离散数学试卷及答案(17)
《离散数学》试题及答案
《离散数学》试题及答案一、选择题(每题5分,共25分)1. 下列关系中,哪个是等价关系?()A. 小于等于(≤)B. 大于等于(≥)C. 整除(|)D. 模2同余(≡)答案:D2. 下列哪个图是完全图?()A. 无向图B. 有向图C. 简单图D. n阶完全图答案:D3. 设A和B为集合,若A∪B=A,则下列哪个结论成立?()A. A⊆BB. B⊆AC. A=BD. A∩B=∅答案:B4. 下列哪个命题是永真命题?()A. (p→q)∧(q→p)B. (p∧q)→(p∨q)C. (p→q)∧(p→¬q)D. (p∧¬q)→(p→q)答案:B5. 设G=(V,E)是一个连通图,其中V={v1,v2,v3,v4,v5},E={e1,e2,e3,e4,e5,e6},若G的最小生成树的边数是()。
A. 4B. 5C. 6D. 7答案:B二、填空题(每题5分,共25分)6. 设A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7},则A∩B=_________。
答案:{3,4,5}7. 设图G的顶点集V={a,b,c,d},边集E={e1,e2,e3,e4,e5},其中e1=(a,b),e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(c,d),e5=(d,a),则G的邻接矩阵为_________。
答案:[0 1 1 0 0; 1 0 0 1 0; 1 0 0 1 0; 0 1 1 0 1;0 0 0 1 0]8. 设p为真命题,q为假命题,则(p∧q)∨(¬p∧¬q)的值为_________。
答案:真9. 设G=(V,E)是一个连通图,其中V={v1,v2,v3,v4,v5},E={e1,e2,e3,e4,e5,e6},若G的度数序列为(3,3,3,3,3,3),则G的边数是_________。
答案:1510. 下列命题中,与“若p,则q”互为逆否命题的是_________。
离散数学试题及答案
离散数学试题及答案一、选择题1. 设A、B、C为三个集合,下列哪个式子是成立的?A) \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)B) \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)C) \(A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup (A \cup C)\)答案:B2. 对于一个有n个元素的集合S,S的幂集中包含多少个元素?A) \(n\)B) \(2^n\)C) \(2 \times n\)答案:B二、判断题1. 对于两个关系R和S,若S是自反的,则R ∩ S也是自反的。
答案:错误2. 若一个关系R是反对称的,则R一定是反自反的。
答案:正确三、填空题1. 有一个集合A,其中包含元素1、2、3、4和5,求集合A的幂集的大小。
答案:322. 设a和b是实数,若a \(\neq\) b,则a和b之间的关系是\(\__\_\)关系。
答案:不等四、解答题1. 证明:如果关系R是自反且传递的,则R一定是反自反的。
解答:假设关系R是自反的且传递的,即对于集合A中的任意元素x,都有(x, x) ∈ R,并且当(x, y) ∈ R和(y, z) ∈ R时,(x, z) ∈ R。
反证法:假设R不是反自反的,即存在一个元素a∈A,使得(a, a) ∉ R。
由于R是自反的,所以(a, a) ∈ R,与假设矛盾。
因此,R一定是反自反的。
答案完整证明了该结论。
2. 已知集合A={1, 2, 3},集合B={2, 3, 4},求集合A和B的笛卡尔积。
解答:集合A和B的笛卡尔积定义为{(a, b) | a∈A,b∈B}。
所以,集合A和B的笛卡尔积为{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}。
离散数学参考答案
答题: A. B. C. D. 答题: A. B. C. D. 答题: A. B. C. D. 答题: A. B. C. D. 答题: A. B. C. D. 答题: A. B. C. D.答题: A. B. C. D. 答题: A. B. C. D. 答题: A. B. C. D. 答题: A. B. C. D.答题: A. B. C. D.12.(单选题) 设:p:派小王去开会。
q:派小李去开会。
则命题:“派小王或小李中的一人去开会” 可符号化为:()答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B问题解析:答题: A. B. C. D.答题: A. B. C. D.答题: A. B. C. D.答题: A. B. C. D.答题: A. B. C. D.答题: A. B. C. D.答题: A. B. C. D.问题解析:20.(单选题) 下面“”的等价说法中,不正确的为A.p是q的充分条件B.q是p的必要条件C.q仅当p D.只有q才p答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C问题解析:答题: A. B. C. D.22.(单选题) 下列式子是合式公式的是( )A.(P Ú ® Q)B.Ø(P Ù(Q Ú R))C.(P Ø Q)D.Ù Q ® Ù R答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B问题解析:23.(单选题) 公式Ø((p®q)Ù(q ® p))与的共同成真赋值为( ) A.01,10 B.10,01 C.11,00 D.01,11答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:A问题解析:24.(单选题) p,q都是命题,则p®q的真值为假当且仅当( )A.p为假,q为真B.p为假,q也为假C.p为真,q也为真D.p为真,q为假答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:D问题解析:25.(单选题) n个命题变元组成的命题公式,有( )种真值情况A.n B.C. D.2n答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:C问题解析:26.(单选题) 设A , B 代表任意的命题公式,则德?摩根律为Ø(A Ù B)Û( )A.ØA Ù ØB B.ØA Ú ØBC.A Ù ØB D.AÚB答题: A. B. C. D. (已提交)参考答案:B问题解析:27.(单选题) 设P , Q 是命题公式,德?摩根律为:Ø(P Ú Q)Û( )A.ØP Ù ØQ B.ØP Ú ØQC.P Ù ØQ D.PÚQ答题: A. B. C. D. (已提交)问题解析:28.(单选题) 命题公式A与B是等值的,是指()。
(完整版)离散数学题目及答案
