一元二次方程根的判别式专题训练
(完整版)一元二次方程的根的判别式练习题
一元二次方程的根的判别式1、方程2x 2+3x －k=0根的判别式是 ；当k 时，方程有实根。
2、关于x 的方程kx 2+(2k+1)x －k+1=0的实根的情况是 。
3、方程x 2+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 。
4、关于x 的方程(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0的根的情况是 。
5、当m 时，关于x 的方程3x 2－2(3m+1)x+3m 2－1=0有两个不相等的实数根。
6、如果关于x 的一元二次方程2x(ax －4)－x 2+6=0没有实数根，那么a 的最小整数值是 。
7、关于x 的一元二次方程mx 2+(2m －1)x －2=0的根的判别式的值等于4，则m= 。
8、设方程(x －a)(x －b)－cx=0的两根是α、β，试求方程(x －α)(x －β)+cx=0的根。
9、不解方程，判断下列关于x 的方程根的情况：(1)(a+1)x 2－2a 2x+a 3=0(a>0)(2)(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=010、m 、n 为何值时，方程x 2+2(m+1)x+3m 2+4mn+4n 2+2=0有实根?11、求证：关于x 的方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根。
12、已知关于x 的方程(m 2－1)x 2+2(m+1)x+1=0，试问：m 为何实数值时，方程有实数根? 13、 已知关于x 的方程x 2－2x －m=0无实根(m 为实数)，证明关于x 的方程x 2+2mx+1+2(m 2－1)(x 2+1)=0也无实根。
14、已知：a>0,b>a+c,判断关于x 的方程ax 2+bx+c=0根的情况。
15、m 为何值时，方程2(m+1)x 2+4mx+2m －1=0。
(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个实数根；(3)有两个相等的实数根；(4)无实数根。
16、当一元二次方程(2k －1)x2－4x －6=0无实根时，k 应取何值? 17、已知：关于x 的方程x 2+bx+4b=0有两个相等实根，y 1、y 2是关于y 的方程y 2+(2－b)y+4=0的两实根，求以1y 、2y 为根的一元二次方程。
第2章 一元二次方程根的判别式问题专题测试（含解析）
浙教版八下数学第2章《一元二次方程》根的判别式问题专题测试考试时间：120分钟满分：120分一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1.一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数的取值为（）A. ＞2B. ≥2C. ＝2D. ＝2.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( )A. B. 且 C. D. 且3.关于的方程的两个根互为相反数，则k值是（）A. -1B.C. 2D. -24.下列方程①，②，③，④没有实数根的是（）A. ①②③④B. ①③C. ②④D. ②③④5.若关于x的方程x2＋2x＋ a ＝0不存在实数根，则a 的取值范围是（）A. B. C. D.6.若关于的一元二次方程有实数根，则的非负整数值是（）A. 1B. 0,1C. 1,2D. 1,2,37.已知的三边长为a，b，c，且满足方程a2x2-（c2-a2-b2）x+b2=0，则方程根的情况是（）。
A. 有两相等实根B. 有两相异实根C. 无实根D. 不能确定8.已知a、b、c分别为Rt△ABC（∠C=90°）的三边的长，则关于x的一元二次方程（c+a）x2+2bx+（c-a）=0根的情况是（）.A. 方程无实数根B. 方程有两个不相等的实数根C. 方程有两个相等的实数根D. 无法判断9.关于x的方程x2+2kx+k-1=0的根的情况描述正确的是（）.A. k为任何实数，方程都没有实数根B. k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C. k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D. 根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种10.已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根，则ab的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11.若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是________12.若关于x的方程有两个相等的实数根，则式子的值为________13.如果恰好只有一个实m数是关于x的方程的根，则k=________．14.如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根，那么k的最小整数值是________.15.若关于x的一元二次方程（m+3）x2+5x+m2+2m－3=0有一个根是0，则m=________，另一根为________。
一元二次方程之判别式专项练习60题
一元二次方程判别式专项练习60题（有答案）1．已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x﹣a=0（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．（2）当a为何值时，方程的两个根互为倒数，求出此时方程的解．2．已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当p=2时，求该方程的根．3．已知关于x的方程x2+2kx+（k﹣2）2=x有两个相等的实数根，求k的值与方程的根．4．若关于x的方程 x2+4x﹣a+3=0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）若a为符合条件的最小整数，求此时方程的根．5．已知关于x的方程．（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）在（1）中，若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．6．已知关于x的方程x2+3x﹣m=8有两个不相等的实数根．（1）求m的最小整数值是多少？（2）将（1）中求出的m值，代入方程x2+3x﹣m=8中解出x的值．7．已知关于x的一元二次方程mx2﹣5x+3=0的判别式为1，求m的值及该方程的根．8．已知关于x的方程kx2﹣2x+1=0有两个实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在k使（x1+1）（x2+1）=k﹣1成立？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．9．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0（1）判断方程根的情况；（2）k为何值时，方程有两个相等的实数根，并求出此时方程的根．10．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）为k选取一个符合要求的值，并求出此方程的根．11．已知关于x的一元二次方程 x2+2mx+（m+2）（m﹣1）=0（m为常数）．（2）如果方程有两个相等的实数根，求m的值；如果方程没有实数根，求m的取值范围．12．当k取什么值时，关于x的一元二次方程（1）有两个不相等的实数根？（2）没有实数根？13．已知关于x的方程是ax2﹣3（a﹣1）x﹣9=0．（1）证明：不论a取何值，总有一个根是x=3；（2）当a≠0时，利用求根公式求出它的另一个根．14．若k是一个整数，已知关于x 的一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k最大可以取多少？为什么？15．已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）当m=﹣2时，方程的两根互为相反数吗？并求出此时方程的解．16．已知关于x的方程x2+2x+k﹣1=0，（1）若方程有一个根是1，求k的值；（2）若方程没有实数根，求实数k的取值范围．17．已知关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣9=0（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程两个根α，β满足2α+β=m+1，求m的值．18．已知p为质数，使二次方程x2﹣2px+p2﹣5p﹣1=0的两根都是整数，求出p19．m是什么实数时，方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根？20．设关于x的方程x2﹣4x+（y﹣1）|x﹣2|+2﹣2y=0恰有两个实数根，求y的负整数值．21．已知关于x的方程x2+2mx+m+2=0．（1）方程两根都是正数时，求m的取值范围；（2）方程一个根大于1，另一个根小于1，求m的取值范围．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣2m=0．（1）当m=1时，求方程的根．（2）试判断方程根的情况．23．已知a、b、c是三角形的三条边长，且关于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．24．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0，求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m+2=0．（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值；（2）若方程的两实数根之积等于m2﹣9m+2，求的值．26．关于x的方程x2﹣2x+k﹣1=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k﹣1是方程x2﹣2x+k﹣1=0的一个解，求k的值．27．已知关于x的方程x2+2x+m﹣1=0（1）若1是方程的一个根，求m的值；（2）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．28．若关于x的一元二次方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．29．已知关于x的方程x2+（3k﹣2）x﹣6k=0，（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．30．已知一元二次方程x2﹣5x+k=0．（1）当k=6时，解这个方程；（2）若方程x2﹣5x+k=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（3）设此方程的两个实数根分别为x1，x2，且2x1﹣x2=2，求k的值．31．已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+m=0（1）求证：不论m取何实数，方程都有实数根；（2）为m选取一数，使方程有两个不相等的整数根，并求出这两个实数根．32．已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣3=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为符合条件的最大整数，求此时方程的根．33．已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2=0．（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k的值．（1）求p的取值范围；（2）若，求p的值．35．实数k取何值时，一元二次方程x2﹣（2k﹣3）x+2k﹣4=0（1）有两个正根；（2）有两个异号根，且正根的绝对值较大；（3）一个根大于3，一个根小于3．36．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2=0有两个不相等的实数根．①求k的取值范围；②试判断直线y=（2k﹣3）x﹣4k+7能否通过点A（﹣2，5），并说明理由．37．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0．（1）若﹣1是方程的一个根，求m的值和方程的另一个根．（2）对于任意实数m，判断方程根的情况，并说明理由．38．证明：无论m为何值，关于x的方程x2﹣2mx﹣2m﹣4=0总有两个不相等的实数根．39．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m+2=0，若方程有两个相等的实数根，求m的值．40．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2=0．（1）求证：无论k取何值，方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足x1+x2=x1•x2，求k的值．41．已知方程m2x2+（2m+1）x+1=0有实数根，求m的取值范围．42．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根．（1）求m的范围；（2）若方程两个实数根为x1、x2，且x1+3x2=8，求m的值．43．如果关于x的一元二次方程（1﹣m）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，当m在它的取值范围内取最大整数时，求的值．44．若关于x的一元二次方程x2+2kx+（k2+2k﹣5）=0有两个实数根，分别是x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若有x1+x2=x1x2，则k的值是多少．45．已知关于x的方程k2x2+（2k﹣1）x+1=0有两个实数根x1、x2（1）求k的取值范围；（2）是否存在k的值，可以使得这两根的倒数和等于0？如果存在，请求出k，若不存在，请说明理由．46．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k=0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实根．（2）若等腰△ABC的一腰长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两根，求△ABC 的周长．47．已知x2+（2k+1）x+k2﹣2=0是关于x的一元二次方程方程．（1）方程有两根不相等的实数根，求k的取值范围．（2）方程有一根为1，求k的取值．（3）方程的两根两根互为倒数，求k的取值．48．已知关于x的方程（k﹣1）x2+2x﹣5=0有两个不相等的实数根，求：①k的取值范围．②当k为最小整数时求原方程的解．49．已知关于x的方程（m﹣1）x2﹣（2m﹣1）x+2=0．（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；（2）若方程只有整数根，求整数m的值．50．已知关于x的方程2x2+kx﹣1=0．（1）小明同学说：“无论k为何实数，方程总有实数根．”你认为他说的有道理吗？（2）若方程的一个根是﹣1，求另一根及k的值．51．已知关于x的一元二次方程．（1）m取什么值时，方程有两个实数根？（2）设此方程的两个实数根为a、b，若y=ab﹣2b2+2b+1，求y的取值范围．52．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0有实根（1）求k的取值范围（2）若方程的两实根的平方和等于11，求k的值．53．如果一元二方程x2+mx+2m﹣n=0有一个根为2，且根的判别式为0，求m、n 的值．54．已知，关于x的一元二次方程：ax2+4x﹣1=0，（1）当a取什么值时，方程有实数根？（2）设x1，x2为方程两根，y=x1+x2﹣x1•x2，试比较y与0的大小．55．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0（1）x=2是方程的一个根，求m的值和方程的另一个根．（2）对于任意实数m，判断方程的根的情况，并说明理由．56．已知关于x的方程．（1）若方程只有一个根，求k的值并求出此时方程的根；（2）若方程有两个相等的实数根，求k的值．57．已知关于x的方程4x2+4（k﹣1）x+k2=0和2x2﹣（4k+1）x+2k2﹣1=0，它们都有实数根，试求实数k的取值范围．58．已知关于x的一元二次方程kx2+2（k+4）x+（k﹣4）=0（1）若方程有实数根，求k的取值范围（2）若等腰三角形ABC的边长a=3，另两边b和c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．59．已知关于2x2+kx﹣1=0．（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根．（2）若已知该方程的一个根是﹣1，请求出另一个根．60．已知12＜m＜40，且关于x的二次方程x2﹣2（m+1）x+m2=0有两个整数根，求整数m．参考答案：1．（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△=（﹣5）2﹣4×2×（﹣a）＞0，解得a ＞﹣，即a的取值范围为a ＞﹣；（2）根据题意得=1，解得a=﹣2，方程化为2x2﹣5x+2=0，变形为（2x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=，x2=2．2．（1）证明：方程整理为x2﹣5x+6﹣p2=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=1+4p2，∵4p2≥0，∴△＞0，∴这个方程总有两个不相等的实数根；（2）解：当p=2时，方程变形为x2﹣5x+2=0，△=1+4×4=17，∴x=，∴x1=，x2=．3．方程整理得x2+（2k﹣1）x+（k﹣2）2=0①，由题意得（2k﹣1）2﹣4（k﹣2）2=0，解得．将代入①得，解得4．（1）△=42﹣4（3﹣a）=4+4a．∵该方程有实数根，∴4+4a≥0．解得a≥﹣1．