北师版初三数学上册秋季班讲义

合集下载

北师大版九年级数学(上)《四边形》讲义

1. 菱形的性质学习目标：①通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质。

②通过学生间的交流、计论、分析、类比、归纳、运用已学过的知识总结菱形的特征。

教学重点：菱形的概念和菱形的性质，菱形的面积公式的推导。

教学难点：菱形的性质的理解及菱形性质的灵活运用。

学习过程：活动一：1. 如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来？的四边形叫做菱形，生活中的菱形有。

2. 按探究步骤剪下一个四边形。

①所得四边形为什么一定是菱形？②菱形为什么是轴对称图形？有对称轴。

图中相等的线段有：图中相等的角有：③你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗？活动二：对比菱形与平行四边形的对角线菱形的对角线：平行四边的对角线：活动三：菱形性质的应用1.菱形的两条对角线的长分别是6cm 和8cm ，求菱形的周长和面积。

平行四边形菱形？2.如图，菱形花坛ABCD 的边长为20cm ，∠ABC=60°沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积。

随堂练习：一、填空（1）菱形的两条对角线长分别是12cm ，16cm ，它的周长等于，面积等于。

（2）菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是3：2，菱形的四个内角是。

（3）已知：菱形的周长是20cm ，两个相邻的角的度数比为1：2，则较短的对角线长是。

（4）已知：菱形的周长是52 cm ，一条对角线长是24 cm ，则它的面积是。

二、解答题已知：如图，在菱形ABCD 中，周长为8cm ，∠BAD=1200 对角线AC ，BD 交于点O ，求这个菱形的对角线长和面积。

菱形的性质作业1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线互相垂直D. 对角线相等 2、菱形的周长为100cm ，一条对角线长为14cm ，它的面积是（）A. 168cm 2B. 336cm 2C. 672cm 2D. 84cm 2 3、下列语句中，错误的是（）A. 菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B. 菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C. 菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D. 菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到4、菱形的两条对角线分别是6 cm ，8 cm ，则菱形的边长为_____，面积为______．5、四边形ABCD 是菱形，点O 是两条对角线的交点，已知AB ＝5, AO ＝4，求对角线BD 和菱形ABCD 的面积.A BC D O6、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，则BD：AC等于（）．（A）3：2 （B）3：3 （C）1：2 （D）3：17、菱形ABCD的周长为20cm，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积。

北师版九年级上数学期中复习讲义篇

《特殊平行四边形》【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；高底平行四边形⨯=S（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积： 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 宽＝长矩形⨯S例1.如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC AC，BD 相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．例2、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．变式如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，求EF的长.例3、（2016•南京二模）如图，D是线段AB的中点，C是线段AB的垂直平分线上的一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：DE=DF；（2）当CD与AB满足怎样的数量关系时，四边形CEDF为正方形？请说明理由．《特殊平行四边形》【巩固练习】一.选择题1. 如图，□ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 的长等于（）.A.2cmB.1cmC.1.5cmD.3cm2．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）.A.每一条对角线平分一组对角B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直3.如图所示，将一张矩形纸ABCD 沿着GF 折叠(F 在BC 边上，不与B ，C 重合)，使得C 点落在矩形ABCD 的内部点E 处，FH 平分∠BFE ，则∠GFH 的度数α满足( )．A ．90°＜α＜180°B ．α＝90°C ．0°＜α＜90°D ．α随着折痕位置的变化而变化4.（2015•武进区一模）如图，在正方形ABCD 中，AD=5，点E 、F 是正方形ABCD 内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF 的长为（）A ．32 B ．75 D 5.正方形具备而菱形不具备的性质是（）A. 对角线相等；B. 对角线互相垂直；C. 每条对角线平分一组对角；D. 对角线互相平分.6.如图是一张矩形纸片ABCD ，AD=10cm ，若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若BE=6cm ，则CD=（）.A ．4cm B.6cm C.8cm D.10cm7. 矩形对角线相交成钝角120°，短边长为2.8cm ，则对角线的长为（）.A ．2.8cmB ．1.4cmC ．5.6cmD ．11.2cm8. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 的中点，且OE ＝a ，则菱形ABCD 的周长为（）.A ．B ．C ．D ．二.填空题9．如图，若口ABCD 与口EBCF 关于B ，C 所在直线对称，∠ABE ＝90°，则∠F ＝______．10．矩形的两条对角线所夹的锐角为60 ，较短的边长为12，则对角线长为__________.11．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝45°，则点D 的坐标为______．12.如图，矩形ABCD 的两条对角线交于点O ，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD ，BC 于点E ，F ，连接CE ，已知△CDE 的周长为24 cm ，则矩形ABCD 的周长是 cm.13.如图, 有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD ，将一块足够大的直角三角形的直角顶点落在点A ，两条直角边分别与CD 交于点F ，与CB 的延长线交于点E ，则四边形AECF 的面积是 _________.16a 12a 8a 4acm，对角线AC＝4cm，则菱形的边长是______cm．14．已知菱形ABCD的面积是12215.（2016•扬州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为．16.（2015春•昆明校级期中）如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为．三.解答题17.（2016•吉林）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．18.（2015春•无棣县期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，作AE ∥BC，CE∥AD，AE、CE交于点E．（1）证明：四边形ADCE是矩形．（2）若DE交AC于点O，证明：OD∥AB且OD=AB．19.如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE．证明：DF=DC．20. 已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE ＝ AF．（1）求证：BE ＝ DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM ＝ OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．《一元二次方程》【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】《一元二次方程》【巩固练习】一、选择题1.已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）A.1B.﹣1C.0D.无法确定2．（2016•新疆）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方组可变形为（）A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=43．（2015•濠江区一模）某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为（）A．2% B．5% C．10% D．20%4．将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（）A.（x-2）2+3B.（x+2）2-4C.（x+2）2-5D.（x+2）2+45．若关于x 的一元二次方程有实数根，则k 的取值范围是（）．A ．k ＜0B ．k ≤0C ．k ≠1且k ≠0D ．k ≤1且k ≠06．从一块正方形的铁片上剪掉2 cm 宽的长方形铁片，剩下的面积是48 cm 2，则原来铁片的面积是( )A.64 cm 2B.100 cm 2C.121 cm 2D.144 cm 27．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( ) A.△=M B. △＞M C. △＜M D. 大小关系不能确定8．如果关于x 的方程ax 2+x-1=0有实数根，则a 的取值范围是( )A ．B ．C ．且D ．且二、填空题9．（2016•连云港）已知关于x 的方程x 2+x +2a ﹣1=0的一个根是0，则a= ．10．（2014秋•青海校级期末）有一间长20m ，宽15m 的矩形会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则地毯的长、宽分别为和．11．关于的一元二次方程有一个根为0，则 . 13．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是___________________.14．设x 1，x 2是一元二次方程x 2-3x-2＝0的两个实数根，则的值为________． 15．某校2010年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2012年共捐款4.75万元，则该校捐款的平均年增长率是 .16．（2014秋•宝坻区校级期末）解方程（1）2（x ﹣3）2=8 （2）4x 2﹣6x ﹣3=0（3）（2x ﹣3）2=5（2x ﹣3）（4）（x+8）（x+1）=﹣1217. 用因式分解法解方程 2210kx x ++=x 22(1)10a x x a -++-=a =2211223x x x x ++（1）x2-6x-16＝0．（2） (2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．三、解答题18．某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数.19. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率．20．（2015•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．21．（2015•乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？22．（2015•湖北）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？《图形的相似》【知识网络】例1. 已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值.【变式】如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n 与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF ＝（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5例2.如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)∠ABC=________，BC=________；(2)判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由.【变式】下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）.A． B． C． D．例3.（2015•杨浦区三模）如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF．求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；（2）FG•BE=CE•AE．例4. 如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F分别在线段AD，DC上(点E与点A，D不重合)，且∠BEF=120°，设，.(1)求y与x的函数解析式；(2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少?《图形的相似》【巩固练习】一、选择题1．如图，已知，那么下列结论正确的是( ).A．B． C．D．2. 在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为( ).A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，63．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( ).4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（）.A．B． C．D．5．（2015•咸宁）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC 与△DEF的面积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：66. 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是( ).A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90°C．P是BC的中点D．BP：BC=2：37.如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，,，S 四边形BCFE =8，则S △ABC =（）.A ．9B ．10C ．12D ．138.如图，六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）.A ．∠E=2∠KB ．BC=2HIC ．六边形ABCDEF 的周长=六边形GHIJKL 的周长D ．S 六边形ABCDEF =2S 六边形GHIJKL二、填空题 9. 在□ABCD 中，在上，若，则___________.10. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 和AC 中点，F 是BC 延长线上一点，DF 平分CE 于点G ，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的面积之比为_______，•△CFG 与△BFD 的面积之比为________.11. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于O 点，S △AOD :S △COB =1:9，则S △DOC :S △BOC =_______.12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在面上的影长为40米，则古塔高为________.12AEEB13.（2015•金华）如图，直线l 1、l 2、…l 6是一组等距的平行线，过直线l 1上的点A 作两条射线，分别与直线l 3、l 6相交于点B 、E 、C 、F ．若BC=2，则EF 的长是．14．如图，在△ABC 中，MN ∥BC ，若∠C=68°，AM ：MB ＝1：2，则∠MNA=_______度，AN ：NC ＝_____________. 15.如图，点D,E 分别在AB 、AC 上，且∠ABC=∠AED 。

