江苏省2021届高三数学第二次模拟考试试题
2021年江苏省南京市盐城市高考数学二模试卷
2021年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．（5分）设集合A={x|��2＜x＜0}，B={x|��1＜x＜1}，则A∪B= ． 2．（5分）若复数z=（1+mi）（2��i）（i是虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为． 3．（5分）将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是． 4．（5分）如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为．5．（5分）执行如图所示的流程图，则输出的k的值为．6．（5分）设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn．若S3=a2，且S1，S2，S4成等比数列，则a10等于． 7．（5分）如图，正三棱柱ABC��A1B1C1中，AB=4，AA1=6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A��A1EF的体积是．2第1页（共27页）8．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜图象过点（��，��），则φ的值为．）的最小正周期为π，且它的9．（5分）已知f（x）=，不等式f（x）≥��1的解集是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2px（p＞0）的焦点为F，双曲线2��=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别与抛物线交于A、B两点（A，B异于坐标原点）．若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是．11．（5分）在△ABC中，A=120°，AB=4．若点D在边BC上，且则AC的长为．12．（5分）已知圆O：x+y=1，圆M：（x��a）+（y��a+4）=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为．213．（5分）已知函数f（x）=ax+x��b（a，b均为正数），不等式f（x）≥0的解集记为P，集合Q={x|��2��t＜x＜��2+t}，若对于任意正数t，P∩Q≠?，则��的最大值是． 14．（5分）若存在两个正实数x、y，使得等式x+a（y��2ex）（lny��lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，计90分）．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（14分）已知α为锐角，cos（α+（1）求tan（α+（2）求sin（2α+）的值；）的值．）=．2222=2，AD=，16．（14分）如图，在三棱锥P��ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．（1）求证：PB∥平面MNC；第2页（共27页）（2）若AC=BC，求证：PA⊥平面MNC．17．（14分）如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB．问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M：+=1（a＞b＞0）上，若点A（��a，0），B（0，），且=．（1）求椭圆M的离心率；（2）设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点．线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合．①若点P（��3，0），直线l过点（0，��），求直线l的方程；②若直线l过点（0，��1），且与x轴的交点为D．求D点横坐标的取值范围．*19．（16分）对于函数f（x），在给定区间[a，b]内任取n+1（n≥2，n∈N）个数x0，x1，x2，…，xn，使得a=x0＜x1＜x2＜…＜xn��1＜xn=b，记S=|f（xi+1）��f（xi）|．若存在与n及xi（i≤n，i∈N）均无关的正数A，使得S≤A恒成立，则称f（x）在区间[a，b]上具有性质V．（1）若函数f（x）=��2x+1，给定区间为[��1，1]，求S的值；（2）若函数f （x）=，给定区间为[0，2]，求S的最大值；2（3）对于给定的实数k，求证：函数f（x）=klnx��x 在区间[1，e]上具有性质V．第3页（共27页）20．（16分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有an=（��1）Sn+p（p为常数，p≠0）．（1）求p的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设集合An={a2n��1，a2n}，且bn，cn∈An，记数列{nbn}，{ncn}的前n项和分别为Pn，Qn，若b1≠c1，求证：对任意n∈N，Pn≠Qn．三、数学附加题【选做题】在以下四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲] 21．（10分）如图：在Rt∠ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连接AE交⊙O于点F，求证：BE?CE=EF?EA．nn[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）已知a，b是实数，如果矩阵A=（3，4）．（1）求a，b的值．（2）若矩阵A的逆矩阵为B，求B．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρsin（��θ）=，椭圆C的参数方程为（t为参数）．2所对应的变换T把点（2，3）变成点（1）求直线l的直角坐标方程与椭圆C的普通方程；（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．解不等式：|x��2|+x|x+2|＞2．[必做题]第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）甲、乙两人投篮命中的概率为别为与，各自相互独立，现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后，甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E（ξ）．第4页（共27页）26．（10分）设（1��x）=a0+a1x+a2x+…+anx，n∈N，n≥2．（1）设n=11，求|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|的值；（2）设bk=|的值．ak+1（k∈N，k≤n��1），Sm=b0+b1+b2+…+bm（m∈N，m≤n��1），求|n2n*第5页（共27页）感谢您的阅读，祝您生活愉快。
江苏省无锡市2021届新第二次高考模拟考试数学试卷含解析
江苏省无锡市2021届新第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>【答案】C 【解析】 【分析】根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132⋅=，33log log 222+>，即可判断出结果． 【详解】 ∵236a b ==；∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；()()()()2322223211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=，故C 错误；∵()()()22232223log log 2log 2323log 2a b =+++++23232324log log l 23og log 82>+⋅+=⋅，故D 正确故C ． 【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：2a b ab +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题2．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．282【答案】B 【解析】 【分析】将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示， 延长BE 交DF 于A 点，其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =， 所以表面积()3436536246302642S ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+=. 故选B 项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题3．三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，25SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．643π B ．2563π C ．4363π D 2048327π 【答案】B 【解析】由题，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，则根据余弦定理可得2215825872BC =+-⨯⨯⨯= ，ABC 的外接圆圆心2sin 332BC r r B ===三棱锥的外接球的球心到面ABC 的距离15,2d SA == 则外接球的半径()22764533R ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，则该三棱锥的外接球的表面积为225643S R ππ== 点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R 公式是解答的关键． 4．已知(1,3),(2,2),(,1)a b c n ===-，若()a c b -⊥，则n 等于（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】 【分析】先求出(1,4)a c n -=-，再由()a c b -⊥，利用向量数量积等于0，从而求得n . 【详解】由题可知(1,4)a c n -=-，因为()a c b -⊥，所以有()12240n -⨯+⨯=，得5n =， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目.5．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l ∥β”的充分不必要条件． 故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．6．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （c,0）（c ＞0）的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为 ）A ．221205x y -=B ．22125100x y -=C ．221520x y -=D ．221525x y -=【答案】C 【解析】 【分析】由题得ca =b ==222+=a bc ，联立解方程组即可得25a =，220b =，进而得出双曲线方程. 【详解】由题得ce a== ①又该双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，且被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为b == ②又222+=a b c ③ 由①②③可得：25a =，220b =，所以双曲线的标准方程为221520x y -=.故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力.7．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】计算31cossin 332πππ=+=i ei ，得到答案. 【详解】根据题意cos sin ix e x i x =+，故31cossin 3322πππ=+=+i e i ，表示的复数在第一象限. 故选：A . 【点睛】本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.8．已知α22sin αα=，则cos2α等于（ ）A ．23B ．29C ．13-D ．49-【答案】C 【解析】 【分析】22sin αα=可得cos α=，再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可. 【详解】因为cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以cos α=所以221cos22cos 1133αα=-=-=-. 故选：C. 【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题. 9．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ） A ．34-B ．34C ．43-D ．43【答案】C 【解析】 【分析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【详解】因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43a =-. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.10．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，18【答案】A 【解析】 【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数． 【详解】样本容量为：（150+250+400）×30%＝240， ∴抽取的户主对四居室满意的人数为：15024040%18.150250400⨯⨯=++故选A ． 【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（设点A 位于第一象限），过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点1A ，1B ，抛物线C 的准线交x 轴于点K ，若11||2||A KB K =，则直线l 的斜率为 A ．1 B ．2C ．22D 3【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】根据抛物线定义，可得1||||AF AA =，1||||BF BB =， 又11AA FK BB ∥∥，所以11||||2||||A K AF B K BF ==，所以1111||||2||||A K AAB K BB ==， 设1||(0)BB m m =>，则1||2AA m =，则111||||21cos cos ||23AA BB m m AFx BAA AB m m --∠=∠===+，所以22sin AFx ∠=，所以直线l 的斜率tan 22k AFx =∠=C ．12．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是()A 33263cm B 36463cm C 33223cm D 36423cm 【答案】B 【解析】设折成的四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则3h =，故由题设可得12124222a a a +=⨯⇒=所以四棱锥的体积2313646=(42)423V =，应选答案B ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南京市、盐城市届高三年级第二次模拟考试数学试题含附加题纯word解析版
江苏省南京市、盐城市 2021届高三年级第二次模拟考试数学试题2021．3一、填空题〔本大题共 14小题，每题5分，合计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的地点上．〕．．．．．．．．．1．会合A＝xx2k1，k Z，B＝xx(x5)0，那么AIB＝．答案：{1，3}考点：会合交集运算分析：∵会合A＝xx2k1，k Z，B＝xx(x5)0，∴A I B＝{1，3}．2．复数z＝1＋2i，此中i为虚数单位，那么z2的模为．答案：5考点：复数分析：z214i4i234i，∴z25．3．如图是一个算法流程图，假定输出的实数y的值为﹣1，那么输入的实数x的值为．答案：1 4考点：算法与流程图分析：当x0时，log2(2x1)1，解得x 1切合题意，4当x0时，2x1，该等式无解．故x1．44．某校初三年级共有500名女生，为了认识初三女生1分钟“仰卧起坐〞工程训练状况，统计了全部女生1分钟“仰卧起坐〞测试数据(单位：个)，并绘制了以下频次散布直方图，那么1分钟起码能做到30个仰卧起坐的初三女生个．1答案：325 考点：频次散布直方图0.01)分析：x2，∴＋＋0.01)×10×500＝325．5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，那么第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 ．答案：12考点：随机事件的概率 分析：先后取两次共有16种取法，此中第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除有8种，故P ＝81 ．162a6．函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x(0，1]时，f(x)x ，3那么f(a)的值为 ．答案：0考点：函数的奇偶性与周期性分析：当x(0，1]时，f(x)xa，∴f(1)1 a ，33a ，∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(1)f(1)13∵函数f(x)周期为 2，∴f( 1) f(1)，解得a ＝﹣3，∴f( 1)f(1) 0，∴f(a)f(3)f( 3 2)f(1)0．7．假定将函数f(x)sin(2x)的图象沿 x 轴向右平移 ( ＞0)个单位后所得的图象与3f(x)的图象对于x 轴对称，那么的最小值为 ．答案：2考点：三角函数的图像与性质2T分析：由题意知．228．在△ABC中，AB＝25，AC＝5，∠BAC＝90°，那么△ABC绕BC所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为．答案：65考点：圆锥的侧面积分析：有题意可知该几何体是由底面半径为2，母线长分别为25，5的两个圆锥拼成的图形，故表面积＝2(255)65．9．数列a n为等差数列，数列b n为等比数列，知足{a1，a2，a3}＝{b1，b2，b3}＝{a，b，﹣2}，此中a＞0，b＞0，那么a＋b的值为．答案：5考点：等差、等比中项分析：不如令a＞b，那么ab4，2ba2，那么b＝1，a＝4，∴a＋b＝5．10．点P是抛物线x24y上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为(0，﹣1)，那么PFPA 的最小值为．答案：22考点：抛物线的性质分析：令直线l为：y＝﹣1，作PG⊥l于点G，那么PFPG cosAPGcos PAF，PA PA当直线AP且抛物线与点P时，∠PAF最大，此时cos∠PAF最小，即PF最小，PA 令直线AP：y＝kx﹣1，与抛物线联立：x24y，x24kx40，y kx1当(4k)2440，解得k＝±1，进而有∠PAF＝45°，即cos PAF＝2．2 11．x，y为正实数，且xy＋2x＋4y＝41，那么x＋y的最小值为．答案：8考点：根本不等式分析：∵xy＋2x＋4y＝41，∴(x4)(y2)49，∴(x4)(y2)2(x4)(y2)14，当且仅当x＝3，y＝5取“＝〞，∴x＋y≥8，即x＋y的最小值为8．12．在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x m)2y2r2(m＞0)．过原点O且互相垂3直的两条直线 l 1和l 2，此中l 1 与圆C 订交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．假定AB ＝OD ，那么直线 l 1的斜率为 ．25答案：5考点：直线与圆综合分析：作CE ⊥AB 于点E ，那么CE 2BC 2BE 2 BC 21AB 2 BC 2 1OD 24 4r 21(m 2 r 2)5r 2 m 2 ，44由OECD 是矩形，知CE 2＝OD 2，∴5r 2m 2 m 2 r 2，化简得r5 ，4m3即cos ∠OCD ＝CD ＝r 5，tan ∠COB ＝tan ∠OCD ＝25，OCm 352 5．∴直线l 1的斜率为5．在△ 中， 为定长， uuuruuur uuurABC BC AB 2AC ＝3BC ．假定△ABC 的面积的最大值为2，那么13边BC 的长为．答案：2考点：平面向量与解三角形分析：方法一：依据题意作图以下，且令在△ ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，uuur uuuruuur此中C 是AD 中点，E 是BD 中点，那么AB 2AC2AE ，uuuruuur uuuruuur 3uuur3∴AB2AC ＝3BC 可转变为AEBCa ，22 依据三角形中线公式得，AE1 2(AD 2AB 2)BD 2，BC1 2(AB2 BD 2) AD 2，22即3a1 2(4b2 c 2) BD 2 ，a 1 2(c 2 BD 2)4b 2，消BD 2得，2 2211a 2 6b 2 3c 2，作AF ⊥BC 于点F ，设CF ＝x ，那么BF ＝ax ，AF ＝h ，411a 2 6b 2 3c 2 可转变为11a 2 6(x 2 h 2)3[h 22]，ax化简得h 29x 26ax8a 2 a 22a ，，当x3 时，h 取最大值a，即h 的最大值为9∴S max1 aa 2，解得a ＝2，即BC 的长为2． 2方法二：14．函数f(x)e x x b (e 为自然对数的底数，b R)，假定函数g(x)f(f(x)1 )恰有24个零点，那么实数b 的取值范围为．答案：(1，1ln2)2考点：函数与方程分析：∵f(x)e x x b ，∴f(x)e x1，当x ＜0，f (x)＜0，那么f(x)在(，0)上单一递减，当x ＞0，f(x)＞0，那么f(x)在(0，)上单一递加，∴f(x)的最小值为f(0) 1b ，简单知道当1b 0，函数g(x)f(f(x)1)没有零点；2当1b0 ，函数g(x)f(f(x)1)有且仅有两个零点；2要使函数g(x)f(f(x)1)恰有4个零点，一定1b0，即b ＞12此时f(x)恰有2个零点，令这两个零点为t 1，t 2，规定t 1＜0＜t 2，那么f(x)1 ＝t 或t 2，f(x)＝1 t 或 1 t，易知f(x)＝1 t 有两个不相等的2 12 1 2 22 2实根，那么f(x)＝1t 1一定知足有且仅有两个不相等的实根，故1 t 11 b ，即t 112 12b ，由于函数 f(x)在( b ，t 1)上单一递减， 2 2∴f(11 b 11b)f(t 1)0，即e2 ( b)b0，解得bln2， 22251综上所述，1 bln2．2二、解答题〔本大题共 6小题，合计 90分．请在答题纸指定地区 内作答，解允许写出文字．．．．．．．说明，证明过程或演算步骤． 〕 15．〔本题总分值 14分〕如图，三棱锥P —ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ． 〔1〕求证：AC ∥平面PDE ；〔3〕假定PD ＝AC ＝2，PE ＝ 3，求证：平面 PBC ⊥平面ABC ．（ 解：〔1〕∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点，（ DE ∥AC ， （ AC平面PDE ，DE 平面PDE ，∴AC ∥平面PDE（ 2〕∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点， ∴DE1AC12在△PDE 中，DE 2PE 2 PD 24，PE ⊥DE∵平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE I 平面ABC ＝DE ，PE 平面PDE PE ⊥平面ABC PE 平面PBC∴平面PBC ⊥平面ABC16．〔本题总分值14分〕在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且a ＝bcosC ＋csinB ．〔1〕求B 的值；〔2〕设∠BAC 的均分线AD 与边BC 交于点D ，AD ＝17，cosA ＝7 ，求b7 25的值．解：〔1〕由正弦定理得sinA ＝sinBcosC ＋sinCsinB6Sin[﹣π(B ＋C)]＝sinBcosC ＋sinCsinB sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋sinCsinB sinBcosC ＋sinCcosB ＝sinBcosC ＋sinCsinB sinCcosB ＝sinCsinB∵B 、C (0，)，sinB ＞0，sinC ＞0，cosB ＝sinB ，tanB ＝1，由B(0，)， 得B ＝ ．4 2〕记A ＝2 AD 是∠BAC 的角均分线∴∠BAD ＝∠CAD ＝∵cosA ＝7 ，A(0，)，2524∴sinA ＝1 cos2 A ＝25sinC ＝sin(A ＋B)＝17 250∵cosA ＝2cos 2112sin 2 ，A(0，)，22∴sin ＝4，cos＝355∴sin ∠ADC ＝sin(B ＋)＝7210在△ADC 中，由正弦定理得：b AD ， AD sinADC sinCADC=5∴bsinsinC17．〔本题总分值14分〕如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点 A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛参观，从点A 向小岛建三段栈道 AB ，BD ，BE ．湖面上的点B 在线段AC上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，此中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆 C 的优弧〔圆C 上实线局部〕上再修筑栈道?DE ．记∠CBD 为．（ 1〕用表示栈道的总长度f()，并确立sin 的取值范围；（ 2〕求当为什么值时，栈道总长度最短．7解：〔1〕连结CD ，在Rt △CBD 中，CD ＝1，CB ＝1 ，BD ＝ 1，sin tan?( 2)12DEf() 312 2tansin11，1)，当B 与A 重合时，sin，∴sin[33〔2〕∵sin[1，1)，∴cos(0，22 ]，33求得f()cos (2cos1)sin2∴时，即cos1，f()minf() 35323318．〔本题总分值16分〕如图，在平面直角坐标系x 2 y 2 1(a ＞b ＞0)的离心率为1xOy 中，椭圆C ：b 2，且过a 2 2点(0，3)．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕△BMN 是椭圆C 的内接三角形，①假定点B 为椭圆C 的上极点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长；②假定原点 O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．8解：〔1〕由题意得c1 ，b 3，b 2a 2 c 2，解得a ＝2，b 23a 2 椭圆方程为：x 2 y 2143〔2〕①B(0， 3)，O 是△ABC 的垂心，设M(x 0，y 0)(y 0＜0)，那么N(x 0，﹣y 0)知足x2y 0 2 1，OM ⊥BN ，那么有y 0y 03 1，43x 0 x 0解得x 0 2 33，y 04 3377那么MN ＝433，7设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，B(x 0，y 0)，O 是△ABC 的重心，那么x 1x 2x 0，y 1y 2 y 0，那么有(x 1x 2)2(y 1 y 2)212431，那么2x 1x 2 3y 1y 210，I 假定MN 斜率不存在，那么M(﹣1，3 3)，N(﹣1， )，d ＝1，22II 假定MN 斜率存在，那么y kx m ，联立得(4k 23)x 28mkx 4m 2 120，3x 2 4y 21248(4k220，那么x 1 x 28km，x 1x 24m 22 m3) 4k 234k2，3整理得4k 23 4m 2，那么点O 到MN 的距离dm11，当k ＝0时，取d3k 22，14k 429综上，当k ＝0时，d min3 ．219．〔本题总分值16分〕函数f(x)x 3x 2 (a16)x ，g(x)alnx ，aR ．函数h(x)f(x) g(x)x的导函数h(x)在[5，4]上存在零点．2〔1〕务实数 a 的取值范围；〔2〕假定存在实数a ，当x[0，b]时，函数f(x)在x ＝0 时获得最大值，求正实数b 的最大值；〔3〕假定直线l 与曲线y f(x)和yg(x)都相切，且l 在y 轴上的截距为﹣12，务实数a 的值．解：〔1〕由题意，h(x)x 2 x (a16) alnx ，h(x)2x 1a在[5，4]上存在零点，5，4]上有解，ax2即2x 2x a0 在[2x 2x ，2x 2 x [10，28]，因此a 的取值范围是[10，28]． 2〔2〕f(x)3x 2 2x(a 16)，f (0) 0 a 16令f(x)＝0，x 113a4713a 473，x 23，当0＜b ≤x 2时，明显f(x)在x ＝0时取最大值当bx 2时，f(x)在[0，x 2]上单一递减，在 [x 2，b]上单一递加，因此只要f(b) f(0)0，即b 3b 2 (a16)bb 2 b a16，∵a max28，∴b 的最大值为 4，〔3〕设f(x)上切点为(x 1，f(x 1))，f(x)3x 2 2x(a 16) ，可得切线方程为y x 13 x 12 (a 16)x 1[3x 122x 1 (a 16)](x x 1)，点(0，﹣12)在其上，可得(x 12)(2x 123x 1 6) 0，因此x 12设g(x)上切点为(x 2，g(x 2))，g(x)a ，x10可得切线方程为y alnx 2a(xx 2)，点(0，﹣12)在其上，x 2可得12alnx 2 a ，由于公切线，因此 3x 122x 1(a 16)a，将x 12代入，可得24aax 2x 212 alnx 2ax 2 1由 a，因此a 的值为12．a，可得1224 x 2a20．〔本题总分值16分〕无量数列a n 的各项均为正整数，其前 n 项和为S n ，记T n 为数列a n 的前a n 项和，即T n a 1 a 2 Laa n．〔1〕假定数列 a n 为等比数列，且 a 1 1，S 45S 2，求T 3的值；〔2〕假定数列a nT n 2 ，求数列a n为等差数列，且存在独一的正整数n(n ≥2)，使得a n的通项公式；〔3〕假定数列T n 的通项为T nn(n 1)a n 为等差数列．2，求证：数列a 11q2 TS 15；解：〔1〕S 4 5S 234〔2〕由于无量等差数列，因此d ≥0，且a 1 N ，d N ，当d ＝0时，a n 和T n 均为常数，故不存在独一的整数知足条件，舍去；2n1T ni1a iII 当d ≥2时，a n1 2(n1)2n12n 13，舍去a na na 1 n1故d ＝1，T ni1a in(n 1)n(n 1)a 11) 2 2 a 1 a n a 1n 12(a 1 n2(a 1 n 1) 假定a 12，那么没有知足条件的n ，因此a 12，此时 T n n(n 1)n2， n2 211故a n n〔3〕T11，T23，T36a11，a22，a33，又T n T n1a n a n1因此a n n；假定a n n，T n a1a2L a a n a1a2L a n12Ln(n1)n与原命题2矛盾，∴a n n，a n a n11为常数，因此数列a n为等差数列．12。
