圆锥曲线常用结论整理
常用的圆锥曲线结论
常用的圆锥曲线结论1.P是椭圆x2a2+y2b2=1上的任一点，F1,F2为左、右焦点，则|PF1|·|PF2|∈[b²,a²]。
2.P是椭圆x2a2+y2b2=1上的任一点，F1,F2为左、右焦点，则向量F1·向量F2∈[b²-c²,a²-c²]3.P是椭圆x2a +y2b=1(a>b>0)上的任一点，F1,F2为左、右焦点，∠F1PF2=θ,则S△F1PF2=b²·tan(θ／2)4.P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的任一点，F1,F2为左、右焦点，则P为短轴的端点时，∠F1PF2最大5.P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的任一点，A1,A2为左、右顶点，则P为短轴端点时，∠A1PA2最大6.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A,B是椭圆是关于原点对称的两点，M是椭圆上异于A,B的一点，若MA,MB的斜率分别为k1,k2,则k1·k2=−b²a²7.若AB是椭圆x2a2+y2b2=1的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，则k OM·k AB=−b²a²8.若l是椭圆x2a2+y2b2=1不垂直于对称轴的切线，M为切点，则k l·k OM=−b²a²9.以焦半径为直径的圆必与对应的准线相离10.以焦半径PF1为直径的圆与以长轴为直径的圆内切11.A1,A2为椭圆左、右顶点，则△F1PF2在边PF2（或PF1）上的旁切圆必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）12.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点A1（-a，0），A2（a，0），与y轴平行的直线交椭圆于P1,P2时，A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x 2a2−y2b2=113.设P（x0，y0）在椭圆x2a +y2b=1上，则过P椭圆的切线方程是xx0a+yy0b=114.若P（x0，y0）在椭圆x2a2+y2b2=1上，则过P作椭圆的两条切线切点为P1,P2,则切点弦P1P2的直线方程是xx0a2+yy0b2=115.若P（x0，y0）在椭圆x2a2+y2b2=1内，则被P所平分的中点弦方程为xx0a2+yy0b2=x02 a2+y02b216.若P（x0，y0）在椭圆x2a2+y2b2=1内，则过P的弦中点的轨迹方程是xx0a2+yy0b2=x2 a2+y2b217.若PQ是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上对中心张直角的弦，则1|OP|2+1|OQ|2=1a2+1b218.过椭圆的焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直19.过椭圆焦点互相垂直的直线与椭圆相交构成的四边形面积取值范围是[8a2b4 (a2+b2)²,2b²],弦长之和的取值范围是[8ab²a2+b2, 2(a2+b2)a]20.设P0（x0，y0）为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一个定点，P1P2是动弦，则∠P1P0P2为直角的充要条件是P1P2过顶点M（a²−b²a+b x0，a²−b²a+by0）。
圆锥曲线常用结论
圆锥曲线常用结论 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】圆锥曲线常用结论（自己选择）一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
高中数学圆锥曲线常用98条结论
高中数学圆锥曲线常用98条结论1.椭圆的离心率小于1，且焦点在中心到长轴的垂线上。
2. 长轴和短轴的长度分别为2a和2b，则椭圆的标准方程为(x/a)+(y/b)=1。
3. 椭圆的焦距为c=√(a-b)。
4. 椭圆的面积为πab。
5. 椭圆的周长近似为2π√((a+b)/2)。
6. 椭圆的离心率为e=c/a。
7. 双曲线的离心率大于1，且焦点在中心到长轴的垂线上。
8. 长轴和短轴的长度分别为2a和2b，则双曲线的标准方程为(x/a)-(y/b)=1。
9. 双曲线的焦距为c=√(a+b)。
10. 双曲线的面积为πab。
11. 双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x。
12. 双曲线的离心率为e=c/a。
13. 抛物线的离心率等于1，且焦点在抛物线的顶点上。
14. 抛物线的标准方程为y=4ax。
15. 抛物线的焦距等于a。
16. 抛物线的面积为2/3×a×(4a/3)。
17. 抛物线的顶点坐标为(0,0)。
18. 抛物线的准线方程为y=-a。
19. 圆的标准方程为(x-a)+(y-b)=r。
20. 圆的直径为圆心的两倍半径。
21. 圆的周长为2πr。
22. 圆的面积为πr。
23. 直线与圆相交，切点到圆心的距离垂直于直线。
24. 切线方程为y-y=k(x-x)，其中k为切线斜率。
25. 直线与圆相切，切点坐标为(x,y)，则切线方程为(y-y)=k(x-x)，其中k为直线斜率。
26. 椭圆的切线方程为(ay/b)+(x/a)=1。
27. 双曲线的切线方程为(ay/b)-(x/a)=1。
28. 抛物线的切线方程为y=2ax。
29. 椭圆的法线方程为(by/a)+(x/a)=1。
30. 双曲线的法线方程为(by/a)-(x/a)=1。
31. 抛物线的法线方程为y=-x/(2a)。
32. 椭圆的两条直径的交点在椭圆的中心点上。
33. 椭圆的两条直径的长度之和为2a。
34. 椭圆的两条直径的中垂线交于椭圆的中心点。
高考数学复习 圆锥曲线常用结论整理
圆 锥 曲 线 常 用 结 论 整 理椭圆问题小结论：1.与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++ 2.与椭圆22221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为()2222,0x y a b λλ+=>或()2222,0x y b aλλ+=> 3.（中点弦结论）直线l 与椭圆22221x y a b+=相交与()()1122,y ,,A x B x y 两点，其中点(),P x y 为线段ＡＢ的中点，则有：22AB OPb K K a⋅=-；若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+ 若椭圆方程为22221y x a b +=时，22AB OP a K K b⋅=-；4.（切线结论）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =-； 5.（切点弦结论）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=.6. 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PB b K K a=-7.（焦点弦结论）设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122||=tan 2PF F P S c y b θ∆=.(3)当P 点位于短轴顶点处12F PF θ∠=最大。
圆锥曲线常用结论(收藏版)
