一元二次方程面积问题
列一元二次方程解有关面积问题
２ １．上 述 方 法 为 矩 形 面 积 的直 ４８ 接 表 示 方 法 ． 外 ， 图 还 可 将 三 另 此 条 小 路 进 行平 移 。将 阴影 部 分 的 矩 形 进 行平 移 得 如 下 几 何 图 形 ：
解
设道 路修 建 ｍ宽 ．
依题 意 ， （０ ）６ — ｘ ＝ ４ ８ 得 ４ （４ ２ ） ２ １ ．
・ ．
．
ｘ２
－
７ｘ ２ ＋７１ ＝Ｏ，
・
． ．
１ｌｘ＝ １ 舍 ） ＝ ，２７ （ ．
显然 空 白部 分 的长 和宽 分 别 为 （４ ） ６ 一 以及 （０ ）这 样 空 白 ４咄 ，
部 分 的 面 积 为 （４ ） （ ０ ｘ ， ６ 一 ・４ － ）
答 ： 路应 修建 １ 道 ｍ宽 ．
故 得方 程 （４ ２ ）４ － ）２ １． ６ —ｘ （０ ｘ＝ ４ ８
点缀 所 建 的 仓 库 只 有 三
如图所 示 ， 建一 个 面积为 １０ｍ 的仓 库 ， 库 的一边 要 ３ 仓
所 以 ６块
６ ２ ４－ ｘ
×
—
—
条边长为 二 ｍ 丝
．
３
三条 道路 ， 两条 纵 向 ，一条 横 向，并 且互相 垂直 ，把广 场 分成 大
－
—
面 积 总 和 为 ６×— ｘ ４ ０
２
：
３
小相等 的６ ，用来 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ草坪 ，如 图所 示． 草坪 的面积 ￣２ １ ｍ ， 块 要使 ４８
Ｕ 册
一
元二 次方 程
有 面积 问题
。
露
利用面积求线段的长度是一元二次方程的常见题型， 这
九年级数学一元二次方程面积问题
九年级数学一元二次方程面积问题哎，大家好！今天咱们来聊聊九年级数学里的一个有趣的题目——一元二次方程在面积问题中的应用。
听起来是不是有点复杂？别担心，咱们慢慢讲，弄清楚了，你会发现这不比做家务复杂，绝对能搞定！1. 什么是一元二次方程？首先，我们得搞明白什么是一元二次方程。
别被这个名字吓着，其实它就是一种特殊的方程。
公式长这样：[ ax^2 + bx + c = 0 ]。
其中，( x ) 是未知数，( a )、( b )、( c ) 是常数。
简单来说，这就是一个二次方程，它的最高次数是二。
2. 面积问题的背景好了，咱们知道了什么是一元二次方程，接下来就是面积问题了。
要是你有点头绪，那就太棒了，因为很多数学问题都和实际生活中的问题有关呢！2.1 一道经典题目设想一下，你家有一个小花园，长方形的，长度是 ( x ) 米，宽度是 ( x + 2 ) 米。
现在你发现这个花园的面积是 60 平方米。
你需要找出这个花园的长度和宽度。
听着是不是有点儿挑战？别急，咱们一起来解决它！2.2 设立方程首先，根据面积公式，长方形的面积是长乘宽。
所以我们可以得到一个方程：[ x times (x + 2) = 60 ]。
把这个方程展开来，咱们就得到了：[ x^2 + 2x = 60 ]然后，把方程整理成标准的一元二次方程形式：[ x^2 + 2x 60 = 0 ]。
这下，咱们就有了一个典型的二次方程，可以用不同的方法来解它。
3. 解方程的技巧3.1 因式分解法最简单的方法就是因式分解。
我们要找两个数，它们的乘积是 60，和是 2。
这两个数是 10 和 6。
所以，我们可以把方程分解成：[ (x + 10)(x 6) = 0 ]。
这样，解这个方程就非常简单了。
我们得到两个解：[ x + 10 = 0 quad text{或者} quad x 6 = 0 ]。
也就是：[ x = 10 quad text{或} quad x = 6 ]。
一元二次方程面积问题
一元二次方程面积问题例1：将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.分析：（1）设出小路的宽度为x米，表示出两条小路的面积，而小路的面积为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可；（2）设出扇形的半径为y米，则四个扇形的面积和恰好等于一个圆的面积，而四个扇形的面积和为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可．:解答：解：（1）设小路的宽度为x米，根据题意列方程得，18x+15x-x2=18×15×13，解得x1=3，x2=30（不合题意，舍去）；答：图①中小路的宽为3米．（2）设扇形的半径为y米，根据题意列方程得，πy2=18×15×13，解得y1≈5.4，y2≈-5.4（不合题意，舍去）；答：扇形的半径约为5.4米．点评：此题主要考查长方形和扇形面积的计算方法，解答时注意题目中蕴含的数量关系例2：如图1—1所示，某小区规划在一个长为40m，宽为26m的矩矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都是144㎡，则道路的宽是多少米?