（2）当a为符合条件的最小整数时，a=﹣1．此时方程化为x2+4x+4=0，方程的根为x1=x2=﹣2 5．（1）∵该方程有两个不相等的实数根，∴△=32﹣4×1×=9﹣3m＞0．解得m＜3．∴m的取值范围是m＜3；（2）∵m＜3，∴符合条件的最大整数是m=2．此时方程为x2+3x+=0，解得x==．∴方程的根为x1=，x2=．故答案为：m＜3，x1=，x2=6．（1）化为一般形式得：x2+3x﹣m﹣8=0△=9+4（m+8）＞0，解得m ＞﹣，∴m的最小整数值m=﹣10．（2）把m=﹣10代入原方程得x2+3x+10=8，即x2+3x+2=0解得：x1=﹣1，x2=﹣27．∵△=（﹣5）2﹣4×m×3=25﹣12m，∴由题意得：25﹣12m=1，∴m=2，当m=2时，方程为2x2﹣5x+3=0，两根为x1=1，x2=．答：m的值为2，方程的根为1和．8．（1）根据题意得k≠0且△≥0，即4﹣4k≥0，解得k ≤1，所以k的取值范围为k≤1且k≠0；（2）存在，k=﹣1．理由如下：根据题意得x1+x2=，x1•x2=，∵（x1+1）（x2+1）=k﹣1，∴x1•x2+x1+x2+1=k﹣1，即++1=k﹣1，化为整式方程得k2﹣2k﹣3=0，∴（k﹣3）（k+1）=0，∴k1=3，k2=﹣1，∵k≤1且k≠0；∴k=﹣19．①∵△=（2k+1）2﹣4×1×4（k ﹣）=4k2+4k+1﹣16k+8=4k2﹣12k+9=（2k﹣3）2≥0，∴该方程有两个实根；②若方程有两个相等的实数根，则△=b2﹣4ac=0，∴（2k﹣3）2=0，解得：k=，∴k=时，方程有两个相等的实数根；把k=时代入原式得：x2﹣（2×+1）x+4（﹣）=0x2﹣4x+4=0，解得：x=2；∴方程两根均为2．10．（1）根据题意得k≠0且△=（k+2）2﹣4k ×=4k+4＞0，解得k＞﹣1且k≠0；（2）取k=1，方程化为x2+3x+=0，△=4k+4=8，∴x==，∴x1=，x2=11．△=（2m）2﹣4（m+2）（m﹣1）=4m2﹣4m2﹣4m+8=﹣4m+8．（1分）（1）因为方程有两个不相等的实数根，所以﹣4m+8＞0，所以m＜2．（2分）（2）因为方程有两个相等的实数根，所以﹣4m+8=0，所以m=2．（2分）因为方程没有实数根，所以﹣4m+8＜0，所以m＞212．（1）根据题题意得k≠0且△=（k﹣2）2﹣4k •＞0，解得k＜1且k≠0；（2）根据题意得k≠0且△=（k﹣2）2﹣4k •＜0，解得k＞113．（1）证明，将x=3代入方程，得左边=9a﹣9（a﹣1）﹣9=9﹣9=0=右边，所以，方程总有一个根是x=3；（2）当a≠0时，△=9（a﹣1）2+4×9=9（a+1）2，所以，x1==3，x2==﹣，即方程的另一个根是x=﹣．14．∵一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴1﹣k≠0，且△＞0，即22﹣4×（1﹣k）×（﹣1）＞0，解得k＜2，又∵k是整数，∴k的取值范围为：k＜2且k≠1的整数，∴k最大可以取0．15．（1）证明：△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，∵（m﹣2）2≥0，∴（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：当m=﹣2时，方程变形为x2﹣5=0，解得x1=，x2=﹣，∴方程的两根互为相反数16．（1）∵x=1是方程x2+2x+k﹣1=0的一个根，∴12+2×1+k﹣1=0，解得，k=﹣2；（2）∵方程没有实数根，∴b2﹣4ac＜0，即22﹣4（k﹣1）＜0，解得k＞217．（1）证明：方程的根的判别式△=（m﹣2）2﹣4×1×（﹣9）=（m﹣2）2+36∵无论m取何实效（m﹣2）2+36＞0恒成立∴这个方程总有两个不相等的实数根（2）解由根与系数的关系．得α+β=2﹣m则2α+β=α+α+β=α+2﹣m∵2α+β=m+1，∴α+2﹣m=m+1，则α=2m﹣1∵α是方程的根，∴α2+（m﹣2）α﹣9=0则（2m﹣1）2+（m﹣2）（2m﹣1）﹣9=0整理，得2m2﹣3m一2=0解，得m1=2，m2=﹣．18．∵已知的整系数二次方程有整数根，∴△=4p2﹣4（p2﹣5p﹣1）=4（5p+1）为完全平方数，从而，5p+1为完全平方数设5p+1=n2，注意到p≥2，故n≥4，且n为整数∴5p=（n+1）（n﹣1），则n+1，n﹣1中至少有一个是5的倍数，即n=5k±1（k为正整数）∴5p+1=25k2±10k+1，p=k（5k±2），由p是质数，5k±2＞1，∴k=1，p=3或7当p=3时，已知方程变为x2﹣6x﹣7=0，解得x1=﹣1，x2=7；当p=7时，已知方程变为x2﹣14x+13=0，解得x1=1，x2=13 所以p=3或p=7．19．∵△=b2﹣4ac=16﹣4（5﹣m）=4m﹣4＞0∴m＞1当x≥0时，方程是x2﹣4x+5﹣m=0，方程有两个不同的根，则两个的积一定大于0，即5﹣m＞0，则m＜5∴1＜m＜5当x＜0时，方程是x2+4x+5﹣m=0，方程有两个不同的根，则两个根的积一定大于0，即5﹣m＞0，则m＜5则1＜m＜5∴1＜m＜5时，方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根20．原式可变形为：|x﹣2| 2+（y﹣1）|x﹣2|﹣2﹣2y=0，（|x﹣2|﹣2）[|x﹣2|+（1+y）]=0，则|x﹣2|=2或|x﹣2|=﹣（y+1），故2=﹣（y+1），则y=﹣3，当|x﹣2|=2，且1+y＞0时，则y＞﹣1，故y的负整数值为：﹣321．（1）根据题意，m 应当满足条件…（3分）即∴﹣2＜m≤﹣1…（7分）（2）根据题意，m 应当满足条件…（10分），即∴m＜﹣122．（1）当m=1时，原方程变为：x2﹣2x﹣1=0解得：；（2）△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4×（m2﹣2m）=8m，当m＞0时，原方程有两个不相等的实数根；当m=0时，原方程有两个相等的实数根；m＜0时，原方程没有实数根23．由已知条件△=4（b﹣a）2﹣4（c﹣b）（a﹣b）=4（a ﹣b）（a﹣c）=0，∴a=b或a=c，∵c﹣b≠0则c≠b，∴这个三角形是等腰三角形24．△=m2﹣4（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4，∵（m﹣2）2≥0，∴（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根．25．（1）∵方程有两个相等的实数根，∴（m﹣1）2﹣4（m+2）=0，∴m2﹣2m+1﹣4m﹣8=0，m2﹣6m﹣7=0，∴m=7或﹣1；（2）∵方程的两实数根之积等于m2﹣9m+2，∴m2﹣9m+2=m+2，∴m2﹣10m=0，∴m=0或m=10，当m=0时，方程为：x2+x+2=0，方程没有实数根，舍去；∴m=10，∴=426．（1）由题意，知（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，解得k＜2，即k 的取值范围为k＜2．（2）由题意，得（k﹣1）2﹣2（k﹣1）+k﹣1=0即k2﹣3k+2=0解得k1=1，k2=2（舍去）∴k的值为127．（1）把x=1代入方程，得1+2+m﹣1=0，所以m=﹣2；（2）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即22﹣4（m﹣1）＞0，解得m＜2．所以m的取值范围为m＜228．∵关于x的一元二次方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，∴，解得k ＞．所以k的取值范围是k ＞且k≠2．29．（1）证明：∵△=b2﹣4ac=（3k﹣2）2﹣4•（﹣6k）=9k2﹣12k+4+24k=9k2+12k+4=（3k+2）2≥0∴无论k取何值，方程总有实数根．（2）解：①若a=6为底边，则b，c为腰长，则b=c，则△=0．∴（3k+2）2=0，解得：k=﹣．此时原方程化为x2﹣4x+4=0∴x1=x2=2，即b=c=2．此时△ABC三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；②若a=b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b=a=6代入方程：62+6（3k﹣2）﹣6k=0∴k=﹣2则原方程化为x2﹣8x+12=0（x﹣2）（x﹣6）=0∴x1=2，x2=6即b=6，c=2此时△ABC三边为6，6，2能构成三角形，综上所述：△ABC三边为6，6，2．∴周长为6+6+2=14．30．（1）k=6，方程变为x2﹣5x+6=0，即（x﹣2）（x﹣3）=0，∴x1=2，x2=3；（2）根据题意△=（﹣5）2﹣4k＞0，解得k ＜；（3）根据题意得x1+x2=5，x1，•x2=k，而2x1﹣x2=2，∴x1=，∴x2=，∴k=×=31．（1）∵△=[﹣（m﹣1）]2﹣4m=m2+2m+1﹣4m=（m﹣1）2，又∵不论m取何实数，总有（m﹣1）2≥0，∴△≥0，∴不论m取何实数，方程都有实数根．（2）∵由求根公式得=∴x1=m，x2=1，∴只要m取整数（不等于1），则方程的解就都为整数且不相等．如取m=2，则原方程有两个不相等的整数根，分别是x1=2，x2=1．32．（1）△=（﹣2）2﹣4（2k﹣3）=8（2﹣k）．∵该方程有两个不相等的实数根，∴8（2﹣k）＞0，解得k＜2．（2）当k为符合条件的最大整数时，k=1．此时方程化为x2﹣2x﹣1=0，方程的根为x==1±．即此时方程的根为x1=1+，x2=1﹣．33．（1）当k=﹣1时，方程﹣4x﹣4=0为一元一次方程，此方程有一个实数根；当k≠﹣1时，方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2=0是一元二次方程，△=（3k﹣1）2﹣4（k+1）（2k﹣2）=（k﹣3）2．∵（k﹣3）2≥0，即△≥0，∴k为除﹣1外的任意实数时，此方程总有两个实数根．综上，无论k取任意实数，方程总有实数根；（2）∵方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2=0中a=k+1，b=3k ﹣1，c=2k﹣2，∴x=，∴x1=﹣1，x2=﹣2，∵方程的两个根是整数根，且k为正整数，∴当k=1时，方程的两根为﹣1，0；当k=3时，方程的两根为﹣1，﹣1．∴k=1，334．（1）∵方程x2﹣x+p﹣1=0有两个实数根x1、x2，∴△≥0，即12﹣4×1×（p﹣1）≥0，解得p ≤，∴p的取值范围为p ≤；（2）∵方程x2﹣x+p﹣1=0有两个实数根x1、x2，∴x12﹣x1+p﹣1=0，x22﹣x2+p﹣1=0，∴x12﹣x1=﹣p+1=0，x22﹣x2=﹣p+1，∴（﹣p+1﹣2）（﹣p+1﹣2）=9，∴（p+1）2=9，∴p1=2，p2=﹣4，∵p ≤，∴p=﹣435．（1）设方程的两个正根为x1、x2，则：△=（2k﹣3）2﹣4（2k﹣4）≥0 ①，x1+x2=2k﹣3＞0，x1x2=2k﹣4＞0 ②，解①，得：k为任意实数，解②，得：k＞2，所以k的取值范围是k＞2；（2）设方程的两个根为x1、x2，则：△=（2k﹣3）2﹣4（2k﹣4）＞0 ①，x1+x2=2k﹣3＞0，x1x2=2k﹣4＜0 ②，解①，得：k ≠，解②，得：＜k＜2，所以k 的取值范围是＜k＜2；（2）设方程的两个根为x1、x2，则：△=（2k﹣3）2﹣4（2k﹣4）＞0 ①，（x1﹣3）（x2﹣3）＜0 ②，解①，得：k ≠，由②，得：x1x2﹣3（x1+x2）+9＜0，又x1+x2=2k﹣3＞0，x1x2=2k﹣4，代入整理，得﹣4k+14＜0，解得k ＞．则k ＞．36．（1）∵关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac＞0∴（2k+1）2﹣4（k2+2）＞0∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8＞0，∴4k＞7，解得，k ＞；（2）假设直线y=（2k﹣3）x﹣4k+7能否通过点A（﹣2，5），∴5=（2k﹣3）×（﹣2）﹣4k+7，即﹣8=﹣8k，解得k=1＜；又由（1）知，k ＞；∴k=1不符合题意，即直线y=（2k﹣3）x﹣4k+7不通过点A（﹣2，5）37．（1）把x=﹣1代入原方程得：1+m﹣2=0，解得：m=1，∴原方程为x2﹣x﹣2=0．解得：x=﹣1或2，∴方程另一个根是2；（2）∵△=b2﹣4ac=m2+8＞0，∴对任意实数m方程都有两个不相等的实数根．38．∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（﹣2m﹣4）=4（m2+2m）+16=4（m2+2m+1﹣1）+16=4（m+1）2+12＞0，∴关于x的方程x2﹣2mx﹣2m﹣4=0总有两个不相等的实数根．39．∵关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m+2=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，即：（m﹣1）2﹣4（m+2）=0，解得：m=7或m=﹣1，∴m的值为7或﹣140．1）证明：∵a=1，b=﹣k，c=﹣2∴△=b2﹣4ac=（﹣k）2﹣4×1×（﹣2）=k2+8，∵k2＞0，∴△＞0，∴无论k取何值，方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵，；又∵x1+x2=x1•x2∴k=﹣2．41．当m2=0，即m=0，方程变为：x+1=0，有解；当m2≠0，即m≠0，原方程要有实数根，则△≥0，即△=（2m+1）2﹣4m2=4m+1≥0，解得m ≥﹣，则m的范围是m ≥﹣且m≠0；所以，m的取值范围为m ≥﹣42．（1）△=4﹣4m，∵有两个实数根，∴4﹣4m≥0，∴m≤1；（2）∵，解得，，∴m=x1x2=﹣343．∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=4+4（1﹣m）=8﹣4m＞0，且1﹣m≠0，∴m＜2，且m ≠1．当m=0时，无意义，故m≠0，则m的最大整数值为﹣1，所以=4×1+1=5．答：=5．44．（1）∵方程x2+2kx+（k2+2k﹣5）=0有两个实数根，∴△≥0，即4k2﹣4（ k2+2k﹣5 ）≥0，∴﹣8k+20≥0∴k ≤；（2）∵x1+x2=﹣2k，x1x2=k2+2k﹣5，而x1+x2=x1x2，∴﹣2k=k2+2k﹣5，即k2+4k﹣5=0解得k1=﹣5，k2=1，又∵k ≤，∴k=﹣5或145．（1）（2k﹣1）2﹣4k2×1≥0，解得：k ≤，且：k2≠0，∴k≠0，∴k ≤且k≠0；（2）不存在，∵方程有两个的实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴==﹣=﹣2k+1=0，k=，∵k ≤且k≠0；∴不存在46．（1）∵△=[﹣（k+1）]2﹣4k=k2+2k+1﹣4k=（k﹣1）2≥0，∴无论k取什么实数值，这个方程总有实根；（2）∵等腰△ABC的一边长a=4，∴另两边b、c中必有一个数为4，把4代入关于x的方程x2﹣（k+1）x+k=0中得，∴16﹣4（k+1）+k=0，解得：k=4，所以b+c=k+1=5∴△ABC的周长=4+5=9．47．（1）∵方程有两根不相等的实数根，∴△=（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣2）＞0，∴k ＞﹣；（2）把x=1代入原方程得1+（2k+1）+k2﹣2=0，整理得k2+2k=0，解得k=0或﹣2；（3）设两实数根为：x1，x2，由根与系数的关系：x1x2=k2﹣2=1，解得k=±48．①由题意得，22﹣4（k﹣1）•（﹣5）＞0．解得，．且k﹣1≠0，即k≠1故且k≠1．（2）k的最小整数是k=2．则原方程为x2+2x﹣5=0故此时方程的解为：，49．（1）证明：∵△=[﹣（2m﹣1）]2﹣4×（m﹣1）×2=4m2﹣12m+9=（2m﹣3）2≥0，∴无论m取任何实数，方程总有实数根；（2）x==，x1==2，x2==，∵方程只有整数根，∴m﹣1=±1，解得：m=0或250．（1）有道理，△=k2﹣4×2×（﹣1）=k2+8，∴k2≥0，∴k2+8＞0，∴无论k为何实数，方程总有实数根；（2）∵方程的一个根是﹣1，∴2×（﹣1）2﹣k﹣1=0，解得：k=1，把k=1代入方程2x2+kx﹣1=0得方程2x2+x﹣1=0，解得：x1=﹣1，x2=，故另一根是，k的值是151．（1）∵△≥0，方程有两个实数根，∴12﹣4×1×m≥0，解得m≤1，∴当m≤1时，方程有两个实数根；（2）∵方程的两个实数根为a、b，∴b2﹣b+m=0，ab=m，∴y=m﹣2（b2﹣b）+1=m﹣2×（﹣m）+1=m+1，∵m≤1，∴y ≤+1，即y ≤．52．（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0有实根，∴△=（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣2）≥0，解得：；（2）设方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0设其两根为x1，x2，得x1+x2=﹣（2k+1），x1•x2=k2﹣2，∵x12+x22=11，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=11，∴（2k+1）2﹣2（k2﹣2）=11，解得k=1或﹣3；∵k ≥﹣，∴k=1．53．∵一元二方程x2+mx+2m﹣n=0有一个根为2，∴4+4m﹣n=0①，又∵根的判别式为0，∴△=m2﹣4×（2m﹣n）=0，即m2﹣8m+4n=0②，由①得：n=4+4m，把n=4+4m代入②得：m2+8m+16﹣0，解得m=﹣4，代入①得：n=﹣12，所以m=﹣4，n=﹣12．54．（1）∵方程有实数根，∴△≥0，即16+4a≥0，解得a≥﹣4．由于ax2+4x﹣1=0是关于x的一元二次方程，可知a≠0，∴a≥﹣4且a≠0．（2）∵ax2+4x﹣1=0是关于x的一元二次方程，∴x1+x2=﹣，x1•x2=﹣，∴y=﹣+=﹣．当﹣4≤a＜0时，y=﹣+=﹣＞0；当a＞0时，y=﹣+=﹣＜0．55．（1）将x=2代入方程得：4﹣2m﹣2=0，解得：m=1，方程为x2﹣x﹣2=0，即（x﹣2）（x+1）=0，解得：x=2或x=﹣1，则方程的另一根为﹣1；（2）∵△=m2+8≥8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．56．（1）∵方程只有一个根，∴此方程是一元一次方程，即k ﹣=0，∴k=；代入原方程得﹣x=1，解得x=﹣；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴，∴k1=0，k2=﹣6．57．∵两个一元二次方程都有实数根，∴，解得﹣≤k ≤．58．（1）∵关于x的一元二次方程kx2+2（k+4）x+（k﹣4）=0方程有实数根，∴b2﹣4ac=[2（k+4）]2﹣4k（k﹣4）≥0，解得：k ≥﹣且k≠0；（2）①若a=3为底边，则b，c为腰长，则b=c，则△=0．∴b2﹣4ac=[2（k+4）]2﹣4k（k﹣4）=0，解得：k=﹣．此时原方程化为x2﹣4x+4=0∴x1=x2=2，即b=c=2．此时△ABC三边为3，2，2能构成三角形，∴△ABC的周长为：3+2+2=8；②若a=b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b=a=3代入方程：kx2+2（k+4）x+（k﹣4）=0得：k×32+2（k+4）×3+（k﹣4）=0∴解得：k=﹣，∵x1×x2=bc====3c，∴c=，∴△ABC的周长为：3+3+=．59．（1）证明：∵△=k2﹣4×2×（﹣1）=k2+4＞0，∴该方程一定有两个不相等的实数根；（2）解：设另一个根为x1，根据根与系数的关系可得：x1•x2=﹣，∵一个根是﹣1，∴x1•（﹣1）=﹣，解得：x1=60．∵一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2=0有两个整数根，∴△=b2﹣4ac=4（m+1）2﹣4m2=8m+4≥0，∴，∵12＜m＜40，由求根公式，∵一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2=0有两个整数根，∴2m+1必须是完全平方数，∴m=24。