二、通径（垂直焦点所在轴的焦点弦）：
①椭圆：通径=2b2/a, 焦点弦以通径最短；
②双曲线：通径=2b2/a, 同侧焦点弦以通径最短；
③抛物线：通径=2p 焦点弦以通径最短；
1.已知椭圆 x 2 y 2 1 ，过焦点的直线与椭圆交于 A,B 两点，则弦|AB|的长度范围是
;
42
解：显然，焦点弦|AB|为通径时最小，为 2b2/a=2;
= 0, AF1
• AF2
= c2，
则椭圆离心率 e=
;
6.椭圆
左右焦点分别为 F1,F2， 过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点，若|AF2|+|BF2|的最
大值为 8，则 b 的值是（ ）
2.√3; 3.2; 4.1+√2; 5.(√5-1)/2; 6.√6
三、斜率结论：垂径定理
C
O A
B ①AB 为弦，中点为 C,
A
C
则 KAB·KOC= - b2/a2
B O
P A
O
②AB 为中心弦，P 为椭 B
P
圆上任意点，则有
B
KAP·KBP= - b2/a2
A
O
①AB 为弦，中点为 C, 则 KAB·KOC= b2/a2 ②AB 为中心弦，P 为双 曲线上点，则有
KAP·KBP= b2/a2
1.4x2+9y2=144 内的一点 P(3,2)， 过点 P 的弦以 P 为中点，那么这弦所在的直线方程是
为长轴时最大，为 2a=4;
∴2 ≤|AB|≤4
2.设直线 L 过双曲线 C:的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，L 与 C 交于 A,B 两点，|AB|为 C 的
实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为
圆锥曲线常用结论
圆锥曲线常用结论（自己选择）一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a xb K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b+=+. 二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=. 8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
有关圆锥曲线的经典结论
有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+.13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+. 二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
圆锥曲线常用结论
圆锥曲线常用结论（自己选择）一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b+=+. 二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（切：P 在右支；外切：P在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
有关圆锥曲线的经典结论
★说明:圆锥曲线我们并未学完，有些内容（如焦半径公式），将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用，不要过分纠结于此！有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x ya b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
高考数学圆锥曲线常用8大结论
高考数学圆锥曲线常用8大结论1. 椭圆的性质椭圆的标准方程为：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$其中，a为椭圆的长半轴，b为椭圆的短半轴。
椭圆具有以下性质：(1) 光滑性：椭圆是一个连续的、光滑的曲线。
(2) 对称轴：椭圆具有两条对称轴，分别与长半轴和短半轴垂直并交于中心点。
(3) 焦点：椭圆有两个焦点F1和F2，且满足F1F2=2a。
(4) 直线：椭圆上的直线方程一般为$Ax+By+C=0$，其中，$A=\dfrac{a^2y^2}{b^2}+\dfrac{b^2x^2}{a^2}$，$B=-2\dfrac{a^2y}{b^2}$，$C=\dfrac{a^2y^2}{b^2}-a^2$。
(5) 参数方程：椭圆的参数方程为$x=a\cos\theta$，$y=b\sin\theta$，其中，$0\leq\theta<2\pi$。
2. 双曲线的性质(4) 渐进线：双曲线的渐进线是直线方程为$y=\pm\dfrac{b}{a}x$的两条直线。
$y=ax^2+bx+c$其中，a不等于0。
(2) 对称轴：抛物线的对称轴是$y=-\dfrac{b}{2a}$。
(3) 焦点：抛物线具有一个焦点F，满足到该点的距离等于焦距。
(5) 参数方程：抛物线的参数方程为$x=t$，$y=at^2+bt+c$。
5. 双曲线方程的标准形式其中，(h,k)为双曲线的中心点坐标，a为双曲线的半轴长，b为双曲线的半轴短。
7. 拋物線切线式拋物線的方程式為因此，在拋物線上一點$(x_0, y_0)$的斜率為則該點的切線方程為$y-y_0 = k(x-x_0)$8. 判别式公式判別式公式可以判別二次曲線的形状，公式如下：$D = \begin{vmatrix} A & B/2 \\ B/2 & C \end{vmatrix}$若$D>0$，則方程表示的圖形是双曲线；。
圆锥曲线的一些重要结论
圆锥曲线的一些重要结论：1. 以椭圆的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相离。
2. 以双曲线的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相交。
3. 以抛物线的的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相切。
4. 以椭圆上的任一点为顶点的焦点三角形中，过任一焦点作其外角平分线的垂线，垂足的轨迹必为一圆（除开两点）。
5. 双曲线上不同于顶点的任一点与两焦点所构成的三角形的内切圆必切于与该点同侧的双曲线顶点。
6. 抛物线的焦点弦，被焦点所分两线段长的倒数和为定值。
7. 椭圆上到一焦点的距离最值点必为长轴两顶点。
8. 椭圆上短轴顶点对两焦点所张的角是椭圆上任一点对两焦点所张角的最大者。
椭圆1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角。
2.若PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴两个端点。
3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离。
4.以焦半径PF 1为直径的圆必与长轴为直径的圆内切。
5.若),(000y x P 在椭圆12222=+b y a x 上，则过0P 的切线方程是12020=+b y y a x x 。
6. 若),(000y x P 在椭圆12222=+by a x 外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为21,P P ,则切点弦21P P 所在的直线方程是12020=+b yy a x x 。
7. 椭圆12222=+b y a x 上任一点P ，若θ=∠21PF F ，则θcos 12||||221+=b PF PF ;2tan 221θb S PF F =∆。