分析：（1）设路的宽为x m，那么道路所在的面积（40x＋26x×2－2x2）㎡，于是六块草坪的面积为[40×26－（40x＋26x×2－2x2）]㎡，根据题意，得40×26－（40x＋26x×2－2x2）=144×6（2）将图1—1所示中的三条道路分别向上和向左、向右平移图1—2的位置，若设宽为x m，则草坪的总面积为（40－2x）（26－x）㎡所列方程为（40－2x）（26－x）=144×6解法1：设道路的宽为x m，则根据题意，得40×26－（40x＋26x×2－2x2）=144×6整理，得x2－46x＋88=0，解得x1=44（舍去），x2=2解法2：设道路的宽为x m，则根据题意，得（40－2x）（26－x）=144×6 解得，x1=44（舍去），x2=2 答：略练习1、如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，所截去的小正方形的边长是多少。
一元二次方程解决面积问题
一元二次方程解决面积问题面积问题在数学中广泛存在，而解决这类问题时，一元二次方程是一个重要的工具。
一元二次方程是一个带有一个未知数的二次方程，通常写作ax² + bx + c = 0，其中a、b和c是已知常数，且a不等于0。
当涉及到面积问题时，我们可以利用一元二次方程来求解。
例如，考虑一个长方形的问题：给定长方形的宽度x，其长度为（3x + 4）。
我们希望求解这个长方形的面积。
首先，我们需要确定长方形的面积公式。
长方形的面积等于长度乘以宽度，即A = x(3x + 4)。
然后，我们将这个面积公式转化为一个一元二次方程。
展开表达式，我们得到A = 3x² + 4x。
现在，我们要解决的问题是找到一个x的值，使得面积A达到最大或最小。
我们可以利用一元二次方程的特性来求解这个问题。
一元二次方程的图像是一个抛物线，对于正系数a，抛物线开口向上。
因此，当a大于0时，抛物线的最小值出现在顶点处。
通过求解一元二次方程的顶点，我们可以找到长方形的最大或最小面积。
一元二次方程的顶点的x坐标由公式x = -b/2a给出。
对于我们的长方形问题，a = 3，b= 4，所以x = -4/(2*3)。
计算得出x = -2/3。
将这个值代入原方程，我们可以计算出面积A的最小值或最大值。
这样，我们就可以通过求解一元二次方程来解决长方形的面积问题。
一元二次方程在解决面积问题以及其他数学问题中具有广泛的应用。
通过灵活运用一元二次方程的特性，我们能够解决各种各样的面积问题。
一元二次方程面积问题
例2: 如图：在△ABCs的速度移动，点Q 从点B开始沿BC边向点Q以3cm/s的速度移动， 若P,Q同时出发，经过多长时间，使 △PBQ得 面积等于6cm2? C
Q
B （2）P，Q两点从出发开始几 秒时，点P与点Q间的距离是10cm2?
C
课本面积习题
30页问题1； 31页问题2； 40页练习2； 43页8,11； 47页探究3, 48页3,5，8； 49页9，10（一般不做）； 53页3,5，6，8； 54页10，
Q
A
P
B
例3: 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的
四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起, 就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面 积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正 方形?
例4: 如图宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同 样宽的三条道路,其余部分当做试验田，要使试验 地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
20-x 32-2x
32-2x
20-x
例4: 如图宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑 同样宽的三条道路,其余部分当做试验田，要使试 验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
例5： 利用一面长18米的墙，用长为35,米 的篱笆，怎样围一个面积为150的养鸡场？
18米
18米
2米
如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点， AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同 时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动向点B 移动，一直到点B时，停止运动，当P点停止 运动时，Q点也停止运动，点Q以2cm/s的速度 D A 向点D移动。 （1）P,Q两点从出发开始几 P 秒时，四边形PBCQ的面积 是33cm2?
