矩阵论公式定理总结
矩阵论公式定理总结
定理 2.2.1 数域 P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有
相同的维数。
子空间（略） 定理 2.3.2 两个向量组生成相同子空间的充要条件是它们等价。 定理 2.3.3 dim L(1 , 2 ,, r ) rank (1 , 2 ,, r ) （其中
L(1 , 2 ,, r ) 是由 1 , 2 ,, r 生成的空间）
定理 2.3.4 设 W 是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间，
1 , 2 ,, m 是 W 的一个基， 则这组基向量必定可扩充为线性空间 V 的
基， 即在 V 中必定可找到 n m 个向量 m1 , m 2 ,, n ， 使得 1 , 2 ,, n 是 V 的一个基。此定理通称为基的扩充定理。
行列式的降阶定理 定理 1.6.1 设 A 和 D 分别为 n 阶及 m 阶的方阵，则有
A C A D CA1B ,当A可逆时; D D A BD 1C ,当D可逆时. B
定理 1.6.2 设 A，B，C，D 皆为 n 阶方阵，且满足 AC=CA，则
A C B D AD CB
的系数矩阵
a11 a A 21 a s1 a12 a1n a22 a2 n as 2 asn
的秩 r<n,则方程组必有非有非零解。
定理 1.3.2 n 阶方阵 A 的行列式 A 0 的充要条件 rank(A)<n 定理 1.1.3 矩阵 A 的秩为 r 的充要条件是 A 中至少有一个 r 阶子式
有解的充要条件为 rank ( A) rank ( B) 。其中
a11 a21 A as1 a11 a21 B as1
矩阵论定义定理
第1章线性空间与线性变换线性空间定义1.1 设V是一个非空集合，F是一个数域。
定义两种运算，加法：任意α，β∈V，α+β∈V；数量乘法：任意k∈F，α∈V，kα∈V，并且满足8运算，则称V为数域F上的线性空间，V中元素成为向量定理1.1 线性空间V的性质：V中的零元素唯一；V中任一元素的负元素唯一定义1.2 设V是线性空间，若存在一组线性无关的向量组α1…αn，使空间中任一向量可由它们线性表示，则称向量组为V的一组基。
基所含的向量个数为V 的维数，记为dimV=n定理1.2 n维线性空间中任意n个线性无关的向量构成的向量组都是空间的基定义1.3 设α1…是线性空间的V n(F)的一组基，对于任意β∈V,有β=（α1…）（x1…），则称数x是β在基α1…下的坐标定理1.3 向量组线性相关≡坐标相关定义1.4 α，β为两组基，若满足β=αC，则称矩阵C是从基α到基β的过渡矩阵定理1.4 已知β=αC，V中向量A在两组基下的坐标分别为X,Y，则有X=CY定义1.5 V为线性空间，W是V的非空子集合。
若W的元素关于V中加法与数乘向量法运算也构成线性空间，则称W是V的一个子空间定理1.5 设W是线性空间V的非空子集合，则W是V的子空间的充分必要条件是α，β∈W，α+β∈W；k∈F，α∈W，kα∈W零空间：N(A)={X|AX=0}列空间：R(A)=L{A1,A2…}定理1.6 交空间：W1∩W2={α|α∈W1且α∈W2}和空间：W1+W2={α|α=α1+α2，α∈W1，α∈W2}定理1.7 设W1和W2是线性空间V的子空间，则有如下维数公式：DimW1+dimW2 = dim(W1+W2) + dim(W1∩W2)定义1.6 设W1和W2是线性空间V的子空间，W = W1 + W2，如果W1∩W2 = {0},则称W是W1和W2的直和子空间。
记为W = W1⊕W2定理1.8 设W1和W2是V的子空间，W= W1 +W2，则成立以下等价条件：W = W1⊕W2；W中零向量表达式是唯一的；维数公式：dimW = dimW1 + dimW2定义1.7 对数域F上的n维线性空间V，定义一个从V中向量到数域F的二元运算，记为(α,β)，即(α,β)：V→F，如果满足对称性、线性性、正定性，则称(α,β)是V的一个內积，赋予內积的线性空间为內积空间。
矩阵论定理
n j =1 n i=1
|aij |(行范数)
定理 37. ||A||1 = max |aij |(列范数) √ 定理 38. ||A||2 = λmax AH A(谱范数) 定理 39. ||A||m∞ = n ∗ max |aij | 定理 40. ||A||m1 = 定理 41. ||A||m2 =
n i=1 n i=1 n j =1
|aij | |aij |
2
1 2
n j =1
定理 42. ||X ||m∞ = max |Xi | 定理 43. ||X ||m1 = 定理 44. ||X ||m1 = 定理 45. (I − A)
−1 n i=1
|Xi | |Xi |
2
n i=
≤ (1 − ||A||)
矩阵论汇总
笑猫
定理 1. 属于V n 的向量可唯一由一组基x1 ,x2 ,...,xn 线 性表示。 定 理 24. 全 部k阶 子 式 的 最 大 公 因 子 是 行 列 式 因 子。
定 理 25. 相 抵 的 充 分 必 要 条 件 是 有 相 同 的 行 列 式 定理 2. V1 是线性空间V的一个非空子集， V1 是V的 一个子空间的充要条件是：如果x，y∈V1 , 那么x+y∈V1 ; 因子，或者有相同的不变因子。 如果x∈V1 , 那么kx∈V1 。 定理 26. 史密斯标准型的主对角元素是不变因子。 定理 3. V的子空间的交集也是V的子空间。 定理 4. V的子空间的和也是V的子空间。 定理 5. 线性算子满足可加性和齐次性。 定理 6. 一对一的线性算子称为同构算子。 定 理 7. 数 域P上两个有限维线 性 空 间 同 构 的 充 要 条件是两空间的维数相等。 定理 8. 线性算子由基像唯一确定。 定理 9. 存在唯一一个线性算子，将一组基分别映 射为n个向量。 定理 10. 与恒等变换(单位变换)对应的矩阵是单位 矩阵。 定理 11. 线性变换在不同基下的矩阵是相似的，反 之亦然。 定理 12. B=DAC，矩阵A与B之间相抵。 定理 13. B=C T AC,矩阵A与B相合(合同)。 