江苏省2021届高考数学模拟试题(二)(解析版)
江苏省2021届高考数学模拟试题（二）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
参考公式：样本数据12,,,n x x x …的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则2z 的模为_______________.【答案】5【解析】由12z i =+，得()221234z i i =+=-+， 所以25z ==.2．集合{|21,}A x x k k Z ==-∈，{1,2,3,4}B =，则A B =_____.【答案】{1,3}【解析】因为21,k k Z -∈表示为奇数，故A B ={1,3},故答案为：{1,3}3．在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为 ．答对题数4 8 9 10 人数分布1 12 1【答案】522 【解析】根据表中数据，计算平均数为x =15×（4+8+9×2+10）＝8，方差为s 2=15×[（4﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2×2+（10﹣8）2]=225,故答案为：225． 4．某校高一高二高三三个年级数学MT 的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A ＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A 的概率为_____．【答案】0.2【解析】高一高二高三三个年级数学MT 的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，则高一学生抽取：5240240240120⨯=++2， 高二学生抽取：5240240240120⨯=++2， 高三学生抽取：5120240240120⨯=++1， 再从5位同学中选出2名一等奖，基本事件个数n 25C ==10，记A = “两名一等奖来自同一年级”，则事件A 包含的基本事件个数m 2222C C =+=2，∴事件A 的概率为p 21105m n ===． 5．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为1-，则输入的实数x 的值为______________.【答案】41- 【解析】程序的功能是计算()2log 21,02,0x x x y x ⎧+≤=⎨>⎩，若输出的实数y 的值为1-，则当0x ≤时，由()2log 211x +=-得14x =-， 当0x >时，由21x =-，此时无解,故答案为：14-. 6．若将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位后所得的图象与()f x 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为________________. 【答案】2π 【解析】将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位长度，可得()sin 2sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象. 根据图象与()f x 的图象关于x 轴对称，可得si s n in 22323x x πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎭， ∴()221k ϕπ-=+，k Z ∈，即1k =-时，ϕ的最小值为2π. 7．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，11AA =，E 为BC 的中点，则点A 到平面1A DE 的距离是______. 【答案】36 【解析】由题在长方体中，1111211=323A ADE V -=⨯⨯⨯⨯，11A D DE EA ====所以22211A D DE A E =+，所以1DE A E ⊥，112A DE S =△ 设点A 到平面1A DE 的距离为h111=33A A DE V h -=，解得h . 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则789a a a ++=________.【答案】448【解析】6363756S S -=-=，且78996a a a S S ++=-，3S 、63S S -、96S S -成等比数列，即()()263396S S S S S -=-，因此，()2263789963564487S S a a a S S S -++=-===. 9．已知tan α＝2，则cos(24πα+)的值为 ． 【答案】1027- 【解析】cos(24πα+)＝22cos 2cos sin 2sin sin 2sin cos )44ππαααααα-=--＝2222(1tan 2tan )(1222)2(1tan )2(12)10ααα----⨯==-++． 10．已知正方形ABCD 的边长为2，以C 为圆心的圆与直线BD 相切．若点M 是圆C 上的动点，则AM MD ⋅的最小值为 ． 【答案】1026--【解析】取AD 中点E ，由极化恒等式，得221AM MD MA MD (ME AD )4⋅=-⋅=-- 2221AD ME 1ME 4=-=-， 故当ME 最大时，AM MD ⋅有最小值，ME max ＝CE，∴AM MD ⋅min ＝1﹣2＝6-- 11．在ABC 中，已知2AB AC BC BA ⋅=⋅，且13BC =，则ABC 面积的最大值为________． 【答案】121 【解析】设ABC 三角对边分别为a ，b ，c ，2AB AC BC BA ⋅=⋅，20bccosA accosB ∴-=，即2bcosA acosB =由正弦定理可得2sinBcosA sinAcosB =，所以()sin 3sinC A B sinAcosB cosAsinB sinAcosB =+=+=， 由13a =可得13sin sin sin b c A B C==， 所以11sin sin 33,sin sin B C b c A A==， 所以211sin sin 1sin sin sin sin 229sin 18sin ABC B C C S bc A A B A A∆==⨯⨯=⨯ 111sin cos sin 261212B B B == 当4B π=时，ABC 面积取得最大值为112． 12．在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，45BAC ∠>，点D 在线段BC 上，且13CD CB =，若1tan 2DAB ∠=，则BAC ∠的正切值为_____. 【答案】3 【解析】设3BC =，3AC x =<，则31tan ,tan BAC DAC x x∠=∠= 22221tan tan()13321x xDAB BAC DAC x x x ∠=∠-∠===⇒=++，故tan 3BAC ∠=.13．已知直线l ：x ＋my ﹣2﹣m ＝0(m ∈R)恒过定点A ，点B ，C 为圆O ：2225x y +=上的两动点，满足∠BAC ＝90°，则弦BC 长度的最大值为 ．【答案】【解析】直线l ：x ＋my ﹣2﹣m ＝0(m ∈R)恒过定点A ，可得A(2，1)，取BC 中点D ，设BC 长为2l ，则AD ＝l ，OD ，OA根据AD OD -≥OA ，得l ≤42251000l l -+≤，得2520l ≤≤l ≤≤BC ＝2l 的最大值为14．已知函数()[]11,1,05x f x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，()22log +3,g x a x a x ⎤=∈⎥⎢⎥⎣⎦，若对任意的0x ⎤∈⎥⎢⎥⎣⎦，总存在[]11,0x ∈-使得()()01g x f x =成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[0,1]【解析】因为函数()151xf x ⎛⎫= ⎪⎭-⎝在[1,0]-上单调递减， 所以(0)()(1)f f x f ≤≤-，即0()4f x ≤≤，所以函数()f x 的值域为[0,4]，因为对任意的0x ⎤∈⎥⎢⎥⎣⎦，总存在[]11,0x ∈-使得()()01g x f x =成立，故()g x 的值域是()f x 值域的子集，对22()log 3g x a x a =+，,2]2x ∈，当0a =时，()0g x =，符合题意；当0a ≠时，函数()g x在2]2单调递增，所以2213()32a a g x a a -≤≤+， 所以22103234a a a a ⎧≤-⎪⎨⎪+≤⎩，，解得01a ≤≤，又0a ≠，所以01a <≤，综上，实数a 的取值范围是[0,1]．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在锐角，ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，且222()tan b c a A +-=． （1）求角A ；（2）若2a =，ABC ∆的面积S ，求11b c +的值． 【解析】（1）由222()tan b c a A +-=，及余弦定理2222cos b c a bc A +-=得2sin bc A =，又0bc >，得sin A =． 因为，ABC 为锐角三角形，所以02A π<<，故=3A π． （2）因为2a =，=3A π，根据余弦定理2222cos b c a bc A +-=得 224b c bc +-=，又1sin 2S bc A ===4bc = ．……① 所以2244b c +-=，即()()2222288b c b c bc b c +=+-=+-=． 又+0b c >，所以4b c += ……② 根据①②得，114=14b c b c bc ++==，所以，11b c+的值为1． 16．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，PC AB ⊥，,D E 分别为,BC AC 的中点. 求证：（1）AB ∥平面PDE ；（2）平面PAB ⊥平面PAC .【解析】（1）在ABC ∆中，因为D,E 是是BC,AC 的中点，所以AB//DE又PDE DE PDE AB 面面⊂⊄,,所以AB//面PDE（2）因为ABC AB ABC PA 面面⊂⊥,所以PA ⊥AB,又因为P PC PA PAC PC PA AB PC =⋂⊂⊥,,,面所以PAB AB PAC AB 面又面⊂⊥,,所以面⊥PAB 面PAC.17．某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1，为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成，如图2，已知圆O 的半径为10 cm ，设∠BAO ＝θ，0<θ<π2，圆锥的侧面积为S cm 2.(1) 求S 关于θ的函数关系式；(2) 为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大，求S 取得最大值时腰AB 的长度．（图1） （图2）【解析】 (1) 设AO 交BC 于点D ，过O 作OE ⊥AB ，垂足为E.在△AOE 中，AE ＝10cos θ，AB ＝2AE ＝20cos θ.在△ABD 中，BD ＝AB·sin θ＝20cos θ·sin θ，所以S ＝12·2π·20sin θcos θ·20cos θ ＝400πsin θcos 2θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2.(2) 由(1)得S ＝400πsin θcos 2θ＝400π(sin θ－sin 3θ)．令x ＝sin θ(0<x<1)，设f(x)＝x －x 3，则f′(x)＝1－3x 2，由f′(x)＝1－3x 2＝0得x ＝33. 当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在x ＝33时取得极大值，也是最大值． 所以当sin θ＝33时，侧面积S 取得最大值， 此时等腰三角形的腰长AB ＝20cos θ＝201－sin 2θ＝201－⎝⎛⎭⎫332＝2063(cm )．答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB 的长度为2063cm .18.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点(.()1求椭圆C 的方程；()2已知BMN △是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为BMN △的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为BMN △的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值.【解析】()1设焦距为2c，由题意知：22212b b ac c a ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆C 的方程为：22143x y +=；()2①由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，2227·403BM ON x y y =-+=-=，解得：y =7-， B ，M不重合，故y =213249x =，故2MN x ==②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1；设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++()()222222121211221434343x x y y x y x y+++=+=+=，1212346x x y y +=-()()1212346x x kx m kx m +++=-()()221212434460kx x mk x x m +++++=223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-= ()2248430k m∆=+->，x =则：122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，代入式子得： 22223286043m k m k --=+，22443m k =+设O 到直线MN 的距离为d，则d ===0k =时，min d =综上，原点O 到直线MN距离的最小值为2.19. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，在各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1=a 1，公比为q ，且b 2+S 2=10， b 2（q +2）=S 2．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设c n =anb n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求满足T n ≥12的n 的最小值．【解析】（1）设{a n }的公差为d ，则{q +1+1+d =10q(q +2)=1+1+d(q >0)，∴{d =6q =2， ∴a n =1+6（n -1）=6n -5，b n =2n−1．（2）c n =6n−52n−1，T n =120+721+1322+⋯+6n−52n−1，12T n =12+72+⋯+6n−112+6n−52，∴12T n =1+62+62+⋯+62−6n−52=1+6(12+122+⋯+12n−1)−6n−52n1+6[1−(12)n−1]−6n−52n=1+6−6⋅(12)n−1−6n−52n=7−6⋅(12)n−1−6n−52n，∴T n =14−12×(12)n−1−6n−52n−1=14−6n+72≥12，6n+72≤2，∴n ≥6，n 最小值为6．20．设函数()ln f x x ax =-，a R ∈，0a ≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x =有两个零点1x ，2x (12x x <). （i ）求a 的取值范围；（ii ）求证:12x x ⋅随着21x x 的增大而增大. 【解析】（1）因为()ln f x x ax =-，所以11(),(0,)axf x a x x x-'=-=∈+∞ 当0a <时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0a >时，()0f x '>解集为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0f x '<的解集为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，所以()f x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的单调减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （2）（i ）由（1）可知，当0a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，至多一个零点，不符题意，当0a >时，因为()f x 有两个零点，所以max 11()ln 10f x f a a ⎛⎫==->⎪⎝⎭，解得10a e <<，因为(1)0f a =-<，且11a <，所以存在111,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x =，又因为221111ln 2ln f a a a a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，设11()2ln 0,g a a a a e ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则222112()0a g a a a a --'=+=>，所以()g a 单调递增，所以1()20g a g e e ⎛⎫<=-< ⎪⎝⎭，即210f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为211a a >，所以存在2211,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20f x =，综上，10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（ii ）因为1122ln ln 0x ax x ax -=-=，所以1212ln ln x x x x =，因为21x x >，所以211x x >，的设211x t x =>，则21x tx =，所以()112121ln ln ln tx x x x x tx ==，解得1ln ln 1t x t =-，所以21ln ln ln ln 1t t x x t t =+=-，所以()1212(1)ln ln ln ln 1t t x x x x t +=+=-，设(1)ln ()(1)1t th t t t +=>-，则2211ln (1)(1)ln 2ln ()(1)(1)t t t t t t t t t h t t t +⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭'==--，设1()2ln (1)H t t t t t =-->，则22212(1)()10t H t t t t-'=+-=>，所以()H t 单调递增，所以()(1)0H t H >=，所以()0H t >，即()0h t '>，所以()h t 单调递增，即()12ln x x 随着21x t x =的增大而增大，所以12x x 随着21x x 的增大而增大，命题得证.数学Ⅱ（附加题）（考试时间：30分钟 试卷满分：40分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第21题~第23题）。
2021届江苏省苏北四市第二次适应性模拟考试(二模)数学试卷
江苏省苏北四市2021届高三4月新高考适应性模拟考试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知集合M ＝{}12xx -<，N ＝21x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，则MN ＝A ．{}2x x <B ．{}12x x ≤<C ．{}15x x ≤<D ．{}02x x << 2．若复数z 满足(3+4i)5i z =（i 是虚数单位），则z ＝ A ．1 B ．12 C ．5 D ．153．已知sin2a =，2log sin 2b =，sin 22c =，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a4．甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五，据此推测5人的名次排列情况共有 A ．5种 B ．8种 C ．14种 D ．21种5．定义在R 上的奇函数()f x 在(-∞，0]上单调递减，且(1)1f -=，则不等式1(lg )(lg )f x f x-2>的解集为 A ．(-∞，10) B ．(0，10) C ．(110，10) D ．(0，110) 6．今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过82021天后是A ．星期二B ．星期三C ．星期四D ．星期五7．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解，当p ×q (p ，q N *∈)是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n p q =-，例如(12)431f =-=，则20211(2)i i f =∑＝A ．21011﹣1B ．21011C ．21010﹣1D ．210108．如图，直角三角形PQR 的三个顶点分别在等边三角形ABC 的边AB 、BC 、CA 上，且PQ ＝23，QR ＝2，∠PQR ＝2π，则AB 长度的最大值为A ．1033B ．6C ．4213 D ．863二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．某高中2020年的高考考生人数是2010年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比较该校考生的升学情况，统计了该校2010年和2020年的高考升学率，得到如下柱状图：则下列说法中正确的有A ．与2010年相比，2020年一本达线人数有所减少B ．2020年二本达线率是2010年二本达线率的1.25倍C ．2010年与2020年艺体达线人数相同D ．与2010年相比，2020年不上线的人数有所增加10．已知1x ，2x 是函数()2sin()6f x x πω=-(ω＞0)的两个不同零点，且12x x -的最小值是2π，则下列说法中正确的有A ．函数()f x 在[0，3π]上是增函数 B ．函数()f x 的图像关于直线6x π=-对称 C ．函数()f x 的图像关于点(π，0)中心对称 D ．当x ∈[2π，π]时， 函数()f x 的值域是[﹣2，1]11．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝BB 1＝2，E 、F 分别为棱AB 、A 1D 1的中点，则下列说法中正确的有 A ．DB 1⊥CEB ．三棱锥D —CEF 的体积为83C ．若P 是棱C 1D 1上一点，且D 1P ＝1，则E 、C 、P 、F四点共面D ．平面CEF 截该长方体所得的截面为五边形12．17世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数，对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．我们知道，任何一个正实数N 可以表示成N ＝10n a ⨯(1≤a ＜10，n ∈Z)的形式，两边取常用对数，则有lgN ＝n ＋lg a ，现给出部分常用对数值（如下表），则下列说法中正确的有真数x 2345678910lg x (近似值) 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1.000真数x 111213141516171819lg x (近似值)1.041 1.079 1.114 1.146 1.176 1.204 1.230 1.255 1.279A ．310在区间(104，105)内B ．250是15位数C ．若50210m a -=⨯(1≤a ＜10，m ∈Z)，则m ＝﹣16D ．若m 32(m N *∈)是一个35位正整数，则m ＝12三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知两个单位向量a 、b 满足12a b ⋅=-，则a 与b 的夹角为 ．14．已知F 为双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过F 作与x 轴垂直的直线交双曲线于A ，B两点，若以AB 为直径的圆过坐标原点，则该双曲线的离心率为 ． 15．写出一个值域为[1，2]的周期函数()f x ＝ ．16．已知正四棱锥S —ABCD 的底面边长为2SAB ，SAD 分别切于点P ，Q ，则PQ 的长度为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，11a =，23a =，其前n 项和n S 满足1122n n n S S S +-+=+(n ≥2，n N *∈)． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n a n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c ，现有三个条件：①a ，b ，c 为连续自然数；②c ＝3a ；③C ＝2A ．（1）从上述三个条件中选出两个，使得△ABC 不存在，并说明理由（写出一组作答即可）； （2）从上述三个条件中选出两个，使得△ABC 存在，并求a 的值． 19．（本小题满分12分）某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如下表所示（单位：人）：（1）请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的男性观众的人数，求X的分布列；（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取m(m N*∈)人，现从这(10＋m)人中，随机抽出2人，用随机变量Y表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量Y的数学期望不小于1，求m的最大值．20．（本小题满分12分）图1是由正方形ABCD，Rt△ABE，Rt△CDF组成的一个等腰梯形，其中AB＝2，将△ABE、△CDF 分别沿AB，CD折起使得E与F重合，如图2．（1）设平面ABE平面CDE＝l，证明：l∥CD；（2）若二面角A—BE—D，求AE长．21．（本小题满分12分）已知函数ln ()xf xx=．（1）若直线1y kx=-是曲线()y f x=的切线，求实数k的值；（2）若对任意x∈(0，+∞)，不等式ln()1af x axx≤--成立，求实数a的取值集合．22．（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，过F 的直线0x -与椭圆在第一象限交于M 点，O 为坐标原点，三角形MFO ． （1）求椭圆的方程；（2）若△ABC 的三个顶点A ，B ，C 都在椭圆上，且O 为△ABC 的重心，判断△ABC 的面积是否为定值，并说明理由．江苏省苏北四市2021届高三4月新高考适应性模拟考试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知集合M ＝{}2，N ＝21x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，则MN ＝A ．{}2x x <B ．{}12x x ≤<C ．{}15x x ≤<D ．{}02x x << 答案：B解析：M ＝{}2＝[1，5)，N ＝21x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭＝(0，2)，所以MN ＝{}12x x ≤<，故B 符合题意．2．若复数z 满足(3+4i)5i z =（i 是虚数单位），则z ＝ A ．1 B ．12 C ．5 D ．15答案：1 解析：5i 43i 34i 55z ==++，故z ＝1，选A ． 3．已知sin2a =，2log sin 2b =，sin 22c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a ＞b ＞c B ．c ＞a ＞b C ．b ＞a ＞c D ．c ＞b ＞a 答案：B解析：sin2a =∈(0，1)，则2log sin 20b =<，sin 221c =>，故c ＞a ＞b ，选B ．4．甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五，据此推测5人的名次排列情况共有 A ．5种 B ．8种 C ．