上海市青浦区2017届高考数学一模(含答案)
2017年高考数学真题试题(上海卷)(Word版+答案+解析)
2017年高考数学真题试卷（上海卷）一、填空题1.已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=________．2.若排列数 P 6m=6×5×4，则m=________．3.不等式x−1x＞1的解集为________．4.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于________．5.已知复数z 满足z+ 3z =0，则|z|=________． 6.设双曲线x 29﹣y 2b 2=1（b ＞0）的焦点为F 1、F 2 ， P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|=________．7.如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），则 AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是________．8.定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），若g （x ）= {3x −1，x ≤0f(x)，x >0为奇函数，则f﹣1（x ）=2的解为________．9.已知四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣ 1x ，③y=x 3 ， ④y=x 12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为________．10.已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2 ， n ∈N * ， {b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n ∈N * ， {b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)=________．11.设a 1、a 2∈R ，且 12+sinα1+ 12+sin(2α2) =2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值等于________．12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1 ， P 2 ， P 3 ， P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ， 使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1（l P ）=D 2（l P ），则Ω中所有这样的P 为________．二、选择题13.关于x 、y 的二元一次方程组 {x +5y =02x +3y =4 的系数行列式D 为（ ）A. |0543| B. |1024| C. |1523| D. |6054|14.在数列{a n }中，a n =（﹣ 12 ）n ， n ∈N * ， 则 lim n→∞a n （ ） A. 等于 −12 B. 等于0 C. 等于 12 D. 不存在15.已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn+c ，n ∈N * ， 则“存在k ∈N * ， 使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A. a≥0 B. b≤0 C. c=0 D. a ﹣2b+c=0 16.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =w}，则Ω中元素个数为（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个三、解答题17.如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5．（1）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小． 18.已知函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x+ 12 ，x ∈（0，π）． （1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a= √19 ，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，求△ABC 的面积．19.根据预测，某地第n （n ∈N *）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n （单位：辆），其中a n = {5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4 ，b n =n+5，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量S n =﹣4（n ﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 20.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ： x 24+y 2 =1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．（1）若P 在第一象限，且|OP|= √2 ，求P 的坐标；（2）设P （ 85，35 ），若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且 AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =4PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线AQ 的方程．21.设定义在R 上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1、x 2∈R ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2）． （1）若f （x ）=ax 3+1，求a 的取值范围；（2）若f （x ）是周期函数，证明：f （x ）是常值函数；（3）设f （x ）恒大于零，g （x ）是定义在R 上的、恒大于零的周期函数，M 是g （x ）的最大值．函数h （x ）=f （x ）g （x ）．证明：“h （x ）是周期函数”的充要条件是“f （x ）是常值函数”．答案解析部分一、<b >填空题1.【答案】{3，4}【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}．【分析】利用交集定义直接求解．2.【答案】3【考点】排列及排列数公式【解析】【解答】解：∵排列数P6m=6×5×4，∴由排列数公式得P63=6×5×4，∴m=3．故答案为：m=3．【分析】利用排列数公式直接求解．3.【答案】（﹣∞，0）【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】解：由x−1x＞1得：1−1x >1⇒1x<0⇒x<0，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．4.【答案】9π【考点】简单空间图形的三视图【解析】【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得43πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积． 5.【答案】 √3【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】解：由z+ 3z =0， 得z 2=﹣3，设z=a+bi （a ，b ∈R ），由z 2=﹣3，得（a+bi ）2=a 2﹣b 2+2abi=﹣3，即 {a 2−b 2=−32ab =0，解得： {a =0b =±√3 ． ∴ z =±√3i ． 则|z|= √3 ． 故答案为： √3 ．【分析】设z=a+bi （a ，b ∈R ），代入z 2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a ，b 的值得答案． 6.【答案】 11【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：根据题意，双曲线的方程为： x 29﹣y 2b 2=1，其中a= √9 =3， 则有||PF 1|﹣|PF 2||=6， 又由|PF 1|=5，解可得|PF 2|=11或﹣1（舍） 故|PF 2|=11， 故答案为：11．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a 的值，结合双曲线的定义可得||PF 1|﹣|PF 2||=6，解可得|PF 2|的值，即可得答案．7.【答案】 （﹣4，3，2） 【考点】空间中的点的坐标【解析】【解答】解：如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点， 过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵ DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），∴A （4，0，0），C 1（0，3，2）， ∴ AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4，3，2) ． 故答案为：（﹣4，3，2）．【分析】由 DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），分别求出A 和C 1的坐标，由此能求出结果． 8.【答案】 89 【考点】反函数【解析】【解答】解：若g （x ）= {3x −1，x ≤0f(x)，x >0为奇函数， 可得当x ＞0时，﹣x ＜0，即有g （﹣x ）=3﹣x ﹣1，由g （x ）为奇函数，可得g （﹣x ）=﹣g （x ），则g （x ）=f （x ）=1﹣3﹣x ， x ＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），且f ﹣1（x ）=2，可由f （2）=1﹣3﹣2= 89 ，可得f ﹣1（x ）=2的解为x= 89 ． 故答案为： 89 ．【分析】由奇函数的定义，当x ＞0时，﹣x ＜0，代入已知解析式，即可得到所求x ＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值． 9.【答案】 13【考点】函数的图象，列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣ 1x ，③y=x 3 ， ④y=x12，从四个函数中任选2个，基本事件总数n= C 42=6 ，③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有： ①③，①④共2个，∴事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P （A ）= 26 = 13 ． 故答案为： 13 ．【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n= C42=6，再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率．10.【答案】2【考点】数列递推式【解析】【解答】解：∵a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，∴b an = a bn= (b n)2．∴b1=a1=1，(b2)2=b4，(b3)2=b9，(b4)2=b16．∴b1b4b9b16= (b1b2b3b4)2．∴lg(b1b4b9b16)lg(b1b2b3b4)=2．故答案为：2．【分析】a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，可得b an=a bn= (b n)2．于是b1=a1=1，(b2)2=b4，(b3)2=b9，(b4)2=b16．即可得出．11.【答案】π4【考点】三角函数的化简求值【解析】【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使12+sinα1+ 12+sin2α2=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：α1=−π2+2k1π，k1∈Z．2α2=−π2+2k2π，即α2=−π4+k2π，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π −3π4，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π +3π4﹣（2k1+k2）π|的最小值为π4．故答案为：π4．【分析】由题意，要使12+sinα1+ 12+sin2α2=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值12.【答案】P1、P3、P4【考点】进行简单的合情推理【解析】【解答】解：设记为“▲”的四个点为A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形；如图所示，四边形ABCD两组对边中点的连线交于点P2，即符合条件的直线l P一定经过点P2，因此：经过点P2的直线有无数条；同时经过点P1和P2的直线仅有1条，同时经过点P3和P2的直线仅有1条，同时经过点P4和P2的直线仅有1条，所以符合条件的点为P1、P3、P4．故答案为：P1、P3、P4．【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，让四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，那么该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和是相等的；由此得出结论．二、<b >选择题13.【答案】C【考点】二阶矩阵【解析】【解答】解：关于x、y的二元一次方程组{x+5y=02x+3y=4的系数行列式：D= |1523|．故选：C．【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．14.【答案】B【考点】极限及其运算【解析】【解答】解：数列{a n}中，a n=（﹣12）n，n∈N*，则limn→∞a n= limn→∞(−12)n=0．故选：B．【分析】根据极限的定义，求出limn→∞a n= limn→∞(−12)n的值．15.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）2+b（200+k）+c]=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化为：a=0．∴使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0．故选：A ．【分析】由x 100+k ， x 200+k ， x 300+k 成等差数列，可得：2x 200+k =x 100+k x 300+k ， 代入化简即可得出． 16.【答案】 D【考点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】解：椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，可设P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π， 则 OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos （α﹣β）， 当α﹣β=2kπ，k ∈Z 时，w 取得最大值6，则Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =w}中的元素有无穷多对． 另解：令P （m ，n ），Q （u ，v ），则m 2+9n 2=36，9u 2+v 2=9， 由柯西不等式（m 2+9n 2）（9u 2+v 2）=324≥（3mu+3nv ）2 ， 当且仅当mv=nu ，即O 、P 、Q 共线时，取得最大值6， 显然，满足条件的P 、Q 有无穷多对，D 项正确． 故选：D ．【分析】设出P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数． 三、<b >解答题17.【答案】 （1）解：∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形， 两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． ∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积： V=S △ABC ×AA 1= 12×AB ×AC ×AA 1 = 12×4×2×5 =20（2）解：连结AM ，∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5，M 是BC 中点， ∴AA 1⊥底面ABC ，AM= 12BC =12√16+4 = √5 ， ∴∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角， tan ∠A 1MA=AA 1AM= √5= √5 ，∴直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小为arctan √5 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角【解析】【分析】（1）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V=S △ABC ×AA 1= 12×AB ×AC ×AA 1 ，由此能求出结果．（2）连结AM ，∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角，由此能求出直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小． 18.【答案】 （1）解：函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x+ 12 =cos2x+ 12 ，x ∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣ 12 π≤x≤kπ，k ∈Z ， k=1时， 12 π≤x≤π，可得f （x ）的增区间为[ π2 ，π）（2）解：设△ABC 为锐角三角形， 角A 所对边a= √19 ，角B 所对边b=5， 若f （A ）=0，即有cos2A+ 12 =0， 解得2A= 23 π，即A= 13 π， 由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ， 化为c 2﹣5c+6=0， 解得c=2或3，若c=2，则cosB= 2×√19×2 ＜0， 即有B 为钝角，c=2不成立， 则c=3，△ABC 的面积为S= 12 bcsinA= 12 ×5×3× √32=15√34【考点】三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f （A ）=0，解得A ，再由余弦定理解方程可得c ，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值． 19.【答案】 （1）解：∵a n = {5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4 ，b n =n+5∴a 1=5×14+15=20 a 2=5×24+15=95 a 3=5×34+15=420 a 4=﹣10×4+470=430 b 1=1+5=6b2=2+5=7b3=3+5=8b4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935（2）解：令a n≥b n，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤ 46511，∴第42个月底，保有量达到最大．当n≥4，{a n}为公差为﹣10等差数列，而{b n}为等差为1的等比数列，∴到第42个月底，单车保有量为a4+a422×39+535﹣b1+b422×42= 430+502×39+535﹣6+472×42=8782．S42=﹣4×16+8800=8736．∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量【考点】函数模型的选择与应用【解析】【分析】（1）计算出{a n}和{b n}的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n≥b n得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论．20.【答案】（1）解：设P（x，y）（x＞0，y＞0），∵椭圆Γ：x24+y2=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且|OP|= √2，∴联立{x24+y2=1x2+y2=2，解得P（2√33，√63）（2）解：设M（x0，0），A（0，1），P （ 85，35 ），若∠P=90°，则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ • PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即（x 0﹣ 85 ，﹣ 35 ）•（﹣ 85 ， 25）=0， ∴（﹣ 85 ）x 0+ 6425 ﹣ 625 =0，解得x 0= 2920 ．如图，若∠M=90°，则 MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即（﹣x 0 ， 1）•（ 85 ﹣x 0 ， 35）=0， ∴ x 02−85x 0+35 =0，解得x 0=1或x 0= 35 ， 若∠A=90°，则M 点在x 轴负半轴，不合题意．∴点M 的横坐标为 2920 ，或1，或 35（3）解：设C （2cosα，sinα），∵ AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，A （0，1）， ∴Q （4cosα，2sinα﹣1），又设P （2cosβ，sinβ），M （x 0 ， 0），∵|MA|=|MP|，∴x 02+1=（2cosβ﹣x 0）2+（sinβ）2 ，整理得：x 0= 34 cosβ，∵ PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1）， PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（﹣ 54 cosβ，﹣sinβ）， PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =4PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣ 43 cosα，且sinα= 13 （1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα= 23 ，或sinα=﹣1（舍去），此时，直线AC 的斜率k AC =﹣ 1−sinα2cosα = √510（负值已舍去），如图．∴直线AQ 为y= √510x+1．【考点】椭圆的应用，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立{x24+y2=1x2+y2=2，能求出P点坐标．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（85，35），由∠P=90°，求出x0= 2920；由∠M=90°，求出x0=1或x0= 35；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．由此能求出点M的横坐标．（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0）推导出x0= 34cosβ，从而4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣43cosα，且sinα= 13（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ．21.【答案】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的范围是[0，+∞）（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）．又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1•g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1•g（x0+T g）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）．又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]⊆[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=R．h（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）•f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0．因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．综上，必要性得证【考点】函数的周期性【解析】【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．。
07.2017年上海高三数学一模分类汇编：解析几何
2（2017徐汇一模）. 已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，若C 经过点(1,3)M ，则其焦点到准线的距离为4（2017青浦一模）. 等轴双曲线222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点，且||AB =，则该双曲线的实轴长等于4（2017崇明一模）. 抛物线2y x =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为4（2017宝山一模）. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为5（2017普陀一模）. 设k R ∈，2212y x k k -=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是6（2017浦东一模）. 已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6， 则b =6（2017金山一模）. 点(1,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 6（2017奉贤一模）. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆2215x y +=的右焦点重合，则p =7（2017虹口一模）. 若双曲线2221y x b-=的一个焦点到其渐近线距离为线焦距等于8（2017普陀一模）. 已知圆222:220C x y kx y k ++++=（k R ∈）和定点(1,1)P -，若过P 可以作两条直线与圆C 相切，则k 的取值范围是9（2017浦东一模）. 过双曲线222:14x y C a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交 双曲线C 的两条渐近线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为9（2017金山一模）. 方程22242340x y tx ty t +--+-=（t 为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是 （结果化为普通方程）9（2017杨浦一模）. 已知直线l 经过点(且方向向量为(2,1)-，则原点O 到直线l 的距离为10（2017松江一模）. 设(,)P x y 是曲线1C =上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ， 则12||||PF PF +的最大值为10（2017闵行一模）. 已知x 、y 满足曲线方程2212x y +=，则22x y +的取值范围是10（2017杨浦一模）. 若双曲线的一条渐近线为20x y +=，且双曲线与抛物线2y x =的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为11（2017虹口一模）. 点(20,40)M ，抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，若对于 抛物线上的任意点P ，||||PM PF +的最小值为41，则p 的值等于11（2017杨浦一模）.平面直角坐标系中，给出点(1,0)A 、(4,0)B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得||2||PA PB =，则实数m 的取值范围是12（2017虹口一模）. 当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||32|x y a x y +++--的取 值与x 、y 均无关，则实数a 的取值范围是12（2017金山一模）. 曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数2k （0k >）的点的轨迹，下列四个结论：① 曲线C 过点(1,1)-；② 曲线C 关于点(1,1)-成中心对称；③ 若点P 在曲线C 上，点A 、B 分别在直线1l 、2l 上，则||||PA PB +不小于2k ；④ 设0P 为曲线C 上任意一点，则点0P 关于直线1:1l x =-，点(1,1)-及直线2:1l y =对称的点分别为1P 、2P 、3P ，则四边形0123P PP P 的面积为定值24k ；其中，所有正确结论的序号是13（2017奉贤一模）. 对于常数m 、n ，“0mn <”是“方程221mx ny +=表示的曲线 是双曲线”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14（2017静安一模）. 已知椭圆1C ，抛物线2C 焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 顶点均 为原点O ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则1C 的左焦点到2C 的准线之 间的距离为（ ）A.1 B. 1 C. 1 D. 215（2017崇明一模）. 如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A.221255x y += B. 2213010x y += C.2213616x y += D. 2214525x y +=16（2017杨浦一模）. 若直线1x ya b+=通过点(cos ,sin )P θθ，则下列不等式正确的是（ ） A. 221a b +≤ B. 221a b +≥ C. 22111a b +≤ D. 22111a b+≥16（2017闵行一模）. 曲线1:sin C y x =，曲线22221:()2C x y r r ++-=（0r >），它们交点的个数（ ）A. 恒为偶数B. 恒为奇数C. 不超过2017D. 可超过201716（2017徐汇一模）. 