最优化决策模型

7
8
9
10
线性规划问题与非线性规划问题 Excel 中求解规划问题的方法和步骤 产品混合线性规划问题 产品混合非线性规划问题
11
线性规划就是研究在一组线性约束条件下， 求解一个线性函数的极大化或极小化的问题
线性规划的标准形式为：
Max / Min : y f (x1, x2 ,..., xn )
31
求解结果：
产品
P1
原料A
3
原料B
4
原料C
2
单位利润 5
产量
0.4
总利润
14.8
2
TRUE
TRUE
100
P2 4 2 1 4 3.2 14.8
实际量 供给量
14
14
8
8
4
6
32
【例8.2】某公司生产两种产品，两种产品各生产 一个单位需要工时3和7，用电量4千瓦和5千瓦， 需要原材料9公斤和4公斤。公司可提供的工时为 300，可提供的用电量为250千瓦，可提供的原材 料为420公斤。两种产品的单价p与销量q之间存在 负的线性关系，分别为p1=3000 - 50q1, p2 = 3250- 80q2。工时、用电量和原材料的单位成本 分别为10、12和50，总固定成本是10000。该公司 怎样安排两种产品的产量，能获得最大利润？
的需求，又使总运费最小。
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一.运输问题
例1. 运输问题
某饮料公司在国内有三个生产厂，分布在城市A1、A2、 A3,其一级承销商有4个，分布在城市B1、B2、B3、B4， 已知各厂的产量、各承销商的销售量及从Ai到Bj的每 吨饮料运费为Cij，为发挥集团优势，公司要统一筹划 运销问题，求运费最小的调运方案。
2、确定目标函数：max Z=70X1+120X2 3、确定约束条件：劳动力约束 9X1+4X2≤360
设备约束 4X1+5X2 ≤200 原材料约束3X1+10X2 ≤300 非负性约束X1≥0 X2≥0
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LP问题的图解法
一、图解法的基本步骤
• 用图示的方法来求解线性规划问题。 • 一个二维的线性规划问题(指只有两个决策
• 目标函数 – 衡量决策方案优劣的准则，如时间最省、利润最大、 成本最低。 – 有的目标要实现极大，有的则要求极小。 – 目标函数是决策变量的线性函数。
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线性规划的定义 对于求取一组变量xj (j=1,2,......,n)，使之既满足 线性约束条件，又使具有线性表达式的目标函 数取得极值（极大值或极小值）的一类最优化 问题称为线性规划问题，简称线性规划。
变量)，可以在平面图上求解，三维的线性 规划则要在立体图上求解，而维数再高以后 就不能图示了。
(1) 可行域的确定可行解 (2) 最优解
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LP问题的图解法
1. 可行域的确定
• 满足所有约束条件的解的集合，称之为可行域。即所有约束 条件共同围城的区域。 x2
• 例如数学模型为
max Z= 3x1 +5 x2
第三步，在“遵守约束”中添加约束条件；
第四步，选择求解方法，“单纯线性”或“非线性 GRG”；
第五步，在正确地完成了对需要求解问题的相关参 数的设置后，单击“求解”按钮，规划求解工具就 开始求解。
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绝对引用与相对引用的切换：F4或者Fn+F4 以矩阵和向量的形式表示； 向量或者矩阵的运算(一般是求和用sum函数)
X16 X24 X11 X1,X20
MAXZ=4X1-3X2 S.T. X1+2X20
X16 X24 X11 X1,X20
X1+2X2=0
可行域无界
X2 0 4X1-3X2=0
E X1=1
D
X1
X1=6
26
X2 X1 0
X1+2X2=10
MAXZ=4X1-3X2 S.T. X1+2X210
Max Z=4X1-3X2 S.T. X1+2X210
X16 X24 X11 X1,X20
21
X2 X1 0
X1+2X2=10
X2=4
B A
X2 0 4X1-3X2=0
E X1=1
MAX Z=4X1-3X2 S.T. X1+2X210
X16 X24 X11 X1,X20
C
D
非线性规划问题形式多样，求解复杂，不能保证 找到全局最优解，大部分情况下只能找到局部最 优解
线性规划问题是非线性规划问题的一种特例。
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第一步，选择“规划求解”工具；