一元二次方程根的判别式基础练习30题含详细答案
（3）设该方程的两个实数根为x1，x2，若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，求m的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程根的情况，解题的关键是熟知根的判别式特点．
5．B
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α﹣2015＝0，则α2+2α＝2015，于是α2+3α+β可化为2015+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵α是方程x2+2x﹣2015＝0的根，
16．若关于x的一元二次方程kx2－4x+3=0有实数根，则k的取值范围是_____．
三、解答题
17．关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若x1+2x2=3，求|x1﹣x2|的值．
18．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）若方程的一个根为1，求m的值；
7．D
【分析】
要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程．
【详解】
解：A、x2+1=0中 ，没有实数根，故本选项错误；
专题1.3一元二次方程根的判别式根与系数的关系(3个考点八大题型)(原卷版)_1
专题 1.3 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（3个考点八大题型）【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】【题型2 由方程方程根的情况求字母的取值范围】【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】1．（2023春•南岗区校级期中）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．无实数根C．有一个实数根D．有两个不等的实数根2．（2023•平顶山二模）定义运算：a※b＝a2b+ab﹣1，例如：2※3＝22×3+2×3﹣1＝17，则方程x※1＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根3．（2023•柘城县二模）一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根4．（2023•桂林二模）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（）A．无实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根5．（2023•长春模拟）方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根6．（2023•三门峡一模）一元二次方程（x﹣1）2＝x+3的根的情况（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根7．（2023春•瑞安市期中）关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况，下列说法中正确的是（）A．有两个实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无实数根【题型2 由方程方程根的情况求字母的取值范围】8．（2023•淅川县一模）若关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．9．（2023•阳谷县一模）关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．且B．且C．D．且10．（2023•银川一模）若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个实数根，则a的取值范围是（）A．a≠0B．a＞﹣1且a≠0C．a≥﹣1且a≠0D．a＞﹣1 11．（2023•白云区二模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是（）A．0B．1C．2D．3 12．（2023•卧龙区一模）关于x的一元二次方程kx2﹣2kx+2＝0有两个相等的实数根，则k的值是（）A．0或2B．2C．0或﹣2D．﹣2 13．（2023•大兴区一模）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围为（）A．m＜1B．m≤1C．m＞1D．m≥1 14．（2023•江阳区一模）关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+3x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．B．C．且a≠2D．且a≠2 15．（2023•济源一模）若关于x的一元二次方程x2+4x+m+5＝0有实数根，则m 的取值范围是（）A．m≤1B．m≤﹣1C．m＜﹣1 D．m≥﹣1且m≠0【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】16．（2023春•蜀山区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k ﹣1＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．17．（2023春•庐阳区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m ﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）若a和b是这个一元二次方程的两个根，且a2+b2＝9，求m的值．18．（2023春•丰泽区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实根．（1）求实数k的取值范围．（2）方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣1，求k的值．19．（2023•谷城县模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若+＝4，求k的值．20．（2023春•涡阳县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．（1）判断方程的根的情况；（2）若△ABC为等腰直角三角形，且其两条边长恰好是该方程的根，求m的值．【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】21．（2023•西华县二模）已知m和n是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个根，则代数式m+n的值是（）A．2023B．﹣2023C．﹣1D．1 22．（2023春•庐阳区校级期中）已知一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根分别为m，n，则m+n+mn的值是（）A．﹣5B．﹣3C．3D．5 23．（2023•天津一模）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是（）A．3B．﹣3C．﹣4D．4 24．（2023•东莞市二模）已知方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为（）A．7B．5C．3D．2 25．（2023•汶上县一模）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（）A．3B．﹣10C．0D．10【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】26．（2023•南山区三模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，则的值是（）A．B．C．D．27．（2023•潍城区二模）若x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则的值为（）A．19B．9C．1D．﹣1 28．（2023•汉阳区校级模拟）若实数m，n满足条件：m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n ﹣1＝0，则的值是（）A．2B．﹣4C．﹣6D．2或﹣6 29．（2023•兴庆区校级二模）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（）A．﹣10B．10C．3D．0 30．（2023•临沭县一模）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+4m+2n的值等于（）A．2023B．2022C．2020D．2019【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】31．（2023•河东区一模）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式的值是（）A．4047B．4045C．2023D．1【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】32．（2023•安丘市模拟）已知方程x2+2023x﹣5＝0的两根分别是α和β，则代数式α2+β+2024α的值为（）A．0B．﹣2018C．﹣2023D．﹣2024 33．（2023•肥城市一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值为（）A．2020B．2021C．2022D．2023 34．（2023•鼓楼区校级模拟）已知a、b是关于x的方程x2+3x﹣2010＝0的两根，则a2﹣a﹣4b的值是（）A．2020B．2021C．2022D．2023 34．（2023•东港区校级一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值等于（）A．2020B．2021C．2022D．2023【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】35．（2023•阿克苏市二模）若x＝2是方程x2﹣x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．﹣1B．0C．1D．2 36．（2020秋•甘井子区期末）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2B．2C．﹣5D．5 37．（2020春•宣城期末）关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（）A．x2＝1，k＝2B．x2＝2，k＝2C．x2＝1，k＝﹣1D．x2＝2，k＝﹣1 38．（2023•诸暨市模拟）关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有一个解为x＝1，则该方程的另一个解为（）A．0B．﹣1C．2D．﹣2 39．（2023•洛阳一模）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0有一个根是﹣2，则另一个根是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2。
一元二次方程的根的判别式练习题
一元二次方程的根的判别式一、新课预习关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式及求根公式．(1)b2－4ac＞0⇔方程有_______个_________的实数根，x＝_______________．(2)b2－4ac＝0⇔方程有________个________的实数根，x1＝x2＝______________．(3)b2－4ac＜0⇔方程__________实数根．二、例变讲练例1 方程3x2－2x－1＝0的根的判别式为b2－4ac＝16，此方程有两个__________的实数根．变1 下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A．x2＋4＝0 B．4x2－4x＋1＝0 C．x2＋x＋3＝0 D．x2＋2x－1＝0例2 已知关于x的方程x2－3x＋2－m2＝0.(1)求方程的根的判别式(用含m的代数式表示)；(2)说明不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．变2 已知关于x的一元二次方程x2＋(m－3)x－3m＝0.求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根．例3 若一元二次方程x2＋2x－m＝0有实数解，则m的取值范围是______________．变3 已知关于x的方程x2－2x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是__________．例4 若关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______________．变4 若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是__________三、课堂训练一级1. 若关于x的方程x2－4x－c＝0的根的判别式Δ＝4，则c＝_________．2. 下列方程中有两个不相等的实数根的方程是( )A．(x－1)2＝0 B．x2＋2x－19＝0 C．x2＋4＝0 D．x2＋x＋1＝03. 如果关于x的一元二次方程x2＋4x－m＝0没有实数根，那么m的取值范围是_________．4. 若关于x的方程x2－x－k＝0有两个相等的实数根，则k=______，方程的两根为x＝x=_____________5. 若关于x的方程x2＋x－94a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是__________．6. 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是( ) A．m≤2 B．m≥2C．m≤2且m≠1 D．m≥－2且m≠17. 若关于x的一元二次方程(k－1)x2－4x－5＝0没有实数根，则k的取值范围是_________．8. 求证：不论m为任何实数，关于x的一元二次方程x2＋(4m＋1)x＋2m－1＝0总有两个不相等的实数根．四、能力提升9. 已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋2m＝0.(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．10. 等腰三角形的边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，求n的值．第7课时 一元二次方程的根的判别式一、新课预习关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的判别式及求根公式．(1)b 2－4ac ＞0⇔方程有_______个_________的实数根，x ＝_______________． 两，不相等，－b±b2－4ac 2a(2)b 2－4ac ＝0⇔方程有________个________的实数根，x 1＝x 2＝______________．(3)b 2－4ac ＜0⇔方程__________实数根．两，相等，－b 2a，无 二、例变讲练例1 方程3x 2－2x －1＝0的根的判别式为b2－4ac ＝16，此方程有两个__________的实数根．不相等变1 下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A ．x 2＋4＝0B ．4x 2－4x ＋1＝0C ．x 2＋x ＋3＝0D ．x 2＋2x －1＝0 D例2 已知关于x 的方程x 2－3x ＋2－m 2＝0.(1)求方程的根的判别式(用含m 的代数式表示)；解：b 2－4ac ＝4m 2＋1；(2)说明不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．解：b 2－4ac ＝4m 2＋1≥1>0，∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．变2 已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m －3)x －3m ＝0.求证：无论实数m 取何值，方程总有两个实数根．