如图，两个椭圆221259y x +=、221259y x+=内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列三个判断：（1）P 到1(4,0)F -、2(4,0)F 、1(0,4)E -、2(0,4)E 四点的距离之和为定值（2）曲线C 关于直线y x =、y x =-均对称 （3）曲线C 所围区域面积必小于36 上述判断中正确命题的个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个17（20172017静安一模）. 设双曲线22:123x y C -=，1F 、2F 为其左右两个焦点； （1）设O 为坐标原点，M 为双曲线C 右支上任意一点，求1OM F M ⋅的取值范围； （2）若动点P 与双曲线C 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值 为19-，求动点P 的轨迹方程； 18（2017普陀一模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，且12||6F F =，12arccos 9PF F ∠=，12PF F ∆的面积为（1）求椭圆Γ的方程；（2）若M 是椭圆上的动点，求||MQ 的最大值， 并求出||MQ 取得最大值时M 的坐标；18（2017宝山一模）. 已知椭圆C 的长轴长为26，左焦点的坐标为(2,0)-；（1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||AB =试求直线l 的倾斜角；18（2017杨浦一模）. 如图所示，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段，点A 、B 在1l 上，且位于M 点的两侧，C 在2l 上，AM BM NM CN ===； （1）求证：异面直线AC 与BN 垂直；（2）若四面体ABCN 的体积9ABCN V =，求异面直线1l 、2l 之间的距离；19（2017青浦一模）. 如图，1F 、2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点，且焦距为AB 平行于x 轴，且11||||4F A F B +=； （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 是椭圆C 上异于点A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，若2MF 、2NF 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅是定值；19（2017浦东一模）. 已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的一条直线交椭圆于P 、Q 两点，若△12PF F 的周长为4+，且长轴长与短轴长； （1）求椭圆C 的方程；（2）若12||||F P F Q PQ +=，求直线PQ 的方程；19（2017金山一模）. 已知椭圆C 以原点为中心，左焦点F 的坐标是(1,0)-，长轴长是短倍，直线l 与椭圆C 交于点A 与B ，且A 、B 都在x 轴上方，满足180OFA OFB ︒∠+∠=； （1）求椭圆C 的标准方程；（2）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若 存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由；19（2017崇明一模）. 已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ︒∠=；（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅的值；19（2017杨浦一模）. 如图所示，椭圆22:14x C y +=，左右焦点分别记作1F 、2F ，过1F 、2F 分别作直线1l 、2l 交椭圆于AB 、CD ，且1l ∥2l ；（1）当直线1l 的斜率1k 与直线BC 的斜率2k 都存在时，求证：12k k ⋅为定值； （2）求四边形ABCD 面积的最大值；20（2017闵行一模）. 如图，椭圆2214y x +=的左、右顶点分别为A 、B ，双曲线Γ以A 、B 为顶点，焦距为P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与椭圆相交于另一点Q ，线段AQ 中点为M ，记直线AP 的斜率为k ，O 为坐标原点； （1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M 的纵坐标M y 的取值范围；（3）是否存在定直线l ，使得直线BP 与直线OM 关于直线l 对称？若存在，求直线l 方程，若不存在，请说明理由；20（2017奉贤一模）. 过双曲线2214y x -=的右支上的一点P 作一直线l 与两渐近线交于A 、B 两点，其中P 是AB 的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当P 坐标为0(,2)x 时，求直线l 的方程； （3）求证：||||OA OB ⋅是一个定值；20（2017虹口一模）. 椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点(4,3)P ，记PA 、PB 的斜率分别为1k 和2k ；（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线l 的斜率等于1-，求出12k k ⋅的值； （3）探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定 值，如果不是，求出12k k +的取值范围；20（2017松江一模）. 已知双曲线2222:1x y C a b-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60︒，直线l 交双曲线于A 、B 两点；（1）求双曲线C 的方程；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A 、B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k 、PB k 均 存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(,0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎 样转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由；20（2017徐汇一模）. 如图，双曲线22:13x y Γ-=的左、右焦点1F 、2F ，过2F 作直线l 交y 轴于点Q ；（1）当直线l 平行于Γ的一条渐近线时，求点1F 到直线l 的距离；（2）当直线l 的斜率为1时，在Γ的右支上是否存在点P ，满足110F P FQ ⋅=？，若存在， 求点P 的坐标，若不存在，说明理由；（3）若直线l 与Γ交于不同两点A 、B ，且Γ上存在一点M ，满足40OA OB OM ++= （其中O 为坐标原点），求直线l 的方程；。
2017高考上海各区数学一模(含答案)
上海市宝山区2017届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 23lim1n n n →∞+=+2. 设全集U R =，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =≥，则U AC B =3. 不等式102x x +<+的解集为 4. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为5. 设复数z 满足23z z i +=-（i 为虚数单位），则z =6. 若函数cos sin sin cos x xy x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为7. 若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为 8. 已知向量(1,2)a =，(0,3)b =，则b 在a 的方向上的投影为9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面 积为10. 某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生 均有的概率为 （结果用最简分数表示）11. 设常数0a >，若9()a x x+的二项展开式中5x 的系数为144，则a =12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ， 那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型 标准数列的个数为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设a R ∈，则“1a =”是“复数(1)(2)(3)a a a i -+++为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人， 为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120 人，则该样本中的高二学生人数为（ ）A. 80B. 96C. 108D. 110 15. 设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M 、N 为互斥事件，且1()5P M =，1()4P N =，则9()20P M N =； （2）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （3）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （4）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （5）若1()2P M =，1()3P N =，5()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416. 在平面直角坐标系中，把位于直线y k =与直线y l =（k 、l 均为常数，且k l <）之 间的点所组成区域（含直线y k =，直线y l =）称为“k l ⊕型带状区域”，设()f x 为二次 函数，三点(2,(2)2)f --+、(0,(0)2)f +、(2,(2)2)f +均位于“04⊕型带状区域”，如 果点(,1)t t +位于“13-⊕型带状区域”，那么，函数|()|y f t =的最大值为（ ） A. 72 B. 3 C. 52D. 2三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面积为934，侧面积为36；（1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求异面直线1AC 与AB 所成的角的大小；18. 已知椭圆C 的长轴长为26，左焦点的坐标为(2,0)-； （1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||6AB =， 试求直线l 的倾斜角；19. 设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）； （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足1n n n y y x +-=（*n N ∈），且12y =，求满足不等式559n y >的最小 正整数n 的值；20. 设函数()lg()f x x m =+（m R ∈）； （1）当2m =时，解不等式1()1f x >； （2）若(0)1f =，且1()()2x f x λ=+在闭区间[2,3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数()f x 的图像过点(98,2)，且不等式[cos(2)]lg2n f x <对任意n N ∈均成立， 求实数x 的取值集合；21. 设集合A 、B 均为实数集R 的子集，记：{|,}A B a b a A b B +=+∈∈； （1）已知{0,1,2}A =，{1,3}B =-，试用列举法表示A B +；（2）设123a =，当*n N ∈，且2n ≥时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果 12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，122{,,}993B =---，设A B +中的所有元素之和为n S ，对于满足3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，不等式0m n k S S S λ+->恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合111A A A ⊆+，则称1A 为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合2A 的 某个非空有限子集中所有元素的和，则称2A 为“*N 的基底集”，问：是否存在一个整数集 合既是自生集又是*N 的基底集？请说明理由；上海市宝山区2017届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 23lim1n n n →∞+=+2. 设全集U R =，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =≥，则U AC B =3. 不等式102x x +<+的解集为 4. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为5. 设复数z 满足23z z i +=-（i 为虚数单位），则z =6. 若函数cos sin sin cos x xy x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为7. 若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为 8. 已知向量(1,2)a =，(0,3)b =，则b 在a 的方向上的投影为9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面 积为10. 某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生 均有的概率为 （结果用最简分数表示）11. 设常数0a >，若9()a x x+的二项展开式中5x 的系数为144，则a =12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ， 那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型 标准数列的个数为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设a R ∈，则“1a =”是“复数(1)(2)(3)a a a i -+++为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人， 为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120 人，则该样本中的高二学生人数为（ ）A. 80B. 96C. 108D. 110 15. 设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M 、N 为互斥事件，且1()5P M =，1()4P N =，则9()20P M N =； （2）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （3）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （4）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （5）若1()2P M =，1()3P N =，5()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416. 在平面直角坐标系中，把位于直线y k =与直线y l =（k 、l 均为常数，且k l <）之 间的点所组成区域（含直线y k =，直线y l =）称为“k l ⊕型带状区域”，设()f x 为二次 函数，三点(2,(2)2)f --+、(0,(0)2)f +、(2,(2)2)f +均位于“04⊕型带状区域”，如 果点(,1)t t +位于“13-⊕型带状区域”，那么，函数|()|y f t =的最大值为（ ） A. 72 B. 3 C. 52D. 2三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面积为934，侧面积为36；（1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求异面直线1AC 与AB 所成的角的大小；18. 已知椭圆C 的长轴长为26，左焦点的坐标为(2,0)-； （1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||6AB =， 试求直线l 的倾斜角；19. 设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）； （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足1n n n y y x +-=（*n N ∈），且12y =，求满足不等式559n y >的最小 正整数n 的值；20. 设函数()lg()f x x m =+（m R ∈）； （1）当2m =时，解不等式1()1f x >； （2）若(0)1f =，且1()()2x f x λ=+在闭区间[2,3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数()f x 的图像过点(98,2)，且不等式[cos(2)]lg2n f x <对任意n N ∈均成立， 求实数x 的取值集合；21. 设集合A 、B 均为实数集R 的子集，记：{|,}A B a b a A b B +=+∈∈； （1）已知{0,1,2}A =，{1,3}B =-，试用列举法表示A B +；（2）设123a =，当*n N ∈，且2n ≥时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果 12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，122{,,}993B =---，设A B +中的所有元素之和为n S ，对于满足3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，不等式0m n k S S S λ+->恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合111A A A ⊆+，则称1A 为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合2A 的 某个非空有限子集中所有元素的和，则称2A 为“*N 的基底集”，问：是否存在一个整数集 合既是自生集又是*N 的基底集？请说明理由；上海市崇明县2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 复数(2)i i +的虚部为 2. 设函数2log ,0()4,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则((1))f f -=3. 已知{||1|2,}M x x x R =-≤∈，1{|0,}2xP x x R x -=≥∈+，则M P =4. 抛物线2y x =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为5. 已知无穷数列{}n a 满足112n n a a +=*()n N ∈，且21a =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和， 则lim n n S →∞=6. 已知,x y R +∈，且21x y +=，则xy 的最大值为7. 已知圆锥的母线10l =，母线与旋转轴的夹角30α︒=，则圆锥的表面积为8. 若21(2)nx x+*()n N ∈的二项展开式中的第9项是常数项，则n =9. 已知,A B 分别是函数()2sin f x x ω=(0)ω>在y 轴右侧图像上的第一个最高点和第一 个最低点，且2AOB π∠=，则该函数的最小正周期是10. 将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同 一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是11. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数()y f x =的图像恰好经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数，已知函数：①2y x =；②2sin y x =；③1xy π=-；④cos()3y x π=+；其中为一阶格点函数的序号为 （注：把你认为正确的序号都填上）12. 已知AB 为单位圆O 的一条弦，P 为单位圆O 上的点，若()||f AP AB λλ=-()R λ∈ 的最小值为m ，当点P 在单位圆上运动时，m 的最大值为43，则线段AB 长度为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A. tan y x =B. 3xy = C. 13y x = D. lg ||y x =14. 设,a b R ∈，则“21a b ab +>⎧⎨>⎩”是“1a >且1b >”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要 15. 如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满 足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A.221255x y += B. 2213010x y += C.2213616x y += D. 2214525x y += 16. 实数a 、b 满足0ab >且a b ≠，由a 、b 、2a b+、ab 按一定顺序构成的数列（ ） A. 可能是等差数列，也可能是等比数列 B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列 C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列 D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，12BB =，求： （1）异面直线11B C 与1AC 所成角的大小； （2）四棱锥111A B BCC -的体积；18. 在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E 正北55海 里处有一个雷达观测站A ，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与 点A 相距402海里的位置B 处，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ︒+ （其中26sin 26θ=，090θ︒︒<<）且与点A 相距1013海里的位置C 处； （1）求该船的行驶速度；（单位：海里/小时）（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断 它是否会进入警戒水域，并说明理由；19. 已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ︒∠=；（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅的值；20. 设12()2x x a f x b+-+=+，,a b 为实常数；（1）当1a b ==时，证明：()f x 不是奇函数； （2）若()f x 是奇函数，求a 与b 的值；（3）当()f x 是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x 、c ， 都有2()33f x c c <-+成立？若存在，试找出所有这样的D ；若不存在，说明理由；21. 已知数列{}n a 、{}n b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和； （1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n =，23a =，求证：数列{}n a 满足212n n n a a a +++=，并写出{}n a 通项公式； （3）在（2）的条件下，设nn na cb =，求证：数列{}nc 中的任意一项总可以表示成该数列 其他两项之积；参考答案一. 填空题1. 22. 2-3. [1,1]-4.34 5. 4 6. 187. 75π 8. 12 9. 833 10. 96 11. ②③ 12. 423二. 选择题13. C 14. B 15. C 16. D三. 解答题 17.（1）5arccos10；（2）33；18.（1）155；（2）357d =<，会进入警戒水域；19.（1）2212y x -=；（2）29；20.（1）(1)(1)f f -≠-；（2）12a b =⎧⎨=⎩，12a b =-⎧⎨=-⎩；（3）当121()22x x f x +-+=+，D R =；当121()22x x f x +--=-，(0,)D =+∞，25(,log ]7D =-∞；21.（1）12n b =；（2）1n a n =+；（3）略；上海市金山区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若集合2{|20}M x x x =-<，{|||1}N x x =>，则MN =2. 若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =3. 如果5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值是 4. 函数cos sin ()sin cos x xf x x x=的最小正周期是5. 函数()2x f x m =+的反函数为1()y f x -=，且1()y f x -=的图像过点(5,2)Q ，那么m =6. 点(1,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 7. 如果实数x 、y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值是8. 从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课 代表，共有 种不同的选法（结果用数值表示） 9. 方程22242340x y tx ty t +--+-=（t 为参数）所表示 的圆的圆心轨迹方程是 （结果化为普通方程） 10. 若n a 是(2)nx +（*n N ∈，2n ≥，x R ∈）展开式中2x 项的二项式系数，则23111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+= 11. 设数列{}n a 是集合{|33,stx x s t =+<且,}s t N ∈中所有的数从小到大排列成的数列， 即14a =，210a =，312a =，428a =，530a =，636a =，，将数列{}n a 中各项按 照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则15a 的值为12. 曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数2k （0k >）的点的轨迹，下列四个结论：① 曲线C 过点(1,1)-；② 曲线C 关于点(1,1)-成中心对称； ③ 若点P 在曲线C 上，点A 、B 分别在直线1l 、2l 上，则||||PA PB +不小于2k ；④ 设0P 为曲线C 上任意一点，则点0P 关于直线1:1l x =-，点(1,1)-及直线2:1l y =对称的点分别为1P 、2P 、3P ，则四边形0123P PP P 的面积为定值24k ； 其中，所有正确结论的序号是41012283036⋅⋅⋅二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 给定空间中的直线l 与平面α，则“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于平面α上 无数条直线”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既不充分也不必要 14. 已知x 、y R ∈，且0x y >>，则（ ） A.110x y-> B. 11()()022x y -<C. 22log log 0x y +>D. sin sin 0x y -> 15. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A. 283π-B. 83π- C. 82π- D. 23π16. 已知函数2(43)30()log (1)10a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）A. 2(0,]3B. 23[,]34C. 123[,]{}334D. 123[,){}334三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PB 、PD 与 平面ABCD 所成的角依次是4π和1arctan 2，2AP =，E 、F 依次是PB 、PC 的中点；（1）求异面直线EC 与PD 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）求三棱锥P AFD -的体积；18. 已知△ABC 中，1AC =，23ABC π∠=，设BAC x ∠=，记()f x AB BC =⋅； （1）求函数()f x 的解析式及定义域；（2）试写出函数()f x 的单调递增区间，并求方程1()6f x =的解；19. 已知椭圆C 以原点为中心，左焦点F 的坐标是(1,0)-，长轴长是短轴长的2倍，直 线l 与椭圆C 交于点A 与B ，且A 、B 都在x 轴上方，满足180OFA OFB ︒∠+∠=； （1）求椭圆C 的标准方程；（2）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若 存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由；20. 已知函数2()21g x ax ax b =-++(0)a >在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1， 记()(||)f x g x =，x R ∈； （1）求实数a 、b 的值；（2）若不等式222()()log 2log 3f x g x k k +≥--对任意x R ∈恒成立，求实数k 的范围； （3）对于定义在[,]p q 上的函数()m x ，设0x p =，n x q =，用任意i x (1,2,,1)i n =⋅⋅⋅- 将[,]p q 划分成n 个小区间，其中11i i i x x x -+<<，若存在一个常数0M >，使得不等式01121|()()||()()||()()|n n m x m x m x m x m x m x M --+-+⋅⋅⋅+-≤恒成立，则称函数()m x为在[,]p q 上的有界变差函数，试证明函数()f x 是在[1,3]上的有界变差函数，并求出M 的最小值；21. 数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有(1)2n n n S +=； （1）试证明数列{}n b 是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a 与1i a +之间插入i 个(1)i i b -*()i N ∈后，得到一个新数列{}n c ，求数列{}n c 中所有项的和； （3）如果存在*n N ∈，使不等式11820(1)()(1)n n n n n b n b b b λ++++≤+≤+成立，若存在， 求实数λ的范围，若不存在，请说明理由；参考答案一. 