数理逻辑习题判断题1.任何命题公式存在惟一的特异析取范式 ( √ ) 2. 公式)(q p p →⌝→是永真式 ( √ ) 3.命题公式p q p →∧)(是永真式 ( √ ) 4.命题公式r q p ∧⌝∧的成真赋值为010 ( × ) 5.))(()(B x A x B x xA →∃=→∀ ( √ )6.命题“如果1+2=3,则雪是黑的”是真命题 ( × ) 7.p q p p =∧∨)( ( √ )8.))()((x G x F x →∀是永真式 ( × ) 9.“我正在撒谎”是命题 ( × ) 10. )()(x xG x xF ∃→∀是永真式( √ )11.命题“如果1+2=0,则雪是黑的”是假命题 ( × ) 12.p q p p =∨∧)( ( √ )13.))()((x G x F x →∀是永假式 ( × )14.每个命题公式都有唯一的特异(主)合取范式 ( √ ) 15.若雪是黑色的:p ,则q →p 公式是永真式 ( √ ) 16.每个逻辑公式都有唯一的前束范式 ( × ) 17.q →p 公式的特异(主)析取式为q p ∨⌝ ( × ) 18.命题公式 )(r q p →∨⌝的成假赋值是110 ( √ ) 19.一阶逻辑公式)),()((y x G x F x →∀是闭式( × )单项选择题1. 下述不是命题的是( A )A.花儿真美啊! B.明天是阴天。
C.2是偶数。
D.铅球是方的。
2.谓词公式(∀y)(∀x)(P(x)→R(x,y))∧∃yQ(x,y)中变元y (B)A.是自由变元但不是约束变元B.是约束变元但不是自由变元C.既是自由变元又是约束变元D.既不是自由变元又不是约束变元3.下列命题公式为重言式的是( A )A.p→ (p∨q)B.(p∨┐p)→qC.q∧┐q D.p→┐q4.下列语句中不是..命题的只有(A )A.花儿为什么这样红?B.2+2=0C.飞碟来自地球外的星球。
离散数学试题及答案
离散数学试题及答案一、单项选择题(每题2分,共20分)1. 在集合论中,空集的表示符号是()。
A. {0}B. ∅C. {}D. Ø答案:B2. 如果A和B是两个集合,那么A∩B表示()。
A. A和B的并集B. A和B的交集C. A和B的差集D. A和B的补集答案:B3. 命题逻辑中,p ∧ q的真值表中,当p和q都为假时,p ∧ q的值为()。
A. 真B. 假C. 不确定D. 无定义答案:B4. 在图论中,如果一个图中的任意两个顶点都由一条边相连,则称这个图为()。
A. 连通图B. 无向图C. 完全图D. 有向图答案:C5. 布尔代数中,逻辑或运算符表示为()。
A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案:B6. 一个关系R是从集合A到集合B的二元关系,如果对于A中的每个元素x,B中都存在唯一的元素y与之对应,则称R为()。
A. 单射B. 满射C. 双射D. 单满射答案:C7. 在命题逻辑中,如果p是假命题,那么¬p的值为()。
A. 真B. 假C. 不确定D. 无定义答案:A8. 一个有向图是无环的,那么它一定是()。
A. 有向无环图B. 无向无环图C. 有向有环图D. 无向有环图答案:A9. 在集合论中,如果集合A是集合B的子集,那么A⊆B表示()。
A. A包含于BB. A是B的真子集C. A是B的超集D. A与B相等答案:A10. 命题逻辑中,p → q的真值表中,当p为真,q为假时,p → q 的值为()。
A. 真B. 假C. 不确定D. 无定义答案:B二、多项选择题(每题3分,共15分)1. 在集合论中,以下哪些符号表示的是集合的并集()。
A. ∪B. ∩C. ⊆D. ⊂答案:A2. 在图论中,以下哪些说法是正确的()。
A. 有向图可以是无环的B. 无向图可以是无环的C. 有向图一定是连通的D. 无向图一定是连通的答案:A B3. 在命题逻辑中,以下哪些符号表示的是逻辑与()。
离散数学考试题及详细参考答案
离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化(共6小题,每小题3分,共计18分)1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书或看报。
b)我今天进城,除非下雨。
c)仅当你走,我将留下。
2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数b)对于所有非零实数x,总存在y使得xy=1。
c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B,使得f(a)=b.二、简答题(共6道题,共32分)1.求命题公式(P→(Q→R)) (R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式,并写出所有成真赋值。
(5分)2.设个体域为{1,2,3},求下列命题的真值(4分)a)x y(x+y=4)b)y x (x+y=4)3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。
(4分)4.判断下面命题的真假,并说明原因。
(每小题2分,共4分)a)(A B)-C=(A-B) (A-C)b)若f是从集合A到集合B的入射函数,则|A|≤|B|5.设A是有穷集,|A|=5,问(每小题2分,共4分)a)A上有多少种不同的等价关系?b)从A到A的不同双射函数有多少个?6.设有偏序集<A,≤>,其哈斯图如图1,求子集B={b,d,e}的最小元,最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界,(5分)f g图17.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合,R为实数集合,求下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N(写出即可)(6分)三、证明题(共3小题,共计40分)1.使用构造性证明,证明下面推理的有效性。
(每小题5分,共10分)a)A→(B∧C),(E→ F)→ C, B→(A∧ S) B→Eb)x(P(x)→ Q(x)), x(Q(x)∨R(x)),x R(x) x P(x)2.设R1是A上的等价关系,R2是B上的等价关系,A≠ 且B≠ ,关系R满足:<<x1,y1>,<x2,y2>>∈R,当且仅当< x1, x2>∈R1且<y1,y2>∈R2。
南京航空航天大学2017离散数学试卷及答案
,即 , 是代数系统,易验证结合律成立,且 是单位元,故 是单元半群------------6分
对任意 ,由 ,得 ,------------8分
,即 ,所以, ,即 是群---10分
(3)因为 ,而 ,
所以, ------------12分
五、若N为G的正规子群,则有:对任意 , ,所以,有:
(2)
哈斯图如下,最大元为 ,最小元为 --------------------------6分
(3)对 中任意矩阵 ,
定义 ,
对任意 有 -----------8分,
对 中任意矩阵 ,有: --------------9分
对 中任意矩阵 令 ,有 所以, 是 的补元,即 是布尔格,--------------11分
二.设R是集合A上的一个关系,
(1)若R是对称关系,则对任意整数k, 也是对称关系,举例说明两个对称关系的复合未必是对称关系;
(2)若R是等价关系,则对任意非零整数k,有 .