定 理 14. 相 似 矩 阵 具 有 相 同 的 特 征 多 项 式 和 特 征 值。 定理 15. 内积性质：对称性，可加性，齐次性，非 负性。 定理 16. 柯西-施瓦茨不等式:|(x, y )| ≤ |x| |y | 定 理 17. 度 量 矩 阵(格 拉 姆 矩 阵)是 对 称 正 定 矩 阵， 不同基的度量矩阵是相合的。 定理 18. 正交非零向量线性无关(求标准正交基注 意掌握Schmidt正交化)。 定 理 19. 一 组 基 为 标 准 正 交 基 的 充 要 条 件 是 度 量 矩阵为单位矩阵。 定理 20. 正交变换不改变内积的大小(标准正交基 下的矩阵A满足A−1 = At ,A为正交矩阵)。 定 理 21. A是 正 交 矩 阵 的 充 要 条 件： A的 行 或 列 向 量组为标准正交向量组。 定理 22. 掌握初等旋转变换和初等镜像变换。 定理 23. 初等旋转变换是初等反射变换的乘积。 定 理 27. 不 变 因 子 唯 一 确 定 初 等 因 子； 初 等 因 子 和秩唯一确定不变因子。 定 理 28. 所 有 不 变 因 子 的因子构 成 初 等 因 子， 由 初等因子可直接写出若尔当标准型。 定理 29. 矩阵相似的充要条件是特征矩阵相抵。 定理 30. 矩阵A可对角化的充要条件是初等因子全 为一次式。 定理 31. 凯莱哈密顿定理： f(λ)是A的特征多项式， f(A)=0。 定理 32. 最小多项式是最后一个不变因子。 定理 33. A相似于对角矩阵的充要条件是最小多项 式没有重零点。 定理 34. 范数的性质：非负性，齐次性，三角不等 式。 定理 35. 矩阵范数与向量范数相容的定义：||A|| ||X || ≤ ||AX || 定理 36. ||A||∞ = max
矩阵理论知识点整理
欢迎来主页下载---精品文档精品文档三、矩阵的若方标准型及分解λ-矩阵及其标准型定理1 λ-矩阵()λA 可逆的充分必要条件是行列式()λA 是非零常数引理2λ-矩阵()λA =()()n m ij ⨯λa 的左上角元素()λ11a 不为0，并且()λA 中至少有一个元素不能被它整除，那么一定可以找到一个与()λA 等价的()()()nm ij ⨯=λλb B 使得()0b 11≠λ且()λ11b 的次数小于()λ11a 的次数。
引理3任何非零的λ-矩阵()λA =()()nm ij⨯λa 等价于对角阵()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0...0.....d 21λλλr d d ()()()λλλr 21d ,....d ,d 是首项系数为1的多项式，且()()1......3,2,,1,/d 1-=+r i d i i λλ引理4等价的λ-矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式因子推论5 λ-矩阵的施密斯标准型是唯一的由施密斯标准型可以得到行列式因子 推论6两个λ-矩阵等价，当且仅当它们有相同的行列式因子，或者相同的不变因子推论7λ-矩阵()λA 可逆，当且仅当它可以表示为初等矩阵的乘积推论8两个()()λλλB A m 与矩阵的-⨯n 等价当且仅当存在一个m 阶的可逆λ-矩阵()λP 和一个n 阶的λ-矩阵()λQ 使得()()()()λλλλQ A P =B精品文档推论9两个λ-矩阵等价，当且仅当它们有相同的初等因子和相同的秩定理10设λ-矩阵()λA 等价于对角型λ-矩阵()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλn h h .....21h B ，若将()λB 的次数大于1的对角线元素分解为不同的一次因式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按照重复的次数计算）就是()λA 的全部初等因子。
行列式因子不变因子初等因子初等因子被不变因子唯一确定但，只要λ-矩阵()λA 化为对角阵，再将次数大于等于1的对角线元素分解为不同的一次方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的必须重复计算）就为()λA 的全部初等因子，即不必事先知道不变因子，可以直接求得初等因子。
矩阵理论A重点
矩阵理论基本定理与方法特征值的求解1．换位公式 若(){}12,,,p BA λλλλ=，则(){}12,,,,0,0,,0p AB λλλλ=（相差n-p 个零根）2．秩1公式：若()1r A =，即A αβ=则 ①(){}tr(),0,0,,0A A λ=②1A αλα=，即α是1tr()A λ=相应的特征向量。
③0Y β=的n-1个非零解即为0λ=的n-1个特向。
3．平移公式①n n A ⨯与n A cI ±具有相同的特向12,,,n X X X②()(){}12c c,c,,c n n A cI A λλλλλ±=±=±±±Hermite 阵的特征值全为实数，斜Hermite 阵特征值全为纯虚数或零。
许尔定理任一方阵n n A ⨯，存在优阵()1H Q Q Q -=，使得1210Hn Q AQ Q AQ λλλ-⎡⎤⎢⎥*⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦（上三角） 其中(){}12,,,n A λλλλ=为A 的全部特征值，包括重根。
正定阵若A 为Hermite 阵，即HA A =，且对任意的不为零的向量X ，都有()0Hf X X AX =>成立，则A 为正定阵。