填空题1. (1,2)2. 12i -3. 512-4. π5. 16. 557. 4 8. 48 9. 20x y -= 10. 2 11. 324 12. ②③④二. 选择题13. A 14. B 15. A 16. C三. 解答题 17.（1）310arccos 10；（2）43；18.（1）2211()sin sin()sin(2)33366f x x x x ππ=+=+-，(0,)3x π∈； （2）递增区间(0,]6π，6x π=；19.（1）2212x y +=；（2）(2,0)-； 20.（1）0b =，1a =；（2）1[,8]2；（3）min 4M =；21.（1）n b n =；（2）201822033134+；（3）不存在；上海市虹口区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,2,4,6,8}A =，{|2,}B x x k k A ==∈，则A B =2. 已知21zi i=+-，则复数z 的虚部为 3. 设函数()sin cos f x x x =-，且()1f a =，则sin 2a =4. 已知二元一次方程111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是111113-⎛⎫⎪⎝⎭，则此方程组的解是5. 数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是它前n 项和，则2lim n n nSa →∞=6. 已知角A 是ABC ∆的内角，则“1cos 2A =”是“3sin 2A =”的 条件（填“充 分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）7. 若双曲线2221y x b-=的一个焦点到其渐近线距离为22，则该双曲线焦距等于8. 若正项等比数列{}n a 满足：354a a +=，则4a 的最大值为 9. 一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平 面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于10. 设函数61()211x x f x x x ⎧≥=⎨--≤-⎩，则当1x ≤-时，则[()]f f x 表达式的展开式中含2x 项的系数是11. 点(20,40)M ，抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，若对于抛物线上的任意点P ，||||PM PF +的最小值为41，则p 的值等于12. 当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||32|x y a x y +++--的取值与x 、y 均无关， 则实数a 的取值范围是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 在空间，α表示平面，m 、n 表示二条直线，则下列命题中错误的是（ ） A. 若m ∥α，m 、n 不平行，则n 与α不平行 B. 若m ∥α，m 、n 不垂直，则n 与α不垂直 C. 若m α⊥，m 、n 不平行，则n 与α不垂直 D. 若m α⊥，m 、n 不垂直，则n 与α不平行14. 已知函数()sin(2)3f x x π=+在区间[0,]a （其中0a >）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. 02a π<≤B. 012a π<≤C. 12a k ππ=+，*k N ∈ D. 2212k a k πππ<≤+，k N ∈15. 如图，在圆C 中，点A 、B 在圆上，则AB AC ⋅的值（ ）A. 只与圆C 的半径有关B. 既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关C. 只与弦AB 的长度有关D. 是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值16. 定义(){}f x x =（其中{}x 表示不小于x 的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}3=，{4}4=，以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ）①(2)2()f x f x =；② 若12()()f x f x =，则121x x -<；③ 任意1x 、2x R ∈，1212()()()f x x f x f x +≤+；④1()()(2)2f x f x f x ++=； A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在正三棱锥P ABC -中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4； （1）求证：PA BC ⊥；（2）求此三棱锥的全面积和体积；18. 如图，我海蓝船在D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其北偏东30° 方向与它相距20海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海蓝船正东18海里处； （1）求此时该外国船只与D 岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行，为了将该船拦截在 离D 岛12海里的E 处（E 在B 的正南方向），不让其进入D 岛12海里内的海域，试确定 海蓝船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）；19. 已知二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[0,)+∞； （1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在2[,)a+∞的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出()f x 在[1,)+∞上的最小值()g a ，并求()g a 的值域；20. 椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点(4,3)P ，记PA 、PB 的斜率分别为1k 和2k ；（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线l 的斜率等于1-，求出12k k ⋅的值； （3）探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定 值，如果不是，求出12k k +的取值范围；21. 已知函数()2|2||1|f x x x =+-+，无穷数列{}n a 的首项1a a =； （1）若()n a f n =（*n N ∈），写出数列{}n a 的通项公式；（2）若1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），要使数列{}n a 是等差数列，求首项a 取值范围； （3）如果1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），求出数列{}n a 的前n 项和n S ；参考答案一. 填空题1. {2,4,8}2. 13. 04. 21x y =⎧⎨=⎩ 5. 146. 充分非必要7. 68. 29. 43 10. 6011. 22或42 12. [5,)+∞二. 选择题13. A 14. B 15. C 16. C三. 解答题17.（1）略；（2）9793S =+，63V =； 18.（1）291；（2）东偏北41.8︒， 6.4v =海里/小时； 19.（1）非奇非偶函数；（2）单调递增；（3）当02a <<，()0g a =；当2a ≥，4()4g a a a=+-；值域[0,)+∞； 20.（1）22143x y +=；（2）12；（3）2；21.（1）3n a n =+；（2）{3}[1,)a ∈--+∞；（3）当2a ≤-，3(1)(2)(1)(3)2n n n S a n a --=+---+；当21a -<≤-，3(1)(2)(1)(35)2n n n S a n a --=+-++；当1a >-，3(1)2n n n S na -=+；上海市闵行区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 方程lg(34)1x +=的解x = 2. 若关于x 的不等式0x ax b->-（,a b R ∈）的解集为(,1)(4,)-∞+∞，则a b += 3. 已知数列{}n a 的前n 项和为21n n S =-，则此数列的通项公式为4. 函数()1f x x =+的反函数是5. 6(12)x +展开式中3x 项的系数为 （用数字作答）6. 如图，已知正方形1111ABCD A BC D -，12AA =，E 为 棱1CC 的中点，则三棱锥1D ADE -的体积为 7. 从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排， 则其中含有“a ”的共有 种排法（用数字作答）8. 集合{|cos(cos )0,[0,]}x x x ππ=∈= （用列举法表示） 9. 如图，已知半径为1的扇形AOB ，60AOB ∠=︒，P 为弧AB 上的一个动点，则OP AB ⋅取值范围是 10. 已知x 、y 满足曲线方程2212x y+=，则22x y +的 取值范围是11. 已知两个不相等的非零向量a 和b ，向量组1234(,,,)x x x x 和1234(,,,)y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，记11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅，那么S 的所有可能取值中的最 小值是 （用向量a 、b 表示）12. 已知无穷数列{}n a ，11a =，22a =，对任意*n N ∈，有2n n a a +=，数列{}n b 满足 1n n n b b a +-=（*n N ∈），若数列2{}nnb a 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满 足要求的1b 的值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 若a 、b 为实数，则“1a <”是“11a>”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 14. 若a 为实数，(2)(2)4ai a i i +-=-（i 是虚数单位），则a =（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 215. 函数2()||f x x a =-在区间[1,1]-上的最大值是a ，那么实数a 的取值范围是（ ） A. [0,)+∞ B. 1[,1]2 C. 1[,)2+∞ D. [1,)+∞16. 曲线1:sin C y x =，曲线22221:()2C x y r r ++-=（0r >），它们交点的个数（ ）A. 恒为偶数B. 恒为奇数C. 不超过2017D. 可超过2017三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 中点，现将Rt AOB ∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上一点，且90BOC ∠=︒， （1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的大小； （用反三角函数表示）18. 已知(23,1)m =，2(cos ,sin )2An A =，A 、B 、C 是ABC ∆的内角； （1）当2A π=时，求||n 的值；（2）若23C π=，||3AB =，当m n ⋅取最大值时，求A 的大小及边BC 的长；19. 如图所示，沿河有A 、B 两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河 里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污 水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送）， 依据经验公式，建厂的费用为0.7()25f m m=⋅（万元），m 表示污水流量，铺设管道的费用（包括管道费）() 3.2g x x =（万元），x 表示输送污水管道的长度（千米）；已知城镇A 和城镇B 的污水流量分别为13m =、25m =，A 、B 两城镇连接污水处理 厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排 入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）（1）若在城镇A 和城镇B 单独建厂，共需多少总费用？ （2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A 到拟建厂 的距离为x 千米，求联合建厂的总费用y 与x 的函数关系 式，并求y 的取值范围；20. 如图，椭圆2214y x +=的左、右顶点分别为A 、B ，双曲线Γ以A 、B 为顶点，焦距 为25，点P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与椭圆相交于另一点Q ，线段AQ 的中点为M ，记直线AP 的斜率为k ，O 为坐标原点； （1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M 的纵坐标M y 的取值范围； （3）是否存在定直线l ，使得直线BP 与直线OM 关于直线l 对称？若存在，求直线l 方程，若不存在，请说明理由；21. 在平面直角坐标系上，有一点列01231,,,,,,n n P P P P P P -⋅⋅⋅，设点k P 的坐标(,)k k x y （k N ∈，k n ≤），其中k x 、k y Z ∈，记1k k k x x x -∆=-，1k k k y y y -∆=-，且满足 ||||2k k x y ∆⋅∆=（*k N ∈，k n ≤）； （1）已知点0(0,1)P ，点1P 满足110y x ∆>∆>，求1P 的坐标；（2）已知点0(0,1)P ，1k x ∆=（*k N ∈，k n ≤），且{}k y （k N ∈，k n ≤）是递增数列， 点n P 在直线:38l y x =-上，求n ；（3）若点0P 的坐标为(0,0)，2016100y =，求0122016x x x x +++⋅⋅⋅+的最大值；上海市松江区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN =2. 已知a 、b R ∈，i 是虚数单位，若2a i bi +=-，则2()a bi +=3. 已知函数()1x f x a =-的图像经过(1,1)点，则1(3)f -=4. 不等式|1|0x x ->的解集为5. 已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，则函数()f x a b =⋅的最小正周期为6. 里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道，在由2名中国运动员和6 名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 7. 按下图所示的程序框图运算：若输入17x =，则输出的x 值是8. 设230123(1)n n n x a a x a x a x a x +=++++⋅⋅⋅+，若2313a a =，则n = 9. 已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么 这个圆锥的侧面积是 2cm10. 设(,)P x y 是曲线22:1259x y C +=上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ，则12||||PF PF +的最大值为11. 已知函数243,13()28,3xx x x f x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()F x f x kx =-在其定义域内有3个零点，则实数k ∈12. 已知数列{}n a 满足11a =，23a =，若1||2n n n a a +-=*()n N ∈，且21{}n a -是递增数 列，2{}n a 是递减数列，则212lim n n na a -→∞=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知a 、b R ∈，则“0ab >”是“2b aa b+>”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点P 在截面1A DB 上，则线段AP 的最小值为（ ） A.13 B. 12 C. 33 D. 2215. 若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭满足：11a 、12a 、21a 、22{0,1}a ∈，且111221220a a a a =，则这样的互不相等的矩阵共有（ ）A. 2个B. 6个C. 8个D. 10个 16. 解不等式11()022xx -+>时，可构造函数1()()2x f x x =-，由()f x 在x R ∈是减函数 及()(1)f x f >，可得1x <，用类似的方法可求得不等式263arcsin arcsin 0x x x x +++> 的解集为（ ）A. (0,1]B. (1,1)-C. (1,1]-D. (1,0)-三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==，E 是棱PC 的中点； （1）求证：PC BD ⊥；（2）求直线BE 与PA 所成角的余弦值；18. 已知函数21()21x xa f x ⋅-=+（a 为实数）； （1）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意的1x ≥，都有1()3f x ≤≤，求a 的取值范围；19. 松江天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”， 兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高，如图，记O 点为塔基、P 点为塔尖、 点P 在地面上的射影为点H ，在塔身OP 射影所在直线上选点A ，使仰角45HAP ︒∠=， 过O 点与OA 成120︒的地面上选B 点，使仰角45HBP ︒∠=（点A 、B 、O 都在同一水平 面上），此时测得27OAB ︒∠=，A 与B 之间距离为33.6米，试求：（1）塔高；（即线段PH 的长，精确到0.1米） （2）塔的倾斜度；（即OPH ∠的大小，精确到0.1︒）20. 已知双曲线2222:1x y C a b-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60︒，直线l 交双曲线于A 、B 两点；（1）求双曲线C 的方程；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A 、B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k 、PB k 均 存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(,0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎 样转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由；21. 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称为“H 型数列”；（1）若数列{}n a 为“H 型数列”，且113a m =-，21a m=，34a =，求实数m 的范围； （2）是否存在首项为1的等差数列{}n a 为“H 型数列”，其前n 项和n S 满足2n S n n <+*()n N ∈？若存在，请求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且{}n a 为“H 型数列”； 若23n n b a =，n c =5(1)2n n a n -+⋅，当数列{}n b 不是“H 型数列”时， 试判断数列{}n c 是否为“H 型数列”，并说明理由；参考答案一. 填空题1. {1}2. 34i -3. 24. (0,1)(1,)+∞5. π6.147. 143 8. 11 9. 17π 10. 10 11. 3(0,)312. 12-二. 选择题13. B 14. C 15. D 16. A三. 解答题 17.（1）略；（2）33； 18.（1）1a =-，偶函数；1a =，奇函数；a R ∈且1a ≠±，非奇非偶函数； （2）[2,3]；19.（1）18.9米；（2）6.9°；20.（1）2213y x -=；（2）3；（3）(1,0)-； 21.（1）1(,0)(,)2-∞+∞；（2）不存在；（3）132n n a -=⋅时，{}n c 不是“H 型数列”；14n n a -=时，{}n c 是“H 型数列”；上海市浦东新区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知U R =，集合{|421}A x x x =-≥+，则U C A =2. 三阶行列式351236724---中元素5-的代数余子式的值为 3. 8(1)2x -的二项展开式中含2x 项的系数是4. 已知一个球的表面积为16π，则它的体积为5. 一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球，这些球的质地和形状一样，从中 任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是6. 已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6，则b =7. 若复数(1)(2)ai i +-在复平面上所对应的点在直线y x =上，则实数a =8. 函数()(3sin cos )(3cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期为9. 过双曲线222:14x y C a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交双曲线C 的两条渐近线 于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为10. 若关于x 的不等式1|2|02xx m --<在区间[0,1]内恒 成立，则实数m 的范围11. 如图，在正方形ABCD 中，2AB =，M 、N 分别是 边BC 、CD 上的两个动点，且2MN =，则AM AN ⋅的取值范围是12. 已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈，都有*()f n N ∈，且(())3f f n n =恒成立，则(2017)(1999)f f -=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（ ） A. cos(2)3y x π=+ B. cos(2)6y x π=+C. cos(2)3y x π=-D. cos(2)6y x π=-14. 已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，则()y f x =-与1()y f x -=-图像（ ） A. 关于y 轴对称 B. 关于原点对称 C. 关于直线0x y +=对称 D. 关于直线0x y -=对称 15. 设{}n a 是等差数列，下列命题中正确的是（ ）A. 若120a a +>，则230a a +>B. 若130a a +<，则120a a +<C. 若120a a <<，则213a a a >D. 若10a <，则2123()()0a a a a --> 16. 元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元， 而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为A 元， 购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是（ ）A. A B >B. A B <C. A B =D. A 、B 的大小关系不确定三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在长方体1111ABCD A BC D -中（如图），11AD AA ==，2AB =，点E 是棱AB 中点； （1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角 形的四面体成为鳖臑，试问四面体1DCDE 是 否为鳖臑？并说明理由；18. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ； （1）若3B π=，7b =，△ABC 的面积332S =，求a c +的值； （2）若22cos ()C BA BC AB AC c ⋅+⋅=，求角C ；。
2017年高考数学真题试卷(上海卷)及解析
2017年高考数学真题试卷（上海卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1.关于x、y的二元一次方程组{x+5y=02x+3y=4的系数行列式D为（）A.|0543|B.|1024|C.|1523|D.|6054|2.在数列{an}中，an=（﹣12）n，n∈N*，则limn→∞an（）A.等于−12B.等于0C.等于12D.不存在3.已知a、b、c为实常数，数列{xn}的通项xn=an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）A.a≥0B.b≤0C.c=0D.a﹣2b+c=04.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x236+y24=1和C2：x2+ y29=1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是OP→⋅OQ→的最大值．记Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且OP→⋅OQ→=w}，则Ω中元素个数为（）A.2个B.4个C.8个D.无穷个第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明答案第2页，总16页○…………订…………※订※※线※※内※※答※※题※※○…………订…………二、填空题（题型注释）5.已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B= ．6.若排列数 P 6m =6×5×4，则m= ．7.不等式x−1x＞1的解集为 ．8.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 ． 9.已知复数z 满足z+ 3z =0，则|z|= ．10.设双曲线 x 29 ﹣ y 2b2 =1（b ＞0）的焦点为F 1、F 2 ， P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|= ．11.如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1→ 的坐标为（4，3，2），则 AC 1→的坐标是 ．12.定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），若g （x ）= {3x −1，x ≤0f(x)，x >0为奇函数，则f ﹣1（x ）=2的解为 ．13.已知四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣ 1x ，③y=x 3 ， ④y=x12 ，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 ．14.已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2 ， n∈N * ， {b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N * ， {b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则 lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4) = ．15.设a 1、a 2∈R，且 12+sinα1+ 12+sin(2α2) =2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值等于 ．16.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1 ， P 2 ， P 3 ， P 4}，点P∈Ω，过P 作直线l P ， 使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1（l P ）=D 2（l P ），…订…………○………线…………○…_____考号：___________…订…………○………线…………○…则Ω中所有这样的P 为 ．三、解答题（题型注释）17.如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． （1）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小． 18.已知函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x+ 12 ，x∈（0，π）． （1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a= √19 ，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，求△ABC 的面积． 19.根据预测，某地第n （n∈N *）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n （单位：辆），其中a n = {5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4，b n =n+5，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量S n =﹣4（n ﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 20.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ： x 24+y 2 =1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点． （1）若P 在第一象限，且|OP|= √2 ，求P 的坐标；（2）设P （ 85 ， 35 ），若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标； （3）若|MA|=|MP|，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且 AQ →=2AC →， PQ →=4PM →，求直线AQ 的方程．21.设定义在R 上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1、x 2∈R，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2）．（1）若f （x ）=ax 3+1，求a 的取值范围；答案第4页，总16页（2）若f （x ）是周期函数，证明：f （x ）是常值函数；（3）设f （x ）恒大于零，g （x ）是定义在R 上的、恒大于零的周期函数，M 是g （x ）的最大值．