14种 D ．21种 答案：C解析：当丙是第一时，有33A ＝6种情况；当丙不是第一时，有112222C C A ＝8种情况．故共有6＋8＝14种，选C ．5．定义在R 上的奇函数()f x 在(-∞，0]上单调递减，且(1)1f -=，则不等式1(lg )(lg )f x f x-2>的解集为A ．(-∞，10)B ．(0，10)C ．(110，10)D ．(0，110) 答案：D解析：1(lg )(lg )2lg 2lg 1f x f x x x -=>⇒>，据题意知，()f x 在R 上单调递减，且(1)1f -=，故lg 1x <-，解得1010x <<，故D 符合题意． 6．今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过82021天后是A ．星期二B ．星期三C ．星期四D ．星期五 答案：C解析：20212021011222021202120212021202120218(17)777C C C C =+=++++，故82021除以7的余数是1，故选C ．7．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解，当p ×q (p ，q N *∈)是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n p q =-，例如(12)431f =-=，则20211(2)i i f =∑＝A ．21011﹣1B ．21011C ．21010﹣1 D ．21010答案：A解析：当i 为偶数时，(2)if ＝0；当i 为奇数时，(2)if ＝122i -，所以2021012101010111(2)222221i i f ==++++=-∑．8．如图，直角三角形PQR 的三个顶点分别在等边三角形ABC 的边AB 、BC 、CA 上，且PQ ＝QR ＝2，∠PQR ＝2π，则AB 长度的最大值为A B ．6 C D 答案：C解析：设∠PQB ＝θ，则∠RQC ＝2πθ-，所以∠BPQ ＝23πθ-，∠CRQ ＝6πθ+， 在△PBQ 中，由正弦定理，，即，在△CRQ 中，由正弦定理，，即，所以．二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．某高中2020年的高考考生人数是2010年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比较该校考生的升学情况，统计了该校2010年和2020年的高考升学率，得到如下柱状图：则下列说法中正确的有A ．与2010年相比，2020年一本达线人数有所减少B ．2020年二本达线率是2010年二本达线率的1.25倍C ．2010年与2020年艺体达线人数相同D ．与2010年相比，2020年不上线的人数有所增加 答案：BD解析：设2010年考生数为x ，则2020年考生数为32x ，因为x ·28%＜32x ·24%＝x ·36%，即A 错误；因为405324==1.25，即B 正确； 因为x ·8%＜32x ·8%＝x ·12%，即C 错误；因为x ·32%＜32x ·28%＝x ·42%，即D 正确．10．已知1x ，2x 是函数()2sin()6f x x πω=-(ω＞0)的两个不同零点，且12x x -的最小值是2π，则下列说法中正确的有A ．函数()f x 在[0，3π]上是增函数 B ．函数()f x 的图像关于直线6x π=-对称C ．函数()f x 的图像关于点(π，0)中心对称D ．当x ∈[2π，π]时， 函数()f x 的值域是[﹣2，1] 答案：ABD解析：易知()f x 的周期T ＝2×2π＝π，所以ω＝2，即()2sin(2)6f x x π=-，当x ∈[0，3π]时，26x π-∈[6π-，2π]，()f x 单调递增，即A 正确；当6x π=-时，262πππ-=-，即B 正确；()2sin(2)06f πππ=-≠，即C 错误；当x ∈[2π，π]时，26x π-∈[56π，116π]，所以()f x 的值域是[﹣2，1]，即D 正确．11．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝BB 1＝2，E 、F 分别为棱AB 、A 1D 1的中点，则下列说法中正确的有A ．DB 1⊥CEB ．三棱锥D —CEF 的体积为83C ．若P 是棱C 1D 1上一点，且D 1P ＝1，则E 、C 、P 、F 四点共面 D ．平面CEF 截该长方体所得的截面为五边形 答案：BCD解析：因为DB 与CE 不垂直，所以DB 1不可能垂直于CE ，故A 错误；V D —CEF ＝V F —CDE ＝118422323⨯⨯⨯⨯=，即B 正确；当P 是棱C 1D 1上一点，且D 1P ＝1时，CE ∥FP ，故E 、C 、P 、F 四点共面，即C 正确；由C 可知，FP ，PC ，CE 为截面的边，而截面又与平面ABB 1A 1以及平面ADD 1A 1相交，得两条截面的边，即共有五条边，即D 正确．12．17世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数，对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．我们知道，任何一个正实数N 可以表示成N ＝10n a ⨯(1≤a ＜10，n ∈Z)的形式，两边取常用对数，则有lgN ＝n ＋lg a ，现给出部分常用对数值（如下表），则下列说法中正确的有A ．310在区间(104，105)内 B ．250是15位数C ．若50210m a -=⨯(1≤a ＜10，m ∈Z)，则m ＝﹣16D ．若m 32(m N *∈)是一个35位正整数，则m ＝12 答案：ACD 解析：，A 正确； ，B 错误；，即m ＝﹣16，故C 正确；，则，则，又，即m ＝12，D 正确．三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知两个单位向量a 、b 满足12a b ⋅=-，则a 与b 的夹角为 ．答案：23π解析：cos<a ，b >＝12a ba b⋅=-⋅，所以a 与b 的夹角为23π．14．已知F 为双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过F 作与x 轴垂直的直线交双曲线于A ，B两点，若以AB 为直径的圆过坐标原点，则该双曲线的离心率为 ．解析：222210b c ac c a e e e a =⇒=-⇒--=⇒=．15．写出一个值域为[1，2]的周期函数()f x ＝ ．答案：()sin 1f x x =+ 解析：答案不唯一16．已知正四棱锥S —ABCD 的底面边长为2SAB ，SAD 分别切于点P ，Q ，则PQ 的长度为 ．解析：该正四棱锥的侧面的高，则该正四棱锥的高，其体积，表面积，所以内切球半径，设球心为O ，则上，所以，即P ，Q 位于侧面高的处，所以．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，11a =，23a =，其前n 项和n S 满足1122n n n S S S +-+=+(n ≥2，n N *∈)． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n a n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 解：（1）由题意得即， 又，所以所以数列{}n a 是以1为首项，公差为2的等差数列， 所以；（2）所以． 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c ，现有三个条件：①a ，b ，c 为连续自然数；②c ＝3a ；③C ＝2A ．（1）从上述三个条件中选出两个，使得△ABC 不存在，并说明理由（写出一组作答即可）； （2）从上述三个条件中选出两个，使得△ABC 存在，并求a 的值． 解：（1）选①②时三角形不存在，理由如下：因为a ，b ，c 为连续自然数，a ＜b ＜c ，所以b ＝a ＋1，c ＝a ＋2，又因为c ＝3a ，所以a ＋2＝3a ， 解得不满足所以△ABC 不存在； 选②③时三角形不存在，理由如下：在△ABC 中，由正弦定理得，因为，所以，所以，又因为c ＝3a ，所以cosA，此时A 不存在，所以△ABC 不存在，（2）选①③时三角形存在：因为a ，b ，c 为连续自然数，a ＜b ＜c ，所以b ＝a ＋1，c ＝a ＋2，在△ABC 中，由余弦定理得，在△ABC 中，由正弦定理得，因为，所以，所以，所以，解得．19．（本小题满分12分）某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如下表所示（单位：人）：（1）请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的男性观众的人数，求X的分布列；（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取m(m N*∈)人，现从这(10＋m)人中，随机抽出2人，用随机变量Y表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量Y的数学期望不小于1，求m的最大值．解：（1）填写2×2列联表如下：所以所以有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”；（2）从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率为，且各次抽取之间相互独立，所以，所以故X的分布列为（3）Y的可能取值为0，1，2，所以所以，即，即，解得，又所以m的最大值为2．20．（本小题满分12分）图1是由正方形ABCD，Rt△ABE，Rt△CDF组成的一个等腰梯形，其中AB＝2，将△ABE、△CDF 分别沿AB，CD折起使得E与F重合，如图2．（1）设平面ABE平面CDE＝l，证明：l∥CD；（2）若二面角A—BE—D，求AE长．解：（1）因为CD∥AB，AB平面ABE，CD 平面ABE，所以CD∥平面ABE，又CD平面ECD，平面ABE平面ECD＝所以；（2）因为，所以，又平面ADE，平面ADE，所以AB⊥平面ADE，因为平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面AED，过E作EO⊥AD于点O，则O是AD的中点，因为平面平面AED＝AD，平面ADE，所以EO⊥平面ABCD，以O为原点，与AB平行的直线为x轴，OD所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，设，则设平面ABE的法向量为，则，即，取，则，所以平面ABE的一个法向量为，同理可求得平面BDE的一个法向量为，所以，解得或，检验发现时二面角A—BE—D的平面角为钝角，所以，此时，21．（本小题满分12分）已知函数ln ()xf xx=．（1）若直线1y kx=-是曲线()y f x=的切线，求实数k的值；（2）若对任意x∈(0，+∞)，不等式ln()1af x axx≤--成立，求实数a的取值集合．解：（1）因为，所以，设切点为，此时切线方程为，又直线过(0，﹣1)，所以，即，令，则，且在上单调递增，所以方程有唯一解，所以，（2）不等式恒成立，即不等式恒成立，令，则所以是函数的极值点，所以，即此时，所以在上递减，在上递增，所以，符合题意，所以，实数a 的取值集合为．22．（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，过F 的直线0x -与椭圆在第一象限交于M 点，O 为坐标原点，三角形MFO ． （1）求椭圆的方程；（2）若△ABC 的三个顶点A ，B ，C 都在椭圆上，且O 为△ABC 的重心，判断△ABC 的面积是否为定值，并说明理由． 解：（1）直线过左焦点F ，所以，所以，又由得，即，所以，由椭圆定义知，即，所以椭圆的方程为，（2）当直线BC 的斜率不存在时，设直线BC 的方程为，设，则，因为O 为△ABC 的重心，所以，所以，所以，当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为，设，由得，显然，所以，所以，所以BC的中点，因为O为△ABC的重心，所以，由A在椭圆上得，化简得，所以，因为点A到直线BC的距离d等于O到直线BC距离的3倍，所以，所以，综上得，△ABC的面积为定值．。
南京市、盐城市2021届高三年级第二次模拟考试数学试卷参考答案
南京市、盐城市2021届高三年级第二次模拟考试数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A 2．C 3．D 4．C 5．C 6．B 7．D 8．B二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9. ACD 10．BC 11．ABD 12．AC 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．36 14．132 15． 6 16．34，2（第一问2分，第二问3分） 四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．(本小题满分10分)解：在△ABC 中，B ＝π－(A ＋C )，所以sin B ＝sin(A ＋C )．因为sin B －sin(A －C )＝3sin C ，所以sin(A ＋C )－sin(A －C )＝3sin C ， ············· 2分 即sin A cos C ＋cos A sin C －(sin A cos C －cos A sin C )＝3sin C ，所以2cos A sin C ＝3sin C ． ······································································· 4分 在△ABC 中，sin C ≠0，所以cos A ＝32． 因为0＜A ＜π，所以A ＝π6． ····································································· 6分选择① 方法1因为A ＝π6，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋9－33b ．又因为b ＝3a ，所以2b 2－93b ＋27＝0，解得b ＝33，或b ＝332，此时△ABC 存在． ················································································· 8分 当b ＝33时，△ABC 的面积为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×33×3×12＝934．当b ＝332时，△ABC 的面积为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×332×3×12＝938． ········ 10分方法2因为b ＝3a ，由正弦定理，得sin B ＝3sin A ＝3sin π6＝32．因为0＜B ＜π，所以B ＝π3，或B ＝2π3，此时△ABC 存在． ····························· 8分当B ＝π3时，C ＝π2，所以b ＝c cos A ＝332，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×332×3×12＝938．当B ＝2π3时，C ＝π6，所以b ＝c sin Bsin C＝33，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×33×3×12＝934． ···················· 10分选择②因为a ＝3cos B ，所以a ＝3×a 2＋9－b 26a，得a 2＋b 2＝9，所以C ＝π2，此时△ABC 存在． ································································· 8分因为A ＝π6，所以b ＝3×cos π6＝332，a ＝3×sin π6＝32，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab ＝938． ················································· 10分选择③ 由a sin A ＝c sin C ，得a sin C ＝c sin A ＝32， ·························································· 8分 这与a sin C ＝1矛盾，所以△ABC 不存在． ················································ 10分18．(本小题满分12分) 解：（1）方法1因为S n ＝2n ＋r ，所以当n ＝1时，S 1＝a 1＝2＋r ．当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝4＋r ，故a 2＝2． 当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝8＋r ，故a 3＝4．因为{a n }是等比数列，所以a 22＝a 1a 3，化简得2＋r ＝1，解得r ＝－1， ············· 3分 此时S n ＝2n －1．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2n －1－1＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，a n ＝2n －1，所以r ＝－1满足题意． ·········································································· 5分 方法2因为S n ＝2n ＋r ，所以当n ＝1时，S 1＝a 1＝2＋r ．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋r －2n －1－r ＝2n －1． ······································· 3分 因为{a n }是等比数列，所以2＋r ＝1，解得r ＝－1． ····································· 5分 （2）因为a n ＝2n －1，所以b n ＝2(1＋log 2a n )＝2n ． ········································· 7分 因为a 1＝1，a 2＝2＝b 1，a 3＝4＝b 2，a 4＝8＝b 4，a 5＝16＝b 8，a 6＝32＝b 16，a 7＝64＝b 32，a 8＝128＝b 64，a 9＝256＝b 128， ········································· 9分 所以c 1＋c 2＋c 3＋···＋c 100＝(b 1＋b 2＋b 3＋···＋b 107)－(a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8) ······················· 11分 ＝107×(2＋214)2－2(1－27)1－2＝11302． ··············································· 12分19．(本小题满分12分)解：（1）对项目A 投资的统计数据进行计算，有－x ＝3，－y ＝0.6，n∑i =1x i 2＝55．所以^b ＝n∑i =1x i y i －n －x ·－yn∑i =1x i 2－n －x2＝11－5×3×0.655－5×32＝0.2， ·················································· 4分 ^a ＝－y －^b －x ＝0.6－0.2×3＝0，所以回归直线方程为：^y ＝0.2x ． ······························································· 6分线性相关系数r ＝n∑i =1x i y i －n －x ·－y(n ∑i =1x i 2－n －x 2) (n∑i =1y i 2－n －y 2)＝11－5×3×0.6( 55－5×32)(2.24－5×0.62)＝24.4≈0.9524＞0.95这说明投资金额x 与所获利润y 之间的线性相关关系较强，用线性回归方程^y＝0.2x 对该组数据进行拟合合理． ········································································ 8分（2）设对B 项目投资x (1≤x ≤6)百万元，则对A 项目投资(7－x )百万元．所获总利润y ＝0.16x －0.49x ＋1＋0.49＋0.2(7－x ) ············································· 10分＝1.93－ [0.04(x ＋1)＋0.49x ＋1]≤1.93－20.04(x ＋1)×0.49x ＋1＝1.65，当且仅当0.04(x ＋1)＝0.49x ＋1，即x ＝2.5时取等号，所以对A ，B 项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大． ······· 12分20．(本小题满分12分)（1）证明：取AB 中点D ，连接CD ，B 1D ．因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，所以AB ⊥CD ，CD ＝3，BD ＝1． 又因为AB ⊥B 1C ，且CD ∩B 1C ＝C ，CD ，B 1C ⊂平面B 1CD ， 所以AB ⊥平面B 1CD ．又因为B 1D ⊂平面B 1CD ，所以AB ⊥B 1D ． ················································ 2分 在直角三角形B 1BD 中，BD ＝1，B 1B ＝2，所以B 1D ＝3． 在三角形B 1CD 中，CD ＝3，B 1D ＝3，B 1C ＝6，所以CD 2＋B 1D 2＝B 1C 2，所以CD ⊥B 1D ． ··············································· 4分 又因为AB ⊥B 1D ，AB ∩CD ＝D ，AB ，CD ⊂平面ABC ，所以B 1D ⊥平面ABC ． 又因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面ABC ． ························· 6分 （2）解：以DC ，DA ，DB 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，1，0)，B (0，－1，0)，C (3，0，0)，B 1(0，0，3)，因此BB 1→＝(0，1，3)，AC →＝(3，－1，0)，AA 1→＝BB 1→＝(0，1，3)． 因为点P 在棱BB 1上，则设BP →＝λBB 1→＝λ(0，1，3)，其中0≤λ≤1．则CP →＝CB →＋BP →＝CB →＋λBB 1→＝(－3，－1＋λ，3λ)． ······························ 8分 设平面ACC 1A 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0， n ·AA 1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，y ＋3z ＝0．取x ＝1，y ＝3，z ＝－1，所以平面ACC 1A 1的一个法向量为n ＝(1，3，－1)． ……………………………………………………10分 因为直线CP 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为45，所以cos ＜n ，CP →＞＝n·CP →|n |×|CP →|＝－235×3＋(λ－1)2＋3λ2 ＝－45，（第20题图）化简得16 λ2－8λ＋1＝0，解得λ＝14，所以BP ＝λBB 1＝12． ·········································································· 12分21．(本小题满分12分)解：由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4y ＋4m ＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝4m ．因为直线l 与C 相交，所以△＝16－16m ＞0，得m ＜1． ···························· 2分 （1）由AT →＝2TB →，得y 1＋2y 2＝0， ······················································· 4分所以4＋y 2＝0，解得y 2＝－4，从而y 1＝8，因为y 1y 2＝4m ，所以4m ＝－32，解得m ＝－8． ······································ 6分（2）设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，因为M ，N 两点关于直线y ＝x ＋m 对称，则y 4－y 3x 4－x 3＝y 4－y 3y 424－y 324＝4y 4＋y 3＝－1，解得y 4＝－4－y 3． 又y 4＋y 32＝x 4＋x 32＋m ，于是－4－y 3＋y 32＝x 4＋x 32＋m ，解得x 4＝－4－2m －x 3． ······························· 8分又点N 在抛物线上，于是(－4－y 3)2＝4(－4－2m －x 3)．因为y 32＝4x 3，所以y 32＋4y 3＋16＋4m ＝0， ··········································· 10分 于是MA →·MB →＝(x 1－x 3)(x 2－x 3)＋(y 1－y 3)(y 2－y 3)＝(y 124－y 324)(y 224－y 324)＋(y 1－y 3)(y 2－y 3)＝(y 1－y 3)(y 2－y 3)16[(y 1＋y 3)(y 2＋y 3)＋16]＝(y 1－y 3)(y 2－y 3)16[y 1y 2＋y 3(y 1＋y 2)＋y 32＋16]＝(y 1－y 3)(y 2－y 3)16(4m ＋4y 3＋y 32＋16)＝0，因此MA ⊥MB ，同理NA ⊥NB ，于是点M ，N 在以AB 为直径的圆上，即A ，B ，M ，N 四点共圆． ··············· 12分22．(本小题满分12分)解：（1）当a ＝12时，f (x )＝e x －12x sin x －x －1，则f ′(x )＝e x －12(x cos x ＋sin x )－1，f ′′(x )＝e x ＋12x sin x －cos x ．因为x ∈[0，π]，所以e x ≥1，12x sin x ≥0，因此f ′′(x )≥1－cos x ≥0， ··················· 2分所以f ′(x )在[0，π]上单调递增，于是f ′(x )≥f ′(0)＝0，因此f (x )在[0，π]上单调递增，所以f (x )≥f (0)＝0． ····································· 4分 （2）由（1）知，当a ≤12时，f (x )≥e x －12x sin x －x －1≥0，当且仅当x ＝0时取等号，此时函数f (x )仅有1个零点． ··································································· 6分 当a ＞12时，因为f (x )＝e x －ax sin x －x －1，所以f ′(x )＝e x －a (x cos x ＋sin x )－1，f ′′(x )＝e x ＋a (x sin x －2cos x )． 当x ∈[π2，π]时，f ′′(x )＞0，所以f ′(x )单调递增．当x ∈[0，π2]时，f ′′′(x )＝e x ＋a (3sin x ＋x cos x )．因为e x ＞0，a (3sin x ＋x cos x )≥0，所以f ′′′(x )＞0，所以f ′′(x )单调递增．又f ′′(0)＝1－2a ＜0，f ′′(π2)＝e π2＋π2a ＞0，因此f ′′(x )在[0，π2]上存在唯一的零点x 0，且x 0∈(0，π2)． ································ 8分当x ∈(0，x 0)时，f ′′(x )＜0，所以f ′(x )单调递减； 当x ∈(x 0，π2)时，f ′′(x )＞0，所以f ′(x )单调递增．又f ′(0)＝0，f ′(x 0)＜f ′(0)＝0，f ′(π)＝e π＋a π－1＞0，因此f ′(x )在[0，π]上存在唯一的零点x 1，且x 1∈(x 0，π)．······························ 10分 当x ∈(0，x 1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )单调递减； 当x ∈(x 1，π)时，f ′(x )＞0，所以f (x )单调递增． 又f (0)＝0，f (x 1)＜f (0)＝0，f (π)＝e π－π－1＞0，所以f (x )在(x 1，π)上存在唯一零点，因此f (x )在[0，π]上有两个零点．综上，a 的取值范围是(12，＋∞)． ··························································· 12分。
江苏省常州市2021届新高考数学二模试卷含解析
