4.4 共同本征函数

5
不确定关系,又称做不确定性原理,是微观粒子运 动的基本规律,是微观粒子波粒二象性和波函数统计 解释导致的必然结果。从这个关系我们可以看出 ,它 根本不涉及测量,只要有波函数的统计解释和力学量 的平均值公式,就可以导出不确定原理。
ˆ B ˆ 最小测不准状态：A 2
最小波包状态：广泛应用于理论物理各个领域， 包括量子光学、统计物理、量子场论、超导 理论等方面的相干态理论，其相干态就是最 小测不准态。
| m | l
由Legendre多项式的正交关系
2 (l m )! Pl ( ) P ( )d ll ' 2l 1 (l m )! 1
70
m l , l 1, ,1,0,1, l 1,l
( 2l 1个)
20
可以定义归一化的θ部分的波函数 （为实数）
70 4
其有解的条件可由判别式给出，即
|K | ˆ ˆ 简记为 A B 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 或 A B | [ A， B ] | 2 这就是测不准关系。 比如
K 2 2 ˆ ˆ ( A) ( B ) 4
2
因为
则有
70
ˆ x ] i [ x， p
ˆx x p 2
* 2 ˆ） （ B d
2 ˆ ) 2 i ( A ˆB ˆ) ˆB ˆA ˆ） 则 I ( ) 2 ( A （ B 0
令
ˆB ˆ iK ˆB ˆA ˆ A
则
2 2 2 ˆ ˆ ˆ ( A) K （ B） 0
这 是 有 关 实 参 数 的 一 元 二 次 方 程
ˆ ，B ˆ两个力学量 设有A 令 ˆA ˆ A ， B ˆB ˆB A
（ 注 意 ： 在 经 典 力 学 中 A A A ） ˆ ，B ˆ ， B ˆ 是厄米算符，所以 A ˆ 也是 因为 A
厄米算符。
考虑积分
2 ˆ ˆ I ( ) | ( A i B ) | d 0 为 实 参 数
m
( 2l 1)( l m )! m im Pl (cos ) e 4 (l m )!
上式就是所谓的球谐函数，满足本征值方程
ˆ2Y l (l 1)2Y L lm lm ˆ LzYlm mYlm l 0 ,1, 2 , m l , l 1, , l 1, l 其正交关系为
70 8
测不准关系的应用 利用测不准关系估算一维线性谐振子的零点能 E0
1 解：谐振子的能量 En n 2
n ( x) N n e

2
2
x2
H n ( x)
2 ˆ p 1 ˆ H 2 x 2 2 2
平均能量： E H

1 2 1 p 2 x 2 2 2
2
d sin Y
0 0

* lm
( , )Yl 'm ' ( , )d ll ' mm '
22
70
由上述本征值方程可以看出：
2 ˆ ˆ 的本征值都是量子化的。 L和L z
其中l称为轨道量子数，m 称为磁量子数。
2 ˆ 对于给定的 l， L 的本征值是一定的，但
70
详见《量子力学》，尹鸿钧，中国科技大学出版社 6
对易关系对测不准关系的意义：
若两个力学量 A 和 B 不对易，则 一般来说， A， B 不能同时为 0 。
如果一个完全确定（ A 0） , 则另一个完全 不确定（ B ） 即 A 和 B 不能同时测定 , 或者说它们不能有共 同的本征态。
这是缔合勒让德方程。
70 19
在 | | 1区域中，微分方程有两 个正则奇点
1，其余的均为常点。可 以证明，当
l ( l 1)
l 0 ,1, 2 ,
时，方程的有界解是一个多项式，称之为 Legendre（勒让德）多项式，用下式表示：
Pl ( )
m
1 m m l'
70
积分区间取为整个空间。展开上式，有
2
* * ˆ i B ˆ ） ˆ） ˆ） I ( ) ( A [ （ A i（ B ]d
* ˆ ） ˆ ） ˆ )* ˆ ） 2 ( A ( A d i （ [ B ( A * ˆ （ ˆ ） ˆ ） ˆ )* d ( A ) B ]d （ B ( B
即平面波函数
具体表示为
70
(r ) p p x ( x ) p y ( y ) p z ( z )
13
(r ) p p x ( x ) p y ( y ) p z ( z )
1 e 3/ 2 ( 2) i p r 1 e 3/ 2 ( 2)
70 7
但当 A 和 B 不对易时， A B 0的特殊情况 是存在的。
ˆ ，L ˆ 同 时 有 确 定 值 0。 如 在 Y 00 ( , )态 中 ， L x y
反过来说，若两个力学量A和B对易，则 可以找到状态使得A，B 同时为 0 。这样 ˆ，B ˆ的共同本征态。这实际上 的状态称为A 就是我们介绍不确定关系的最重要的原因。