三.设集合 ,定义M上的二元关系 ,
(1)证明: 是M上的一个部分序关系;
(2)画出部分序集 对应的哈斯图,并指出其中的最大元和最小元;
由归纳原理,结论成立-------------6分
(2) 为正整数时,因为 是自反的,所以, ,即 ,
因为 是传递的,所以 ,从而, ,可得 ;
为负整数时,因为 是对称的,所以, ,即 ,
即结论成立. -------------10分
三、(1)对 中任意矩阵 ,有:
;若 ,则有 ;若 ,则有 ;
所以, 是 上的一个部分序关系-------- 3分
, , 的自反闭包是,对称闭包是.
离散数学考试题及答案
离散数学考试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 下列哪个选项不是离散数学的研究对象?A. 图论B. 组合数学C. 微积分D. 逻辑学答案:C2. 在逻辑学中,下列哪个命题是真命题?A. 如果今天是周一,那么明天是周二。
B. 如果今天是周一,那么明天是周三。
C. 如果今天是周一,那么明天是周四。
D. 如果今天是周一,那么明天是周五。
答案:A3. 在集合论中,下列哪个符号表示集合的并集?A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案:B4. 在图论中,下列哪个术语描述的是图中的顶点集合?A. 边B. 路径C. 子图D. 顶点答案:D二、填空题(每题5分,共20分)1. 如果一个集合A包含5个元素,那么它的子集个数是______。
答案:322. 在逻辑学中,如果命题P和命题Q都是真命题,那么复合命题“P且Q”的真值是______。
答案:真3. 在图论中,如果一个图的顶点数为n,那么它的最大边数是______。
答案:n(n-1)/24. 如果一个二叉树的深度为3,那么它最多包含______个节点。
答案:7三、简答题(每题10分,共30分)1. 请简述什么是图的连通性,并给出一个例子。
答案:图的连通性是指在图中任意两个顶点之间都存在一条路径。
例如,在一个完全图K3中,任意两个顶点之间都可以通过一条边直接连接,因此它是连通的。
2. 解释什么是逻辑蕴含,并给出一个例子。
答案:逻辑蕴含是指如果一个命题P为真,则另一个命题Q也必须为真。
例如,命题P:“如果今天是周一”,命题Q:“明天是周二”。
如果今天是周一,那么根据逻辑蕴含,明天必须是周二。
3. 请描述什么是二叉搜索树,并给出它的一个性质。
答案:二叉搜索树是一种特殊的二叉树,其中每个节点的左子树只包含小于当前节点的数,右子树只包含大于当前节点的数。
它的一个性质是中序遍历可以得到一个有序序列。
四、计算题(每题15分,共30分)1. 给定一个集合A={1, 2, 3, 4, 5},请计算它的幂集,并列出所有元素。
离散数学考试题目及答案
离散数学考试题目及答案一、单项选择题(每题2分,共20分)1. 集合A={1,2,3},集合B={3,4,5},则A∩B的元素个数为:A. 0B. 1C. 2D. 3答案:B2. 函数f: X→Y是一个双射,当且仅当:A. f是单射且满射B. f是单射C. f是满射D. f是双射答案:A3. 命题p: "x是偶数",命题q: "x是3的倍数",下列逻辑运算中,表示"x是6的倍数"的是:A. p∧qB. p∨qC. ¬p∧¬qD. ¬p∨¬q答案:A4. 有向图G中,若存在从顶点u到顶点v的有向路径,则称顶点u可达顶点v。
若G中任意两个顶点都相互可达,则称G为:A. 强连通图B. 弱连通图C. 无向图D. 有向无环图答案:A5. 在二进制数系统中,下列哪个数的值最大?A. 1010B. 1100C. 1110D. 1101答案:C6. 布尔代数中,逻辑或运算符表示为:A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案:B7. 有限自动机中,状态q0是初始状态,状态q1是接受状态。
若存在从q0到q1的ε-转移,则该自动机:A. 仅在输入为空时接受B. 仅在输入非空时接受C. 无论输入为何都接受D. 无法确定是否接受答案:C8. 命题逻辑中,若命题p和q都为真,则p∧q的真值是:A. 真B. 假C. 可能为真,也可能为假D. 无法确定答案:A9. 集合{1,2,3}的子集个数为:A. 4B. 6C. 7D. 8答案:D10. 若关系R在集合A上是自反的,则对于A中的任意元素a,有:A. (a,a)∈RB. (a,a)∉RC. (a,a)是R的自反对D. (a,a)不是R的自反对答案:A二、填空题(每题3分,共15分)1. 集合A={1,2,3}的幂集包含__个元素。
答案:82. 若函数f: X→Y是满射,则对于Y中的任意元素y,至少存在X中的一个元素x,使得f(x)=__。
离散数学常见典型题练习题及参考答案
第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。
(1)p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0(2)(p↔r)∧(﹁q∨s) ⇔(0↔1)∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.(3)(⌝p∧⌝q∧r)↔(p∧q∧﹁r) ⇔(1∧1∧1)↔ (0∧0∧0)⇔0(4)(⌝r∧s)→(p∧⌝q) ⇔(0∧1)→(1∧0) ⇔0→0⇔117.判断下面一段论述是否为真:“π是无理数。
并且,如果3是无理数,则2也是无理数。
另外6能被2整除,6才能被4整除。
”答:p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为:p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。
