层次分析法实例

层次分析法应用实例

问题描述：通讯交流在当今社会显得尤其重要，手机便是一个例子，现在每个人手里都有至少一部手机。但如今生产手机的厂家越来越多，品种五花八门，如何选购一款适合自己的手机这个问题困扰了许多人。

目标：选购一款合适的手机

准则：选择手机的标准大体可以分成四个：实用性，功能性，外观，价格。

方案：由于手机厂家有几十家，我们不妨可以将其归类：○1欧美（iphone）；○2亚洲（索爱）；○3国产（华为）.

解决步骤：

1.建立递阶层次结构模型

图1 选购手机层次结构图

2.设置标度

人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。

为了便于将比较判断定量化，引入1～9比率标度方法，规定用1、3、5、7、9

分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。

注：aij表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系：

aij=1/aji ；aii=1； i，j=1，2，…，n

显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。

3.构造判断矩阵

A B1B2B3B4

B11351

B2 1/313 1/3

B3 1/5 1/31 1/5

B41351

表1 判断矩阵A—B

B1C1C2C3

C1 1 1/3 1/5

C2 3 1 1/3

C3 5 3 1

表2 判断矩阵B1—C

B2 C1

C2

C3

C1 1 3 3 C2 1/3 1 1 C3

1/3

1

1

表3 判断矩阵B2—C

B3 C1 C2 C3 C1 1 3 6 C2 1/3 1 4 C3

1/6

1/4

1

表4 判断矩阵B3—C

B4 C1 C2 C3 C1 1 1/4 1/6 C2 4 1 1/3 C3

6

3

1

表5 判断矩阵B4—C

4.计算各判断矩阵的特征值，特征向量和一致性检验 用求和发计算特征值：

○1将判断矩阵A 按列归一化（即列元素之和为1）：bij= aij /Σaij； ○2将归一化的矩阵按行求和：ci=Σbij （i=1，2，3….n）；

○3将ci 归一化：得到特征向量W=（w1，w2，…wn ）T ，wi=ci /Σci ， W 即为A 的特征向量的近似值； ○4求特征向量W 对应的最大特征值：

1).1

5

3

1

5

1131113111531

=

A ，按列归一化后为

38

15145229381538

314

122138

3385143223539

151452293815

2).按行求和并归一化后得()

T

389.0069

.0153

.0389

.0=W

3).计算特征根：()T

AW 389.0069.0153.0389.01

5

3

1

5

113113131311

531

=

582.1389.0*1069.0*5153.0*3389.0*11=+++=AW ，同理有

619.02=AW ，275.0AW 3=，582.1AW 4=

4).计算最大特征根：

()044.4389

.0*4582

.1069.0*4275.0153.0*4619.0389.0*4582.1AW 1

max ∑

==+++=

=n

i i

i

nW λ

5).进行一致性检验：

015

.01

44

044.41

n n

..max =--=

--=

λI C 查同阶平均随机一致性指针（表6所示）知R.I=0.89，（一般认为CI<0.1、 CR<0.1时，判断矩阵的一致性可以接受，否则重新两两进行比较）。

表6 平均随机一致性指针

016.089

.0015

.0R.I.C.I...===

R C <0.1,满足一致性要求。 同理可得剩余判断矩阵的特征根，特征向量，一致性检验。 判断矩阵B1—C ()T

633.0260

.0106

..0=W ，039.3max =λ，1.0033.0C.R.<=

判断矩阵B2---C ()T

2.02.06.0=W ，3max

=λ，0..=R C 判断矩阵B3---C ()T

087.0274.0639.0=W ，054.3max =λ，1.0047.0C.R.<= 判断矩阵B4---C ()T

639.0274

.0087

.0=W ，054.3max =λ，1.0047.0C.R.<=。

5.层次总排序

获得同一层次各要素之间的相对重要度后，就可以自上而下地计算各级要素对总体的综合重要度。设二级共有m个要素c1, c2,…,cm，它们对总值的重要度为w1, w2,…, wm；她的下一层次三级有p1, p2,…,pn共n个要素，令要素pi对cj的重要度（权重）为vij，则三级要素pi的综合重要度为：

∑=

j

ij j

i

v w

W

层次

B1B2B3B4总排序权重

0.3890.1530.0690.389

C10.1060.60.6390.0870.211

C20.260.20.2740.2740.257

C30.6330.20.0870.6390.531

表7 层次总排序表

6.结论

由表7可以看出，三个方案的优劣排序是C3>C2>C1,因此，对于大部分人来说，选购使用且价格便宜的国产华为手机是比较实惠的。

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