黑龙江省齐齐哈尔市2020学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)

齐齐哈尔市2020学年度高二下学期期末考试数学试卷(理科)第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220A x x x =--≤，{}ln(1)B x y x ==-，则A B =I （ ）A. (1,2)B. [1,1)-C. (1,2]D. (1,1)- 【答案】B【解析】【分析】分别计算集合A 和B ，再计算A B I . 【详解】{}{}22012A x x x x x =--≤=-≤≤ {}{}ln(1)1B x y x x x ==-=<[1,1)A B =-I故答案选B【点睛】本题考查了集合的交集，属于简单题.2.若复数z 满足，24iz i =+（i 为虚数单位）则在复平面内z 对应的点的坐标是（ ）A. (2,4)B. (2,4)-C. (4,2)-D. (4,2) 【答案】C【解析】【分析】 化简复数2442i z i i+==-得到答案. 【详解】242442i iz i z i i +=+⇒==- 在复平面内z 对应的点的坐标是(4,2)-故答案选C【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.3.已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ,(4)0.2P ξ>=,则(0)P ξ<=A. 0.8B. 0.6C. 0.4D. 0.2【答案】D【解析】略4.《高中数学课程标准》(2020 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（ ）(注:雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)A. 甲的数据分析素养高于乙B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养C. 乙的六大素养中逻辑推理最差D. 乙的六大素养整体水平优于甲【答案】D【解析】【分析】根据雷达图，依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A 错误根据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B 错误根据雷达图得乙的六大素养中数学建模和数学抽象最差，所以C错误根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D正确故答案选D【点睛】本题考查了雷达图，意在考查学生解决问题的能力.5.函数31()(13)xxf xx+=-的图象的大致形状为（）A. B. C.D.【答案】B【解析】【分析】取特殊值排除得到答案.【详解】31()(1)20(13)xxf x fx+=⇒=-<-，排除ACD故答案选B【点睛】本题考查了函数图像的判断，特殊值可以简化运算.6.如表是某厂节能降耗技术改造后，在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：x 3 4 5 6y 2.5 3 m 4.5若根据如表提供的数据，用最小二乘法可求得y 对x 的回归直线方程是$0.70.35y x =+，则表中m 的值为（ ）A. 4B. 4.5C. 3D. 3.5 【答案】A【解析】 由题意可得11(3+4+5+6)=4.5,(2.53 4.5)0.25 2.544x y m m ==+++=+，故样本中心为(4.5,0.25 2.5)m +。