解：Δ＝(m －3)2－4×(－3m)＝m 2－6m ＋9＋12m＝m 2＋6m ＋9＝(m ＋3)2，∵无论实数m 取何值，总有(m ＋3)2≥0，即Δ≥0，∴无论实数m 取何值，方程总有两个实数根．例3 若一元二次方程x 2＋2x －m ＝0有实数解，则m 的取值范围是______________．m≥－1变3 已知关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0没有实数根，则m 的取值范围是__________． m>1例4 若关于x 的一元二次方程kx 2＋2x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_______________．k>－1且k≠0变4 若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋4x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围是__________，k≤5且k≠1三、课堂训练一级1. 若关于x 的方程x 2－4x －c ＝0的根的判别式Δ＝4，则c ＝_________．-32. 下列方程中有两个不相等的实数根的方程是( )A ．(x －1)2＝0B ．x 2＋2x －19＝0C ．x 2＋4＝0D ．x 2＋x ＋1＝0B 3. 如果关于x 的一元二次方程x 2＋4x －m ＝0没有实数根，那么m 的取值范围是_________．m<－44. 若关于x 的方程x 2－x －k ＝0有两个相等的实数根，则k=______，方程的两根为 x ＝x=_____________－14， x 1＝x 2＝125. 若关于x 的方程x 2＋x －94a ＝0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是__________．a>－196. 已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2－2x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是( )A ．m≤2B ．m≥2C ．m≤2且m≠1D ．m≥－2且m≠1C7. 若关于x 的一元二次方程(k －1)x2－4x －5＝0没有实数根，则k 的取值范围是_________．k ＜158. 求证：不论m 为任何实数，关于x 的一元二次方程x 2＋(4m ＋1)x ＋2m －1＝0总有两个不相等的实数根．证明：根据题意得：Δ＝(4m ＋1)2－4(2m －1)＝16m 2＋8m ＋1－8m ＋4＝16m 2＋5，∵m2≥0，∴16m 2＋5＞0，即Δ＞0，∴不论m 为任何实数，原方程总有两个不相等的实数根．四、能力提升9. 已知关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋2)x ＋2m ＝0.(1)求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根；证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－4×1×2m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵(m －2)2≥0，即Δ≥0，∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根．(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．解：将x ＝1代入原方程，得：1－(m ＋2)＋2m ＝0，∴m ＝1，∴方程的另一个根为2×11＝2. 当1，2为直角边长时，斜边长＝12＋22＝5，∴围成直角三角形的周长＝1＋2＋5＝3＋5；当2为斜边长时，另一直角边长＝22－12＝3，∴围成直角三角形的周长＝1＋2＋3＝3＋ 3.综上所述：以此两根为边长的直角三角形的周长为3＋5或3＋ 3.10. 等腰三角形的边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋n －1＝0的两根，求n 的值．解：∵三角形是等腰三角形，∴①a ＝2或b ＝2，②a ＝b 两种情况，①当a ＝2或b ＝2时，∵a ，b 是关于x 的一元二次方程x2－6x ＋n －1＝0的两根，∴x ＝2，把x ＝2代入x 2－6x ＋n －1＝0得22－6×2＋n －1＝0，解得：n ＝9，当n ＝9时，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n ＝9不合题意，②当a ＝b 时，方程x2－6x ＋n －1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(－6)2－4(n －1)＝0，解得：n ＝10，综上所述：n ＝10.。
根判别式含参数一元二次方程专项练习60题(有答案)
一元二次方程专项练习60题1．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当时，求m的值．2．关于x的方程2x2﹣（a2﹣4）x﹣a+1=0，（1）若方程的一根为0，求实数a的值；（2）若方程的两根互为相反数，求实数a的值．3．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k+2=0的两个实数根分别为x1和x2，且x12+x22=6，求k的值？4．已知关于x的方程kx2+2（k+1）x﹣3=0．（1）请你为k选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根；（2）若k满足不等式16k+3＞0，试讨论方程实数根的情况．5．已知方程2（m+1）x2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m的值．（1）方程有两个相等的实数根；（2）方程有两个相反的实数根；（3）方程的一个根为0．6．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，求m 的值．7．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足，求m 的值．8．已知关于x的一元二次方程x2+2（2一m）x+3﹣6m=0．（1）求证：无论m取何实数，方程总有实数根；（2）若方程的两个实数根x l和x2满足x l+x2=m，求m的值．9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k=0（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（1﹣m）x+m2=0的两根为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+12m+x22=10，求m的值．11．已知：关于x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+k﹣2=0的两个实数根是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）若x12=11﹣x22，求k的值．12．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m=0有两个实数根（1）求m的取值范围；（2）若x=﹣1是方程的一个根，求m的取值及方程的另一个根．13．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣2=0．（1）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若方程的两实数根之积等于m2+9m﹣11，求的值．14．一元二次方程x2+kx﹣（k﹣1）=0的两根分别为x1，x2．且x12﹣x22=0，求k值．15．在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围．16．关于x的方程4kx2+4（k+2）x+k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．17．已知关于x的二次方程a2x2+2ax+1=﹣3x的两个实数根的积为1，且关于x的二次方程x2+2（a+n）x﹣a2=4﹣18．关于的方程2x3+（2﹣m）x2﹣（m+2）x﹣2=0有三个实数根分别为α、β、x0，其中根x0与m无关．（1）如（α+β）x0=﹣3，求实数m的值．（2）如α＜a＜b＜β，试比较：与的大小，并说明你的理由．19．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80．求实数a的所有可能值．20．已知关于x的方程x2+（2m﹣3）x+m2+6=0的两根x1，x2的积是两根和的两倍，①求m的值；②求作以为两根的一元二次方程．21．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0．问：（1）当k为何值时，此方程有实数根；（2）若此方程的两实数根x1、x2，满足|x1|+|x2|=3，求k的值．22．已知，关于x的方程x2﹣2mx=﹣m2+2x的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求实数m的值．23．设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个整数根，求m的值．24．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根的平方和为23，求m的值．26．已知关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2+4=0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m的值．27．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当（x1+x2）•（x1﹣x2）=0时，求m的值．（友情提示：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则：，）28．关于x的方程有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；229．已知x1、x2是方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两根，且，求m的值．30．已知关于x的方程k有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两实根为x1和x2（x1≠x2），那么是否存在实数k，使成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．31．已知：关于x的方程x2+kx+k﹣1=0（1）求证：方程一定有两个实数根；（2）设x1，x2是方程的两个实数根，且（x1+x2）（x1﹣x2）=0，求k的值．32．设关于x的二次方程（a2+1）x2﹣4ax+2=0的两根为x1，x2，若2x1x2=x1﹣3x2，试求a的值．33．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，（1）求a的取值范围；（2）若5x1+2x1x2=2a﹣5x2；求a的值．34．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．35．一元二次方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0，（1）m为何实数时，方程的两个根互为相反数？（2）m为何实数时，方程的一个根为零？（3）是否存在实数m，使方程的两个根互为倒数？36．已知一元二次方程kx2+x+1=0（1）当它有两个实数根时，求k的取值范围；（2）问：k为何值时，原方程的两实数根的平方和为3？37．关于x的方程为x2+（m+2）x+2m﹣1=0．（1）证明：方程有两个不相等的实数根．（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数？若存在，求出m的值及两个实数根；若不存在，请说明理由．38．已知：关于的方程x2﹣kx﹣2=0．（1）求证：无论k为何值时，方程有两个不相等的实数根．（2）设方程的两根为x1，x2，若2（x1+x2）＞x1x2，求k的取值范围．39．已知：关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．（1）当m为何值时，方程总有两个实数根？（2）设方程的两实根分别为x1、x2，当x12+x22﹣x1x2=78时，求m的值．40．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣（2m+3）x+m2=0的两个实数根，且=1时求m的值．41．已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程有一根为2，求m的值，并求出此时方程的另一根．42．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7．求（x1﹣x2）2的值．43．已知方程x2+2（k﹣2）x+k2+4=0有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大21，求k的值和方程的两个根．44．若关于x的一元二次方程4kx2+4（k+2）x+k=0有两个不相等的实数根，是否存在实数k，使方程的两个实数根之和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．46．已知x1、x2是方程x2﹣2mx+3m=0的两根，且满足（x1+2）（x2+2）=22﹣m2，求m的值．47．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2=0．（1）求证：无论k为何值时，该方程总有实数根；（2）若两个实数根平方和等于5，求k的值．48．若关于x的方程x2+（m+1）x+m+4=0两实数根的平方和是2，求m的值．49．m为何值时，方程2x2+（m2﹣2m﹣15）x+m=0两根互为相反数？50．已知△ABC的两边AB、AC的长度是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+k2+2k=0的两个根，第三边长为10，问k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求出这个等腰三角形的周长．51．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0（1）当k取什么值时，原方程有实数根；（2）对k选取一个合适的数，使方程有两个实数根，并求出这两个实数根的平方和．52．已知x1，x2是关于x的方程x2+（2a﹣1）x+a2=0的两个实数根，（1）当a取何值时，方程两根互为倒数？（2）如果方程的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求a的值．53．已知关于x的方程（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．54．已知一元二次方程8x2﹣（2m+1）x+m﹣7=0，根据下列条件，分别求出m的值：（1）两根互为倒数；（2）两根互为相反数；（3）有一根为零；（4）有一根为1．55．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a=0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）设x1，x2是一元二次方程（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a=0的两个根，且x12+x22=9，求a的值．56．已知一元二次方程8y2﹣（m+1）y+m﹣5=0．（1）m为何值时，方程的一个根为零？（2）m为何值时，方程的两个根互为相反数？57．已知一元二次方程（m+1）x2﹣x+m2﹣3m﹣3=0有一个根是1，求m的值及方程的另一个根．58．若关于x的方程（a2﹣3）x2﹣2（a﹣2）x+1=0的两个实数根互为倒数，求a的值．59．已知△ABC的一边为5，另外两边恰是方程x2﹣6x+m=0的两个根．（1）求实数m的取值范围．（2）当m取最大值时，求△ABC的面积．60．已知等腰三角形的一边长a=1，另两边b、c恰是方程x2﹣（k+2）x+2k=0的两根，求△ABC的周长．.参考答案：1．解：（1）根据题意得△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得m≤；（2）根据题意得x1+x2=﹣（2m﹣1），x1•x2=m2，∵，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=7，∴（2m﹣1）2﹣2m2=7，整理得m2﹣2m﹣3=0，解得m1=3，m2=﹣1，∵m≤，∴m=﹣12．解：（1）把x=0代入原方程得﹣a+1=0，解得a=1；（2）设方程两个为x1，x2，根据题意得x1+x2==0，解得a=±2，当a=﹣2时，原方程化为2x2+3=0，此方程无实数解，∴a=23．解：由根与系数的关系可得：x1+x2=k+1，x1•x2=k+2，又知x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=（k+1）2﹣2（k+2）=6解得：k=±3．∵△=b2﹣4ac=（k+1）2﹣4（k+2）=k2﹣2k﹣7≥0，∴k=﹣34．解：（1）比如：取k=3，原方程化为3x2+8x﹣3=0．…（1分）即：（3x﹣1）（x+3）=0，解得：x1=﹣3，x2=；…（2分）（2）由16+k＞0，解得k＞﹣．…（3分）∵当k=0时，原方程化为2x﹣3=0；解得：x=，∴当k=0时，方程有一个实数根…（4分）∵当k＞﹣且k≠0时，方程kx2+2（k+1）x﹣3=0为一元二次方程，∴△=[2（k+1）]2﹣4×k×（﹣3）=4k2+8k+4+12k=4k2+20k+4=[（2k）2+2×2k×1+1]+（16k+3）=（2k+1）2+16k+3，…（5分）∵（2k+1）2≥0，16k+3＞0，∴△=（2k+1）2+16k+3＞0．…（6分）∴当k＞﹣且k≠0时，一元二次方程kx2+2（k+1）x ﹣3=0有两个不等的实数根5．解：（1）∵△=16m2﹣8（m+1）（3m﹣2）=﹣8m2﹣8m+16，而方程有两个相等的实数根，∴△=0，即﹣8m2﹣8m+16=0，求得m1=﹣2，m2=1；（2）因为方程有两个相等的实数根，所以两根之和为0且△≥0，则﹣=0，求得m=0；（3）∵方程有一根为0，∴3m﹣2=0，∴m=．