一元二次方程中的面积问题
解: (1)
方案1：长为9
1 7
米，宽为7米;
方案2：长为16米，宽为4米; 方案3：长=宽=8米;
注：本题方案有无数种
（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花
圃面积不能增加2平方米.
由题意得长方形长与宽的和为16米.设长方形花圃
的长为x米，则宽为（16-x）米. x(16-x)=63+2，
x2-16x+65=0，
积等于540米2。
解法一、
(2)
如图，设道路的宽为x米，
则横向的路面面积为 32x 米2 ，
纵向的路面面积为 20x 米2 。
？ 所列的方程是不是 32 20 (32x 20x) 540
注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2
图中的道路面积不是 32x 20x米2。
而是从其中减去重叠部分，即应是 32x 20x x2 米2
(2)1.6 750 2（5 天） 48
答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m； 需要25天才能挖完渠道．
1.如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，
则每个小长方形的面积为【 】 A
A．400cm2 B．500cm2 C．600cm2 D．4000cm2
2. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金
草坪矩形的宽（纵向） (20-x)米 。
相等关系是：草坪长×草坪宽=540米2
即 32 x20 x 540.
化简得：x2 52x 100 0, x1 50, x2 2 再往下的计算、格式书写与解法1相同。
练习：
1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑 同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂 直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验 地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
12.解一元二次方程的实际应用——面积问题
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试
x
35－2x 当x=7.5时，35-2x=20＞18，因此不合题意，舍去；
当x=10时，35-2x=15. 答：鸡场的长、宽分别为15米、10米.
例2 某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地四周修
筑等宽的道路,中间的矩形部分作草坪, 若草坪的面积为540米2，求图中道路 的宽是多少? x x 32－2x 20－2x x x 解：设草坪四周道路的宽为x米， 则草坪的长为(32－2x)米，宽为(20－2x)米.
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分
英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现。 每当杨蕙心在某科考试中出现了问题， 她能很快找到问题的原因，并马上拿出
一元二次方程——面积问题
面积问题：1、如图所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米2,求甬路的宽度?2、如图所示，要建一个面积为150m2的长方形养鸡场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长为a m,另三边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为35m.(1)求鸡场的长与宽各为多少米?(2)题中的墙长度a m对题目的解起着怎样的作用?3、如图、AD是⊿ABC的高，点G,H在BC边上,点E在AB边上,点F在AC边上,BC=10cm,AD=8cm四边形EFHG是面积为15CM的矩形求矩形的长和宽。
4、在一个长为５０米，宽为３０米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的７５％，等宽且互相垂直的两条路的面积占２５％，求路的宽度。
5、等腰梯形的面积为160cm2，上底比高多４cm，下底比高多20cm，求这个等腰梯形的高。
6、有一张长为80cm，宽为60cm的薄钢片，在4个角上截去相同的4个边长为的小正方形，然后做成底面积为1500cm3 无盖的长方体盒子。
求截去小正方形的边长。
7.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m²的三级污水处理池(平面图如图)。
由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过60米。
如果外圈周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元（池壁的厚度忽略不计）。
（1）当三级污水处理的总造价为472000元时，求池长x；（2）如果规定总造价越低越合适，那么根据题目提供的信息，以47200元为总造价来修建三级污水处理池是否合算？请说明理由。
中考试题：1、如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？2.现有一块矩形场地，如图12所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：．兰花；．菊花；．月季；．牵牛花．求出这块场地中种植菊花的面积与场地的长之间的函数关系式；并写出自为量的取值范围．。
一元二次方程应用题面积问题
一元二次方程应用题面积问题1. 引言：面积问题的迷人世界大家好！今天咱们聊聊一元二次方程中的面积问题。
别急着皱眉头，这个话题其实特别贴近咱们的生活，学会了，能让你在解答一些日常问题时得心应手。
比如说，买草坪、规划花园、甚至是设计墙面装饰，这些都能用到哦！2. 面积问题的基础：概念简述2.1 什么是面积问题？说白了，面积问题就是要求你计算一个区域的大小。