江苏省常州市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．公比为2的等比数列{}n a 中存在两项m a ，n a ，满足2132m n a a a =，则14m n +的最小值为（ ） A ．97 B ．53 C ．43 D ．1310【答案】D【解析】【分析】根据已知条件和等比数列的通项公式，求出,m n 关系，即可求解.【详解】22211232,7m n m n a a a a m n +-==∴+=，当1,6m n ==时，1453m n +=，当2,5m n ==时，141310m n +=， 当3,4m n ==时，1443m n +=，当4,3m n ==时，141912m n +=， 当5,2m n ==时，14115m n +=，当6,1m n ==时，14256m n +=， 14m n +最小值为1310. 故选:D.【点睛】本题考查等比数列通项公式，注意,m n 为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题. 2．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．17B ．5C ．3D ．2【答案】B【解析】【分析】 首先根据题中所给的三视图，得到点M 和点N 在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点M 、N 在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.【详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，将圆柱的侧面展开图平铺,可以确定点M 和点N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，= B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A ．(]1,2B ．(]1,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞ 【答案】B【解析】【分析】 先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可．【详解】 由题意，双曲线2222x y C :1(a 0,b 0)a b-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即bx ay 0-=， ∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点，则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离4a d c ==， ∵圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴41a c ≥，即4c e a=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]1,4，故选：B ．【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．设双曲线22:1916x y C -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C 交于点B ，则AFB △的面积为（ ）A ．3215B ．6415C ．5D ．6【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的标准方程求出右顶点A 、右焦点F 的坐标，再求出过点F 与C 的一条渐近线的平行的直线方程，通过解方程组求出点B 的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可.【详解】由双曲线的标准方程可知中：3,45a b c ==∴=，因此右顶点A 的坐标为(3,0)，右焦点F 的坐标为(5,0)，双曲线的渐近线方程为：43y x =±，根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点F 作平行C 的一条渐近线43y x =的直线与C 交于点B ，所以直线FB 的斜率为43，因此直线FB 方程为：4(5)3y x =-，因此点B 的坐标是方程组：224(5)31916y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩的解，解得方程组的解为：1753215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即1732(,)515B -，所以AFB △的面积为：13232(53)21515⨯-⨯-=. 故选：A【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力.5．集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则A B U =( ) A ．}{1x x <B ．}{11x x -≤<C ．{}2x x ≤D ．{}21x x -≤< 【答案】C【解析】【分析】 先化简集合A,B ，结合并集计算方法，求解，即可．【详解】解得集合()(){}{}21012A x x x x x =-+≤=-≤≤，{}1B x x =< 所以{}2A B x x ⋃=≤，故选C ．【点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B ，难度较小．6．已知0x =是函数()(tan )f x x ax x =-的极大值点，则a 的取值范围是A ．(,1)-∞-B ．(,1]-∞C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞ 【答案】B【解析】【分析】【详解】方法一：令()tan g x ax x =-，则(())f x x g x =⋅，21()cos g'x a x =-， 当1a ≤，(,)22x ππ∈-时，'()0g x ≤，()g x 单调递减， ∴(,0)2x π∈-时，()(0)0g x g >=，()()0f x x g x =⋅<，且()()()>0f x xg'x g x '=+，∴()0f 'x >，即()f x 在(,0)2π-上单调递增，(0,)2x π∈时，()(0)0g x g <=，()()0f x x g x =⋅<，且()()+()<0f 'x =xg'x g x ， ∴()0f 'x <，即()f x 在(0,)2π上单调递减，∴0x =是函数()f x 的极大值点，∴1a ≤满足题意；当1a >时，存在(0,)2t π∈使得cos t =，即'()0g t =， 又21()cos g'x a x =-在(0,)2π上单调递减，∴,()0x t ∈时，()(0)0g x g >=，所以()()0f x x g x =⋅>， 这与0x =是函数()f x 的极大值点矛盾．综上，1a ≤．故选B ．方法二：依据极值的定义，要使0x =是函数()f x 的极大值点，须在0x =的左侧附近，()0f x <，即tan 0ax x ->；在0x =的右侧附近，()0f x <，即tan 0ax x -<．易知，1a =时，y ax =与tan y x =相切于原点，所以根据y ax =与tan y x =的图象关系，可得1a ≤，故选B ．7．设不等式组00x y x +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：224x y +=的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为（ ）A．524 B ．724 C ．1124 D ．1724 【答案】B【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】作出Ω中在圆C 内部的区域，如图所示，因为直线0x y +=，30x y -=的倾斜角分别为34π，6π， 所以由图可得P 取自Ω的概率为3746224πππ-=.故选：B【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.8．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】由排除选项;排除选项；由函数有无数个零点，排除选项,从而可得结果.【详解】 由，可排除选项，可排除选项；由可得，即函数有无数个零点，可排除选项,故选A.【点睛】 本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 9．已知双曲线22221x y a b-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,2),C ．(2,)+∞D ．(1,2] 【答案】A【解析】【分析】若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【详解】 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ， 若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a， ∴3b a (22)224a b e a +=…， 2e ∴…，故选：A ．【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．10．不等式42,3x y x y -⎧⎨+⎩……的解集记为D ，有下面四个命题：1:(,),25p x y D y x ∀∈-…；2:(,),22p x y D y x ∃∈-…；3:(,),22p x y D y x ∀∈-…；4:(,),24p x y D y x ∃∈-….其中的真命题是（ ）A ．12,p pB ．23,p pC ．13,p pD ．24,p p 【答案】A【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域，然后对四个选项一一分析可得结果.【详解】作出可行域如图所示，当1,2x y ==时，max (2)3y x -=，即2y x -的取值范围为(,3]-∞，所以1(,),25,x y D y x p ∀∈-…为真命题；2(,),22,x y D y x p ∃∈-…为真命题；34,p p 为假命题.故选：A【点睛】此题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于中档题. 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =上，则3sin 22πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ） A ．45 B ．45- C ．35 D ．35- 【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式以及二倍角公式，将3sin 22πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭化简为关于tan θ的形式，结合终边所在的直线可知tan θ的值，从而可求3sin 22πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【详解】 因为222222223sin cos tan 1sin 2cos 2sin cos 2sin cos tan 1πθθθθθθθθθθ--⎛⎫+=-=-== ⎪++⎝⎭，且tan 2θ=， 所以3413sin 22415πθ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解22sin cos m n θθ+值的两种方法：（1）分别求解出sin ,cos θθ的值，再求出结果；（2）将22sin cos m n θθ+变形为222222sin cos tan sin cos tan 1m n m n θθθθθθ++=++，利用tan θ的值求出结果. 12．函数()cos2xf x x =的图象可能为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先根据()f x 是奇函数，排除A ，B ，再取特殊值验证求解.【详解】因为()()cos2cos2x xf x x x f x --=-==--，所以()f x 是奇函数，故排除A ，B ，又()1cos20f =<，故选：C【点睛】本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南京市、盐城市2021届高三第二次模拟考试数学试题含附加题(图片版,答案有解析)
南京市、盐城市 2021 届高三年级第二次模拟考试数学2019.03.20 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分，不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上。
1. 已知集合A ={x |1 <x < 3}, B ={x | 2 <x < 4}，则A ∩B = .【答案】{x |1 <x < 4}【解析】画数轴可得。
【点评】考察集合并集，属于简单题。
2.若复数z 满足【答案】-2za + 2i=i (i 为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数a 的值为.【解析】 z =i (a + 2i)=ai - 2, a =-2【点评】复数，简单题3.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20 人，则第三组中人数为.【答案】18【解析】1⨯(0.24+0.16)=0.4 ，总人数： 20 ÷ 0.4=50 （人），第三组： 50 ⨯ 0.36=18【点评】考察频率分布直方图，属于简单题。
4.右图是某算法的伪代码，输出的结果S 的值为.【答案】16i = 1, s = 1 i = 3, s = 4【解析】i = 5, s = 9 i = 7, s = 16【点评】考察算法流程图，属于简单题。
5. 现有 5 件相同的产品，其中 3 件合格，2 件不合格，从中随机抽检 2 件，则一件合格，另一件不合格的概率为 .【答案】 35C 1C 1 3⨯ 2 3 【解析】 P = 3 2 = = 2 10 5【点评】考察排列组合与概率，属于简单题。
6. 等差数列{a n }中， a 4 = 10 ，前 12 项的和 S 12 = 90，则a 18 的值为 .【答案】-4【解析】S 12 = (a 4 + a 9 )⨯ 6 ⇒ a 9 = 5 ⇒ d = -1⇒ a 18 = -4【点评】考察等差数列，属于简单题。
江苏省扬州市2021届新高考数学二模考试卷含解析
江苏省扬州市2021届新高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a13a =，65423a a a =+，则14m n+的最小值是（ ） A ．32B ．2C ．73D ．94【答案】C 【解析】 【分析】由已知求出等比数列{}n a 的公比，进而求出4m n +=，尝试用基本不等式，但*,m n ∈N 取不到等号，所以考虑直接取,m n 的值代入比较即可. 【详解】65423a a a =+Q ，2230q q ∴--=，3q ∴=或1q =-（舍）.13a =Q ，2221139m n m n a a a a +-∴⋅=⋅=，4m n ∴+=.当1m =，3n =时1473m n +=； 当2m =，2n =时1452m n +=； 当3m =，1n =时，14133m n +=，所以最小值为73. 故选:C. 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题.2．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()11,P x y ，()11,Q x y --在椭圆C 上，其中1>0x ，10y >，若22PQ OF =，11QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A．⎡⎢⎣⎭B．(2⎤⎦C．1⎤⎥⎝⎦D．(1⎤⎦【答案】C根据22PQ OF =可得四边形12PFQF 为矩形, 设1PF n =,2PF m =,根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-,再分析=+m n t n m的取值范围,进而求得()222422c a c <≤-再求离心率的范围即可. 【详解】设1PF n =,2PF m =,由1>0x ,10y >,知m n <,因为()11,P x y ,()11,Q x y --在椭圆C 上,222PQ OP OF ==, 所以四边形12PFQF 为矩形,12=QFPF ；由113QF PF ≥,1m n≤<,由椭圆的定义可得2m n a +=,2224m n c +=①, 平方相减可得()222mn a c=-②,由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-； 令=+m nt n m ,令m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭,所以12,3t v v ⎛=+∈ ⎝⎦, 即()222422c a c <≤-,所以()222223a c c a c -<≤-,所以()222113e e e -<≤-,所以2142e <≤-1e <≤.本题主要考查了椭圆的定义运用以及构造齐次式求椭圆的离心率的问题,属于中档题. 3．已知集合{}23100A x x x =--<，集合{}16B x x =-≤<，则A B I 等于（ ） A ．{}15x x -<< B ．{}15x x -≤< C ．{}26x x -<< D ．{}25x x -<<【答案】B 【解析】 【分析】求出A 中不等式的解集确定出集合A ，之后求得A B I . 【详解】由{}()(){}{}2310025025A x x x x x x x x =--<=+-<=-<<，所以{}15A B x x ⋂=-≤<， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目.4．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( )A ．5-B ．5-C ．5D ．25-【答案】A 【解析】 【分析】设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β，由任意角的三角函数的定义可以求得sin β的值，依题有OA OB ⊥,则90αβo=+，利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图，设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β因为点()1,2A 在角β的终边上，所以2225sin 12β==+依题有OA OB ⊥,则90αβo=+，所以25cos cos(90)sin αββo =+=-=-， 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.5．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ） A ．14B ．13C ．532D ．316【答案】A 【解析】 【分析】首先求出样本空间样本点为5232=个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】样本空间样本点为5232=个， 具体分析如下：记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”， 有以下3种位置1__ __，__1__，__ __1．剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是224⨯=， 但合并计算时会有重复，重复数量为224+=， 事件的样本点数为：444228++--=个． 故不同的样本点数为8个，81=.本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题6．已知(1,3),(2,2),(,1)a b c n ===-r r r ，若()a c b -⊥r r r，则n 等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】 【分析】先求出(1,4)a c n -=-r r ，再由()a c b -⊥r r r，利用向量数量积等于0，从而求得n .【详解】由题可知(1,4)a c n -=-r r，因为()a c b -⊥r r r，所以有()12240n -⨯+⨯=，得5n =，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目.7．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（ ）A ．3B ．5C D 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可. 【详解】() 125i z i -=（i 是虚数单位）可得()125i z i -=解得z =本题正确选项：D 【点睛】本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力.r r(r r r r【分析】根据模长计算公式和数量积运算，即可容易求得结果. 【详解】由于2a b -===r r 2=， 故选：A. 【点睛】本题考查向量的数量积运算，模长的求解，属综合基础题. 9．i 是虚数单位，复数1z i =-在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】求出复数z 在复平面内对应的点的坐标，即可得出结论. 【详解】复数1z i =-在复平面上对应的点的坐标为()1,1-，该点位于第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查复数对应的点的位置的判断，属于基础题. 10．已知复数31iz i-=-，则z 的虚部为（ ） A ．i - B ．iC ．1-D ．1【答案】C 【解析】 【分析】 先将31iz i-=-，化简转化为2z i =+，再得到2z i =-下结论. 【详解】 已知复数()()()()3132111i i i z i i i i -+-===+--+，本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11．已知ABC V 的垂心为H ，且6,8,AB BC M ==是AC 的中点，则HM AC ⋅=u u u u r u u u r（ ）A ．14B ．12C ．10D ．8【答案】A 【解析】 【分析】由垂心的性质，得到0BH AC ⋅=u u u r u u u r，可转化HM AC BM AC ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，又1()()2BM AC BA BC BC BA ⋅=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 即得解. 【详解】因为H 为ABC V 的垂心，所以BH AC ⊥， 所以0BH AC ⋅=u u u r u u u r ，而HM HB BM =+u u u u r u u u r u u u u r，所以()HM AC HB BM AC BM AC ⋅=+⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，因为M 是AC 的中点，所以1()()2BM AC BA BC BC BA ⋅=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2211()(6436)1422BC BA =-=-=u u ur u u u r ． 故选：A 【点睛】本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.12．复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则h 的值为____________.【答案】32 【解析】 【分析】由已知可得到圆锥的底面半径，再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，体积为V ，半球的体积为1V ，水（小圆锥）的体积为2V ，如图则,1,2,OA r OC OB BE h ====，所以2rh ED =，2241r r ⨯=+，解得243r =， 所以218239V r ππ=⨯=，123V π=，23211()329rh V h h ππ=⨯⨯=，由12V V V =+，得3821939h πππ=+，解得32h =32【点睛】本题考查圆锥的体积、球的体积的计算，考查学生空间想象能力与计算能力，是一道中档题.14．从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____________. 【答案】12【解析】 【分析】基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，由此能求出概率.基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，分别为：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,2，()2,4，()3,3，()4,4.所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为81162P ==. 故答案为12. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，属于基础题. 15．若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y≥−1，则3x+y 的最大值_____ 【答案】5. 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，令z ＝3x+y ，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】由题意1,11yy x y -≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-,当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时,z 取最大值5. 故答案为：516．设1021001210)x a a x a x a x =+++L ，则2a =_____， （)()22024101359a a a a a a a a +++⋯+-+++⋯+的值为______． 【答案】720 1 【解析】 【分析】利用二项展开式()n a b +的通式1C r n r rr n T a b -+=可求出2a ；令1021001210)x a a x a x a x =+++L 中的1x =，1x =-得两个式子，代入)()22024101359a a a a a a a a +++⋯+-+++⋯+可得结果.【详解】利用二项式系数公式，2822210720T C x x ==，故2720a =，10100110012101),1)a a a a a a a ++⋯+=-+-⋯+=，故（)()22024101359a a a a a a a a +++⋯+-+++⋯+=()()10100110012101)1)1a a a a a a a ++⋯+-+-⋯+==，故答案为：720；1. 【点睛】本题考查二项展开式的通项公式的应用，考查赋值法，是基础题. 三、解答题：共70分。
江苏省淮安市2021届高三第二次适应性模拟考试数学试卷及答案
