《线性代数》逆矩阵

3 1
5 ， A12 (1)12
1 0
3 1
1
同理 A13=1， A21=-2， A22=1， A23=-1， A31=-1， A32=2， A33=1
5 2 1
因此A的伴随矩阵
A* 1
1
2
1 1 1
定义3 对于n阶矩阵A，若行列式|A|0，则称A是奇异的 (或降秩的或退化的)，否则称A为非奇异的(或满秩的或非退 化的) .
所以(AB )1B 1A1. (4) 若A可逆，则AT也可逆，且(AT )1(A1)T .
因为 AT(A1)T (A1A)T ETE， 所以 (AT )1(A1)T . (5) |A1|=|A|1 .
例4. 设三阶矩阵A,B满足关系式 A1BA BA 6A ，且
求矩阵 B.
1 3 0 0
A
2、设A,B,C均n为阶方阵，且ABC=E，则( )．
①ACB=E； ②CBA=E ； ③BAC=E ； ④BCA=E ．
解: 1. 由A2-A-2E=O，得
1 A(A E) E, 2
所以A-E可逆，正确选项为③ ．
2. 由ABC＝E, 可得BC为A的逆阵， 所以BCA＝E,正确选项为④ ．
作业：83页 8 ；16(1)；30
2 2 3 A 1 1 0,
1 2 1
x1 X x2 ,
x3
2 b 2.
4
计算得 A 1 0 ，故A可逆. 因而有 X A1b ，即
x1 2
2
3
1
2
1
4 3 2 18
x2 1 1 0 2 1 5 3 2 20 .
x3 1 2 1 4 1 6 4 4 26
3 2 5
101 解: 因为 |A| 2 1 0 20，所以A可逆.
3 2 5
又因为 A*
A11 A21 A31 A12 A22 A32
5 10
2 2
1 2
，
A13 A23 A33
7 2 1
所以 A1 —1 A* —1
5 10
2 1 2 2
5/2 1 1/2 5 1 1 .
|A|
2 7 2 1
7/2 1 1/2
A1 —1 A*， 其中A*为方阵A的伴随矩阵. |A|
证：充分性. 设A非奇异， 取 B —1 A* |A|
则有 AB A( —1 A* ) —1 AA* —1 |A| E=E . (即 AB = E.)
|A|
|A|
|A|
注意：
a11 a12 a1n A11 A21 An1 |A| 0 0
2. 方阵可逆的充分必要条件
定理2 n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|0，而且 A1 —1 A*，其中A*为方阵A的伴随矩阵. |A|
证： 必要性. 设A可逆，即有A1， 使AA1E , 故|A|·|A1||E|1，所以|A|0，即A为非奇异.
定理2 n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|0，而且
那么,F 矩阵 是怎么得到 的呢？
01
x1 x2
12
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1. 可逆矩阵的定义
定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 ABBAE，
那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.
逆矩阵的唯一性
如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 这是因为，如果B和B1都是A的逆矩阵，则有
ABBAE， AB1B1AE
例6． 设A
1 2 3
2 2 4
3 1 3
， B
2 5
1 3
， C
13 20 31
.
求矩阵X 使AXBC .
解: XA1CB1
为什么？
1 3 2
A1 3/2 3 5/2 1 1 1
，
B1
3 5
1 2
，
1 3 2 X 3/2 3 5/2
1 1 1
13 20 31
2 1 3 1 10 4 5 2 10 4
2.3 逆矩阵
逆矩阵概念的引入
解方程组
x1 x2 x1 x2
3 1
解：将其写成矩阵方程
11
11
x1 x2
31
两边都左乘矩阵F得
(
F
11//
2 2
1/ 1/
22
)
11//
2 2
1/ 1/
2211
11
x1 x2
11
/ /
2 2
1/ 1/
22
31
10
x1 x2
12
. 从而得方程组的解: x1 1 , x2 2
又因c0，故有 c1(aA2 bA)E， 即c1(aAbE )AE，
因此A可逆，且A1c1aAc1bE .