在几何中，咱们经常需要找出矩形、三角形或者其他形状的面积。
那一元二次方程为什么会出现在这个问题里呢？好问题！因为有些面积计算需要用到二次方程来解决。
2.2 为什么用一元二次方程？一元二次方程，看起来有点复杂，但其实就是形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程。
它能帮我们解决一些涉及面积的实际问题，比如说，计算一个长方形的面积，特别是当这个长方形的边长变化时，就需要用到这样的方程了。
3. 实际例子：如何应用一元二次方程解决面积问题。
3.1 示例一：草坪面积假设你想在家里的花园里铺草坪，花园的长度是 ( x ) 米，宽度比长度少 5 米。
那么，花园的宽度就是 ( x 5 ) 米。
你知道草坪的面积是 84 平方米。
我们可以用一元二次方程来找出长度和宽度。
首先，面积 ( A ) = 长度 ( times ) 宽度。
根据题意，有：[ A = x times (x 5) = 84 ]。
简化一下，得到方程：[ x^2 5x = 84 ]接着，把 84 移到方程的另一边：[ x^2 5x 84 = 0 ]现在咱们可以用因式分解法或者求根公式来解这个方程。
因式分解的话，我们可以得到：[ (x 9)(x + 4) = 0 ]。
从中可以得到 ( x = 9 ) 或 ( x = 4 )。
因为长度不能是负数，所以我们取 ( x = 9 ) 米。
这样，花园的宽度就是 ( 9 5 = 4 ) 米。
3.2 示例二：墙面装饰再来一个例子，假如你要装饰一面墙，墙的高度比宽度多 2 米，装饰的总面积是60 平方米。
一元二次方程面积问题
一元二次方程面积问题例1．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD；现在已备足可以砌22m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为56m2．变式：若墙长为10m呢？练习2．如图，要建造一个直角梯形的花圃．要求AD边靠墙，CD⊥AD，AB：CD=5：4，另外三边的和为20米．设AB的长为5x米．（1）请求出AD的长（用含字母x的式子表示）；（2）若该花圃的面积为50米2，且周长不大于30米，求AB的长．例2．学校有一块矩形场地，长为32米，宽为20米，现将在该场地上横、纵各修筑一条等宽两条互相垂直的道路，剩下部分进行绿化。
设道路的宽为x米（1）分别写出两条路的面积，；（2）若要使得绿地面积为540平方米，求道路的宽。
变式1．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．解设道路的宽为x米，则可列出方程为；变式2．学校有一块矩形场地，长为32米，宽为20米，在四周留下宽度相等的道路，剩下部分进行绿，若要使得绿地面积为540平方米，求道路的宽。
解：设道路的宽为x米，则可列出方程为；一元二次方程面积问题1班级座号姓名1．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（）．A．100×80﹣100x﹣80x=7644 B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644C．（100﹣x）（80﹣x）=7644 D． 100x+80x=3562．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米.设小道的宽x米，列出方程:_______________________________.3．为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）（列方程，不必求解）设小道进出口的宽度为x m，请列出方程____________________________．4．学校要把校园内一块长50米，宽40社的长方形空地进行绿化，计划中间种花，四周留出宽度相同的地种草坪，且花坛面积占整个绿地面积的310，求草坪的宽度．（列方程，不必求解）设草坪的宽度x米，请列出方程____________________________．5．在一副长为50 cm，宽为30 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅挂画，如图，要使整个挂画的面积达到1800cm2，设金色纸边的宽为x cm，请列出方程____________________________．6．某中学有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪．(1)如右图，请直接写出两条道路的总面积(用含a、b的代数式表示)_________平方米；(2)已知a：b=2：1，并且四块草坪的面积之和为312米2，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米?7．学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为195平方米的矩形自行车棚，一边充分．．利用图书馆的后墙(墙长20米)，并利用总长为40米的铁围栏，且留有1米宽的门。
利用一元二次方程解决面积问题
如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点
P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点
Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，如果
P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后五边形
APQCD的面积为64cm？
P
B
A
Q
D
C
课堂小结
审题
设未知数
利用一元二次方程解 决实际问题的步骤
宽都相等. 问题：你能帮小颖计算一下图中x吗？
16m 解：设小路的宽为 xm, 根据题意得：
xm
12m
即 x2 - 28x + 96 = 0.
解方程得 x1 = 4 , x2 = 24,
xm
将x =24 代入方程中不符合题意舍去
答：小路的宽为4m.
例2：如图所示,某幼儿园有一道长为16m的墙,计划 用32m长的围栏靠墙围成一个面积为120m2的矩形草 坪ABCD,求该矩形草坪BC边的长.
