第3章 平面机构的运动分析

1)在加速度多边形中，极点 p´ 代表机构中加速度为零 的点。由极点 p´ 向外放射的矢量代表构件上相应点 的绝对加速度，方向由极点 p´ 指向该点。 2)在加速度多边形中，连接绝对加速度矢端两 点的矢量，代表构件上相应两点的相对加速度， n 例如 : 代表 代表 。 a a n' c b' n' 、 CB CB 3)所求点的加速度方向应已知；如不知，可分 解为法向和切向加速度来求解。
l BD 1.05m / s
2 3
2
k′ b3 ′
b3 b1 、 b 2 P(a、d)
选加速度比例尺为μa=0.1(m/s2)/mm，作出机构的加 P′(a′、d′) 速度多边形(加速度图)。 α3=aB3Dt/lBD=μv
' ' /( n3 b3μl
BD ×43/(0.001×69) )=0.1
p(a)
P ′(a ′) c
c′
α2的方向为逆时针。
aCB 2 1/ s2 e lBC
b
n′
b′
同样，如果还需求出该构件上E点的加速度 aE，则
n t n t aE aB a EB a EB aC a EC a EC
方向：? 大小：?
√ √
E→B ω22 lBE
⊥BE ？
§3-2 用图解法作机构的运动分析
1. 机构速度及加速度分析的一般图解法 矢量方程图解法(vector graphic method)，又称相对运动图解 法(relative kinematic graphic method)，其所依据的基本原理是 理论力学中的运动合成原理。 绝对运动 = 牵连运动 + 相对运动 作法：1)根据运动合成原理 —— 列出矢量方程式。 2)根据矢量方程式 —— 作图求解。 构件间的相对运动问题可分为两类： ①同一构件上两点间的运动； ②两构件重合点间的运动。
方向：？ B→D 大小：？ √
⊥BC
√
∥BC
？
n3 ′
k 2 aB 2 v 2 b b 2 . 5 m / s 3B 2 2 B3B 2 2 v 2 3
b2 ′
其方向为将相对速度vB3B2沿牵连构件2的 角速度ω2的方向转过90°之后的方向。
aB 3 D l
n
2 3 BD
vC vB vCB
方向： ?
大小： ?
v B 2 l AB
②瞬心多边形法：构件用点代替，瞬心用线段来代替。
P13
1
2
4
3
P34
P23 P23
P24 P12 P14
2) 利用瞬心法作机构的速度分析
例 在上例中又知原动件2以角速度ω2顺时针方向旋转， 求图示位置时从动件4的角速度ω4。 解: ∵P24为构件2、4等速 重合点 构件2： v p 24 2 p12 p24 l
P(a、d)
b1 、 b 2 b3
b3 b1 、 b 2 P(a、d) 点B3的加速度aB3由两构件上重合点间的加速度关系可知，有 n k r P′(a′、d′)
aB 3 a B 3 D a B 3 D aB 2 a B 3 B 2 a B 3 B 2
⊥BD ？ B →A
√
(1)利用同一构件上两点间的速度及加速度矢量 方程作图求解
在如图所示的平面四杆机构中，设已知各构件尺寸 及原动件1的运动规律，即已知B点的速度vB和加速度aB。 求ω 2 、α 2 、vC 、ac 。 求解具体步骤：
1、取长度比例尺 l
2、速度分析
实际尺寸 m / m m, 作机构运动简图（图 3 8，a）。 图示尺寸
k
a) A 1 B
2 3
b) 2
3
B
1 A d) 1 A 4
B
2
3
e)
C
aB 3 B 2 2vB 3 B 22 aB 2 B1 2vB 2 B11
k
k
C 4 c)
C
4
2 机构速度分析的便捷图解法
(1)速度瞬心法 1) 速度瞬心及其位置的确定 互作平面相对运动的两构件上瞬时速度相等的重 合点，即为此两构件的速度瞬心(instantaneous centre of velocity)，简称瞬心。用Pij表示。 两构件在瞬心处的相对速度 为零，或者说绝对速度相等。 瞬心可以定义为两构件上的 瞬时等速重合点。
构件4： v p 24 4 p14 p24 l
4 2 或 p12 p24 p14 p24
2 p14 p24 4 p12 p24
传动比等于该两构件的绝对瞬心至相对瞬心距离的反比。
1
2
例
题
P13
4
3
例 图示为一曲柄滑块机构，设各构件尺寸为已知，又已原动 件2以角速度 ω2，现需确定图示位置时从动件4的移动速度v4。 解 ∵P24为构件2、4等速重合点
a)根据运动合成原理，列出 速度矢量方程式：
v v v
C B
CB
方向：∥xx ⊥AB ⊥CB 大小： ? ω1lAB ?