8. 椭圆12222=+by a x 的焦半径公式：01||ex a MF +=，02||ex a MF -=。
其中)0,(),0,(21c F c F -。
9.设过椭圆的焦点F 作直线与椭圆交于P,Q 两点，A 是椭圆长轴的一个端点，连接AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆的准线于M,N ，则MF ⊥NF.10. 设过椭圆的焦点F 作直线与椭圆交于P,Q 两点，A 1,A 2是椭圆长轴的端点，A 1P 与A 2Q 相交于点M ，A 2P 和A 1Q 相交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆12222=+b y a x 的不平行于对称轴的弦),(00y x M 是弦AB 的中点，则22ab k k OM AB -=；AB 是椭圆12222=+b y a x 的长轴的端点,P 是椭圆上不同于A,B 的任一点,则22a b k k PB PA -=; AB 是椭圆12222=+by a x 的关于原点对称的两点,,P 是椭圆上不同于A,B 的任一点,则22ab k k PBPA -=.12.若),(000y x P 在椭圆12222=+b y a x 内，则被),(000y x P 平分的弦的方程是：=+2020by y a x x 220220b y a x +。
高考数学圆锥曲线常用8大结论
x2 y2 1 （ a 0, b 0 ） 外 ， 则过 P0 作双曲线的两条切线切点为 P1 、P2 ， a 2 b2
则切点弦 PP 1 2 的直线方程是
x0 x y0 y 2 1. a2 b
3.抛物线 y 2 2 px 中，过点 P 的切线方程为 y0 y p( x x0 ) . 4.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则 相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 5.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相 交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 6.椭圆
x2 y2 1（ a b 0 ）的两个顶点为 A1 ( a, 0) , A2 (a, 0) ，与 y 轴平 a 2 b2
x2 y2 行的直线交椭圆于 P1 、 P2 时 A1P1 与 A2 P2 交点的轨迹方程是 2 2 1 .双 a b
曲线
x2 y2 1（ a b 0 ）的两个顶点为 A1 ( a, 0) , A2 ( a, 0) ，与 y 轴平行 a 2 b2 x2 y2 1. a 2 b2
圆锥曲线常用 8 大结论
1.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆
x2 y2 1上，则过 P 0 的椭圆的切线方程是 a 2 b2 x2 y2 在双曲线 2 2 1（ a 0, b 0 ）上，则过 P0 的 a b
x0 x y0 y 2 1 ；若 P0 (x0 , y 人人网：新东方优能中学
双曲线的切线方程是 2.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆
x0 x y0 y 2 1. a2 b
x2 y2 1外， 则过 P0 作椭圆的两条切线切点为 P1 、 a 2 b2
有关圆锥曲线的经典结论
7.椭圆 与直线 有公共点的充要条件是 .
8.已知椭圆 （a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且 .（1） ;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为 ;（3） 的最小值是 .
14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16.椭圆焦三角形中,点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的、外角平分线与长轴交点分别称为、外点.）
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（切：P在右支；外切：P在左支）
5.若 在双曲线 （a＞0,b＞0）上，则过 的双曲线的切线方程是 .
6.若 在双曲线 （a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是 .
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切.
5.若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 .
6.若 在椭圆 外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是 .
7.椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点 ，则椭圆的焦点角形的面积为 .
9.过椭圆 （a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则 .
有关圆锥曲线的经典结论
★说明:圆锥曲线我们并未学完，有些内容（如焦半径公式），将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用，不要过分纠结于此！有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x ya b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
圆锥曲线的相关结论192条
结论 1：过圆x2+y2 = 2a2上任意点P作圆x2+y2 = a 2的两条切线，则两条切线垂直．结论 2：过圆x2 + y 2 = a 2 + b 2上任意点 P 作椭圆x 2 + y 2 = 1（a>b> 0 ）的两条切线，a 2b 2则两条切线垂直．结论 3：过圆x2 + y 2 = a 2 - b 2（ a > b >0）上任意点 P 作双曲线x 2- y2= 1 的两条切a 2b 2线，则两条切线垂直．结论 4：过圆x2+y2 = a 2上任意不同两点 A ， B 作圆的切线，如果切线垂直且相交于 P ，则动点 P 的轨迹为圆： x 2 + y 2=2a 2．结论 5：过椭圆x 2+y2 = 1（a>b> 0 ）上任意不同两点A，B作椭圆的切线，如果切a 2b 2线垂直且相交于 P ，则动点 P 的轨迹为圆 x 2+ y 2= a 2+ b 2．结论 6：过双曲线x 2-y 2= 1 （a>b> 0 ）上任意不同两点A，B作双曲线的切线，如a 2 b 2果切线垂直且相交于 P ，则动点 P 的轨迹为圆 x 2+ y 2= a 2- b 2．结论 7：点M（x0，y0）在椭圆x 2+y 2= 1（a>b> 0 ）上，过点M作椭圆的切线方a 2 b 2程为x0 x+y0 y= 1．a 2 b 2结论 8：点M（x0，y0）在椭圆x 2+y 2= 1（a>b> 0 ）外，过点M作椭圆的两条切a 2 b 2线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为xa02x+yb02y=1．结论 8：（补充）点M（x0 ， y0 ）在椭圆x 2+y 2= 1（a>b> 0 ）内，过点M作椭圆a 2 b 2的弦 AB （不过椭圆中心），分别过 A、B 作椭圆的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线：x0 x + y0 y = 1 ．