高等数学-二重极限1

第6章 多元函数微分学
6.1 多元函数的基本概念 6.1.1 n维点集 n 维空间 Rn {(x1, x2,L , xn ) xi R(i 1, 2,L , n)}. 在 2 维空间中 R2 {(x, y) x, y R}中: 1.两点间距离公式.
2.点 P0 的 邻域. 点 P0 的去心 邻域.
增量语言:令 x x x0 , y y y0. 称
z f (x, y) f (x0 , y0 ) f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 )
为函数 f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处的全增量. 则
函数
f
( x,
y)
在
(x0 ,
若 (x, y) 沿路径 L1 趋于 (x0, y0) 时, f (x, y) A1,
而 (x, y) 沿路径 L2 趋于 (x0, y0) 时, f (x, y) A2,
且
A1

A2
,
则
(
x
,
y
lim
)( x0
,
y0
)
f
(x,
y)不存在.
例65
设
f
(x,
y)

xy x2 y2
,
讨论当 (x, y) (0,0) 时, f (x, y) 的极限是否存在?
例:
f
(x,
y)


x2

sin
1 y

y2
sin
1 x
,
xy

0 ,
f
(x,
y)


x2
xy y2
,
x2

y2

0
0, xy 0
0,(x, y) 0
f (x, y) x y x2 y2 , f (x, y) y sin 1
x y
x
6.1.5 多元函数的连续性
x2 y2 x2 y2
0
注1. 两种定义是等价的.
注 2. 在二重极限中,(x, y) (x0, y0)可有多个方向趋于(x0, y0),
lim
( x, y)( x0 , y0 )
f
(x,
y)

A

不管
(x,
y)
沿何路径趋于
( x0 ,
y0 ),
f (x, y)都以 A 为极限.因此,
二重极限与累次极限的关系
1. 两个累次极限不一定都存在,即使存在也不一定相等.
2. 二重极限与累次极限没有蕴含关系.
3. lim f (x, y) A, lim lim f (x, y) B A B
( x, y)( x0 , y0 )
y y0 xx0
4.两个累次极限存在但不相等, 则二重极限不存在.
定义.
若 lim ( x, y( x0 , y0 )
f (x, y)
f (x0 , y0 )
则称函数 f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处连续.
语言 :函数 f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处连续
0, 0,当 (x x0 )2 ( y y0 )2 时, 有 f (x, y) f (x0 , y0 ) .
n
1
(xi ai )2 ]2 ,
xr

( xr ,
r 0)

[
n
1
(xi )2 ]2
i 1
i 1
定义 6.1 设 {xr k }为 Rn 中的一个点列, ar Rn.
若 0, K,当 k K 时,有(xr k , ar ) xr k ar ,
则称点列{xr k}收敛于 ar,记作 lim xr k ar.
2
2
5
作业: 习题 6-1
3(2),(4--6) 4 5(3) 8
若 0, 0, 当 x x0 , y y0 ,
且 (x x0 )2 ( y y0 )2 0 时,
有 f (x, y) A ,则称
A 为 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限.
例 64
用定义证明: lim (x, y)(0,0)
二重极限的性质
(1)唯一性 (2)局部有界性 (3)局部保号性 (4)夹逼法则 (5)四则运算法则.
例 6 6 求 lim
xy
(x, y)(0,0) 1 xy 1
例 6 7 求 lim sin(xy)
(x, y)(0,2)
y
例68
求
(
x,
lim
y )( 0,0)
sin(x2 y) x2 y2
y0 )
处连续

lim
(x,y )(0,0)
z

0
lim ( x , y ( 0,0 )
f (x0
x, y0
y)
f (x0 , y0 )
例 6 9 lim ln(x2 ey ) f (2,1) ln(4 e)
x y ( x, y)(2,1)
累次极限
令I ( y) lim f (x, y),再求 lim I ( y),
x x0
y y0
则有先 x 后 y 的累次极限(二次极限) :
lim lim f (x, y)
y y0 xx0
同理,有先 y 后 x 的累次极限(二次极限) :
lim lim f (x, y)
xx0 y y0
则称 A 为 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限.
记作 lim f (x, y) A 或 lim f (x, y) A,
( x, y )( x0 , y0 )
x x0 y y0
或 f (x, y) A ((x, y) (x0, y0 ))
二重极限的等价定义 :
当 n 2 时,称 f (x, y) 为二元函数,记作 z f (x, y) 当 n 3时, 称 f (x, y, z) 为三元函数, 记作 u f (x, y, z) 例如, z 3x 5y 6 是三维空间中的一个平面, z x2 y2 是三维空间中的一个圆锥面, 一般,z f (x, y) 为三维空间中的一个曲面.
多元函数的定义域: 例6 3 求 u ln[(x 1)( y 2)] e z 的定义域.
6.1.4 二元函数的极限
定义 6-4(二重极限)设 z f (x, y) 在 D R2 中有定义,
P0 (x0 , y0 ) R2. 若 0, 0,当
0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时, 有 f (x, y) A ,
k
定理 6.1 设 xr k (xk , xk ,L , xk ),则
1
2
n
lim xr k
k

ar

对每个i(1 i

n),有 lim xk k i

ai
6Hale Waihona Puke Baidu1.3 多元函数的定义
定义 6.3 设 D Rn. 若存在一对应法则 f ,使对任意 的xr (x1, x2,L , xn ) D, 存在唯一的 u R 与之对应, 则称 f 为 D 上的 n 元函数.记作 u f (x1, x2,L , xn ).
3. 有界集 : E R2 有界 r 0,使得 x2 y2 r2,(x, y) E.
4.无界集.
6.1.2 n维空间中点列的极限
记 xr (x1, x2 ,L , xn ) , ar (a1, a2,, an )为 Rn 中的点,
(xr, ar ) [