等价条件：1200,0,,0H n A A P P λλλ>⇔>>>⇔=Hermite 阵分解定理若H n nA A C ⨯=∈，则存在优阵Q ，使得121H n Q AQ Q AQ λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦求Q 的方法①求根(){}12,,,n A λλλλ=（实根）②求特向12,,,n X X X③对特向进行正交化，单位化，得到()12,,,n Q εεε=（优阵）根与向量的遗传公式方阵n n A ⨯，(){}12,,,n A λλλλ=，特向为12,,,n X X X任意多项式()212p o p f x a a x a x a x =++++，则()212p o p f A a I a A a A a A =++++的特向也是12,,,n X X X相应特征根为()()(){}12,,,n ff f λλλ若A 为优阵，则()f A 也是优阵；若A 为Hermite ，则()f A 也是Hermite （所以运算之前一定要观察矩阵，切勿盲目分解）优阵1．定义：若方阵n n A ⨯ 满足H n A A I =，称A 为优阵 等价判据：1H H n A A I A A -=⇔=⇔列列正交，模为1 半优阵：n p A ⨯满足Hp A A I =，称A 为半优阵 等价判据：列列正交，模为1 2．优阵性质：保内积 ()()AX AY X Y = 保长 AX X =保正交 X Y AX AY ⊥⇒⊥3．向量β在向量α上的投影为()2αβαβαα=许米特正交公式为（减去投影量，剩下正交量）()()()11212211313233122212βααββαββαβαββαββββ==-=--矩阵分解一、m n A ⨯ 高低分解——找出列中的极大无关组（行变法、直接观察） 二、QR 分解1．任一高阵n p A ⨯（列满秩）必有QR 分解n p n p p p A Q R ⨯⨯⨯=，Q 为半优，R 为正线上三角 其中n p n p A Q ⨯⨯−−−−−→许米正交化列向量单位化（半优），HR Q A = 2．方阵A 必存在优阵Q ，使A QR =成立（如果A 列满秩，用上面方法，否则下面方法） 镜面阵：令nC αβ≠∈，且αβ=，内积()()αββα=为实数，则有镜面阵22H XX A I X=-，使得A αβ=，其中X αβ=-。
矩阵论知识点
矩阵论知识点最近考试不断，今天终于告一段落了。
矩阵论我花了将近两个礼拜复习，多少有点感悟，所以赶紧写下来，不然估计到时候又还给老师了，也希望自己的见解对你们也有帮助！！总的来说矩阵论就讲了如下6个知识点：（1）线性空间与线性变换（2）范数理论及其应用（3）矩阵分析及其应用（4）矩阵分解（5）特征值的估计（6）广义逆矩阵1.线性空间与线性变换1.1线性空间首先我们需要知道什么是空间？？空间其实就是向量的集合，而什么是线性空间呢？？线性空间就是满足8条性质的向量集合，这8条性质分别如下:所以矩阵论考试里面如果要你证明一个向量集合是线性空间？？只需要证明集合满足上述8条性质就可以了，该证明的难度在于怎么表示该集合中的向量。
然后对于线性空间中的元素（元素很多），我们肯定不可能通过枚举法将每个元素枚举出来的吧，这样不太现实。
最好的方法就是找到线性空间中的基，通过这些基和坐标我们就可以表示出线性空间中所有的向量。
针对上述想法，我们就应该考虑满足条件基的存在性和唯一性，得到的结果是这样的基是存在的但是不唯一！！当时这里就牵涉到另一个问题，线性空间的基是不唯一的，对于同一个元素在不同基下坐标肯定是不同的！！如果我们知道基与基之间的关系，我们是否可以知道坐标与坐标的关系，这就推导出了下面公式：之后的一个概念就是线性子空间，这个名词我们可以拆开进行理解，子空间说明了该空间是一个线性空间的子集，线性说明这个子空间满足齐次性和叠加性，具体形式如下：最后一个概念是线性子空间的交与和，这和集合的交与和性质差不多，这里我需要重点介绍的直和的概念，直和的概念和集合的并类似，不同的是直和中并的两个集合是不相交的，即两个集合中没有共同元素。
以上就是线性空间中所有的知识点。
1.2线性变换及其矩阵这一节出现一个概念叫做线性变换，记为T，出现线性变换的原因就是对于一个向量我们希望通过某种变换将该向量转变成我希望的目标向量，换句话说线性变换就相当于函数，自变量就相当于我们已知的向量，因变量就是我们的目标向量，这样应该好理解点。
线性代数重要公式定理大全
线性代数重要公式定理大全线性代数是数学中的一个重要分支，它研究矩阵、向量、线性方程组等基本概念和性质，并运用线性代数的理论和方法解决实际问题。
在学习线性代数时，了解一些重要的公式和定理，不仅可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的知识，还能为进一步学习和研究提供基础。
在线性代数中，有许多公式和定理与行列式、矩阵、向量、线性变换和特征值等相关。
下面我将介绍一些重要的公式和定理，希望对你的学习有所帮助。
一、行列式的公式和定理1. 行列式的定义：设有n阶方阵A，它的行列式记作，A，或det(A)，定义为：A，=a₁₁A₁₁-a₁₂A₁₂+...+(-1)^(1+n)a₁ₙA₁其中，a₁₁，a₁₂，...，a₁ₙ分别是矩阵第一行元素，A₁₁，A₁₂，...，A₁ₙ是矩阵去掉第一行和第一列的余子式。
2.行列式的性质：（1）行互换改变行列式的符号，列互换改变行列式的符号。
（2）行列式相邻行（列）对换，行列式的值不变。
（3）行列式其中一行（列）中的各项都乘以同一个数k，行列式的值也乘以k。
（4）互换行列式的两行（列），行列式的值不变。
（5）若行列式的行（列）的元素都是0，那么行列式的值为0。
（6）行列式的其中一行（列）的元素都是两数之和，那么行列式的值等于两个行列式的值之和。
3.行列式的计算：（1）按第一行展开计算行列式：将行列式的第一行元素与其所对应的代数余子式相乘，然后加上符号，得到行列式的值。
（2）按第一列展开计算行列式：将行列式的第一列元素与其所对应的代数余子式相乘，然后加上符号，得到行列式的值。
4.行列式的性质定理：（1）拉普拉斯定理：行列式等于它的每一行（列）的元素与其所对应的代数余子式的乘积之和。
（2）行（列）对阵定理：行列式的值等于它的转置矩阵的值。
（3）行列式的转置等于行列式的值不变。
二、矩阵的公式和定理1.矩阵的定义：将一个复数域上的m行n列数排成一个长方形，并按照一定的顺序进行排列，这个排列称为一个m×n矩阵，其中m是矩阵的行数，n是矩阵的列数。
矩阵论-A+的几种求法
54
1
32
234 130
34
75 43 182 53
33
21
78
15
2)因B列满秩，B+
=(BH B) 1 BH
=
(1,
3)
3 1
1
(1,
3)
1 10
(1,
3).