a 2b 2结论 9：点M（x0，y0 ）在双曲线x 2-y 2= 1（a> 0, b> 0 ）上，过点M作双曲线的a 2 b 2切线方程为x0 x - y0 y = 1 ．a 2b 2结论 10：点M（x0，y0）在双曲线x 2-y 2= 1 （a> 0, b> 0 ）外，过点M作双曲线a 2 b 2的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为x0 x - y0 y = 1 ．a 2b 2结论 10：（补充）点M（x0，y0）在双曲线x 2 - y 2 = 1（a> 0, b> 0 ）内，过点M作a 2 b 2双曲线的弦 AB （不过双曲线中心），分别过 A、B 作双曲线的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线：x0 x - y0 y = 1 ．a 2b 2结论 11：点M（x0，y0）在抛物线y2 = 2 px（p> 0 ）上，过点M作抛物线的切线方程为 y0 y = p(x + x0)．结论 12：点M（x0，y0）在抛物线y2 = 2 px（p> 0 ）外，过点M作抛物线的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为 y0 y = p(x + x0)．结论 12：（补充）点M（x0，y0）在抛物线y2=2px（p>0）内，过点M作抛物线的弦 AB ，分别过 A、B 作抛物线的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线：y0 y = p(x + x0)．结论 13：点M（x0 ， y0 (x - m)2 (y - n)2= 1上，过点M作椭圆的切线方程）在椭圆+a 2b 2为(x0 - m)(x - m)+( y0 - n)( y - n)= 1．a 2b 2结论14：点 M （ x0 ， y0 ）在双曲线(x - m)2-(y - n)2= 1上，过点M作双曲线的切线a 2b 2方程为(x0- m)(x - m) - (y0- n)(y - n) = 1 ．b 2a 2结论15：点 M （ x0 ， y0）在抛物线(y - n)2 = 2 p(x-m)上，过点M作抛物线的切线方程为(y0- n)(y - n)= p(x + x0-2m)．结论16：点 M （ x0 ， y0）在椭圆(x - m)2+(y - n)2= 1外，过点M作椭圆的两条切线，a 2b 2切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为(x0-m)(x-m)+( y0-n)( y-n)= 1．a 2b 2结论17：点 M （ x0 ， y0）在双曲线(x - m)2-(y - n)2= 1外，过点M作双曲线的两条a 2 b 2切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为(x0- m)(x - m) - (y0- n)(y - n) = 1 ．a 2b 2结论18：点 M （ x0， y0）在抛物线(y - n)2=2 p(x - m)外，过点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为(y0- n)(y - n)= p(x + x0-2m)．结论16：（补充）点 M （ x0 ， y0(x - m)2 (y - n)2= 1内，过点M作椭圆的）在椭圆+a 2b 2弦 AB （不过椭圆中心），分别过 A、B 作椭圆的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线：(x0-m)(x-m)+( y0-n)( y-n)= 1．a 2b 2结论17：（补充）点 M （ x0 ， y0 ）在双曲线(x - m)2-(y - n)2= 1内，过点M作双曲a 2b 2线的弦 AB （不过双曲线中心），分别过 A、B 作双曲线的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线：(x0 - m)(x - m) - (y0- n)(y - n) = 1 ．b 2a 2结论18：（补充）点 M （ x0， y0）在抛物线(y - n)2=2 p(x - m)内，过点 M 作抛物线的弦 AB ，分别过 A、B 作抛物线的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线：(y0- n)(y - n)= p(x + x0-2m)．结论19：过椭圆准线上一点 M 作椭圆的两条切线，切点分别为 A ，B ，则切点弦 AB 的直线必过相应的焦点 F ，且 MF 垂直切点弦 AB ．结论20：过双曲线准线上一点 M 作双曲线的两条切线，切点分别为 A ，B ，则切点弦 AB的直线必过相应的焦点 F ，且 MF 垂直切点弦 AB ．结论21：过抛物线准线上一点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A ，B ，则切点弦AB 的直线必过焦点 F ，且 MF 垂直切点弦 AB ．结论22:AB 为椭圆的焦点弦，则过 A ， B 的切线的交点 M 必在相应的准线上．结论23:AB 为双曲线的焦点弦，则过 A ， B 的切线的交点 M 必在相应的准线上．结论24:AB 为抛物线的焦点弦，则过 A ， B 的切线的交点 M 必在准线上．结论25:点 M 是椭圆准线与长轴的交点，过点 M 作椭圆的两条切线，切点分别为 A ，B ，则切点弦 AB 就是通径．结论26:点 M 是双曲线准线与实轴的交点，过点 M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ， B ，则切点弦 AB 就是通径．结论27: M 为抛物线的准线与其对称轴的交点，过点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 就是其通径．结论 28：过抛物线y2 = 2 px（p> 0 ）的对称轴上任意一点M (-m,0) （m> 0 ）作抛物线的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 所在的直线必过点 N (m,0)．结论 29：过椭圆x 2+y 2= 1（a>b> 0 ）的对称轴上任意一点M (m, n) 作椭圆的两条切a 2 b 2线，切点分别为 A ， B ．（1）当n=0，m > a 时，则切点弦 AB 所在的直线必过点 P(a 2,0) ；m（2）当m=0，n > b 时，则切点弦 AB b 2所在的直线必过点 Q(0, ) ．nx 2 y 2m < a ）作结论 30：过双曲线- = 1（a> 0, b> 0 ）的实轴上任意一点M (m,0) （a 2b 2双曲线（单支）的两条切线，切点分别为 A ，B ，则切点弦 AB 所在的直线必过点P(a2,0)．m结论 31：过抛物线y2=2px（p>0）外任意一点M作抛物线的两条切线，切点分别为A，B ，弦 AB 的中点为 N ，则直线 MN 必与其对称轴平行．结论 32：若椭圆x 2+y 2= 1 （a>b> 0 ）与双曲线x 2-y 2= 1（m> 0 ，n> 0 ）共a 2 b 2 m 2 n 2焦点，则在它们交点处的切线相互垂直．结论 33：过椭圆外一定点P作其一条割线，交点为A，B，则满足AP⋅BQ=AQ⋅BP 的动点 Q 的轨迹就是过 P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．