第四章相似图形培优讲义 2024--2025学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册第四单元相似图形培优讲义知识点一．比例的性质1．若，则的值为（）A．B．C．1D．32．已知，则的值为（）A．B．C．D．3．已知，则＝（）A．B．C．D．4．若＝，则的值为．5．已知，若b+d+f＝9，则a+c+e＝．6．已知，则的值为．7．已知，则＝．8．已知：＝k，则k＝．知识点二．比例线段9．下列各组线段中是成比例线段的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，2cm，4cmC．3cm，5cm，9cm，13cm D．1cm，2cm，2cm，3cm知识点三．平行线分线段成比例10．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，若，则＝．11．如图，AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是．12．如图，已知点F在AB上，且AF：BF＝1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD＝2：1，连接FD 与AC交于点N，则FN：ND＝．13．如图，a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝3：4，DF ＝12，求EF的长．14．如图，AB∥CD∥EF．若AD＝2，DF＝1.5，CE＝1.8，求线段BE的长．知识点四．相似多边形的性质15．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，连接EF，若矩形ABFE与矩形ABCD相似，AB＝4，则矩形ABCD的面积为．知识点五．相似三角形的性质16．已知两个相似三角形的周长比为2：3，它们的面积之差为40，那么它们的面积之和为．17．如果两个相似三角形的最长边分别是35cm和14cm．它们的周长之差为60cm，那么这两个三角形的周长之和是cm．18．两三角形的相似比为1：4，它们的周长之差为27cm，则较小三角形的周长为．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为．20．已知△ABC的三边长分别为6，8，10，和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30，求△A'B'C'的周长．21．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．（1）直接写出：OA＝，OB＝；（2）若点E为x轴上的点，且△AOE∽△DAO．求此时点E的坐标．知识点六．相似三角形的判定22．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E、F分别为AC、BC的中点，连接EF，H为AE的中点，过点H作HD⊥AC，交BC于点D，连接DE，则与△ABC相似（不含△ABC）的三角形个数为（）A．1B．2C．3D．423．如图，∠DAB＝∠CAE，请你再添加一个条件，使得△ADE∽△ABC．则下列选项不成立的是（）A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C．D．24．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．＝B．∠B＝∠D C．＝D．∠C＝∠AED25．如图，添加以下哪个条件，仍不能直接证明△ABC与△ADE相似（）A．∠B＝∠ADE B．∠C＝∠AED C．26．如图，在△ABC中，BA＝BC＝10cm，AC＝15cm，点P从点A出发，沿AB方向以4cm/s的速度向点B 运动；同时点Q从点C出发，沿CA方向以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为x（x＞0）s，当△APQ与△CQB相似时，x的值为．27．如图：点M是Rt△ABC的斜边BC上不与B、C重合的一定点，过点M作直线截△ABC，使截得的三角形与原△ABC相似，这样的直线共有条．28．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2＝BC•BE．证明：△BCD∽△BDE．29．如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为x s．（1）当PQ∥BC时，求x的值．（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．30．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝7cm，现有动点P从点A出发，沿线段AC向终点C运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向终点B运动，连接PQ．如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t s．（1）当t为多少时，PQ的长度等于cm？（2）当t为多少时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？31．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14，点P在BD上移动，以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PB的长．知识点七．相似三角形的判定与性质32．如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝4，点D在BC上，连接AD，点E、F分别在AB、AD上，且AE＝2BE，AF＝2DF，则在△AEF中，EF边上的高为（）A．B．C．2D．433．如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE交BD于点F，若BF＝2，则BD的长度是（）A．4B．5C．6D．834．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A．1B．C．﹣1D．+135．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝3BD，，则的值为（）A．1B．3C．D．36．如图，矩形ABCD的边长AB＝2，AD＝3，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．C．D．37．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，点D为AC上一点，且满足CD＝2AD，E为BD上一点，∠AEB＝60°，延长AE交BC于F，则FC的长是．38．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为．39．如图，在▱ABCD中，，连接BE，交AC于点F，AC＝10，则CF的长为．40．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．