函数h （x ）=f （x ）g （x ）．证明：“h（x ）是周期函数”的充要条件是“f（x ）是常值函数”．参数答案1.C【解析】1.解：关于x 、y 的二元一次方程组 {x +5y =02x +3y =4的系数行列式：D= |1523| ． 故选：C ．利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解． 2.B【解析】2.解：数列{a n }中，a n =（﹣ 12 ）n ，n∈N *，则 lim n→∞ a n = lim n→∞(−12)n=0． 故选：B ．根据极限的定义，求出 lim n→∞ a n = lim n→∞(−12)n的值．3.A【解析】3.解：存在k∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列，可得：2[a （200+k ）2+b （200+k ）+c]=a （100+k ）2+b （100+k ）+c+a （300+k ）2+b （300+k ）+c ，化为：a=0． ∴使得x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列的必要条件是a≥0． 故选：A ．由x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列，可得：2x 200+k =x 100+k x 300+k ，代入化简即可得出． 4.D【解析】4.解：椭圆C 1： x 236+y 24 =1和C 2：x2+ y 29 =1．P为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，可设P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π， 则 OP →⋅OQ →=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β）， 当α﹣β=2kπ，k∈Z 时，w 取得最大值6，则Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且 OP →⋅OQ →=w}中的元素有无穷多对． 另解：令P （m ，n ），Q （u ，v ），则m 2+9n 2=36，9u 2+v 2=9， 由柯西不等式（m 2+9n 2）（9u 2+v 2）=324≥（3mu+3nv ）2， 当且仅当mv=nu ，即O 、P 、Q 共线时，取得最大值6， 显然，满足条件的P 、Q 有无穷多对，D 项正确． 故选：D ．答案第6页，总16页…○……※※…○……设出P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数．5.{3,4}【解析】5.解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}， ∴A∩B={3，4}．所以答案是：{3，4}．【考点精析】掌握集合的交集运算是解答本题的根本，需要知道交集的性质：（1）A∩B A ，A∩BB ，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则AB ，反之也成立．6.3【解析】6.解：∵排列数 P 6m =6×5×4， ∴由排列数公式得 P 63=6×5×4 ，∴m=3．所以答案是：m=3．【考点精析】根据题目的已知条件，利用排列与排列数的公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握从n 个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列． 7.（﹣∞,0）【解析】7.解：由x−1x ＞1得：1−1x>1⇒1x<0⇒x <0 ，故不等式的解集为：（﹣∞，0）， 所以答案是：（﹣∞，0）．8.9π【解析】8.解：球的体积为36π， 设球的半径为R ，可得 43 πR 3=36π， 可得R=3，该球主视图为半径为3的圆， 可得面积为πR 2=9π． 所以答案是：9π．装……………………线…………○…名：__________装……………………线…………○…【考点精析】掌握简单空间图形的三视图是解答本题的根本，需要知道画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等． 9.【解析】9.解：由z+ 3z =0，得z 2=﹣3，设z=a+bi （a ，b∈R），由z 2=﹣3，得（a+bi ）2=a 2﹣b 2+2abi=﹣3，即 {a 2−b 2=−32ab =0，解得： {a =0b =±√3 ． ∴ z =±√3i ． 则|z|= √3 ． 所以答案是： √3 ．【考点精析】利用复数的乘法与除法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知设则；．10.11【解析】10.解：根据题意，双曲线的方程为： x 29 ﹣ y 2b2 =1，其中a= √9 =3，则有||PF 1|﹣|PF 2||=6， 又由|PF 1|=5，解可得|PF 2|=11或﹣1（舍） 故|PF 2|=11，所以答案是：11．11.（﹣4,3,2）【解析】11.解：如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点， 过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，答案第8页，总16页…………订…………线…………○内※※答※※题…………订…………线…………○∵ DB 1→的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C 1（0，3，2）， ∴ AC 1→=(−4，3，2) ． 所以答案是：（﹣4，3，2）． 12.【解析】12.解：若g （x ）= {3x −1，x ≤0f(x)，x >0为奇函数，可得当x ＞0时，﹣x ＜0，即有g （﹣x ）=3﹣x ﹣1， 由g （x ）为奇函数，可得g （﹣x ）=﹣g （x ）， 则g （x ）=f （x ）=1﹣3﹣x ，x ＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ）， 且f ﹣1（x ）=2，可由f （2）=1﹣3﹣2= 89 ， 可得f ﹣1（x ）=2的解为x= 89 ． 故答案为： 89 ．由奇函数的定义，当x ＞0时，﹣x ＜0，代入已知解析式，即可得到所求x ＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值． 13.【解析】13.解：给出四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣ 1x ，③y=x 3，④y=x12 ，从四个函数中任选2个，基本事件总数n= C 42=6 ，③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有： ①③，①④共2个，……装…_______姓名：_……装…∴事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P （A ）= 26 = 13 ． 故答案为： 13 ．从四个函数中任选2个，基本事件总数n= C 42=6 ，再利用列举法求出事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率． 14.2【解析】14.解：∵a n =n 2，n∈N *，若对于一切n∈N *，{b n }中的第a n 项恒等于{a n }中的第b n 项，∴ b a n = a b n = (b n )2．∴b 1=a 1=1， (b 2)2 =b 4， (b 3)2 =b 9， (b 4)2=b 16． ∴b 1b 4b 9b 16= (b 1b 2b 3b 4)2． ∴ lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4) =2．故答案为：2．a n =n 2，n∈N *，若对于一切n∈N *，{b n }中的第a n 项恒等于{a n }中的第b n 项，可得 b a n = a b n =(b n )2 ．于是b 1=a 1=1， (b 2)2 =b 4， (b 3)2 =b 9， (b 4)2 =b 16．即可得出．15.【解析】15.解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]， 要使 12+sinα1+ 12+sin2α2=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1． 则： α1=−π2+2k 1π ，k 1∈Z．2α2=−π2+2k 2π ，即 α2=−π4+k 2π ，k 2∈Z．那么：α1+α2=（2k 1+k 2）π −3π4，k 1、k 2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π +3π4﹣（2k 1+k 2）π|的最小值为 π4 ．故答案为： π4 ．答案第10页，总16页…外…………订…………○……内※※答※※题※※…内…………订…………○……由题意，要使 12+sinα1+ 12+sin2α2=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值16.P 1、P 3、P 4【解析】16.解：设记为“▲”的四个点为A ，B ，C ，D ，线段AB ，BC ，CD ，DA 的中点分别为E ，F ，G ，H ，易知EFGH 为平行四边形；如图所示，四边形ABCD 两组对边中点的连线交于点P 2， 即符合条件的直线l P 一定经过点P 2， 因此：经过点P 2的直线有无数条； 同时经过点P 1和P 2的直线仅有1条， 同时经过点P 3和P 2的直线仅有1条， 同时经过点P 4和P 2的直线仅有1条， 所以符合条件的点为P 1、P 3、P 4． 故答案为：P 1、P 3、P 4．根据任意四边形ABCD 两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，让四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，那么该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和是相等的；由此得出结论． 17.（1）解：∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形， 两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． ∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积： V=S △ABC ×AA 1 == =20（2）解：连结AM ，○…………外…………○…………装…………○订…………○…………线…………○…学校:___________姓名：___________班考号：___________○…………内…………○…………装…………○订…………○…………线…………○…∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5，M 是BC 中点， ∴AA 1⊥底面ABC ，AM==，∴∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角， tan∠A 1MA===，∴直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小为arctan ．【解析】17.（1）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V=S △ABC ×AA 1= 12×AB ×AC ×AA 1 ，由此能求出结果．（2）连结AM ，∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角，由此能求出直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小． 18.（1）解：函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x+=cos2x+ ，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣ π≤x≤kπ，k∈Z，k=1时， π≤x≤π，可得f （x ）的增区间为[ ，π）（2）解：设△ABC 为锐角三角形， 角A 所对边a=，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，即有cos2A+ =0，答案第12页，总16页外…………○………………○………线………○装※※订※※线※※题※※内…………○………………○………线………○解得2A= π，即A= π，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ， 化为c 2﹣5c+6=0， 解得c=2或3， 若c=2，则cosB=＜0，即有B 为钝角，c=2不成立， 则c=3，△ABC 的面积为S= bcsinA= ×5×3× =【解析】18.（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f （A ）=0，解得A ，再由余弦定理解方程可得c ，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值． 19.（1）解：∵a n =，b n =n+5∴a 1=5×14+15=20 a 2=5×24+15=95 a 3=5×34+15=420 a 4=﹣10×4+470=430 b 1=1+5=6 b 2=2+5=7 b 3=3+5=8 b 4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a 1+a 2+a 3+a 4=20+95+420+430=965， 前4个月共损失单车为b 1+b 2+b 3+b 4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935（2）解：令a n ≥b n ，显然n≤3时恒成立， 当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤，∴第42个月底，保有量达到最大．当n≥4，{a n }为公差为﹣10等差数列，而{b n }为等差为1的等比数列，…………装………线…………○…校:___________姓名：_______…………装………线…………○…∴到第42个月底，单车保有量为 ×39+535﹣ ×42= ×39+535﹣ ×42=8782．S 42=﹣4×16+8800=8736． ∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量【解析】19.（1）计算出{a n }和{b n }的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n ≥b n 得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论． 20.（1）解：设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0）， ∵椭圆Γ： x 24+y 2 =1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点， P 在第一象限，且|OP|= √2，∴联立 {x 24+y 2=1x 2+y 2=2，解得P （2√33 ， √63）（2）解：设M （x 0，0），A （0，1）， P （ 85，35 ），若∠P=90°，则 PA →• PM →，即（x 0﹣ 85 ，﹣ 35 ）•（﹣ 85 ， 25 ）=0， ∴（﹣ 85 ）x 0+ 6425 ﹣ 625 =0，解得x 0= 2920 ．如图，若∠M=90°，则 MA →• MP →=0，即（﹣x 0，1）•（ 85 ﹣x 0， 35 ）=0， ∴ x 02−85x 0+35 =0，解得x 0=1或x 0= 35 ，答案第14页，总16页○…………装…………※※请※※不※※要※※在※※装※○…………装…………∴点M 的横坐标为 2920 ，或1，或 35（3）解：设C （2cosα，sinα）， ∵ AQ →=2AC →，A （0，1），∴Q（4cosα，2sinα﹣1），又设P （2cosβ，sinβ），M （x 0，0），∵|MA|=|MP|，∴x 02+1=（2cosβ﹣x 0）2+（sinβ）2， 整理得：x 0= 34 cosβ，∵ PQ →=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1）， PM →=（﹣ 54 cosβ，﹣sinβ）， PQ→=4PM →，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ， 且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣ 43 cosα，且sinα= 13 （1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα= 23 ，或sinα=﹣1（舍去），此时，直线AC 的斜率k AC =﹣ 1−sinα2cosα = √510 （负值已舍去），如图．∴直线AQ 为y= √510 x+1．【解析】20.（1）设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0），联立 {x 24+y 2=1x 2+y 2=2，能求出P 点坐标．（2）设M （x 0，0），A （0，1），P （ 85，35 ），由∠P=90°，求出x 0= 2920 ；由∠M=90°，求出x 0=1或x 0= 35 ；由∠A=90°，则M 点在x 轴负半轴，不合题意．由此能求出点M 的横坐标．（3）设C （2cosα，sinα），推导出Q （4cosα，2sinα﹣1），设P （2cosβ，sinβ），M （x 0，0）推导出x 0= 34 cosβ，从而 4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣ 43 cosα，且sinα= 13 （1﹣2sinα），由此能求出直线AQ ．21.（1）解：由f （x 1）≤f（x 2），得f （x 1）﹣f （x 2）=a （x 13﹣x 23）≤0， ∵x 1＜x 2，∴x 13﹣x 23＜0，得a≥0． 故a 的范围是[0，+∞）（2）证明：若f （x ）是周期函数，记其周期为T k ，任取x 0∈R，则有 f （x 0）=f （x 0+T k ），由题意，对任意x∈[x 0，x 0+T k ]，f （x 0）≤f（x ）≤f（x 0+T k ）， ∴f（x 0）=f （x ）=f （x 0+T k ）．又∵f（x 0）=f （x 0+nT k ），n∈Z，并且 …∪[x 0﹣3T k ，x 0﹣2T k ]∪[x 0﹣2T k ，x 0﹣T k ]∪[x 0﹣T k ，x 0]∪[x 0，x 0+T k ]∪[x 0+T k ，x 0+2T k ]∪…=R， ∴对任意x∈R，f （x ）=f （x 0）=C ，为常数（3）证明：充分性：若f （x ）是常值函数，记f （x ）=c 1，设g （x ）的一个周期为T g ，则 h （x ）=c 1•g（x ），则对任意x 0∈R，h （x 0+T g ）=c 1•g（x 0+T g ）=c 1•g（x 0）=h （x 0）， 故h （x ）是周期函数；必要性：若h （x ）是周期函数，记其一个周期为T h ．若存在x 1，x 2，使得f （x 1）＞0，且f （x 2）＜0，则由题意可知， x 1＞x 2，那么必然存在正整数N 1，使得x 2+N 1T k ＞x 1， ∴f（x 2+N 1T k ）＞f （x 1）＞0，且h （x 2+N 1T k ）=h （x 2）． 又h （x 2）=g （x 2）f （x 2）＜0，而h （x 2+N 1T k ）=g （x 2+N 1T k ）f （x 2+N 1T k ）＞0≠h（x 2），矛盾． 综上，f （x ）＞0恒成立． 由f （x ）＞0恒成立，任取x 0∈A，则必存在N 2∈N，使得x 0﹣N 2T h ≤x 0﹣T g ， 即[x 0﹣T g ，x 0]⊆[x 0﹣N 2T h ，x 0]，∵…∪[x 0﹣3T k ，x 0﹣2T k ]∪[x 0﹣2T k ，x 0﹣T k ]∪[x 0﹣T k ，x 0]∪[x 0，x 0+T k ]∪[x 0+T k ，x 0+2T k ]∪…=R，∴…∪[x 0﹣2N 2T h ，x 0﹣N 2T h ]∪[x 0﹣N 2T h ，x 0]∪[x 0，x 0+N 2T h ]∪[x 0+N 2T h ，x 0+2N 2T h ]∪…=R． h （x 0）=g （x 0）•f（x 0）=h （x 0﹣N 2T h ）=g （x 0﹣N 2T h ）•f（x 0﹣N 2T h ）， ∵g（x 0）=M≥g（x 0﹣N 2T h ）＞0，f （x 0）≥f（x 0﹣N 2T h ）＞0．因此若h （x 0）=h （x 0﹣N 2T h ），必有g （x 0）=M=g （x 0﹣N 2T h ），且f （x 0）=f （x 0﹣N 2T h ）=c ． 而由（2）证明可知，对任意x∈R，f （x ）=f （x 0）=C ，为常数． 综上，必要性得证【解析】21.（1）直接由f （x 1）﹣f （x 2）≤0求得a 的取值范围；（2）若f （x ）是周期函数，记其周期为T k ，任取x 0∈R，则有f （x 0）=f （x 0+T k ），证明对任意x∈[x 0，x 0+T k ]，f （x 0）≤f（x ）≤f（x 0+T k ），可得f （x 0）=f （x 0+nT k ），n∈Z，再由…∪[x 0﹣3T k ，x 0﹣答案第16页，总16页f （x ）=f （x 0）=C ，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．。
(word完整版)2017上海高考数学试题(Word版含解析)
2017年上海市高考数学试卷.填空题(本大题共 12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5 分)1.已知集合 A {1,2,3,4}，集合 B {3,4,5}，则 AI B ______________2. 若排列数P m 6 5 4，则m ______________x 13. 不等式1的解集为 ________x4. 已知球的体积为 36，则该球主视图的面积等于 _____________5. 已知复数z 满足z 30，则|z| ______z2 26. 设双曲线— 爲 1(b 0)的焦点为F 1、F 2，P 为该9 b双曲线上的一点，若| PR | 5，则| PF 2 | __________7. 如图，以长方体ABCD AB1GD 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐uu u UUUD标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1的坐标为(4,3,2)，则AC 1的坐标为 ___________3x 1 x 08. 定义在(0,)上的函数y f(x)的反函数为y f lx)，若g(x) ' 为f(x), x 0奇函数，则f 1(x)2的解为 ________1 3 f9. 已知四个函数：① y x :②y :③yx ；④yx 2.从中任选2个，则事 x件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为 _____________2 *10.已知数列｛a n ｝和｛b n ｝，其中a n n , n N , ｛0｝的项是互不相等的正整数，若对于12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点 P 、P 2、B 、F 4以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合｛P,巳，卩3,巳｝，点P ，过P 作直线I P ,使得不在I P 上的“ ”的点 分布在I P 的两侧.用D(l p )和D 2(I P )分别表示I P 一侧 和另一侧的“ ”的点到I p 的距离之和.若过P 的直 线I P 中有且只有一条满足 DdI p ) D 2(I P )，则 中 所有这样的P 为 ___________二.选择题(本大题共 4题，每题5分，共20分)2017.6任意n N *，｛b n ｝的第a n 项等于｛a n ｝的第b n 项，则Iggbqdbw)Ig(bb 2b 3b 4)11.设 a 1、a 2 R，且 2 sin 112 sin(2 2)2，则 |10 2|的最小值等于x 5v 013.关于x 、y 的二元一次方程组' 的系数行列式D 为(2x 3y 4A.0 5 B. 1 0C.1 5D.6 04 32 42 35 4uuu uuirOP OQ w ｝，贝U中元素个数为().解答题(本大题共 5题，共14+14+14+16+18=76分)17.如图，直三棱柱 ABC A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边 AB 和AC 的长分别为4和2,侧棱AA 的长为5.(1 )求三棱柱 ABC ABG 的体积; (2)设M 是BC 中点，求直线AM 与平面ABC 所成角的大小.2 218.已知函数 f (x) cos x sin x(1 )求f(x)的单调递增区间;A 所对边a 19，角B 所对边b 5，若f (A) 0，求△ ABC 的面积.A. a 0B. b 0C. cD. a 2b c0 16. 在平面直角坐标系 2 x xOy 中，已知椭圆C : 2y 21 和 C 2: X 2- 1 P 为C 1上的动36 4 9uuu urnr占 八Q 为C 2上的动点， w 是OP OQ 的最大值. 记{(P,Q)|P 在 C 1 上, Q 在C 2上，且)使得Moo k 、X 200 k 、X 300 k 成等差数列”的一个必要条件是14.在数列｛a n ｝中, a n，则 lim a n (nA.等于-2B.等于0C.等于-2D.不存在15.已知a 、b 、c 为实常数，数列｛X n ｝的通项2X n anbn，则“存在A. 2个B. 4个C. 8个D.无穷个12，x (0,).(2)设厶ABC 为锐角三角形，角19. 根据预测，某地第n (n N )个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b (单位：辆), "亠5n 15, 1 n 3其中a n , b n n 5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的10n 470, n 4累计投放量与累计损失量的差•(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量；(2)已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n 4(n 46)2 8800 (单位：辆).设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？x220. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆: y 1，A为的上顶点，P为上异于4上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点.(1 )若P在第一象限，且|OP| 2，求P的坐标；(2)设P(8,3)，若以A、P、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；5 5umr uuir uuu uuun(3)若| MA | |MP |，直线AQ 与交于另一点C,且AQ 2AC，PQ 4 PM，求直线AQ的方程.21.设定义在R上的函数f (x)满足：对于任意的X1、X2 R，当x, X2时，都有f(X1) f(X2).(1 )若f (x) ax31，求a的取值范围；(2)若f(x)为周期函数，证明：f(x)是常值函数；(3)设f(x)恒大于零，g(x)是定义在R上、恒大于零的周期函数，M是g(x)的最大值.函数h(x) f(x)g(x).证明：“ h(x)是周期函数”的充要条件是“ f (x)是常值函数”.2017年上海市高考数学试卷.填空题(本大题共 12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5 分) 1. 已知集合 A ｛1,2,3,4｝，集合 B ｛3,4,5｝，则 AI B ________ 【解析】AI B ｛3,4｝2. 若排列数P m 6 5 4，则m ______________【解析】m 32 26.设双曲线工占 1(b9 b 2则 | PF 2 | ______ 【解析】2a 6| PF 2 | 117. 如图，以长方体ABCD AB1GD 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐uu u UUUD标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1的坐标为(4,3,2)，则AC 1的坐标为 ___________UUUU 【解析】A(4,0,0)，C 1(0,3,2)，AC 1( 4,3,2)13x 1, x 0 込 8. 定义在(0,)上的函数y f (x)的反函数为y f (x)，若g(x)为f(x), x 01奇函数，则f (x) 2的解为 ________ 【解析】f (x)3x 1f(2)9 18 f 1(x)2 的解为 x 81 3 -9. 已知四个函数：① y x :②y :③yx ；④yx 2.从中任选2个，则事x件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为 _____________ 【解析】①③、①④的图像有一个公共点，.••概率为2017.6x1【解析】1 -10 x 0 ,解集为(xx4.已知球的体积为 36 ,则该球主视图的面积等于4【解析】43r 3 36 r 3 S 95.已知复数 z 满足3 z -z 0，则 |z| 【解析】z 23 z |z| .3,0)0)的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若2 *10.已知数列｛a n｝和｛b n｝，其中a n n , n N , ｛b n｝的项是互不相等的正整数，若对于任意n N * , ｛0｝的第a n 项等于｛a n ｝的第b n 项，则lg(blb4b9bl6)©(b^b q )【解析】b a n a b n b n 2 b n 2 bAb g% (bfeb s b q )2即 sin 1sin （2 2 ）1，二 12k,2k , I10 1 2〔min2 4412.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点 R 、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合｛P,P 2,P 3,P 4｝，点P ，过P 作直线I p ，使得不在I p 上的“ ”的点 分布在I P 的两侧.用D 1（I P ）和D 2（I P ）分别表示I P 一侧 和另一侧的“ ”的点到I p 的距离之和.若过P 的直线I p 中有且只有一条满足 D 1（I p ） D 2（I p ），则 中 所有这样的P 为__________ 【解析】P 、F 3A.0 5 B. 1 0C.1 5 D .6 04 32 42 35 4【解析】C【解析】k 、x 200 k 、x 300 k 成等差数列”的一个必要条件是©(bb q b g bj 2 IgglbAb q )11.设 a-i 、a 2，且2 sin i2，则 |102 sin(2 2)12|的最小值等于I解析】人［1,1］，口1冇［1,1］，1 1 1 ,2 si n t 2 sin(2 2)二.选择题（本5分，共 20分)13.关于x 、y 的二元一次方程组x 5y 2x 3y的系数行列式4 D 为（ ）14.在数列｛a n ｝中,(J ，，则 Iim a n (nA.等于B.等于0C. 1等于12D.不存在15.已知 b 、c 为实常数，数列｛X n ｝的通项 2X n anbn c ，n N *，则“存在 k N *，使得X ,oo A. a 0 【解析】AB. b 0C. c 0D. a 2b c 02累计投放量与累计损失量的差(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量;(2)已知该地共享单车停放点第 n 个月底的单车容纳量 S n 4(n 46)2 8800 (单位：辆).设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量?2 2一 一 x y16.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆G :盘 -1和C 2：x 2鲁1.P为C 1上的动uuu urnr点，Q 为C 2上的动点，w 是OP OQ uuu uuirOP OQ w}，贝U中元素个数为( 的最大值•记 {(P,Q)|P 在G 上，Q 在C 2上，且A. 2个B. 4个C. 8个D.无穷个【解析】D三.解答题(本大题共 5题，共14+14+14+16+18=76 分)17.如图，直三棱柱 ABC AB1G 的底面为直角三角形，两直角边 AB 和AC 的长分别为4和2,侧棱AA 的长为5.(1 )求三棱柱 ABC ARG 的体积;(2)设M 是BC 中点，求直线AM 与平面ABC 所成角的大小•【解析】(1) V S h 20(2) tan5.5 ，线面角为arcta n ■. 518.已知函数 2f (x) cos x sinx 1 , x (0,).(1 )求f(x)的单调递增区间;(2)设厶ABC 为锐角三角形, A 所对边a ■ 19，角B 所对边b 5，若f (A)0，求△ ABC 的面积.【解析】(1) f(x)cos2xx (0,)，单调递增区间为［―,) 2(2) cos2A根据锐角三角形，cosB2A 25 c 191…ccosAc 2 或 c 3 ,2 5c 20，二 c 3 , S - bcsin A ^^432 4 19.根据预测，某地第n 4甘出5n 15, 1其中a n10n 470,(nN *)个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n (单位：辆),3, b n n 5，第n 个月底的共享单车的保有量是前4n 个月的(1 )若P 在第一象限，且|OP| 耳，求P 的坐标;求直线AQ 的方程. 3 uuu uuur 3 1 3y 0.Q( -x 0, 3y 。