第二步，根据对规划问题的分析，在“设置目标” 中定义目标值所在的单元格及它的取值，在“通过 更改可变单元格”中设置决策变量所在的单元格；
(3)约束条件。产量之和等于销量之和,故要满足：
▪ 供应平衡条件
x11+x12+x13+x14=5 x21+x22+x23+x24=2 x31+x32+x33+x34 =3
▪ 销售平衡条件
x11+x21+x31=2 x12+x22+x32=3 x13+x23+x33=1 x14+x24+x34=4
产地
销地
A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 B4
6 32 5 75 8 4 329 7 23 1 4
产量
5 2 3
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(1)决策变量。
决策的是调运量，因此决策变量为：从Ai到Bj的运输量为xij，
(2)目标函数。运费最小的目标函数为
minZ=6x11+3x12+2x13+5x14+7x21+5x22+8x23+4x24+3x31+2x32+9x33+7x34
无约束条件的最优化问题，在资源无限的情况下求解最佳目标；
有约束条件的最优化问题，在资源限定的情况下求解最佳目标；
实际问题一般都是有资源限制的，所以大部分最优化问题都是 有约束条件的最优化问题。
根据决策变量在目标函数与约束条件中出现的形式
线性规划问题
非线性规划问题
二次规划问题
根据决策变量是否要求取整数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ23
X2 X1 0
X1+2X2=10
X2=4
B A
唯
一
的
最
优
X2 0
解
E
4X1-3X2=0
X1=1
MAXZ=4X1-3X2 S.T. X1+2X210
X16 X24 X11 X1,X20
C
D
X1
X1=6
24
X2 X1 0
X1+2X2=10
X2=4
A
MAXZ=4X1-3X2 S.T. X1+2X210
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例. 生产计划问题
• 某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各产 品的利润、各资源的限量和各产品的资源消耗 系数如下表：
产品A 产品B 资源限量
劳动力 9
4
360
设备 4
5
200
原材料 3
10
300
利润元/kg 70
120
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• 问题：如何安排生产计划，使得获利最多？ • 步骤：
1、确定决策变量：设生产A产品x1 kg；B产品x2 kg
X16 X24 X11 X1,X20 B
MAXZ=2X1+4X2 S.T. X1+2X210
X16 X24 X11 X1,X20
2X1+4X2=Ω
存在无穷多解 C
X2 0
E X1=1
D
X1
X1=6
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X2 X1 0
X2=4
A
MAXZ=4X1-3X2 S.T. X1+2X210
St : s1(x1,x 2,...,x n ) 0 s2(x1,x 2 ,...,x n ) 0
……
s m(x1,x 2,...,x n ) 0
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线性规划问题的三要素
• 决策变量 – 决策问题待定的量值称为决策变量。 – 决策变量的取值要求非负。
• 约束条件 – 任何问题都是限定在一定的条件下求解，把各种限 制条件表示为一组等式或不等式，称之为约束条件。 – 约束条件是决策方案可行的保障。 – LP的约束条件，都是决策变量的线性函数。
整数规划问题
0-1规划问题
任意规划问题
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最优化问题可表示为如下的数学形式：
Max / Min : y f x1, x2,, xn
St : s1x1, x2 ,,xn 0
s2 x1, x2 ,,xn 0
……
sm x1, x2 ,,xn 0
? • 目标函数 Z= 3x1 +5 x2 代表以Z为参数的一族平行线。 x2
9
x1 =8
6D
C(4,6)
2x2 =12
3
Z=30
Z=15
B Z=42
0
4
A
8
12
x1
3x1 +4 x2 =36
• 等值线：位于同一直线上的点的目标函数值相同。
• 最优解：可行解中使目标函数最优(极大或极小)的解