19.用真值表判断下列公式的类型:(4)(p→q) →(⌝q→⌝p)(5)(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)(6)((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答:(4)p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式(5)公式类型为可满足式(方法如上例)(6)公式类型为永真式(方法如上例)第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答:(2)(p→(p∨q))∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r (p∨q)→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式:(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明(2)(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q) ⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解:(1)主析取范式(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q) ⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q) ⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式:(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p) ⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p)) ⇔1∧(p ∨⌝q) ⇔(p ∨⌝q) ⇔ M 1 ⇔∏(1) (2) 主合取范式为:⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r ⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0 所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0 (3)主合取范式为:(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1 ⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1 主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P 中构造下面推理的证明:(2)前提:p→q,⌝(q∧r),r结论:⌝p(4)前提:q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论:p∧q证明:(2)①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦¬p(3)⑤⑥拒取式证明(4):①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥(q→t)∧(t→q) ⑤置换⑦(q→t)⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理:(1)前提:p→(q→r),s→p,q结论:s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理:(1)前提:p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论:⌝p证明:①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④¬r∨q 前提引入⑤¬r ④化简律⑥r∧¬s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解:F(x):2=(x+)(x).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x xF ∀,在(a )中为假命题,在(b)中为真命题。
离散数学-东北师范大学考试及答案
离散数学【部分判断题答案在选择题中】一、单项选择题【设】字开头1、【答案】82.【答案】163、【答案】4、【答案】D135.【答案】D.I208.【答案】A. 错误209.【答案】D210.【答案】C215.-【答案】D.都正确216.【答案】A. 错误 218.【答案】A. 错误10.设I 是整数集合,下列集合中( )关于数的加法和乘法构成整环。
A .{}I n n ∈ 2B .{}I n n ∈+ 12C .{}I n n n ∈≥ , 0 D .I 【答案】D11.设集合{}3 , 2 , 1=A ,{}5 , 4 , 3 , 2=B ,{}16 , 8 , 4 , 2=C ,{}4 , 3 , 2 , 1=D ,又规定偏序关系“|”是集合上的“整除”关系,则下列偏序集中( )能构成格。
A . , A B ., B C ., C D ., D【答案】C1.设集合{}3 , 2 , 1 , 0=E ,则下面集合与E 相等的是 。
A .{}03 =-∈x R x B .{}9 2-=∈x R x C .{}065 2=++∈x x R x D .{}30 ≤≤∈x N x 【答案】D2.设{}6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1=A ,R 是集合A 上的整除关系,下列叙述中错误的是 。
A .4,5,6全是A 的极大元 B .A 没有最大元 C .6是A 的上界 D .1是A 的最大下界 【答案】C3. 设{} 4 , 3 , 2 , 1=X ,{}d c b a Y , , , =,则下列关系中为从X 到Y 的映射是 。
A .{}c b a , 3 , , 2 , , 1 B .{b c b a , 4 , , , , 2 , , 1 C .{b a a , 3 , , 2 , , 1 D .{c b b b a , , , 4 , , 2 , , 1 , , 1【答案】B4. 设G 是4阶群,则其子群的阶不能是下面的 。
离散数学试题+答案
离散数学试题+答案⼀、单项选择题(本⼤题共15⼩题,每⼩题1分,共15分)在每⼩题列出的四个选项中只有⼀个选项是符合题⽬要求的,请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1.⼀个连通的⽆向图G,如果它的所有结点的度数都是偶数,那么它具有⼀条( )A.汉密尔顿回路B.欧拉回路C.汉密尔顿通路D.初级回路2.设G是连通简单平⾯图,G中有11个顶点5个⾯,则G中的边是( )A.10B.12C.16D.143.在布尔代数L中,表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是( )A.b∧(a∨c)B.(a∧b)∨(a’∧b)C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c)D.(b∨c)∧(a∨c)4.设i是虚数,·是复数乘法运算,则G=<{1,-1,i,-i},·>是群,下列是G的⼦群是( )A.<{1},·>B.〈{-1},·〉C.〈{i},·〉D.〈{-i},·〉5.