12m
小明设计：
如右图所示.其中花园四周小路的宽都相等.通
过解方程, 得到小路的宽为2m或12m.
你觉得他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？
解：设小路的宽为 xm, 根据题意得：
16m x
x
12m
即 x2 - 14x + 24 = 0. 解方程得 x1 = 2 , x2 = 12. 将x =12 代入方程中不符合题意舍去. 答：小路的宽为2m.
16m
A
D
草坪
B
C
快乐学习
几何与方程
如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三 条水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面 积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽？
一元二次方程面积问题
使用图形解释一元二次方程与 面积的关系
通过绘制图形并演示一元二次方程与图形的面积之间的关系，我们将帮助您 更好地理解这一概念。
总结与展望
在本次演讲中，我们概述了一元二次方程与面积问题的关联，并展望了进一 步学习和应用这一概念的可能性。
求解一元二次方程的方法
我们将详细讨论解决一元二次方程的不同方法，并解释每种方法的优缺点。
如何利用一元二次方程解决面积问题
我们将展示如何将一元二次方程应用于不同类型的面积问题，并提供实用的技巧和策略。
实际应用案例分析
通过分析真实世界中的面积问题，我们将展示一元二次方程在解决实际应用 中的重要性和价值。
一元二次方程面积问题
欢迎来到本次演讲，我们将探讨一元二次方程与面积之间的关系，并解决一 些有趣的面积问题。
问题引入
通过引入一个刺激和实际的面积问题，我们将向您展示一元二次方程的重要 性，以及如何将其应用于现实生活中的计算。
一元二次方程的Biblioteka 义和一般形 式我们将介绍一元二次方程的基本定义和形式，使您能够理解解决问题所需的 基本方程。
一元二次方程方程的应用面积问题
一元二次方程方程的应用面积问题一元二次方程是数学中的重要概念，它在现实生活中有着丰富的应用。
其中之一就是在解决面积问题时发挥作用。
从简到繁，本文将深入探讨一元二次方程在面积问题中的应用，以便读者能够更深入地理解这一概念。
一、一元二次方程的基本概念在深入讨论一元二次方程在面积问题中的应用之前，我们先来复习一下一元二次方程的基本概念。
一元二次方程通常具有如下形式：\[ax^2 + bx + c = 0\]其中，\(a\)、\(b\) 和 \(c\) 分别是一元二次方程的系数，而 \(x\) 则是未知数。
通过求解一元二次方程，我们可以得到该方程的根，从而找到方程所代表的数学意义。
二、一元二次方程在面积问题中的应用1. 求矩形的面积假设矩形的长为 \(x+3\)，宽为 \(x-1\)，我们希望求解这个矩形的面积。
根据矩形面积的计算公式 \[面积 = 长 \times 宽\]我们可以建立一个关于矩形面积的一元二次方程，通过求解这个方程，就可以得到这个矩形的面积。
2. 求三角形的面积假设有一个底边长为 \(x+2\)，高为 \(2x-1\) 的三角形，我们可以利用一元二次方程来求解这个三角形的面积。
根据三角形面积的计算公式\[面积 = \frac{底边 \times 高}{2}\]我们可以建立一个关于三角形面积的一元二次方程，通过求解这个方程，就可以得到这个三角形的面积。
3. 求圆的面积对于圆的面积问题，我们需要利用一元二次方程的相关知识进行转化。
假设一个圆的半径为 \(x+1\)，我们希望求解这个圆的面积。
根据圆的面积公式 \[面积 = \pi \times 半径^2\]我们可以建立一个关于圆面积的一元二次方程，通过求解这个方程，就可以得到这个圆的面积。
三、总结与回顾通过以上的例子，我们可以看到一元二次方程在面积问题中的广泛应用。
无论是矩形、三角形还是圆，我们都可以利用一元二次方程来求解其面积，这为我们在实际生活中的计算提供了便利。
一元二次方程的面积问题
一元二次方程的面积问题
从几何角度来看，一元二次方程通常与平面图形的面积有关。
例如，如果我们考虑一个矩形的面积，假设矩形的长度为x+3，宽
度为x-2，那么矩形的面积可以表示为(x+3)(x-2)。
这个表达式可
以展开为x^2 + x 6，这就是一个一元二次方程。
我们可以利用一
元二次方程来解决矩形面积的问题，比如求最大面积、最小面积等。
从代数角度来看，一元二次方程一般具有形如ax^2 + bx + c
= 0的形式，其中a、b、c为已知的常数，而x为未知数。
解一元
二次方程的常用方法有配方法、公式法、图像法等。
在代数中，我
们可以利用一元二次方程来解决各种面积相关的问题，比如给定一
