学海导航数学(理)总复习(第1轮)课件 第59讲 抛物线
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4.已知抛物线 y＝ax2 的焦点为 F， 准线 l 与对称轴交于点 R， 过抛物线上一点 P(1,2)作 PQ⊥l，垂足为 Q，则梯形 PQRF 的面积为 19 16 .
【解析】将 P(1,2)代入 y＝ax2，得 a＝2， 1 所以 y＝2x ，即 x ＝ y， 2
2 2
1 1 17 所以|FR|＝ ，|PQ|＝2＋ ＝ ， 4 8 8 1 1 17 19 19 所以 SPQRF＝ ×( ＋ )×1＝ .故应填 . 2 4 8 16 16
掌握抛物线的定义、几何图形、标 准方程及简单几何性质，能综合运 用抛物线的基本知识，分析探究与 抛物线相关的综合问题．
1．抛物线的定义 平面内与一定点F 和一条定直线l F l 距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线 的① __________.
2.抛物线的标准方程与几何性质
一
抛物线的定义和标准方程
【例 1】 若动点 P 到点 F(1,0)的距离比它到直线 l： x＋2＝0 的距离小 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)已知定点 A(2,3)，点 Q 在轨迹 C 上运动，且点 Q 到直线 l 的距离为 d，求 d＋|QA|的最小值．
【解析】(1)由已知可知点 P 到 F(1,0)的距离等于它到直 线 x＋1＝0 的距离．由抛物线的定义可知，点 P 的轨迹 C 的 方程为 y2＝4x.
【解析】(1)由题设可知 BC 过 F 点，且 BC 垂直于 x 轴， p p 从而 B( ，p)，C( ，－p)， 2 2 p 又 A 为准线与 x 轴交点，则 A(－ ，0)． 2 p p 因为 kAB· kAC＝( )· ( )＝－1，所以 AB⊥AC. p －p 由对称性可知|AB|＝|AC|， 所以△ABC 为等腰直角三角形．
【分析】 由定义转化距离求参数 p 来确定方程．
【解析】如图，分别过点 A、B 作抛物线准线的垂线，垂足分 别为 M、N，由抛物线的定义知，|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝|AB| ＝8，又四边形 AMNB 为直角梯形，故 AB 的中点到准线的距
p 离即为梯形的中位线的长度 4， 而抛物线的准线方程为 x＝－ ， 2 p 所以 4＝2＋ ⇒p＝4，故抛物线的方程为 y2＝8x. 2
(2)设 Q(x，y)， 则 d2＝(x－a)2＋y2＝x2－2ax＋a2＋2x ＝[x－(a－1)]2＋(2a－1)． 又 x∈[0，＋∞)， 当 a－1≥0，即 a≥1 时，当 x＝a－1 时，dmin＝ 2a－1； 当 a－1<0，即 a<1 时，当 x＝0 时，dmin＝|a|.
2a－1 a≥1 故 d＝f(a)＝ . |a| a<1
(2)由(1)可知 y2＝4x 的准线 l 的方程为 x＝－1， 则 d 等于点 Q 到准线 l 的距离 d′＋1. 又点 A(2,3)不在抛物线含焦点 F 的部分， 所以 d ＋|QA|＝1＋d′＋|QA|＝1＋|QF|＋|QA|≥1＋|AF| ＝1＋ 10. 当 Q 在线 AF 上时，等号成立， 故 d＋|QA|的最小值为 1＋ 10.
【点评】动点到定点的距离比它到定直线的距离大 (或小)某定值时，求其轨迹方程均转化化归为求抛物线方 程，涉及抛物线上的点到焦点的距离 (或到准线的距离 ) 可转化化归为到准线的距离(或到焦点的距离)．
素材1
(2011· 合肥二检)直线 l 过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦 点，且与抛物线交于 A、B 两点，若线段 AB 的长是 8， AB 的中点到 y 轴的距离是 2， 则此抛物线的方程是( A．y2＝12x C．y2＝6x B．y2＝8x D．y2＝4x )
二 抛物线的几何性质及应用
【例 2】已知抛物线 C：y2＝2x. 2 (1)设点 A 的坐标为( ，0)，求抛物线上距离 A 最近的点 P 3 的坐标及相应的距离|PA|； (2)设点 A 的坐标为(a,0)(a∈R)， 求抛物线上的点 Q 到点 A 距离之最小值 d，并写出 d＝f(a)的表达式．
【点评】涉及圆锥曲线上一动点的距离的最值问题，构 建关于动点坐标的目标函数求最值时，一定要注意动点坐标 的取值范围．
素材2
抛物线 y2＝2px(p>0)的通径为 BC(通径为过焦点且垂直于 对称轴的弦)，准线 l 与对称轴交于 A，又 F 为抛物线的焦点． (1)求证：△ABC 为等腰直角三角形； (2)若 p＝ 2＋1，求△ABC 内切圆的方程．
)
1 【解析】由已知，p＝2× ＝1， 2 则焦点 F 到准线 l 的距离为 p＝1，故选 B.