二、奇异值分解求A+
定理2：设A
Crmn，奇异值分解为A=U
Sr 0
0 0
V
H，其中
Sr diag{1, , n}，i >0,1 i r,则
1
1
=tr
0
nm
2
tr(AH A)
j 1
aij
i 1
, 于是有
0
秩1公式：若r( A) 1,则A+ =
1 2 AH . aij
i, j
A
+
=V
Sr1
0
0
0
U
H
, 此处Sr1
diag{1-1,
, n-1}.
上述定理可简化：
定理3：设A
Crmn，在A奇异值分解A=U
Sr 0
0 0
VH中
令V=(x1, , xr ,xr1, ,xn )=(V1,V2 ).则
A+
=V1
-1 1
V1H AH.
-1 r
利用奇异值分解求A+的简化步骤：
1)求出AH A的r个非零特征值1， , r , i 0;
2)求出AH A对应于特征值1， , r的标准正交特征向量
1, ,r .令V1=(1, ,r );
3)则A+
矩阵论第六章K积及一些常见的矩阵方程
x2 x2
y1 y2
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
=
⎜⎛ ⎜ ⎜⎝
x1 y "
⎟⎞ ⎟
，η
x2 y ⎟⎠
=
⎜⎛ u1v1
⎜ u1v2
⎜ ⎜⎜⎝
u2v1 u2v2
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
=
⎜⎛ ⎜
u1v "
⎟⎞ ⎟
⎜⎝u2v ⎟⎠
x1 y1 = ( a11u1 + a12u2 ) ( b11v1 + b12v2 ) = a11b11u1v1 + a11b12u1v2 + a12b11u2v1 + a12b12u2v2
= A+ ⊗ B+ [ ( A ⊗ B ) ( A+ ⊗ B+ ) ]H = [ AA+ ⊗ BB+ ]H
= ( AA+ )H ⊗ ( BB + )H
= AA+ ⊗ BB + = ( A ⊗ B ) ( A+ ⊗ B+ )
同样有[ ( A+ ⊗ B+ ) ( A ⊗ B ) ]H = ( A+ ⊗ B+ ) ( A ⊗ B )
在于它们的元的表示法不同，C mn 中的元是用列向量形式表出的。由
同构定理易知这两个空间是同构的。于是，适当的取同构映射，就能
故
( A ⊗ B ) ( x(i) ⊗ y( j) ) = [ ( A ⊗ In ) + ( Im ⊗ B ) ] ( x(i) ⊗ y( j) )
=
λ i
(
x(i)
⊗
y( j)
)
+
μ j
(
矩阵论第四章内容总结
h = c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r +h*
10
则Ax = 0 的通解为 x = c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r .
定理：设 m×n 矩阵的秩 r(A) = r，则 n 元齐次线性方程组Ax = 0 的解集 S 的秩 rS = n − r ．
定理：设 Ax = 0 的通解为 x = c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r ，若 x = h* 是 Ax = b
A1中向量的个数称为是A的秩.
定理：设两个向量组
A :1,2 ,L
,r
和B : 1, 2 ,L
,
满足：
s
(1)向量组 A 可由向量组 B 线性表示
(2) r s 则向量组 A 必线性相关。
推论1：设1,2 ,L ,r 可由 1, 2 ,L , s 线性表示， 且 1,2 ,L ,r 线性无关，则 r s.