2017年上海市高考数学模拟试卷 Word版含解析
2017年上海市高考数学模拟试卷一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=．4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=．+112．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣121015年（1﹣121016年（1﹣11月）月）月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．2017年上海市高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=﹣2．【考点】二阶矩阵．【分析】利用二阶行列式对角线法则直接求解．【解答】解：=4×1﹣3×2=﹣2．故答案为：﹣2．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=16．【考点】反函数．【分析】先求出x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，由此能求出f﹣1（4）．【解答】解：∵函数f（x）=y=的反函数是f﹣1（x），∴x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，∴f﹣1（4）=42=16．故答案为：16．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数（i为虚数单位），则|z|==2．故答案为：2、4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】运用两角和的正弦公式和特殊角的正弦函数值，计算即可得到所求值．【解答】解：函数=2（sinx+cosx）=2sin（x+），由若存在锐角θ满足f（θ）=2，即有2sin（θ+）=2，解得θ=﹣=．故答案为：．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为R．【考点】球面距离及相关计算．【分析】两点A、B间的球面距离为，可得∠AOB=，即可求出两点A，B 间的距离．【解答】解：两点A、B间的球面距离为，∴∠AOB=．∴两点A，B间的距离为R，故答案为：R．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=8．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n=256，解得n．【解答】解：由题意可得：2n=256，解得n=8．故答案为：8．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=2k2﹣1．【考点】二倍角的正弦．【分析】利用两角差的余弦函数公式化简已知等式，进而两边平方利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：∵，∴（cosα+sinα）=k，可得：cosα+sinα=k，∴两边平方可得：cos2α+sin2α+2cosαsinα=2k2，可得：1+sin2α=2k2，∴sin2α=2k2﹣1．故答案为：sin2α=2k2﹣1．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为[﹣2，1] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），可得y2=1﹣，=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，则x2∈[0，4]，的取值范围为[﹣2，1]．【解答】解：如下图所示，在直角坐标系中作出椭圆：由椭圆，a=2，b=1，c=，则焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），由，可得y2=1﹣；=（﹣﹣x，﹣y），﹣=（﹣x，﹣y）；=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，由题意可知：x∈[﹣2，2]，则x2∈[0，4]，∴的取值范围为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【分析】先利用正弦定理化简sinC=2sinB，得到c与b的关系式，代入中得到a2与b2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【解答】解：由sinC=2sinB得：c=2b，所以=•2b2，即a2=7b2，则cosA===，又A∈（0，π），所以A=．故答案为：10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，利用f（﹣a）﹣f（a）＞0，可得﹣a＞a＞0，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，∵f（1﹣a）﹣f（a）＞0，∴1﹣a＞a＞0，∴a∈，故答案为11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=﹣．+1【考点】极限及其运算．【分析】由已知推导出S2n=（1﹣），S2n﹣1=1+，从而a2n=S2n =﹣[1+（1﹣）]，由此能求出．﹣S2n﹣1【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，，n∈N*，∴（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）===（1﹣）=（1﹣），∴S2n=（1﹣），a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2n+a2n﹣1）﹣2=1+=1+=1+，=1+，∴S2n﹣1∴a2n=S2n﹣S2n﹣1=﹣[1+（1﹣）]，∴=﹣[1+（1﹣）]==﹣．故答案为：．12．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为90．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，利用相似比，可得结论．【解答】解：取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，∵△ABC的面积为360，∴△PAB的面积=△ADE的面积==90．故答案为90．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可得结论．【解答】解：根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可知B 正确．故选B．14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：A．当x=1，y=0时，满足|x|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．B．当x=1，y=0时，满足|x+y|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．C．当y≤﹣2时，|y|≥2，则|x|+|y|＞1成立，即充分性成立，满足条件．D．当且，则|x|+|y|≥1，等取等号时，不等式不成立，即充分性不成立，不满足条件．故选：C．15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．【考点】曲线与方程．【分析】由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），即可得出结论．【解答】解：由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），故选C．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，且2，4不同时出现，同时出现有4个，即可得出结论．【解答】解：由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，有15个，且2，4不同时出现，同时出现有4个，故满足题意的M有11个，故选：A．三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【分析】（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ，则OA ⊥平面BCD ．由经能求出S 圆锥侧．（2）该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ，由此能求出结果． 【解答】解：（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ， ∵A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径， ∴OA ⊥平面BCD ．∵BD=2，BC=1，AC 与底面所成角的大小为，过点A 作截面ABC ，ACD ，∴在Rt △AOC 中，OC=1，，AC=2，AO=，∴S 圆锥侧=πrl==2π．（2）该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体， ∵AO=，∠BCD=90°，∴CD=，该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ==．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），即可求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求出P的坐标，利用夹角公式，即可求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【解答】解：（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），∴双曲线方程为x2﹣y2=2；（2），显然∠F1PF2的角平分线所在直线斜率k存在，且k＞0，，，于是．∴为所求．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣12月）1015年（1﹣12月）1016年（1﹣11月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据空驶率的计算公式为，带入计算即可；（2）根据T2016的值，求出k的值，从而求出2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程．【解答】解：（1），，∴2014、2015年，该公司空驶率分别为41.14%和38.00%．（2），T2016=38%﹣20%=18%．由，∴2016年前11个月的平均每单油费为12.98元，平均每单里程为15.71km．20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a4，a7，a8成等比数列，可得=a4•a8，可得（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化简解出即可得出．．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，对n分类讨论，利用等差数列的求和公式即可得出．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，利用指数运算性质、等差数列的求和公式及其二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵a4，a7，a8成等比数列，∴=a4•a8，∴（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化为：d2+2d=0，∵d≠0，∴d=﹣2．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，∴，∴．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，，∴当n=15或16时，T n最大．21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据“位差奇函数”的定义．考查h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m ﹣2m=2m（2x﹣1）即可，（2）依题意，是奇函数，求出φ；（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．假设h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需．【解答】解：（1）对于f（x）=2x+1，f（x+m）﹣f（m）=2（x+m）+1﹣（2m+1）=2x，∴对任意实数m，f（x+m）﹣f（m）是奇函数，即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于g（x）=2x，记h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m﹣2m=2m（2x﹣1），由h（x）+h（﹣x）=2m（2x﹣1）+2m（2﹣x﹣1）=0，当且仅当x=0等式成立，∴对任意实数m，g（x+m）﹣g（m）都不是奇函数，则g（x）不是“位差奇函数”；（2）依题意，是奇函数，∴（k∈Z）．（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．依题意，h（x）对任意都不是奇函数，若h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需，且c∈R．2017年2月1日。
2017上海高考数学试题(Word版含解析)
2017年上海市高考数学试卷2017.6一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B =2. 若排列数6654m P =⨯⨯，则m =3. 不等式的解集为4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于5. 已知复数z 满足，则||z =6. 设双曲线(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为 8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若为 奇函数，则1()2f x -=的解为9. 已知四个函数：① y x =-；② ；③ 3y x =；④ 12y x =. 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为 10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则 11. 设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“”的点分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧 和另一侧的“”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直 线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中 所有这样的P 为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 关于x 、y 的二元一次方程组的系数行列式D 为（ ） A. B. C. D. 14. 在数列{}n a 中，，*n ∈N ，则lim n n a →∞（ ）A. 等于12- B. 等于0 C. 等于12D. 不存在15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ，使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）A. 0a ≥B. 0b ≤C. 0c =D.20a b c -+=16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆和. P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=，则Ω中元素个数为（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 及平面ABC 所成角的大小.18. 已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量及累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量； （2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点. （1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若||||MA MP =，直线AQ 及Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM=，求直线AQ 的方程.21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤.（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值.函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.2017年上海市高考数学试卷2017.6一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B = 【解析】{3,4}A B =2. 若排列数6654m P =⨯⨯，则m = 【解析】3m =3. 不等式的解集为【解析】111100x x x->⇒<⇒<，解集为(,0)-∞4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 【解析】3436393r r S πππ=⇒=⇒= 5. 已知复数z 满足，则||z = 【解析】23||z z z =-⇒=⇒=6. 设双曲线(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =【解析】226||11a PF =⇒=7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为 【解析】(4,0,0)A ，1(0,3,2)C ，1(4,3,2)AC =-8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若为 奇函数，则1()2f x -=的解为【解析】()31(2)918x f x f =-+⇒=-+=-，∴1()2f x -=的解为8x =- 9. 已知四个函数：① y x =-；② ；③ 3y x =；④ 12y x =. 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为 【解析】①③、①④的图像有一个公共点，∴概率为10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则 【解析】222149161491612341234lg()()2lg()nna b n n b b b b b a b b b b b b b b b b b b b b =⇒=⇒=⇒=11. 设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于 【解析】，，∴121112sin 2sin(2)αα==++，即12sin sin(2)1αα==-，∴，，12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“”的点分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧 和另一侧的“”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直 线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中 所有这样的P 为 【解析】1P 、3P二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 关于x 、y 的二元一次方程组的系数行列式D 为（ ）A. B. C. D. 【解析】C14. 在数列{}n a 中，，*n ∈N ，则lim n n a →∞（ ）A. 等于12-B. 等于0C. 等于12D. 不存在 【解析】B15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ，使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）A. 0a ≥B. 0b ≤C. 0c =D.20a b c -+=【解析】A16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆和. P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=，则Ω中元素个数为（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个【解析】D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）设M 是BC 中点，求直线1A M 及平面ABC 所成角的大小. 【解析】（1）20V S h =⋅= （2），线面角为18. 已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.【解析】（1），(0,)x π∈，单调递增区间为（2），∴225191cos 2252c A c c +-==⇒=⋅⋅或3c =， 根据锐角三角形，cos 0B >，∴3c =，19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量及累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量； （2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【解析】（1）12341234()()96530935a a a a b b b b +++-+++=-=（2）10470542n n n -+>+⇒≤，即第42个月底，保有量达到最大12341234(42050)38(647)42()()[965]878222a a a ab b b b +⨯+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+-=2424(4246)88008736S =--+=，∴此时保有量超过了容纳量.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点. （1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若||||MA MP =，直线AQ 及Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM=，求直线AQ 的方程.【解析】（1）联立及222x y +=，可得（2）设(,0)M m ，283833(,1)(,)055555MA MP m m m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=或1m =8283864629(,)(,)0555********PA MP m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=（3）设00(,)P x y ，线段AP 的中垂线及x 轴的交点即，∵4PQ PM =， ∴，∵2AQ AC =，∴，代入并联立椭圆方程， 解得，，∴，∴直线AQ 的方程为21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤.（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值.函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.【解析】（1）0a ≥；（2）略；（3）略.。
2017上海高考数学试题(Word版含解析)
2017年上海市高考数学试卷2017.6一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B =2. 若排列数6654m P =⨯⨯，则m =3. 不等式11x x->的解集为 4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 5. 已知复数z 满足30z z+=，则||z = 6. 设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该 双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐 标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若31,0()(),0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则1()2f x -=的解为9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x=-；③ 3y x =；④ 12y x =. 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =11. 设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“ ”的 点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“ ”的点分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧 和另一侧的“ ”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直 线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中 所有这样的P 为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为（ ）A. 0543B. 1024C. 1523D. 605414. 在数列{}n a 中，1()2n n a =-，*n ∈N ，则lim n n a →∞（ ）A. 等于12-B. 等于0C. 等于12D. 不存在 15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ， 使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）A. 0a ≥B. 0b ≤C. 0c =D. 20a b c -+=16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=. P 为1C 上的动 点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=，则Ω中元素个数为（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.18. 已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.（1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标； （3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =， 求直线AQ 的方程.21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤.（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值. 函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.2017年上海市高考数学试卷2017.6一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B =【解析】{3,4}AB =2. 若排列数6654m P =⨯⨯，则m = 【解析】3m =3. 不等式11x x ->的解集为 【解析】111100x x x->⇒<⇒<，解集为(,0)-∞4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 【解析】3436393r r S πππ=⇒=⇒= 5. 已知复数z 满足30z z+=，则||z =【解析】23||z z z =-⇒=⇒=6. 设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =， 则2||PF =【解析】226||11a PF =⇒=7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐 标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为 【解析】(4,0,0)A ，1(0,3,2)C ，1(4,3,2)AC =-8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若31,0()(),0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则1()2f x -=的解为【解析】()31(2)918x f x f =-+⇒=-+=-，∴1()2f x -=的解为8x =-9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x=-；③ 3y x =；④ 12y x =. 