点D是边AC上一动点，过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E，当最大时，AD的长为．41．如图，在菱形ABCD中，E为CD延长线上一点，连接BE交AD于点F，∠AEB＝∠C．（1）求证：△ABE∽△BEC；（2）若AE＝4，BE＝8，求CE的长．42．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED＝∠ABC，∠BAC的平分线AF交DE于点G，交BC于点F．（1）求证：△AGE∽△AFB．（2）若，GE＝2，求BF的长．知识点八．相似三角形的应用（共9小题）43．小雅和小希所在的数学实践小组想利用镜子的反射测量校园内一棵树的高度．如图，小雅把高度为0.4米的支架（CD）放在离树（AB）适当距离的水平地面上的点D处，再把镜子水平放在支架上的点C处，小希站在F处，眼睛到地面的距离EF＝1.65米，这时恰好在镜子里看到树的顶端A．小组其他同学用皮尺分别量得BD＝6米，DF＝2AB，CD，EF均垂直于地面BD，且B，D，F在同一条直线上，请你根据以上数据，帮忙求出这棵树AB的高度．44．为了测量物体AB的高度，小小带着工具进行测量，方案如下：如图，小小在C处放置一平面镜，她从点C沿BC后退，当退行2米到D处时，恰好在镜子中看到物体顶点A的像，此时测得小小眼睛到地面的距离ED为1.5米；然后，小小在F处竖立了一根高1.8米的标杆FG，发现地面上的点H、标杆顶点G和物体顶点A在一条直线上，此时测得FH为2.6米，DF为3.5米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算AB的高度．45．学习了“利用相似三角形测高”这一知识后，小辰和小辉所在数学兴趣小组的同学们周末带着测量工具去测量法门寺合十舍利塔的高度，他们的测量方法如下：如图2，小辰在点C处放置一平面镜，他从点C沿BC后退，当退行1.2米到点E处时，恰好在镜子中看到塔顶A的像，此时小辉测得小辰眼睛到地面的距离DE＝1.6米；然后小辰继续后退34.2米到点G处，此时小辰眼睛的水平视线与舍利塔的顶端A所成的角度（即∠AFD）是45°．已知点B，C，E，G在同一水平直线上，点D，F在同一水平直线上，且AB，DE，FG均垂直于BG，求合十舍利塔的高度AB．46．小明和小亮同学想利用数学知识测量矗立在广场边上的旗杆AB的高度．如图，他们在广场上的D处放置了一根垂直于地面的标杆CD，然后小明笔直地站在F处，小亮在F和D之间找到一个合适的位置P，并在P点处放置了一面小镜子，此时小明恰好看到在镜子里点A和点C重合．已知，点F、P、D、B在同一条直线上，通过测量，BD＝8.8m，FD＝2.2m，CD＝1.8m，小明的眼睛离地面的高度EF＝1.5m．求旗杆AB的高度．47．周末，小英与小淇同学逛公园时注意到一棵树，她们打算利用所学知识测量树高，为此找来了平面镜、PQ的点D处，小淇站在点B处，通过平面镜从点A观察到树MN的顶端点M，随后小英在点D处竖直放置一根木棍，小淇从点A 观察到木棍顶端点C与树MN的底端点N在同一直线上．已知MN⊥NQ，CD⊥NQ，AB⊥NQ，AB＝1.6m，CD＝1.2m，BD＝3m，图中所有点均在同一平面内，求树MN的高．（光的反射角等于入射角）48．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF 离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．49．某数学兴趣小组在综合实践活动中测量古塔的高度．【测量方案】在地面上选一点A，垂直地面竖立标杆AB，后退2m到E处，此时M、B、E在一直线上；另选一点C，后退4m到F处，此时M、D、F三点也在一直线上．【测量数据】两次测量标杆之间的距离是为50m，两个标杆的高度均为1.5m，且N、A、E、C、F在同一直线上．请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出古塔的高度．50．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量水平地面上树AB的高度，已知两直角边EF：DE＝2：3，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DM 垂直于地面，测得AM＝21m，边DF离地面的距离为1.6m，求树高AB．51．如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度AD．他们的身高分别是1.6m，1.8m（EB＝1.6m，FC＝1.8m），小明在距离树0.3m的B处（AB＝0.3m），看树的顶端D的视线为ED，原地再看爸爸的头部，视线为EF，爸爸经过移动调整位置，当EF⊥ED时爸爸停止移动，这时测得AC＝9.5m．已知点A，B，C在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度AD．知识点九．作图-相似变换52．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°．请用尺规作图法，在BC边上求作一点D，使得△DAC∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）53．如图，在△ABC中，点D在AB边上，请用尺规作图法在边AC上求作点E．使得△ADE∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）54．如图，在△ABC中，∠C＝90°．在AB边上找一点P，使得△PBC∽△PCA．（不写作法，保留作图痕迹）知识点十．位似变换55．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，2），B（6，1），以原点O为位似中心，相似比为3，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是．56．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O．若，四边形ABCD的面积为27，则四边形EFGH的面积为．57．△AOB三个顶点的坐标分别为A（5，0），O（0，0），B（3，6），以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是．58．以坐标原点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF且相似比为1：2，点C（2，3）的对应点F在第一象限，则点F的坐标为．59．△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，且△ABC与△DEF的相似比是2：1，则点C（6，8）的对应点F的坐标为．知识点十一．作图-位似变换60．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（5，﹣1），C（5，3）．（1）点B关于原点对称的点的坐标为；（2）请以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为2：1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1．。