数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为U ，非空真子集A ，B ，C 满足：A B B = ，A C A = ，则 A.B C ⊆B.B C ∅=C.U A B ⊆ðD.()U B C =∅ð【答案】D2.如图，某系统使用A ，B ，C 三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响，当元件A 正常工作B ，C 中至少有一个正常工作时系统即可正常工作.若元件A ，B ，C 正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，则系统正常工作的概率为A.0.196B.0.504C.0.686D.0.994 【答案】C3.某产品的宣传费用x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）的统计数据如表所示：x 4 5 6 7 8 y6080 90100120根据上表可得回归方程ˆˆ14yx a =+，则宣传费用为9万元时，销售额最接近 A.123万元B.128万元C.133万元D.138万元【答案】C 4.化简7sin sin 1212αππα⎪+⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎝⎭⎝⎭可得 A.1sin 226απ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.1cos 226απ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C.1cos 226πα⎛⎫- ⎪⎝⎭D.1sin 226πα⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】D5.已知函数()1ln 1x f x x -=+，设()0.44a f =，3b f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()0.225c f =，则A.a b c >>B.a c b >>C.b c a >>D.c a b >> 【答案】C6.某班数学课代表给全班同学们出了一道证明题.甲和丁均说自己不会证明；乙说：丙会证明；丙说：丁会证明.已知四名同学中只有一人会证明此题，且只有一人说了真话.据此可以判定证明此题的人是A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】A 7.函数()1s n 2i x x y π-=⋅的图象大致为【答案】A 【解析】()()12sin x x f x π-=()()()()1122sin 22sin xx x x f x x f πππ---==-=--()f x ∴关于()1,0对称，排除BD ()00f =，排除C ，选A.8.已知圆221:20O x y ty ++-=与y 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为()1,2.圆2O 过A ，B ，C 三点，当实数t 变化时，存在一条定直线l 被圆2O 截得的弦长为定值，则此定直线l 的方程为A.250x y +-=B.20x y -= 10y --= 0y -=【答案】B【解析】设圆222:0O x y Dx Ey F ++++= 圆2O 过,A B 两点，E t ∴=，2F =- 即此时圆222:20O x y Dx ty +++-= 圆2O 过()1,2C23D t ∴=--∴圆()222:2320O x y t x ty +-++-=即()223220x y x t x y +----=∴定直线20x y -=，选B.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.为了解目前淮安市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩()~70,100N X ，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀.则下列说明正确的是 参考数据：随机变量()2~,N ξμσ，则()0.6826P μσξμσ-<=<+，()54420.92P μσξμσ-<=<+，()4330.997P μσξμσ=-<+.A.该校学生体育成绩的方差为10B.该校学生体育成绩的期望为70C.该校学生体育成绩的及格率不到85%D.该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当 【答案】BC10.设复数i z a b =+（i 为虚数单位），则下列说法正确的是A.若0,1a b ==，则20211i kk z==∑B.若1,2a b =-=，则2z z = C.“z ∈R ”的充要条件是“z z =”D.若cos a θ=，()sin 0b πθθ=<<，则复数z 在复平面上对应的角在第一或第二象限 【答案】AB11.已知三棱锥P ABC -的顶点均在半径为5的球面上，ABC △为等边三角形且外接圆半径为4，平面PAB ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -的体积可能为 A.20 B.40 C.60 D.80【答案】AB【解析】设△ABC 外心为'O ，4'∴=O C ，而5=OC ，3'∴=OO平面⊥PAB 平面ABC ，设外接球球心为O ，过O 作⊥OM PQ 与点M∴P 在底面ABC 上的射影在AB 上，设=PQ h ，设'==OM O Q x()22222535∴+=⇒-+=PM OM h x而()22425032103≤<⇒<-≤⇒<≤+x h h 3≠h13603-∴==≤+=+<P ABC V∴选AB.12.分形几何学是数学家伯努瓦•曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，分形几何学不仅让人们感悟到数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义.按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：记图乙中第n 个白圈的个数为n a ，黑圈的个数为n b ，则下列结论中正确的有 A.414a =B.40是数学{}n b 中的项C.对任意的*n ∈N ，均有1n n n a a b n +=++ D.910b ∈N【答案】ABD【解析】根据图中所示的分形规委，1个白圈分为2个白圈，1个黑圈分为1个白圈，2个黑圈 记某行白圈x 个，黑圈y 个为(),x y 第1行()1,0 第2行()2,1 第3行()5,4 第4行()14,13414a ∴=，A 对，02113a a -== 13233a a -== 24393a a -==213n n n a a ---=112111331313233n n n n a a ---∴--+=-+=+-= 1312n n a -+∴=，1312n n b --=5n =时，40n b =，B 对1312n n a ++=11113131322n n n n n n a b n n n a -+--+-+++≠=++=，C 错842931918113280222b ---====，932810b =∈N ，D 对选ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若ABC △的三边长分别为2，3，4，则AB BC BC CA CA AB ⋅⋅++⋅的值为________.【答案】292-14.能使“函数()i 3s n x f x πω⎛⎫= ⎪⎝⎭+在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减”是真命题的一个正数ω的值为________. 【答案】115.()5232x x -+的展开式中2x 项的系数为________. 【答案】800 【解析】()()()55523212x x x x -+=--()51x -展开式第1r +项()()55155C 1C 1r rr r r r r T x x --+=-=-()52x -展开式第1k +项()()55155C 2C 2k kk k k k k T x x --+=-=-()()()101155C C 12r kr k k rr k T T x-+++=--求2x 的系数8r k +=5r =时，3k =，此时2x 系数()()535355C C 1280--=4r =时，4k =，此时2x 系数()()444455C C 12400--= 3r =时，5k =，此时2x 系数()()353555C C 12320--=2x ∴系数800.16.拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑•波拿马最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三个角形的顶点”.在ABC △中，120A ∠=︒，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3O ，若123O O O △，则ABC △的周长的取值范围为________.【答案】3⎡+⎣【解析】法一：建立坐标系，将几何问题转化为代数问题 按右图建立坐标系以A 为原点，AB 为x 轴⊥AB 于A 的直线为y 轴 设=AB x ，=AC y120∠=︒ A ，∴CA 延长出来即为一正三角形的边求出12O O 点坐标，即能求出正三角形123O O O 的面积表示都是正三角形，=AC y，=CM y ，2=y AM12⎛⎫∴- ⎪⎝⎭y O y，同理2,2⎛⎫⎪⎝⎭x O x()()()2221214123++∴=++=x y x y O O x y12321212∆==O O O S O代入()()221=1223+⨯⇒+x y x y=====BC()∆=++=++ABC C AB BC AC x y()2=12+ x y ，0>x ，0>y，∴+==x y∴=+C()222=12212+⇒++=x y x y xy ，222+≥x y xy4123∴≤⇒≤xy xy ，当==x y 时取等 0>x ，0>y ，03∴<≤xy3⎡∴=++⎣C .法二：120∠=︒ A ，1330∠=∠=︒O AB O AC13,,∴O A O 三点共线设=AB c ，=AC b ，=BC a123∴∆O OO+a()123213∆∴=⋅++⇒+=O O O S b c b c 而()[)222222212129,122++⋅=⇒=++=+-=-∈b c bc a a b c bc b c bc bc⎡∴∈⎣a3⎡∴++∈+⎣a b c .四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）sin cos C c B c ⋅=⋅+，②23cos cos cos 24A C A C --=， ③sin sin 3b A aB π⎛⎫⋅=⋅+ ⎪⎝⎭三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足________. （1）求角B 的大小；（2）若b =，a c +=，求ABC △的面积.【解析】cos C c B C =+sin sin cos sin B C C B C =+cos 1B B -=2sin 16B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()0,B π∈，3B π=（2）()22222cos 22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--14323ac =- 6ac =11sin 262ABC S ac B ∴⨯⨯===△若选②23coscos cos 24A C A C --= ()()131cos cos cos 24A C A C +--= 31cos cos sin sin 2cos cos 2A C A C A C ++-=1sin sin cos cos 2A C A C -=即()1cos 2A C -+=即1cos 2B =，()0,B π∈，3B π=，下同① 若选③sin sin 3b A a B π⎛⎫=+⎪⎝⎭1sin sin sin sin 2B A A B B ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭1sin 2B B =()tan0,B Bπ=∈，3Bπ=，下同①.18.（12分）已知数列{}n a，其前n项和为n S，且满足12a=，112n nS a++=.（1）求nS；（2）求满足()22nS n n>≥的最小整数n.【解析】112n nS a++=①2n∴≥时2n nS a=②①－②1122n n na a a++=-，即12n na a+=1n=时，2124S a==，22a∴={}na∴是从第二项起的一个等比数列12,212,n nnan-=≥⎧=⎨⎩1n∴=时，2nS=2n≥时，()()11212212222121n nnnS----=+=+=--，1n=时也成立，2nnS∴=.（2）2n=时，24S=，224=，此时222S=3n =时，38S =，239=，此时233S < 4n =时，416S =，2416=，此时244S = 5n =时，532S =，2525=，此时255S > 2n ≥时，min 5n ∴=.19.（12分）2021淮安西游乐园淮安马拉松将于4月18日在江苏淮安举行.本次比赛是淮安举办的首个全程马拉松比赛，是“奔跑中国”马拉松系列赛的重要一站，是一次纪念建党100周年的伟人故里行、体验千秋淮扬文脉的运河文化行、品味江淮旖旎风光的绿色高地行、感受淮安和合南北之便的枢纽新城行.为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，某高中选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的22⨯列联表：喜欢跑步 不喜欢跑步合计 男生 80 女生 20 合计已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6. （1）判断是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？ （2）从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X 表示3人中女生的人数，求X 的分布列及数学期望.参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K d a b c d a c b +++=+-()20≥P K k 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0250.01 0.005 0.0010k0.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.84 5.024 6.635 7.879 10.828【解析】（1）喜欢跑步的人数0.6120200⨯=22∴⨯列联表喜欢跑步 不喜欢跑步合计 男生8060140女生 40 20 60 合计120 80 200()2220080100121206040.587 2.718014060063K ⨯-⨯≈<⨯⨯==⨯没有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关. （2）不喜欢跑步男生有60人，女生有20人 现分层抽样8人，男生抽6人，女生抽2个X 可以0,1,2()3638C 50C 14P X ===()216238C C 151C 28P X ===()126238C C 32C 28P X ===X ∴的分布列()515330121428284E X ⨯+⨯=⨯+=. 20.（12分）如图1所示，梯形ABCD 中，2224AD AB BC CD ====，E 为AD 的中点，连结BE ，AC 交于F ，将ABE △沿BE 折叠，使得平面ABE ⊥平面BCDE （如图2）.（1）求证：AF CD ⊥；（2）求平面AFC 与平面ADE 所成的二面角的正弦值.【解析】（1）在梯形ABCD 中，2AD BC =，E 为AD 中点BC DE ∴∥BCDE ∴为平行四边形同理BC AE ∥AEF CBF ∴△≌△BF EF ∴=，AF FC = F ∴为BC 中点又2AB AE == B AF E ∴⊥平面ABE ⊥平面BCDE ，平面ACDE 平面ABE BE =，AF ⊂平面ABEAF ∴⊥平面BCDE又CD ⊂平面BCDEC AFD ∴⊥.（2）连结CE BC AE ∥2AB CE ∴==BCE ∴△为正三角形，F 为AC 中点 B CF E ∴⊥又AF ⊥ 平面BCDE ，CF ⊂平面BCDEC AF F ∴⊥,,FB FC FA ∴两两垂直以F 为坐标原点分别以,,FB FC FA 为,,x y z 轴建系()1,0,0B ，()1,0,0E -，()C，(A()1,DE CB ==BF ⊥平面AFC()11,0,0n ∴=是平面AFC 的一个法向量 设平面ADE 的法向量为(),,n x y z =00n AE n DE ⎧=⎪⎨=⎪⋅⎩⋅0x x ⎧--=⎪∴⎨-=⎪⎩ 不妨设1y =，则x =，1z =-，)1n =-设平面AFC 与平面ADE 所成的二面角为α111cos cos ,n n n n n n α⋅====sin α=. 21.（12分）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，右准线方程为x =（1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点()0,1P -的直线l 分别交双曲线C 的左、右两支于点A ，B ，交双曲线C 的两条渐近线于点D ，E （D 在y 轴左侧）.①是否存在直线l ，使得OA OB ⊥？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由； ②记ODE △和OAB △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围. 【解析】（1）22221⎧=⎪=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=-⎪⎩ba a abc c a c b ∴双曲线2212-=y x . （2）①设:1=-l y kx ，()11,A x y ，()22,B x y ，22112=-⎧⎪⎨-=⎪⎩y kx y x ，消y 可得()222230-+-=k x kx 直线l 分别交双曲线左右两支于,A B 两点()221221222083022302⎧-≠⎪∆=->⎪⎪⎨+=-⎪-⎪⎪=-<-⎩k k k x x k x x k，则<<k 若⊥OA OB ，则12120+=x x y y 即()()21212110+-++=kx xk x x ，无解，∴不存在这样的直线l .②∆ODE 以O 为顶点，高为h ，底为DE∆OAB 以为O 顶点，高为h ，底为AB121212⋅∴==⋅h DE S DE S ABh AB ，由（1）知12=-==AB x由1=-⎧⎨=⎩y kxy ，解得=Dx =E x=-DE∴=DEAB<<k 1≤<DE AB 121≤<S S .22.（12分）已知函数()sin exx t f x +=的导函数为()f x '，其中e 为自然对数的底数. （1）若0x ∃∈R ，使得()00f x '=，求实数t 的取值范围； （2）当2t =时，[)0,x ∀∈+∞，()()10ek xf x -+≥'恒成立，求实数k 的取值范围.【解析】法一：（1）()()()()2cos e e sin cos si e n e e sin x x x x x tx x t x f t f x x x x ⋅-⋅+--'⇒==+= ()0f x '=有解cos sin t x x ⇒=-有解而有辅助角公式：sin 4t x ⎡⎣⎛=--⎝故t ⎡∈⎣时，()0f x '=在R 上有解.（2）由（1）()()10cos sin e ee ekxk xxx x x t f x ---+=+≥' 注意到e 0x≥，所以()2c s e 0o sin kxx x t t -≥-=+即证明：()2e cos sin kx g x x x =+≥-在[)0,+∞上成立.()01102g =+-=()e sin cos kx g x k x x '=--若：()0101k g k '=-<⇒<，（取131ln k k x k k++=+， ()3ln11111esin cos 3sin cos k kkx x k x x g x k ++⋅--=+--'=311110k k k k ≥+--=++≥>+）()0,ε∴∃，()g x '在()0,ε上小于0()022g g ε⎛⎫⇒<= ⎪⎝⎭矛盾！从而1k ≥，而我们显然有e kx在()1,+∞上关于k 单增即：()e1e kx xk ≥≥对[)0,x ∈+∞成立.()()e sin cos e sin cos kx x g x x x x x g x ∴=--≥--=()11e cos sin e 4x xg x x x x π⎛⎫'=-+=+- ⎪⎝⎭，()1g x '在30,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单增， ()()1100g x g '≥'=∴ ()()1102g g x ≥=∴，在30,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上成立，而34x π>时，3224e e 24π>>= ()12e 11422g x ∴≥-->-=，()()12g x g x ≥≥∴在1k ≥时成立. 法二：（1）()cos sin exx x tf x --'=由题知00cos sin 0x x t --=有解，而00cos sin t x x =-而000cos sin os 4x x x π⎡∈⎣⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，故t ⎡∈⎣（2）当2t =时，()cos sin 2exx x f x --'=即()10cos sin 2e ek xxx x ---+≥ 整理有0cos sin 21e kxx x -+≥- 令()cos sin 21ekxx x g x --=+ ()()sin cos cos sin 2ekxx x k x x g x -----'= 当1k ≥时，()()sin cos sin 222cos 0e ekx kxg x csox x x xx '------≥=≥ ()g x 单调递增，()()00g x g ≥=，符合题意当01k <<地，()010g k '=-<，00x ∃>，使00x x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，()()00g x g <=，不符合题意当0k ≤时，()0g <，不符题意 故[)1,k ∈+∞。
2021年江苏苏州高三二模数学试卷(苏锡常镇四市联考)-学生用卷
2021年江苏苏州高三二模数学试卷（苏锡常镇四市联考）-学生用卷一、单选题1、【来源】 2021年江苏苏州高三二模（苏锡常镇四市联考）第1题若a∈R，则“a=2”是“复数z=2−ai的模为2√2”(i为虚数单位)的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2、【来源】 2021年江苏苏州高三二模（苏锡常镇四市联考）第2题若集合A={x|y=√2−x}，B={y|y=2x}，则A⋂B=（）A. (−∞,2]B. [2,+∞)C. (0,2]D. [0,2]3、【来源】 2021年江苏苏州高三二模（苏锡常镇四市联考）第3题从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中，不放回地随机抽取两次，每次抽取一张。
“在第一次抽到标号是4的条件下，第二次抽到的标号是奇数”的概率为（）A. 35B. 12C. 110D. 1124、【来源】 2021年江苏苏州高三二模（苏锡常镇四市联考）第4题已知椭圆E：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F2，左顶点为A1，若E上的点P满足PF2⊥x轴，sin∠PA1F2=35，则E的离心率为（）A. 12B. 25C. 14D. 155、【来源】 2021年江苏苏州高三二模（苏锡常镇四市联考）第5题2022~2023学年10月江苏高三上学期月考（南京市、镇江市部分学校学情调查）第8题已知a=sin1，b=cos1，则下列不等式正确的是（）A. log a b<a b<b aB. log a b<b a<a bC. a b<b a<log a bD. b a<a b<log a b6、【来源】 2021年江苏苏州高三二模（苏锡常镇四市联考）第6题已知3sin(α−π6)=sin(α+π6)，则cos2α=（）A. 17B. −17C. 1113D. −11137、【来源】 2021年江苏苏州高三二模（苏锡常镇四市联考）第7题我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形所构成(如图)，后人称其为“赵爽弦图”.在直角三角形CGD中，已知GC=4，GD=3，在线段EF上任取一点P，线段BC上任取一点Q，则AP→⋅AQ→的最大值为（）A. 25B. 27C. 29D. 318、【来源】 2021年江苏苏州高三二模（苏锡常镇四市联考）第8题已知函数f(x)=x2−2x23x+1+1.若存在m∈(1,4)使得不等式f(4−ma)+f(m2+3m)>2成立，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,7)B. (−∞,7]C. (−∞,8)D. (−∞,8]二、多选题9、【来源】 2021年江苏苏州高三二模（苏锡常镇四市联考）第9题某中学为了研究高三年级学生的身高和性别的相关性问题，从高三年级800名学生中随机抽取200名学生测量身高，测量数据的列联表如下：单位：人下列说法正确的有（）附1：cℎi2=fracnleft(ad−bcigℎt)2left(a+bigℎt)left(c+ digℎt)left(a+cigℎt)left(b+digℎt)(其中n=a+b+c+d).临界值表：附2：若XildeNleft(mu,sigma2igℎt)，则随机变量 X取值落在区间left(mu−sigma,mu+ sigmaigℎt)上的概率约为68.3%.A. 从列联表可以判断该样本是由分层抽样而得B. 从列联表可以看出该中学高三学生身高最高的是男生C. 有99.9%的把握认为该中学高三学生的身高与性别有关联D. 若该样本中男生身高ℎ(单位：extcm)服从正态分布Nleft(175,25igℎt)，则该样本中身高在区间left(175,180igℎt]内的男生超过30人10、【来源】 2021年江苏苏州高三二模（苏锡常镇四市联考）第10题在数学发展史上，曾经定义过下列两种函数：1−cosθ称为角θ的正矢，记作versinθ；1−sinθ称为角θ的余矢，记作coversinθ.则（）A. versin2021π6=32B. 函数f (θ)=versinθ⋅coversinθ的最大值为3+2√22C. 存在一个θ，使得函数f (θ)=versinθ−coversinθ的值为32D. 将函数f (θ)=coversinθ的图象向左平移π2个单位后，可得到函数g (θ)=versinθ的图象11、【来源】 2021年江苏苏州高三二模（苏锡常镇四市联考）第11题已知正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，侧棱长为2，点M 为侧棱CC 1上的动点，AM ⊥平面α.下列说法正确的有（ ）A. 异面直线AM 与B 1C 可能垂直B. 直线BC 与平面α不可能垂直C. AB 与平面α所成角的正弦值的范围为(0,√22]D. 若M ∈α且CM =MC 1，则平面α截正四棱柱所得截面多边形的周长为3√212、【来源】 2021年江苏苏州高三二模（苏锡常镇四市联考）第12题已知函数f (x )的定义域为R ，且在R 上可导，其导函数记为f ′(x ).下列命题正确的有（ ）A. 若函数f (x )是奇函数，则f ′(x )是偶函数B. 若函数f ′(x )是偶函数，则f (x )是奇函数C. 若函数f (x )是周期函数，则f ′(x )也是周期函数D. 若函数f ′(x )是周期函数，则f (x )也是周期函数三、填空题13、【来源】 2021年江苏苏州高三二模（苏锡常镇四市联考）第13题已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2).若线段FA 的中点B 在抛物线上，则p 的值为 .14、【来源】 2021年江苏苏州高三二模（苏锡常镇四市联考）第14题已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为b (其中a ，b ∈N ∗)，且a 2<ab <a 3，写出一个满足条件的数列{a n }的通项公式： .15、【来源】 2021年江苏苏州高三二模（苏锡常镇四市联考）第15题一个组合体由上下两部分组成，上部是一个半球，下部是一个圆柱，半球的底面与圆柱的上底面重合.若该组合体的体积为定值V ，则当圆柱底面半径r = 时，该组合体的表面积最小.四、双空题16、【来源】 2021年江苏苏州高三二模（苏锡常镇四市联考）第16题已知平面向量a →，b →，c →满足|b →|=|c →|=1，|b →−c →|=√3，2a →⋅b →=a →⋅c →=1，则b →与c →的夹角为 ；|a →|等于 .五、解答题17、【来源】 2021年江苏苏州高三二模（苏锡常镇四市联考）第17题在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且a −b =acosB −bcosA .（1）求证：a =b ；（2）若c =4，cosC =35，求△ABC 的面积.18、【来源】 2021年江苏苏州高三二模（苏锡常镇四市联考）第18题在①na n+1−(n +1)a n =n 2+n ，②3S n =(n +2)a n ，③T n+1=(n+2)a n T n n 这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目.设首项为2的数列{a n }的前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，且___________.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =(−1)n a n ，求数列{b n }的前n 项和．19、【来源】 2021年江苏苏州高三二模（苏锡常镇四市联考）第19题2022~2023学年10月福建莆田涵江区莆田第三中学高三上学期月考第19题如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2的等边三角形，平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，A 1A =A 1B ，∠A 1AB =60°，O 为AB 的中点，M 为A 1C 1的中点.（1）求证：OM//平面BB1C1C；（2）求二面角C1−BA1−C的正弦值.20、【来源】 2021年江苏苏州高三二模（苏锡常镇四市联考）第20题在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到定点F(−2,0)的距离与到定直线l：x=−32的距离之比为定值2√33.（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）过点F作互相垂直的两条直线l1，l2，其中l1交动点M的轨迹E于M，N两点，l2交圆D：(x−4)2+y2=9于P，Q两点，点R是线段PQ的中点，求△RMN面积的最小值.21、【来源】 2021年江苏苏州高三二模（苏锡常镇四市联考）第21题某中学的一个高二学生社团打算在开学初组织部分同学打扫校园.该社团通知高二同学自愿报名，由于报名的人数多达50人，于是该社团采用了在报名同学中用抽签的方式来确定打扫校园的人员名单.抽签方式如下：将50名同学编号，通过计算机从这50个编号中随机抽取30个编号，然后再次通过计算机从这50个编号中随机抽取30个编号，两次都被抽取到的同学打扫校园.（1）设该校高二年级报名打扫校园的甲同学的编号被抽取到的次数为Y，求Y的数学期望；（2）设两次都被抽取到的人数为变量X，则X的可能取值是哪些？其中X取到哪一个值的可能性最大？请说明理由.22、【来源】 2021年江苏苏州高三二模（苏锡常镇四市联考）第22题已知函数f(x)=axe x(e为自然对数的底数).（1）若函数g(x)=x−f(x)在(0,+∞)上为增函数，求实数a的取值范围；（2）证明：对任意实数a，函数ℎ(x)=f(x)−lnx有且只有一个零点.1 、【答案】 A;2 、【答案】 C;3 、【答案】 A;4 、【答案】 C;5 、【答案】 D;6 、【答案】 B;7 、【答案】 C;8 、【答案】 C;9 、【答案】 C;D;10 、【答案】 B;D;11 、【答案】 A;B;D;12 、【答案】 A;C;13 、【答案】√2;14 、【答案】a n=2n+1;3;15 、【答案】√3V5π;16 、【答案】120°;√21317 、【答案】（1）证明见解析；（2）8.;18 、【答案】条件选择见解析；（1）a n=n2+n；（2）${{B}_{n}}=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}\frac{{{n}^{2}}}{2}+n,n=2k,k\in {{N}^{*}} \\-\frac{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{2},n=2k-1,k\in {{N}^{*}} \\ \end{array} \right.$.;.;19 、【答案】（1）证明见解析；（2）45−y2=1；（2）2√3.;20 、【答案】（1）x2321 、【答案】（1）6；（2）答案见解析.;522 、【答案】（1）[−e2,−1]；（2）证明见解析.;。
江苏省2021年高考数学二模试卷(理科)(I)卷