方程组x11 x22 L xmm 0只有零解
rank1,2, ,m m
即一组线性无关的向量排列成的矩阵的秩恰好就是向量的个数
4
第四章内容总结
7. 向量组线性相关的充要条件是： 至少有一个向量可以由其余向量线性表示。
8. 一个向量组的部分组线性相关，则这个向量组线性相关； 一个向量组线性无关，则任意一个部分组线性无关 。
第四章内容总结
1. 高斯消元法求解线性方程组AX=b;
（ 1）方程组有唯一解 r( A) A~) n
（ 2）方程组有无穷多解 r( A) r( A~) n
（ 3）方程组无解
r( A) r( A~) r( A) 1
矩阵论解题技巧
解题技巧第一章 矩阵的相似变换1.判断矩阵A 是否是正规矩阵，若果是，则求酉矩阵U ，使AU U 1-为对角矩阵。
理论依据：（1）A 酉相似于对角矩阵的充要条件是A 为正规矩阵（即：HH AA A A =）。
（2）Hermite 矩阵（A A H=)，实对称矩阵，对角矩阵等常用矩阵都是正规矩阵。
注：酉矩阵A （H A A=-1，1det =A ），HA ：先转置，再共轭（虚部取反）。
结论：所以判断矩阵A 是否是正规矩阵，只需判断A AH=是否成立，若A A H =成立，则存在酉矩阵U ，使AU U 1-为对角矩阵。
（当矩阵A 中都为实数时，THA A =)解题步骤：（1）由A 为Hermite 矩阵（A AH=)或实对称矩阵，推出A 为正规矩阵。
（2）由()A I -λdet 求得矩阵的特征值i λ，并求出相应的特征向量i p 。
（3）对特征向量先正交化（不同特征值之间的特征向量两两正交，无需正交化。
只有在重根所对应的特征向量之间需要正交化）；然后再单位化（当特征值都不同时只需正交化即可）。
正交化公式：()()量）为重根的另一个特征向为重根的一个特征向量21111222111(,,)(x y x x x x x y x x y -== (4)得酉矩阵U(为单位化之后的向量321,,q q q 组成的矩阵），对角矩阵AU U 1-（为特征值所组成的对角矩阵)。
（注：内积计算公式：()x y y x H=,，尤其注意虚数的计算）2.求解矩阵的最小多项式()λA m 。
理论依据：（1）最小多项式()λA m 包含A 的所有互不相同的特征多项式的因式。
（2）特征多项式必须是零化多项式。
（3）设nn CA ⨯∈，i λλλ ，，2是A 所有互不相同的特征值，则：()()()()t mi mmA m λλλλλλλ---= 2121，其中i m 是A 的标准型J 中含i λ的Jordan 块的最高阶数。
矩阵论的概念与定理
矩阵论的概念与定理
矩阵论是线性代数的重要分支，研究矩阵的性质、运算和定理。
矩阵的概念：矩阵是由一组数排成的矩形阵列，通常用大写字母表示。
矩阵由行和列组成，行数和列数可以不相等。
例如，一个3行2列的矩阵表示为：
A = {{a11, a12},
{a21, a22},
{a31, a32}}
矩阵的运算：矩阵有加法、减法和乘法运算。
- 矩阵的加法：如果两个矩阵的行数和列数相等，它们可以相加。
相加时，对应位置上的元素相加得到结果矩阵。
- 矩阵的减法：与加法类似，对应位置上的元素相减得到结果
矩阵。
- 矩阵的乘法：如果一个矩阵的列数和另一个矩阵的行数相等，它们可以相乘。
矩阵乘法按照一定规则进行，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
矩阵的定理：矩阵论涉及许多重要的定理，以下列举几个常见的：
- 可逆矩阵定理：一个n阶矩阵是可逆的充分必要条件是它的
行列式不为零。
可逆矩阵有唯一的逆矩阵，其乘积为单位矩阵。
- 特征值和特征向量定理：一个n阶矩阵具有n个特征值和n
个线性无关的特征向量。
- 奇异值分解定理：任何一个矩阵都可以分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵，另一个是伴随对角矩阵。
- 矩阵的秩定理：一个矩阵的秩是它包含的非零行的最大数目，也是它包含的非零列的最大数目。
一个m×n的矩阵的秩至多
为min(m,n)。
以上只是矩阵论的一部分概念与定理，它们在数学、工程和科学等领域中都有广泛的应用。
矩阵论—H-L定理
g1 ( x ) cg2 ( x ), c 0
又 g1 ( x ), g2 ( x ) 都是首1多项式, 故
c 1
g1 ( x ) g2 ( x ).
性质2
设
g ( x ) 是矩阵A的最小多项式，则
f ( x ) 零化A
g ( x ) f ( x ).
证：充分性显然，只证必要性 由带余除法， f ( x ) 可表成
1 1 0 例3、求 A 0 1 0 0 0 1
的最小多项式.
解：A的特征多项式为
x 1 1 0 f ( x ) | xE A | 0 x 1 0 ( x 1)3 0 0 x 1
又 A E 0,
( A E )2 A2 2 A E
④
把④的n＋1个式子加起来，即得
0 A a1 A
n
n1
a2 A
n 2
an1 A an E
f ( A) O.
注：设 为有限维线性空间V的线性变换，f ( ) 是
的特征多项式，则 f ( ) 0.
零变换 注意：教材是用若当标准形证明。
1 0 2 8 5 4 2 A 0 1 1 , 2 A 3 A A A 4E . 例1. 设 求 0 1 0
特别地，若 g1 ( x ), g2 ( x ),..., gs ( x ) 两两互素，即
g1 ( x ), g2 ( x ),..., gs ( x ) 1
则A的最小多项式是为 g1 ( x ) g2 ( x )... gs ( x ).
三、简单应用
1. 引理
a 1 a 1 k 级若当块 J
矩阵的性质公式
矩阵的性质公式
矩阵公式是行矩阵、列矩阵：m x n矩阵中，m=1的为行矩阵。
n=1的为列矩阵。
零矩阵：所有元素都为0的m x n矩阵。
方阵：m=n的m x n矩阵。
单位阵：主对角线上都为1,且其余为0。
n阶单位方阵称为E。
对角型矩阵：非对角线上的元素都为0的n阶方阵。
数量矩阵：n阶对角型矩阵对角线上元素相等的矩阵。
定理
定理1设A为一n×n矩阵，则det(A)=det(A)。
证对n采用数学归纳法证明。
显然，因为1×1矩阵是对称的，该结论对n=1是成立的。
假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的，对（k+1)×(k+1)矩阵A，将det(A)按照A的第一行展开，我们有det(A)=adet(M)-adet(M)+-…±adet(M)。
由于M均为k×k矩阵，由归纳假设有此式右端恰是det(A)按照A的第一列的余子式展开。
因此定理2设A为一n×n三角形矩阵。
则A的行列式等于A的对角元素的乘积。
根据定理1，只需证明结论对下三角形矩阵成立。
利用余子式展开和对n的归纳法，容易证明这个结论。
矩阵论-第二讲
i 1 m
定理：设W是线性空间V的一个非空子集，则W是V的 子空间的充要条件是： W对V的加法和数乘运算是封 闭的。
称为子空间W1和W2的和。
定理：设W1和W2是线性空间V的两个子空间，则它 们的交以及它们的和仍然是V的子空间。
定义： 设W1和W2是线性空间V的两个子空间，如果
W 1 W 2 {0}
则称W1+W2为子空间W1和W2的直和，记为 W 1 W 2 。
W 1 {( a,0, b,0) | a, b R} W 2 {( 0, c,0,0) | c R} W 3 {( 0,0, d , e) | d , e R} W 4 {( f ,0,0, g ) | f , g R} 定理：设W1和W2是线性空间V的两个子空间，则W1+W2 是直和的充要条件是：对W1+W2中的任何元素u，分解 式u=x+y是唯一的，其中 x W 1, y W 2 。
（ , （ , , （ 1） 2） n）是W 2 的一组基.