的动点 Q 的轨迹就是过 P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论 35：过抛物线外一定点P作其一条割线，交点为A，B，则满足AP⋅BQ=AQ⋅BP 的动点 Q 的轨迹就是过 P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论 36：过双曲线外一点P作其一条割线，交点为A，B，过A，B分别作双曲线的切线相交于点 Q ，则动点 Q 的轨迹就是过 P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论 37：过椭圆外一点P作其一条割线，交点为A，B，过A，B分别作椭圆的切线相交于点 Q ，则动点 Q 的轨迹就是过 P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论 38：过抛物线外一点P作其一条割线，交点为A，B，过A，B分别作抛物线的切线相交于点 Q ，则动点 Q 的轨迹就是过 P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论 39：从椭圆x 2+y 2= 1（a>b> 0 ）的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨a 2 b 2迹为圆： x 2+ y 2 = a 2．结论 40：从x 2-y 2= 1 （a> 0，b> 0 ）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的a 2 b 2轨迹为圆： x 2+ y 2= a 2．结论41：是椭圆（）的一个焦点，是椭圆上任意一点，则焦半径．结论42：是双曲线（）的右焦点，是双曲线上任意一点．（1）当点在双曲线右支上，则焦半径；（2）当点在双曲线左支上，则焦半径．结论43：是抛物线（）的焦点，是抛物线上任意一点，则焦半径=．结论 44：椭圆上任一点处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即椭圆的光学性质．结论45：双曲线上任一点处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即双曲线的光学性质．结论46：抛物线上任一点处的切线平分该点的焦半径与该点向准线所作的垂线的夹角，亦即抛物线的光学性质．结论47：椭圆的准线上任一点处的切点弦过其相应的焦点，且⊥．结论48：双曲线的准线上任一点处的切点弦过其相应的焦点，且⊥．结论49：抛物线的准线上任一点处的切点弦过其焦点，且⊥．结论 50：椭圆上任一点处的切线交准线于，与相应的焦点的连线交椭圆于，则必与该椭圆相切，且⊥．结论 51：双曲线上任一点处的切线交准线于，与相应的焦点的连线交双曲线于，则必与该双曲线相切，且⊥．结论 52：抛物线上任一点处的切线交准线于，与焦点的连线交抛物线于，则必与该抛物线相切，且⊥．结论 53：焦点在轴上的椭圆（或焦点在轴）上三点，，的焦半径成等差数列的充要条件为，，的横坐标（纵坐标）成等差数列．结论 54：焦点在轴上的双曲线（或焦点在轴）上三点，，的焦半径成等差数列的充要条件为，，的横坐标（纵坐标）成等差数列．结论 55：焦点在轴上的抛物线（或焦点在轴）上三点，，的焦半径成等差数列的充要条件为，，的横坐标（纵坐标）成等差数列．结论 56：椭圆上一个焦点关于椭圆上任一点处的切线的对称点为，则直线必过该椭圆的另一个焦点．结论 57：双曲线上一个焦点关于双曲线上任一点处的切线的对称点为，则直线必过该双曲线的另一个焦点．结论 58：椭圆上任一点（非顶点），过的切线和法线分别与短轴相交于，，则有，，及两个焦点共于一圆上．结论 59：双曲线上任一点（非顶点），过的切线和法线分别与短轴相交于，，则有，，及两个焦点共于一圆上．结论 60：椭圆上任一点（非顶点）处的切线与过长轴两个顶点，的切线相交于，，则必得到以为直径的圆经过该椭圆的两个焦点．结论 61：双曲线上任一点（非顶点）处的切线与过实轴两个顶点，的切线相交于，，则必得到以为直径的圆经过该双曲线的两个焦点．结论 62：以椭圆的任一焦半径为直径的圆内切于以长轴为直径的圆．结论 63：以双曲线的任一焦半径为直径的圆外切于以实轴为直径的圆．结论 64：以抛物线的任一焦半径为直径的圆与非对称轴的轴相切．结论 65：焦点在轴上的椭圆（或焦点在轴上）上任一点（非短轴顶点）与短轴的两个顶点，的连线分别交轴（或轴）于，，则（或）．结论 66：焦点在轴上的双曲线（或焦点在轴上）上任一点（非顶点）与实轴的两个顶点，的连线分别交轴（或轴）于，，则（或）．结论 67：为焦点在轴上的椭圆上任一点（非长轴顶点），则与边（或）相切的旁切圆与轴相切于右顶点（或左顶点）．结论 68：为焦点在轴上的双曲线右支（或左支）上任一点，则的内切圆与轴相切于右顶点（或左顶点）．结论 69：是过椭圆（）的焦点的一条弦（非通径），弦的中垂线交轴于，则=．结论 70：是过双曲线（）的焦点的一条弦（非通径，且为单支弦），弦的中垂线交轴于，则=．结论 71：是过抛物线（）的焦点的一条弦（非通径），弦的中垂线交轴于，则=．结论 72：为抛物线的焦点弦，分别过，作抛物线的切线，则两条切线的交点在其准线上．结论 73：为椭圆的焦点弦，分别过，作椭圆的切线，则两条切线的交点在其相应的准线上．结论 74：为双曲线的焦点弦，分别过，作双曲线的切线，则两条切线的交点在其相应的准线上．结论 75：为过抛物线焦点的焦点弦，以为直径的圆必与其准线相切．结论 76：为过椭圆焦点的焦点弦，以为直径的圆必与其相应的准线相离（当然与另一条准线更相离）．结论 77：为过双曲线焦点的焦点弦，以为直径的圆必与其相应的准线相交，截得的圆弧度数为定值，且为．结论 78：以圆锥曲线的焦点弦为直径作圆，若该圆与其相应的准线相切，则该曲线必为抛物线．结论 79：以圆锥曲线的焦点弦为直径作圆，若该圆与其相应的准线相离，则该曲线必为椭圆．结论 80：以圆锥曲线的焦点弦为直径作圆，若该圆与其相应的准线相交，则该曲线必为双曲线，此时截得的圆弧度数为定值，且为．结论 81：为过抛物线（）焦点的焦点弦，（，），（，），则=．结论 82：为过椭圆（）焦点的焦点弦，（，），（，），则=．结论 83：为过双曲线（）焦点的焦点弦，（，），（，）．若为单支弦，则 = ；若为双支弦，则=结论 84：为抛物线的焦点，，是抛物线上不同的两点，直线交其准线于，则平分的外角．结论 85：为椭圆的一个焦点，，是椭圆上不同的两点，直线交其相应的准线于，则平分的外角．结论 86：为双曲线的一个焦点，，是双曲线上不同的两点（同一支上），直线交其相应的准线于，则平分的外角．结论 87：为双曲线的一个焦点，，是双曲线上不同的两点（左右支各一点），直线交其相应的准线于，则平分．结论 88：是椭圆（）过焦点的弦，点是椭圆上异于的任一点，直线、分别交相应于焦点的准线于、，则点与点的纵坐标之积为定值，且为．结论 89：是双曲线（）过焦点的弦，点是双曲线上异于的任一点，直线、分别交相应于焦点的准线于、，则点与点的纵坐标之积为定值，且为．结论 90：是抛物线（）过焦点的弦，点是抛物线上异于的任一点，直线、分别交准线于、，则点与点的纵坐标之积为定值，且为．结论91：，为椭圆（）的长轴顶点，为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线（）于，，则为定值，且有．