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为 【解析】①③、①④的图像有一个公共点，∴概率为24213C = 10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =【解析】222149161491612341234lg()()2lg()n n a b n n b b b b b a b b b b b b b b b b b b b b =⇒=⇒=⇒=11. 设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于【解析】111[,1]2sin 3α∈+，211[,1]2sin(2)3α∈+，∴121112sin 2sin(2)αα==++，即12sin sin(2)1αα==-，∴122k παπ=-+，24k παπ=-+，12min |10|4ππαα--=12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“ ”的 点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“ ”的点分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧 和另一侧的“ ”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直 线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中 所有这样的P 为 【解析】1P 、3P二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为（ ）A.0543 B. 1024 C. 1523 D. 6054【解析】C14. 在数列{}n a 中，1()2n n a =-，*n ∈N ，则lim n n a →∞（ ）A. 等于12-B. 等于0C. 等于12D. 不存在 【解析】B15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ，使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）A. 0a ≥B. 0b ≤C. 0c =D. 20a b c -+= 【解析】A16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=. P 为1C 上的动 点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=，则Ω中元素个数为（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个 【解析】D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小. 【解析】（1）20V S h =⋅=（2）tanθ== 18. 已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.【解析】（1）1()cos22f x x =+，(0,)x π∈，单调递增区间为[,)2ππ （2）1cos223A A π=-⇒=，∴225191cos 2252c A c c +-==⇒=⋅⋅或3c =，根据锐角三角形，cos 0B >，∴3c =，1sin 2S bc A ==19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【解析】（1）12341234()()96530935a a a a b b b b +++-+++=-= （2）10470542n n n -+>+⇒≤，即第42个月底，保有量达到最大12341234(42050)38(647)42()()[965]878222a a a ab b b b +⨯+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+-=2424(4246)88008736S =--+=，∴此时保有量超过了容纳量.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.（1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标； （3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =， 求直线AQ 的方程.【解析】（1）联立22:14x y Γ+=与222x y +=，可得P （2）设(,0)M m ，283833(,1)(,)055555MA MP m m m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=或1m =8283864629(,)(,)0555********PA MP m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=（3）设00(,)P x y ，线段AP 的中垂线与x 轴的交点即03(,0)8M x ，∵4PQ PM =，∴003(,3)2Q x y --，∵2AQ AC =，∴00133(,)42y C x --，代入并联立椭圆方程，解得09x =，019y =-，∴1()3Q ，∴直线AQ 的方程为110y x =+21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤.（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值. 函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”. 【解析】（1）0a ≥；（2）略；（3）略.。
上海市青浦区2017届高三上学期期末质量调研(一模)数学试卷(含官方答案)
青浦区2016学年第一学期高三年级期末学习质量调研测试数学试题Q.2016.12.26（满分150分，答题时间120分钟）一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．已知复数i z +=2（i 为虚数单位），则=2z .2．已知集合12162x A x⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，{}22log (9)B x y x ==-，则A B = .3．在二项式62()x x+的展开式中，常数项是 ．4．等轴双曲线222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于A B 、两点，且43AB =，则该双曲线的实轴长等于 ．5．如果由矩阵2222a x a a y a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭表示x 、y 的二元一次方程组无解，则实数a = ．6． 执行如图所示的程序框图，若输入1n =的，则输出S = ．7．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成角为4arccos 5，则该圆锥的体积为 ．8．已知数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列，则实数b 的取值范围是 ．9．将边长为10的正三角形ABC ，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A B C '''，则△A B C '''中最短边的边长为 .（精确到0.01）10．已知点A 是圆22:4O x y +=上的一个定点，点B 是圆O 上的一个动点，若满足AO BO AO BO +=- ，则AO AB ⋅=.11．若定义域均为D 的三个函数()()(),,f x g x h x 满足条件：对任意x D ∈，点()(),x g x 与点()(),x h x 都关于点()(),x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”．已知()()21,2g x x f x x b =-=+，()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，且()()h x g x ≥恒成立，则实数b 的取值范围是 .12．已知数列{}n a 满足：对任意的*N n ∈均有133n n a ka k +=+-，其中k 为不等于0与1的常数，若{678,78,3,22,222,2222},2,3,4,5i a i ∈---=，则满足条件的1a 所有可能值的和为 ．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.已知()sin3f x x π=，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =现从集合A 中任取两个不同元素s 、t ，则使得()()0f s f t ⋅=的可能情况为 …………………………………………………（ ）.A ．12种B ．13种C ．14种D ．15种14.已知空间两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题： ①//,m n m n αα⊥⇒⊥；②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒≠≠；③//,////m n m n αα⇒；④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥．其中正确的序号是………………………（ ）. A ．① ④ B ．② ③ C ．① ② ④ D ．① ③ ④ 15.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P 处有一棵树与两墙的距离分别是4m 和(012)am a <<，不考虑树的粗细．现用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD ．设此矩形花圃的最大面积为u ，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数()u f a =（单位2m ）的图像大致是……………………（ ）.A ．B ．C ．D ．16.已知集合{(,)()}M x y y f x ==，若对于任意实数对11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集” .给出下列四个集合：① 21{(,)}M x y y x==； ②2{(,)log }M x y y x ==； ③ {(,)22}x M x y y ==-； ④{(,)sin 1}M x y y x ==+.其中是“垂直对点集”的序号是………………………（ ）. A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图所示，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合的一个点．（1）若圆柱的轴截面是正方形，当点C 是弧AB 的中点时，求异面直线1AC 与AB 的所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比．18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. 已知函数()()22133sin cos 42f x x x x π+⎛⎫=+--∈ ⎪⎝⎭R . （1） 求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值； （2）在ABC ∆中，若A B <，且()()12f A f B ==，求BCAB的值.19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，12,F F 分别是椭圆2222C :1(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，且焦距为22，动弦AB 平行于x 轴，且114F A F B +=．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 是椭圆C 上异于点A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，若2MF 、2NF 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅是定值．20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分. 如图，已知曲线12C :(0)1x y x x =>+及曲线21C :(0)3y x x=>，1C 上的点1P 的横坐标为111(0)2a a <<．从1C 上的点*(N )n P n ∈作直线平行于x 轴，交曲线2C 于n Q 点，再从2C 上的点*(N )n Q n ∈作直线平行于y 轴，交曲线1C 于1n P +点，点(1,2,3)n P n = 的横坐标构成数列{}n a ．（1）求曲线1C 和曲线2C 的交点坐标； （2）试求1n a +与n a 之间的关系； （3）证明：21212n n a a -<<．21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分. 已知函数2()2(0)f x x ax a =->.(1)当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<；(2)对于给定的正数a ，有一个最大的正数()M a ，使得在整个区间[0 ()]M a ，上，不等式|()|5f x ≤恒成立. 求出()M a 的解析式；(3)函数()y f x =在[ 2]t t +，的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值.青浦区2016学年第一学期高三期终学习质量调研测试参考答案及评分标准 2016.12.27一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1． 34i -； 2． [1,3)-；3． 3362160C ⋅=； 4． 24a =； 5． 2-； 6．3log 19S =； 7． 16π； 8． ()3,-+∞； 9. 3.62； 10. 4 ；11． )5+⎡∞⎣，； 12. 3460233202233--+=. 二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. B ；16. A ； 17． B ；18. C .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解： （1）连接11A B ，则11//AB A B ，直线1AC 与11A B 的所成角等于直线1AC 与AB 的所成角 ， 设圆柱的底面半径为r ，即112A B r =，116AC BC r ==， 在△11A B C 中，2221111111116cos 26AC A B B C B AC AC A B +-∠==⋅ 直线1BO 与1O E 所成角等于6cos6arc ；（2）设圆柱的底面半径为r ，母线长度为h ，当点C 是弧AB 的中点时，2AC BC r ==，且11AC ⊥平面11C CBB ，111212(2)(2)33A BCCB V r r h r h -=⋅⋅⋅=,2=V r h π圆柱，∴111=2:3A BCC B V V π-圆柱：．18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.解： ()1cos 21cos 21323222x x f x π⎛⎫+- ⎪-+⎝⎭=⋅+-13sin 2cos 2sin 2223x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ （1）由于02x π≤≤，22323x πππ-≤-≤，所以当232x ππ-=即512x π=时，()f x 取得最大值，最大值为1（2）由已知，A 、B 是ABC ∆的内角，A B <,且()()12f A f B ==，可解得4A π=，712B π= 所以6C A B ππ=--=,得sin 2sin BC AAB C==19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：因为焦距22，所以2222c c =⇒=，由椭圆的对称性及已知得12F A F B =，又因为114F A F B +=，所以124F B F B +=，因此24,2a a ==， 于是2b =，因此椭圆方程为22142x y +=； （2）设0011(,),(,)B x y P x y ，则00(,)A x y - 直线PA 的方程为101110()y y y y x x x x --=-+，令0x =得100110x y x yy x x +=+，故100110(0,)x y x y M x x ++；直线PB 的方程为101110()y y y y x x x x --=--，令0x =得100110x y x yy x x -=-，故100110(0,)x y x y N x x --；所以10011001121010,2()2()x y x y x y x y k k x x x x +-=-=-+-，因此2222100112221012)x y x y k k x x -⋅=⋅-； 因为,A B 在椭圆C 上，所以222201102,2,22x x y y =-=- 所以2222100112221011(2)(2)12212x x x x k k x x ---⋅=⋅=-20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.解：（1）21(0)1221(0)33x y x x x y y x x ⎧⎧=>=⎪⎪⎪⎪+⇒⎨⎨⎪⎪==>⎪⎪⎩⎩，即曲线1C 和曲线2C 的交点坐标是12,23⎛⎫⎪⎝⎭；(2) 设(,),(,)n n n n n P n Q Q P a y Q x y ，由已知21n nP n a y a =+， 又n n Q P y y =，又1111123631n n n n Q P n n Q n n a x x a a y a a +++=====⋅+ ，116nn n a a a ++=； (3) 解法一：因为0n a >，由116n n na a a ++=，112()1226n n n a a a +---=， 可得112n a +-与12n a -异号， 1102a << ，1102a -<，21102n a --<，2102n a ->，即21212n n a a -<<.21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：(1)2a =时，{224503()5430x x f x x x --<-<<⇔-+> ①②由①得，15x -<<，由②得，1x <或3x >，∴不等式的解集为(1 1)(3 5)- ，，； (2)22()()(2)f x x a a t x t =--≤≤+，显然(0)(2)0f f a ==①若0t =，则1a t ≥+，且min [()]()4f x f a ==-，或min [()](2)4f x f ==-， 当2()4f a a =-=-时，2a =±，2a =-不合题意，舍去 当2(2)2224f a =-⨯=-时，2a = ，②若22t a +=，则1a t ≤+，且min [()]()4f x f a ==-，或min [()](22)4f x f a =-=-，当2()4f a a =-=-时，2a =±，若2a =，2t =，符合题意； 若2a =-，则与题设矛盾，不合题意，舍去当2(22)(22)2(22)4f a a a a -=---=-时，2a =，2t = 综上所述，{20a t ==和{22a t ==符合题意.(2)∵0a >，当25a -<-，即5a >时，2()5M a a a =-- 当250a -≤-<，即05a <≤时，2()5M a a a =++∴225 5() 5 05a a a M a a a a ⎧-->=⎨++<≤⎩。
2017年上海高考数学一模卷(分类汇编--三角H
2017年高考数学一模分类汇编--三角一、填空题汇编：（第1--6题4分/题；第7--12题5分/题）1、（17年普陀一模2） 若22ππα-<<，3sin 5α=，则cot 2α=2、（17年浦东一模8） 函数()3cos 3sin )f x x x x x =+-的最小正周期为3、（17年长宁/嘉定一模2） 函数sin()3y x πω=-（0ω>）的最小正周期是π，则ω=4、（17年长宁/嘉定一模9）如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，D 是BC 边上的一点，5AD =，7AC =，3DC =，则AB 的长为5、（17年杨浦一模4）若ABC ∆中，4=+b a ，︒=∠30C ，则ABC ∆面积的最大值是 .6、（17年松江一模5）已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，则函数()f x a b =⋅的最小正周期为7、（17年闵行一模1）集合[]{}cos(cos )0,0,x x x ππ=∈=_____________ ．（用列举法表示）8（17年松江一模）如右图，已知半径为1的扇形AOB ，60AOB ∠=︒，P 为弧AB 上的一个动点，则OP AB ⋅的取值范围是_____________．9、（17年静安一模2）．函数⎪⎭⎫⎝⎛+-=4sin 31)(2πx x f 的最小正周期为 ．10、（17年静安一模6）．已知为锐角，且，则________ ．11、（17年静安一模9）．直角三角形ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，点M 是三角形ABC 外接圆上任意一点，则AB AM ⋅的最大值为___________．12、（17年金山一模3）．如果5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值是 13、（17年金山一模4）．函数cos sin ()sin cos x xf x x x=的最小正周期是14、（17年虹口一模3）．设函数()sin cos f x x x =-，且()1f α=，则sin2α= ． 15、（17年虹口一模6）．已知角A 是ABC ∆的内角，则“1cos 2A =”是“3sin A =的条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．16、（17年奉贤一模11）．参数方程[)πθθθθ2,0,sin 12cos2sin ∈⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y x 表示的曲线的普通方程是_________.3cos()45πα+=sin α=17、（17年奉贤一模12）．已知函数()()sin cos 0,f x wx wx w x R =+>∈，若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称，则ω的值为____________.18、（17年崇明一模9）．已知,A B 分别是函数()2sin f x x ω=(0)ω>在y 轴右侧图像上的第一个最高点和第一个最低点，且2AOB π∠=，则该函数的最小正周期是19、（17年崇明一模11）．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数()y f x =的图像恰好经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数，已知函数：①2y x =；②2sin y x =； ③1xy π=-；④cos()3y x π=+；其中为一阶格点函数的序号为 （注：把你认为正确的序号都填上）20、（17年宝山一模6）． 若函数cos sin sin cos x x y x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为二、选择题汇编：（5分/题） 1、（17年徐汇一模13）、“4x k ππ=+()k Z ∈”是“tan 1x =”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要2、（17年青浦一模13）、已知()sin3f x x π=，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =现从集合A 中任取两个不同元素s 、t ，则使得()()0f s f t ⋅=的可能情况为 （ ）.A ．12种B ．13种C ．14种D ．15种3、（17年浦东一模13） 将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（ ） A. cos(2)3y x π=+ B. cos(2)6y x π=+ C. cos(2)3y x π=-D. cos(2)6y x π=- 4、（17年长宁/嘉定一模15）给出下列命题：① 存在实数α使3sin cos 2αα+=；② 直线2x π=-是函数sin y x =图像的一条对称轴；③ cos(cos )y x =（x R ∈）的值域是[cos1,1]；④ 若α、β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；其中正确命题的题号为（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④5、（17年长宁/嘉定一模16） 如果对一切实数x 、y ，不等式29cos sin 4y x a x y-≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. 4(,]3-∞ B. [3,)+∞ C. [- D. [3,3]-6、（17年杨浦一模13）若直线1=+bya x 通过点()θθsin ,c os P ，则下列不等式正确的是 （ ）（A ）122≤+b a （B ）122≥+b a （C ）11122≤+b a （D ）11122≥+ba7、（17年松江一模16）解不等式11()022x x -+>时，可构造函数1()()2x f x x =-，由()f x 在x R ∈是减函数及()(1)f x f >，可得1x <，用类似的方法可求得不等式263arcsin arcsin 0x x x x +++>的解集为（ ）A. (0,1]B. (1,1)-C. (1,1]-D. (1,0)-8、（17年虹口一模14）．已知函数()sin(2)3f x x π=+在区间[]0,a （其中0a >）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）．.A 02a <≤π.B 012a π<≤.C ,12a k k N ππ*=+∈ .D 22,12k a k k N <≤+∈πππ9、（17年奉贤一模15）．已知函数22sin ,()cos(),x x f x x x α⎧+⎪=⎨-++⎪⎩00x x ≥<([0,2)απ∈是奇函数，则α=（ ）A ．0 B ．2πC ．πD ．23π10、（17年崇明一模13）． 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A. tan y x =B. 3xy = C. 13y x = D. lg ||y x =三、解答题汇编1、（17年徐汇一模18）、已知函数2sin ()1x xf x x -=；（1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若()2Af =4a =，5b c +=， 求△ABC 的面积；2、（17年青浦一模18）、本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.已知函数()()221cos 42f x x x x π⎛⎫=+--∈ ⎪⎝⎭R .（1） 求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值； （2）在ABC ∆中，若A B <，且()()12f A f B ==，求BCAB的值.3、（17年浦东一模13）已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ；（1）若3B π=，b =ABC 的面积S =a c +的值； （2）若22cos ()C BA BC AB AC c ⋅+⋅=，求角C ；4、（17年长宁/嘉定一模18）（14分） 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且28sin 2cos 272B C A +-=；（1）求角A 的大小；（2）若a =3b c +=，求b 和c 的值；5、（17年杨浦一模17）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题6分. 如图，某柱体实心铜质零件的截面边界是长度为55毫米线段AB 和88毫米的线段AC 以及圆心为P ，半径为PB 的一段圆弧BC 构成，其中︒=∠60BAC . （1）求半径PB 的长度；（2）现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量（每1立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克）.6、（17年松江一模19）松江天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”，兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高，如图，记O 点为塔基、P 点为塔尖、 点P 在地面上的射影为点H ，在塔身OP 射影所在直线上选点A ，使仰角45HAP ︒∠=， 过O 点与OA 成120︒的地面上选B 点，使仰角45HBP ︒∠=（点A 、B 、O 都在同一水平 面上），此时测得27OAB ︒∠=，A 与B 之间距离为33.6米，试求： （1）塔高；（即线段PH 的长，精确到0.1米） （2）塔的倾斜度；（即OPH ∠的大小，精确到0.1︒）60° A B PC7、（17年松江一模18）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．已知()23,1m =，2cos ,sin 2A n A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，A B C 、、是ABC △的内角． （1）当2A π=时，求n 的值；（2）若23C π=，3AB =，当m n ⋅取最大值时，求A 的大小及边BC 的长.8、（17年静安一模18）．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向2cos θ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．(1) 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； (2) 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？9、（17年金山一模18）． 已知△ABC 中，1AC =，23ABC π∠=，设BAC x ∠=，记()f x AB BC =⋅； （1）求函数()f x 的解析式及定义域；（2）试写出函数()f x 的单调递增区间，并求方程1()6f x =的解；10、（17年虹口一模18）．（本题满分14分）如图，我海监船在D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其北偏东30︒方向与它相距20海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海监船正东18海里处．（1）求此时该外国船只与D 岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D 岛12海里的E 处（E 在B 的正南方向），不让其进入D 岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值(角度精确到0.1︒，速度精确到0.1海里/小时)．A11、（17年奉贤一模19）．（本题满分14分）本题共有1个小题，满分14分一艘轮船在江中向正东方向航行，在点观测到灯塔在一直线上，并与航线成角α()0900<<α．轮船沿航线前进b 米到达处，此时观测到灯塔在北偏西方向，灯塔在北偏东β()0900<<α方向，0090αβ<+<．求．（结果用,,b αβ的表达式表示）．12、（17年崇明一模18）．在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A ，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A相距B 处，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ︒+（其中sin θ=090θ︒︒<<）且与点A相距海里的位置C 处； （1）求该船的行驶速度；（单位：海里/小时） （2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断 它是否会进入警戒水域，并说明理由；P A B ，C A 45︒B CB。
