离散数学试卷及答案(17)
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一、判断正误20% （每小题2分）
1、设A.B. C是任意三个集合。
（1）若A∈B且B⊆C，则A⊆C。（）
（2）若A⊆B且B∈C，则A⊆C。（）
（3）若A⊆B且B∈C，则A∉C。（）
（4）A)
(
)
(
)
(C
A
B
A
C
B
⊕
=
⊕。（）
（5）(A–B)⨯C=(A⨯C)-(B⨯C)。（）
2、可能有某种关系，既不是自反的，也不是反自反的。（）
３、若两图结点数相同，边数相等，度数相同的结点数目相等，则两图是同构的。（）
４、一个图是平面图，当且仅当它包含与Ｋ
3，
3
或Ｋ
5
在２度结点内同构的子图。（）
５、代数系统中一个元素的左逆元并一定等于该元素的右逆元。（）
６、群是每个元素都有逆元的半群。（）
二、8%
将谓词公式))
,
(
)
(
)
(
)
((
))
,
(
)
(
)(
(z
y
Q
z
y
P
y
y
x
Q
x
P
x∃
∧
∃
→
→
∀化为前束析取范式与前束合取范式。
三、8%
设集合Ａ＝{a,b,c,d}上的关系Ｒ＝{
四、9%
１、画一个有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图。
２、画一个有一条欧拉回路，但没有一条汉密尔顿回路的图。
３、画一个有一条欧拉回路，但有一条汉密尔顿回路的图。
五、10%
证明：若图Ｇ是不连通的，则Ｇ的补图G 是连通的。
六、10%
证明：循环群的任何子群必定也是循环群。
七、12%
用ＣＰ规则证明：
１．F A F E D D C B A →⇒→∨∧→∨,。 ２．∃∨∀⇒∨∀(()()())()()((x P x x Q x P x )()x Q x 。
八、10%
用推理规则证明下式：
前提: ))()()(()),()()(())()()(((y W y M y y W y M y x S x F x ⌝∧∃→∀→∧∃
结论：⌝→∀)()((x F x S ))(x
九、13%
若集合Ｘ＝｛（１，２），（３，４），（５，６），……｝ }|,,,{12212211y x y x y x y x R +=+>><><<=
1、证明R 是X 上的等价关系。
2、求出X 关于R 的商集。
一、 填空 20%（每小题2分）
二、8%
)),()()()(()),()()((z y Q z y P y y x Q x P x ∃∧∃→→∀
⇔ ⌝)),()()()(()),()()((z y Q z y P y y x Q x P x ∃∧∃∨∨⌝∀ ⇔ )),()()()(()),()()((z y Q z y P y y x Q x P x ∃∧∃∨⌝∧∃ 2分 ⇔)),()()()(()),()()((z y Q z u P u y x Q x P x ∃∧∃∨⌝∧∃ 4分 ⇔ ))),()(()),()()(()()((z y Q u P y x Q x P z u x ∧∨∧∃∃∃ 6分 前束析取范式
)))
,(),(())(),(())
,()(())()()(()()((z y Q y x Q u P y x Q z y Q x P u P x P z u x ∨⌝∧∨⌝∧∨∧∨∃∃∃⇔
前束合取范式 共8分
三、8%
R
M
=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00
10000
1010010 1分 关系图
2分
传递闭包t(R) =∞
=1
i U R i
==i
i R U 41
= 4分
R
R
R
M
M
M
=2
= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡00
00
100001010010 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00
00
100001010010 =⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡00
00
000010100101 R R
R
M M
M
2
3
= =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡000000001010
0101 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000100001010010=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00
0000001011010
R R
R
M M
M
3
4
= =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡00
00000101
1010
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00
100001010010=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00
000010100101 4
3
2
R
R
R
R
M
M
M
M
+++ =⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00
10001
1111111 6分
t(R)={
五、10%
因为G=< V ，E>不连通，设其连通分支是)2()(,),(1≥m V G V G m ，
由于任两个连通分支)(i V G 和)()(j i V G j ≠之间不连通，故两结点子集j i V V 与之间所
有连线都在G 的补图G 中。
V v u ∈∀,，则有两种情况：
（1）u , v ，分别属于两个不同结点子集V i 和V j ，由于G(V i ) , G(V j )是两连通分支，故(u , v)
在不G 中，故边（u , v ） 在G 中连通。
（2）u ,v ，属于同一个结点子集V i ，可在另一结点子集V j 中任取一点w ，故边(u , w)和
边 (w , v )均在G 中，故邻接边( u ,w ) ( w , v ) 组成的路连接结点u 和v ，即u , v 在G 中也是连通。 六、10%