初三数学上册全册教案(北师大版)

初三数学上册全册教案（北师大版）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址北师大版九年级数学上全册精品教案第一章证明（二）（课时安排）．你能证明它们吗？3课时2．直角三角形2课时3．线段的垂直平分线2课时4．角平分线课时1.你能证明它们吗?（一）教学目标：知识与技能目标：．了解作为证明基础的几条公理的内容。

2．掌握证明的基本步骤和书写格式．过程与方法．经历“探索——发现——猜想——证明”的过程。

2．能够用综合法证明等区三角形的有关性质定理。

情感态度与价值观．启发、引导学生体会探索结论和证明结论，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．2．培养学生合作交流、独立思考的良好学习习惯．重点、难点、关键．重点：探索证明的思路与方法。

能运用综合法证明问题．2．难点：探究问题的证明思路及方法．3．关键：结合实际事例，采用综合分析的方法寻找证明的思路．教学过程：一、议一议：．还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？2．你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？给出公理和定理：．等腰三角形两腰相等，两个底角相等。

2．等边三角形三边相等，三个角都相等，并且每个角都等于延伸．二、回忆上学期学过的公理本套教材选用如下命题作为公理:.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;（SAS）4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;（ASA）5.三边对应相等的两个三角形全等;（SSS）6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.三、推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）证明过程：已知：∠A=∠D,∠B=∠E,Bc=EF求证：△ABc≌△DEF证明：∵∠A+∠B+∠c=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）∴∠c=180°-∠F=180°-又∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）∴∠c=∠F又∵Bc=EF（已知）∴△ABc≌△DEF（ASA）推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

新北师大版初中数学九年级上册第1章特殊平行四边形《第3课正方形的性质与判定》

满足什么条件的菱形是正方形？定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
请证明你的结论，并与同伴交流．
正方形的判定（随堂练习1）
定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. A
D
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
B
C
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
CG=DG=
1
2 CD，DH=AH=
1
AC
2
∴AE=BE2=BF=CF=CG=DG2=HG=AH
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG
A
E
B
13 2
H
F
D
G
C
∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形
∵∠1=∠2=45°∴∠3=90 °
∴四边形EFGH是正方形
（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明．如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？
例1.如图 1-18，在正方形 ABCD
中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE = CF．BE
M
与 DF 之间有怎样的关系？请说明
理由．
解：BE = DF，且 BE⊥DF．理由如下：
（2）延长 BE 交 DF 于点 M． ∵ △BCE ≌ △DCF，∴ ∠ CBE = ∠ CDF． ∵ ∠ DCF = 90°，∴ ∠ CDF + ∠ F = 90°． ∴ ∠ CBE + ∠ F = 90°． ∴ ∠ BMF = 90°．∴ BE⊥DF．
北师大版九年级数学(上)
第一章特殊平行四边形

北师大版九年级数学上册知识点归纳

九年级数学上册知识点归纳第一章特殊平行四边形1.菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

2.矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。

矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。

（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。

对角线相等的平行四边形是矩形。

四个角都相等的四边形是矩形。

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3.正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图所示)：※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

※夹在两条平行线间的平行线段相等。

※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章一元二次方程1.认识一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=bxax（a、+c+b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。

※把02=bxax（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一+c+般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。

新北师大版初三上册数学(九年级) 第一章：3、《正方形的判定》课件

解： ∵ DE∥AC，DF∥AB
∴ 四边形AEDF是平行四边形
（2）当满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？
解： ∵ 一个角为直角的平行四边形为矩形∴ ∠BAC90°时，四边形AEDF是矩形
[趁热打铁]
（3）当满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？解：∵ 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
∴ 当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形
质对角线
每条对角线平分一组对角
[实践出真知]
做一做：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形展开后是个正方形？
（1）
（2）
剪口与折痕成 45°角
（3）
（4）
[实践出真知]
问题2：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
一组邻边相等或对角线互相垂直
正方形
问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？
菱形
亲爱的读者： 2、千世里上之没行有，绝始望于的足处下境。，只20有20对年处7月境1绝2日望星的期人日。二〇二〇年七月十二日2020年7月12日星期日春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 3、少成年功易都学永老远难不成会，言一弃寸，光放阴弃不者可永轻远。不。会成09功:01。7.12.202009:017.12.202009:0109:01:457.12.202009:017.12.2020
1.3.2 正方形的判定
[温故而知新]
1.在平行四边形的基础上对矩形、菱形的判定矩形
平行四边形
菱形
[温故而知新]
2.正方形的定义及性质
正方形有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做
平行四边形
一个角是直角且一组邻边相等
正方形
边
正方形的对边平行且相等

北师大版九年级上册数学复习知识点及例题

性角质
对角线
四个角都是直角
互相平分且相等
对角相等
四个角都是直角
互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角
互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
判定
·有三个角是直角; ·是平行四边形且有一个角是直角; ·是平行四
·四边相等的四边形； ·是平行四边形且有一组邻边相等； ·是平行四边形
·是矩形，且有一组邻边相等； ·是菱形，且有一个角是直角。
边形且两条且两条对角线互对角线相等. 相垂直。
对称性
既是轴对称图形，又是中心对称图形
一．矩形矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形．
【强调】矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角．
矩形的性质
性质1 矩形的四个角都是直角；性质2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。；
①有一组邻边相等的平行四边形（菱形） ②有一个角是直角的平行四边形（矩形）正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的
菱形．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫
做正方形．正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形
又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；
因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：
边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．

北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程学案：一元二次方程的概念与解法讲义(不含答案)