个固定的面积和一些限制条件，求解出符合条件的一元二次方程的解。
综合来看，一元二次方程的面积问题涉及到了数学中的多个概
念和方法，需要我们综合运用几何和代数的知识来解决。
通过对一
元二次方程的深入理解和灵活运用，我们可以更好地解决各种与面
积相关的问题。
希望这个回答能够帮助你更好地理解一元二次方程
的面积问题。
一元二次方程的面积问题(教案设计)
一元二次方程的面积问题1、教学目标知识与能力：1、会选用合理的方法解决一元二次方程的面积问题。
2、会根据实际面积问题中的数量关系列一元二次方程解应用题。
3、能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
过程与方法：1 、经历探索列一元二次方程解面积应用题的过程。
2、体验通过移动变化分析面积问题的方法。
3、发展学生应用数学的意思。
情感态度与价值观：让学生体会一元二次方程是刻画现实世界一个有效的数学模型，感悟数学来源于生活，服务于生活；同时培养学生自我探索的兴趣和能力。
2、教学目标重点：运用一元二次方程探索和解决面积问题。
难点：面积问题中的等量分析关键：合理利用图表进行等量分析教学过程：在这样的设想下,列方程是否符合题目要求2，你能从图形中找出等量关系吗？等量关系：（原长-小道宽）×（原宽-小道宽）设计意图：再次明确移动图形问题是本节探索的重点，一元二次方程面积问题！星光大道第3关“变形”我会做变形1学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图）,要使种植面积为600平方米，求小道的宽。
星光大道第3关弯道面积为什么等一元二次方程面积问题草坪面积怎么算？32米变形5 学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸。
经试验，彩纸面积为相片面积的2/3时较美观，求镶上彩纸条的宽。
（加彩纸后）装饰后的相片面积=原相片面积×5/3）(12+2x)=18×12×5/3星光大道第3关“变形”我会做设计意图：一题多变，一题多解，既能充分利用教材，最大限度地调动学生的学习积极性，又能拓展学生的思维，增加学生探索的广度和深度星光大道第4关规律我会找通过以上几个变形,你能得出什么规律?一元二次方程面积问题借助图形分析数量关系，是一种重要的数学思想。
这类图形问题，一般都在面积方面存在着等量关系，可以通过列一元二次方程进行解答。
与一元二次方程有关的面积问题(含答案)
6、将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。 ①要使这两个正 方形的面积之和等于 17 平方厘米，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ ②两个正方形的面积之 和可能等于 12 平方厘米吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由； ③要使这两个正方形的 ;..
.. 面积之和最小，两段铁丝的长度应该是多少？
（3）由（1）知，两个正方形的面积和为
x2 (5 x)2 = 2(x 5)2 25 22
2(x 5) 0 2
x 5时，面积和最小，最小值为25
2
2
25
所以，剪成的两段铁丝的长都为 10cm 时，两个正方形的面积和最小，最小值为 平方厘米
2
7、在矩形 ABCD 中，AB=6 cm，BC=12 cm，点 P 从点 A 沿边 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动；同时，点 Q 从点 B
沿边 BC 向点
C 以 2cm/s 的
速度移动，问 D
C
几秒后△PBQ
的面积等于 8
Q
m2 ？
AP
B
;..
解得： y1 40，y2 5
因为墙长为 15 米 所以 y=5
当长为 5 米时，可围成的鸡场的面积能达到 100 m 2
4、已知：如图所示，在△ABC 中，∠C=90 0 ，BC=7cm, AC= 5 cm,.点 P 从点 A 开始沿 AC 边向点 C 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 C 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动. （1）如果 Q、P,分别从 C、A,同时出发，那么几秒后，△PCQ 的面积等于 4 m 2 ？ （2）如果 Q、P,分别从 C、A,同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于 5cm？ （3）在（1）中，△PCQ 的面积能否等于 7 m 2 ?说明理由
一元二次方程应用图形面积问题(共10张PPT)
草,假设使每一块草坪的面积都为144平方米,求甬路的宽度?