2.抛物线 x2＝4y 上一点 P 到焦点的距离为 2，则点 P 的坐标 为( ) A．(1,2) C．(2,1) B．(1，－2) D．(± 2,1)
【解析】由抛物线 x2＝4y 可知准线方程为 y＝－1，又 由抛物线的定义可知 2＝yP＋1，从而 yP＝1，代入 x2＝4y， 得 xP＝± 2，故选 D.
【要点指南】 ①准线；②x轴；③y轴； p p ④F ( ，；⑤ 0) F (0， )； 2 2 p p p ⑥x ；⑦y ；⑧ x0； 2 2 2 p ⑨ y0 2
1 1.已知抛物线 y ＝2px(p>0)的焦点为 F( ，0)，则焦点 2
2
F 到抛物线的准线 l 的距离是( 1 A. 2 C．2 B． 1 D．4
【解析】(1)设 P(x，y)，则 y2＝2x， 从而|PA|＝ ＝ ＝ 22 2 x － ＋ y 3
22 x－ ＋2x 3 12 1 x＋ ＋ . 3 3
又 x∈[0，＋∞)， 故当 x＝0 时，|PA|min＝ 此时 P(0,0)． 12 1 2 ＋ ＝ ， 3 3 3
3.抛物线的顶点在原点，焦点在直线 3x－4y－12＝0 上， 则抛物线的标准方程为 y2＝16x 或 x2＝－12y .
【解析】令 x＝0，得 y＝－3，则焦点为(0，－3)的抛 物线标准方程为 x2＝－12y； 令 y＝ 0 ， 得 x＝4， 则焦点为(4,0) 的抛物线的标准方程为 y2＝16x.
4.已知抛物线 y＝ax2 的焦点为 F， 准线 l 与对称轴交于点 R， 过抛物线上一点 P(1,2)作 PQ⊥l，垂足为 Q，则梯形 PQRF 的面积为 19 16 .
【解析】将 P(1,2)代入 y＝ax2，得 a＝2， 1 所以 y＝2x ，即 x ＝ y， 2
2 2
1 1 17 所以|FR|＝ ，|PQ|＝2＋ ＝ ， 4 8 8 1 1 17 19 19 所以 SPQRF＝ ×( ＋ )×1＝ .故应填 . 2 4 8 16 16
掌握抛物线的定义、几何图形、标 准方程及简单几何性质，能综合运 用抛物线的基本知识，分析探究与 抛物线相关的综合问题．
1．抛物线的定义 平面内与一定点F 和一条定直线l F l 距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线 的① __________.
2.抛物线的标准方程与几何性质
一
抛物线的定义和标准方程
【例 1】 若动点 P 到点 F(1,0)的距离比它到直线 l： x＋2＝0 的距离小 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)已知定点 A(2,3)，点 Q 在轨迹 C 上运动，且点 Q 到直线 l 的距离为 d，求 d＋|QA|的最小值．
【解析】(1)由已知可知点 P 到 F(1,0)的距离等于它到直 线 x＋1＝0 的距离．由抛物线的定义可知，点 P 的轨迹 C 的 方程为 y2＝4x.
【解析】(1)由题设可知 BC 过 F 点，且 BC 垂直于 x 轴， p p 从而 B( ，p)，C( ，－p)， 2 2 p 又 A 为准线与 x 轴交点，则 A(－ ，0)． 2 p p 因为 kAB· kAC＝( )· ( )＝－1，所以 AB⊥AC. p －p 由对称性可知|AB|＝|AC|， 所以△ABC 为等腰直角三角形．
【分析】 由定义转化距离求参数 p 来确定方程．
【解析】如图，分别过点 A、B 作抛物线准线的垂线，垂足分 别为 M、N，由抛物线的定义知，|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝|AB| ＝8，又四边形 AMNB 为直角梯形，故 AB 的中点到准线的距
p 离即为梯形的中位线的长度 4， 而抛物线的准线方程为 x＝－ ， 2 p 所以 4＝2＋ ⇒p＝4，故抛物线的方程为 y2＝8x. 2
(2)设 Q(x，y)， 则 d2＝(x－a)2＋y2＝x2－2ax＋a2＋2x ＝[x－(a－1)]2＋(2a－1)． 又 x∈[0，＋∞)， 当 a－1≥0，即 a≥1 时，当 x＝a－1 时，dmin＝ 2a－1； 当 a－1<0，即 a<1 时，当 x＝0 时，dmin＝|a|.
