流体力学-流体静力学

力矩合成
M dM dPy PyD y sindAy yC sin AyD
y 2 dA yC AyD
Ix yD yC A yC A
2 y dA
I x y 2 dA ——受压面A对ox轴的面积二次矩（惯性矩）
平行轴定理
2 I x IC yC A
1.25 106 Pa
压强增大约100倍
应用（2）：离心泵（边缘开口） 边界条件：当r=R，p=pa=0
z
ω o
0
p
dp
rdr gdz
r 2 z R 0
2r 2 2 R2 p 2 2 gz 2R2 在r=0处， p 2 gz
——帕斯卡原理 （压强的传递性）
2.压强的表示方法 a.绝对压强pab 以绝对真空为零点压强
pa h A
pab pa gh pa pm
pa——当地大气压强
b.相对压强（计算压强、表压）pm 以当地大气压强为零点压强
pm pab pa gh p
c.真空度pv
pv
2 I C yC A yD yC A
IC yC yC yC A
常见图形的yC和IC
图形名称
yC
h 2
IC
矩形
b 3 h 12
三角形
2 h 3
b 3 h 36
梯形
h a 2b 3 a b
h3 a 2 4ab b 2 36 a b
用dx、dy、dz除以上式，并化简得
1 p X 0 x
（1） （2） （3）
同理
1 p Y 0 y
1 p Z 0 z

1 f p 0

——欧拉平衡微分方程（1755）
2.力的势函数
将（1）、（2）、（3）式分别乘以dx、dy、dz，并相加
p p p （Xdx Ydy Zdz） dx dy dz dp x y z
x z
p ax cos az sin gz
注意：坐标的方向及原点的位置
2.匀速圆周运动流体的平衡 由 dp Rdr Zdz
z
R r （惯性力） Z g
2
边界条件：
r 0, z 0, p pa 0
o g
z
r ω2r
0 dp 0
1 p P右 p dx dydz 2 x
1 p P左 dx dydz p 2 x
质量力：
Fx Xdxdydz
F 0
P左 P右 Fx 0
1 p 1 p p dx dydz p dx dydz Xdxdydz 0 2 x 2 x
水密度ρ=7000kg/m3，求M点的压强；为使铸件密实，使砂
型以n=600r/min的速度旋转，则M点的压强是多少？
解： pM gh 1.24 104 Pa 当砂型旋转
2n 20r / s
2 pM 2 rM / 2 gz
2 2 M
r
/ 2 gh
1m
2m
60°
y
hC 4 1 1sin 60 5.73m
o
P ghC A 225kN
4 yC 1 1 6.6m sin 60 b 3 4 I C h 1.33m 4 12 3
p

