二、逆函数和复合函数

定义4 如果IX＝｛<x,x>|x∈X｝则称IX：X→X为恒等函 数。
定理5: 设函数f:X→Y，则f＝foIX＝IYof。
定理6: 分析
设函数f:X→Y有逆函数f－1:Y→X，则
f－1of＝IX 且 fof－1＝IY f－1of 和 IX都是函数，只要证明它们： (1)域相同； (2)对应规则相同。 证明见书P154
分析 ： (1)证明f c 是函数
(2)证明f c 是双射
证明见书P152
定义1 设f：X Y 是一双射函数，称 YX 的双射函 数f c为f 的逆函数，记作f -1 。
注意：当且仅当f 是双射函数时逆函数才有意义。
定义2 设函数f:X→Y,g:W→Z,若 f(X)W 则 g o f = {<x,z> | x∈X∧z∈Z∧(y)(y∈Y∧ y = f(x)∧ z =g(y)}称g在函数f 的左边可复合。
fofof= {<1,1>,<2,2>,<3,3>}
例: 设g：{0,1,2}→ N，定义为g(x)= x+1, f:N → N，定义为f(x)= 3x+2，则：
fog (x) ＝ f(g (x)) ＝ 3g(x)＋2＝3(x+1)+2
＝3x＋5 gof (x) 为空（ranf domg）
每一部 分的逆
例： 令f:｛0,1,2｝→｛a,b,c｝，其定义如下图所示：
f 0 1
2
f－1
a0
a
b1
b
c2
c
f－1of 0 1
2
fof－1
a b
c
定理7 若f:X→Y是一一对应的函数（双射函数），则 （f－1）－1 ＝ f。 证明见书P155
定理8 若f:X→Y，g:Y→Z均为双射函数，则 (gof)－1 ＝ f－1 o g－1 证明见书P155
定理3：令gof是一个复合函数，则
都不真
(1)若g 和f 是满射的,则 gof 是满射的；
(2)若g 和f 是入射的,则 gof 是入射的；
(3)若g 和f 是双射的,则 gof 是双射的。
分析 ：f：X → Y g ：Y → Z gof ：X → Z
(1)证明每一个z有x与之对应。
(2)证明不同的x有不同的z与之对应。
(3)由(1) (2)可得。
证明见书P153
定理4*：令gof是复合函数，则 (1)若gof 是满射的,则g是满射的； (2)若gof 是入射的,则f是入射的； (3)若gof 是双射的,则g是满射的，f是入射的。
例： 设R为实数集合,对x∈R有f(x)＝x＋2，g(x)＝x－1，
h(x)＝3x。求gof、hog、ho(gof)与(hog)of。
注意写法与关 系的复合不同。
定理2 两个函数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ复合是一个函数。 分析 ： g o f：X → Z
假如没有 f(X)W则
g o f为空
(1)证明每一个x有z与之对应。
(2)证明每一个x有唯一的z与之对应。
证明见书P153
说明： 在定义2中，当W＝Y时，则函数f:X→Y,g:Y→Z
g o f = {<x,z> | x∈X∧z∈Z∧(y)(y∈Y∧ y = f(x) ∧z =g(y)}称为复合函数或g对f的左复合。
作业P156(3)
4-2逆函数和复合函数
f：A到B 的函数
f ：A 到B 的关系
f c：B 到A 的函数
f c：B 到A 的关系
例：A={a,b,c},B={1,2,3},f={<a,3>,<b,3>,<c,1>}
f c ={<3,a>,<3,b>,<1,c>}
f c不是函数
定理1 设f：X Y 是一双射函数，那么f c 是Y X 的双射函数。
根据复合函数的定义有： gof (x) ＝ g (f (x))
例: 设集合A={1,2,3},A上的两个函数: f={<1,3>,<2,1>,<3,2>}, g={<1,2>,<2,1>,<3,3>}，求函数复合：
fog＝ {<1,1>,<2,3>,<3,2>}
gof= {<1,3>,<2,2>,<3,1>} fof= {<1,2>,<2,3>,<3,1>}
gof ＝ ｛<x , x+1>|x∈R｝ hog ＝ ｛<x, 3x-3>|x∈R｝
ho(gof) ＝｛<x, 3x+3>|x∈R｝
函数的复合是 可结合的
(hog)of ＝｛<x, 3x+3>|x∈R｝
定义3 函数f:X→Y叫做常函数，如果存在某个y0∈Y， 对于每个x∈X都有f(x)= y0，即f(X)=｛y0｝。