3. 可逆矩阵的性质
(1) 若A可逆，则A1也可逆，且(A1)1A.
(2) 若A可逆，数l0，则lA 可逆，且(lA )1l1A1.
(3) 若A、B为同阶可逆矩阵，则AB亦可逆，且(AB )1B 1A1. 因为 (AB)(B1A1) A(BB1)A1AEA1AA1 E
,
ann
x1
X
x2
,
xn
b1
b
b2
,
bn
当|A|≠0时，A-1存在， AX=b两边左乘A-1，得 X=A-1b
这就是线性方程组解的矩阵表达式.
例5. 利用逆矩阵求解方程组
2x1 x1
2 x2 x2
3x3
2 2
.
x1 2x2 x3 4
解: 将方程组写成矩阵形式 AX b
1 1 3 A 2 1 4
1 2 4
可以验证，AB BA E
4 2 1 B 4 1 2
3 1 1
2. 方阵可逆的充分必要条件
a11 a12 a1n 定义2 由矩阵 A a21 a22 a2n 的代数余子式构成的矩阵
an1 an2 ann
A11 A21 An1 A12 A22 A2n A1n A2n Ann
0
14
0
0 0 1 7
解: 由于A可逆，将等式 A1BA BA 6A 两端右乘 A1
有 A1B B 6E ，整理得 (A1 E)B 6E ,于是
B
1 6
(
A1
E)
1
6( A1
E)1
，
2
A 1
E
0
0
0 3 0
0 0 6
3 0 0
故
B
6( A1
E )1
0
2
0
0
0
1
称为矩阵A的伴随矩阵，记为A* .即
A11 A21 An1
A* =
A12 A22 A2n
A1n A2n Ann
例1.
求
1 A 1
1 2
1 3
的伴随矩阵A*.
0 1 1
A11 A21 A31
解: 三阶矩阵A的伴随矩阵A*为 A12 A22 A32
A13 A23 A33
2 A11 (1)11 1
.
5. 伴随矩阵的常用性质
1. AA＊＝A＊A＝|A|E ; 2. 若|A|≠0, 则A＊＝|A|A-1 ; 3. 若|A|≠0, 则|A*|=|A|n-1 .
练习
1、设 n 阶矩阵A满足A2-A-2E＝O，则必有( )． ① A=2E； ② A= - E； ③ A - E可逆； ④ A不可逆．
4. 用逆矩阵求解线性方程组
线性方程组
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
a1n xn b1, a2n xn b2 ,
ann xn bn.
的矩阵形式为 AX b
a11 a12
其中
A
a21
a22
an1 an2
a1n
a2
n
于是 B BE B(AB1) ( BA)B1 EB1 B1 .
1. 可逆矩阵的定义
定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 ABBAE，
那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.
定理1 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.
A的逆矩阵记为A1 . 即若ABBAE ，则BA1 .
由于A，B位置对称，故A，B互逆，即BA1， AB1. 如
推论 设A是n阶方阵，若存在同阶方阵B，使得ABE (或BAE)，则A可逆，且A-1 =B.
这一结论说明，如果要验证矩阵B是矩阵A的逆矩阵，只要 验证一个等式ABE或BAE即可.
例3．设n阶矩阵A满足aA2bAcEO，证明A为可逆矩阵， 并求A1(a, b, c为常数，且c0) .
解: 由aA2bAcEO，有 aA2bAcE，
AA* a21 a22 a2n
A12 A22
An2
0
|A| 0
|A|E
an1 an2 ann A1n A2n Ann 0 0 |A|
同理可证BAE . 因此A可逆， 且A1 —1 A* . |A|
矩阵 A 可逆 |A|0； A1 —1 A* . |A|
101 例2．求矩阵 A 2 1 0 的逆矩阵.