因为回归直线过样本中心，所以0.25 2.50.7 4.5m +=⨯0.35+，解得4m =。

选A 。

7.1()nx x -的展开式中只有第5项系数最大，则展开式中含2x 项的系数是（ ）A. 56B. 35C. 56-D. 35- 【答案】C【解析】【分析】根据只有第5项系数最大计算出n ，再计算展开式中含2x 项的系数 【详解】2111()()(1)n r n r r r r n r r n n x T C x C x x x--+-⇒=-=- 只有第5项系数最大,8n =展开式中含2x 项的系数,882181()(1)3r r r r x T C x r x-+-⇒=-⇒= 系数为338(1)56C ⨯-=-故答案选C【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.8.将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()g x 1B. 函数()g x 的最小正周期为πC. 函数()g x 的图象关于直线3x π=对称 D. 函数()g x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】D【解析】【分析】 根据平移变换和伸缩变换的原则可求得()g x 的解析式，依次判断()g x 的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果.【详解】函数()f x 向右平移6π个单位长度得：2sin 22sin 2666x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 横坐标伸长到原来的2倍得：()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()g x 最大值为2，可知A 错误；()g x 最小正周期为2π，可知B 错误；3x π=时，66x ππ-=，则3x π=不是()g x 的对称轴，可知C 错误； 当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0,62x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，此时()g x 单调递增，可知D 正确. 本题正确选项：D【点睛】本题考查三角函数平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.9.设ABC ∆是边长为2的正三角形，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，则()AB FB FC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的值为（ ）A. 1-B. 0C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】将,AB AC u u u r u u u r 作为基向量，其他向量用其表示，再计算得到答案.【详解】设ABC ∆是边长为2的正三角形，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点， ()()()AB FB FC AB FA AB FA AC AB AB AC AE ⋅+=⋅+++=⋅+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1(())2AB AB AC AB AC =⋅+-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 21111()1232222AB AC AB AB AC AB =⋅+=⋅+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故答案选D【点睛】本题考查了向量的乘法，将,AB AC u u u r u u u r 作为基向量是解题的关键.10.甲、乙、丙三人每人准备在3个旅游景点中各选一处去游玩，则在“至少有1个景点未被选择”的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是（ ） A. 17 B.18 C. 114 D. 314【答案】A【解析】【分析】设事件A 为：至少有1个景点未被选择，事件B 为：恰有2个景点未被选择,计算()P AB 和()P A ,再利用条件概率公式得到答案.【详解】设事件A 为：至少有1个景点未被选择，事件B 为：恰有2个景点未被选择331()39P AB == 3337()139A P A =-= ()1()()7P AB P B A P A ==故答案选A【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生对于条件概率的理解和计算.11.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的22221(0,0)x y a b a b-=>>右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. y x =B. y =C. y x =D. y =【答案】A【解析】【分析】根据抛物线定义得到A B y y p +=，再联立方程得到222A B pb y y p a a+==⇒=得到答案.【详解】由抛物线定义可得：||||4222A B A B p p p AF BF y y y y p +=+++=⨯⇒+= , 因为22222222221202x y a y pb y a b a b x py ⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩,所以222A B pb y y p a a+==⇒=渐近线方程为2y x =±. 故答案选A【点睛】本题考查抛物线，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力.12.若函数2()ln x f x x=与函数()ln 2h x x ax =-的图象有三个交点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 211(,)e e -∞-B. 1(,)22e e -∞-C. 211(,0)e e -D. 1(,0)22e e - 【答案】B【解析】【分析】通过参数分离得到ln 22ln x x a x x =-，换元法设ln x t x =，画出函数ln x t x =和122t a t =-的图像，根据图像有三个交点得到范围.【详解】若函数2()ln x f x x=与函数()ln 2h x x ax =-的图象有三个交点 2ln ln 2ln 22ln x x x x ax a x x x=-⇒=-有三个解. 设ln 1(0)22x t t x a x t=≠⇒=- 2ln 1ln 'x x t t x x -=⇒=当x e >时单调递减，当0x e <<单调递增.max 1t e= 画出图像：122t a t=-是奇函数且0t >是单调递增122t a t=-有两个解，设为120,0t t <>1ln x t x=有一个解，图象有三个交点 2ln x t x =必须是两个解211022e t a e e ⇒<<⇒<- 故答案为B【点睛】本题考查了函数的零点问题，参数分离换元法是解题的关键.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案写在答题卡相应题的横线上.13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57915a a a ++=，则13S =________.【答案】65【解析】【分析】根据等差数列的性质得到75a =，再计算13S 得到答案.【详解】已知等差数列57977153155a a a a a ++=⇒=⇒=113137()1313652a a S a +⨯=== 故答案为65【点睛】本题考查了等差数列的性质，前N 项和，利用性质可以简化运算.14.给出下列命题：①“1a >”是“11a<”的充分必要条件； ②命题“若21x <，则1x <”的否命题是“若21x ≥，则1x ≥”；③设x ，y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件； ④设a ，b R ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件.其中正确命题的序号是_________.【答案】②④【解析】【分析】逐项判断每个选项的正误得到答案.【详解】①当1a =-时，11a<成立，但1a >不成立，所以不具有必要性，错误 ②根据否命题的规则得命题“若21x <，则1x <”的否命题是“若21x ≥，则1x ≥”；，正确.③因为2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的充分不必要条件，所以错误④因为00ab a ≠⇔≠且0b ≠，所以“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件.正确. 故答案为②④【点睛】本题考查了充分必要条件，否命题，意在考查学生的综合知识运用.15.已知()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x ≥时，2()ln(1)f x x x =++，则不等式(21)1ln 2f x +>+的解集为_________.【答案】(0,)∞【解析】【分析】求导根据导数判断函数是单调递增的，再利用(21)(1)f x f +>解得答案.【详解】当0x ≥时，222()ln(1)'()10,(0)01x f x x x f x f x =++⇒=+>=+ ()f x 是定义R 在上的奇函数()f x 是在R 上单调递增(21)1ln 2(1)2+110f x f x x +>+=⇒>⇒>故答案为(0,)∞【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，判断函数在R 上单调递增是解题的关键.16.我国南北朝时期数学家祖瞘，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同， 则积不容异”，其中“幂”是截面积，“势” 是几何体的高，该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图，在空间直角坐标系中的xoy平面内，若函数1,[1,0]()1,(0,1]x xf xx x⎧+∈-⎪=⎨-∈⎪⎩的图象与轴x围城一个封闭的区域A，将区域A沿z轴的正方向平移2个单位长度，得到几何体（图一），现有一个与之等高的圆柱（图二），其底面积与区域A 的面积相等，则此圆柱的体积为 _______.图一图二【答案】73【解析】【分析】先利用定积分计算底面面积，再用体积公式得到答案.【详解】1,[1,0]()1,(0,1]x xf xx x⎧+∈-⎪=⎨-∈⎪⎩的图象与轴x围城一个封闭的区域A132210012171(1)(1)(1)10326AS x dx x dx x x-=++-=+--=-⎰77263AV S h==⨯=故答案为73【点睛】本题考查了体积的计算，意在考查学生解决问题的能力.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必答题，每个考生都必须作答.第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.17.某企业为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量(单位：毫克)，质量值落在(175,225]的产品为合格品，否则为不合格品。