结论92：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论93：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论94：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论95：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论96：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论97：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论98：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论99：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有．结论 100：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论 101：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论 102：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论 103：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论 104：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论 105：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论 106：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论 107：，为椭圆（）的长轴顶点，为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有==．结论 108：，为椭圆（）的长轴顶点，为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有==．结论 109：，为椭圆（）的长轴顶点，为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论 110：，为椭圆（）的长轴顶点，为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论 111：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论 112：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论 113：，为椭圆（）的任一直径（中心弦），为椭圆上任一点（不与，点重合），则为定值，且有==．结论 114：，为椭圆（）的任一弦（不过原点且不与对称轴平行），为弦的中点，若与均存在，则为定值，且有==．结论 115：为椭圆（）的任一弦（不与对称轴平行），若平行于的弦的中点的轨迹为直线，则有==．结论 116：过椭圆（）上任意一点(不是其顶点)作椭圆的切线，则有==．结论 117：椭圆（）及定点，（），过的弦的端点为，，过点，分别作直线的垂线，垂足分别为，，直线与轴相交于，则直线与恒过的中点，且有．结论 118：椭圆（）及定点，（±），过任作一条弦，为椭圆上任一点，连接，，且分别与准线相交于，，则有=．结论 119：椭圆（）及定点，（，），过任作一条弦，为椭圆上任一点，连接，，且分别与直线相交于，，则有=．结论 120：，为双曲线（）的顶点，为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线（）于，，则为定值，且有==．结论 121：，为双曲线（）的顶点，为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线（）于，，则为定值，且有=．结论 122：，为双曲线实轴顶点），若直线，（分别交直线）的顶点，（）于为双曲线上任一点（非，，则为定值，且有=．结论 123：，为双曲线实轴顶点），若直线，（分别交直线）的顶点，（）于为双曲线上任一点（非，，则为定值，且有=．结论 124：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论 125：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论 126：为双曲线（）的任一直径，为双曲线上任一点结论 127：为双曲线（）的任一弦（不过原点且不与对称轴16平行），为弦的中点，若与均存在，则为定值，且有=．结论 128：为双曲线（）的任一弦（不与对称轴平行），若平行于的弦的中点的轨迹为直线，则有==．结论 129：过双曲线（）上任意一点(不是其顶点)作双曲线的切线，则有==．结论 130：双曲线（）及定点，（或），过的弦的端点为，，过，分别作直线的垂线，垂足分别为，，直线与轴相交于，则直线与恒过的中点，且有．结论 131：双曲线（）及定点，（±），过任作一条弦，为双曲线上任一点，连接，，且分别与准线相交于，，则有=．结论 132：双曲线（）及定点，（或），过任作一条弦，为双曲线上任一点，连接，，且分别与直线相交于，，则有=．结论 133：抛物线（）及定点，（），过的弦的端点为，，过，分别作直线的垂线，垂足分别为，，直线与轴相交于，则直线与恒过的中点，且有．结论 134：抛物线（）及定点，（），过任作一条弦，为抛物线上任一点，连接，，分别与准线相交，，则=．结论 135：抛物线（）及定点，（），过任作一条弦，为抛物线上任一点，连，，分别与直线相交，，则=．结论 136：过抛物线（）的焦点（，0）的弦（焦点弦）与抛物线相交于，，过作直线与轴平行，且交准线于，则直线必过原点（即其准线与轴交点与焦点的线段的中点）．结论 137：为椭圆（）的焦点的弦，其相应的准线与轴交点为，过，作轴的平行线与其相应的准线分别相交于，，则直线，均过线段的中点．结论 138：为双曲线（）的焦点的弦，其相应的准线与轴交点为，过，作轴的平行线与其相应的准线分别相交于，，则直线，均过线段的中点．结论 139：过圆锥曲线（可以是非标准状态下）焦点弦的一个端点向其相应的准线作垂线，垂足与另一个端点的连线必经过焦点到相应的准线的垂线段的中点．结论 140：AB为垂直于椭圆长轴上的动弦，其准线与轴相交于，则直线AF与BQ（或直线BF与AQ）的交点M必在该椭圆上．结论 141：AB为垂直于双曲线实轴的动弦，其准线与轴相交于，则直线 AF 与 BQ（直线 BF 与 AQ）的交点 M 也恒在该双曲线上．结论142：AB为垂直于抛物线对称轴的动弦，其准线与轴相交于，则直线AF与BQ（直线BF与AQ）的交点M也恒在该抛物线上．结论 143：AB为垂直于圆锥曲线的长轴（椭圆）（或实轴（双曲线）或对称轴（抛物线））的动弦，其准线与轴相交于，则直线AF与BQ（直线BF与AQ）的交点M也恒在该圆锥曲线上．结论 144：圆锥曲线的焦点弦AM（不为通径，若双曲线则为单支弦），则在x轴上有且只有一点 Q 使．结论 145：过F任作圆锥曲线的一条弦AB（若是双曲线则为单支弦），分别过A B 作准线l的垂线（是其相应准线与轴的交点），垂足为，则直线与直线都经过QF 的中点 K，即及三点共线．结论 146：若AM、BM是圆锥曲线过点F且关于长轴（椭圆）对称的两条动弦(或实轴（双曲线）或对称轴（抛物线）)，如图 5，则四线共点于K．结论 147：，分别为椭圆（）的右顶点和左顶点，为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则以线段为直径的圆必过二个定点，且椭圆外定点为（，0）及椭圆内定点为（，0）．