江苏省2021年高考数学二模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）定义：若z2=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则称复数z是复数a+bi的平方根．根据定义，则复数﹣3+4i的平方根是（）A . 1﹣2i或﹣1+2iB . 1+2i或﹣1﹣2iC . ﹣7﹣24iD . 7+24i2. （2分）(2013·重庆理) 已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A . {1，3，4}B . {3，4}C . {3}D . {4}3. （2分） (2018高一下·鹤岗期中) 实数满足且，则的最大值为（）A .B .C . 5D . 74. （2分） (2017高二下·西城期末) 下列函数中，既是奇函数又是单调递增函数的是（）A . y=exB . y=lnxC . y=D . y=x35. （2分）运行右图所示框图的相应程序,若输入，的值分别为和,则输出M的值是（）A . 0B . 1C . 2D . －16. （2分） (2018高二上·万州期中) 如图，将边长为2的正方体沿对角线折起，得到三棱锥，则下列命题中，错误的为（）A . 直线平面B .C . 三棱锥的外接球的半径为D . 若为的中点，则平面7. （2分） (2017高二上·景德镇期末) 若（9x﹣）n（n∈N*）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为（）A . 252B . ﹣252C . 84D . ﹣848. （2分）将函数y=cos（2x+）的图象向左平移单位后，得到的图象的函数解析式为（）A . y=cos（2x+）B . y=﹣sin2xC . y=cos（2x+）D . y=sin2x9. （2分）已知平行四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且，且，则（）A .B .C .D .10. （2分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A . 8B .C . 16D . 1611. （2分） (2019高二下·海东月考) 在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯灭的概率是（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数的定义域为，部分对应值如下表，x-1045f(x)1221的导函数的图象如图所示.下列关于的命题：①函数的极大值点为；②函数在上是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；④函数最多有2个零点.其中正确命题的序号是（）A . ①②B . ③④C . ①②④D . ②③④.二、填空题： (共4题；共5分)13. （1分） (2019高二上·阳山期中) 数列满足，则数列的前项和 ________．14. （1分）(2017·黄陵模拟) 在区间[0，1]上任取两个实数a，b，则函数f（x）= x2+ax﹣b在区间[﹣1，1]上有且仅有一个零点的概率为________．15. （2分）已知α∈（，π），cosα=﹣，则tanα=________；tan（α+ ）________．16. （1分） (2016高一上·锡山期中) 已知函数，若函数g（x）=|f（x）|﹣a有四个不同零点x1 ， x2 ， x3 ， x4 ，且x1＜x2＜x3＜x4 ，则的最小值为________三、解答题： (共7题；共60分)17. （5分）(2020·淄博模拟) 下面给出有关的四个论断：① ；② ；③ 或；④ .以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若▲，则▲（用序号表示）并给出证明过程：18. （15分）(2017·江苏模拟) 己知n为正整数，数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，设数列{bn}满足bn=（1）求证：数列{ }为等比数列；（2）若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：（3）若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn ，对任意的n∈N* ，均存在m∈N* ，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm 成立，求满足条件的所有整数a1的值．19. （5分）(2017·邯郸模拟) 某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y（g）与尺寸x（mm）之间近似满足关系式y=axb（a，b为大于0的常数）．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：尺寸（mm）384858687888质量（g）16.818.820.722.424.025.5对数据作了初步处理，相关统计量的值如表：75.324.618.3101.4（Ⅰ）根据所给数据，求y关于x的回归方程；（Ⅱ）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（，）内时为优等品．现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的分布列和期望．附：对于一组数据（v1 ， u1），（v2 ， u2），…，（vn ， un），其回归直线u=α+βv的斜率和截距的最小二乘估计分别为 = ， = ﹣．20. （10分）(2017·重庆模拟) 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E为PB上的点，且2BE=EP．（1）证明：AC⊥DE；（2）若PC= BC，求二面角E﹣AC﹣P的余弦值．21. （10分） (2017高二上·泉港期末) 已知函数f（x）=ax3+bx2﹣2x+c在x=﹣2时有极大值6，在x=1时有极小值，（1）求a，b，c的值；（2）求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值．22. （10分） (2018高三上·玉溪月考) 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 ,直线的参数方程为( 为参数).（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若点 ,直线与曲线交于两点且成等比数列,求值.23. （5分）已知函数f（x）=1﹣在R上是奇函数．（1）求a；（2）对x∈（0，1]，不等式s•f（x）≥2x﹣1恒成立，求实数s的取值范围；（3）令g（x）=，若关于x的方程g（2x）﹣mg（x+1）=0有唯一实数解，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共60分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。
江苏省2021年高考数学二模试卷(理科)D卷
江苏省2021年高考数学二模试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知复数z满足z(1+i)=1(其中i为虚数单位)，则z的共轭复数是（）A .B .C .D .2. （2分）若，则不等式等价于（）A . 或B .C . 或D . 或3. （2分） (2017高一上·唐山期末) 设f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）=﹣f（x+1），当x∈[0，1]时，f（x）=x+2，则当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）A . f（x）=x+4B . f（x）=2+|x+1|C . f（x）=2﹣xD . f（x）=3﹣|x+1|4. （2分）若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k的值是（）A . 5B . 6C . 7D . 85. （2分）使函数f（x）=sin（2x+θ）+ cos（2x+θ）为奇函数的θ的一个值是（）A .B .C .D .6. （2分）从集合的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合的子集的概率是（）A .B .C .D .7. （2分）长方体一个顶点上三条棱的长分别为6，8，10，且它们的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）A .B .C . 50πD . 200π8. （2分） (2017高二上·汕头月考) 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的表面积为（）A . 20πB . 40πC . 50πD . 60π9. （2分） (2018高三上·重庆月考) 函数的图像在点处的切线斜率的最小值是（）A . 2B .C . 3D . 410. （2分）设函数的导函数则数列的前n项的和为（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高三上·吉林月考) 若抛物线的焦点是 ,准线是 ,点是抛物线上一点,则经过点、且与相切的圆共（）A . 0B . 1个C . 2个D . 4个12. （2分）(2018·广元模拟) 若正项递增等比数列满足，则的最小值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·黄冈月考) 若，则 ________.（用数字作答）.14. （1分） (2018高一下·柳州期末) 设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为________．15. （1分） (2019高三上·上海期中) 若函数的定义域为，则的取值范围为________.16. （1分） (2016高一下·江阴期中) 把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形（如图）．则第8个三角形数是________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （5分）(2018高一下·大连期末) 设内角所对应的边分别是 .已知.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的最大值.18. （15分） (2017高一下·简阳期末) 如图，梯形ABEF中，AF∥BE，AB⊥AF，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC将梯形DCFE折起，使得平面DCFE⊥平面ABCD．（1）证明：AC∥平面BEF；（2）求三棱锥D﹣BEF的体积；（3）求直线AF与平面BDF所求的角．19. （5分）(2017·沈阳模拟) 某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数2040805010男性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数4575906030（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．20. （10分） (2018高二上·江苏月考) 在平面直角坐标系中，设中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆的左、右焦点分别为，右准线与轴的交点为， .（1）已知点在椭圆上，求实数的值；（2）已知定点．① 若椭圆上存在点，使得，求椭圆的离心率的取值范围；② 如图，当时，记为椭圆上的动点，直线分别与椭圆交于另一点，若且，求证：为定值．21. （15分） (2016高一上·泗阳期中) 已知函数f（x）=2x+m21﹣x ．（1）若函数f（x）为奇函数，求实数m的值；（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是单调递增函数，求实数m的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数f（x）的图象关于点A（a，0）对称，若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由．注：点M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）的中点坐标为（，）．22. （10分） (2018高二下·大连期末) 已知直线过点，倾斜角为，以原点为极点，轴正半轴为极轴（长度单位与之交坐标系的长度相同）建立极坐标系，圆的方程为，（1）分别写出圆的直角坐标方程和直线的参数方程；（2）设圆与直线交于点，，求 .23. （5分） (2017高二下·深圳月考) 已知．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、。
江苏省苏锡常镇四市2021届高三数学第二次模拟考试(5月)试题
江苏省苏锡常镇四市2021届高三数学第二次模拟考试（5月）试题(满分160分，考试时间120分钟)2021．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{1，2}，B ＝{－1，a}．若A∪B＝{－1，a ，2}，则a ＝________．2. 若复数z 满足(1－i)z ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．3. 某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是________．y←1 x ←1While y ≥1y←3－x 2x←y End While Print y(第3题) (第4题)4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出y 的值为________．5. 某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为________．6. 函数f(x)＝2－x ＋ln x 的定义域为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点是双曲线x 2a 2－y24a＝1的顶点，则a ＝________．(第9题)8. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝5S 2，a 2＝2，则a 4＝________．9. 已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为6，点M 是对角线A 1C 上靠近点A 1的三等分点，则三棱锥CMBD 的体积为________．10. 已知定义在R 上的奇函数f(x)的周期为2，且x∈[0，1]时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，0≤x ≤12，bx －1x ＋1，12<x ≤1，则a ＋b ＝________．11. 已知锐角α满足sin 2α－2cos 2α＝－1，则tan (α＋π4)＝________．(第12题)12. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝π2，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD →·AC →＝________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x －a)2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且OM →＋O 1N →＝0，则a 的取值范围是________．14. 已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t(t 为常数)，且直线y ＝ax ＋b 与曲线y ＝xe x(e 是自然对数的底数，e ≈2.718 28…)相切．若满足条件的有序实数对(a ，b)唯一存在，则实数t 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且bsin 2A ＝asin B. (1) 求A ；(2) 求cos(B ＋π6)＋sin(C ＋π3)的最大值．16. (本小题满分14分)在四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，DA 1＝DD 1，点E，F分别为线段A1D1，BC的中点．求证：(1) EF∥平面CC1D1D；(2) AC⊥平面EBD.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 过点P(0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B.己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标．某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B.现规划修建一条新路(由线段MP ，PQ ︵，线段QN 三段组成)，其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，PQ ︵所对的圆心角为π6.记∠PCA＝2θ(道路宽度均忽略不计)．(1) 若θ＝5π12，求QN 的长度；(2) 求新路总长度的最小值．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且对任意n∈N *，a n S n ＋1－a n ＋1S n＝2a n ＋1－2a n 恒成立．(1) 求证：数列{S n ＋2a n}是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2) 设b n ＝a n ＋4n －3，已知b 2，b i ，b j (2＜i ＜j)成等差数列，求正整数i ，j .已知函数f(x)＝(m－1)x＋ln x，g(x)＝(m－2)x2＋(n＋3)x－2，m，n∈R.(1) 当m＝0时，求函数f(x)的极值；(2) 当n＝0时，函数F(x)＝g(x)－f(x)在(0，＋∞)上为单调函数，求m的取值范围；(3) 当n＞0时，判断是否存在正数m，使得函数f(x)与g(x)有相同的零点，并说明理由．2021届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知点M(2，1)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 2对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A 的特征值．B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以原点O为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin (θ＋π4)＝10.(1) 求曲线C 和直线l 的普通方程；(2) 点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值．C. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，c 是正数，求证：对任意x∈R ，不等式|x －2|－|x ＋1|≤b a ＋c b ＋ac 恒成立．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝2，AD ＝AP ＝3，点M 是棱PD 的中点．(1) 求二面角MACD 的余弦值；(2) 点N 是棱PC 上的点，已知直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为32222，求PNPC的值．23. 已知数列{a n }中，a 1＝6，a n ＋1＝13a 2n －a n ＋3(n∈N *)．(1) 分别比较下列每组中两数的大小： ① a 2和6×32；② a 3和6×(32)3；(2) 当n≥3时，求证：(a i 6)2i>2×(32)n－3.2021届高三模拟考试试卷(苏锡常镇)数学参考答案及评分标准1. 12. 03. 304. －15. 26. (0，2]7. 18. 2或89. 24 10. 0 11. 2 12. 413. (22，4) 14. t ＝e 或t<－5e －215. 解：(1) 因为bsin 2A ＝asin B ，所以2bsin Acos A ＝asin B ， 所以由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得2bacos A ＝ab.(3分)因为ab≠0，所以cos A ＝ab 2ab ＝12.因为三角形内角A∈(0，π)，所以A ＝π3.(6分)(2) 由(1)知A ＝π3，又A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－A －B ＝2π3－B ，B ∈(0，2π3)，所以cos(B ＋π6)＋sin(C ＋π3)＝cos Bcos π6－sin Bsin π6＋sin(π－B)＝12sin B ＋32cos B ＝sin(B ＋π3)．(11分) 因为0<B<2π3，所以π3<B ＋π3<π，所以当B ＋π3＝π2，即B ＝π6时，sin(B ＋π3)取最大值1，所以cos(B ＋π6)＋sin(C ＋π3)的最大值为1.(14分)16. 证明：(1) 连结CD 1，在四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，四边形A 1B 1C 1D 1，BB 1C 1C 是平行四边形，所以A 1D 1∥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，且A 1D 1＝B 1C 1，BC ＝B 1C 1. 因为点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点， 所以ED 1∥FC ，ED 1＝FC ，所以四边形ED 1CF 是平行四边形，(3分) 所以EF∥CD 1.因为EF ⊄平面CC 1D 1D ，CD 1⊂平面CC 1D 1D ， 所以EF∥平面CC 1D 1D.(6分)(2) 在四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，四边形AA 1D 1D 是平行四边形，所以AD∥A 1D 1. 在△DA 1D 1中，DA 1＝DD 1，点E 为线段A 1D 1的中点， 所以DE⊥A 1D 1.因为AD∥A 1D 1，所以DE⊥AD.(8分)因为平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，平面A 1ADD 1∩平面ABCD ＝AD ，DE ⊂平面A 1ADD 1， 所以DE⊥平面ABCD.又AC ⊂平面ABCD ，所以DE⊥AC.(11分) 因为底面ABCD 是菱形，所以BD⊥AC. 因为BD∩DE＝D ，BD ，DE ⊂平面EBD ，所以AC⊥平面EBD.(14分)17. 解：(1) 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为12，右焦点与右准线的距离为3，得c a ＝12，a 2c －c ＝3，解得c ＝1，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3，(4分) 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y23＝1.(5分)(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，四边形OAQB 是平行四边形时，OQ →＝OA →＋OB →.当直线l 的斜率不存在时，直线l 过原点O ，此时O ，A ，B 三点共线，不符合题意；(7分)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，与椭圆方程联立有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 23＝1，所以x 24＋（kx ＋1）23＝1，即(3＋4k 2)x 2＋8k 2x －8＝0，所以Δ>0，x 1＋x 2＝－8k 3＋4k 2，所以y 1＋y 2＝63＋4k2.(10分)将Q(x 1＋x 2，y 1＋y 2)的坐标代入椭圆方程得（－8k 3＋4k 2）24＋（63＋4k2）23＝1，化简得k 2＝14，所以k ＝±12，符合题意，(13分)所以Q 的坐标是(±1，32)．(14分)18. 解：(1) 因为PQ ︵所对的圆心角为π6，θ＝5π12，所以∠PCQ＝π6，∠PCA ＝2θ＝5π6.因为∠BCA＝π2，所以∠BCQ＝2π－5π6－π2－π6＝π2，所以四边形BCQN 中，∠BCQ ＝∠CBN＝∠CQN＝π2，所以四边形BCQN 是矩形，从而QN ＝CB ＝1.答：QN 的长为1千米．(4分)(2) PM ＝tan ∠PCA 2＝tan θ，∠BCQ ＝4π3－2θ，NQ ＝tan ∠BCQ 2＝tan(2π3－θ)，PQ ︵长为π6.(6分)从而PM ＋NQ ＝tan θ＋tan(2π3－θ)＝tan θ＋tan 2π3－tan θ1＋tan 2π3tan θ＝tan θ＋－3－tan θ1－3tan θ，即PM ＋NQ ＝tan θ＋3＋tan θ3tan θ－1＝tan θ＋1＋33tan θtan θ－33，(9分)其中θ∈(π6，π2)，tan θ∈(33，＋∞)，tan θ－33∈(0，＋∞)，(11分)所以PM ＋NQ ＝(tan θ－33)＋43tan θ－33＋233≥2（tan θ－33）·43tan θ－33＋233＝23，(14分) 当且仅当tan θ－33＝43tan θ－33，又θ∈(π6，π2)，即当且仅当θ＝π3时取等号．(15分)答：当∠PCA＝2π3时，新路总长度的最小值为(23＋π6)千米．(16分)19. (1) 证明：S 1＋2a 1＝2＋22＝2.因为a n S n ＋1－a n ＋1S n ＝2a n ＋1－2a n ，所以a n S n ＋1＋2a n ＝a n ＋1S n ＋2a n ＋1. 因为a n >0，两边除以a n a n ＋1得S n ＋1＋2a n ＋1＝S n ＋2a n ，所以S n ＋1＋2a n ＋1－S n ＋2a n＝0，n ∈N *， 所以数列{S n ＋2a n }是首项为2，公差为0的等差数列，所以S n ＋2a n ＝2.(3分)则S n ＋2＝2a n ，S n ＋1＋2＝2a n ＋1，两式作差得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ，所以a n ＋1＝2a n .因为a n >0，所以a n ＋1a n＝2，n ∈N *，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n.(7分)(2) 解：b n ＝2n＋4n －3，由b 2，b i ，b j 成等差数列得2b i ＝b 2＋b j ，即2(2i ＋4i －3)＝9＋2j ＋4j －3，整理得2i －1＋2i ＝2j －2＋j ＋3(2<i<j) (*)．①若j ＝i ＋1，则2i －1＋2i ＝2i －1＋i ＋1＋3，所以i ＝4，j ＝5.(10分)②若j≥i＋2，则(2j －2＋j ＋3)－(2i －1＋2i)≥2i ＋i ＋5－2i －1－2i ＝2i －1－i ＋5.(12分)设c n ＝2n －1－n ＋5(n>2)，c n ＋1－c n ＝(2n －n ＋4)－(2n －1－n ＋5)＝2n －1－1>0， 则c n ＋1>c n (n>2)，所以n>2时，数列{c n }单调递增，其中c 3＝6>0，所以c n >0，即2j －2＋j ＋3>2i －1＋2i ，所以(*)式不成立．(15分) 综上可得i ＝4，j ＝5.(16分)20. 解：(1) 当m ＝0时，f(x)＝－x ＋ln x ，令f′(x)＝－1＋1x ＝0，得x ＝1，列表如下：x (0，1) 1 (1，＋∞)f′(x) ＋0 －f(x)极大值所以，当x ＝(3分)(2) 当n ＝0时，F(x)＝(m －2)x 2＋(4－m)x －ln x －2，x ∈(0，＋∞)， 则F′(x)＝2(m －2)x ＋(4－m)－1x ＝2（m －2）x 2＋（4－m ）x －1x＝（2x －1）[（m －2）x ＋1]x，当m －2≥0，即m≥2时，令F′(x)>0，则x>12，所以F(x)在(0，12)上单调递减，在(12，＋∞)上单调递增，不符合题意；(5分) 当m<2时，令F′(x)＝0，则x ＝12或x ＝12－m ，若12－m <12，令F′(x)>0，则12－m <x<12，所以F(x)在(0，12－m)上单调递减， 在(12－m ，12)上单调递增，在(12，＋∞)上单调递减，不符合题意； 若12－m >12，令F′(x)>0，则12<x<12－m ，所以F(x)在(0，12)上单调递减， 在(12，12－m )上单调递增，在(12－m ，＋∞)上单调递减，不符合题意； 若12－m ＝12，即m ＝0，此时F′(x )＝－（2x －1）2x ≤0恒成立， 所以F(x)在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．(8分) 综上可得m ＝0.(9分)(3) 对于任意的n>0，构造h(x)＝x ＋ln x ＋2x －(3＋n)(x>0)，则h′(x)＝1＋1x －2x 2＝x 2＋x －2x 2＝（x ＋2）（x －1）x2. 令h′(x)＝0，则x ＝1，当0<x<1时，h ′(x)<0，当x>1时，h ′(x)>0，所以h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝1时，h(x)取得极小值h(1)，因为h(1)＝－n<0，h(n ＋3)＝ln(n ＋3)＋2n ＋3>0，且h(x)在[1，n ＋3]上的图象是一条连续不间断的曲线，所以存在x 0∈(1，n ＋3)，使得h(x 0)＝0，即x 0＋ln x 0＋2x 0－(3＋n)＝0，两边同乘以x 0，有x 20＋x 0ln x 0＋2－(3＋n)x 0＝0 ①.(12分) 取m ＝1－ln x 0x 0，构造k(x)＝1－ln x x ，x>0，k ′(x)＝ln x －1x2.令k′(x)＝0有x ＝e ，则有k(x)在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， 所以当x ＝e 时，k(x)取最小值1－1e>0，所以m ＝1－ln x 0x 0>0，两边同时乘以x 0，有mx 0＝x 0－ln x 0，化简得(m －1)x 0＋ln x 0＝0，即x 0也是f(x)的零点；两边同时乘以x 0可得(m －1)x 20＋x 0ln x 0＝0 ②.(14分)用②－①可得(m －2)x 20＋(n ＋3)x 0－2＝0，所以x 0也为g(x)的一个零点， 所以当n>0时，存在正数m ，使得函数f(x)与g(x)有相同的零点．(16分)2021届高三模拟考试试卷(十八)(苏锡常镇)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：因为点M(2，1)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 2对应的变换作用下得到点N(5，6)， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤56，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝5，2b ＋2＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1322.(5分)f (λ)＝|λE －A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－3－2λ－2＝(λ－1)(λ－2)－6，令f(λ)＝0，得λ2－3λ－4＝0，即(λ－4)(λ＋1)＝0，解得λ1＝4，λ2＝－1， 所以矩阵A 的特征值为4或－1.(10分)B. 解：(1) 由题意，曲线C 的普通方程为x 24＋y 2＝1，直线l 的普通方程为x ＋y －25＝0.(4分)(2) 设P(2cos α，sin α)，则P 到直线l 的距离 d＝||2cos α＋sin α－252＝||5sin （α＋θ）－252＝25－5sin （α＋θ）2，(8分)所以当sin (α＋θ)＝1时，d min ＝102， 所以P 到直线l 的距离的最小值为102.(10分) C. 证明：对于正数a ，b ，c ，由均值不等式得b a ＋c b ＋ac ≥33b a ×c b ×a c＝3，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．(4分)对任意x∈R ，由绝对值不等式得|x －2|－|x ＋1|≤||x－2|－|x ＋1||≤|(x－2)－(x ＋1)|＝3，当且仅当x≤－1时取等号，(8分)所以，对任意x∈R ，都有不等式|x －2|－|x ＋1|≤b a ＋c b ＋ac成立．(10分)22. 解：(1) 以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则各点的坐标为A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3), M(0，32，32)，AP →＝(0，0，3)，AC →＝(2，3，0)，AM →＝(0，32，32)．因为PA⊥平面ABCD ，所以平面ACD 的一个法向量为AP →＝(0，0，3)．(1分) 设平面MAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝0，32y ＋32z ＝0，取n ＝(3，－2，2)，(3分)所以cos 〈AP →，n 〉＝AP →·n |AP →||n |＝63×9＋4＋4＝21717，所以，由图可得二面角MACD 的余弦值为21717.(5分)(2) 设PN →＝λPC →(λ∈(0，1))，其中PC →＝(2，3，－3)，所以MN →＝MP →＋PN →＝(0，－32，32)＋(2λ，3λ，－3λ)＝(2λ，3λ－32，－3λ＋32)．因为平面ABCD 的一个法向量为AP →＝(0，0，3)， 所以cos 〈AP →，MN →〉＝AP →·MN →|AP →||MN →|＝3（－3λ＋32）3（2λ）2＋（3λ－32）2＋（－3λ＋32）2＝－3λ＋3222λ2－18λ＋92.(8分)因为直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为32222，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3λ＋3222λ2－18λ＋92＝32222，所以（－3λ＋32）222λ2－18λ＋92＝922，化简得4λ＝1，即λ＝14，所以PN PC ＝|PN →||PC →|＝14.(10分)23. (1) 解：① 因为a 2＝9，6×32＝9，所以a 2＝6×32；②因为a 3＝21，6×(32)3＝814，所以a 3＞6×(32)3.(3分)(2) 证明：先用数学归纳法证明：当n≥3时，a n >6×(32)n （n －1）2.(4分) ①当n ＝3时，a 3＞6×(32)3；②假设当n ＝k(k≥3，k ∈N *)时，结论成立，即a k >6×(32)k （k －1）2， 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝13a 2k －a k ＋3>13×[6×(32)k （k －1）2]2－6×(32)k （k －1）2＋3>13×[6×(32)k （k －1）2]2－6×(32)k （k －1）2， 其中a k ＋16×（32）k （k ＋1）2>13×[6×（32）k （k －1）2]26×（32）k （k ＋1）2－6×（32）k （k －1）26×（32）k （k ＋1）2＝2×(32)k （k －3）2－(32)－k>1， 所以a k ＋1>6×(32)k （k ＋1）2，所以当n ＝k ＋1时，结论也成立， 综上所得，当n≥3时，a n >6×(32)n （n －1）2，(8分) 从而，当n≥3时，(a n 6)2n>(32)n －1，则(a i 6)2i>(a 26)22＋(32)2＋(32)3＋…＋(32)n －1＝32＋(32)2＋(32)3＋…＋(32)n －1＝32×1－（32）n－11－32＝2×(32)n－3，所以当n≥3时，(a i6)2i>2×(32)n－3.(10分)。
