
2
XY
所以: XY 1
综上: XY 1