定理： 数域F上的任意两个n维线性空间同构。
推论：数域F上的两个有限维线性空间同构的充要条 件是它们的维数相同。
T { A | S1 A A, A M 22 (R)} 2 { A | S2 A A, A M 22 (R)}
定义： 设W1和W2是线性空间V的两个子空间，
W 1 W 2 { | W 1, W 2}
称为子空间W1和W2的交。
W 1 W 2 { 1 2 | 1 W 1, 2 W 2}
第二讲
矩阵论总结
⟺实对称矩阵：实对称矩阵的特征值都是实数；实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量都是正交的；欧式空间的线性变换是实对称变换⟺该变换对于标准正交基的矩阵是实对称矩阵；实对称矩阵正交相似于对角矩阵；正交矩阵：Q T Q=I或Q−1=Q TQ是正交矩阵⟺它的列向量是两两正交的单位向量；欧式空间的线性变换是正交变换⟺该变换对于变阵正交基的矩阵是正交矩阵；正交矩阵是非奇异的（可逆的）；正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵；两个正交矩阵的乘积仍未正交矩阵；酉矩阵：A H A=AA H=I酉矩阵的逆矩阵也是酉矩阵；两个酉矩阵的乘积还是酉矩阵；Hermite矩阵：A H=AHermite矩阵的特征值都是实数；属于Hermite矩阵的不同特征值的特征向量必定正交；当A是Hermite矩阵时：A2=ρ（A）正规矩阵：A H A=AA H正交矩阵、酉矩阵、对角矩阵、实对称矩阵以及Hermite矩阵都是正规矩阵；A为正规矩阵⟺A酉相似于对角矩阵；A为正规矩阵⟺A正交相似于对角矩阵；A的特征值都是实数：A正交相似于对角矩阵⟺A为正规矩阵；矩阵范数与向量范数的相容性：（１）对于任意给定的矩阵范数，一定有与之相容的向量范数。
（２）对于任意给定的向量范数，一定有矩阵范数与之相容。
（３）一种矩阵范数可以与多种向量范数相容。
（４）多种矩阵范数可以与一种向量范数相容。
（５）并非任意的矩阵范数与任意的向量范数相容。
相似：B=C−1ACV n中的线性变换Ｔ对于V n中的两个基的矩阵：相似相似矩阵有相同的迹任意ｎ阶矩阵（方阵）与三角矩阵相似任意ｎ阶矩阵（方阵）与Jordan标准形矩阵相似ｎ阶矩阵与对角矩阵相似⟺Ａ有ｎ个线性无关的特征向量实对称矩阵正交相似于对角矩阵充要条件：ｎ阶矩阵与对角矩阵相似⟺Ａ有ｎ个线性无关的特征向量。
矩阵公式大全
矩阵公式大全
矩阵公式大全，是一个囊括数学相关的矩阵公式的集合。
这个大全涵盖了许多常用的数学公式，如矩阵相加减乘除、逆矩阵、行列式等。
首先，以矩阵相加减乘除为例，当你有两个相同大小的矩阵A和B时，可以完成以下操作：
A +
B = C
A -
B = D
A x
B = E
A /
B = F
其中，C、 D、 E 与 F 都是矩阵。
矩阵相乘需要满足乘方定理，即，矩阵A的列数=矩阵B的行数，此时，矩阵A与矩阵B可以通过相乘的方法实现相互结合，而矩阵E就是这两个矩阵的乘积。
其次，对于矩阵的逆运算，如果A是非奇异矩阵，则可以有一个逆矩阵A-1使得两者能够相乘，完成以下等式：AA-1 = A-1A = I，其中I为单位矩阵。
最后，行列式也是一种常用的矩阵计算公式，公式如下：
用 detA表示A矩阵的行列式，行列式可以用来计算A矩阵的最终结果。
这也是一个非常强大的矩阵计算方法。
以上就是囊括数学相关的矩阵公式的大全的引言，大家可以根据自己的实际情况，选择正确的矩阵公式进行计算，为各种数学问题求出正确解答。
矩阵的总结知识点
矩阵的总结知识点一、矩阵的基本概念1. 矩阵的定义矩阵是一个按照矩形排列的数学对象。
矩阵的概念最早出现在线性代数理论中，它是由m行n列的数字排成的矩形阵列。
通常表示为一个大写字母，比如A，而矩阵中的元素通常用小写字母表示，比如a_ij，表示在第i行第j列的元素。
2. 矩阵的类型根据矩阵的形状和性质不同，可以将矩阵分为多种类型，比如方阵、对称矩阵、对角矩阵、三角矩阵等。
方阵是指行数和列数相等的矩阵，对称矩阵是指矩阵关于主对角线对称，对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其他元素都为零，而三角矩阵是指上三角或下三角矩阵。
3. 矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵的加法、减法、数乘、矩阵的乘法等。
其中，矩阵的加法和减法要求相加的矩阵具有相同的形状，即行数和列数相同；而矩阵的数乘是指矩阵中的每个元素都乘以一个标量；矩阵的乘法是指矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，可以进行矩阵乘法运算。
4. 矩阵的转置和逆矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列对调得到一个新的矩阵，记作A^T。
而逆矩阵是指如果一个矩阵A存在逆矩阵A^(-1)，使得A*A^(-1)=I，其中I是单位矩阵，则称矩阵A可逆，否则称矩阵A为奇异矩阵。
二、矩阵的应用1. 线性方程组的求解矩阵可以用来表示和求解线性方程组，线性方程组可以表示成AX=B的形式，其中A是系数矩阵，X是未知数矩阵，B是常数矩阵。
通过矩阵的基本变换和行列式的计算，可以求解线性方程组的解。
2. 数据处理和分析在数据处理和分析领域，矩阵可以用来表示和处理大规模的数据集。
比如，在机器学习算法中，可以通过矩阵的运算和矩阵分解来进行数据的降维和特征的提取。
3. 控制理论在控制理论中，矩阵可以用来描述线性系统的状态方程和控制方程，通过对状态矩阵和控制矩阵的计算和分析，可以得到系统的稳定性和控制性能。