2a－1 a≥1 故 d＝f(a)＝ . |a| a<1
(2)由(1)可知 y2＝4x 的准线 l 的方程为 x＝－1， 则 d 等于点 Q 到准线 l 的距离 d′＋1. 又点 A(2,3)不在抛物线含焦点 F 的部分， 所以 d ＋|QA|＝1＋d′＋|QA|＝1＋|QF|＋|QA|≥1＋|AF| ＝1＋ 10. 当 Q 在线 AF 上时，等号成立， 故 d＋|QA|的最小值为 1＋ 10.
【点评】动点到定点的距离比它到定直线的距离大 (或小)某定值时，求其轨迹方程均转化化归为求抛物线方 程，涉及抛物线上的点到焦点的距离 (或到准线的距离 ) 可转化化归为到准线的距离(或到焦点的距离)．
素材1
(2011· 合肥二检)直线 l 过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦 点，且与抛物线交于 A、B 两点，若线段 AB 的长是 8， AB 的中点到 y 轴的距离是 2， 则此抛物线的方程是( A．y2＝12x C．y2＝6x B．y2＝8x D．y2＝4x )
二 抛物线的几何性质及应用
【例 2】已知抛物线 C：y2＝2x. 2 (1)设点 A 的坐标为( ，0)，求抛物线上距离 A 最近的点 P 3 的坐标及相应的距离|PA|； (2)设点 A 的坐标为(a,0)(a∈R)， 求抛物线上的点 Q 到点 A 距离之最小值 d，并写出 d＝f(a)的表达式．
【点评】涉及圆锥曲线上一动点的距离的最值问题，构 建关于动点坐标的目标函数求最值时，一定要注意动点坐标 的取值范围．
素材2
抛物线 y2＝2px(p>0)的通径为 BC(通径为过焦点且垂直于 对称轴的弦)，准线 l 与对称轴交于 A，又 F 为抛物线的焦点． (1)求证：△ABC 为等腰直角三角形； (2)若 p＝ 2＋1，求△ABC 内切圆的方程．
)
1 【解析】由已知，p＝2× ＝1， 2 则焦点 F 到准线 l 的距离为 p＝1，故选 B.
2.抛物线 x2＝4y 上一点 P 到焦点的距离为 2，则点 P 的坐标 为( ) A．(1,2) C．(2,1) B．(1，－2) D．(± 2,1)
【解析】由抛物线 x2＝4y 可知准线方程为 y＝－1，又 由抛物线的定义可知 2＝yP＋1，从而 yP＝1，代入 x2＝4y， 得 xP＝± 2，故选 D.
【要点指南】 ①准线；②x轴；③y轴； p p ④F ( ，；⑤ 0) F (0， )； 2 2 p p p ⑥x ；⑦y ；⑧ x0； 2 2 2 p ⑨ y0 2
1 1.已知抛物线 y ＝2px(p>0)的焦点为 F( ，0)，则焦点 2
2
F 到抛物线的准线 l 的距离是( 1 A. 2 C．2 B． 1 D．4
【解析】(1)设 P(x，y)，则 y2＝2x， 从而|PA|＝ ＝ ＝ 22 2 x － ＋ y 3
22 x－ ＋2x 3 12 1 x＋ ＋ . 3 3
又 x∈[0，＋∞)， 故当 x＝0 时，|PA|min＝ 此时 P(0,0)． 12 1 2 ＋ ＝ ， 3 3 3
3.抛物线的顶点在原点，焦点在直线 3x－4y－12＝0 上， 则抛物线的标准方程为 y2＝16x 或 x2＝－12y .
【解析】令 x＝0，得 y＝－3，则焦点为(0，－3)的抛 物线标准方程为 x2＝－12y； 令 y＝ 0 ， 得 x＝4， 则焦点为(4,0) 的抛物线的标准方程为 y2＝16x.