一元二次方程的概念与解法讲义【学习目标】1．了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数； 2．了解一元二次方程的根的意义；3．能够根据一元二次方程的定义求解待定字母的值；4．会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．【教学重难点】掌握一元二次方程的解法．考点1：一元二次方程的概念知识点与方法技巧梳理：1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2，这样的整式方程叫做一元二次方程．我们把ax2＋bx ＋c ＝0（a ，b ，c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx ，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a ，b 分别称为二次项系数和一次项系数．【例1】1下列方程：①13122=-xx ；②05222=+-y xy x ；③0172=+x ；④022=y ．其中一元二次方程是（）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和③ 【变式】下列方程是一元二次方程的是（）A ．20y x-= B ．210x y -+= C ．3210x x -+= D ．220x x +-=【例2】关于x 的方程01)2(22=-+--mx x m m 是一元二次方程，则m ＝___________．【变式1】已知2(4)(4)30m m xm x --+--=是关于x 的一元二次方程，则m ＝___________．【变式2】若1-=x 是关于x 的一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的一个根，求代数式22016()a b c -+的值．【例3】把一元二次方程)1(2)2)(1(2-=+-x x x 化成一般形式为______________________．【变式】把一元二次方程(82)(52)18x x --=化成一般形式______________________．考点2：用直接开平方法解一元二次方程知识点与方法技巧梳理：直接开平方法：如果方程2()x m n +=（n ≥0），那么就可以用两边开平方来求出方程的解．【例】用直接开平方法解下列方程：（1）2250x -=（2）212(1)90x +-=【变式】用直接开平方法解下列方程：（1）214m +=（2）24(31)124x --=（3）900)12(16002=-x （4）08)12(212=--x （5）22(32)(4)x x -=+（6）224(2)(23)x x -=+考点3：用配方法解一元二次方程知识点与方法技巧梳理：配方法：通过配成完全平方公式的方法来求出方程的解．用配方法解一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的一般步骤是： ①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使得方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化原方程为2()x m n +=；⑤如果n ≥0就可以用两边直接开平方法来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无实数解．注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如22(4)3(4)x x -+=+中，不能随便约去(4)x +．【例】用配方法解下列方程：（1）2147x x -=（2）23395x x x ++=+【变式】用配方法解下列方程：（1）0342=+-x x （2）212280x x +-= （3）22129x x -=（4）161442=++x x （5）2132x x x ++=-+（6）24123x x x -+=+考点4：用公式法解一元二次方程知识点与方法技巧梳理：公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．求根公式是通过配方推导出来的．一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的求根公式是24b b ac x -±-（b2－4ac ≥0）．应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定系数a 、b 、c 的值；③求出b2－4ac 的值； ④若b2－4ac ≥0，则代入求根公式，求出x 1、x 2；若b2－4ac ＜0，则方程无实数解．【例】用公式法解下列方程：（1）0232=--x x（2）52)2)(1(+=++x x x【变式】用公式法解下列方程：（1）0822=--x x （2）02722=+-x x （3）2134x x =（4）(2)50x x --=考点5：用因式分解法解一元二次方程知识点与方法技巧梳理：因式分解法：用因式分解求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．因式分解法的理论根据是：由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0．因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积（提公因式或乘法公式或十字相乘法等） ③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个方程，它们的解就是原一元二次方程的解．注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如22(4)3(4)x x -+=+中，不能随便约去(4)x +． ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外），但又必须熟练掌握．解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例】用因式分解法解下列方程：（1）0232=+-x x （2）01762=+-x x （3）272x x =（4）3(23)23x x x +=+【变式】用因式分解法解下列方程：（1）23x x =（2）4(21)3(21)x x x -=- （3）2(31)31x x x -=-（4）23(2)4(2)x x -=- （5）22150x x --=（6）246100x x --=【能力提升】 1．已知11(1)401m x m x m ++--=+是关于x 的一元二次方程，则m 的值为___________． 2．关于x 的方程是(m2－1)x2＋(m －1)x －2＝0．①当m __________时，方程为一元二次方程；②当m __________时，方程为一元一次方程．3．已知关于x 的一元二次方程22(1)a x x a --+＝1有一个根为0，则a 的值为___________． 4．一元二次方程264x x -+＝0可以化成2()x m +＝n 的形式，则m ＝_________，n ＝_________． 5．已知三角形的两边长分别是2和9，第三边长是一元二次方程21448x x -+＝0的两根，则这个三角形的周长是（）A ．11B ．17C ．17或19D ．19 6．方程2230x x --=的解是______________．7．设a ，b 是一个直角三角形两条直角边的长，且2222()(1)a b a b +++＝12，则这个直角三角形的斜边长为___________．8．已知一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0的一个根是1，且b 112a a --，则此一元二次方程的解是______________．9．已知x 1，x 2是二次方程ax2＋bx ＋c ＝0的两根，记S 1＝x 1＋x 2，S 2＝x 12＋x 22，…，S n ＝x 1n ＋x 2n ，则 aS n ＋bS n －1＋cS n －2的值为___________．10．已知a 是方程x2－3x ＋1＝0的一个根，求下列各式的值：（1）24291a a a -+ （2）223251a a a -++． ★★熟记一元二次方程的概念和几种解法，下次课要背或默写．作业1．用配方法解一元二次方程2810x x --=，配方后得（）A ．2(4)17x +=B ．2(4)15x +=C ．2(4)17x -=D ．2(4)15x -= 2．已知2是关于x 的方程x2－2a ＝0的一个解，则2a －1的值为___________．3．已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a2－1＝0的一个根是0，则a 的值为___________．4．一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0若有两根1和－1，那么a ＋b ＋c ＝_________，a －b ＋c ＝_________．5．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程268x x -+＝0的根，则该三角形的周长为（）A ．8B ．10C ．8或10D ．12 6．解下列方程：（1）211063x x +-=（2）)3)(21()12(5+-=-x x x。

北师大版数学九年级上册第一至第四章讲义

学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级（上）课时数学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第01讲-----特殊的平行四边形授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①熟练掌握菱形、矩形、正方形的性质与判定；②熟练掌握特殊的平行四边形之间的区别和联系；③综合利用不同特殊平行边形的性质与判定进行证明或解决相关问题。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理二、知识概念（一）菱形1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2、菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线，也是中心对称图形.对角线分成的四个小直角三角形全等.体系搭建1、定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2、正方形的性质：①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．3、正方形的判定：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图所示)：【补充】直角三角形的定义、性质及判定三角形类型定义性质判定直角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形，即“Rt△”1.直角三角形的两锐角互余2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3.直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半(逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°)4.直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）1.有一个角是直角的三角形是直角三角形2.有两个角互余的三角形是直角三角形3.如果一个三角形中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线.逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线.中点四边形：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.(中点四边形只与原四边形的对角线有关：与对角线是相等还是垂直有关，与对角线互不互相平分无关）名称中点四边形任意四边形平行四边形一般的平行四边形平行四边形菱形矩形矩形菱形正方形正方形对角线相等的四边形菱形对角线互相垂直的四边形矩形对角线既相等又互相垂直的四边形正方形对角线互垂直的四边形：S=21b.c(b 、c 为两条对角线的长) 基本图形⑴四边形中基本图形做证明题的一些思想方法：⑴方程思想：运用方程思想将一个几何问题化为一个方程的求解问题.⑵化归思想方法：解四边形问题时，常通过辅助线把四边形问题转化归为三角形问题来解决。

北师大版九年级上册数学-1.2-矩形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)

北师大版九年级上册数学矩形的性质和判定课堂讲义及练习（含答案）【矩形的性质】1．矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.温馨提示①对于矩形的定义要注意两点a.是平行四边形.b.有一个角是直角；②定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形,不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形；③矩形的定义既是矩形的性质,也提供了矩形的种判定方法。

2. 矩形的性质（1）矩形具有平行四边形的所有性质 .（2）矩形的四个角都是直角.（3）矩形的对角线相等.（4）矩形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴. 矩形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心,过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分..矩形中相等的线段：AC=BD， OA = OC=OB = OD．矩形中相等的角：∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°．矩形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：，全等的直角三角形有：点拨：有关矩形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决 (转化思想).温馨提示：①矩形具有平行四边形的一切性质；②利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质,即：在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半；③“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等,“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；④矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。