6．解：根据条件知：α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，.∴+==﹣1，∴=﹣1，即：m2﹣2m﹣3=0，解得：m=3或﹣1，当m=3时，方程为x2+9x+9=0，此方程有两个不相等的实数根，当m=﹣1时，方程为x2+x+1=0，此方程无实根，不合题意，舍去，∴m=37．解：根据题意得△=（2m+3）2﹣4m2＞0，解得m ＞﹣；根据根与系数的关系得x1+x2=2m+3，则2m+3=m2，整理得m2﹣2m﹣3=0，即（m﹣3）（m+1）=0，解得m1=3，m2=﹣1，则m=38．（1）证明：方程根的判别式△=[2（2﹣m）]2﹣4×1×（3﹣6m）=4（4﹣4m+m2）﹣4（3﹣6m）=4（4﹣4m+m2﹣3+6m）=4（1+2m+m2）=4（m+1）2（4分）∵无论m为何实数，4（m+1）2≥0恒成立，即△≥0恒成立．（5分）∴无论m取何实数，方程总有实数根；（6分）（2）解：由根与系数关系得x1+x2=﹣2（2﹣m）（7分）由题知x1+x2=m，∴m=﹣2（2﹣m）（8分）解得m=4．9．解：（1）∵△=（8+k）2﹣4×8k=（k﹣8）2，∵（k﹣8）2，≥0，∴△≥0，∴无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）解方程x2﹣（8+k）x+8k=0得x1=k，x2=8，①当腰长为5时，则k=5，∴周长=5+5+8=18；②当底边为5时，∴x1=x2，∴k=8，∴周长=8+8+5=2110．解：（1）△=[2（1﹣m）]2﹣4m2=4﹣8m，∵方程有两根，∴△≥0，即4﹣8m≥0，∴m≤．（2）∵x1+x2=2（1﹣m），x1•x2=m2，且x12+12m+x22=10，∴m2+2m﹣3=0，解得m1=﹣3，m2=1，又∵m≤，∴m=﹣311．解：（1）∵方程有两个实数根，∴k≠0且△=（2k+1）2﹣4k（k﹣2）≥0，解得：k≥﹣且k≠0，∴k 的取值范围：k≥﹣且k≠0．（2）∵一元二次方程kx2+（2k+1）x+k﹣2=0的两个实数根是x1和x2，∴x1+x 2=﹣，x 1x2=，∵x12=11﹣x22，∴x12+x22=11，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=11，∴﹣2（）=11，.解得：k=﹣或k=1，∵k≥﹣且k≠0，∴k=112．解：（1）∵方程x2+5x﹣m=0有两个实数根，∴△=25+4m≥0，解得：m≥﹣；（2）将x=﹣1代入方程得：1﹣5﹣m=0，即m=﹣4，∴方程为x2+5x+4=0，设另一根为a，∴﹣1+a=﹣5，即a=﹣4，则m的值为﹣4，方程另一根为﹣413．解：（1）由题意得：△=[﹣（m+2）]2﹣4（m﹣2）=m2+12，∵无论m取何值时，m2≥0，∴m2+12≥12＞0即△＞0恒成立，∴无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）设方程两根为x1，x2，由韦达定理得：x1•x2=m﹣2，由题意得：m﹣2=m2+9m﹣11，解得：m1=﹣9，m2=1，∴14．解：∵x12﹣x22=0，∴（x1+x2）（x1﹣x2）=0，∴x1+x2=0或x1﹣x2=0，当x1+x2=0，则x1+x2=﹣k=0，解得k=0，原方程变形为x2+1=0，此方程没有实数根，当x1﹣x2=0，则△=k2﹣4（k﹣1）=0，解得k1=k2=2，∴k的值为215．解：原方程可化为2x2﹣3x﹣（k+3）=0，①（1）当△=0时，，满足条件；（2）若x=1是方程①的根，得2×12﹣3×1﹣（k+3）=0，k=﹣4；此时方程①的另一个根为，故原方程也只有一根；（3）当方程①有异号实根时，，得k＞﹣3，此时原方程也只有一个正实数根；（4）当方程①有一个根为0时，k=﹣3，另一个根为，此时原方程也只有一个正实根．综上所述，满足条件的k的取值范围是或k=﹣4或k≥﹣316．解：（1）由△=[4（k+2）]2﹣4×4k•k＞0，∴k＞﹣1又∵4k≠0，∴k的取值范围是k＞﹣1，且k≠0；（2）不存在符合条件的实数k理由：设方程4kx2+4（k+2）x+k=0的两根分别为x1、x2，由根与系数关系有：x1+x2=﹣，x 1•x 2=，又==﹣=0，∴k=﹣2，由（1）知，k=﹣2时，△＜0，原方程无实解，∴不存在符合条件的k的值17．解：∵关于x的二次方程a2x2+2ax+1=﹣3x∴a2x2+2ax+3x+1=0，∵关于x的二次方程a2x2+2ax+1=﹣3x的两个实数根的积为1，∴=1，∴a=±1，∵12a+9≥0，∴a=1∴关于x的二次方程x2+2（a+n）x﹣a2=4﹣6a﹣2n可化简为：x2+2（1+n）x+（1+2n）=0∴x1=﹣1，x2=﹣1﹣2n，...∵关于x 的二次方程x 2+2（a+n ）x ﹣a 2=4﹣6a ﹣2n 有小于2的正实根， ∴0＜﹣1﹣2n ＜2， ∴n 的整数值为﹣118．解：（1）由2x 3+（2﹣m ）x 2﹣（m+2）x ﹣2=0得（x+1）（2x 2﹣mx ﹣2）=0，∴x 0=﹣1，（2分） α、β是方程2x 2﹣mx ﹣2=0的根∴， ∵（α+β）x 0=﹣3，所以m=6（4分）（2）设T=﹣=（5分）∵a ＜b ，∴b ﹣a ＞0，又a 2+1＞0，b 2+1＞0，∴＞0（6分）设f （x ）=2x 2mx ﹣2，所以α、β是f （x ）=2x 2mx ﹣2与x 轴的两个交点， ∵α＜a ＜b ＜β ∴，即∴ma+mb ＞2a 2+2b 2﹣4（8分）∴4﹣4ab+ma+mb ＞2（a ﹣b ）2＞0（9分） ∴T ＞0，即＞19．解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，∴△≥0，即（3a ﹣1）2﹣4（2a 2﹣1）=a 2﹣6a+5≥0 所以a ≥5或a ≤1．…（3分） ∴x 1+x 2=﹣（3a ﹣1），x 1•x 2=2a 2﹣1，∵（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80，即3（x 12+x 22）﹣10x 1x 2=﹣80，∴3（x 1+x 2）2﹣16x 1x 2=﹣80， ∴3（3a ﹣1）2﹣16（2a 2﹣1）=﹣80， 整理得，5a 2+18a ﹣99=0，∴（5a+33）（a ﹣3）=0，解得a=3或a=﹣，当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去， 当a=﹣时，△=（﹣）2﹣6×（﹣）+6=（）2+6×+6＞0，∴实数a 的值为﹣20．解：（1）∵原方程有两实根∴△=（2m ﹣3）2﹣4（m 2+6）=﹣12m ﹣15≥0得①…（3分）∵x 1+x 2=﹣（2m ﹣3）x 1x 2=m 2+6…（4分） 又∵x 1x 2=2（x 1+x 2），∴m 2+6=﹣2（2m ﹣3）整理得m 2+4m=0解得m=0或m=﹣4…（6分） 由①知m=﹣4…（7分） （2）∵…（9分），…（11分）由韦达定理得所求方程为…21．解：（1）若方程有实数根，则△=（2k ﹣3）2﹣4（k 2+1）≥0， ∴k ≤，∴当k ≤，时，此方程有实数根；（2）∵此方程的两实数根x 1、x 2，满足|x 1|+|x 2|=3，..∴（|x 1|+|x 2|）2=9， ∴x 12+x 22+2|x 1x 2|=9，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2+2|x 1x 2|=9， 而x 1+x 2=2k ﹣3，x 1x 2=k 2+1，∴（2k ﹣3）2﹣2（k 2+1）+2（k 2+1）=9， ∴2k ﹣3=3或﹣3，∴k=0或3，k=3不合题意，舍去； ∴k=022．解：方程整理为x 2﹣2（m+1）x+m 2=0，∵关于x 的方程x 2﹣2mx=﹣m 2+2x 的两个实数根x 1、x 2， ∴△=4（m+1）2﹣4m 2≥0，解得m ≥﹣； ∵|x 1|=x 2，∴x 1=x 2或x 1=﹣x 2，当x 1=x 2，则△=0，所以m=﹣，当x 1=﹣x 2，即x 1+x 2=2（m+1）=0，解得m=﹣1，而m ≥﹣，所以m=﹣1舍去， ∴m 的值为﹣23．解：∵a=1，b=﹣2（2m ﹣3），c=4m 2﹣14m+8， ∴△=b 2﹣4ac=4（2m ﹣3）2﹣4（4m 2﹣14m+8）=4（2m+1）．∵方程有两个整数根，∴△=4（2m+1）是一个完全平方数， 所以2m+1也是一个完全平方数． ∵4＜m ＜40， ∴9＜2m+1＜81，∴2m+1=16，25，36，49或64， ∵m 为整数， ∴m=12或24． 代入已知方程，得x=16，26或x=38，52． 综上所述m 为12，或2424．解：（1）方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2， 可得k ﹣1≠0，∴k ≠1且△=﹣12k+13＞0， 可解得且k ≠1；（2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x 1，x 2， ∵x 1+x 2=0， ∴， ∴，又∵且k ≠1 ∴k 不存在25．解：设关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+2m ﹣1=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则：x 1+x 2=m ，x 1•x 2=2m ﹣1，∵关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+2m ﹣1=0的两个实数根的平方和为23，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2=m 2﹣2（2m ﹣1）=m 2﹣4m+2=23，解得：m 1=7，m 2=﹣3，当m=7时，△=m 2﹣4（2m ﹣1）=﹣3＜0（舍去）， 当m=﹣3时，△=m 2﹣4（2m ﹣1）=37＞0， ∴m=﹣326．解：设x 的方程x 2+2（m ﹣2）x+m 2+4=0有两个实数根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=2（2﹣m ），x 1x 2=m 2+4， ∵这两根的平方和比两根的积大21， ∴x 12+x 22﹣x 1x 2=21，即：（x1+x2）2﹣3x1x2=21，∴4（m﹣2）2﹣3（m2+4）=21，解得：m=17或m=﹣1，∵△=4（m﹣2）2﹣4（m2+4）≥0，解得：m≤0．故m=17舍去，∴m=﹣127．解：∵x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2，∴△=（2m﹣1）2﹣4m2=1﹣4m≥0，解得：m≤；（2）∵x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2，∴x1+x2=1﹣2m，x1x2=m2，∴（x1+x2）•（x1﹣x2）=0，当1﹣2m=0时，1﹣2m=0，解得m=（不合题意）．当x1=x2时，（x1+x2）2﹣4x1x2=4m2﹣4m+1﹣4m2=0，解得：m=．故m的值为：28．解：（1）依题意得△=（k+2）2﹣4k•＞0，解之得k＞﹣1，又∵k≠0，∴k的取值范围是k＞﹣1，且k≠0；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=k+1，x1•x2=k+2，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=6，即（k+1）2﹣2（k+2）=6，解得：k=±3，当k=3时，△=16﹣4×5＜0，∴k=3（舍去）；当k=﹣3时，△=4﹣4×（﹣1）＞0，∴k=﹣329．解：∵a=4，b=5﹣3m，c=﹣6m2，∴△=（5﹣3m）2+4×4×6m2=（5﹣3m）2+96m2，∵5﹣3m=0与m=0不能同时成立．△=（5﹣3m）2+96m2＞0则：x1x2≤0，又∵，∴，又∵，，∴，∴，解得：m1=1，m2=530．解：（1）由＞0，解得k＞﹣1，又∵k≠0，∴k的取值范围是k＞﹣1且k≠0；（2）不存在符合条件的实数k，理由如下：∵，，又，.∴，解得经检验k=﹣是方程的解．由（1）知，当时，△＜0，故原方程无实根∴不存在符合条件的k的值31．（1）证明：△=k2﹣4（k﹣1）=k2﹣4k+4=（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴方程一定有两个实数根；（2）根据题意得x1+x2=﹣k，x1•x2=k﹣1，∵（x1+x2）（x1﹣x2）=0，∴x1+x2=0或x1﹣x2=0，当x1+x2=0，则﹣k=0，解得k=0，当x1﹣x2=0，则△=0，即（k﹣2）2=0，解得k=2，∴k的值为0或232．解：∵关于x的二次方程（a2+1）x2﹣4ax+2=0的两根为x1，x2，∴①，②∵2x1x2=x1﹣3x2，∴2x1x2+（x1+x2）=2（x1﹣x2），平方得4（x1x2）2+4x1x2（x1+x2）=3（x1+x2）2﹣16x1x2，将式①、②代入后，解得a=3，a=﹣1，当a=3时，原方程可化为10x2﹣12x+2=0，△=122﹣4×10×2=64＞0，原方程成立；当a=﹣1时，原方程可化为2x2+4x+2=0，△=42﹣4×2×2=0，原方程成立．∴a=3或a=﹣133．解：（1）根据题意得a﹣1≠0且△=4﹣4（a﹣1）＞0，解得a＜2且a≠1；（2）根据题意得x 1+x2=，x1•x2=，∵5x1+2x1x2=2a﹣5x2，∴5（x1+x2）+2x1x2=2a，∴+=2a，整理得a2﹣a﹣6=0，解得a1=3，a2=﹣2，∵a＜2且a≠1，∴a=﹣234．解：（1）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k ﹣3=0，△=（2k+1）2﹣4（4k﹣3）=4k2﹣12k+13=4+4＞0恒成立，故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据勾股定理得：b2+c2=a2=31①因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，则b+c=2k+1②，bc=4k﹣3③，因为（b+c）2﹣2bc=b2+c2=31，即（2k+1）2﹣2（4k﹣3）=31，整理得：4k2+4k+1﹣8k+6﹣31=0，即k2﹣k﹣6=0，解得：k1=3，k2=﹣2（舍去），则b+c=2k+1=7，又因为a=，则△ABC的周长=a+b+c=+7．35．解：（1）∵一元二次方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0的两个根互为相反数，.∴x1+x2==0，解得m=1；（2）∵一元二次方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0的一个根为零，∴x1•x2==0，解得m=7；（3）设存在实数m，使方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0的两个根互为倒数，则x1•x2==1，解得m=15；则原方程为4x2﹣7x+4=0，△=49﹣4×4×4=﹣15＜0，所以原方程无解，这与存在实数m，使方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0有两个根相矛盾．故不存在这样的实数m36．解：（1）∵方程有两个实数根，∴△=1﹣4k≥0且k≠0．故k≤且k≠0．（2）设方程的两根分别是x1和x2，则：x1+x2=﹣，x1x2=，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x 1x2，=﹣=3，整理得：3k2+2k﹣1=0，（3k﹣1）（k+1）=0，∴k1=，k 2=﹣1．∵k ≤且k≠0，∴k=（舍去）．故k=﹣1 37．（1）证明：△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4，∵（m﹣2）2≥0，∴（m﹣2）2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数．由题知：x1+x2=﹣（m+2）=0，解得：m=﹣2，将m=﹣2代入x2+（m+2）x+2m﹣1=0，解得：x=，∴m的值为﹣2，方程的根为x=38．解：（1）证明：由方程x2﹣kx﹣2=0知a=1，b=﹣k，c=﹣2，∴△=b2﹣4ac=（﹣k）2﹣4×1×（﹣2）=k2+8＞0，∴无论k为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程x2﹣kx﹣2=0．的两根为x1，x2，∴x1+x2=k，x1x2=﹣2，又∵2（x1+x2）＞x1x2，∴2k＞﹣2，即k＞﹣139．解：（1）∵△≥0时，一元二次方程总有两个实数根，△=[2（m+1）]2﹣4×1×（m2﹣3）=8m+16≥0，m≥﹣2，所以m≥﹣2时，方程总有两个实数根．（2）∵x12+x22﹣x1x2=78，∴（x1+x2）2﹣3x1x2=78，∵x1+x2=﹣，x1•x2=，.。
一元二次方程之判别式专项练习60题(有答案)ok
一元二次方程之判别式专项练习60题(有答案)ok1.1) 对于方程2x-5x-a=0，根据一元二次方程的求根公式，判别式为Δ=25+8a，要使方程有两个不相等的实数根，即Δ>0，所以25+8a>0，解得a>-25/8，所以a的取值范围为a>-25/8.2) 当方程的两个根互为倒数时，根据一元二次方程的求根公式，有x1x2=-a/2，又因为x1x2=1/x1，所以x1^2=-a/2，代入原方程得2x-5x-2x1^2=0，解得x1=±√(5/2)，代入x1x2=-a/2得a=5.2.1) 将方程展开得x^2-5x+6-p=0，根据一元二次方程的求根公式，判别式为Δ=25-24+4p=1+4p，要使方程有两个不相等的实数根，即Δ>0，所以1+4p>0，解得p>-1/4，所以p的取值范围为p>-1/4.2) 当p=2时，代入方程得(x-3)(x-2)=2，展开得x^2-5x+4=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=1，x2=4.3.将方程化简得2kx+k-2=0，由于方程有两个相等的实数根，所以判别式Δ=0，解得k=1，代入方程得3x-1=0，解得x=1/3.4.1) 将方程化简得x^2+(4-a)x+3=0，根据一元二次方程的求根公式，判别式为Δ=(4-a)^2-12，要使方程有实数根，即Δ≥0，所以(4-a)^2-12≥0，解得a∈(-∞,4-2√3]∪[4+2√3,+∞)。
2) 当a=4-2√3时，代入方程得x^2+(4-4+2√3)x+3=0，解得x1=√3-1，x2=-(√3+1)。