2017年上海市浦东区高考数学一模试卷(含答案)(推荐文档)
上海市浦东新区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知U R =，集合{|421}A x x x =-≥+，则U C A =2. 三阶行列式351236724---中元素5-的代数余子式的值为 3. 8(1)2x -的二项展开式中含2x 项的系数是4. 已知一个球的表面积为16π，则它的体积为5. 一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球，这些球的质地和形状一样，从中 任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是6. 已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6，则b =7. 若复数(1)(2)ai i +-在复平面上所对应的点在直线y x =上，则实数a =8.函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期为 9. 过双曲线222:14x y C a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交双曲线C 的两条渐近线 于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为10. 若关于x 的不等式1|2|02x x m --<在区间[0,1]内恒 成立，则实数m 的范围11. 如图，在正方形ABCD 中，2AB =，M 、N 分别是 边BC 、CD上的两个动点，且MN =AM AN ⋅u u u u r u u u r的取值范围是12. 已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈，都有*()f n N ∈，且 (())3f f n n =恒成立，则(2017)(1999)f f -=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（ ） A. cos(2)3y x π=+ B. cos(2)6y x π=+ C. cos(2)3y x π=- D. cos(2)6y x π=-14. 已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，则()y f x =-与1()y f x -=-图像（ ）A. 关于y 轴对称B. 关于原点对称C. 关于直线0x y +=对称D. 关于直线0x y -=对称15. 设{}n a 是等差数列，下列命题中正确的是（ ）A. 若120a a +>，则230a a +>B. 若130a a +<，则120a a +<C. 若120a a <<，则2a >D. 若10a <，则2123()()0a a a a -->16. 元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元， 而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为A 元， 购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是（ ）A. A B >B. A B <C. A B =D. A 、B 的大小关系不确定三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在长方体1111ABCD A B C D -中（如图），11AD AA ==，2AB =，点E 是棱AB 中点；（1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体成为鳖臑，试问四面体1D CDE 是否为鳖臑？并说明理由；18. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ；（1）若3B π=，b =ABC 的面积2S =，求a c +的值； （2）若22cos ()C BA BC AB AC c ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，求角C ；19. 已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的一条直线交 椭圆于P 、Q 两点，若△12PF F的周长为4+；（1）求椭圆C 的方程；（2）若12||||F P F Q PQ +=u u u r u u u u r u u u r ，求直线PQ 的方程；20. 设数列{}n a 满足21241n n a a n n +=+-+，22n n b a n n =+-；（1）若12a =，求证：数列{}n b 为等比数列；（2）在（1）的条件下，对于正整数2、q 、r (2)q r <<，若25b 、q b 、r b 这三项经适当 排序后能构成等差数列，求符合条件的数组(,)q r ；（3）若11a =，n n c b n =+，n d =n M 是n d 的前n 项和，求不超过2016M 的最大整数；21. 已知定义在R 上的函数()x ϕ的图像是一条连续不断的曲线，且在任意区间上()x ϕ都不 是常值函数，设011i i n a t t t t t b -=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=，其中分点1t 、2t 、⋅⋅⋅、1n t -将区间[,]a b 划分为n *()n N ∈个小区间1[,]i i t t -，记0112{,,}|()()||()()|M a b n t t t t ϕϕϕϕ=-+- 1|()()|n n t t ϕϕ-+⋅⋅⋅+-，称为()x ϕ关于区间[,]a b 的n 阶划分的“落差总和”；当{,,}M a b n 取得最大值且n 取得最小值0n 时，称()x ϕ存在“最佳划分”0{,,}M a b n ；（1）已知()||x x ϕ=，求{1,2,2}M -的最大值0M ；（2）已知()()a b ϕϕ<，求证：()x ϕ在[,]a b 上存在“最佳划分”{,,1}M a b 的充要条件 是()x ϕ在[,]a b 上单调递增；（3）若()x ϕ是偶函数且存在“最佳划分”0{,,}M a a n -，求证：0n 是偶数，且 00110i i n t t t t t -++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=；参考答案一. 填空题1. {|1}x x >2. 34-3. 74. 323π5. 256. ±7. 3 8. π 9. 8 10. 3(,2)2 11. [4,8- 12. 54二. 选择题13. A 14. D 15. C 16. A三. 解答题17.（1）3π；（2）是； 18.（1）5a c +=；（2）3π；19.（1）22184x y +=；（2）2)y x =-； 20.（1）12n n b -=；（2）(3,5)；（3）2016；21.（1）03M =；（2）略；（3）略；。
2017年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试题 完整版
2017 年普通高等学校招生全国统一考试上海--数学试卷考生注意1. 本场考试时间120 分钟，试卷共 4 页，满分150 分，答题纸共 2 页.2. 作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置3. 所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位4. 用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第1-6 题每题 4 分，第7-12 题每题5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 .1.已知集合 A={1 ，2，3，4} ，集合 B={3 ， 4， 5} ，则 A∩B=________1，答案：{3,4}【解析】∵集合 A={1 ，2，3，4} ，集合 B={3 ，4，5} ，∴A∩B={3,4} 【知识点难易度】本题考查集合的运算，交集，属于基础题2．若排列数则 m=___________【答案】 3【解析】∵排列数 A 6=6×5× ×(6-m+1) ，∴6-m+1=4，即 m=3. 【知识点难易度】本题考查排列的计算，属于基础题3．不等式的解集为___________【答案】【解析】【知识点难易度】本题考查分式不等式的解法，属于基础题4．已知球的体积为 36π，则该球主视图的面积等于________【答案】9 π【解析】设球的半径为R，则由球的体积为 36π，可得，解得 R=3.该球的主视图是半径为3 的圆，其面积为【知识点难易度】本题考查球的体积公式和三视图的概念5.已知复数 z 满足，则 |z|=________．【答案】【解析】由【知识点难易度】本题考查复数的四则运算和复数的模, 属于基础题6. 设双曲线（b＞0）的焦点为 F1，F2， P 为该双曲线上的一点，若，则=______【答案】11【解析】双曲线中，由双曲线的定义，可得 ||PF |-|PF ||=6，又|PF1|=5，解得 |PF2 |=11或﹣ 1（舍去），故 |PF2|=11.【知识点难易度】本题考查双曲线的定义和性质，7. 如图，以长方体的顶点 D 为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若向量的坐标为（ 4，3，2），则向量的坐标是___________【答案】(-4,3,2)【解析】由的坐标为（ 4，3， 2），可得A （ 4， 0， 0），C(0,3,2)，D1 (0,0,2)，则 C1（ 0， 3， 2），∴=（﹣ 4，3，2）．【知识点难易度】本题考查空间向量，属于基础题8. 定义在（0，+ ∞）上的函数y=f （x）的反函数为, 若为奇函数，则的解为_____【答案】【解析】为奇函数，可得当x>0时，﹣ x＜ 0，即有，则由可得，即【知识点难易度】本题考查函数基本性质和互为反函数的两个函数之间的关系，属于中档题9.已知四个函数：①y=-x ，② y=，③ y=④ y=，从中任选2 个，则事件“所选 2 个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为_______【答案】【解析】从四个函数中任选2 个，基本事件总数 n==6，“所选2 个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有①③，①④，共2 个，∴事件“所选2 个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为p=【知识点难易度】本题考查事件的概率，幂函数的图像画法和特征，属于基础题10.已知数列其中的项是互不相等的正整数，若对于任意 n∈N*，的第项等于则=_____【答案】 2【解析】【知识点难易度】本题考查数列概念的理解，对数的运算，属于中档题11.设α1，α2∈R , 且则 |10π-α1-α2|的最小值等于_________【答案】【解析】由可得 1≤2+sin α1≤3，则同理可得【知识点难易度】考查三角函数的性质和值域，12. 如图，用35 个单位正方形拼成一个矩形，点以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合 Ω={ P1，P2，P3，P4 }，点P ∈Ω，过 P 作直线 l P ，使得不在 l P 上的 “▲” 的点分布在 l P 的两侧．用 D 1（l P ） 和分别表示一侧和另一侧的“▲”的点到的距离之和． 若过 P的直线中有且只有一条满足，则 Ω 中所有这样的 P 为___________ 【答案】P 1, P 3 , P 4【解析】设记为 “▲”的四个点为 A ，B ，C ，D ，线段 AB ，BC ，CD ， DA 的中点分别为 E ， F ，G ，H ，易知 EFGH 为平行四边形，如图所示，四边形 ABCD 两组对边中点的连线交于点 P2 ，则经过点 P2的所有直线都是符合条件的直线 .因此经过点 P2 的符合条件的直线 l P 有无数条；经过点 P1,P3,P4 的符合条件的直线 各有 1 条，即直线 P2 P1 ,P2P3,P2P4.故 Ω中所有这样的 P 为 P1,P3.P4.二、选择题（本大题共4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 关于x， y的二元一次方程组的系数行列式 D 为( )A. B. C. D.【答案】 C【解析】关于的二元一次方程组的系数行列式故选C14. 在数列中，n∈N，则=（）A. 等于B.等于 0C.等于D.不存在【答案】 B【解析】数列中，n∈N，则故选B15. 已知 a,b,c 为实常数，数列的通项=an2+bn+c，n∈N*，则“存在 k∈N*，使得成等差数列”的一个必要条件是（）A. 0a b cc= D、20-+=b≤ C. 0a≥ B. 0【答案】 A【解析】存在 k∈N*，使得成等差数列，可得2[a（ 200+k）2+b（200+k） +c]=a（ 100+k）2+b（100+k） +c+a （300+k）2+b（300+k） +c，化简得 a=0，∴使得成等差数列的必要条件是 a≥0．故选A ．16. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=P 为上的动点，Q 为 C2 上的动点，w 是OP OQ ⋅u u u r u u u r的最大值．记Ω={（P ，Q ）| P 在 C1 上， Q 在 C2 上且OP OQ ω⋅=u u u r u u u r}，则 Ω中的元素有（ ）A.2 个B.4 个C.8 个D.无穷个【答案】 D【解析】 P 为椭圆 221:1364x y C +=上的动点， Q 为 222:19y C x +=上的动点，可 设 P （ 6cos α， 2sin α）， Q （ cos β， 3sin β）， α， β∈ [0,2π], 则OP OQ ⋅u u u r u u u r=6cos α cos β +6sin α sin β（=6cos α-β），当 α-β =2k π，k ∈Z 时， OP OQ ⋅u u u r u u u r取得最大值w=6，即使得 OP OQ ⋅u u u r u u u r=w 的点对 (P,Q)有无穷多对， Ω 中的元素有无穷个 .三、解答题（本大题共5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17.如图，直三棱柱111ABC A B C - 的底面为直角三角形，两直角边AB 和 AC 的长分别为 4 和 2，侧棱 1AA 的长为 5． （1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设 M 是 BC 中点，求直线1B M 与平面ABC所成角的大小 .17.【解析】（1）∵直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边 AB 和 AC 的长分别为 4 和 2，侧棱 AA 1 的长为 5． ∴三棱柱111ABC A B C -的体积2）连接 AM.∵直三棱柱111ABC A B C -，与平面 ABC 所成角 .∵△ ABC 是直角三角形， 两直角边 AB 和 AC 的长分别为 4 和 2，点 M 是 BC 的中点，18.已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x π=-+∈.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ ABC 为锐角三角形，角 A 所对边19a = ，角 B 所对边 b=5，若f （A ）=0，求△ ABC 的面积．18.【解析】（1）函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x π=-+∈19． 根据预测，某地第n （n ∈N * ）个月共享单车的投放量和损失量分别为 an 和 bn （单位：辆），其中 2515,1,2,310470,4n n n a n n ⎧+==⎨-+≥⎩， 5n b n =+，第 n 个月底的共享单车的保有量是前 n 个月的累计投放量与累计损失量的差。
2017年上海市高考数学试卷及解析
2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1、（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=、2、（4分）若排列数=6×5×4，则m=、3、（4分）不等式＞1的解集为、4、（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于、5、（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|=、6、（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=、7、（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是、8、（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为、9、（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为、10、（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则=、11、（5分）设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于、12、（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧、用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和、若过P的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为、二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13、（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A、B、C、D、14、（5分）在数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n（）A、等于B、等于0C、等于D、不存在15、（5分）已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n=an2+bn+c，n∈N*，则“存、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）在k∈N*，使得x100+kA、a≥0B、b≤0C、c=0D、a﹣2b+c=016、（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：=1和C2：x2+=1、P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值、记Ω={（P，Q）|P 在C1上，Q在C2上，且=w}，则Ω中元素个数为（）A、2个B、4个C、8个D、无穷个三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17、（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5、（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小、18、（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）、（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积、19、（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差、（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）、设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20、（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点、（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程、21、（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）、（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值、函数h（x）=f（x）g（x）、证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”、参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1、（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B={3，4} 、题目分析：利用交集定义直接求解、试题解答：解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}、故答案为：{3，4}、点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用、2、（4分）若排列数=6×5×4，则m=3、题目分析：利用排列数公式直接求解、试题解答：解：∵排列数=6×5×4，∴由排列数公式得，∴m=3、故答案为：m=3、点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用、3、（4分）不等式＞1的解集为（﹣∞，0）、题目分析：根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可、试题解答：解：由＞1得：，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）、点评：本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题、4、（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π、题目分析：由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积、试题解答：解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π、故答案为：9π、点评：本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题、5、（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|=、题目分析：设z=a+bi（a，b∈R），代入z2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b的值得答案、试题解答：解：由z+=0，得z2=﹣3，设z=a+bi（a，b∈R），由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，即，解得：、∴、则|z|=、故答案为：、点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题、6、（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=11、题目分析：根据题意，由双曲线的方程可得a的值，结合双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=6，解可得|PF2|的值，即可得答案、试题解答：解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，其中a==3，则有||PF1|﹣|PF2||=6，又由|PF1|=5，解可得|PF2|=11或﹣1（舍）故|PF2|=11，故答案为：11、点评：本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义、7、（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是（﹣4，3，2）、题目分析：由的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果、试题解答：解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），∴、故答案为：（﹣4，3，2）、点评：本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题、8、（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为、题目分析：由奇函数的定义，当x＞0时，﹣x＜0，代入已知解析式，即可得到所求x＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值、试题解答：解：若g（x）=为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）=3﹣x﹣1，由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x），则g（x）=f（x）=1﹣3﹣x，x＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（x）=2，可由f（2）=1﹣3﹣2=，可得f﹣1（x）=2的解为x=、故答案为：、点评：本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题、9、（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为、题目分析：从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率、试题解答：解：给出四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，③④有两个公共点（0，0），（1，1）、事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③，①④共2个，∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）==、故答案为：、点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用、10、（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则=2、题目分析：a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，可得==、于是b1=a1=1，=b4，=b9，=b16、即可得出、试题解答：解：∵a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，∴==、∴b1=a1=1，=b4，=b9，=b16、∴b1b4b9b16=、∴=2、故答案为：2、点评：本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题、11、（5分）设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于、题目分析：由题意，要使+=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1、求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值试题解答：解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1、则：，k1∈Z、，即，k2∈Z、那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z、∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为、故答案为：、点评：本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查、12、（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧、用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和、若过P的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为P1、P3、P4、题目分析：根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论、试题解答：解：设记为“▲”的四个点是A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；又平行四边形EFGH的对角线交于点P2，则符合条件的直线l P一定经过点P2，且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条，过点P3和P2的直线有且仅有1条，过点P4和P2的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是P1、P3、P4、故答案为：P1、P3、P4、点评：本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力、二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13、（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A、B、C、D、题目分析：利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解、试题解答：解：关于x、y的二元一次方程组的系数行列式：D=、故选：C、点评：本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用、14、（5分）在数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n（）A、等于B、等于0C、等于D、不存在题目分析：根据极限的定义，求出a n=的值、试题解答：解：数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n==0、故选：B、点评：本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题、15、（5分）已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n=an2+bn+c，n∈N*，则“存、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）在k∈N*，使得x100+kA、a≥0B、b≤0C、c=0D、a﹣2b+c=0，x200+k，x300+k成等差数列，可得：2x200+k=x100+k