江苏省苏锡常镇四市2021届高三第二次模拟考试数学试题(含答案)
江苏省苏锡常镇四市2021届高三年级第二次模拟考试(一)数学本试卷满分160分，考试时间为120分钟．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{x|x<3，x ∈R }，B ＝{x |x >1，x ∈R }，则A ∩B ＝________．2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足zi＋4＝3i ，则复数z 的模为________．3. 一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40，0.125，则n 的值为________．4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知方程x 24－m －y 22＋m ＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围为________．5. 为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连续2天的概率是________．6. 执行如图所示的程序框图，输出的x 值为________．(第6题图)(第7题图)7. 如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是棱BB 1的中点，则四棱锥PAA 1C 1C 的体积为________．8. 设数列{a n }是首项为1，公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S n 成等比数列，则数列{a n }的公差为________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数f (x )＝x 2＋4x (x>0)的图象上任意一点，过M 点向直线y ＝x 和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则MA →·MB →＝________．10. 若一个钝角三角形的三内角等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为________．12. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ， 0≤x<4，log 2（x －2）＋2， 4≤x ≤6，若存在x 1，x 2∈R ，当0≤x 1<4≤x 2≤6时，f (x 1)＝f (x 2)，则x 1f (x 2)的取值范围是________． 13. 已知函数f (x )＝2x －1＋a ，g (x )＝bf (1－x )，其中a ，b ∈R ，若最新x 的不等式f (x )≥g (x )的解的最小值为2，则a 的取值范围是________．14. 若实数x ，y 满足x 2－4xy ＋4y 2＋4x 2y 2＝4，则当x ＋2y 取得最大值时，xy 的值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(1) 求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2) 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，试求f(x)的最值，并写出取得最值时自变量x 的值．16. (本小题满分14分)如图，已知四棱柱PABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 是AD 的中点，N 是PC 的中点．(1) 求证：MN ∥平面PAB ；(2) 若平面PMC ⊥平面PAD ，求证：CM ⊥AD.(第16题图)如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC＝1，AB＝OB＋OC，且OA>OB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k(k为正常数)；在△AOC区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为43k.设OA＝x，OB＝y.(1)求y最新x的函数解析式，并写出x的取值范围；(2)求N－M的最大值及相应的x的值．(第17题图)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为12. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．①若直线l 过椭圆C 的右焦点，记△ABP 三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t 的最大值； ②若直线l 的斜率为32，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．设函数f(x)＝x－2e x－k(x－2lnx)(k为实常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k＝1时，求函数f(x)的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，4)内至在三个极值点，求k的取值范围．已知首项为1的正项数列{a n }满足a 2n ＋1＋a 2n <52a n ＋1a n ，n ∈N *. (1) 若a 2＝32，a 3＝x ，a 4＝4，求x 的取值范围；(2) 设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．若12S n <S n ＋1<2S n ，n ∈N *，求q 的取值范围；(3) 若a 1，a 2，…，a k (k ≥3)成等差数列，且a 1＋a 2＋…＋a k ＝120，求正整数k 的最小值，以及k 取最小值时相应数列a 1，a 2，…，a k 的公差．密封线(这是边文，请据需要手工删加) 密封线____________ 号学 ____________ 名姓 ____________ 级班 ____________校学 (这是边文，请据需要手工删加)2021届高三年级第二次模拟考试(一)·数学附加题 第页(共2页)(这是边文，请据需要手工删加)2021届高三年级第二次模拟考试(一)数学附加题21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB 与⊙O 相切于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C ，且AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径．(第21A 题图)B. 选修4-2：矩阵与变换设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001，试求曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下得到的曲线方程．C. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.设P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的直角坐标．D. 选修4-5：不等式选讲 已知函数f (x )＝3x ＋6，g (x )＝14－x ，若存在实数x 使f (x )＋g (x )>a 成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为D 1E 上的一点，D 1F ＝2FE.(1) 证明：平面DFC ⊥平面D 1EC ； (2) 求二面角ADFC 的大小．(第22题图)23. (本小题满分10分)在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如右图所示．(1) 在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；(2) 已知n ，r 为正整数，且n ≥r ＋3.求证：任何四个相邻的组合数C r n ，C r ＋1n ，C r ＋2n ，C r ＋3n 不能构成等差数列．(第22题图)密封线苏锡常镇四市2021届高三年级第二次模拟考试(一)·数学参考答案 第页(共4页) (这是边文，请据需要手工删加)2021届高三年级第二次模拟考试(一)(苏锡常镇四市)数学参考答案一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. (1，3) 2. 5 3. 320 4. (－2，4) 5. 256. 67. 13 8. 2 9. －2 10. (2，＋∞) 11. 364 12. ⎣⎡⎦⎤3，25627 13. (－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 14. 2二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 解：(1) 由题意知，f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋cos (2x ＋π3)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，(4分)所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.(6分) 当－π2＋2k π≤2x ＋2π3≤π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )单调递增，解得x ∈⎣⎡⎦⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为[－7π12＋k π，－π12＋k π](k ∈Z )．(8分) (2) 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，所以π3≤2x ＋2π3≤4π3，(10分)当2x ＋2π3＝π2，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值2，(12分)当2x ＋2π3＝4π2，即x ＝π3时，f (x )取得最小值－ 3.(14分)16. 证明：(1) 取PB 中点E ，连EA ，EN ，△PBC 中，EN ∥BC 且EN ＝12BC ，又AM ＝12AD ，AD ∥BC ，AD ＝BC ，(3分)得EN ∥AM ，EN ＝AM ，四边形ENMA 是平行四边形，(5分) 得MN ∥AE ，MN ⊄平面PAB ，AE ⊂平面PAB ， ∴ MN ∥平面PAB(7分)(2) 过点A 作PM 的垂线，垂足为H ，∵ 平面PMC ⊥平面PAD ，平面PMC ∩平面PAD ＝PM ，AH ⊥PM ，AH ⊂平面PAD ， ∴ AH ⊥平面PMC ， ∴ AH ⊥CM.(10分)∵ PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴ PA ⊥CM.(12分) ∵ PA ∩AH ＝A ，PA ，AH ⊂平面PAD ，CM ⊥平面PAD ， ∵ AD ⊂平面PAD ，∴ CM ⊥AD.(14分) 17. 解：(1) 因为OA ＝x ，OB ＝x ，AB ＝y ＋1， 由余弦定理，x 2＋y 2－2xy cos 120°＝(y ＋1)2， 解得y ＝x 2－12－x，(3分)由x>0，y>0得1<x<2，又x>y ，得x>x 2－12－x，解得1<x<1＋32，(6分)所以OA 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋32.(7分)(2) M ＝kOB ＝ky ，N ＝4 3.S △AOC ＝3kx ，则N －M ＝k(3x －y)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －x 2－12－x ，(8分) 设2－x ＝t ∈⎝⎛⎭⎪⎫3－32，1， 则N －M ＝k ⎣⎡⎦⎤3（2－t ）－（2－t ）2－1t＝k ⎣⎡⎦⎤10－⎝⎛⎭⎫4t ＋3t ≤k ⎝⎛⎭⎫10－24t·3t ＝(10－43)k.(11分) 当且仅当4t ＝3t 即t ＝32∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32，1取等号，此时x ＝2－32，(13分) 所以当x ＝2－32时，N －M 的最大值是(10－43)k.(14分) 18. 解：(1) 1a 2＋94b 2＝1，a 2－b 2a ＝12，得a 2＝4，b 2＝3.(2分)所以椭圆C ：x 24＋y 23＝1.(3分)(2) ①设直线l 的方程为x ＝my ＋1，直线l 与椭圆C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，化简得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，易知Δ>0，(5分) 所以y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4， 所以k AP ·k BP ＝y 1－32x 1－1·y 2－32x 2－1＝y 1－32my 1·y 2－32my 2＝1m 2·y 1y 2－32（y 1＋y 2）＋94y 1y 2 ＝－1m －34，(7分)所以t ＝k AB ·k AP ·k BP ＝－1m 2－34m ＝－⎝⎛⎭⎫1m ＋382＋964，(9分)所以当m ＝－83时，t 有最大值964.(10分)②设直线l 的方程为y ＝32x ＋n ，直线l 与椭圆C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， ⎩⎨⎧y ＝32x ＋n ，x 24＋y23＝1，得3x 2＋23nx ＋2n 2－6＝0，Δ＝(23n)2－4×3(2n 2－6)>0， 即－6<n< 6.x 1＋x 2＝－23n3，x 1x 2＝2n 2－63，(12分)OA 2＋OB 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝(x 21＋x 22)＋(y 21＋y 22)＝x 21＋x 22＋⎝⎛⎭⎫32x 1＋n 2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋n 2＝74(x 21＋x 22)＋3n(x 1＋x 2)＋2n 2＝74(x 1＋x 2)2－72x 1x 2＋3n(x 1＋x 2)＋2n 2(14分) ＝74⎝⎛⎭⎫－233n 2－72⎝⎛⎭⎫2n 2－63＋3n(－233n)＋2n 2＝7.(16分) 19. 解：(1) 由函数f(x)＝e xx 2－(x －2ln x)(x>0)，可得f′(x)＝（x －2）（e x －x 2）x 3(2分)因为当x>0时，e x >x 2.理由如下： 要使x>0时，e x >x 2，只要x>2ln x ， 设φ(x)＝x －2ln x ，φ′(x)＝1－2x ＝x －2x，于是当0<x<2时，φ′(x)<0；当x>2时，φ′(x)>0.即φ(x)＝x －2ln x 在x ＝2处取得最小值φ(2)＝2－2ln 2>0，即x>0时，x>2ln x ， 所以e x －x 2>0，(5分) 于是当0<x<2时，f ′(x)<0； 当x>2时，f ′(x)>0.所以函数f(x)在(0，2)上为减函数，(2，＋∞)上为增函数．(6分) 所以f(x)在x ＝2处取得最小值f(2)＝e 24－2＋2ln 2.(7分)(2) 因为f′(x)＝（x －2）（e x －kx 2）x 3＝（x －2）⎝⎛⎭⎫e xx 2－k x，当k ≤0时，e xx2－k>0，所以f(x)在(0，2)上单调递减，(2，4)上单调递增，不存在三个极值点，所以k>0.(8分)又f′(x)＝（x －2）（e x －kx 2）x 3＝（x －2）⎝⎛⎭⎫e xx 2－k x，令g(x)＝e xx 2，得g′(x)＝e 2·（x －2）x 3，易知g(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，在x ＝2处取得极小值， 得g(2)＝e 24，且g(4)＝e 416，(10分)于是可得y ＝k 与g(x)＝e x x2在(0，4)内有两个不同的交点的条件是k ∈⎝⎛⎭⎫e 24，e 416.(12分)设y ＝k 与g(x)＝e xx 2在(0，4)内有两个不同交点的横坐标分别为x 1，x 2，则有0<x 1<2<x 2<4，下面列表分析导函数f′(x)及原函数f(x)：可知f(x)在(0，x 1)上单调递减，在(x 1，2)上单调递增． 在(2，x 2)上单调递减，在(x 2，4)上单调递增， 所以f(x)在区间(0，4)上存在三个极值点．(15分)即函数f(x)在(0，4)内存在三个极值点的k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫e 24，e 416.(16分) 20. 解：(1) 由题意得，12a n <a n ＋1<2a n ，(2分)所以34<x<3，x2<4<2x ，解得x ∈(2，3)．(4分)(2) 由题意得，∵ 12a n <a n ＋1<2a n ，且数列{a n }是等比数列，a 1＝1，∴ 12q n －1<q n <2q n －1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧q n －1⎝⎛⎭⎫q －12>0，q n －1（q －2）<0，∴ q ∈⎝⎛⎭⎫12，2.(6分)又∵ 12S n <S n ＋1<2S n ，∴ 而当q ＝1时，S 2＝2S 1不满足题意．(7分)当q ≠1时，12·1－q n 1－q <1－q n ＋11－q <2·1－q n 1－q ，∴ ①当q ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，⎩⎪⎨⎪⎧q n （q －2）>－1，q n （2q －1）<1，⎩⎪⎨⎪⎧q 1（q －2）>－1，q 1（2q －1）<1 解得q ∈⎝⎛⎭⎫12，1；(9分) ②当q ∈(1，2)时，⎩⎪⎨⎪⎧q n （q －2）<－1，q n （2q －1）>1，⎩⎪⎨⎪⎧q 1（q －2）<－1，q 1（2q －1）>1，无解． ∴ q ∈⎝⎛⎭⎫12，1.(11分)(3) ∵ 12a n <a n ＋1<2a n ，且数列a 1，a 2，…，a k 成等差数列，a 1＝1，∴ 12[1＋(n －1)d]<1＋nd<2[1＋(n －1)d]，n ＝1，2，…，k －1. ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧d （n ＋1）>－1，d （2－n ）<1，∴ d ∈⎝⎛⎭⎫－1k ，1，(13分)又∵ a 1＋a 2＋…＋a k ＝120，∴ S k ＝d 2k 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2k ＝d2k 2＋⎝⎛⎭⎫1－d 2k ＝120， ∴ d ＝240－2k k 2－k ，∴ 240－2k k 2－k ∈⎝⎛⎭⎫－1k ，1，解得k ∈(15，239)，k ∈N *，所以k 的最小值为16，此时公差为d ＝1315.(16分)附加题21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A. 选修4-1：几何证明选讲解：因为DE 是⊙O 的直径，则∠BED ＋∠EDB ＝90°， 又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，(3分)又AB 切⊙O 于点B ，得∠ABD ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA.(5分) 即BD 平分∠CBA ，则BA BC ＝ADCD ＝3，又BC ＝2，从而AB ＝32，所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3，(8分) 由切割线定理得AB 2＝AD·AE ，即AE ＝AB 2AD＝6，故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 的直径为3.(10分)B. 选修4-2：矩阵与变换解：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002，(4分) 设(x ，y )是曲线y ＝sin x 上的任意一点，在矩阵MN 变换下对应的点为(x ′，y ′)．则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，(6分) 所以x ′＝12x ，y ′＝2y ，且x ＝2x ′，y ＝12y ′，(8分)代入y ＝sin x ，得12y ′＝sin2x ′，即y ′＝2sin2x ′.即曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的曲线方程为y ＝2sin2x .(10分) C. 选修4-4：坐标系与参数方程解：由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23sin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，(3分)所以x 2＋(y －3)2＝3.(5分) 设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，C(0，3)，PC ＝⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32＝t 2＋12，(8分) 故当t ＝0时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3，0)．(10分) D. 选修4-5：不等式选讲解：存在实数x 使f(x)＋g(x)>a 成立， 等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a ，(2分)因为f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ＝3×x ＋2＋1×14－x ，(4分) 由柯西不等式：(3×x ＋2＋1×14－x)2≤(3＋1)(x ＋2＋14－x)＝64，(7分) 所以f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ≤8，当且仅当x ＝10时取“＝”，(9分) 故常数a 的取值范围是(－∞，8)．(10分)【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．22. 解：(1) 以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，D 1(0，0，2)．∵ E 为AB 的中点，∴ E 点坐标为E(1，1，0)， ∵ D 1F ＝2FE ，∴ D 1F →＝23D 1E →＝23(1，1，－2)＝(23，23，－43)，DF →＝DD 1→＋D 1F →＝(0，0，2)＋⎝⎛⎭⎫23，23，－43 ＝⎝⎛⎭⎫23，23，23.(2分)设n ＝(x ，y ，z )是平面DFC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝0，n ·DC →＝0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y ＋23z ＝0，2y ＝0，取x ＝1得平面FDC 的一个法向量n ＝(1，0，－1)，(3分) 设p ＝(x ，y ，z )是平面ED 1C 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧p ·D 1F →＝0，p ·D 1C →＝0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y －43z ＝0，2y －2z ＝0，取y ＝1得平面D 1EC 的一个法向量p ＝(1，1，1)，(4分) ∵ n·p ＝(1，0，－1)·(1，1，1)＝0， ∴ 平面DFC ⊥平面D 1EC .(5分)(2) 设q ＝(x ，y ，z )是平面ADF 的法向量，则 q ·DF →＝0，q ·DA →＝0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y ＋23z ＝0，x ＝0，取y ＝1得平面ADF 的一个法向量q ＝(0，1，－1)，(7分) 设二面角A -DF -C 的平面角为θ，由题中条件可知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos θ＝－⎪⎪⎪⎪n·q |n |·|q |＝－0＋0＋12×2＝－12，(9分) ∴ 二面角A -DF -C 的大小为120°.(10分)23. 解：(1) 杨辉三角形的第n 行由二项式系数C k n ，k ＝0，1，2，…，n 组成．如果第n 行中有C k －1n C k n ＝k n －k ＋1＝34，C k nC k ＋1n ＝k ＋1n －k ＝45，即么3n －7k ＝－3，4n －9k ＝5，(2分) 解这个联立方程组，得k ＝27，n ＝62.(3分)即第62行有三个相邻的数C 2662，C 2762，C 2862的比为3∶4∶5.(4分) (2) 若有n ，r(n ≥r ＋3)，使得C r n ，C r ＋1n ，C r ＋2n ，C r ＋3n 成等差数列，则2C r ＋1n ＝C r n ＋C r ＋2n ，2C r ＋2n ＝C r ＋1n ＋C r ＋3n， 即2·n ！（r ＋1）！（n －r －1）！＝n ！r ！（n －r ）！＋n ！（r ＋2）！（n －r －2）！，2·n ！（r ＋2）！（n －r －2）！＝n ！（r ＋1）！（n －r －1）！＋n ！（r ＋3）！（n －r －3）！.(6分)所以有2（r ＋1）（n －r －1）＝1（n －r －1）（n －r ）＋1（r ＋1）（r ＋2），2（r ＋2）（n －r －2）＝1（n －r －2）（n －r －1）＋1（r ＋2）（r ＋3），经整理得到n 2－(4r ＋5)n ＋4r(r ＋2)＋2＝0，n 2－(4r ＋9)n ＋4(r ＋1)(r ＋3)＋2＝0. 两式相减可得n ＝2r ＋3，于是C r 2r ＋3，C r ＋12r ＋3，C r ＋22r ＋3，C r ＋32r ＋3成等差数列，(8分) 而由二项式系的性质可知C r 2r ＋3＝C r ＋32r ＋3<C r ＋12r ＋3＝C r ＋22r ＋3，这与等差数列性质矛盾，从而要证明的结论成立．(10分)。