5.1) 将方程化简得4x^2-4mx+m^2-4m+1=0，根据一元二次方程的求根公式，判别式为Δ=16m-4m^2，要使方程有两个不相等的实数根，即Δ>0，所以m∈(-∞,0)∪(1,4]。
2) 当m=4时，代入方程得4x^2-16x+17=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=(4-√3)/2，x2=(4+√3)/2.6.1) 将方程化简得4x^2-3x-m=0，由于方程有两个不相等的实数根，所以判别式Δ=9+16m>0，解得m>-9/16，所以m的最小整数值为-1.2) 当m=-1时，代入方程得4x^2-3x+1=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=1/4，x2=1.7.根据一元二次方程的求根公式，判别式Δ=25-12m，要使判别式为1，即Δ=1，解得m=2或m=1/3.当m=2时，代入方程得2x^2-10x+3=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=(5-√13)/2，x2=(5+√13)/2.当m=1/3时，代入方程得x^2-5/3x+1=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=(5-√5)/6，x2=(5+√5)/6.8.删除此段落。
一元二次方程之判别式专项练习60题有答案
一元二次方程判别式专项练习60题（有答案）1．已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x﹣a=0（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．（2）当a为何值时，方程的两个根互为倒数，求出此时方程的解．2．已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当p=2时，求该方程的根．3．已知关于x的方程x2+2kx+（k﹣2）2=x有两个相等的实数根，求k的值与方程的根．4．若关于x的方程 x2+4x﹣a+3=0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）若a为符合条件的最小整数，求此时方程的根．5．已知关于x的方程．（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）在（1）中，若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．6．已知关于x的方程x2+3x﹣m=8有两个不相等的实数根．（1）求m的最小整数值是多少？（2）将（1）中求出的m值，代入方程x2+3x﹣m=8中解出x的值．7．已知关于x的一元二次方程mx2﹣5x+3=0的判别式为1，求m的值及该方程的根．8．已知关于x的方程kx2﹣2x+1=0有两个实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在k使（x1+1）（x2+1）=k﹣1成立？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．9．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0（1）判断方程根的情况；（2）k为何值时，方程有两个相等的实数根，并求出此时方程的根．10．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）为k选取一个符合要求的值，并求出此方程的根．11．已知关于x的一元二次方程 x2+2mx+（m+2）（m﹣1）=0（m为常数）．（1）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）如果方程有两个相等的实数根，求m的值；如果方程没有实数根，求m的取值范围．12．当k取什么值时，关于x的一元二次方程（1）有两个不相等的实数根？（2）没有实数根？13．已知关于x的方程是ax2﹣3（a﹣1）x﹣9=0．（1）证明：不论a取何值，总有一个根是x=3；（2）当a≠0时，利用求根公式求出它的另一个根．14．若k是一个整数，已知关于x 的一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k最大可以取多少？为什么？15．已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）当m=﹣2时，方程的两根互为相反数吗？并求出此时方程的解．16．已知关于x的方程x2+2x+k﹣1=0，（1）若方程有一个根是1，求k的值；（2）若方程没有实数根，求实数k的取值范围．17．已知关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣9=0（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程两个根α，β满足2α+β=m+1，求m的值．18．已知p为质数，使二次方程x2﹣2px+p2﹣5p﹣1=0的两根都是整数，求出p的所有可能值．19．m是什么实数时，方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根？20．设关于x的方程x2﹣4x+（y﹣1）|x﹣2|+2﹣2y=0恰有两个实数根，求y的负整数值．21．已知关于x的方程x2+2mx+m+2=0．（1）方程两根都是正数时，求m的取值范围；（2）方程一个根大于1，另一个根小于1，求m的取值范围．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣2m=0．（1）当m=1时，求方程的根．（2）试判断方程根的情况．23．已知a、b、c是三角形的三条边长，且关于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．24．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0，求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m+2=0．（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值；（2）若方程的两实数根之积等于m2﹣9m+2，求的值．26．关于x的方程x2﹣2x+k﹣1=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k﹣1是方程x2﹣2x+k﹣1=0的一个解，求k的值．27．已知关于x的方程x2+2x+m﹣1=0（1）若1是方程的一个根，求m的值；（2）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．28．若关于x的一元二次方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．29．已知关于x的方程x2+（3k﹣2）x﹣6k=0，（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．30．已知一元二次方程x2﹣5x+k=0．（1）当k=6时，解这个方程；（2）若方程x2﹣5x+k=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（3）设此方程的两个实数根分别为x1，x2，且2x1﹣x2=2，求k的值．31．已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+m=0（1）求证：不论m取何实数，方程都有实数根；（2）为m选取一数，使方程有两个不相等的整数根，并求出这两个实数根．32．已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣3=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为符合条件的最大整数，求此时方程的根．33．已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2=0．（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k的值．34．关于x的一元二次方程x2﹣x+p﹣1=0有两个实数根x1、x2．（1）求p的取值范围；（2）若，求p的值．35．实数k取何值时，一元二次方程x2﹣（2k﹣3）x+2k﹣4=0（1）有两个正根；（2）有两个异号根，且正根的绝对值较大；（3）一个根大于3，一个根小于3．36．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2=0有两个不相等的实数根．①求k的取值范围；②试判断直线y=（2k﹣3）x﹣4k+7能否通过点A（﹣2，5），并说明理由．37．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0．（1）若﹣1是方程的一个根，求m的值和方程的另一个根．（2）对于任意实数m，判断方程根的情况，并说明理由．38．证明：无论m为何值，关于x的方程x2﹣2mx﹣2m﹣4=0总有两个不相等的实数根．39．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m+2=0，若方程有两个相等的实数根，求m的值．40．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2=0．（1）求证：无论k取何值，方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足x1+x2=x1•x2，求k的值．41．已知方程m2x2+（2m+1）x+1=0有实数根，求m的取值范围．42．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根．（1）求m的范围；（2）若方程两个实数根为x1、x2，且x1+3x2=8，求m的值．43．如果关于x的一元二次方程（1﹣m）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，当m在它的取值范围内取最大整数时，求的值．44．若关于x的一元二次方程x2+2kx+（k2+2k﹣5）=0有两个实数根，分别是x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若有x1+x2=x1x2，则k的值是多少．45．已知关于x的方程k2x2+（2k﹣1）x+1=0有两个实数根x1、x2（1）求k的取值范围；（2）是否存在k的值，可以使得这两根的倒数和等于0？如果存在，请求出k，若不存在，请说明理由．46．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k=0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实根．（2）若等腰△ABC的一腰长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两根，求△ABC的周长．47．已知x2+（2k+1）x+k2﹣2=0是关于x的一元二次方程方程．（1）方程有两根不相等的实数根，求k的取值范围．（2）方程有一根为1，求k的取值．（3）方程的两根两根互为倒数，求k的取值．48．已知关于x的方程（k﹣1）x2+2x﹣5=0有两个不相等的实数根，求：①k的取值范围．②当k为最小整数时求原方程的解．49．已知关于x的方程（m﹣1）x2﹣（2m﹣1）x+2=0．（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；（2）若方程只有整数根，求整数m的值．50．已知关于x的方程2x2+kx﹣1=0．（1）小明同学说：“无论k为何实数，方程总有实数根．”你认为他说的有道理吗？（2）若方程的一个根是﹣1，求另一根及k的值．51．已知关于x的一元二次方程．（1）m取什么值时，方程有两个实数根？（2）设此方程的两个实数根为a、b，若y=ab﹣2b2+2b+1，求y的取值范围．52．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0有实根（1）求k的取值范围（2）若方程的两实根的平方和等于11，求k的值．53．如果一元二方程x2+mx+2m﹣n=0有一个根为2，且根的判别式为0，求m、n的值．54．已知，关于x的一元二次方程：ax2+4x﹣1=0，（1）当a取什么值时，方程有实数根？（2）设x1，x2为方程两根，y=x1+x2﹣x1•x2，试比较y与0的大小．55．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0（1）x=2是方程的一个根，求m的值和方程的另一个根．（2）对于任意实数m，判断方程的根的情况，并说明理由．56．已知关于x的方程．（1）若方程只有一个根，求k的值并求出此时方程的根；（2）若方程有两个相等的实数根，求k的值．57．已知关于x的方程4x2+4（k﹣1）x+k2=0和2x2﹣（4k+1）x+2k2﹣1=0，它们都有实数根，试求实数k的取值范围．58．已知关于x的一元二次方程kx2+2（k+4）x+（k﹣4）=0（1）若方程有实数根，求k的取值范围（2）若等腰三角形ABC的边长a=3，另两边b和c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．59．已知关于2x2+kx﹣1=0．（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根．（2）若已知该方程的一个根是﹣1，请求出另一个根．60．已知12＜m＜40，且关于x的二次方程x2﹣2（m+1）x+m2=0有两个整数根，求整数m．一元二次方程判别式专项练习60题参考答案：1．（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△=（﹣5）2﹣4×2×（﹣a）＞0，解得a ＞﹣，即a的取值范围为a ＞﹣；（2）根据题意得=1，解得a=﹣2，方程化为2x2﹣5x+2=0，变形为（2x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=，x2=2．2．（1）证明：方程整理为x2﹣5x+6﹣p2=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=1+4p2，∵4p2≥0，∴△＞0，∴这个方程总有两个不相等的实数根；（2）解：当p=2时，方程变形为x2﹣5x+2=0，△=1+4×4=17，∴x=，∴x1=，x2=．3．方程整理得x2+（2k﹣1）x+（k﹣2）2=0①，由题意得（2k﹣1）2﹣4（k﹣2）2=0，解得．将代入①得，解得4．（1）△=42﹣4（3﹣a）=4+4a．∵该方程有实数根，∴4+4a≥0．解得a≥﹣1．（2）当a为符合条件的最小整数时，a=﹣1．此时方程化为x2+4x+4=0，方程的根为x1=x2=﹣2 5．（1）∵该方程有两个不相等的实数根，∴△=32﹣4×1×=9﹣3m＞0．解得m＜3．∴m的取值范围是m＜3；（2）∵m＜3，∴符合条件的最大整数是m=2．2解得x==．∴方程的根为x1=，x2=．故答案为：m＜3，x1=，x2=6．（1）化为一般形式得：x2+3x﹣m﹣8=0△=9+4（m+8）＞0，解得m ＞﹣，∴m的最小整数值m=﹣10．（2）把m=﹣10代入原方程得x2+3x+10=8，即x2+3x+2=0解得：x1=﹣1，x2=﹣27．∵△=（﹣5）2﹣4×m×3=25﹣12m，∴由题意得：25﹣12m=1，∴m=2，当m=2时，方程为2x2﹣5x+3=0，两根为x1=1，x2=．答：m的值为2，方程的根为1和．8．（1）根据题意得k≠0且△≥0，即4﹣4k≥0，解得k ≤1，所以k的取值范围为k≤1且k≠0；（2）存在，k=﹣1．理由如下：根据题意得x1+x2=，x1•x2=，∵（x1+1）（x2+1）=k﹣1，∴x1•x2+x1+x2+1=k﹣1，即++1=k﹣1，化为整式方程得k2﹣2k﹣3=0，∴（k﹣3）（k+1）=0，∴k1=3，k2=﹣1，∵k≤1且k≠0；∴k=﹣19．①∵△=（2k+1）2﹣4×1×4（k ﹣）=4k2+4k+1﹣16k+8=4k2﹣12k+9=（2k﹣3）2≥0，∴该方程有两个实根；②若方程有两个相等的实数根，则△=b2﹣4ac=0，∴（2k﹣3）2=0，解得：k=，∴k=时，方程有两个相等的实数根；x2﹣（2×+1）x+4（﹣）=0x2﹣4x+4=0，解得：x=2；∴方程两根均为2．10．（1）根据题意得k≠0且△=（k+2）2﹣4k ×=4k+4＞0，解得k＞﹣1且k≠0；（2）取k=1，方程化为x2+3x+=0，△=4k+4=8，∴x==，∴x1=，x2=11．△=（2m）2﹣4（m+2）（m﹣1）=4m2﹣4m2﹣4m+8=﹣4m+8．（1分）（1）因为方程有两个不相等的实数根，所以﹣4m+8＞0，所以m＜2．（2分）（2）因为方程有两个相等的实数根，所以﹣4m+8=0，所以m=2．（2分）因为方程没有实数根，所以﹣4m+8＜0，所以m＞212．（1）根据题题意得k≠0且△=（k﹣2）2﹣4k •＞0，解得k＜1且k≠0；（2）根据题意得k≠0且△=（k﹣2）2﹣4k •＜0，解得k＞113．（1）证明，将x=3代入方程，得左边=9a﹣9（a﹣1）﹣9=9﹣9=0=右边，所以，方程总有一个根是x=3；（2）当a≠0时，△=9（a﹣1）2+4×9=9（a+1）2，所以，x1==3，x2==﹣，即方程的另一个根是x=﹣．14．∵一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴1﹣k≠0，且△＞0，即22﹣4×（1﹣k）×（﹣1）＞0，解得k＜2，又∵k是整数，∴k的取值范围为：k＜2且k≠1的整数，∴k最大可以取0．15．（1）证明：△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，∵（m﹣2）2≥0，∴（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：当m=﹣2时，方程变形为x2﹣5=0，解得x1=，x2=﹣，∴方程的两根互为相反数16．（1）∵x=1是方程x2+2x+k﹣1=0的一个根，∴12+2×1+k﹣1=0，解得，k=﹣2；（2）∵方程没有实数根，∴b2﹣4ac＜0，即22﹣4（k﹣1）＜0，解得k＞217．（1）证明：方程的根的判别式△=（m﹣2）2﹣4×1×（﹣9）=（m﹣2）2+36∵无论m取何实效（m﹣2）2+36＞0恒成立∴这个方程总有两个不相等的实数根（2）解由根与系数的关系．