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LP问题的图解法
X1
X1=6
22
LP问题的图解法
二、解的可能性
• 唯一最优解：只有一个最优点。 • 多重最优解：无穷多个最优解。若在两个相邻顶点同
时得到最优解，则它们连线上的每一点都是最优解。 • 无界解：线性规划问题的可行域无界，使目标函数无
限增大而无界。（缺乏必要的约束条件）。 • 无可行解：若约束条件相互矛盾，则可行域为空集。
最后要使用ctl+alt+shift，在公式外面加 大括号；
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【例8.1】某化工厂用A、B、C三种原料生产P1、 P2两种化工产品。每生产1升P1产品需要A、B、C 的数量为3，4，2公斤，而生产1升P2的数量为4， 2，1公斤。P1、P2的单位利润分别为5元和4元， 工厂现有A、B、C三种原料的数量分别为14，8，6 公斤。试用规划求解工具帮助该工厂安排生产P1、 P2的产量，使其能获利最大。
变动成本 13052.16 6022.5
总固定成本
10000
总利润
47198.92
47198.92 2
TRUE TRUE
100
需要指出：对于非线性规划问题， 其解可能不唯一，即可能存在多解， 也可能无解。
34
运输问题 选址问题
35
一.运输问题
运输问题是线性规划问题的特例。 • 产地：货物发出的地点。 • 销地：货物接收的地点。 • 产量：各产地的可供货量。 • 销量：各销地的需求数量。 • 运输问题就是研究如何组织调运，既满足各销地
二、说明
• 由线性不等式组成的可行域是凸集(凸集的定义 是：集合内部任意两点连线上的点都属于这个 集合)。
• 可行域有有限个顶点。设规划问题有n个变量， m个约束，则顶点的个数不多于Cnm个。
• 目标函数最优值（如果存在）一定在可行域的 边界达到，而不可能在其内部。
20
LP问题的图解法
• 例: 求解下列线性规划问题
6
方法一：公式法
分析问题，推导出计算最优解的公式。
方法二：用规划求解工具求解
启动规划求解工具，在规划求解参数对话框中设 置目标单元格（目标变量）和可变单元格（决策 变量），设置目标单元格的目标值（最大、最小 或者某一特定值），添加约束条件，另外也可以 设置一些附加参数。按“求解”按钮，规划求解 工具就根据参数设置寻求最优解。
X16 X24 X11 X1,X20
MAXZ=4X1-3X2 S.T. X1+2X2 10
X11 X1,X20
可行域无界
X2 0 X1
4X1-3X2=0
X1=1
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如果决策变量在目标函数或者约束条件中出现了 非线性的形式，最优化问题就是非线性规划问题。
线性规划问题是最简单的规划问题，也是最常用 的求解最优化问题的方法，对其进行的理论研究 较早，也较成熟，可以找到全局最优解。
x1
≤8
9
x1 =8
D
C(4,6)
6
2x2 =12
S.t.
2x2 ≤12
3
B
3x1 +4 x2 ≤36
x1 ≥0, x2 ≥0
0
4
A
8
12
x1
3x1 +4 x2 =36
•
五边形OABCD内(含边界)的任意一点 约束条件的一个解，称之可行解 。
(x1，x2)
都是满足所有
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LP问题的图解法
2. 最优解的确定
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求解结果：
产品1 产品2 需要量 可提供量单位成本
工时
3
7 201.91
300
10
用电量
4
5 190.13
250
12
原材料
9
4 295.48
420
50
产量
24.72 18.25
a
3000 3250
b
-50
-80
单价
1764 1790
收益
43606.08 32667.5
单位变动成本
528
330
2
最优化问题的概念 最优化问题分类 最优化问题的数学模型 最优化问题的求解方法
3
最优化问题就是在给定条件下寻找最佳方案的 问题；
最佳的含义有各种各样：成本最小、收益最大、 利润最多、距离最短、时间最少、空间最小等， 即在资源给定时寻找最好的目标，或在目标确 定下使用最少的资源。
4
根据有无约束条件
最优化问题的定义、分类和数学模型，规划求解工 具；
目标函数和约束条件与决策变量之间都是线性关系 的规划问题，产品混合线性规划问题的求解；
目标函数或者约束条件与决策变量之间不是线性关 系的规划问题，产品混合非线性规划问题的求解；
运输、选址等常见规划问题的求解。 多目标规划问题的概念和求解； 规划求解报告的生成与分析。