r
2
rdr 0 gdz

2r 2 p 2 gz
注意：坐标原点在旋 转后自由面的最底点
在自由面： p 0
z
2r 2
2g
旋转抛物面
相对平衡实验演示
应用（1）：离心铸造机
中心开孔
ω
例 浇铸生铁车轮的砂型，已知h=180mm，D=600mm，铁
例3
一圆筒D=0.6m，h=0.8m，盛满水，现以n=60rpm
转动，求筒内溢出的水量
2n 解： 2 60
rad/s
z
2R2 z 0.18 m 2g
利用例2结论 溢出的水量体积
1 V zR 2 0.0256m3 2
流体作用在平面上的总压力
解析法 图解法
1.解析法
圆
d 2
4 d 64
半圆
2d 3
9 2 64 4 d 1152
例：封闭容器水面的绝对压强P0=137.37kPa，容器左侧开 2×2m的方形孔，覆以盖板AB，当大气压Pa=98.07kPa时， 求作用于此盖板的水静压力及作用点 解：设想打开封闭容器 液面上升高度为
p0
o 4m
P0 Pa 137.37 98.07 4m g 9.807
pv pa pab
注意：pv表示绝对压强小于当地大气压强而形成
真空的程度，读正值！
3.压强单位
标准大气压（atm） =1.013×105Pa=760mmHg=10.33mH2O 工程大气压（at） =0.9807×105Pa=735.5mmHg=10mH2O
=1kg/cm2（每平方厘米千克力，简读公斤）
注意坐标的正负号
例 一盛有液体的容器，沿与水平面成α角的斜坡以等加速 度a向下运动，容器内的液体在图示的新的状态下达到平衡， 液体质点间不存在相对运动，求液体的压强分布规律 解： X a cos
Z a sin g
dp Xdx Zdz
0
p
dp 0 a cos dx 0 a sin g dz
a.总压力
dP pdA ghdA
gy sindA
P dP g sin A ydA g sinyc A ghc A pc A
A ydA yc A
注意：h与y的区别
——受压面A对x轴的面积一次矩（面积矩）
b.压力中心
dM dPy
ghdAy ghC AyD
流体静力学
INDEX
■ ■ ■
流体静压强及其特征 流体平衡微分方程 重力作用下的液体压强分布规律
■
■ ■
流体的相对平衡
液体作用在平面上的总压力 液体作用在曲面上的总压力 解析法 二维曲面 图解法
流体静压强及其特征
“静”——绝对静止、相对静止 1.静压强定义 平衡状态
P p0 lim A0 A
转动时，求作用于盖板上螺栓的拉力 解：盖板任一点承受的压强为
2r 2 p 2
任一微小圆环受力
dP pdA p 2rdr
整个盖板受力（即螺栓承受的拉力）
P dP 0
R
2r 2 2 R 4 2 R 4 2rdr g gV 2 4 4g
a z x g
等压面是倾斜平面
例
一洒水车以等加速a=0.98m/s2在平地行驶，静止时，
B点处水深1m，距o点水平距1.5m，求运动时B点的水 静压强 解： p ax gz a=0.98m/s2，x=－1.5m，z=－1m，代入
p 1.15mH 2O g
z o
B x a
或写成 p1 gz1 p2 gz2 c
p/ρg——压强水头
z——位置水头
物理意义：能量守恒
适用范围：
1.重力场、不可压缩的流体
2.同种、连续、静止
压强分布规律的最常用公式：
p gz p0 gz0
p p0 g z0 z p0 gh
1 px pn X dx 0 3
dx 0
p x pn
px p y pz pn
p f ( x, y , z )
与方位无关 与位置有关
p的全微分
p p p dp dx dy dz x y z
流体平衡微分方程
1.流体平衡微分方程 由泰勒展开，取前两项：
R R 2 z 4g
2 4
2 R 2 z' z 0.2m 4g 2
2R2 z' 2z 0.4m 2g
解得：
z h o z’
ω
H
2.97 rad / s
n 60 178rpm 2
结论：未转动时的水位在转动时最高水位与最 低水位的正中间
2 R 4 注意： 就是压力体的体积V 4g
例2 在D=30cm，高H=50cm的圆柱形容器中盛水，
h=30cm，当容器绕中心轴等角速度转动时，求使水
恰好上升到H时的转数 解：O点的位置
2R2 z' H h z 0.2 z 2g
由上题可知
z h
ω z’ H o
2.静压强特征
N/m2（Pa）
a.静压强方向沿作用面的内法线方向 反证法
b.任一点静压强的大小与作用面的方位无关
证明：取微小四面体O-ABC 表面力 Px Py 质量力 Fx Fy
Pz
Pn
Fz
F 0
Fx 0 Px Pn cos(n x) Fx 0
1 1 px dydz pn ABC cos( n x ) X dxdydz 0 2 6 1 dydz 2
X a（惯性力） Y 0, Z g 边界条件： x 0, z 0, p pa
z
x a o g
p
pab
a
dp
adx gdz
x z 0 0
a
pab pa ax gz
相对压强： p ax gz 在自由面： p 0
换算： 1kPa=103Pa 1bar=105Pa
4.测压计 一端与测点相连，一端与大气相连 例 求pA（A处是水，密度为ρ，测 压计内是密度为ρ’的水银） 解：作等压面
p A ga ' gh
p A ' h a g
例 求pA（A处是密度为ρ的空气，测压计内是密度为ρ’的 水） 解： p A ' gh 气柱高度不计
U X x
U Y y
U Z z
——力与势函数的关系 （4）式可写为：

U U U dx dy dz dU dp y z x
——将上式积分，可得流体静压强分布规律
3.等压面：dp=0
（4）式可写为：
Xdx Ydy Zdz 0 f dl 0 f dl
ρ’
解： p1 p2 ' hg
p p1 p2 ' hg
6.微压计
p1 gh gl sin
l 1 n （放大倍数） h sin
Baidu Nhomakorabea
流体的相对平衡
1.等加速直线运动流体的平衡 由 dp Xdx Ydy Zdz
重力（－g） 惯性力（－a）
等压面性质：
——广义平衡下的等压面方程
• 等压面就是等势面
• 等压面与质量力垂直
重力作用下的液体压强分布规律
1.压强分布规律
Z g
dp Zdz gdz
积分
p gz c
写成水头形式：
p1 p2 z1 z2 c g g
单位m——单位重量能量 单位Pa
5.压差计 两端分别与测点相连 例 求Δp（若管内是水，密度为ρ，压差计内是密度为ρ’
的水银）
ρ
1 Δh
2
ρ’
解：作等压面
p1 hg p2 ' hg
p p1 p2 ' hg
例 求Δp （管内是密度为ρ的空气，压差计内是密度为ρ’
的水）
1 Δh
2
压力最低
真空抽吸作用
应用（3）：清除杂质（容器敞开） 杂质m1，流体m 杂质受力： mg（浮力） m1ω2r（惯性离心力） mω2r（向心力） m1g（自重） m1=m m1<m m1>m 不可清除 斜上 斜下
ω
例1
一半径为R的圆柱形容器中盛满水，然后用螺栓
连接的盖板封闭，盖板中心开有一小孔，当容器以ω
(4)
对（1）、（2）、（3）式坐标交错求偏导，整理得
X Y y x
Y Z z y
Z X x z
——力作功与路径无关的充分必要条件 必存在势函数U，力是有势力
U U U dU x dx y dy z dz