结论 148：，分别为双曲线（）的右顶点和左顶点，为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线（）于，，则以线段为直径的圆必过二个定点，且双曲线内定点为（，0）及双曲线外定点为（，0）．结论 149：过直线（）上但在椭圆（）外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，，则直线必过定点，且有．结论 150：过直线（）上但在双曲线（）外（即双曲线中心所在区域）一点向双曲线引两条切线，切点分别为，，则直线必过定点，且有．结论 151：过直线（）上但在抛物线（）外（即抛物线准线所在区域）一点向抛物线引两条切线，切点分别为，，则直线必过定点，且有．结论 152：设点是圆锥曲线的准线上一点（不在双曲线的渐近线上），过点向圆锥曲线引两条切线，切点分别为，，则直线必过准线对应的焦点，且⊥．结论 153：过直线上但在椭圆（）外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，，则直线必过定点．结论 154：过直线上但在双曲线（）外（即双曲线中心所在区域）一点向双曲线引两条切线，切点分别为，，则直线必过定点．结论 155：过直线（）上但在抛物线（）外（即抛物线准线所在区域）一点向抛物线引两条切线，切点分别为，，则直线必过定点．结论 156：，是椭圆（）的左右顶点，点是直线（，）上的一个动点（不在椭圆上），直线及分别与椭圆相交于，，则直线必与轴相交于定点．结论 157：，是在双曲线（）的顶点，点是直线（，）上的一个动点（不在双曲线上），直线及分别与双曲线相交于，，则直线必与轴相交于定点．结论 158：，是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若直线过定点（，0），则⊥，且，的横坐标之积及纵坐标之积均为定值．结论 159：，是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若⊥，则直线必过定点（，0），且，的横坐标之积及纵坐标之积均为定值．结论 160：，是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若⊥，过作⊥，则动点的轨迹方程为（）．结论161：，是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若⊥，则=．结论 162：过抛物线（）上任一点（，）作两条弦，，则⊥的充要条件是直线过定点（，）．结论 163：过抛物线（）上任一点（，）作两条弦，，则=（）的充要条件是直线过定点（，）．结论 164：过椭圆（）上任一点（，）作两条弦，，则⊥的充要条件是直线过定点（，）．特别地，（1）当为左、右顶点时，即=，=0 时，⊥的充要条件是直线过定点（，）．（2）当为上、下顶点时，即=0，=时，⊥的充要条件是直线过定点（0，）．结论 165：过双曲线（，）上任一点（，）作两条弦，，则⊥的充要条件是直线过定点（，）．特别地，当为左、右顶点时，即=，=0 时，⊥的充要条件是直线过定点（，0）．结论 166：过二次曲线：（，，，，为常数，）上任一点（，）作两条弦，，若⊥，则直线恒过定点．值得注意的是：在结论 166 中（1）令，，，就是结论159；（2）令，，就是结论162；（3）令，，就得到结论164；（4）令，，就得到结论165．结论 167：，是椭圆（）上不同的两个动点，若⊥，则+=．结论 168：，是椭圆（）上不同的两个动点，若⊥，则有+=，+=．结论 169：，是双曲线（）上不同的两个动点（在同一支上），若⊥，则有+=．结论 170：在抛物线（）的对称轴上存在一个定点，使得过该点的任意弦恒有．结论 171：在椭圆（）的长轴上存在定点，使得过该点的任意弦恒有= ．结论 172：在双曲线（）的实轴上存在定点，使得过该点的任意弦恒有= ．结论 173：过椭圆（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，，与轴相交于，若，，则为定值，且．结论 174：过双曲线（）的焦点作一条直线与双曲线相交于，，与轴相交于，若，，则为定值，且．结论 175：过抛物线（）的焦点作一条直线与抛物线相交于，，与轴相交于，若，，则为定值，且．结论 176：过椭圆（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，，与相应准线相交于，若，，则为定值，且．结论 177：过双曲线（）的焦点作一条直线与双曲线相交于，，与相应准线相交于，若，，则为定值，且．结论 178：过抛物线（）的焦点作一条直线与抛物线相交于，，与准线相交于，若，，则为定值，且．结论 179：是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线，分别交轴于，，若，，则为定值，且．结论 180：是垂直双曲线（）实轴的动弦，是双曲线上异于顶点的动点，直线，分别交轴于，，若，，则为定值，且．结论 181：是垂直抛物线（）对称轴的动弦，是抛物线上异于顶点的动点，直线，分别交轴于，，若，，则为定值，且．结论 182：是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点。
有关圆锥曲线地经典结论
一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+.二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
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圆 锥 曲 线 常 用 结 论 整 理椭圆问题小结论：1.与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++2.与椭圆22221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为()2222,0x y a b λλ+=>或()2222,0x y b aλλ+=> 3.（中点弦结论）直线l 与椭圆22221x y a b+=相交与()()1122,y ,,A x B x y 两点，其中点(),P x y 为线段ＡＢ的中点，则有：22AB OPb K K a⋅=-；若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+ 若椭圆方程为22221y x a b +=时，22AB OP a K K b⋅=-；4.（切线结论）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =-； 5.（切点弦结论）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.6. 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PB b K K a=-7.（焦点弦结论）设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122||=tan 2PF F P S c y b θ∆=.(3)当P 点位于短轴顶点处12F PF θ∠=最大。
10.椭圆的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.11.过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb x k a y =（常数）. 拓展：过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率之和为定值的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向，即斜率为定值。