b）根据矢量方程式，取 速度比例尺v
实际速度 m / s , 作矢量多边形。 图示尺寸 mm
v v v
C B
CB
方向：∥xx 大小： ?
⊥AB ⊥CB ω1lAB ?
方向： ⊥BD 大小： ?
b3
vB 3 vB 2 vB 3 B 2
⊥AB √ ∥BC ?
b2(b1)
P(a、d)
选速度比例尺为μv=0.01(m/s)/mm，作出机构的速度多 边形(速度图)。 BD ω3=vB3/lBD=μv pb /( )=0.01×27/(0.001×69) rad/s 3μl =3.91 rad/s (顺时针) 这种情况下，ω2≡ω3 。 (3)作加速度分析 加速度分析也应由B点开始， 同样取重合点B2和B3进行求解，且 已知B点仅有法向加速度。 aB2=aB1=aB2n=ω12lAB =102×0.024 m/s2 其方向沿AB，并由B指向A。
v p 24 2 p12 p24 l v4 v p 24
v4 2 p12 p24 l
例 图示为一凸轮机构，设各构件尺寸为已知，又已原动 件2的角速度ω2，现需确定图示位置时从动件3的移动速 度 v3 。 解：先求出构件2、3的瞬心P23
v p 2 3 2 p12 p23 l
在构件2及3上任取一重合点k，则vk2和vk3的方向显然 不同，而瞬心P23应是构件2及3上的等速重合点，故知P23 必定不在k点。只有当P23位于P12和P13的连线上时，构件2 及3的重合点的速度方向才能一致。
例
题
例 如图所示为一平面四杆机构， 试确定该机构在图示位置时其全 部瞬心的位置。 解 1、首先确定该机 构所有瞬心的数目 K = N(N-1)/2 = 4(4-1)/2 = 6 2、求出全部瞬心 两种方法： ①三心定理；
②以移动副相联的两构件 ——垂直于导路方向的无穷远处，并且可以平移。
③以平面高副相联的两构件的瞬心
a、当两高副元素作纯滚动时 ——瞬心在接触点M上。
b、当两高副元素之间既有相对滚动，又有相对滑动时 ——瞬心在过接触点的公法线 上，具体位置需 要根据其它条件确定。
(2)对于不通过运动副直接相连的两构件间的瞬心，可 借助于“三心定理”来确定其位置。 三心定理：三个彼此作平面平行运动的构件的三个瞬心 必位于同一直线上。 证明：
第3章 平面机构的运动分析
§3-1 机构运动分析的任务、目的和方法
任务：已知机构尺寸及原动件运动规律，确定机构中其他构件 上某些点的轨迹、s、v及a和构件的θ、ω及α。 方法： 图解法：了解机构某个或某几个位置的运动特性时，并且 精度也能满足实际问题的要求。特点—方便、直观、可获得某 一具体位置的数据。 解析法：需要精确地知道或了解机构在整个运动循环过程 中的运动特性时，获得很高的计算精度及一系列位置的分析结 果，并能绘出机构相应的运动线图。特点—复杂、精度高、可 获得任意位置的数据。
4)△b´c´e´ ~Biblioteka BaiduBCE,
叫作△BCE的加速度影像。 字母的顺序方向一致，但两个图形没有确定的 角度关系，这一点与速度影像不同。
P ′(a ′)
c′
p(a)
5)已知某构件上两 点的加速度，可用 加速度影像法求该 构件上第三点的加 速度。
c
e′ e
b
n′ b′
(2) 利用两构件重合点间的速度及加速度矢量方程作图求解
c
e
b
3、加速度分析 a)根据运动合成原理，列出加速度矢量方程式：
n t aC aB aCB aB aCB aCB
方向：√ 大小：？
√ √
C→B ω22 lBC
⊥BC ？
实际加速度 m / s 2 b)根据矢量方程式，取加 速度比例尺a , 图示尺寸 mm 2 a p ' c ' m / s 作矢量多边形 ,得 C a