设Z为整数集,A为集合,A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算,∩为集合的交运算,下列系统中是代数系统的有( )A.〈Z,+,/〉B.〈Z,/〉C.〈Z,-,/〉D.〈P(A),∩〉6.下列各代数系统中不含有零元素的是( )A.〈Q,*〉Q是全体有理数集,*是数的乘法运算B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合,*是矩阵乘法运算C.〈Z,ο〉,Z是整数集,ο定义为xοxy=xy,?x,y∈ZR具有的性质是A.⾃反性B.对称性C.传递性D.反⾃反性8.设A={a,b,c},A上⼆元关系R={〈a,a〉,〈b,b〉,〈a,c〉},则关系R的对称闭包S(R)是( )A.R∪I AB.RC.R∪{〈c,a〉}D.R∩I A9.设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系,要使Ix∪{〈a,b〉,〈b,c〉,〈c,a〉,〈b,a〉}∪R为X上的等价关系,R应取( )A.{〈c,a〉,〈a,c〉}B.{〈c,b〉,〈b,a〉}C.{〈c,a〉,〈b,a〉}D.{〈a,c〉,〈c,b〉}10.下列式⼦正确的是( )A. ?∈?B.C.{?}??D.{?}∈?11.设解释R如下:论域D为实数集,a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x( )A.( ?x)( ?y)( ?z)(A(x,y))→A(f(x,z),f(y,z))B.( ?x)A(f(a,x),a)C.(?x)(?y)(A(f(x,y),x))D.(?x)(?y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))12.设B是不含变元x的公式,谓词公式(?x)(A(x)→B)等价于( )A.(?x)A(x)→BB.(?x)A(x)→BC.A(x)→BD.(?x)A(x)→(?x)B13.谓词公式(?x)(P(x,y))→(?z)Q(x,z)∧(?y)R(x,y)中变元x( )A.是⾃由变元但不是约束变元C.既是⾃由变元⼜是约束变元D.是约束变元但不是⾃由变元14.若P:他聪明;Q:他⽤功;则“他虽聪明,但不⽤功”,可符号化为( )A.P∨QB.P∧┐QC.P→┐QD.P∨┐Q15.以下命题公式中,为永假式的是( )A.p→(p∨q∨r)B.(p→┐p)→┐pC.┐(q→q)∧pD.┐(q∨┐p)→(p∧┐p)⼆、填空题(每空1分,共20分)16.在⼀棵根树中,仅有⼀个结点的⼊度为______,称为树根,其余结点的⼊度均为______。
离散数学形考任务17试题及答案完整版
2017年11月上交的离散数学形考任务一本课程的教学内容分为三个单元,其中第三单元的名称是(A ).选择一项:A. 数理逻辑B. 集合论C. 图论D. 谓词逻辑题目2答案已保存满分10.00标记题目题干本课程的教学内容按知识点将各种学习资源和学习环节进行了有机组合,其中第2章关系与函数中的第3个知识点的名称是(D ).选择一项:A. 函数B. 关系的概念及其运算C. 关系的性质与闭包运算D. 几个重要关系题目3答案已保存满分10.00标记题目题干本课程所有教学内容的电视视频讲解集中在VOD点播版块中,VOD点播版块中共有(B)讲.选择一项:A. 18B. 20C. 19D. 17题目4答案已保存满分10.00标记题目题干本课程安排了7次形成性考核作业,第3次形成性考核作业的名称是( C).选择一项:A. 集合恒等式与等价关系的判定B. 图论部分书面作业C. 集合论部分书面作业D. 网上学习问答题目5答案已保存满分10.00标记题目题干课程学习平台左侧第1个版块名称是:(C).选择一项:A. 课程导学B. 课程公告C. 课程信息D. 使用帮助题目6答案已保存满分10.00标记题目题干课程学习平台右侧第5个版块名称是:(D).选择一项:A. 典型例题B. 视频课堂C. VOD点播D. 常见问题题目7答案已保存满分10.00标记题目题干“教学活动资料”版块是课程学习平台右侧的第( A )个版块.选择一项:A. 6B. 7C. 8D. 9题目8答案已保存满分10.00标记题目题干课程学习平台中“课程复习”版块下,放有本课程历年考试试卷的栏目名称是:(D ).选择一项:A. 复习指导B. 视频C. 课件D. 自测请您按照课程导学与章节导学中安排学习进度、学习目标和学习方法设计自己的学习计划,学习计划应该包括:课程性质和目标(参考教学大纲)、学习内容、考核方式,以及自己的学习安排,字数要求在100—500字.完成后在下列文本框中提交.解答:学习计划学习离散数学任务目标:其一是通过学习离散数学,使学生了解和掌握在后续课程中要直接用到的一些数学概念和基本原理,掌握计算机中常用的科学论证方法,为后续课程的学习奠定一个良好的数学基础;其二是在离散数学的学习过程中,培养自学能力、抽象思维能力和逻辑推理能力,解决实际问题的能力,以提高专业理论水平。
离散数学考试题及答案
离散数学考试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 在集合论中,下列哪个符号表示属于关系?A. ∈B. ∉C. ⊆D. ∩答案:A2. 对于命题逻辑,下列哪个是真值表的表示方法?A. 真值表B. 逻辑图C. 布尔代数D. 集合论答案:A3. 以下哪个是图论中的基本单位?A. 点B. 线C. 面D. 体答案:A4. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2在x=-1处的值是:A. 0C. 4D. 6答案:C5. 在关系数据库中,以下哪个操作用于删除表中的记录?A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案:D6. 以下哪个是离散数学中的归纳法证明方法?A. 直接证明法B. 反证法C. 归纳法D. 构造性证明法答案:C7. 在逻辑中,以下哪个是析取命题?A. P ∧ QB. P ∨ QC. ¬PD. P → Q答案:B8. 以下哪个是图的遍历算法?B. BFSC. Dijkstra算法D. Floyd算法答案:B9. 在集合{1, 2, 3}上,以下哪个是幂集?A. {∅, {1}}B. {1, 2}C. {1, 2, 3}D. 所有选项答案:D10. 以下哪个是递归算法的特点?A. 不能自我调用B. 必须有一个终止条件C. 必须有一个基本情况D. 所有选项答案:D二、填空题(每空2分,共20分)1. 在离散数学中,_________ 表示一个命题的否定。
答案:¬P2. 如果集合A和集合B的交集为空集,那么A和B被称为_________。
答案:不相交3. 一个函数f: A → B是_________,如果对于集合B中的每个元素b,集合A中至少有一个元素a与之对应。