14.O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥. （1）22221111||||OP OQ a b +=+; （2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.15.若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,则2112a mnb+=双曲线小结论1.（1）与22221x y a b-=有相同焦点的双曲线方程为()2222221,0,0,0x y a b a bλλλλλ-=≠->+>-+ （2）与22221x y a b-=有相同焦点的椭圆方程为：()2222221,0,0x y a b a bλλλλλ+=≠+>->+-（3）与22221x y a b+=有相同焦点的双曲线方程为：()2222221,0,0,0x y a b a bλλλλλ-=≠->->-- （4）与22221x y a b-=有相同离心率的双曲线方程为：①焦点在x 轴上时：()2222,0,1x y a b λλλ-=>≠②焦点在y 轴上时：()2222,0y x a bλλ-=>（5）与22221x y a b-=有相同的渐近线方程为：()2222,0,1x y a b λλλ-=≠≠；2.（中点弦结论）直线y kx m =+与椭圆22221x y a b+=相交于()()1122,,,A x y B x y ，其中点(),P x y 为线段AB 的中点，则22AB OPb K K a⋅=，若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+若双曲线的焦点在y 轴上时，22AB OP a K K b⋅=。
3.（焦点三角形结论）设P 点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2). 122tan 2PF F b S θ∆=4.AB 是双曲线22221x y a b-=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=，即2020AB b x K a y =。
5. 双曲线的方程为22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），过原点的直线交双曲线于,A B 两点，P点是双曲线上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PB b K K a=6.（切线结论） 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=上，则（1）以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =；（2）过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 7.（切点弦结论）若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.8. 双曲线的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.9.过双曲线上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb x k a y =-（常数）.拓展：过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率之和为定值的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向，即斜率为定值。
10. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为ab 22,11.双曲线焦点到渐近线的距离总是b .顶点到渐近线的距离为ab c12.双曲线任意一点到两渐近线的距离之积为定值222a b c23. 若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==, ,AB 交在同支时,2112am n b +=, AB 交在两支时,2112am n b-= (设m n <)抛物线小结论1抛物线的通径长为2P ，弦的端点坐标为,2P A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭和,2P B P ⎛⎫⎪⎝⎭，设准线与x 轴的交点为,02P E ⎛⎫-⎪⎝⎭，则1,1,0AE BE AE BE K K K K ==-+=，1AE BE K K ⋅=-， 2.设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则（1）.221212,;4p x x y y p ==- 234OA OB p ⋅=-；（2）12,21cos 21cos p p p pAF x BF x θθ=+==+=-+ （3）1222;sin pAB x x p θ=++=（4）112||||FA FB P+=； （5）211sin 222sin AOBF p S OA OB AOB OF h θ∆=∠=⋅⋅=； （6）AO 的延长线与准线相交于点C ，则CB x 轴；若经过点B 向准线作垂线，交准线于点C ，则,,A O C 三点共线；（7）过点,A B 分别作准线的垂线，垂足分别为,D C ，则以CD 为直径的圆与AB 相切于点F ，则CF DF ⊥。
（8）以AB 为直径的圆与准线相切，以()AF BF 或为直径的圆与y 轴相切； （9）焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为2π；（10）如图所示，以,A B 两点为切点引抛物线的两条切线，两条切线交于一点M ，则有：（1）M 点必在准线上；（2）设线段AB 的中点为N ，则//MN x 轴，即12M 2y y y +=；（3）MF AB ⊥ 3.（切线结论）以A 为切点的切线斜率为1py ，切线方程为()11y y p x x =+（切点弦结论）过A 作抛物线的两条切线，切点为A,B,则切点弦AB 的直线方程为()11y y p x x =+4.已知抛物线方程为22(0)y px p =>，定点M ()(),00m m ≠，直线l 过点M 交抛物线于A ，B 两点，1122(,)(,)A x y B x y 、，则有21212,2x x m y y pm ==- ； 5.（中点弦结论）已知A ，B 是抛物线22(0)y px p =>两点，且直线AB 不垂直于x 轴，则有：()122AB p p K y AB y y y ==+中中为线段中点纵坐标 6.抛物线y 2=2px(p>0)内接直角三角形OAB 的性质： ①； ②恒过定点；③中点轨迹方程：；④，则轨迹方程为：；⑤.7.抛物线y 2=2px(p>0)，对称轴上一定点，则： ①当时，顶点到点A 距离最小，最小值为；②当时，抛物线上有关于轴对称的两点到点A 距离最小，最小值为.8. 抛物线y 2=2px(p>0)与直线y kx b =+相交于()()1122,,,A x y B x y 且该直线与y 轴交于点()30,C y ，则有123111y y y +=2212214,4P y y P x x -==AB l )0,2(p B A ,)2(2p x p y -=AB OM ⊥M 222)(p y p x =+-2min 4)(p S AOB =∆)0,(a A p a ≤<0a p a >x 22p ap -。