4. 计算机图形学在计算机图形学中，矩阵可以用来描述和处理图形的旋转、平移、缩放等变换，通过矩阵的运算和矩阵乘法，可以实现图形的变换和动画效果。
线代拉普拉斯定理展开
线代拉普拉斯定理展开线性代数中的拉普拉斯定理是一条非常常用的公式，它可以帮助我们把行列式的求值转化为对子行列式的求和，从而简化计算。
在本文中，我们将详细介绍拉普拉斯定理的公式及其应用。
在矩阵论中，行列式是矩阵的一种测度，它可以帮助我们判断矩阵的奇异性和求解线性方程组。
对于一个 n 阶方阵 A，它的行列式可以表示为：det(A) = ∑(-1)^i+j * a_ij * M_ij其中，a_ij 表示矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素，M_ij 表示由除去第 i 行第 j 列元素后所得的 n-1 阶子矩阵的行列式，即 M_ij = det(A_ij)，其中 A_ij 表示由矩阵 A 删去第 i 行第 j 列元素后所得的 (n-1) 阶子矩阵。
然而，通过这种方式来计算行列式的值十分繁琐，因此我们可以采用拉普拉斯展开的方法来简化计算。
具体来说，用 A 的任意一行或一列来展开行列式，得到：det(A) = ∑(-1)^i+j * a_ij * det(A_ij)这个公式就是拉普拉斯定理，其中 a_ij 表示 A 的第 i 行第 j列元素，A_ij 表示由矩阵 A 删去第 i 行第 j 列元素后所得的 (n-1) 阶子矩阵。
通过拉普拉斯定理，我们可以将一个 n 阶矩阵的行列式计算转化为对 n 个 (n-1) 阶子矩阵的行列式进行计算。
这样一来，我们就可以将行列式计算问题转化为更小规模的子问题，从而方便计算。
此外，拉普拉斯定理还可以帮助我们判断矩阵的奇异性和求解线性方程组，因此它是线性代数中不可或缺的工具。
需要注意的是，拉普拉斯展开方式并不是唯一的，我们完全可以选择矩阵的其他行或列作为展开方式。
而且，在计算行列式值的过程中，我们还可以采用消元等方法进行化简。
综上所述，线性代数中的拉普拉斯定理是一条十分重要的公式，它可以帮助我们简化行列式的计算，并在求解线性方程组和判断矩阵奇异性时发挥重要作用。
在使用时，我们应根据具体问题灵活选择展开方式，并结合消元等方法进行计算，以得到最终的结果。
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定理 1.5.3 矩阵 A 与 B 等价的充要条件是有初等矩阵
P 1 , , P s , Q1, , Qt
使 A Ps Ps 1 PBQ 1 1Q2 Qt
推论 1.5.3 两个 n m 矩阵 A 与 B 等价的充要条件为存在 n n 可逆阵
定理 1.3.5 设 A 是数域 P 上的 n m 矩阵，B 是数域 P 上的 m s 矩阵，
则
rank ( AB) min rank ( A), rank (B)
即乘积的秩不超过各因子的秩。
定理 1.3.6 设 A 是一个 s n 矩阵，如果 P 是 s 阶可逆方阵，Q 是 n
解的判别定理 定理 1.4.1 线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 as1 x1 as 2 x2 asn xn bs
定理 2.3.4 设 W 是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间，
1 , 2 ,, m 是 W 的一个基， 则这组基向量必定可扩充为线性空间 V 的
基， 即在 V 中必定可找到 n m 个向量 m1 , m 2 ,, n ， 使得 1 , 2 ,, n 是 V 的一个基。此定理通称为基的扩充定理。
（1.1.7）
的系数行列式
a11 D a21 an1 a12 a1n 0 a22 a2 n an 2 ann
则方程组（1.1.7）有唯一解，且 xi Di / D(i 1, 2, n) ，其中 Di 是将 D 中 第 i 列换成（1.1.7）式右端的常数项 b1 , b2 ,, bn 所得的行列式，即
行列式的降阶定理 定理 1.6.1 设 A 和 D 分别为 n 阶及 m 阶的方阵，则有
A C A D CA1B ,当A可逆时; D D A BD 1C ,当D可逆时. B
定理 1.6.2 设 A，B，C，D 皆为 n 阶方阵，且满足 AC=CA，则
A C B D AD CB
定理 1.1.4（克莱姆法则） ：若线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
的系数矩阵
a11 a A 21 a s1 a12 a1n a22 a2 n as 2 asn
的秩 r<n,则方程组必有非有非零解。
定理 1.3.2 n 阶方阵 A 的行列式 A 0 的充要条件 rank(A)<n 定理 1.1.3 矩阵 A 的秩为 r 的充要条件是 A 中至少有一个 r 阶子式
定义 2.2.2 数域 P 上的两个线性空间 V 与 V 称为同构的， 如果由 V 到
V 有一个双射 ，且
1） ( ) ( ) ( ) 2） (k ) k ( ) 其中 , 是 V 中任意向量，k 是 P 中任意数。此时 就称为 V 与 V 的 一个同构映射。
阶可逆方阵，那么
rank ( A) rank ( PA) rank ( AQ) rank ( PAQ)
定义 1.3.5 设 A (aij )nn 是一个 n 阶方阵，A 的主对角元素 的和称为
A 的迹，并记之为 tr ( A) ,即
tr ( A) a11 a22 ann
n1 n2 nm n 。则 rank ( A) rank ( Ai )
