第十一章稳恒电流的磁场(一)作业答案

基础训练25、一无限长的电缆，由一半径为a的圆柱形导线和一共轴的半径分别为b、c的圆筒状导线组成，如图11-42所示。在两导线中有等值反向的电流I通过，求：
(1)内导体中任一点(r<a)的磁感应强度；
(2)两导体间任一点(a<r<b)的磁感应强度；
(3)外导体中任一点(b<r<c)的磁感应强度；
(4)外导体外任一点(r>c)的磁感应强度。
基础训练18、将半径为R的无限长导体薄壁管(厚度忽略)沿轴向割去一宽度为h(h<<R)的无限长狭缝后，再沿轴向流有在管壁上均匀分布的电流，其面电流密度(垂直于电流的单位长度截线上的电流)为i，则管轴线磁感强度的大小是（提示：填补法）
解法：
根据无限长直载流导线产生磁场的对称性，其产生磁场的磁感应线穿入侧面的根数（磁通量为负）与穿出的根数（磁通量为正）相同，代数和为零。
根据 ， 的方向也是垂直于纸面朝内， 的大小为
（3）a>>b时，AB杆可近似看作点电荷：电量为 ，等效的圆电流：
在o点产生的磁感应强度为
系统的磁矩
★★★★布置的作业中遗漏
（自测提高24）在氢原子中，电子沿着某一圆轨道绕核运动．求等效圆电流的磁矩 与电子轨道运动的动量矩 大小之比，并指出和 方向间的关系．(电子电荷为e，电子质量为m)
解法：
根据安培环路定理：当 时 当 时
当 时 且 时 和 时，曲线斜率随着 增大。
自测提高16、如图所示．电荷q(>0)均匀地分布在一个半径为R的薄球壳外表面上，若球壳以恒角速度0绕z轴转动，则沿着z轴从－∞到＋∞磁感强度的线积分等于____________________．
解法：
由安培环路定理 ，而 ，故
解法：
根据安培环路定理，在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r处的磁感应强度的大小为：
因此，穿过导体内矩形截面的磁通量为
（详见同步辅导与复习自测例题12-3）
在导体外
穿过导体外矩形截面的磁通量为
故总的磁通量为
附加题
自测提高 26、 均匀带电刚性细杆AB，线电荷密度为，绕垂直于直线的轴O以角速度匀速转动(O点在细杆AB延长线上)．如图11-43所示，求：
(1)O点的磁感强度 ；
(2) 系统的磁矩 ；
(3) 若a>>b，求B0及pm．
解法：
（1）将带电细杆分割为许多电荷元。在距离o点r处选取长为dr的电荷元，其带电 该电荷元随细杆转动时等效为圆电流为：
它在O点产生的磁感应强度为
根据 ， 的方向也是垂直于纸面向内， 的大小为
（2） dq所等效的圆电流dI的磁矩为 ,方向垂直于纸面向内；
(A) 1∶1(B) ∶1 (C) ∶4(D) ∶8
解法：
【 】基础训练3、有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a，厚度不计，电流I在铜片上均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b处的P点的磁感强度 的大小为
(A) ．(B) ．(C) ．(D无限长直导线有如图三种形状，则P，Q，O各点磁感强度的大小BP，BQ，BO间的关系为
解法：
根据磁场的高斯定理，通过S面的磁通量数值上等于通过圆平面的通量。当题中涉及的是封闭曲面时，面的法向方向指向凸的一面，因此通过S面的磁通量为负值。
自测提高13、一半径为a的无限长直载流导线，沿轴向均匀地流有电流I．若作一个半径为R= 5a、高为l的柱形曲面，已知此柱形曲面的轴与载流导线的轴平行且相距3a．则 在圆柱侧面S上的积分 _______．
同理，当正方形绕过O点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O点产生的磁感应强度的大小为
故有
基础训练12、一长直载流导线，沿空间直角坐标Oy轴放置，电流沿y正向．在原点O处取一电流元 ，则该电流元在(a，0，0)点处的磁感强度的大小为，方向为。
解法：
根据毕奥-萨伐尔定律