x300+k，代入化题目分析：由x100+k简即可得出、、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）试题解答：解：存在k∈N*，使得x100+k2+b（200+k）+c]=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化为：a=0、，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0、∴使得x100+k故选：A、点评：本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题、16、（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：=1和C2：x2+=1、P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值、记Ω={（P，Q）|P 在C1上，Q在C2上，且=w}，则Ω中元素个数为（）A、2个B、4个C、8个D、无穷个题目分析：设出P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数、试题解答：解：椭圆C1：=1和C2：x2+=1、P为C1上的动点，Q为C2上的动点，可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，则=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β），当α﹣β=2kπ，k∈Z时，w取得最大值6，则Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且=w}中的元素有无穷多对、另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2=36，9u2+v2=9，由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）=324≥（3mu+3nv）2，当且仅当mv=nu，即O、P、Q共线时，取得最大值6，显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确、故选：D、点评：本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题、三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17、（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5、（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小、题目分析：（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=，由此能求出结果、（2）连结AM，∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，由此能求出直线A1M 与平面ABC所成角的大小、试题解答：解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5、∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=S△ABC×AA1===20、（2）连结AM，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5，M是BC中点，∴AA1⊥底面ABC，AM==，∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，tan∠A1MA===，∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan、点评：本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题、18、（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）、（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积、题目分析：（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值、试题解答：解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+=cos2x+，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，k=1时，π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=π，即A=π，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB=＜0，即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=、点评：本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题、19、（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差、（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）、设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？题目分析：（1）计算出{a n}和{b n}的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n≥b n得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论、试题解答：解：（1）∵a n=，b n=n+5∴a1=5×14+15=20a2=5×24+15=95a3=5×34+15=420a4=﹣10×4+470=430b1=1+5=6b2=2+5=7b3=3+5=8b4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935、（2）令a n≥b n，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤，∴第42个月底，保有量达到最大、当n≥4，{a n}为公差为﹣10等差数列，而{b n}为等差为1的等差数列，∴到第42个月底，单车保有量为×39+535﹣×42=×39+535﹣×42=8782、S42=﹣4×16+8800=8736、∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量、点评：本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题、20、（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点、（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程、题目分析：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立，能求出P点坐标、（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），由∠P=90°，求出x0=；由∠M=90°，求出x0=1或x0=；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意、由此能求出点M的横坐标、（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0）推导出x0=cosβ，从而4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣cosα，且sinα=（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ、试题解答：解：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），∵椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且|OP|=，∴联立，解得P（，）、（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），若∠P=90°，则•，即（x0﹣，﹣）•（﹣，）=0，∴（﹣）x0+﹣=0，解得x0=、如图，若∠M=90°，则•=0，即（﹣x0，1）•（﹣x0，）=0，∴=0，解得x0=1或x0=，若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意、∴点M的横坐标为，或1，或、（3）设C（2cosα，sinα），∵，A（0，1），∴Q（4cosα，2sinα﹣1），又设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2，整理得：x0=cosβ，∵=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），=（﹣cosβ，﹣sinβ），，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣cosα，且sinα=（1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα=，或sinα=﹣1（舍去），此时，直线AC的斜率k AC=﹣=（负值已舍去），如图、∴直线AQ为y=x+1、点评：本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题、21、（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）、（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值、函数h（x）=f（x）g（x）、证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”、题目分析：（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明、类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明试题解答：（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0、故a的范围是[0，+∞）；（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）、又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1•g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1•g（x0+T g）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h、若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）、又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾、综上，f（x）＞0恒成立、由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]⊆[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=Rh（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）•f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0、因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数21/ 21。
2017上海高考数学试题(Word版含解析)
2017 上海高考数学试题(Word 版含解析)(word 版可编辑修改)
二。 选择题（本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分）
13.
关于
x
、
y
的二元一次方程组
x 2
5y 0 x 3y 4
的系数行列式
D
为（
）
05 A.
43
10 B。
24
15 C。
23
60 D。
54
14.
2
，则 | 10
1
2
| 的最小值等于
【解析】 1 [1 ,1] ，
1
[1 ,1] ，∴ 1
1
1，
2 sin1 3
2 sin(22 ) 3
2 sin1 2 sin(22 )
即 sin1
sin(22 )
1 ,∴1
2
2k
，2
4
k
， | 10
1
2
|min
4
12. 如图,用 35 个单位正方形拼成一个矩形，点 P1 、 P2 、 P3 、 P4 以及四个标记为“”的 点在正方形的顶点处，设集合 {P1, P2 , P3, P4}，点 P ,过 P 作直线 lP ,使得不在 lP 上的“”的点 分布在 lP 的两侧。 用 D1(lP ) 和 D2 (lP ) 分别表示 lP 一侧 和另一侧的“”的点到 lP 的距离之和。 若过 P 的直 线 lP 中有且只有一条满足 D1(lP ) D2 (lP ) ，则 中
2. 若排列数 P6m 6 5 4 ，则 m 3。 不等式 x 1 1 的解集为
x
4。 已知球的体积为 36 ，则该球主视图的面积等于
2017上海高考数学试题(含解析)
2017年上海市高考数学试题（真题含答案）2017.6一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B =2. 若排列数6654m P =⨯⨯，则m =3. 不等式11x x->的解集为 4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 5. 已知复数z 满足30z z+=，则||z = 6. 设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐 标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若31,0()(),0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则1()2f x -=的解为9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x=-；③ 3y x =；④ 12y x =. 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =11. 设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“ ”的 点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“ ”的点分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧 和另一侧的“ ”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直 线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中 所有这样的P 为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为（ ）A.0543 B. 1024 C. 1523 D. 605414. 在数列{}n a 中，1()2n n a =-，*n ∈N ，则lim n n a →∞（ ） A. 等于12-B. 等于0C. 等于12D. 不存在 15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ， 使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）A. 0a ≥B. 0b ≤C. 0c =D. 20a b c -+=16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=. P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=，则Ω中元素个数为（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.18. 已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.（1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标； （3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =， 求直线AQ 的方程.21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤.（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值. 函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.2017年上海市高考数学试卷2017.6一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B =【解析】{3,4}AB =2. 若排列数6654m P =⨯⨯，则m = 【解析】3m =3. 不等式11x x ->的解集为 【解析】111100x x x->⇒<⇒<，解集为(,0)-∞4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 【解析】3436393r r S πππ=⇒=⇒= 5. 已知复数z 满足30z z+=，则||z =【解析】23||z z z =-⇒=⇒=6. 设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =， 则2||PF =【解析】226||11a PF =⇒=7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐 标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为 【解析】(4,0,0)A ，1(0,3,2)C ，1(4,3,2)AC =-8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若31,0()(),0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则1()2f x -=的解为【解析】()31(2)918x f x f =-+⇒=-+=-，∴1()2f x -=的解为8x =-9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x=-；③ 3y x =；④ 12y x =. 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为 【解析】①③、①④的图像有一个公共点，∴概率为24213C = 10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =【解析】222149161491612341234lg()()2lg()n n a b n n b b b b b a b b b b b b b b b b b b b b =⇒=⇒=⇒=11. 设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于【解析】111[,1]2sin 3α∈+，211[,1]2sin(2)3α∈+，∴121112sin 2sin(2)αα==++，即12sin sin(2)1αα==-，∴122k παπ=-+，24k παπ=-+，12min |10|4ππαα--=12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“ ”的 点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“ ”的点分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧 和另一侧的“ ”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直 线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中 所有这样的P 为 【解析】1P 、3P二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为（ ）A.0543 B. 1024 C. 1523 D. 6054【解析】C14. 在数列{}n a 中，1()2n n a =-，*n ∈N ，则lim n n a →∞（ ）A. 等于12-B. 等于0C. 等于12D. 不存在 【解析】B15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ，使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）A. 0a ≥B. 0b ≤C. 0c =D. 20a b c -+= 【解析】A16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=. P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=，则Ω中元素个数为（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个 【解析】D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小. 【解析】（1）20V S h =⋅=（2）tanθ== 18. 已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.【解析】（1）1()cos22f x x =+，(0,)x π∈，单调递增区间为[,)2ππ （2）1cos223A A π=-⇒=，∴225191cos 2252c A c c +-==⇒=⋅⋅或3c =，根据锐角三角形，cos 0B >，∴3c =，1sin 2S bc A ==19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【解析】（1）12341234()()96530935a a a a b b b b +++-+++=-= （2）10470542n n n -+>+⇒≤，即第42个月底，保有量达到最大12341234(42050)38(647)42()()[965]878222a a a ab b b b +⨯+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+-=2424(4246)88008736S =--+=，∴此时保有量超过了容纳量.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.（1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标； （3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =， 求直线AQ 的方程.【解析】（1）联立22:14x y Γ+=与222x y +=，可得(33P （2）设(,0)M m ，283833(,1)(,)055555MA MP m m m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=或1m =8283864629(,)(,)0555********PA MP m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=（3）设00(,)P x y ，线段AP 的中垂线与x 轴的交点即03(,0)8M x ，∵4PQ PM =，∴003(,3)2Q x y --，∵2AQ AC =，∴00133(,)42y C x --，代入并联立椭圆方程，解得09x =，019y =-，∴1()3Q ，∴直线AQ 的方程为110y x =+21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤.（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值. 函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”. 【解析】（1）0a ≥；（2）略；（3）略.。
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上海市青浦区2017届高三一模数学试卷
2016.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 已知复数2z i =+（i 为虚数单位），则2z =
2. 已知集合1{|216}2
x A x =≤<，22{|log (9)}B x y x ==-，则A B = 3. 在二项式6
2()x x +的展开式中，常数项是
4. 等轴双曲线222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点，且||AB = 则该双曲线的实轴长等于
5. 若由矩阵2222a x a a y a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
表示x 、y
的二元一次方程组无解，则实数a = 6. 执行如图所示的程序框图，若输入1n =，
则输出S =
7. 若圆锥侧面积为20π，且母线与底面所成 角为4arccos
5
，则该圆锥的体积为 8. 已知数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列，则实数b 的取 值范围是
9. 将边长为10的正三角形ABC ，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A B C '''， 则△A B C '''中最短边的边长为 （精确到0.01）
10. 已知点A 是圆22
:4O x y +=上的一个定点，点B 是圆O 上的一个动点，若满足 ||||AO BO AO BO +=-，则AO AB ⋅=
11. 若定义域均为D 的三个函数()f x 、()g x 、()h x 满足条件：对任意x D ∈，点(,())x g x 与点(,())x h x 都关于点(,())x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，已知
()g x =()2f x x b =+，()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”
，且()()h x g x ≥ 恒成立，则实数b 的取值范围是
12. 已知数列{}n a 满足：对任意的*n N ∈均有133n n a ka k +=+-，其中k 为不等于0与1
的常数，若{678,78,3,22,222,2222}i a ∈---，2,3,4,5i =，则满足条件的1a 所有可能值 的和为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知()sin 3
f x x π
=，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，现从集合A 中任取两个不同元素s 、t ，
则使得()()0f s f t ⋅=的可能情况为（ ） A. 12种 B. 13种 C. 14种 D. 15种
14. 已知空间两条直线m 、n ，两个平面α、β，给出下面四个命题：
①m ∥n ，m n αα⊥⇒⊥；
②α∥β，m α，n β⇒m ∥n ；
③m ∥n ，m ∥αn ⇒∥α；
④α∥β，m ∥n ，m α⊥n β⇒⊥；
其中正确的序号是（ ）
A. ①④
B. ②③
C. ①②④
D. ①③④
15. 如图，有一直角坡角，两边的长度足够长，若P 处有一棵树与两坡的距离分别是4m 和 am （012a <<），不考虑树的粗细，现用16m 长的篱笆，借助坡角围成一个矩形花圃 ABCD ，设此矩形花圃的最大面积为M ，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数()M f a = （单位2
m ）的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
16. 已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意实数对11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈， 使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”，给出下列四个集合： ①21{(,)|}M x y y x
==
； ②2{(,)|log }M x y y x ==； ③{(,)|22}x M x y y ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+； 其中是“垂直对点集”的序号是（ ）
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图所示，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周 上不与A 、B 重合的一个点；
（1）若圆柱的轴截面是正方形，当点C 是弧AB 的中点时，求异面直线1A C 与AB 的所成 角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比；
18. 已知函数22()cos (
)4f x x x π=+-（x R ∈）； （1）求函数()f x 在区间[0,]2π
上的最大值；
（2）在ABC ∆中，若A B <，且1()()2f A f B ==，求BC AB 的值；
19. 如图，1F 、2F 分别是椭圆22
22:1x y C a b
+=（0a b >>）的左、右焦点，且焦距为， 动弦AB 平行于x 轴，且11||||4F A F B +=；
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若点P 是椭圆C 上异于点A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、 N ，若2MF 、2NF 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅是定值；
20. 如图，已知曲线12:1x C y x =
+（0x >）及曲线21:3C y x =（0x >），1C 上的点1P 的 横坐标为1a （1102
a <<），从1C 上的点n P （*n N ∈）作直线平行于x 轴，交曲线2C 于n Q 点，再从2C 上的点n Q （*n N ∈）作直线平行于y 轴，交曲线1C 于1n P +点，点n P
（1,2,3,n =⋅⋅⋅）的横坐标构成数列{}n a ；
（1）求曲线1C 和曲线2C 的交点坐标；
（2）试求1n a +与n a 之间的关系；
（3）证明：21212n n a a -<
；
21. 已知函数2()2f x x ax =-（0a >）；
（1）当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<；
（2）函数()y f x =在[,2]t t +的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值；
（3）对于给定的正数a ，有一个最大的正数()M a ，使得在整个区间[0,()]M a 上，不等式|()|5f x ≤恒成立，求出()M a 的解析式；
参考答案
一. 填空题
1. 34i -
2. [1,3)-
3. 160
4. 4
5. 2-
6. 3log 19
7. 16π
8. 3b >-
9. 3.62 10. 4
11. )+∞ 12. 22010
3
二. 选择题
13. C 14. A 15. B 16. C
三. 解答题
17.（1
）（2）23π
； 18.（1）1；（2
；
19.（1）22
142
x y +=；（2）121k k =； 20.（1）12(,)23
；（2）116n n n a a a ++=；（3）略； 21.（1）(1,1)
(3,5)-；（2）0t =或2，2a =； （3
）当0a <≤
()M a a =
a >
()M a a =。