i 1 m
定理 1.6.5 设 A 和 D 分别为 n 阶和 m 阶的方阵，则
A B rank ( A) rank ( D CA1B), A可逆时 rank 1 C D rank ( D) rank ( A BD C ), D可逆时
（1.4.5）
的一组解1 ,2 ,,r 称为方程组（1.4.5）的一个基础解系，若 1）1 ,2 ,,r 线性无关； 2）方程组（1.4.5）的任何一个解都能用1 ,2 ,,r 线性表示。
定理 1.4.2 若齐次线性方程组有非零解，则它的基础解系必存在，
且基础解系所含解的个数为 n r ，其中 r 为系数矩阵的秩。
1 2
n
即所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 a1 j1 a2 j2 ...an jn 的代数和，其中每一 项的符合由排列 j1 j 2 ... j n 的奇偶性决定。
n 阶行列式的展开原理： 定义 1.1.2 在 n 阶行列式 D 中，任选 k 行和 k 列（ k n ） ，将其交
叉点上的 k 2 个元素按原来位置排成一个 k 阶行列式 M，称为 D 的一 个 k 阶子式。 在 D 中划去 M 所在之 k 行 k 列后余下的 (n k )2 个元素按 照原来位置排成的 n-k 阶行列式 M ，称为 M 的余子式。
定理 2.2.1 数域 P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有
相同的维数。
子空间（略） 定理 2.3.2 两个向量组生成相同子空间的充要条件是它们等价。 定理 2.3.3 dim L(1 , 2 ,, r ) rank (1 , 2 ,, r ) （其中
L(1 , 2 ,, r ) 是由 1 , 2 ,, r 生成的空间）
矩阵论
1．行列式的相关知识： 1.1 定义：由 n2 个数 aij (i, j 1, 2,..., n) 组成的一个 n 阶行列式为
a11 D a21 an1
a12
a1n
j1 j2 ... jn
a22 a2 n an 2 ann
(1) ( j1 j2 ... jn ) a1 j a2 j ...an j
, , n 的过渡矩阵 则矩阵 A 称为由基 1 , 2 ,, n 到 1, 2
还有坐标变换公式
x1 a11 x2 a21 xn an1
a11 x1 x2 a21 an1 xn
矩阵。
定理 1.5.1 对一个 n m 矩阵 A 作一次初等行变换，相当于对 A 左乘
一个相应的 n n 初等矩阵。对 A 作一次初等列变换，则相当于对 A 右 乘一个相应的 m m 初等矩阵。
定义 1.5.3 矩阵 A 与 B 称为等价的，若 B 可由 A 经过一系列初等变
换得到。
定理 1.5.2 初等变换不改变矩阵的秩。 推论 1.5.1
定义 1.1.3 设 D 的 k 阶子式 M 在 D 中所在行列指标分别是 i1 , i2 ,..., ik
和 j1 , j2 ,..., jk ，则称
A (1)(i1 i2 ik ) ( j1 j2 jk ) M
为 M 的代数余子式，其中 M 为 M 的余子式。 定理 1.1.1 （拉普拉斯定理） 设在行列式 D 中任意取定 k 行 (1 k n 1) ， 则由这 k 行元素所组成的一切 k 阶子式与其对应的代数余子式的乘 积之和等于和列式 D。
矩阵的初等变换与初等矩阵 定义 1.5.1 数域 P 上的矩阵的下列三种变换称为初等行变换：
1）以 P 中非零的数乘矩阵的某一行； 2）把矩阵中某一行的倍数加到另一行； 3）互换矩阵中两行的位置。 同理定义初等列变换，统称为初等变换。
定义 1.5.2 单位矩阵 E 经过一次初等变换后所得到的矩阵称为初等
不为零，且其所有的 r+1 阶子式全为零。
定理 1.3.4 设 A，B 是数域 P 上的两个 n 阶方阵，则 AB
阵乘积的行列式等于它的因子行列式的乘积。
A B 即矩
定义 1.3.4 数域 P 上的 n 阶方阵 A 称为非奇异的（可逆矩阵，满
秩矩阵） ，若 A 0 ；否则称为奇异的（不可逆矩阵，不满秩矩阵） 。
系数矩阵 A 与增广矩阵 B 的秩之间只有两种可能，即
rank ( A) rank ( B)
或
r a n( k A ) 1
ran ( k )B
定义 1.4.1 齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n as1 x1 as 2 x2 asn xn 0
a12 a1n x1 a22 a2 n x2 an 2 ann xn
a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
1
x1 x2 xn
定理 1.6.8 设 A 与 B 分别为 s n 和 n m 矩阵，则
rank ( A) rank ( B) n rank ( AB)
线性空间与线性变换
集合 映射 变换 线性空间 基 维数 坐标 （略）
定义 2.2.2 设 1 , 2 ,, n 与 1, 2 ,, n 是 n 维线性空间 V 的两个基，
定义 1.2.4 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量
组的秩。
引理 1.3.1 若齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n as1 x1 as 2 x2 asn xn 0
a11 a1,i 1 b1 a a2,i 1 b2 Di 21 an1 an ,i 1 bn a1,i 1 a2,i 2 a1n a2 n