圆锥曲线常用结论整理
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圆 锥 曲 线 常 用 结 论 整 理
椭圆问题小结论：
1.与椭圆22
221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++
2.与椭圆22
221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为()2222,0x y a b λλ+=>
或()22
22,0x y b a
λλ+=> 3.（中点弦结论）直线l 与椭圆22
221x y a b
+=相交与()()1122,y ,,A x B x y 两点，其中点
(),P x y 为线段ＡＢ的中点，则有：2
2AB OP
b K K a
⋅=-；若000(,)P x y 在椭圆
22
221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b
+=+ 若椭圆方程为22221y x a b +=时，2
2AB OP a K K b
⋅=-；
4.（切线结论）若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是
00221x x y y a b +=.以000(,)P x y 为切点的切线斜率为20
20
b x k a y =-； 5.（切点弦结论）若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为
P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b
+=.
6. 椭圆的方程为22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆
上异于,A B 两点的任一点，则有2
2PA PB b K K a
=-
7.（焦点弦结论）设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，
则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122
||=tan 2
PF F P S c y b θ∆=.(3)当P 点位于短轴顶点处
12F PF θ∠=最大。
10.椭圆的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2
交点的轨迹方程是22
221x y a b
-=.
11.过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且20
20
BC
b x k a y =（常数）. 拓展：过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率之和为定值的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向，即斜率为定值。
14.O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥. （1）
2222
1111
||||OP OQ a b +=+
; （2）|OP|2
+|OQ|2
的最大值为22
224a b a b +;
（3）OPQ S ∆的最小值是22
22
a b a b +.
15.若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,则2
112a m
n
b
+=
双曲线小结论
1.（1）与22
221x y a b
-=有相同焦点的双曲线方程为
()2222
22
1,0,0,0x y a b a b
λλλλλ-=≠->+>-+ （2）与22
221x y a b
-=有相同焦点的椭圆方程为：
()2222
22
1,0,0x y a b a b
λλλλλ+=≠+>->+-
（3）与22
221x y a b
+=有相同焦点的双曲线方程为：
()2222
22
1,0,0,0x y a b a b
λλλλλ-=≠->->-- （4）与22
221x y a b
-=有相同离心率的双曲线方程为：
①焦点在x 轴上时：()22
22,0,1x y a b λλλ-=>≠
②焦点在y 轴上时：()22
22,0y x a b
λλ-=>
（5）与22
221x y a b
-=有相同的渐近线方程为：()2222,0,1x y a b λλλ-=≠≠；
2.（中点弦结论）直线y kx m =+与椭圆22
221x y a b
+=相交于()()1122,,,A x y B x y ，其中
点(),P x y 为线段AB 的中点，则22AB OP
b K K a
⋅=，若000(,)P x y 在椭圆22
221
x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22
00002222x x y y x y a b a b
+=+
若双曲线的焦点在y 轴上时，2
2AB OP a K K b
⋅=。
3.（焦点三角形结论）设P 点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记
12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2). 122
tan 2
PF F b S θ∆=
4.AB 是双曲线22
221x y a b
-=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则
2
2OM AB b k k a ⋅=，即2020
AB b x K a y =。
5. 双曲线的方程为22
221x y a b
-=（a ＞0，b ＞0），过原点的直线交双曲线于,A B 两点，P
点是双曲线上异于,A B 两点的任一点，则有2
2PA PB b K K a
=