【练习】1.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是( )A．2 B．3 C．4 D．52.如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC的度数是( )A．30° B．° C．15° D．10°3第4题第5题第6题第7题4.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF ＝________cm.5.△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为( )A．15° B．25° C．35° D．45°6.已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为( ) A．3 B．4 C．5 D．67.在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝5，BC＝8，则图中阴影部分的面积为( )A．5 B．8 C．13 D．208.如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点．求证：CE＝DE.9.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．【矩形的判定】1.矩形的判定定理（1）有三个角是直角的四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形。

(北师大版数学九上)第六章反比例函数讲义

第六章反比例函数第5讲反比例函数图象、性质及应用一．知识梳理知识点1 反比例函数的定义与表达式：（1）一般地，形如xky =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数（2）反比例函数有三种表达式： ①xk y =（0k ≠） ②1kx y -=（0k ≠） ③k y x =⋅（定值）（0k ≠）知识点2 用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式. 知识点3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量x ≠0，函数值y ≠0，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴.反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线. 在作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交.知识点4 反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：反比例函数xky =（0k ≠） k 的符号0k >0k <图像性质①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠②当0k >时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小.②当0k <时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大.注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k >时，y 随x 的增大而减小，就会与事实不符的矛盾. ☆反比例函数x k y =（0k ≠）中，k 越大，双曲线xky =越远离坐标原点；k 越小，双曲线xky =越靠近坐标原点. ☆双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=－x. ☆反比例函数（y=xk）的图像与正比例函数（y=ax ）的图像交于A(11y x ，),B(22y x ，)两点，那么这两点关于原点对称，即21-x x =，21-y y =.【补充】中点坐标公式：三点共线，且中间的点是中点，则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==22两个端点的纵坐标相加中间点的纵坐标两个端点的横坐标相加中间点的横坐标即若A(1x ，1y )，B(2x ，2y ),M(x ，y)在一条直线上，且M 为线段AB 的中点，则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2y y y 2x x x 2121知识点5 反比例函数的应用（略）二.实战演练考点一反比例函数的概念及函数关系式的确定下列是反比例函数的有_____（填序号）①2xy-=；②xy21-=；③11-=xy；④21xy=⑤ xy=-3；⑥1--=xy考点二反比例函数的图像和性质1.反比例函数y=xa-1-2(a是常数)的图像分布在（）A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、四象限D.第三、四象限2.(1)若A（x1，y1），b（x2，y2）是双曲线y＝x3上的两点，且x1＞x2＞0，则y1____y2．3.反比例函数y=xk的图像如右图所示，则k的值可能是（）A.-1B.1C.2D.34.正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y=x2（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y=x2（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为．典例分析考点三反比例函数的应用 1.已知点P(a ，b)在反比例函数xy 2=的图像上，若点P 关于y 轴对称的点在反比例函数xky =的图像上，则k 的值为_____. 2.李先生参加了清华同方电脑公司推出的分期付款购买电脑活动，他购买的电脑价格为1.2万元，交了首付之后每月付款y 元，x 月结清余款．y 与x 的函数关系如图所示，试根据图象提供的信息回答下列问题．（1）确定y 与x 的函数关系式，并求出首付款的数目；（2）如打算每月付款不超过500元，李先生至少几个月才能结清余款？考点四一次函数与反比例函数综合问题 1.函数y=k(x-1)与xky -=在同一直角坐标系内的图象大致是（）2.在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=-2x+6的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是_____（只写出符合条件的一个即可）.3.已知y=y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x ﹣2成反比例，且当x=1时，y=﹣1；当x=3时，y=5．求y 与x 的函数关系式．4.如图所示，直线xy 34=与双曲线x k y =（x ＞0）交于点A ，将直线x y 34=向右平移29个单位后，与双曲线x k y =（x ＞0）交于点B ，与x 轴交于点C ，若BCAO=2，则k=____.1.已知函数|m |1xm y -=是y 关于x 的反比例函数，则m 的值是____. 2.在反比例函数xmy 21-=的图像上有A(11y x ，)，B(22y x ，)两点，当021＜＜x x 时，21y y ＜，则m 的取值范围是（）A.m ＜0 B.m ＞21 C.m ＜21D.m ＞03.反比例函数的自变量x 满足-2≤x ≤-21时，函数值-1≤y ≤-41，则它的解析式是（）A.x y 21=B.xy 21-= C.x y 8= D.x y 81-=4.如图所示，等边三角形OAB 的边OA 在x 轴上，双曲线y=x3在第一象限内的图像经过边OB 的中点C,则点B 的坐标是( , ).5.双曲线y=xk经过点（-3,4），则下列点在双曲线上的是____. A.(-2,3) B.(4,3) C.(-2,-6) D.(6，-2) 6.已知一次函数b kx y +=1与反比例函数xky =2在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当21y y ＜时，x 的取值范围是（）课堂训练A.x ＜-1或0＜x ＜3B.-1＜x ＜0或x ＞3C.-1＜x ＜0D.x ＞37.如图，直线y=33-x+b 与y 轴交于点A ，与双曲线xky =在第一象限交于B 、C 两点，且AB.AC=8，则k=_____.8.某地计划用120﹣180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米．（1）写出运输公司完成任务所需的时间y （单位：天）与平均每天的工作量x （单位：万立方米）之间的函数关系式，并给出自变量x 的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？9.已知反比例函数y ＝8m x-(m 为常数)的图象经过点A （－1，6） (1)求m 的值；(2)如图，过点A 作直线AC 与函数y ＝8m x-的图象交于点B ，与x 轴交于点C ，且AB ＝2BC ，求点C 的坐标.1.已知一个反比例函数的图像位于第二、四象限内，点P(yx，)在这个反比例函数图像上，且yx＞-4，请你写出这个反比例函数的表达式______．（只写出符合题意的一个即可）2.若点（-2，）1y，（-1，2y），（1，3y）在反比例函数)0(＜kxky=图象上，则下列结论中，正确的是（）A.3y＞1y＞2y B.2y＞1y＞3y C.1y＞2y＞3y D.3y＞2y＞1y3.如图所示，点P(2,1)是反比例函数xky=的图像上的一点，则当y＜1时，自变量x的取值范围是（）A.x＜2 B.x＞2 C.x＜2且x≠0 D.x＞2或x＜04.已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是同一个反比例函数图象上的两点，若x2=x1+2，且211112+=yy，则这个反比例函数的表达式为______.5.如图所示，矩形ABCD的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=xkk122++的图象上，若点A的坐标为（-2，-2），则k的值为_____.6.已知A(2,m-2)和B(m，4)均在反比例函数图像上，则m=___.7.如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=x6的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，那么（x2-x1）（y2-y1）的值为_____.8.