自测提高19、将通有电流I的导线在同一平面内弯成如图所示的形状，求D点的磁感强度 的大小。
解法：
根据无限长直载流导线产生磁场的对称性，其产生磁场的磁感应线穿入侧面的根数（磁通量为负）与穿出的根数（磁通量为正）相同，代数和为零。
基础训练22.、一无限长圆柱形铜导体(磁导率0)，半径为R，通有均匀分布的电流I．今取一矩形平面S(长为1 m，宽为2R)，位置如图中画斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量．
第十一章稳恒电流的磁场（一）
一、利用毕奥—萨法尔定律计算磁感应强度
毕奥—萨法尔定律：
1.有限长载流直导线的磁场 ,无限长载流直导线
半无限长载流直导线 ,直导线延长线上
2.圆环电流的磁场 ，圆环中心 ，圆弧中心
电荷转动形成的电流：
【 】基础训练1、载流的圆形线圈(半径a1)与正方形线圈(边长a通有相同电流I．如图若两个线圈的中心O1、O2处的磁感强度大小相同，则半径a1与边长a2之比a1∶a2为
方向沿y轴正向。
二、利用安培环路定律求对称性分布的电流周围的磁场
安培环路定理：
1.无限长载流圆柱导体 ， 。
2.长直载流螺线管
3.环形载流螺线管
4.无限大载流导体薄板 ，两块无限大载流导体薄板
【 】基础训练5、无限长载流空心圆柱导体的内外半径分别为a、b，电流在导体截面上均匀分布，则空间各处的 的大小与场点到圆柱中心轴线的距离r的关系定性地如图所示．正确的图是
解法：
用安培环路定理 。磁感应强度的方向与内导线的电流成右手螺旋关系。其大小满足：
（r为场点到轴线的距离）
(1)
(2) ，
(3)
(4)
三、磁通量的计算
， ，
高斯定理：
基础训练11、均匀磁场的磁感强度 与半径为r的圆形平面的法线 的夹角为，今以圆周为边界，作一个半球面S，S与圆形平面组成封闭面如图11-31．则通过S面的磁通量=。（提示：填补法）
(A)B1=B2．(B)B1= 2B2．(C)B1= B2．(D)B1=B2/4．
解法：
设正方形边长为 , ，
两种情况下正方形旋转时的角速度相同，所以每个点电荷随着正方形旋转时形成的等效电流相同， 为
当正方形绕AC轴旋转时，一个点电荷在 点产生的磁感应强度的大小为 ，实际上有两个点电荷同时绕 旋转产生电流，在 点产生的总磁感应强度的大小为
因 ．所以B= 0，这不符合原来的假设．故这样的磁场不可能存在．
解法：
其中3/4圆环在D处的场
AB段在D处的磁感强度
BC段在D处的磁感强度
、 、 方向相同，可知D处总的B为
基础训练23如图所示，半径为R，线电荷密度为(>0)的均匀带电的圆线圈，绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度转动，求轴线上任一点的 的大小及其方向．
解法：圆线圈的总电荷 ,转动时等效的电流为
，
代入环形电流在轴线上产生磁场的公式得
解：设电子绕核运动的轨道半径为 ，匀速圆周运动的速率为 。
核外电子绕核运动等效的圆电流为
电流的磁矩
电子轨道运动的动量矩
可见
两者的方向相反。
（自测提高28）用安培环路定理证明，图中所表示的那种不带边缘效应的均匀磁场不可能存在．
证明：用反证法.
假设存在图中那样不带边缘效应的均匀磁场，并设磁感强度的大小为B．作矩形有向闭合环路如图所示，其ab边在磁场内，其上各点的磁感强度为B，cd边在磁场外，其上各点的磁感强度为零．由于环路所围的面积没有任何电流穿过，因而根据安培环路定理有：
(A)BP>BQ>BO. (B)BQ>BP>BO．
BQ>BO>BP．(D)BO>BQ>BP．
解法：
根据直线电流的磁场公式 和圆弧电流产生磁场公式 可得 、
【 】自测提高7、边长为a的正方形的四个角上固定有四个电荷均为q的点电荷．此正方形以角速度绕AC轴旋转时，在中心O点产生的磁感强度大小为B1；此正方形同样以角速度绕过O点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O点产生的磁感应强度的大小为B2，则B1与B2间的关系为