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高三数学第二次模拟考试试题(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：圆锥的侧面积公式：S ＝πrl ，其中r 为圆锥底面圆的半径，l 为圆锥的母线长． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x|x(x －5)＜0}，则A∩B＝________．2. 已知复数z ＝1＋2i ，其中i 为虚数单位，则z 2的模为________． 3. 如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为－1，则输入的实数x 的值为________．(第3题)(第4题)4. 某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如图频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有________个．5. 从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为________．6. 已知函敬f(x)是定义在R 上的奇函敷，且周期为2，当x∈(0，1]时，f(x)＝x ＋，则f(a)的值为________．7. 若将函数f(x)＝sin(2x ＋π3)的图象沿x 轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度后所得的图象与f(x)的图象关于x 轴对称，则φ的最小值为________．8. 在△ABC 中，AB ＝25，AC ＝5，∠BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为________．9. 已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，满足{a 1，a 2，a 3}＝{b 1，b 2，b 3}＝{a ，b ，－2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为________．10. 已知点P 是抛物线x 2＝4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，－1)，则PFPA的最小值为________． 11. 已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x －m)2＋y 2＝r 2(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D.若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为________．13. 在△ABC 中，BC 为定长，|AB →＋2AC →|＝3|BC →|.若△ABC 面积的最大值为2，则边BC 的长为________．14. 已知函数f(x)＝e x－x －b(e 为自然对数的底数，b ∈R )．若函数g(x)＝f(f(x)－12)恰有4个零点，则实数b 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE 上平面ABC. (1) 求证：AC∥平面PDE ；(2) 若PD ＝AC ＝2，PE ＝3，求证：平面PBC⊥平面ABC.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝bcos C ＋csin B. (1) 求B 的值；(2) 设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D.已知AD ＝177，cos A ＝－725，求b 的值．如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧(圆C 上实线部分)上再修建栈道DE ︵，记∠CBD 为θ.(1) 用θ表示栈道的总长度f(θ)，并确定sin θ的取值范围； (2) 求当θ为何值时，栈道总长度最短．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点(0，3)．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形．① 若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长； ② 若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．已知函数f(x)＝x 3－x 2－(a －16)x ，g(x)＝aln x ，a ∈R .函数h(x)＝f （x ）x －g(x)的导函数h′(x)在[52，4]上存在零点．(1) 求实数a 的取值范围；(2) 若存在实数a ，当x∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值；(3) 若直线l 与曲线y ＝f(x)和y ＝g(x)都相切，且l 在y 轴上的截距为－12，求实数a 的值．已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n .记T n 为数列{a n }的前a n 项和，即T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .(1) 若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，S 4＝5S 2，求T 3的值；(2) 若数列{a n }为等差数列，且存在唯一的正整数n(n≥2)，使得T na n<2，求数列{a n }的通项公式；(3) 若数列{T n }的通项为T n ＝n （n ＋1）2，求证：数列{a n }为等差数列.高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵M ＝[1221]，MN ＝[1001]．(1) 求矩阵N ；(2) 求矩阵N 的特征值．B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝12t 2(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ－π4)＝ 2.若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．C. (选修45：不等式选讲)已知a ＞0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1～6点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖；若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖；否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．(1) 若m＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；(2) 若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．23.已知集合A n＝{1，2，…，n}，n∈N*，n≥2，将A n的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M1，M2，…，M m)，其中m＝2n.记集合M k中元素的个数为a k，k∈N*，k≤m，规定空集中元素的个数为0.(1) 当n＝2时，求a1＋a2＋…＋a m的值；(2) 利用数学归纳法证明：不论n(n≥2)为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，M m)，满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1.数学参考答案及评分标准1. {1，3}2. 53. －144. 3255. 126. 07. π28. 65π9. 5 10. 22 11.8 12. ±25513. 2 14. (1，12＋ln 2)15. 证明：(1) 因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE∥AC.(2分) 因为AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以AC∥平面PDE.(4分) (2) 因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC.因为AC ＝2，所以DE ＝1.因为PD ＝2，PE ＝3，所以PD 2＝PE 2＋DE 2， 因此在△PDE 中，PE ⊥DE.(8分)又平面PDE⊥平面ABC ，且平面PDE∩平面ABC ＝DE ，PE ⊂平面PDE ， 所以PE⊥平面ABC.(12分)因为PE ⊂平面PBC ，所以平面PBC⊥平面ABC.(14分) 16. 解：(1) 因为a ＝bcos C ＋csin B ， 由a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得sin A ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ．(2分) 因为sin A ＝sin[π－(B ＋C)]＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ， 所以sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ， 即cos Bsin C ＝sin Csin B ．(4分)因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以sin B ＝cos B.又0＜B ＜π，所以sin B ≠0，从而cos B ≠0，所以tan B ＝1，所以B ＝π4.(6分)(2) 因为AD 是∠BAC 的平分线，设∠BAD＝θ，所以A ＝2θ.因为cos A ＝－725，所以cos 2θ＝cos A ＝－725，即2cos 2θ－1＝－725，所以cos 2θ＝925. 因为0＜A ＜π，所以0＜θ＜π2，所以cos θ＝35，所以sin θ＝1－cos 2θ＝45.在△A BD 中，sin ∠ADB ＝sin(B ＋θ)＝sin(π4＋θ)＝sin π4cos θ＋cos π4sin θ＝22×(35＋45)＝7210.(8分) 由AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，所以AB ＝ADsin ∠ADB sin B ＝177×7210×2＝175.(10分) 在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2A ＝2425，所以sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝22×(2425－725)＝17250.(12分) 由b sin B ＝c sin C ，得b ＝csin B sin C ＝175×2217250＝5.(14分) 17. 解：(1) 连结CD ，因为BD 与圆C 相切，切点为D ，所以△BCD 为直角三角形． 因为∠CBD＝θ，且圆形小岛的半径为1千米，所以DB ＝1tan θ，BC ＝1sin θ. 因为岸边上的点A 与小岛圆心C 相距3千米，所以AB ＝AC －BC ＝3－1sin θ.(2分)因为BE 与圆C 相切，所以BE ＝DB ＝1tan θ，优弧DE ︵所对圆心角为2π－(π－2θ)＝π＋2θ，所以优弧DE ︵长l 为π＋2θ.(4分)所以f(θ)＝AB ＋BD ＋BE ＋l ＝3－1sin θ＋1tan θ＋1tan θ＋π＋2θ＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ.(6分)因为0＜AB ＜2，所以0＜3－1sin θ＜2，解得13＜sin θ＜1， 所以sin θ的取值范围是(13，1)．(8分)(2) 由f(θ)＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ，得f′(θ)＝－2＋cos θsin 2θ＋2＝cos θ（1－2cos θ）sin 2θ.(10分) 令f′(θ)＝0，解得cos θ＝12.因为θ为锐角，所以θ＝π3.(12分) 设sin θ0＝13，θ0为锐角，则0＜θ0＜π3.当θ∈(θ0，π3)时，f ′(θ)＜0，则f(θ)在(θ0，π3)上单调递减；当θ∈(π3，π2)时，f ′(θ)＞0，则f(θ)在(π3，π2)上单调递增．所以f(θ)在θ＝π3时取得最小值．答：当θ＝π3时，栈道总长度最短．(14分)18. 解：(1) 记椭圆C 的焦距为2c ，因为椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12.因为椭圆C 过点(0，3)，所以b ＝ 3.因为a 2－c 2＝b 2，解得c ＝1，a ＝2， 故椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1.(2分)(2) ① 因为点B 为椭圆C 的上顶点，所以B 点坐标为(0，3)． 因为O 为△BMN 的垂心，所以BO⊥MN，即MN⊥y 轴． 由椭圆的对称性可知M ，N 两点关于y 轴对称．(4分) 不妨设M(x 0，y 0)，则N(－x 0，y 0)，其中－3＜y 0＜ 3.因为MO ⊥BN，所以MO →·BN →＝0，即(－x 0，－y 0)·(－x 0，y 0－3)＝0， 得x 20－y 20＋3y 0＝0.(6分)又点M(x 0，y 0)在椭圆上，则x 204＋y 23＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 20－y 20＋3y 0＝0，x 204＋y 203＝1，解得y 0＝－437或y 0＝3(舍去)，此时|x 0|＝2337. 故MN ＝2|x 0|＝4337，即线段MN 的长为4337.(8分)② (解法1)设B(m ，n)，记线段MN 中点为D.因为O 为△BMN 的重心，所以BO →＝2OD →，则点D 的坐标为(－m 2，－n 2)．(10分)若n ＝0，则|m|＝2，此时直线MN 与x 轴垂直，故原点O 到直线MN 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 2， 即为1.若n≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n.又x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）3＝0， 可得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n.(12分)故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n (x ＋m 2)－n 2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n2.将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9.(14分) 因为0＜n 2≤3，所以d min ＝32. 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32.(16分) (解法2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，B(x 3，y 3)，因为O 为△BMN 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝0， 则x 3＝－(x 1＋x 2)，y 3＝－(y 1＋y 2)．(10分)因为x 234＋y 233＝1，所以（x 1＋x 2）24＋（y 1＋y 2）23＝1.将x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，代入得x 1x 24＋y 1y 23＝－12.(12分) 若直线MN 的斜率不存在，则线段MN 的中点在x 轴上，从而B 点位于长轴的顶点处． 由于OB ＝2，所以此时原点O 到直线MN 的距离为1. 若直线MN 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝kx ＋n. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋n ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0 (*)．则Δ＝(8kn)2－4(3＋4k 2)(4n 2－12)＞0，即3＋4k 2＞n 2. 由根与系数关系可得x 1＋x 2＝－8kn 3＋4k 2，x 1x 2＝4n 2－123＋4k2，则y 1y 2＝(kx 1＋n)(kx 2＋n)＝k 2x 1x 2＋kn(x 1＋x 2)＋n 2＝3n 2－12k23＋4k2，代入x 1x 24＋y 1y 23＝－12，得14×4n 2－123＋4k 2＋13×3n 2－12k 23＋4k 2＝－12，即n 2＝k 2＋34.(14分)又3＋4k 2＞n 2，于是3＋4k 2＞k 2＋34，即3k 2＋94＞0恒成立，因此k∈R .原点(0，0)到直线MN 的距离为d ＝|n|k 2＋1＝k 2＋34k 2＋1＝1－14（k 2＋1）. 因为k 2≥0，所以当k ＝0时，d min ＝32. 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32.(16分) 19. 解：(1) 因为h(x)＝f （x ）x －g(x)＝x 2－x －(a －16)－aln x ，所以h′(x)＝2x －1－a x ＝2x 2－x －ax .令h′(x)＝0，得2x 2－x －a ＝0.因为函数h′(x)在[52，4]上存在零点，即y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上存在零点，又函数y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×（52）2－52－a≤0，2×42－4－a≥0，解得10≤a≤28.因此，实数a 的取值范围是[10，28]．(2分)(2) (解法1)因为当x∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0处取得最大值， 即存在实数a ，当x∈[0，b]时，f (0)≥f(x)恒成立，即x 3－x 2－(a －16)x≤0对任意x∈[0，b]都成立．(4分)当x ＝0时，上式恒成立；(6分)当x∈(0，b]时，存在a∈[10，28]，使得x 2－x ＋16≤a 成立，(8分)所以x 2－x ＋16≤28，解得－3≤x≤4，所以b≤4. 故当a ＝28时，b 的最大值为4.(10分)(解法2)由f(x)＝x 3－x 2－(a －16)x ，得f′(x)＝3x 2－2x －(a －16)． 设Δ＝4＋12(a －16)＝4(3a －47)．若Δ≤0，则f′(x)≥0恒成立，f(x)在[0，b]上单调递增，因此当x∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时不能取得最大值，于是Δ＞0，(4分) 故f′(x)＝0有两个不同的实数根，记为x 1，x 2(x 1＜x 2)．若x 1＞0，则当x∈(0，x 1)时，f ′(x)＞0，f(x)在(0，x 1)上单调递增， 因此当x∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时不能取得最大值， 所以x 1≤0.(6分)又x 1＋x 2＝23＞0，因此x 2＞0，从而当x∈(0，x 2)时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈(x 2，＋∞)时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增，若存在实数a ，当x∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0处取得最大值，则存在实数a ，使得f(0)≥f(b)成立，即b 3－b 2－(a －16)b≤0.(8分)所以存在a∈[10，28]，使得b 2－b ＋16≤a 成立，所以b 2－b ＋16≤28，解得－3≤b≤4， 故当a ＝28时，b 的最大值为4.(10分)(3) 设直线l 与曲线y ＝f(x)相切于点A(x 1，f(x 1))，与曲线y ＝g(x)相切于点B(x 2，g(x 2))，过点A(x 1，f(x 1))的切线方程为y －[x 31－x 21－(a －16)x 1]＝[3x 21－2x 1－(a －16)](x －x 1)，即y ＝[3x 21－2x 1－(a －16)]x －2x 31＋x 21.过点B(x 2，g(x 2))的切线方程为y －aln x 2＝a x 2(x －x 2)，即y ＝ax 2x ＋aln x 2－a.因为直线l 在y 上的截距为－12，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－2x 1－（a －16）＝ax 2①，－2x 31＋x 21＝－12 ②，aln x 2－a ＝－12 ③.(12分)由②解得x 1＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧24－a ＝a x 2，aln x 2－a ＝－12，消去a ，得ln x 2＋1－x 22x 2＝0.(14分)由(1)知10≤a≤28，且x 2＞0，则x 2≥57.令p(x)＝ln x ＋1－x 2x ，x ∈[57，＋∞)，则p′(x)＝1x －12x 2＝2x －12x 2.因为p′(x)＞0，所以函数p(x)在[57，＋∞)上为增函数．因为p(1)＝0，且函数p(x)的图象是不间断的，所以函数p(x)在[57，＋∞)上有唯一零点1，所以方程ln x 2＋1－x 22x 2＝0的解为x 2＝1，所以a ＝12.所以实数a 的值为12.(16分)20. (1) 解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 4＝5S 2，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5(a 1＋a 2)，即a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)，所以a 1q 2(1＋q)＝4a 1(1＋q)．因为数列{a n }的各项均为正整数，所以a 1，q 均为正数，所以q 2＝4，解得q ＝2.又a 1＝1，所以a n ＝2n －1，从而a 3＝4，所以T 3＝S 4＝1＋2＋22＋23＝15.(2分)(2) 解：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d. 因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d∈Z .若d ＜0，令a n ＞0，得n ＜1－a 1d ，这与{a n }为无穷数列相矛盾，因此d≥0，即d∈N .(4分)因为S n ＝na 1＋n （n －1）d 2，所以T n ＝a 1a n ＋a n （a n －1）d 2，因此T n a n ＝a 1＋（a n －1）d2.由T n a n ＜2，得a 1＋（a n －1）d2＜2.(6分) 因为a 1∈N *，d ∈N ，所以2＞a 1＋（a n －1）d 2≥a 1≥1，因此a 1＝1.于是1＋（n －1）d 22＜2，即(n －1)d 2＜2.① 若d ＝0，则存在无穷多个n(n≥2)，使得上述不等式成立，所以d ＝0不合题意；(8分)② 若d∈N *，则n ＜1＋2d2，因为存在唯一的正整数n(n≥2)，使得该不等式成立， 所以2＜1＋2d2≤3，即1≤d 2＜2.又d∈N *，所以d ＝1，因此a n ＝1＋(n －1)×1＝n.(10分)(3) 证明：因为S n ＋1－S n ＝a n ＋1＞0，所以S n ＋1＞S n ，即数列{S n }单调递增． 又T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2－n （n ＋1）2＝n ＋1＞0，所以T n ＋1＞T n ，即Sa n ＋1＞Sa n ，因为数列{S n }单调递增，所以a n ＋1＞a n .(12分)又a n ∈N *，所以a n ＋1≥a n ＋1，即a n ＋1－a n ≥1，所以a n ＋1－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n )≥n， 因此a n ＋1≥a 1＋n≥1＋n ，即a n ≥n (n≥2)． 又a 1≥1，所以a n ≥n ①.(14分)由T n ＋1－T n ＝n ＋1，得aa n ＋1＋aa n ＋2＋…＋aa n ＋1＝n ＋1， 因此n ＋1≥a a n ＋1≥a n ＋1，即a n ≤n ②. 由①②知a n ＝n ，因此a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n}为等差数列．(16分)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) 因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以N ＝M －1.(2分)因为|M|＝1×1－2×2＝－3，(4分)所以N ＝M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－2－3－2－3－13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 23 23－13.(6分) (2) N 的特征多项式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋13－23－23λ＋13＝(λ＋13)2－(－23)2＝(λ－13)(λ＋1)．(8分)令f(λ)＝0，解得λ＝13或－1，所以N 的特征值是13和1.(10分)B. 解：曲线C 的普通方程为y ＝12(x 2)2＝18x 2.(2分)由直线l 的极坐标方程ρcos (θ－π4)＝2，得ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2，即22x ＋22y ＝2，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋2.(4分) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝18x 2，y ＝－x ＋2，消去y ，得x 2＋8x －16＝0，(6分) 则x 1＋x 2＝－8，x 1x 2＝－16，所以AB ＝1＋（－1）2|x 1－x 2|＝2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2×（－8）2－4×（－16）＝16.(10分)C. 证明：(证法1)因为a ＞0，所以a ＋1a ≥2，要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需证a 2＋1a 2≥(a ＋1a)－(2－2)．因为(a ＋1a )－(2－2)＞0，所以只需证(a 2＋1a 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a ＋1a ）－（2－2）2，(4分)即2(2－2)(a ＋1a )≥8－42，即证a ＋1a ≥2.(8分)因为a ＋1a ≥2成立，所以要证的不等式成立．(10分)(证法2)令t ＝a ＋1a ，因为a ＞0，所以a ＋1a ≥2，即t≥2.要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，即证t 2－2－2≥t －2， 即证t －t 2－2≤2－2，(4分)即证2t ＋t 2－2≤2－ 2.(6分) 由于f(t)＝t ＋t 2－2在[2，＋∞)上单调递增，则f(t)≥f(2)＝2＋2，故2t ＋t 2－2≤22＋2＝2－ 2. 所以要证的原不等式成立．(10分)22. 解：(1) 设“顾客参加一次抽奖活动获得三等奖”为事件A. 因为m ＝4，所以P(A)＝46＋26×C 24C 26＝23＋13×25＝45.答：顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率为45.(4分)(2) X 的所有可能取值为400，300，100. P(X ＝400)＝26×C 22C 22＋m ＝23（m ＋1）（m ＋2），P(X ＝300)＝26×C 12C 1m C 22＋m ＝4m3（m ＋1）（m ＋2），P(X ＝100)＝46＋26×C 2m C 22＋m ＝23＋m （m －1）3（m ＋1）（m ＋2），(7分)则E(X)＝400×23（m ＋1）（m ＋2）＋300×4m 3（m ＋1）（m ＋2）＋100×[23＋m （m －1）3（m ＋1）（m ＋2）]≤150，化简得3m 2－7m －6≥0.因为m≥2，m ∈N *，所以m≥3， 所以m 的最小值为3.(10分)23. (1) 解：当n ＝2时，A 2的子集为∅，{1}，{2}，{1，2}，且m ＝4. 所以a 1＋a 2＋…＋a m ＝0＋1＋1＋2＝4.(2分)(2) 证明：① 当n ＝2时，取一个集合组(M 1，M 2，M 3，M 4)＝(∅，{1}，{1，2}，{2})，此时a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝1，满足任意i∈N *，i ≤3，都有|a i －a i ＋1|＝1， 所以当n ＝2时命题成立．(4分)② 假设n ＝k(k∈N *，k ≥2)时，命题成立，即对于A k ＝{1，2，…，k}，存在一个集合组(M 1，M 2，…，M m )满足任意i∈N *，i ≤m －1，都有|a i －a i ＋1|＝1，其中m ＝2k.当n ＝k ＋1时，则A k ＋1＝{1，2，…，k ，k ＋1}，集合A k ＋1的所有子集除去M 1，M 2，…，M m 外，其余的子集都含有k ＋1.令M m＋1＝M m∪{k＋1}，M m＋2＝M m－1∪{k＋1}，…，M2m＝M1∪{k＋1}，取集合组(M1，M2，…，M m，M m＋1，M m＋2，…，M2m)，其中2m＝2k＋1，(6分)根据归纳假设知|a i－a i＋1|＝1，其中i∈N*，m＋1≤i≤2m－1，(8分)所以此集合组满足|a i－a i＋1|＝1，其中i∈N*，i≤m－1或m＋1≤i≤2m－1.又M m＋1＝M m∪{c}，所以|a m－a m＋1|＝1，因此|a i－a i＋1|＝1，其中i∈N*，i≤2m－1，即当n＝k＋1时，命题也成立．综上，不论n为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，M m)，满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1.(10分)。