得α+β=2﹣m则2α+β=α+α+β=α+2﹣m∵2α+β=m+1，∴α+2﹣m=m+1，则α=2m﹣1∵α是方程的根，∴α2+（m﹣2）α﹣9=0则（2m﹣1）2+（m﹣2）（2m﹣1）﹣9=0整理，得2m2﹣3m一2=0解，得m1=2，m2=﹣．18．∵已知的整系数二次方程有整数根，∴△=4p2﹣4（p2﹣5p﹣1）=4（5p+1）为完全平方数，从而，5p+1为完全平方数设5p+1=n2，注意到p≥2，故n≥4，且n为整数∴5p=（n+1）（n﹣1），则n+1，n﹣1中至少有一个是5的倍数，即n=5k±1（k为正整数）∴5p+1=25k2±10k+1，p=k（5k±2），由p是质数，5k±2＞1，∴k=1，p=3或7当p=3时，已知方程变为x2﹣6x﹣7=0，解得x1=﹣1，x2=7；当p=7时，已知方程变为x2﹣14x+13=0，解得x1=1，x2=13 所以p=3或p=7．19．∵△=b2﹣4ac=16﹣4（5﹣m）=4m﹣4＞0∴m＞1当x≥0时，方程是x2﹣4x+5﹣m=0，方程有两个不同的根，则两个的积一定大于0，即5﹣m＞0，则m＜5∴1＜m＜5当x＜0时，方程是x2+4x+5﹣m=0，方程有两个不同的根，则两个根的积一定大于0，即5﹣m＞0，则m＜5则1＜m＜5∴1＜m＜5时，方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根20．原式可变形为：|x﹣2| 2+（y﹣1）|x﹣2|﹣2﹣2y=0，（|x﹣2|﹣2）[|x﹣2|+（1+y）]=0，则|x﹣2|=2或|x﹣2|=﹣（y+1），故2=﹣（y+1），则y=﹣3，当|x﹣2|=2，且1+y＞0时，则y＞﹣1，故y的负整数值为：﹣321．（1）根据题意，m 应当满足条件…（3分）即∴﹣2＜m≤﹣1…（7分）（2）根据题意，m 应当满足条件…（10分），即∴m＜﹣122．（1）当m=1时，原方程变为：x2﹣2x﹣1=0解得：；（2）△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4×（m2﹣2m）=8m，当m＞0时，原方程有两个不相等的实数根；当m=0时，原方程有两个相等的实数根；m＜0时，原方程没有实数根23．由已知条件△=4（b﹣a）2﹣4（c﹣b）（a﹣b）=4（a ﹣b）（a﹣c）=0，∴a=b或a=c，∵c﹣b≠0则c≠b，∴这个三角形是等腰三角形24．△=m2﹣4（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4，∵（m﹣2）2≥0，∴（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根．25．（1）∵方程有两个相等的实数根，∴（m﹣1）2﹣4（m+2）=0，∴m2﹣2m+1﹣4m﹣8=0，m2﹣6m﹣7=0，∴m=7或﹣1；（2）∵方程的两实数根之积等于m2﹣9m+2，∴m2﹣9m+2=m+2，∴m2﹣10m=0，∴m=0或m=10，当m=0时，方程为：x2+x+2=0，方程没有实数根，舍去；∴m=10，∴=426．（1）由题意，知（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，解得k＜2，即k 的取值范围为k＜2．（2）由题意，得（k﹣1）2﹣2（k﹣1）+k﹣1=0即k2﹣3k+2=0解得k1=1，k2=2（舍去）∴k的值为127．（1）把x=1代入方程，得1+2+m﹣1=0，所以m=﹣2；（2）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即22﹣4（m﹣1）＞0，解得m＜2．所以m的取值范围为m＜228．∵关于x的一元二次方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，∴，解得k ＞．所以k的取值范围是k ＞且k≠2．29．（1）证明：∵△=b2﹣4ac=（3k﹣2）2﹣4•（﹣6k）=9k2﹣12k+4+24k=9k2+12k+4=（3k+2）2≥0∴无论k取何值，方程总有实数根．（2）解：①若a=6为底边，则b，c为腰长，则b=c，则△=0．∴（3k+2）2=0，解得：k=﹣．此时原方程化为x2﹣4x+4=0∴x1=x2=2，即b=c=2．此时△ABC三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；②若a=b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b=a=6代入方程：62+6（3k﹣2）﹣6k=0∴k=﹣2则原方程化为x2﹣8x+12=0（x﹣2）（x﹣6）=0∴x1=2，x2=6即b=6，c=2此时△ABC三边为6，6，2能构成三角形，综上所述：△ABC三边为6，6，2．∴周长为6+6+2=14．30．（1）k=6，方程变为x2﹣5x+6=0，即（x﹣2）（x﹣3）=0，∴x1=2，x2=3；（2）根据题意△=（﹣5）2﹣4k＞0，解得k ＜；（3）根据题意得x1+x2=5，x1，•x2=k，而2x1﹣x2=2，∴x1=，∴x2=，∴k=×=31．（1）∵△=[﹣（m﹣1）]2﹣4m=m2+2m+1﹣4m=（m﹣1）2，又∵不论m取何实数，总有（m﹣1）2≥0，∴△≥0，∴不论m取何实数，方程都有实数根．（2）∵由求根公式得=∴x1=m，x2=1，∴只要m取整数（不等于1），则方程的解就都为整数且不相等．如取m=2，则原方程有两个不相等的整数根，分别是x1=2，x2=1．32．（1）△=（﹣2）2﹣4（2k﹣3）=8（2﹣k）．∵该方程有两个不相等的实数根，∴8（2﹣k）＞0，解得k＜2．（2）当k为符合条件的最大整数时，k=1．此时方程化为x2﹣2x﹣1=0，方程的根为x==1±．即此时方程的根为x1=1+，x2=1﹣．33．（1）当k=﹣1时，方程﹣4x﹣4=0为一元一次方程，此方程有一个实数根；当k≠﹣1时，方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2=0是一元二次方程，△=（3k﹣1）2﹣4（k+1）（2k﹣2）=（k﹣3）2．∵（k﹣3）2≥0，即△≥0，∴k为除﹣1外的任意实数时，此方程总有两个实数根．综上，无论k取任意实数，方程总有实数根；（2）∵方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2=0中a=k+1，b=3k ﹣1，c=2k﹣2，∴x=，∴x1=﹣1，x2=﹣2，∵方程的两个根是整数根，且k为正整数，∴当k=1时，方程的两根为﹣1，0；当k=3时，方程的两根为﹣1，﹣1．∴k=1，334．（1）∵方程x2﹣x+p﹣1=0有两个实数根x1、x2，∴△≥0，即12﹣4×1×（p﹣1）≥0，解得p ≤，∴p的取值范围为p ≤；（2）∵方程x2﹣x+p﹣1=0有两个实数根x1、x2，∴x12﹣x1+p﹣1=0，x22﹣x2+p﹣1=0，∴x12﹣x1=﹣p+1=0，x22﹣x2=﹣p+1，∴（﹣p+1﹣2）（﹣p+1﹣2）=9，∴（p+1）2=9，∴p1=2，p2=﹣4，∵p ≤，∴p=﹣435．（1）设方程的两个正根为x1、x2，则：△=（2k﹣3）2﹣4（2k﹣4）≥0 ①，x1+x2=2k﹣3＞0，x1x2=2k﹣4＞0 ②，解①，得：k为任意实数，解②，得：k＞2，所以k的取值范围是k＞2；（2）设方程的两个根为x1、x2，则：△=（2k﹣3）2﹣4（2k﹣4）＞0 ①，x1+x2=2k﹣3＞0，x1x2=2k﹣4＜0 ②，解①，得：k ≠，解②，得：＜k＜2，所以k 的取值范围是＜k＜2；（2）设方程的两个根为x1、x2，则：△=（2k﹣3）2﹣4（2k﹣4）＞0 ①，（x1﹣3）（x2﹣3）＜0 ②，解①，得：k ≠，由②，得：x1x2﹣3（x1+x2）+9＜0，又x1+x2=2k﹣3＞0，x1x2=2k﹣4，代入整理，得﹣4k+14＜0，解得k ＞．则k ＞．36．（1）∵关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac＞0∴（2k+1）2﹣4（k2+2）＞0∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8＞0，∴4k＞7，解得，k ＞；（2）假设直线y=（2k﹣3）x﹣4k+7能否通过点A（﹣2，5），∴5=（2k﹣3）×（﹣2）﹣4k+7，即﹣8=﹣8k，解得k=1＜；又由（1）知，k ＞；∴k=1不符合题意，即直线y=（2k﹣3）x﹣4k+7不通过点A（﹣2，5）37．（1）把x=﹣1代入原方程得：1+m﹣2=0，解得：m=1，∴原方程为x2﹣x﹣2=0．解得：x=﹣1或2，∴方程另一个根是2；（2）∵△=b2﹣4ac=m2+8＞0，∴对任意实数m方程都有两个不相等的实数根．38．∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（﹣2m﹣4）=4（m2+2m）+16=4（m2+2m+1﹣1）+16=4（m+1）2+12＞0，∴关于x的方程x2﹣2mx﹣2m﹣4=0总有两个不相等的实数根．39．∵关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m+2=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，即：（m﹣1）2﹣4（m+2）=0，解得：m=7或m=﹣1，∴m的值为7或﹣140．1）证明：∵a=1，b=﹣k，c=﹣2∴△=b2﹣4ac=（﹣k）2﹣4×1×（﹣2）=k2+8，∵k2＞0，∴△＞0，∴无论k取何值，方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵，；又∵x1+x2=x1•x2∴k=﹣2．41．当m2=0，即m=0，方程变为：x+1=0，有解；当m2≠0，即m≠0，原方程要有实数根，则△≥0，即△=（2m+1）2﹣4m2=4m+1≥0，解得m ≥﹣，则m的范围是m ≥﹣且m≠0；所以，m的取值范围为m ≥﹣42．（1）△=4﹣4m，∵有两个实数根，∴4﹣4m≥0，∴m≤1；（2）∵，解得，，∴m=x1x2=﹣343．∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=4+4（1﹣m）=8﹣4m＞0，且1﹣m≠0，∴m＜2，且m ≠1．当m=0时，无意义，故m≠0，则m的最大整数值为﹣1，所以=4×1+1=5．答：=5．44．（1）∵方程x2+2kx+（k2+2k﹣5）=0有两个实数根，∴△≥0，即4k2﹣4（ k2+2k﹣5 ）≥0，∴﹣8k+20≥0∴k ≤；（2）∵x1+x2=﹣2k，x1x2=k2+2k﹣5，而x1+x2=x1x2，∴﹣2k=k2+2k﹣5，即k2+4k﹣5=0解得k1=﹣5，k2=1，又∵k ≤，∴k=﹣5或145．（1）（2k﹣1）2﹣4k2×1≥0，解得：k ≤，且：k2≠0，∴k≠0，∴k ≤且k≠0；（2）不存在，∵方程有两个的实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴==﹣=﹣2k+1=0，k=，∵k ≤且k≠0；∴不存在46．（1）∵△=[﹣（k+1）]2﹣4k=k2+2k+1﹣4k=（k﹣1）2≥0，∴无论k取什么实数值，这个方程总有实根；（2）∵等腰△ABC的一边长a=4，∴另两边b、c中必有一个数为4，把4代入关于x的方程x2﹣（k+1）x+k=0中得，∴16﹣4（k+1）+k=0，解得：k=4，所以b+c=k+1=5∴△ABC的周长=4+5=9．47．（1）∵方程有两根不相等的实数根，∴△=（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣2）＞0，∴k ＞﹣；（2）把x=1代入原方程得1+（2k+1）+k2﹣2=0，整理得k2+2k=0，解得k=0或﹣2；（3）设两实数根为：x1，x2，由根与系数的关系：x1x2=k2﹣2=1，解得k=±48．①由题意得，22﹣4（k﹣1）•（﹣5）＞0．解得，．且k﹣1≠0，即k≠1故且k≠1．（2）k的最小整数是k=2．则原方程为x2+2x﹣5=0故此时方程的解为：，49．（1）证明：∵△=[﹣（2m﹣1）]2﹣4×（m﹣1）×2=4m2﹣12m+9=（2m﹣3）2≥0，∴无论m取任何实数，方程总有实数根；（2）x==，x1==2，x2==，∵方程只有整数根，∴m﹣1=±1，解得：m=0或250．（1）有道理，△=k2﹣4×2×（﹣1）=k2+8，∴k2≥0，∴k2+8＞0，∴无论k为何实数，方程总有实数根；（2）∵方程的一个根是﹣1，∴2×（﹣1）2﹣k﹣1=0，解得：k=1，把k=1代入方程2x2+kx﹣1=0得方程2x2+x﹣1=0，解得：x1=﹣1，x2=，故另一根是，k的值是151．（1）∵△≥0，方程有两个实数根，∴12﹣4×1×m≥0，解得m≤1，∴当m≤1时，方程有两个实数根；（2）∵方程的两个实数根为a、b，∴b2﹣b+m=0，ab=m，∴y=m﹣2（b2﹣b）+1=m﹣2×（﹣m）+1=m+1，∵m≤1，∴y ≤+1，即y ≤．52．（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0有实根，∴△=（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣2）≥0，解得：；（2）设方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0设其两根为x1，x2，得x1+x2=﹣（2k+1），x1•x2=k2﹣2，∵x12+x22=11，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=11，∴（2k+1）2﹣2（k2﹣2）=11，解得k=1或﹣3；∵k ≥﹣，∴k=1．53．∵一元二方程x2+mx+2m﹣n=0有一个根为2，∴4+4m﹣n=0①，又∵根的判别式为0，∴△=m2﹣4×（2m﹣n）=0，即m2﹣8m+4n=0②，由①得：n=4+4m，把n=4+4m代入②得：m2+8m+16﹣0，解得m=﹣4，代入①得：n=﹣12，所以m=﹣4，n=﹣12．54．（1）∵方程有实数根，∴△≥0，即16+4a≥0，解得a≥﹣4．由于ax2+4x﹣1=0是关于x的一元二次方程，可知a≠0，∴a≥﹣4且a≠0．（2）∵ax2+4x﹣1=0是关于x的一元二次方程，∴x1+x2=﹣，x1•x2=﹣，∴y=﹣+=﹣．当﹣4≤a＜0时，y=﹣+=﹣＞0；当a＞0时，y=﹣+=﹣＜0．55．（1）将x=2代入方程得：4﹣2m﹣2=0，解得：m=1，方程为x2﹣x﹣2=0，即（x﹣2）（x+1）=0，解得：x=2或x=﹣1，则方程的另一根为﹣1；（2）∵△=m2+8≥8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．56．（1）∵方程只有一个根，∴此方程是一元一次方程，即k ﹣=0，∴k=；代入原方程得﹣x=1，解得x=﹣；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴，∴k1=0，k2=﹣6．57．∵两个一元二次方程都有实数根，∴，解得﹣≤k ≤．58．（1）∵关于x的一元二次方程kx2+2（k+4）x+（k﹣4）=0方程有实数根，∴b2﹣4ac=[2（k+4）]2﹣4k（k﹣4）≥0，解得：k ≥﹣且k≠0；（2）①若a=3为底边，则b，c为腰长，则b=c，则△=0．∴b2﹣4ac=[2（k+4）]2﹣4k（k﹣4）=0，解得：k=﹣．此时原方程化为x2﹣4x+4=0∴x1=x2=2，即b=c=2．此时△ABC三边为3，2，2能构成三角形，∴△ABC的周长为：3+2+2=8；②若a=b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b=a=3代入方程：kx2+2（k+4）x+（k﹣4）=0得：k×32+2（k+4）×3+（k﹣4）=0∴解得：k=﹣，∵x1×x2=bc====3c，∴c=，∴△ABC的周长为：3+3+=．59．（1）证明：∵△=k2﹣4×2×（﹣1）=k2+4＞0，∴该方程一定有两个不相等的实数根；（2）解：设另一个根为x1，根据根与系数的关系可得：x1•x2=﹣，∵一个根是﹣1，∴x1•（﹣1）=﹣，解得：x1=60．∵一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2=0有两个整数根，由求根公式∴△=b2﹣4ac=4（m+1）2﹣4m2=8m+4≥0，∴，∵12＜m＜40，，∵一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2=0有两个整数根，∴2m+1必须是完全平方数，∴m=24。
完整版)一元二次方程的根的判别式练习题
完整版)一元二次方程的根的判别式练习题1.方程2x+3x-k=0的根的判别式为b^2-4ac，即(3+2)^2-4(2)(-k)=k+13，当k>-13时，方程有实根。
2.关于x的方程kx+(2k+1)x-k+1=0可以化简为(3k+1)x-k+1=0，根的判别式为(2k+1)^2-4(k)(-k+1)=8k^2+8k+1，当k 不等于0时，方程有实根。
3.方程x+2x+m=0有两个相等实数根，即b^2-4ac=0，即4-4m=0，解得m=1.4.关于x的方程(k+1)x-2kx+(k+4)=0可以化简为(x-k)(x+k+4)=0，根的情况为一个实根为-k，一个实根为k+4.5.当m=-1时，关于x的方程3x-2(3m+1)x+3m-1=0化简为3x+7x-1=0，有两个不相等的实数根。
6.将2x(ax-4)-x+6=0化简为2ax^2-(8+a)x+6=0，根的判别式为(8+a)^2-4(2a)(6)=a^2+16a-23，要使方程没有实数根，根的判别式小于0，即a的最小整数值为-15.7.方程mx^2+(2m-1)x-2=0的根的判别式为(2m-1)^2-4(m)(-2)=16m+1，解得m=1或m=-1/4，但由于题目中要求判别式的值等于4，所以m=-1/4.8.将(x-α)(x-β)+cx=0展开化简得x^2-(α+β)x+αβ+cx=0，根据韦达定理，α+β=-c，αβ=c，所以方程的两个根为α和β。
9.1) 当a>0时，判别式为4a^4-4a^3，即a^3>1时有两个实数根，否则无实数根。
2) 判别式为4k^2-4(k^2+4)，即-16，所以方程无实数根。
10.将方程x+2(m+1)x+3m+4mn+4n+2=0化简为x+(2m+2)x+(3m+4mn+2)=0，根的判别式为(2m+2)^2-4(3m+4mn+2)=4(m-n+1)^2-8，要使方程有实数根，根的判别式大于等于0，即(m-n+1)^2>=2，解得m-n=-1+sqrt(2)，即m=n-1+sqrt(2)。
一元二次方程的根的判别式(练习)