答案:满射4. 在图论中,一个没有环的连通图被称为_________。
答案:树5. 一个命题逻辑公式是_________,如果它在所有可能的真值分配下都是真的。
答案:重言式6. 一个关系R在集合A上是_________,如果对于A中的任意两个元素a和b,如果(a, b)属于R,则(b, a)也属于R。
离散数学考试试题及答案
离散数学考试试题及答案离散数学考试试题及答案离散数学是计算机科学和数学中的一门重要学科,它研究的是离散的结构和对象。
离散数学的理论和方法在计算机科学、信息科学、通信工程等领域具有广泛的应用。
下面将为大家提供一些离散数学考试试题及答案,希望对大家的学习和复习有所帮助。
1. 集合论题目(1) 设A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7},求A∪B的结果。
答案:A∪B={1,2,3,4,5,6,7}(2) 设A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7},求A∩B的结果。
答案:A∩B={3,4,5}(3) 设A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7},求A-B的结果。
答案:A-B={1,2}2. 图论题目(1) 给定一个无向图G,顶点集为V={A,B,C,D,E},边集为E={(A,B),(A,C),(B,D),(C,D),(D,E)},求该图的邻接矩阵。
答案:邻接矩阵为:A B C D EA 0 1 1 0 0B 1 0 0 1 0C 1 0 0 1 0D 0 1 1 0 1E 0 0 0 1 0(2) 给定一个有向图G,顶点集为V={A,B,C,D,E},边集为E={(A,B),(B,C),(C,D),(D,E),(E,A)},求该图的邻接表。
答案:邻接表为:A ->B ->C ->D ->E -> AB -> CC -> DD -> EE -> A3. 命题逻辑题目(1) 判断以下命题是否为永真式:(p∨q)∧(¬p∨r)∧(¬q∨¬r)。
答案:是永真式。
(2) 给定命题p:如果天晴,那么我去游泳;命题q:我没有去游泳。
请判断以下命题的真假:(¬p∨q)∧(p∨¬q)。
答案:是真命题。
4. 关系代数题目(1) 给定关系R(A,B,C)和S(B,C,D),求R⋈S的结果。
(完整word版)离散数学试卷及参考答案()
一、填空题:(每空1分,本大题共15分)1.给定命题公式A 、B ,若 ,则称A 和B 是逻辑相等的。
2.命题公式)(Q P →⌝的主析取范式为 ,主合取范式的编码表示为 。
3.设E 为全集, ,称为A 的绝对补,记作~A ,且~(~A )= ,~E = ,~Φ= 。
4.设},,{c b a A =考虑下列子集}},{},,{{1c b b a S =,}},{},,{},{{2c a b a a S =,}},{},{{3c b a S =,}},,{{4c b a S =}}{},{},{{5c b a S =,}},{},{{6c a a S =则A 的覆盖有 ,A 的划分有 。
5.设S 是非空有限集,代数系统<(S ),,>中,(S)对的幺元为 ,零元为 。
(S )对的幺元为 ,零元为 .6.若>=<E V G ,为汉密尔顿图,则对于结点集V 的每个非空子集S ,均有W(G-S) S 成立,其中W (G —S)是 。
二、单项选择题:(每小题1分,本大题共10分)1.下面命题公式( )不是重言式。
A 、)(Q P Q ∨→;B 、P Q P →∧)(;C 、)()(Q P Q P ∨⌝∧⌝∧⌝;D 、)()(Q P Q P ∨⌝↔→。
2.命题“没有不犯错误的人”符号化为( )。
设x x M :)(是人,x x P :)(犯错误。
A 、))()((x P x M x ∧∀; B 、)))()(((x P x M x ⌝→∃⌝;C 、)))()(((x P x M x ∧∃⌝;D 、)))()(((x P x M x ⌝∧∃⌝。
3.设}{Φ=A ,B =((A )),下列各式中哪个是错误的( )。
A 、B ⊆Φ; B 、B ⊆Φ}{,C 、B ∈Φ}}{{;D 、⊆ΦΦ}}{,{(A )。
4.对自然数集合N ,哪种运算不是可结合的,运算定义为任N b a ∈,( ).A 、),min(b a b a =*;B 、b a b a 2+=*;C 、3++=*b a b a ;D 、)3(mod ,b a b a =*。
《离散数学》试卷及答案精选全文完整版
H(x):x是身体健康的;
S(x):x是科学家
C(x):x是事业获得成功的人
置换规则。
3、设集合|A|=101,S ,且|S|为奇数,则这样的S有2101/2或2100个。
4、设mi是公式G的的主析取范式中的一个极小项,则mi的对偶式不一定是(填“是”/“不是”/“不一定是” ) G的主合取范式中的一个极大项。
5、由3个元素组成的有限集上所有的等价关系有5个
6、给定解释I如下: (1) Di:={2,3}; (2) a=3; (3) 函数f(x)为f(2)=2,f(3)=3; (4) 谓词:F(x)为F(2):=1,F(3):=0;G(x,y)为当i=j时,G(i,j):=1;当i≠j时,G(i,j):=0;其中i,j=2,3;
ac>0并且cu>0
若u>0,则c>0,a>0,因此有ac>0;
若u<0,则c<0,a<0, 也有ac>0;
因此有(a+bi)R(u+vi)
所以R在C*是传递的。所以R是C*上的等价关系。
2、在一阶逻辑自然推理系统F中,构造下面推理的证明。个体域是人的集合。
“每位科学家都是勤奋的,每个勤奋又身体健康的人在事业中都会获得成功。存在着身体健康的科学家。所以,存在着事业获得成功的人。”(15分)
2.设A={1,2,3…10},定义A上的二元关系R={<x,y>|x,y∈A∩x+y=10},试讨论R关于关系的五个方面的性质并说明理由(5分)
解答:R={<1,9>,<9,1>,<2,8>,<8, 2 >,<3,7>,<7,3>,<4,6>,<6, 4 >,<5, 5 >}
离散数学试题与参考答案
《离散数学》试题及答案一、选择题:本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 命题公式Q Q P →∨)(为 ( )(A) 矛盾式 (B) 可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式2.设P 表示“天下大雨”, Q 表示“他在室内运动”,则命题“除非天下大雨,否则他不在室内运动”符号化为( )。