如图，直线y=2x与双曲线y=x2在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO 绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为( )A.（1，0）B.（1，0）或（﹣1，0）C.（2，0）或（0，﹣2）D.（﹣2.1）或（2，﹣1）课后作业※9.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min ）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y （℃）和时间（min ）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（） A ．7：20 B ．7：30 C ．7：45 D ．7：5010.某汽车油箱的容积为80升，小陈把油箱注满油后从县城载客到400千米外的省城，把客人送到目的地后马上按原路返回，请回答下列问题：（1）油箱注满后，汽车能够行驶的总路程a （单位：千米）与每千米平均耗油量b （单位：升）之间有怎样的函数关系？（2）小陈以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达省城，在返回走了一半路程时下起了雨，小陈降低了速度，此时每行驶1千米的耗油量增加了一倍，如果小陈一直以此速度行驶，油箱里的油是否能回到县城？如果不够用，至少还需加多少油？11.如图，已知反比例函数y=x2k和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a ，b ），（a+1，b+k ）两点，反比例函数和一次函数的图象交于A 、B 两点． (1)求反比例函数的解析式，和△AOB 的面积； (2)结合函数图象，直接写出不等式2x ＞76x 2k+-的解为_______；(3)在反比例函数图象上存在_____个点P ，使得OAB PAB S S △△2=．12.已知反比例函数x2ky =和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过(a,b)，（a+1,b+k ）两点.(1)求反比例函数的解析式；(2)若点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A 的坐标；(3)利用（2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.第6讲 |k|的几何意义一．知识归纳☆反比例函数xky =（0k ≠）中k 的几何意义：如图所示，过双曲线上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线，E 、F 分别为垂足，连接OP ，则:OEPF S PE PF y x 矩形=⋅=⋅=k【补充】|k|的几何意义常见模型：模型一：一点一垂线模型分析：如过反比例函数图象上一点作坐标轴的垂线，该点、垂足与坐标轴上一点(含原点)构成的三角形面积等于21|k|.特别补充：反比例函数图象上的两点与原点构成的三角形面积等于由这两点向x 轴作垂线构成的梯形面积.模型二：一点两垂线模型分析：如过反比例函数图象上一点作两条坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成的矩形面积等于|k|.模型三：原点一垂线模型分析：过正比例函数与反比例函数的一个交点作坐标轴的垂线，两交点与垂足构成的三角形的面积等于|k|.模型四：两点两垂线模型分析：反比例函数与正比例函数的两个交点的连线及由交点向不同坐标轴所作两条垂线围成的图形(或两交点及由交点向同一坐标轴所作两条垂线的垂足构成的图形)的面积等于2|k|.模型五：两点和一点模型分析：反比例函数与一次函数的交点和原点(或坐标轴上一点)所构成的三角形的面积，若两交点在同一支上，用减法；若两交点分别在两支上，用加法.模型六：两曲一平行模型分析：两条双曲线上的两点的连线与一条坐标轴平行，求该两点与原点构成或坐标轴围成的图形面积，结合k的几何意义求解.模型七：与四边形组合模型分析：反比例函数图象与四边形结合，已知面积求值，或已知值求面积.通常会用到反比例函数图象上点的横纵坐标乘积相等.二.实战演练例1：下列图形中，阴影部分面积最大的是（）例2：如图所示，反比例函数y=xk(x＞0)的图像经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4例3：如图，A、B两点分别在反比例函数xy1-=和xky=的图像上，连接OA、OB，若OA ⊥OB，OB=2OA，则k的值为（） A.-2 B.2 C.-4 D.4例4:如图，反比例函数y=xk（x＞0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点A和对角线的交点E，点A的横坐标为3，对角线AC所在的直线交y轴于（0，6）点，则函数y=xk的表达式为_____．典例分析例5：如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，且关于y轴对称，反比例函数y=xk1(x＞0)的图象经过点C，反比例函数y=xk2(x＜0)的图象分别与AD，CD交于点E，F，若BEFS∆=7，21k3k+=0，则1k等于_______.例6：已知：在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数xky=（k＞0）的图象与AC边交于点E.（1）用含k的代数式表示△AOE的面积是____，△BOF的面积是_____.（2）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由.1.如图所示是反比例函数xky1=和xky2=（k1＜k2）在第一象限的图像，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A，B两点，若2=AOBS△,则k2-k1的值是（）A.1B.2C.4D.8课堂训练2.如图，P(x ，y)是反比例函数xy 3的图象在第一象限分支上的一个动点，PA ⊥x 轴于点A ， PB ⊥y 轴于点B ，随着自变量x 的增大，矩形OAPB 的面积（） A ．不变 B.增大 C.减小 D.无法确定3.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BC=2AB ，A 、B 两点的坐标分别是(-1,0),(0,2),C 、D 两点在反比例函数y=xk(k ＜0)的图象上，则k=_____.4.如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点D 为对角线OB 的中点，反比例函数y ＝xk（x ＞0）在第一象限内的图象经过点D ，且与AB 、BC 分别交于E 、F 两点，若四边形BEDF 的面积为1，则k 的值为_____．5.如图，在△OAB 中，C 是AB 的中点，反比例函数y=xk（k ＞0）在第一象限的图象经过A ，C 两点，若△OAB 面积为6，则k 的值为_____.6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC边在x轴正半轴上，中线BD的反向延长线交于y轴负半轴于点E.双曲线xk y=一条分支经过点A，若S△BEC=4，则k=_______.1.如图所示，直线l和双曲线y=xk（k＞0）交于A,B两点，P是线段AB上的点（不与A、B 重合）.过点A，B，P分别向x轴作垂线，垂足分别为C，D，E，连接OA，OB，OP，设△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，△POE的面积为S3，则有（）A.S1＜S2＜S3B.S1＞S2＞S3C.S1＝S2＜S3D.S1＝S2＞S32.如图，在平面直角坐标系中，过点M(-3，2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数xy4=的图象交于A、B两点，则四边形MAOB的面积为______.3.某反比例函数xky=的图像上有三点A(1，4)，B（2，m），C（4，n），则△ABC的面积为_____.课后作业4.(1)如左下图，在Rt △OAC 中，O 为坐标原点，直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数y=xk（k ≠0）在第一象限的图象经过OA 的中点B ，交AC 于点D ，连接OD ，若△OAD 的面积为1，则k 的值为_______．(2)如右上图，在Rt △AOB 中，两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A ′O ′B ．若反比例函数y ＝xk的图象恰好经过斜边A ′B 的中点C ，S △ABO=4，tan ∠BAO=2，则k 的值为______.5.如图，A 、B 两点分别在反比例函数x y 1-=和xky =的图像上，连接OA 、OB ，若OA ⊥OB ，OB=2OA ，则k 的值为（） A.-2 B.2 C.-4 D.46.如图，A ，B 两点在反比例函数y=x k 1的图象上，C ，D 两点在反比例函数y=xk2的图象上，AC ⊥y 轴于点E ，BD ⊥y 轴于点F ，AC=2，BD=1，EF=3，则k 1﹣k 2的值是________.7.如图，在□OADB 中，对角线AB 、OD 相交于点C ，反比例函数y=kx （k ＞0）在第一象限的图象经过A 、C 两点，若平行四边形OADB 面积为12，则k 的值为______．8.如图所示，双曲线y=x2(x ＜0)经过四边形OABC 的顶点A ，C ，∠ABC=90°，OC 平分OA 与x 负半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .9.如图矩形AOCB 的两边OC ，OA 分别位于x 轴，y 轴上，点B 的坐标为B （-320，5），D 是AB 边上的一点，将△ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_____.10.在平面直角坐标系中，点A （﹣3，4）关于y 轴的对称点为点B ，连接AB ，反比例函数y=（x ＞0）的图象经过点B ，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，点P 是该反比例函数图象上任意一点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，点Q 是线段AB 上任意一点，连接OQ 、CQ ．（1）求k 的值；（2）判断△QOC 与△POD 的面积是否相等，并说明理由．。