答：截去正方形的边长为10厘米。
例2．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正 方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长。
解：设截去正方形的边长x厘米，
则图中虚线部分长等于_6_0__2_x_厘米，
宽等于___4_0_-_2_x__厘米
依 题 意 得 ： 6 0 -2 x 4 0 -2 x 8 0 0
解 得 ： x 1 1 0 , x24 0 经 检 验 , x240不 合 题 意 ,应 舍 去 .
x10
答：截去正方形的边长为10厘米。
1.有一块长方形的铁片，先把他的四角各截 去一个边长为5厘米的正方形，然后折起来， 做成一个没盖的盒子。已知铁片的长是宽 的2倍，做成的盒子的容积为1500立方厘米， 求铁片的长和宽。
一元二次方程应用图形面积问 题
例. 如图，在长为40米，宽为22米的矩 形地面上，修筑两条同样宽的互相垂直 的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的 面积为760平方米，道路的宽应为多少？
40米
22米
• 2.如图3-9-1所示,某小区规划在一个长为40 米,宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽 的甬路,使其中两条与边平行,另一条与边垂 直,其余局部种草,假设使每一块草坪的面积 都为144平方米,求甬路的宽度?
一元二次方程应用图形面积问题
周的彩色边衬所占面积是封面面积的四 例2．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长水槽，使它的
底面积为800平方厘米. 一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的长为8m，宽为5m．如果镜框中央长方形图案的面积为18m2 ，则花边多宽?
面积问题一元二次方程公式
面积问题一元二次方程公式摘要：1.一元二次方程面积问题背景介绍2.一元二次方程面积问题公式推导3.实例解析一元二次方程面积问题4.解题步骤与技巧总结正文：一、一元二次方程面积问题背景介绍在数学领域，一元二次方程是常见的代数方程之一。
其在实际生活中的应用广泛，特别是在几何领域。
一元二次方程面积问题是指，给定一个一元二次方程，如何求解其对应的图形面积。
这个问题在数学建模、工程技术等领域具有重要意义。
二、一元二次方程面积问题公式推导为了解决一元二次方程面积问题，我们需要先了解一元二次方程的一般形式：ax + bx + c = 0根据求根公式，我们可以得到方程的两根：x1, x2 = (-b ± √(b - 4ac)) / 2a我们知道，一元二次方程的图形是一个抛物线。
抛物线的面积可以通过以下公式计算：面积= 1/2 × 抛物线顶点横坐标× 抛物线长度而抛物线长度可以通过以下公式求得：抛物线长度= 2 × √(a + b) / a将求根公式和抛物线长度公式代入面积公式，我们可以得到一元二次方程面积问题的公式：面积= 1/2 × (-b ± √(b - 4ac)) × √(a + b) / a三、实例解析一元二次方程面积问题例如，给定一元二次方程：y = x - 2x - 3我们可以先求解方程的根：x1 = 3，x2 = -1然后，计算抛物线顶点横坐标：顶点横坐标= -b / (2a) = -(-2) / (2 × 1) = 1接下来，计算抛物线长度：抛物线长度= 2 × √(a + b) / a = 2 × √((1) + (-2)) / 1 = 2 × √(1 + 4) = 2 × √5最后，代入面积公式计算面积：面积= 1/2 × (3 + √5) × √(1 + 4) / 1 = 1/2 × (3 + √5) × √5四、解题步骤与技巧总结1.熟练掌握一元二次方程的求根公式；2.了解抛物线的性质，熟练运用抛物线长度和顶点横坐标的计算公式；3.将求得的顶点横坐标、抛物线长度代入面积公式进行计算；4.注意在计算过程中使用正确的数值和符号。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
是矩形面积减去道路面
积等于540米2.
解法一、
(2)
如图，设道路的宽为x米，
则横向的路面面积为 32x 米2 ，
纵向的路面面积为 20x 米2 .
？ 所列的方程是不是 3 2 2 0 (3 2 x 2 0 x ) 5 4 0
注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2
图中的道路面积不是 32x20x米2.
化简得，2x23x5 12 0 3B
解:设苗圃的一边长为xm, 则
x(18 x)81 化简得，x21x88 10
(x9)2 0 x1x29经检验，符合题意.
答:应围成一个边长为9米的正方形.
[例2] 学校要建一个面积为150平方米的长 方形自行车棚，为节约经费，一边利用18 米长的教学楼后墙，另三边利用总长为35 米的铁围栏围成，求自行车棚的长和宽.