一元二次方程的根的判别式同步练习一、填空题1.若方程ax2+bx+c=0（a≠0），则根的判别式为_________;当_________时,方程有两个不相等的实数根,当_______时,方程有两个相等的实数根,则_______时,方程无实数根.2.利用根的判别式,判断方程根的情况,首先将方程(x-2)(x-5)-16=0化成一般形式是_________,再代入判别式为_________,则方程根的情况___________.3.不解方程,判断方程根的情况:(1) 4p(p-1)-3=0.△_________,则方程____________.(2)△_________,则方程_________________.(3)△___________,则方程_________________.4.当k_________时,方程x2-2(k+1)x+(k2-2)=0有两个不相等的实数根.5.当m________时,方程x2-(m+1)x+4=0有两个相等的实数根.6.如果方程x2-2x+=0没有实数根,那么c的取值是__________.二、解答题7．已知关于x的方程（m2-2）x2-2（m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围.8．证明关于x的方程x2+（k-1）x+（k-3）=0有两个不相等的实数根.9．已知关于x的方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有两个相等的实数根，且a，b，c是△ABC的三条边，判断△ABC的形状.三、选择题10．关于x的方程x2-2有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）.（A）k≥0（B）k＞0 （C）k＞-1 （D）k≥-1 11．关于x的方程mx2-mx+1=0有两个相等的实数根，则m的取值范围是（）.（A）m=0 （B）m=7 （C）m=4 （D）m＞4且m≠0 12．若关于x的二次方程2x（kx-4）-x2+6=0无实数根，则k的最小整数应是（）.(A)-1 (B)2 (C)3 (D)413.关于x的方程nx2-(2n-1)x+n=0有两个实数根,则n的值为( ).(A)n≤(B)≤且n≠0(C)n≥- (D)n≥-或n≠014.若关于y的方程y2-19y+k=0有两个相等的实数根,那么方程y2+19y-k=0的根的情况是( ).(A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根(C)无实数根 (D)无法判定四、填空题15．若方程组有一个实数根，则m值为__________.16.已知方程x2-有两个相等的实数根,求锐角a=_________.五、解答题17．判断关于y的方程y2+3（m-1）y+2m2-4m+=0的根的情况.18．当m＞3时，讨论关于x的方程（m-5）x2-2（m+2）x+m=0的实数根的个数.19．关于x的方程x2+3x+a=0中有整数解，a为非负整数，求方程的整数解.20．当m=1时，求证关于x的方程（k-3）x2+kmx-m2+6m-4=0有实数根.。
一元二次方程根的判别式练习题
一元二次方程根的判别式练习题一元二次方程根的判别式练题一）填空1.方程x^2+2x-1+m=0有两个相等实数根，则m=1．2.a是有理数，b是整数，方程2x^2+(a+1)x-(3a^2-4a+b)=0的根也是有理数．3.当k＜1时，方程2(k+1)x^2+4kx+2k-1=0有两个实数根．4.若关于x的一元二次方程mx^2+3x-4=0有实数根，则m 的值为正数．5.方程4mx^2-mx+1=0有两个相等的实数根，则m=1/4．6.若m是非负整数且一元二次方程(1-m^2)x^2+2(1-m)x-1=0有两个实数根，则m的值为0或2．7.若关于x的二次方程kx^2+1=x-x^2有实数根，则k的取值范围是[0,1/4]．8.二次方程(k^2-1)x^2-6(3k-1)x+72=0有两个实数根，则k=3或-2/3．9.若一元二次方程(1-3k)x^2+4x-2=0有实数根，则k的取值范围是[-1/3,1/3]．二）选择10.关于x的方程：m(x^2+x+1)=x^2+x+2有两相等的实数根，则m值为[1/2]．11.当m＞4时，关于x的方程(m-5)x^2-2(m+2)x+m=0的实数根的个数为B．1个．12.如果m为有理数，为使方程x^2-4(m-1)x+3m^2-2m+2k=0的根为有理数，则k的值为(m-1)^2．13.若一元二次方程(1-2k)x^2+8x=6没有实数根，那么k的最小整数值是D．3．14.若一元二次方程(1-2k)x^2+12x-10=0有实数根，那么k 的最大整数值是A．1．15.方程2x(kx-5)-3x^2+9=0有实数根，k的最大整数值是D．2．16.若方程k(x^2-2x+1)-2x^2+x=0有实数根，则k=1/2．17.若方程(a-2)x^2+(-2a+1)x+a=0有实数根，则a∈(0,1/2]∪[2,∞)．18.若m为有理数，且方程2x^2+(m+1)x-(3m^2-4m+n)=0的根为有理数，则n的值为D．-6．三）综合练19.如果a，b，c是三角形的三条边，求证：关于x的方程a^2x^2+(a^2+b^2-c^2)x+b^2=0无解．20.当 $a=-1$，$b=0$ 时，方程$x^2+2(1+a)x+(3a^2+4ab+4b^2+2)=0$ 有实数根。
九年级：一元二次方程-根的判别式-道经典考试题-有详细解答
九年级数学，一元二次方程，有一个非常重要的内容，就是根的判别式。
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式是，△=b2-4ac.①若△=b2-4ac＞0，则一元二次方程有两个不相等实数根。
②若△=b2-4ac=0，则一元二次方程有两个相等的实数根。
③若△=b2-4ac＜0，则一元二次方程没有实数根。
反之，亦成立。
题型一，根据△的情况来判定方程的根的情况。
例1题中，第1小题，原方程没有实数根，则△＜0,得出m的取值范围。
再把m的取值范围，代入到第2小题的△=b2-4ac中，得出结论。
例2题，第1小题，不解方程，判定根的情况，是不是很简单？通过计算，△=b2-4ac=4＞0，所以，原方程有两个不相等的实数根.第2小题，原方程有一个根是x=3，代入原方程，即可求出m的值.例3题，原方程有两个实数根，那么就有可能是两个相等，或者两个不相等实数根。
所以，△=b2-4ac≥0，即可求出t的值。
后面要是学了二次函数的同学就很容易理解，暂时还没有学到二次函数的同学，可以暂时略过。
例4题，a,b是等腰三角形的两边，而且是一元二次方程的两个根。
凡是讲到等腰三角形，没有明确腰和底的时候，一定要记得分类讨论。
不管是哪种题型，只要和等腰三角形有关.例5题，一元二次方程有两个相等的实数根，则△=b2-4ac=0，即可求出m的取值。
再分别代入代数式，求出代数式的值，非常简单常见的考试题型。
例6题，第1小题，求证方程总有两个不相等的实数根。
那么只要计算△=b2-4ac的结果，判定它的正负性，就好。
第2小题，把已知的一个根代入原方程，即可求出m的值。
当然，此题不需要求出m的取值，整体代入更简单。
例7题，先根据，根与系数的关系，分别得到两根之和，和两根之积的代数式，依据题意得出一个关于m的方程，解得m=6或者m=-4再根据题意，原方程有两个实数根，即△=b2-4ac≥0，求出m的取值范围，得出符合题型的m的值。
例8题，二次根式，被开方数≥0，一次函数X的系数≠0，所以k-1＞0，求出k＞1.再根据根的判别式，△=b2-4ac＜0，所以原方程没有实数根。
专题：一元二次方程根的判别式(含答案)-
一元二次方程根的判别式姓名【1 】◆课前预习1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情形可用b2－4ac来剖断,b2－4ac叫做________,通经常应用符号“△”为暗示．（1）b2－4ac>0方程_________;（2）b2－4ac=0方程_________;（3）b2－4ac<0方程_________．2．应用根的判别式之前应先把方程化为一元二次方程的________情势．◆互动教室【例1】不解方程,判别下列方程根的情形：（1）x2－5x+3=0（2）x2+2x+2=0;（3）3x2+2=4x（4）mx2+（m+n）x+n=0（m≠0,m≠n）．【例2】若关于x的方程（m2－1）x2－2（m+2）x+1=0有实数根,求m的取值规模．【例3】已知关于x的一元二次方程x2－（2k+1）x+4（k－）=0．求证：无论k取什么实数值,这个方程总有实数根;【例4】已知关于x的方程x2－2（m+1）x+m2=0．（1）当m取何值时,方程有两个实数根？（2）为m拔取一个适合的整数,使方程有两个不相等的实数根,并求这两个根．◆跟进教室1．方程2x2+3x－4=0的根的判别式△=________．2．已知关于x的一元二次方程mx2－10x+5=0有实数根,则m的取值规模是______．3．假如方程x2－2x－m+3=0有两个相等的实数根,则m的值为_______,此时方程的根为________．4．若关于x的一元二次方程kx2+2x－1=0没有实数根,则k的取值规模是______．5．若关于x的一元二次方程mx2－2（3m－1）x+9m－1=0有两个实数根,则实数m的取值规模是_______．6．下列一元二次方程中,没有实数根的是（）．A．x2+2x－1=0 B．x2+2x+3=0 C．x2+x+1=0 D．－x2+x+2=07．假如方程2x（kx－4）－x2－6=0有实数根,则k的最小整数是（）．A．－1 B．0 C．1 D．28．下列一元二次方程中,有实数根的方程是（）．A．x2－x+1=0 B．x2－2x+3=0 C．x2+x－1=0 D．x2+4=09．假如关于x的一元二次方程kx2－6x+9=0有两个不相等的实数根,那么k的取值规模是（）．A．k<1 B．k≠0 C．k<1且k≠0 D．k>110．关于x的方程x2+（3m－1）x+2m2－m=0的根的情形是（）．A．有两个实数根B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根◆课外功课1.鄙人列方程中,有实数根的是（）（A）x2+3x+1=0 （B）=-1 （C）x2+2x+3=0 （D）=2．关于x的一元二次方程x2＋kx－1=0的根的情形是A.有两个不相等的同号实数根B.有两个不相等的异号实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根3．关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a的值为（）．A.1或－4B.1C.－4D.－1或44．若关于的一元二次方程有实数根,则的取值规模是．5．若0是关于x的方程（m-2）x2+3x+m2-2m-8=0的解,求实数m的值,并评论辩论此方程解的情形．6.不解方程,试剖断下列方程根的情形．（1）2+5x=3x2 （2）x2-（1+2）x++4=0(3 )x2-2kx+（2k-1）=0 (x为未知数)7．关于x的一元二次方程mx2－（3m－1）x+2m－1=0,其根的判别式的值为1,求m的值及该方程的解．8．已知a.b.c分离是△ABC的三边长,当m>0时,关于x的一元二次方程c（x2+m）+b（x2－m）－2ax=0有两个相等的实数根,试断定△ABC的外形．10．假如关于x的方程mx2－2（m+2）x+m+5=0没有实数根,试断定关于x的方程（m－•5）x2－2（m－1）x+m=0的根的情形．11．已知关于x的方程（n－1）x2+mx+1=0 ①有两个相等的实数根．（1）求证：关于y的方程m2y2－2my－m2－2n2+3=0 ②必有两个不相等的实数根;（2）假如方程①的一个根是－,求方程②的根．。
一元二次方程根的判别式的应用(基础+培优)
一元二次方程根的判别式的应用(基础+培优训练)一、△的运用1. 若关于x 的一元二次方程(k-1)x 2 +kx +1=0有实数根,则k 的取值范围是( )A. k ≠2B. k> 2C.k<2且k ≠1D.k ≠1的一切实数2. 若关于x 的方程(k-1)x 2 +kx +1=0有实数根,则k 的取值范围是3. 若关于x 的方程(k-1)x 2 +kx +1=0有两个实数根,则k 的取值范围是二、根与系数的关系1. 已知关于x 的一元二次方程0462=++-m x x 有两个实数根21,x x .（1）求m 的取值范围;（2）若21,x x 满足2321+=x x ，求m 的值.2.关于x 的一元二次方程01-32=++m x x 的两个实数根分别是21,x x .（1）求m 的取值范围;（2）若()01022121=+++x x x x ，求m 的值.3.已知关于x 的一元二次方程 x 2- 4x －m 2＝0．（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个实数根x 1，x 2 满足x 1＋2x 2＝9，求m 的值．4.已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x一m2=0.(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;(2)设这个方程的两个实数根为x1,x2 ,且|x1|=|x2|一2,求m的值及方程的根.5.已知关于x的方程x2-2mx=-m2+2x的两个实数根x1,x2满足|x1|=x2,求实数m的值.6.已知关于x的一元二次方程 x2-(2k+1)x+k2+k=0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)若△ABC的两边AB.AC的长是方程的两个实数根,第三边BC的长为5,当△ABC是等腰三角形时，求k的值.三、判断二次三项式在实数范围内是否可以分解1.如果关于x的二次三项式k2x2 - (2k +1)x+1在实数范围内总能分解成两个一次因式的积,那么k的取值范围是2.如果二次三项式3x2-4x+2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则k的取值范围是3.如果x2- 2(m+1)x+m2+5是一个完全平方式，则m=四、构造一元二次方程，由参数的存在性得出△的正负性1 .在△ABC中,∠B=60°,AC=1.求证AB+ BC≤2.2.如图,正方形ABCD的边长为1,点M,N分别在BC,CD上,△CMN的周长为2,求△AMN的面积的最小值.五、根的判别式的运用1.已知关于x的方程x2+(2m+1)x+m2 +2=0有两个不等的实数根，试判断直线y=(2m-3)x- 4m+7能否通过点A(-2,4),答: （填“能”或“不能”）2.a，b是实数，关于x的方程|x2+ax+b|=2有三个不等的实数根.(1)求证:a2-4b-8=0.(2)若该方程的三个不等的实数根恰为一个三角形三内角的度数,求证:该三角形必有一个内角为60°.(3)若该方程的三个不等的实数根恰为一直角三角形的三边长,求a,b的值.。
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一元二次方程根的判别式专题训练
1. (2010 广西钦州市) 已知关于x 的一元二次方程x 2 +kx +1 =0有两个相等的实数根，则k = ．
2. (2010 湖北省荆门市) 如果方程2210ax x ++=有两个不等实根，则实数a 的取值范围是____________.
3. (2010 江苏省苏州市) 若一元二次方程()2
220x a x a -++=的两个实数根分别是3b 、，则a b +=_________.
4. (2010 江苏省苏州市) 下列四个说法中，正确的是（ ）
A ．一元二次方程22
452
x x ++=有实数根； B. 一元二次方程23
452
x x ++=有实数根； C. 一元二次方程25
453x x ++=
有实数根； D. 一元二次方程()2451x x a a ++=≥有实数根.
5. (2010 湖南省益阳市) 一元二次方程
)0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根，则ac b 42
-满足的条件是 Ａ．ac b 42
-＝0 Ｂ．ac b 42-＞0
Ｃ．ac b 42-＜0 Ｄ．ac b 42-≥0 6. (2010 山东省烟台市) 方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，则（x1-1）（x2-1）= .
7. (2010 北京市) 已知关于 x 的一元二次方程 2410x x m -+-= 有两个相等的实数根，
求m 的值及方程的根．
8. 当k 是什么整数时, 方程(k2–1)x2–6(3k –1)x+72=0有两个不相等的正整数根？
9. 关于x 的一元二次方程()011222=-+--m x m x 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数，求m 的整数值, 并求出两方程的整数根.
10. (2010 重庆市江津区) 在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中5a =，若关于x
的方程()2
260x b x b +++-=有两个相等的实数根，求△ABC 的周长． 11. (2010 四川省乐山市) 若关于x 的一元二次方程012)2(222=++--k x k x 有实数根βα、．
（1）求实数k 的取值范围；
（2）设k t β
α+=，求t 的最小值．
12. (2010 甘肃省天水市) 已知A B C △的两边A B 、A C 的长是关于x 的一元二次方程22
(23)320x k x k k -++++=的两个实数根，第三边B C 的长为5． （1）当k 为何值时，A B C △是直角三角形；
（2）当k 为何值时，A B C △是等腰三角形，并求出A B C △的周长．
13．已知关于x 的两个一元二次方程： 方程：02132)12(22=+
-+-+k k x k x ① 方程：049
2)2(2=+++-k x k x
② (1)若方程①、②都有实数根，求k 的最小整数值；
(2)若方程①和②中只有一个方程有实数根；则方程①，②中没有实数根的方程是______(填方程的序号)，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，若k 为正整数，解出有实数根的方程的根．
14．已知：关于x 的方程2x 2＋2(a －c )x ＋(a －b )2＋(b －c )2=0有两相等实数根．
求证：a ＋c =2b ．(a ，b ，c 是实数)
15．设两个方程的判别式分别为x 1，x 2，则x 1＝a 2－4c ，x 2＝b 2－4d ．
∴x 1＋x 2＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0．
从而x 1，x 2中至少有一个非负数，即两个方程中至少有一个方程有实数根．
16．求证：不论k 取任何值，方程(k 2＋1)x 2－2kx ＋(k 2＋4)=0都没有实根。