n3 ′
=62.3 rad/s2 (逆时针) 这种情况下，α2≡α3 。
b2 ′
对于含高副的机构，为了简化 其运动分析，常将其高副用低副代 替后再作运动分析。
k′ b3 ′
科氏加速度存在的条件： 1)两构件要有相对移动；
A 4 1 B 2 B 3 C A 1 4
2)牵连构件要有转动。
2 3C
aC 3C 2 2vC 3C 22
这种方法称为“汇交法” p(a) c
e
b
此外，还可以采用速度影像求出该构件上E点的速度vE
由图可见，由于△bce与△BCE的对应边相互垂直， 故两者相似，且其角标字母的顺序方向也一致。所以， 将速度图形bce称为构件图形BCE的速度影像(velocity image of link)。
p(a)
c
e
例 如图所示为一平面四杆机构。设已知各构件的尺寸为： lAB=24mm ， lAD=78mm， lCD=48mm，γ=100°；并知原动件1以等角速度 ω1=10rad/s沿 逆时针方向回转。试用图解法求机构在 φ1=60°时构件 2、 3的角速度和角 加速度。
解：(1)作机构运动简图 选取尺寸比例尺μl=0.001m/mm，按 φ1=60°准确作出机构运动简图。 (2)作速度分析 速度分析应由B点开始，并取 重合点B2和B3进行求解，这种方法 称为“扩大构件法”。 vB2=vB1=ω1lAB=10×0.024 m/s
√ √
E→C ω22 lCE
⊥C E ？
同理，按照上述方法作 出矢量多边形， p' e'则代表aE。
也可以利用加速度影像原理(acceleration image of link) 来求得e’点和αE。 2
aE a p' e' m / s
p(a)
P ′(a ′) c
c′
e
b
e′
n′
b′
加速度多边形的特性：
若瞬心处的绝对速度不为零，则称为为相对瞬心；
若瞬心处的绝对速度为零，则称为绝对瞬心。
机构中瞬心的数目：
K = N（N-1）/ 2
N为所有构件的数目，包括机架。
各瞬心位置的确定方法：
(1)对于通过运动副直接相连的两构件间的瞬心，可由瞬 心的定义来确定其位置。
①以转动副相联的两构件 ——转动副的中心处。
P13→∞
v3 vp 23 2 p12 p23l
P12
P23 P13→∞
P12
(2) 综合法
综合运用瞬心法和矢量方程图解法对复杂机构进行 速度分析。 例 如图所示为一摇动筛的机构运动简图。这是一种结 构比较复杂的六杆机构(根据机构结构分类属Ⅲ级机构)。 设已知各构件的尺寸及原动件2的角速度ω2，需作出机 构在图示位置时的速度多边形。 解：
v C v pc m / s v CB v bc m / s
p(a) c
v CB 2 1/ s lBC
ω2的方向为逆时针。
b
如果还需求出该构件上E点的速度vE，则
vE vB vEB vC vEC
方向： ?
大小： ?
⊥AB ⊥BE
√ ? √
√
⊥CE
?
vE v pe m / s
b
速度多边形的特性：
1)在速度多边形中，极点 p 代表机构中 速度为零的点。由极点 p 向外放射的 矢量代表构件上相应点的绝对速度， 方向由极点 p 指向该点。 2)在速度多边形中，连接绝对速度矢端 两点的矢量，代表构件上相应两点的 相对速度，例如 : bc 代表 vCB 。 3)所求点的速度方向应已知；如不知， p(a) 需用其它方法确定，如：汇交法、瞬 心法。 4)△bce~△BCE， 叫作△BCE 的速度 影像。字母的顺序方向一致，△bce 的 位置为△BCE沿ω2的方向转90° 。 5)已知某构件上两点的速度，可用速度 影象法求该构件上第三点的速度。