数值分析1.1讲义.

方程求根问题
在科学计算中常要遇到求解各种方程， 例如：
高次代数方程
超越方程
x 5－ 3 x ＋ 7 ＝ 0
x e cos 0 3
x
高次线性方程和超越方程看似简 单，但难于求其精确解。对于高次 代数方程，由代数基本定理知多项 式根的数目和方程的阶相同，但对 超越方程就复杂的多，如果有解， 其解可能是一个或几个，也可能是 无穷多个。
用计算机解决科学计算问题通常经历以 下过程
应 用 数 学 计 算 数 学
实际问题
数值计算方法
程序设计
数学模型
上机计算结果
2.数值分析研究的内容 — 函数的数值逼近(插值与拟合)
— 数值积分与数值微分
— 非线性方程数值解 — 数值线性代数
— 常微和偏微数值解，……
数值分析实质上是以数学问题为研 究对象，不像纯数学那样只研究数 学本身的理论，而是把理论与计算 紧密结合，着重研究数学问题的数 值方法及理论。
y ' 1 2 xy y (0) 0
常微分方程的一般解(解析解) 对一些典型的微分方程 ( 可分离变 量方程，一阶线性方程等等 ) ，有可 能找出它们的一般解表达式，然后 用初始条件确定表达式中的任意常 数，这样解即能确定。
y ' 2 x 例如 求解 y (0) 0
数值分析
Numerical Analysis
教
《数值分析》(第2版)
材 朱晓临 主编
中国科学技术大学出版社
《数值分析》（第5版） 李庆阳，王能超，易大义编著 清华大学大学出版社
参 考 书 目
《数值分析》（第3版） 颜庆津著， 北京航空航天大学 出版社 《Numerical Analysis》(Ninth ed.)
其中
a11 a1n D an1 ann b1 a1n D1 bn ann
例如 用克莱姆法则求解一个n阶方 程组，要算 n+1 个 n 阶行列式的值， 总共需要
n!(n-1)(n+1)
次乘法。 当n充分大时，计算量是相当惊人的。
比如一个 20 阶不算太大的方程组， 大约要做 1021 次乘法，这项计算即 使每秒1亿次浮点数乘法计算的计算 机去做，也要连续工作 30 万年 才能 完成。当然这是完全没有实际意义 的，故需要寻找有效算法!
解：分离变量得 dy=2xdx 积分得y=x2+c 由初值得c=0 故解为y=x2
但是对于求解
y' 2 x y ( 0) 0
y
无法求出一般解！
课 程
二、 如何学习数值分析？
1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法
简 介
3.重视各种方法的误差分析
4.做一定量的习题
Richard Burden, Dougla Faires, Brooks/Cole, Cengage Learning, 2011
预 备 知 识

微积分 线性代数 常微分方程 算法语言
课 程 简 介
一、为什么要学习数值分析？
现实世界的问题可以归结为各种各样的 数学问题 — 方程求根问题 — 解线性方程组的问题 — 定积分问题 — 常微分方程初值问题 — …….
b
a
sin x dx 等等 x
已证明它们的原函数不能用初等函数表 示成有限形式。
原因之二：有些被积函数的原函数过 于复杂，例如
f ( x) x
2
2x 3
2
的一个原函数是
F ( x)
x
3
2x 3 3x 2x 3 4 16
2 2
9 ln( 2 x 2 x 2 3 ) 16 2
解线性方程组的问题 线性方程组的一般形式
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 ... a n1 x1 a n 2 x 2 ... a nn x n bn
定积分问题 对于积分
I f ( x )dx
a
b
由微积分知识可知：只要找到被积函 数f(x)的原函数F(x)，便有下列牛顿— 莱布尼兹公式
a f ( x )dx F (b) F (a )
b
为何要进行数值积分？ 原因之一：许多形式上很简单的函数， 例如

b
a
sin x dx ,
2

3. 数值分析的特点 (1)面向计算机，要根据计算机特点 设计切实可行的有效算法. (2) 有可靠的理论分析，能任意逼 近并达到精度要求，对近似计算 要保证收敛性和数值稳定性.
(3) 要有好的计算复杂性，时间复 杂性好是指节省时间，空间复杂 性好是指节省存贮量，这也是建 立算法要研究的问题. (4) 要有数值试验，即任何一个算 法除了从理论上要满足上述三点 外，还要通过数值试验证明是行 之有效的.
5.注意与实际问题相联系
数 值 分 析
第一章 绪 论
§1
数值 一、数值分析研究的对象 分析 研究 二、数值分析研究的特点 的对 象与 特点
1.数值分析研究的对象
数值分析是计算数学的一个主要部 分，计算数学是数学科学的一个分 支，它研究用计算机求解各种数学 问题的数值计算方法及其理论与软 件实现.
§2
数 值 计 算 的 误 差
一、误差来源的分类
二、误差分析的重要性 三、绝对误差和绝对误差限 四、相对误差和相对误差限 五、有效数字
(1) 当 b≠0 时称为非齐次线性方程组， 其可能有唯一解、无解或者无穷多个 解。当 b=0 时称为线性齐次方程组， 必有零解。 (2)由线性代数知识可知：当系数矩阵 A 非奇异 ( 即 detA≠0) 时，方程组有唯 一解，可用克莱姆法则求解，但它只 适合于n很小的情况。
克莱姆法则
Dn D1 D2 x1 , x2 , , x n ，上式就 不见得方便。
原因之三： f (x) 以离散数据点形式给 出
xi yi = f(xi)
x0 y0
x1 y1
… …
xn yn
常微分方程初值问题 一阶常微分方程的初值问题，即
y' f ( x , y ) y ( x 0 ) y0
例
y' 2 x y (0) 0