21 线性赋范空间

第二章 线性赋范空间与内积空间

Normed Linear Spaces and Inner Product Spaces

前面介绍了度量空间及其性质，在那里通过定义距离的概念，引入了点列的极限，这种点列极限是微积分中数列极限在抽象空间的推广．然而只有距离结构，没有代数结构的空间在应用上受到许多限制．本章通过在线性空间中定义范数来赋予线性空间上的一种特殊距离，从而将收敛的概念引入到线性空间，由此导出线性赋范空间的概念，如果这种空间的两个向量再赋予类似欧氏空间的“内积”或“点积”的概念后，便是内积空间．因此本章的主要内容就是线性赋范空间与内积空间．

2.1 线性赋范空间的定义与极限

在学习高等代数时，我们已了解到线性空间的概念，线性赋范空间，简单地说，就是给线性空间赋予范数．

定义2.1.1 线性空间

设X 为一非空集合，R 表示实数域(或为复数域C )．在X 中定义了元素的加法运算以及实数(或复数)与X 中元素的乘法运算，且满足下列条件：

1. 关于加法“+”：,xy X ∀∈，u X ∃∈与之对应，记为u x y =+，称u 为x 与y 的和，且具

有,,x y z X ∀∈，

(1) x y y x +=+ (交换律)；

(2) ()()x y z x y z ++=++ (结合律)；

(3) 在X 中存在唯一元素θ，使得x X ∀∈，有x x θ+=，则称θ为X 中零元素； (4) x X ∀∈，存在唯一元素x '∈X ，使得x +x '=θ，称x '为x 的负元素，记为x -. 2. 对X 中每个元素x 及任何实数(或复数)a ，存在元素u ∈X 与之对应，记为u =a x ，称u 为a 与x 的数乘，且满足,x y X ∀∈，,λμ∀∈R (或C )

(1) ()x x x λμλμ+=+ (分配律)；

(2) ()x y x y λλλ+=+ (数因子的分配律)； (3) ()()x x λμλμ= (结合律)； (4) 1x x = (单位1).

则称X 按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间，X 中的元素称为向量.如果数乘运算只对实数(或只对复数)有意义，则称X 是实(或复)线性空间. 满足上述加法和数承运算的性质，统称为线性运算．

我们知道，n 维欧式空间n R 是线性空间；[,]C a b 在通常加法和数乘意义下构成线性空间；n 阶实矩阵在矩阵的加法和数乘意义下构成线性空间．

2.1.1 线性赋范空间的定义与举例

定义 2.1.2 线性赋范空间Normed Linear Spaces

设X 是数域K 上的线性空间，其中K 表示R 或者C ．若对每个x ∈X ，有一个确定的实数，记之为x ，与之对应，并且,x y X ∀∈，α∈K 满足：

(1) ||||0x ≥，||||0x =0x ⇔= (正定性or 非负性)；Positive definiteness or Nonnegativity (2) ||||||||||x x αα=⋅ (齐次性)；Multiplicativity

(3) ||||||||||||x y x y +≤+ (三角不等式). Triangle inequality

则称||||x 为向量x 的范数(norm )，称(,|| ||)X 为线性赋范空间.简记为X ．通常称定义中的(1)、 (2) 、(3)为范数公理．

注1：线性赋范空间诱导的度量空间

在线性赋范空间X 中可定义距离：,x y X ∀∈，定义

(,)||||d x y x y =-

容易验证非负性、对称性和三角不等式(,)X d 为度量(距离)空间，并称d 为由范数||||⋅导出的距离，X 按导出的距离成为一个度量空间．从而在线性赋范空间X 中，关于点的邻域、开集、闭集、点列的收敛、极限点、列紧、可分性以及完备性等概念都有了确定的含义．

定义 2.1.3 巴拿赫空间Banach space

设X 为一线性赋范空间，如果X 按照距离(,)||||d x y x y =-是完备的，则称X 为巴拿赫(Banach)空间.即完备的线性赋范空间称为Banach 空间.

例 2.1.1 在n 维欧式空间n R 上，12(,,,)n n x x x x R ∀=∈ ，定义范数||||⋅

1

22

1||||(||)n

i i x x ==∑． 记d 为由范数||||⋅导出的距离(,)||||d x y x y =-，证明(,)n R d 为Banach 空间.

证明 容易验证正定性和齐次性成立，由于第二章已经证明n R 上距离

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1(,)||||(||)n

i i i d x y x y x y ==-=-∑

满足三角不等式，所以有

||||(,)(,0)(0,)||||||||x y d x y d x d y x y +=-≤+-=+

．

同时第二章已经证明n R 是完备的度量空间，故n R 为Banach 空间．□

例 2.1.2 在[,]C a b 在通常加法和数乘意义下构成线性空间，定义范数[,]

||||max |()|t a b x x t ∈=，此

范数导出的距离为[,]

(,)||||max |()()|t a b d x y x y x t y t ∈=-=-，证明在此距离下[,]C a b 是完备的，即在此

范数下[,]C a b 为Banach 空间．

证明 容易验证正定性和齐次性成立，又

[,]

||||max |()()|t a b x y x t y t ∈+=+[,]

[,]

max |()|max |()|t a b t a b x t y t ∈∈≤+||||||||x y =+

即满足三角不等式．第二章已证明[,]C a b 在此范数诱导的距离意义下是完备的度量空间，故