静电能

四、多个带电体组成的系统的静电能。 设N个带电体的体积分别为 V1、V2 VN ，它们 在空间r处产生的总电势可写成两部分：
U r U i i U
i
i
笫i个带电体在 r处产生的电势
除第i个带电体以外 其余带电体在r处产生的电势
We
N
1 2
i 1
U (r )
e
6 0
(3 R
2
r )
2
于是，积分得： 2 5 e 1 4 e R 2 2 2 W e e (3 R r ) r sin drd d . 2 rR 6 0 1 5 0 当 e 固定时，We将随 R 0 而趋于零。
☆ 说明当帶电体为连续电荷分布时，将该体电荷无
限分割成每一小部分，其自能为零。
e 如果用总电量 q 4 R 3 e / 3 表示，上述结果可写成：
We
q2 3 . 5 4 0 R
这时若固定q，令 R 0 ，则
W e ，即点电荷的自能发散。
■ 对带电导体 静电能公式可进一步简化。导体的特点是电荷分 布在外表面，整个导体是等势体。当求该带电导体的 静电能时，应用前式可得如下结果：
B
q2

j 1 ji N
U i U ji
j 1 ji
3
1 4 0

qj rji
)]

1 2
[ q1 (
q2 4 o r12
1 2

q3 4 o r13
) q2 (
q1 4 o r21

q3 4 o r23
) q3 (
q1 4 o r31
■ 设dV为一球体元，由第一章1.7节例1.11的结果，
取R1 = 0，R2 = a。可求得电荷密度为 e 、半径为a的 均匀带电球体在球内产生的电势为：
U
e
6 0
3a r
2
2
,
它在球心处取极大值 U m e a 2 / 2，故当 a 0 时有 0
Um 0
A

udq
1
0

dq
1 2
Q .
0
2
C

2C
QU ,
则
We A
Q
2C
或写成： W e 2 Q (U 2 U 1 ) 2 ( Q 1U 1 Q 2U 2 ). 这与前面的普适公式的结果一致。
1
1
■ 空间存在电介质的情形
第三节
电荷体系在外电场中的静电能
在实际问题中，常常需要研究一电荷分布固定的电 荷体系，在给定的外电场中的运动，这时电荷体系的自 能不变，改变的是电荷体系与外电场之间的互能，这部 分能量也称电荷体系在外电场中的静电能 当已知外场U 时 ，点电荷q 在U中的电势能可以直 We qU 接计算： We是q 在外场U 中的静电能，属于相互作用能。
假设q1、q2从相距无穷远移至相距为r。 先把q1从无限远移至A点，因q2与A点相距仍然为无 限，外力做功等于零。 B A r1 2 q1 q q q
1 2 2
再把q2从无限远移至B点，外力要克服q1的电场力 做功，其大小等于系统电势能的增量。 W12 q2 ( U12 U )
U 1 2是q
We

2
6 0

R
0
2 3 q 3 2 1 2 2 R r 4r dr 4 R 2 5 2 0
由上面结论知，当 R 0,We 点电荷自能发散（理 论上称为“发散困难”）,故讨论点电荷组的电能时，只 讨论相互作用能. 同时也表明，真正的点电荷并不存在.
q2 4 o r32
W互
( q 1U 1 q 2 U 2 q 3 U 3 )

1 2
i1
q iU i
3
Ui 是除qi外的其它所有电荷在qi 所在处产生的电势。
三、N 个点电荷系统的相互作用能： 推广至由n个点电荷组成的系统，其相互作用能 （电势能）为
W互 1 2
i1
q iU i
■
当电荷体系为N个点电荷q1，q2，…，qN构成的点电 荷系统时，它在外电场U中的静电能为：
■
We q i U ri
n i 1
U（ri ）为外场在点电荷qi 处的电势。
■ 电荷密度为 e (r ) 、体积为V 的带电体，在外电场U
中的静电能应为：
We e r U r dV V
n
Ui U
j i
j1
N
ji

1 4 0

j i
j1
源自文库
N
qj r ji
由N个点电荷组成的静电系统的相互作用能为
W互 1 8 0
i j
i , j1 n
qiq j rij
★每个带电体的自能：带电体的每一小部分无限远离 时,聚合在一起时, 电场力作的功，反之外力作功。 ★带电体之间的互能：各带电体无限远离时,聚合在 一起时, 电场力作的功，反之外力作功。
We 1
2
i 1 Si
N
e
U dS
1
U 2
i i 1 Si
N
e
dS
1
qU 2
i i 1
N
i
,
式中qi和Ui为第 i 部分的电量和电势。
[例3.2]
一孤立带电导体球电量为 q，半径为 R，求
其静电能。 [解] 对孤立导体球有 U = q/C， 4 R 。应用 C 0 上式得：
i1
q iU i
2
Ui 为除qi 以外其他点电荷在qi 处产生的电势的代数和
C 二、三个点电荷系统的相互作用能q r23 3 现在引入第三个点电荷 q3 ， r13 A r12 那么整个体系的相互作用能就应 该在原有的基础上加上 q3 与 q1、 q 1 q2 之间的相互作用能，即
W互 q1q 2 4 o r12 q1q 3 4 o r13 q2q3 4 o r23
这在静电场中难以有令人信服的理由， 在电磁波的传播中，如通讯工程中能充分说 明场才是能量的携带者。
一、 电容器储存的能量 这里我们从电容器具有能量， 静电系统具有能量做形式上 的推演来说明电场的能量。
电容器充放电的过程是能 量从电源到用电器，（如 灯炮）上消耗的过程。
C
I
R

• 电容器储存的能量
电容器放电过程中,电量 dq 在电场力的作用下， 从正极板到负极板，这微小过程中电场力作功为： 因为 dq 0 表示极板上的电量随放电而减少
We 1 2