(A). P Q →; (B).P Q ∧; (C).P Q ⌝→⌝; (D).P Q ⌝∨.3.设集合A ={{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}},则下式为真的是( )(A) 1∈A (B) {1,2, 3}⊆A(C) {{4,5}}⊂A (D) ∅∈A4. 设A ={1,2},B ={a ,b ,c },C ={c ,d }, 则A ×(B ⋂C )= ( )(A) {<1,c >,<2,c >} (B) {<c ,1>,<2,c >} (C) {<c ,1><c ,2>,} (D) {<1,c >,<c ,2>}5. 设G 如右图:那么G 不是( ). (A)哈密顿图; (B)完全图;(C)欧拉图; (D) 平面图.二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共206. 设集合A ={∅,{a }},则A 的幂集P (A )=7. 设集合A ={1,2,3,4 }, B ={6,8,12}, A 到B 的关系R =},,2,{B y A x x y y x ∈∈=><,那么R -1=8. 在“同学,老乡,亲戚,朋友”四个关系中_______是等价关系.9. 写出一个不含“→”的逻辑联结词的完备集 .10.设X ={a ,b ,c },R 是X 上的二元关系,其关系矩阵为 M R =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001001101,那么R 的关系图为三、证明题(共30分)11. (10分)已知A 、B 、C 是三个集合,证明A ∩(B ∪C)=(A ∩B)∪(A ∩C)12. (10分)构造证明:(P →(Q →S))∧(⌝R ∨P)∧Q ⇒R →S13.(10分)证明(0,1)与[0,1),[0,1)与[0,1]等势。
《离散数学》试题及答案
一、填空题1设集合A,B,其中A={1,2,3},B= {1,2}, 则A — B={3} ;ρ(A)—ρ(B)={3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} 。
2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)|= .3.设集合A = {a,b}, B = {1,2},则从A到B的所有映射是α1= {(a,1),(b,1)},α2= {(a,2),(b,2)},α3= {(a,1),(b,2)}, α4= {(a,2), (b,1)}, 其中双射的是α3,α4 。
4。
已知命题公式G=⌝(P→Q)∧R,则G的主析取范式是(P∧⌝Q∧R)5。
设G是完全二叉树,G有7个点,其中4个叶点,则G的总度数为12,分枝点数为3.6设A、B为两个集合,A= {1,2,4},B = {3,4}, 则从A⋂B={4} ;A⋃B={1,2,3,4};A-B={1,2}.7.设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是自反性, 对称性传递性。
8。
设命题公式G=⌝(P→(Q∧R)),则使公式G为真的解释有(1,0, 0), (1,0, 1),(1,1, 0)9. 设集合A={1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)},R2 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1•R2 ={(1,3),(2,2),(3,1)}, R2•R1 = {(2,4),(3,3),(4,2)}_R12 ={(2,2),(3,3)。
10. 设有限集A,B,|A| = m,|B| = n, 则| |ρ(A⨯B)| = 。
11设A,B,R是三个集合,其中R是实数集,A = {x | -1≤x≤1,x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = —1<=x〈0 , B—A = {x | 1 < x < 2,x∈R} ,A∩B ={x |0≤x≤1, x∈R}, .13.设集合A={2,3,4, 5,6},R是A上的整除关系,则R以集合形式(列举法)记为{(2,2),(2, 4),(2,6),(3,3),(3, 6),(4,4),(5,5),(6, 6)}。
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一、判断正误20% (每小题2分)1、设A.B. C是任意三个集合。
(1)若A∈B且B⊆C,则A⊆C。
()(2)若A⊆B且B∈C,则A⊆C。
()(3)若A⊆B且B∈C,则A∉C。
()(4)A)()()(CABACB⊕=⊕。
()(5)(A–B)⨯C=(A⨯C)-(B⨯C)。
()2、可能有某种关系,既不是自反的,也不是反自反的。
()3、若两图结点数相同,边数相等,度数相同的结点数目相等,则两图是同构的。
()4、一个图是平面图,当且仅当它包含与K3,3或K5在2度结点内同构的子图。
()5、代数系统中一个元素的左逆元并一定等于该元素的右逆元。
()6、群是每个元素都有逆元的半群。
()二、8%将谓词公式)),()()()(()),()()((zyQzyPyyxQxPx∃∧∃→→∀化为前束析取范式与前束合取范式。
三、8%设集合A={a,b,c,d}上的关系R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}写出它的关系矩阵和关系图,并用矩阵运算方法求出R的传递闭包。
四、9%1、画一个有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图。
2、画一个有一条欧拉回路,但没有一条汉密尔顿回路的图。
3、画一个有一条欧拉回路,但有一条汉密尔顿回路的图。
五、10%证明:若图G是不连通的,则G的补图G 是连通的。
六、10%证明:循环群的任何子群必定也是循环群。
七、12%用CP规则证明:1.F A F E D D C B A →⇒→∨∧→∨,。
2.∃∨∀⇒∨∀(()()())()()((x P x x Q x P x )()x Q x 。
八、10%用推理规则证明下式:前提: ))()()(()),()()(())()()(((y W y M y y W y M y x S x F x ⌝∧∃→∀→∧∃结论:⌝→∀)()((x F x S ))(x九、13%若集合X={(1,2),(3,4),(5,6),……} }|,,,{12212211y x y x y x y x R +=+>><><<=1、证明R 是X 上的等价关系。
2、求出X 关于R 的商集。