2023学年九年级上学期数学同步精讲精练(北师大版)1-2 矩形的性质与判定(讲义)(原卷版)

1.2矩形的性质及判定同步教材划重点知识点01矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.【点石成金】矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.知识点02矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.【点石成金】（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.知识点03矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.【点石成金】在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.知识点04直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 【点石成金】（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典例分析】【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．（1）求证：∠PNM=2∠CBN；（2）求线段AP的长．【变式1】如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．【变式2】如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处．'=；(1)求证：B E BF、、之间有何等量关系，并给予证明．(2)设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a b c【典例2】如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点．（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．【典例3】如图所示，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD 交BC于E，∠CAE＝15°，求∠BOE的度数．【变式3】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE 是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.【典例4】）如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC 于点F，连接BD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．【变式4】如图所示，已知平行四边形ABCD ，AC 、BD 相交于点O ，P 是平行四边形ABCD 外一点，且∠APC ＝∠BPD ＝90°．求证：平行四边形ABCD 是矩形．【典例5】如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AO=CO ，BO=DO 中，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD 是矩形．（2）若∠ADF ：∠FDC=3：2，DF ⊥AC ，则∠BDF 的度数是多少？【典例6】如图所示，BD 、CE 是△ABC 两边上的高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点．求证：FG ⊥DE ．【变式5】如图，∠MON＝90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝2，BC ＝1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（） A.21 B.5 C.1455 D.52【跟踪训练】1.将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，BE ，EG ，FG 为折痕，若顶点A ，C ，D 都落在点O 处，且点B ，O ，G 在同一条直线上，同时点E ，O ，F 在另一条直线上，则AD AB 的值为( ) A ．65 B ．2 C ．32D ．3 2.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 为斜边BC 上的一个动点，过D 分别作DM ⊥AB 于点M ，作DN ⊥AC 于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为 .3.如图，矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线EF 分别交BC ，AD 于点E ，F ，若BE ＝3，AF ＝5，则AC 的长为（）A ．4B ．4C ．10D ．84.如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是（）A ．2B ．4C ．D ．5.如图，矩形ABCD 的顶点A ，B ，C 分别落在∠MON 的边OM ，ON 上，若OA ＝OC ，要求只用无刻度的直尺作∠MON 的平分线．小明的作法如下：连接AC ，BD 交于点E ，作射线OE ，则射线OE 平分∠MON ．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线互相平分，③等腰三角形的“三线合一”．小明的作法依据是（）B D M NCAA．①②B．①③C．②③D．①②③6.如图，在矩形ABCD中，3AB=，2AD=，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是___________（结果保留π）．CDBE7.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝12S△PCD，则PC＋PD的最小值是________．DABP。

北师大版-数学-九年级上册-成比例线段讲义

成比例线段知识点一、两条线段的比两条线段比的概念：如果选用_________________量得两条线段AB.CD 的长分别为m ，n ，那么这两条线段的比就是它们的长度的比，即AB ：CD ＝___________或写成___________（注意：线段AB 与其长度的位置对应），其中，线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的___________和___________。

如果把m n 表示成比值k ，则AB CD＝k 或AB ＝kCD. 提示：（1）两条线段的比其实就是___________的比。

（2）求两条线段的比时，两条线段的________________要统一【例1】．如图，画线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，在这条垂直平分线上截取OC ＝OA ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交AB 于点P ，则线段AP 与AB 的比是( )A.3∶2 B ．1∶3C.2∶ 3 D.2∶2【例2】．如图，在△ABC 中，AC ＝2 cm ，BC ＝3 cm ，则△ABC 的两高AD 与BE 的比是( )A.23B.32C.35D.53知识点二、成比例线段成比例线段的概念：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a =d c（或a:b=c:d ），那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做__________，简称__________。

反过来，如果这四条线段a ，b ，c ，d 成比例线段，则可以记作__________。

★注意：a ，b ，c ，d 必须按顺序写出。

特别的若b a =c b，则b 为a ，c 的比例中项。

【例1】判断下列线段a ，b ，c ，d 是否成比例线段：a=4，b=6，c=5，d=10;a=4cm ，b=2cm ，c=1cm ，d=3cm【变式】已知四条线段a ，b ，c ，d 的长度，试判断它们是否成比例？a=16cm b=8cm c=5cm d=10cma=0.8dm b=5cm c=0.06m d=10cm（3），，，【例2】．已知线段a=4，b=1，如果线段c 是线段A.b 的比例中项，那么c=______．【例3】．已知三条线段的长分别为3 cm ，6 cm ，8 cm ，如果再增加一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长可以为多少？知识点三、比例的性质（1）比例的基本性质：如果b a =d c，那么__________。