S
e (r )U (r )dS
三、线电荷分布的情况， 不能将其静电能写为：
We 1 2
e ( l )U ( l ) d l
L
或
We
1
2
L
e
( l )U 1 ( l ) dl
因为 e (l )dl 在自身所在处产生的电势不仅不趋于零， 而且会按 （r为离线元dl的垂直距离）趋于无穷。 ln r 进一步，可证U1(l)也会趋于无穷大。 这在物理上意味着：要把电荷从极端分散状态压缩到 一条几何线上，外界需要作无穷大的功。这显然是办 不到的。因此，在计算静电能时，无论线径怎样小的 带电体均不能当作线电荷处理。
☆ 点电荷的自能.
设想点电荷q是由半径为R的均匀带电球收缩半径 R 0 而成，则球内一点产生的电势为
U E dl
3
2


r

R
qr 40 R
2
r
3
dr

q 40 r
1 2
2
dr
R
R r 3 0 2 2 1
由
We
U r dV v
设想带电体系中的电荷可以无限分割为许多小部分， 这些部分最初都分散在彼此相距无限远的位置上，通常 规定，处于这种状态下的静电能为0。亦即把各部分电 荷从无限远分散的状态，聚集成现有带电体系时，抵抗 静电力所作的全部功，为带电系统的静电能。
第一节、真空中点电荷间的相互作用能 一、 两个点电荷系统的相互作用能

N
V i
e r U r dV
N

i 1
1 2
U Vi e r U i r dV Vi e r
i 1
1
i
2
i dV
W互 W自
☆靜電能 = 裝組系統的電荷配置所需做的功。
点电荷间、线电荷间可以计算互能。但是，不能 计算点电荷、线电荷的自能（为无穷大）。 线电荷间互能的计算公式
q2 1 1 2 1 We qU q . 2 2C 2 4 0 R
与例3.1的结果比较可知，对电量及半径相同的带电球， 其静电自能与电荷分布有关。电荷集中分布于球面比 均匀分布于整个球体的自能要小。
[例3.3] 求平行板电容器的静电能公式。 [解] 如上页图所示，极板间的均匀各向同性电介质的 介电常量为 ，极板面积为S，两极板间的间距为d。 接通电源后，极板带电分别为Q1和Q2，且Q2 = - Q1 = Q； 两极板电势分别为U1和U2，电势差为U = U2 -U1。 ■ 分析电容器充电过程，电源对电容器作功，使电源能 量转化为电容器的静电能。在q由0增至Q的过程中，电 Q Q q 1 源作功为： 2
第三章 静电能
能量是物质运动的一种普遍量度，在力学中，利 用能量守恒及各能量间的转换建立关系式，来求未知 物理量。电场是物质，能量是物质的一种属性，要掌 握电场，不能不研究形成电场的带电体系的静电能。
任何物体的带电过程，都是电荷之间的相对移动 过程，在这个过程中，外力必须克服电荷间的相互作 用而作功。外界作功所消耗的能量将转换为带电系统 的能量，该能量定义为带电系统的静电能。
dA dq ( u u ) dqu
A
C
2
R
dA
udq
0
q C
dq
1 Q 2 C
Q
I
所以储存在电容器中的能量为：
W Q
2


1 2
QU
1 2
CU
2
2C
• 电容器储存的能量与场量的关系。
W互 1 2 Li e l U i l dl
N
i 1
[例3.1] 求体电荷密度为 e 、半径为R 的均匀带电 球的静电能（带电体的介电常量设为 0）。
[解] 以球心为原点，取球坐标（ r , , ）。根据第 一章1.7节例1.11的结果取 R1 = 0，R2 = R，可得：
即 U 0 。于是， U1(r) ≈ U(r)
We 1
2
V
e
(r )U ( r )dV .
二、对面电荷分布的情形 设面电荷密度为 e (r ) 。类似，将面电荷无限
分割为圆状面电荷元 e (r )dS
，
它在自身产生的电势不会大于 e a / 2 0（a为面元 半径，见第一章1.7节例1.10）该电势随 dS 0 a 0 而趋于零。于是 ，U1(r) ≈ U(r) ，其静电能为：
U 12
1在B点产生的电势，U∞是q1在无限远处的电势。
1 q1 4 0 r12
U 0
所以
W 12 q 2 U 12
1
q1q 2
4 0 r12
A
r
B
q1
q1
q2
1 2
q2
同理，先把q2从无限远移B点，再把q1移到A点， 1 q q 外力做功为 W W qU
21 1 21
U（r）为外电场在V 中 r 处的电势。 2、电偶极子在均匀外电场中 的静电势能：
W qU qlE cos Pe E

q E l q
qU

上式表明：电偶极子取向与外电场一致时， 电势能最低；取向相反时。电势能最高。
第四节
电场的能量和能量密度 电荷是能量的携带者。 两种观点： 电场是能量的携带者—近距观点。
第二节 连续电荷分布的静电能
一、 先考虑体电荷分布的情况，
电荷密度设为
e (r )
。将该体电荷无限分割并把每
一小部分当作点电荷处理，则由前式可推得：
We 1
2
V
e
( r )U 1 ( r ) d V ,
U1(r)表示除
e
(r )dV 外其余所有电荷在r处产生的电势。
■ 分析U1(r)和总电势U(r)的关系。
U 2 1是q2在A点产生的电势。
4 0
r1 2
12
两种不同的迁移过程，外力做功相等。
W 12 或 W 21
W互 1 2 q1
也称两个点电荷之间的相互作用能
1 q2 1 2 q2 1 q1 4 0 r21
1 2 q 1U 1 1 2 q 2U 2
4 0 r12

1 2