P 0
x
2

2 x n ( x)dx 0
70
2 2 ˆ P ( P P ) P 2 2 2 ( x) ( x x ) x 2 h 2 2 ( P ) ( x) 4
2 h P2 x2 4
10
1 2 2 E x 2 2 8 x dE 0 d x2 h2
2 ˆ 2 ˆ ˆ 考虑到， [ L , Lz ] 0, L 的本征函数可以同时 ˆ 的本征态，即取其交集 也取为 L z
70 ห้องสมุดไป่ตู้6
ˆz i L
1 i m m ( ) e , 2
( m 0 , 1, 2 , )
2 2 ˆ ˆ 此时，由于 m ( )也是的 L 本征函数， L
本征函数是不确定的， 因为 m l , l 1, , l 1, l 共 有 2 l 1度 简 并 。 2 ˆ ˆ 的本征值来区分这 Y 就是用与 L 对易的 L
lm z
些本征态。
70 23
讨论:
2 ˆ 与L ˆ （1）L 有共同的本征函数系 Ylm ( , ) z
i ( xp x yp y zp z )
70
相应的本征值为 p ( p x , p y , p z ) 例2 坐 标 r ( x , y , z )的 共 同 本 征 态 , 即 函 数 x 0 y 0 z 0 ( r ) ( x x 0 ) ( y y 0 ) ( z z 0 )
同时具有确定值？
ˆ 和B ˆ 能否有共同本征态？ ˆ, B （4）若 [ A ˆ ] =常数， A ˆ 能否有共同本征态？ ˆ 和L （5）角动量分量 L y x
70 12
例1
ˆx, p ˆy, p ˆ z）的共同 讨论动量的三个分量（ p 本征态。
ˆ ， p ˆ ] 0，所有（ p ˆ x， p ˆ y， p ˆ z）可以 由于 [ p 有共同本征态
ˆ ， B ˆ均是厄米算符，所以有 因 为 A
ˆ ) 2 d i * ( A ˆ B ˆ ) d ˆ B ˆ A I ( ) 2 * ( A
2 ˆ （ B） d *
（利用了厄米性）
3
70
ˆ B ˆ ˆ B ˆ A 而 A ˆ A )( B ˆ A) A ˆB ˆ ˆ B ) (B ˆ B )( A ˆB ˆA (A 所以得： 2 * 2 * ˆ ˆ B ˆ ) d ˆ B ˆ A I ( ) ( A) d i ( A
z
共同本征态。
70 15
2 ˆ ˆ 的共同本征函数，球谐函数 2、 L ， L z
采用球坐标
2 1 1 ˆ2 2 [ L (sin ) ] 2 2 sin sin ˆ2 2 L z (sin ) sin sin 2
§4.4 共同本征函数
1、不确定关系的严格证明
ˆ 的本征态中测量力学量A，可以得到 在算符 A 确定值，并不出现涨落。如果测量 B，则不一定 能得到确定值。
例如，由于粒子的波粒 二象性，其位置与动量 不能够同时完全确定， 而其不确定度由下式确 定
x p / 2
70 1
对于比较普遍的情况：
* ˆ ( x)dx P n ( x) P n
70
d i n ( x) n ( x)dx dx

9
d i ( x) n ( x) i n ( x) n ( x)dx dx P
n
x
2
h 2
Emin
1 h E0 2
（零点能）
故所谓零点能即为测不准关系要求的最小能量， 零点能在旧量子理论是没有的。
70
11
思考题： （1）若两个厄米算符有共同本征态，它们是否就彼
此对易？ （2）若两个厄米算符不对易，是否一定就没有共同 本征态？ （3）若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都
lm ( ) ( 1)
m
( 2l 1)( l m )! m Pl (cos ) 2(l m )!
并满足归一化关系


0
lm
l 'm sin d ll '
ˆ2 , L ˆ ) 的正交归一的共同本征函数为 这 样 ，( L z
70 21