补充练习：
如图，有一面积是150平方米的长方形 鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米）， 墙对面有一个2米宽的门，另三边（门 除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33 米．求鸡场的长和宽各多少米？
18米
2米
例3：某校为了美化校园,准备在一块长32米, 宽20米的长方形场地上修筑若干条同样宽的 道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设 计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图), 根据两种设计方案各列出方程,求图中道路 的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为 540米2.
列
即2X2 － 13 X ＋ 11＝0
解
解得X1＝1，
X2＝5.5(不合题意)
答:镜框的宽为1m.
答
练习：
2.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外
围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为
246m2,求小路的宽度.
A
D
解:设小路宽为x米，则
( 2 2 0 x ) 1 ( 2 5 x ) 2 1 4 2 5 60
解:设道路宽为x米，则
(3 22x)2 ( 0x)570
化简得，x23x63 50 (x 3)5 x ( 1 )0 x13,x 5 21
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.
答:道路的宽为1米.
例4. 镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的 长为8m，宽为5m．如果镜框中央长方形图案的面积为 18m2 ，则花边多宽? 解：设镜框的宽为xm ，则镜框中央长方形图案的长 为（8－2x）m, 宽为（5－2x） m,得
一、复习
列一元一次方程解应用题的一般步骤？
第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知 数，用字母表示题目中的一个未知数； 第二步：找出能够表示应用题全部含义的相 等关系； 第三步：根据这些相等关系列出需要的代数 式（简称关系式）从而列出方程； 第四步：解这个方程，求出未知数的值；
第五步：在检查求得的答数是否符合应用题 的实际意义后，写出答案（及单位名称）。
用20cm长的铁丝能否折成面积为24cm2的矩 形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.
解:设这个矩形的长为xcm,则宽为( 20 x) cm,
x(20x) 24 2
即
2
x2-10x+24=0
练习：
1.如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠 墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,应该 怎么设计?
草坪面积= 3220100= 540（米2）
答：所求道路的宽为2米。
解法二：
我们利用“图形经过移动， 它的面积大小不会改变”的道理， 把纵、横两条路移动一下，使列 方程容易些（目的是求出路面的 宽，至于实际施工，仍可按原图 的位置修路）
如图，设路宽为x米，
(2)
草坪矩形的长（横向）为 （32-x)米 ， 草坪矩形的宽（纵向） (20-x)米 。
实际问题与一元二次方程（一） 面积、体积问题
一、复习引入
1．直角三角形的面积公式是什么？• 一般三角形的面积公式是什么呢？
2．正方形的面积公式是什么呢？ 长方形的面积公式又是什么？
3．梯形的面积公式是什么？ 4．菱形的面积公式是什么？ 5．平行四边形的面积公式是什么？ 6．圆的面积公式是什么？
例1：8xFra bibliotekxx
（8－2x）
5
１８m2
x
例4. 镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的
长为8m，宽为5m．如果镜框中央长方形图案的面积为
18m2 ，则镜框多宽?
审
解：设镜框的宽为xm ，则镜框中央长方形
图案的长为（8-2x） m,宽为 （5-2x） m,得
设
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18
而是从其中减去重叠部分，即应是 32x20xx2 米2
所以正确的方程是：3 2 2 0 3 2 x 2 0 x x 2 5 4 0
化简得，x252x1000,
x12,x2 50
其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.
取x=2时，道路总面积为：
32220222 =100 (米2)
解：设与教学楼后墙垂直的一条边长为x米，则与教学 楼后墙平行的那条边长为(352x)米.
根据题意，得，x(352x)150
解得
x1
15 2
,
x2
10.
当 x 1 5 时，352x2018不合题意，舍去；
2
当x10时，352x15. 符合题意.
答：自行车棚的长和宽分别为15米和10米.
相等关系是：草坪长×草坪宽=540米2
即 32x20x540.
化简得：x 2 5 2 x 1 0 0 0 ,x 1 5 0 ,x 2 2 再往下的计算、格式书写与解法1相同.
练习：
1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑 同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂 直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验 地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
(1)
(2)
解:(1)如图，设道路的宽为 x米，则
(3 2 2 x)2 ( 0 2 x) 540
化简得，
(1)
x22x62 50 (x 2)5 x ( 1 ) 0 x12,x 5 21
其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去.
∴图(1)中道路的宽为1米.
分析：此题的相等关系