一、 填空 20%(每小题2分)二、8%)),()()()(()),()()((z y Q z y P y y x Q x P x ∃∧∃→→∀⇔ ⌝)),()()()(()),()()((z y Q z y P y y x Q x P x ∃∧∃∨∨⌝∀ ⇔ )),()()()(()),()()((z y Q z y P y y x Q x P x ∃∧∃∨⌝∧∃ 2分 ⇔)),()()()(()),()()((z y Q z u P u y x Q x P x ∃∧∃∨⌝∧∃ 4分 ⇔ ))),()(()),()()(()()((z y Q u P y x Q x P z u x ∧∨∧∃∃∃ 6分 前束析取范式))),(),(())(),(()),()(())()()(()()((z y Q y x Q u P y x Q z y Q x P u P x P z u x ∨⌝∧∨⌝∧∨∧∨∃∃∃⇔前束合取范式 共8分三、8%RM=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00100001010010 1分 关系图2分传递闭包t(R) =∞=1i U R i==ii R U 41= 4分RRRMMM=2= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000100001010010 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000100001010010 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000010100101 R RRM MM23= =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000010100101 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000100001010010=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡000000001011010R RRM MM34= =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000001011010⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00100001010010=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000010100101 432RRRRMMMM+++ =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00100011111111 6分t(R)={<a,a>,<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<b,d>,<c,d>} 共8分 四、9%五、10%因为G=< V ,E>不连通,设其连通分支是)2()(,),(1≥m V G V G m ,由于任两个连通分支)(i V G 和)()(j i V G j ≠之间不连通,故两结点子集j i V V 与之间所有连线都在G 的补图G 中。
V v u ∈∀,,则有两种情况:(1)u , v ,分别属于两个不同结点子集V i 和V j ,由于G(V i ) , G(V j )是两连通分支,故(u , v)在不G 中,故边(u , v ) 在G 中连通。
(2)u ,v ,属于同一个结点子集V i ,可在另一结点子集V j 中任取一点w ,故边(u , w)和边 (w , v )均在G 中,故邻接边( u ,w ) ( w , v ) 组成的路连接结点u 和v ,即u , v 在G 中也是连通。
六、10%设<G ,*>是循环群,G=(a),设<S,*>是<G ,*>的子群。
且G S e S ≠≠},{,则存在最小正整数m ,使得:S a m ∈,对任意S a l ∈,必有0,0,><≤+=t m r r tm l ,故:S a a a a a a t m l tm l tm l r ∈===---)(** 即:S a a a t m r l ∈=)(*所以S a r ∈,任m 使S a m ∈的最小正整数,且m r <≤0,所以r=0即:t m l a a )(= 这说明S 中任意元素是m a 的乘幂。
所以<G ,*>是以m a 为生成元的循环群。
七、用CP 规则证明12% 1、(6分) ①A P (附加前提) ②B A ∨T ①I ③D C B A ∧→∨ P ④D C ∧ T ②③I ⑤D T ④I ⑥E D ∨ T ⑤I ⑦F E D →∨ P ⑧F T ⑥⑦I ⑨F A →CP2、因为)()()()()(x xQ x P x x xQ x xP ∃→∀⌝⇔∃∨∀ 本题亦即:)()()())()((x xQ x P x x Q x P x ∃→∀⌝⇒∨∀ ①)()(x P x ∀⌝ P (附加前提) ②)()(x P x ⌝∃ T ①E ③)(e P ⌝ES ② ④))()((x Q x P x ∨∀ P ⑤)()(e Q e P ∨ US ④ ⑥)(e Q T ③⑤I ⑦)()(x Q x ∃EG ⑥⑧)()()(x xQ x P x ∃→∀⌝ CP八、10%⑴))()((y W y M y ⌝∧∃ P ⑵)()(e W e M ⌝∧ ES ⑴ ⑶))()((e W e M →⌝ T ⑵E ⑷))()((y W y M y →⌝∃ EG ⑶ ⑸))()()((y W y M y →∀⌝T ⑷E⑹))()()(())()()((y W y M y x S x F x →∀→∧∃ P ⑺))()((x S x F x ∧⌝∃ T ⑸⑹I ⑻))()(()(x S x F x ∧⌝∀ T ⑺E ⑼))()((a S a F ∧⌝ US ⑻ ⑽)()(a S a F ⌝∨⌝ T ⑼E ⑾)()(a S a F ⌝→ T ⑽E ⑿))()()((x S x F x ⌝→∀ UG ⑾九、13%(1)自反性:R y x y x y x y x X y x >∈<+=+∈∀),(),,(,,),(故由于 (2) 对称性:时当R y x y x X y x y x >∈<∈∀),(),,(,),(),,(22112211 R y x y x y x y x y x y x >∈<+=++=+),(),,(112221121221有亦即(3)传递性:,),(),,(),,(332211X y x y x y x ∈∀时当R y x y x R y x y x >∈<>∈<),(),,(,),(),,(33222211R y x y x y x y x y x y x y x y x >∈<+=+⎩⎨⎧+=++=+),(),,(3311133123321221故相加化简得即由等价关系的定义知R 是X 上的等价关系。
2、X/R={[<1,2>]R }。